7逻辑代数(下)：谓词演算习题答案

练习5.1

1•指出下列谓词公式中的量词及其辖域，指出各自由变元和约束变元，并作适当更改，同时回答它们是否是命题：

(1)x(P(x)V Q(x))A R

(2)x(P(x)A Q(x))A xS(x) f T(x)

(3)x(P(x) f y(B(x,y)A Q(y))V T(y))

(4)P(x) ( y x(P(x)A B(x,y)) P(x))

解：

(1)全称量词，辖域P(x)V Q(x)，其中x为约束变元，

x(P(x)V Q(x))A R是命题。不需要更改变元。

(2)全称量词，辖域P(x)V Q(x),其中x为约束变元。

存在量词，辖域S(x),其中x为约束变元。

T(x)xxx为自由变元。

x(P(x)A Q(x))A xS(x) f T不是命题。

公式中x既是自由变元又是约束变元，可更改变元为如下公式：

x(P(x)A Q(x))A yS(y) f T(z)

(3)全称量词，辖域P(x) f y(B(x,y)A Q(y))V T(y),其中x为约

束变元,

存在量词，辖域B(x,y)A Q(y)，其中y为约束变元。

T(y)xxy为自由变元。

x(P(x) f y(B(x,y)A Q(y))V T(y))不是命题。

公式中y既是自由变元又是约束变元，可更改变元为如下公式：

x(P(x) -y(B(x,y)A Q(y))V T(z)不是命题。

(4)全称量词，辖域x(P(x)A B(x,y)),其中y为约束变元。

存在量词，辖域P(x)A B(x,y),其中x为约束变元。

不在量词辖域中的P(x)(第一个和第三个P(x))中的x为自由变元。

P(x) y x(P(x)A B(x,y)) - P不是命题。

公式中x既是自由变元又是约束变元，可更改变元为如下公式：

P(z) -(y x(P(x)A B(x,y)) - P(z))

2. 对个体域｛0,1｝判定下列公式的真值，E(x)表示“是偶数”

(1)x(E(x) x=1)

(2)x(E(x)A「x=1)

(3)x(E(x)A x=1)

(4)x(E(x) —x=1)

再将它们的量词消去，表示成合取或析取命题公式，鉴别你所确定的真值是否正确。

解：

(1)x(E(x) x真)

x(E(x) —n可表示成命题公式(E

(0) —n 0=1A (E

(1) —n 1)1

其中E

(0) —n 0真，E

(1) 1也真，故(E

(0) r 0)=1A (E

(1)「1)真。

(2)x(E(x)A「x=1假

x(E(x)A「x=1可表示成命题公式(E

(0)A n0=) A (E

(1) A n1=)其中E

(0)A n0二真，但E

(1)A n仁假，故(E

(0)A n0=) A (E

(1) A q 1=)假。

(3)x(E(x)A x=1假

x(E(x)A x=1)可表示成命题公式(E

(0)A 0=1)V (E

(1)A 仁1)

其中E

(0)A 0=1 假，E

(1)A 1 = 1 也假，故(E

(0)A 0=1)V (E

(1)A 仁1)假。

(4)x(E(x) f x二真

x(E(x) f x可表示成命题公式(E

(0) f 0=^(E

(1)f 仁1)

其中E

(0) f 0二假，但E

(1) f仁真，故(E

(0) f 0=1^ (E

(1) f仁真。

3. 设整数集为个体域，判定下列公式的真值

(表示数乘运算)：

(1)x y(x y=x)

(2)x y (x y=1)

(3)x y(x+y=1)

(4)y x (x y=x)

(5)y x (x+y=1)

解：

(1)x y(x y=x)真

(2)x y (x y=1)假

(3)x y(x+y=1 真

(4)y x (x y=x)真

(5)y x (x+y=1假

4•用谓词公式将下列语句形式化:

( 1) xx 是xx 的首都。

(2) xx 是数学家，但不是文学家。

(3)不劳动者不得食。

( 4)人无完人。

( 5)发亮的xx 不都是金子。

(6)天下乌鸦一般黑。

( 7)一个数既是偶数又是质数，当且仅当该数为2。

(8)有的猫不捉耗子，会捉耗子的猫便是好猫。

(9)凡成功者都xx,但反之不然。

( 10)有的汽车比有的火车跑得快。

( 11)一个人如果不相信所有其他人,那么他也就不可能得到其他人的信任。

( 12)不是所有的男人都至少比一个女人高,但至少有一个男人比所有的女人高。

解:

( 1) xx 是xx 的首都；

C(x,y表示“X是y的首都” w表示华盛顿” a表示美国，原句可表示为

C(w,a)

( 2) xx 是数学家,但不是文学家。

解:

M(x)表示“X是数学家” A(x)表示“X是天文学家” g表示高斯”原句可表示为M(g)A n A(g)