7逻辑代数(下)：谓词演算习题答案
谓词逻辑复习题答案
谓词逻辑复习题答案一、选择题1. 在谓词逻辑中，以下哪个符号表示“或”？A. ∧B. ∨C. →D. ¬答案：B2. 谓词逻辑中的量词“∀”代表什么含义？A. 存在B. 全部C. 任意D. 否定答案：B3. 下列哪个表达式表示“所有的x都满足P(x)”？A. ∃x P(x)B. ∀x P(x)C. ¬∃x ¬P(x)D. ¬∀x ¬P(x)答案：B4. 谓词逻辑中的否定连接词是哪一个？A. ∧B. ∨C. ¬D. →答案：C5. 如果P(x)表示“x是学生”，Q(x)表示“x是老师”，以下哪个表达式表示“x既是学生又是老师”？A. P(x) ∧ Q(x)B. P(x) ∨ Q(x)C. P(x) → Q(x)D. ¬P(x) ∧ ¬Q(x)答案：A二、填空题6. 谓词逻辑中，表达式“∀x (P(x) ∨ Q(x))”可以解释为“对于任意的x，x满足P或Q”。
请将该表达式转换为自然语言：______________________。
答案：对于任意的x，x是P或者x是Q。
7. 如果P(x)表示“x是大的”，Q(x)表示“x是圆的”，那么表达式“∃x (P(x) ∧ Q(x))”可以解释为“存在某个x，x既大又圆”。
请将该表达式转换为自然语言：______________________。
答案：存在某个x，x既大又圆。
8. 表达式“¬∀x P(x)”可以解释为“不是所有的x都满足P(x)”。
请将该表达式转换为自然语言：______________________。
答案：不是所有的x都满足P。
三、简答题9. 解释谓词逻辑中量词“∃”和“∀”的区别。
答案：量词“∃”表示存在，即至少有一个元素满足某个性质或条件；而量词“∀”表示全部，即所有元素都满足某个性质或条件。
10. 给出一个例子，说明谓词逻辑中的“蕴含”如何使用。
谓词逻辑-习题与答案
1、设)()()(),,(323221321x x x x x x x x x E ∧∨∧∨∧=是布尔代数],,},1,0[{-∧∨上的一个布尔表达式，试写出),,(321x x x E 的析取范式和合取范式。
答： 析取范式：)()()()()(),,(321321321321321321x x x x x x x x x x x x x x x x x x E ∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧= 合取范式：)()()(),,(321321321321x x x x x x x x x x x x E ∨∨∧∨∨∧∨∨∨=2．设P(x)：x 是大象，Q(x)：x 是老鼠，R(x,y)：x 比y 重，则命题“大象比老鼠重”的符号化为答： ∀x ∀y ( (P(x) ∧ Q(x)) → R(x,y))3．设L(x)：x 是演员，J(x)：x 是老师，A(x , y)：x 钦佩y ，命题“所有演员都钦佩某些老师”符号化为（ B ）。
A 、)),()((y x A x L x →∀；B 、))),()(()((y x A y J y x L x ∧∃→∀ ；C 、)),()()((y x A y J x L y x ∧∧∃∀；D 、)),()()((y x A y J x L y x →∧∃∀ 。
4．下列各式中哪个不成立（ A ）。
A 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀∨∀⇔∨∀ ；B 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∃∨∃⇔∨∃；C 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀∧∀⇔∧∀；D 、Q x xP Q x P x ∧∀⇔∧∀)())((。
5．用推理规则证明)()(a G a P ∧⌝是))()((,)(,))()((,)))()(()((x G x S x a S a R a Q x R x Q x P x ↔∀∧⌝∧→∀的有效结论。
命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目与参考答案
命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目及参考答案说明：红色标注题目可以暂且不做命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目一、填空1、若P，Q，为二命题，QP→真值为0 当且仅当。
2、命题“对于任意给定的正实数，都存在比它大的实数”令F(x)：x为实数，:),(则命题的逻辑谓词公式yL>xxy为。
3、谓词合式公式)(xP∃∀的前束式x→)(xxQ为。
4、将量词辖域中出现的和指导变元交换为另一变元符号，公式其余的部分不变，这种方法称为换名规则。
5、设x是谓词合式公式A的一个客体变元，A的论域为D，A(x)关于y是自由的，则被称为存在量词消去规则，记为ES。
6．设P，Q 的真值为0，R，S的真值为1，则→∨QP⌝∨⌝的真值→∧⌝(S)))(R()PR(= 。
7．公式P∧)()(的主合取式为∨RSRP⌝∨∧。
8．若解释I的论域D仅包含一个元素，则)(xP∀→∃在I下真值为xP)(xx。
9. P：你努力，Q：你失败。
“除非你努力，否则你将失败”的翻译为；“虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为。
10. 论域D={1，2}，指定谓词P则公式),(x y∀真值x∃yP为。
11.P，Q真值为0 ；R，S真值为1。
则∧wff∧R∨→))∧的真值∨SP))P)((((QR(S为。
12. R⌝))((的主合取式∧RQ∨Pwff→为。
13.设 P（x）：x是素数， E(x)：x 是偶数，O(x)：x是奇数 N (x,y)：x可以整数y。
则谓词)))xyOPy∀的自然语言是→∃wff∧x()(N(,y((x)。
14.谓词)),,(xyzPxz∀的前束∀P∃∧→wff∃y),(,))y(z(uQx(u式为。
二、选择1、下列语句是命题的有（）。
A、明年中秋节的晚上是晴天；B、0>x；+yC、0>xy当且仅当x和y都大于0；D、我正在说谎。
2、下列各命题中真值为真的命题有（）。
A、2+2=4当且仅当3是奇数；B、2+2=4当且仅当3不是奇数；C、2+2≠4当且仅当3是奇数；D、2+2≠4当且仅当3不是奇数；3、下列符号串是合式公式的有（）A、QP⌝∨Q⌝；P∨∧P⇔；B、Q(QP⇒；C、)P∨)(D、)⌝。
谓词逻辑试题讲解及答案
谓词逻辑试题讲解及答案1. 定义谓词逻辑中的量词。
谓词逻辑中的量词用来表示对某个集合中所有元素或某些元素的断言。
主要有两种量词：全称量词（∀）和存在量词（∃）。
全称量词表示对所有对象都成立的断言，而存在量词表示至少有一个对象满足断言。
2. 解释谓词逻辑中的谓词。
谓词逻辑中的谓词是对一个或多个对象的属性或关系的描述。
例如，谓词“P(x)”可以表示“x是偶数”。
谓词可以是一元的（一个参数），二元的（两个参数），或者多元的（多个参数）。
3. 给出一个谓词逻辑表达式，并解释其含义。
表达式：∀x∈N, ∃y∈N, x=2y含义：对于所有自然数x，都存在一个自然数y，使得x等于2y的倍数。
4. 判断下列命题是否为真，并给出理由。
命题：∀x∈R, x^2 ≥ 0答案：真。
理由：对于所有实数x，x的平方都是非负的。
5. 将下列自然语言命题转化为谓词逻辑表达式。
命题：所有人都是聪明的。
表达式：∀x(P(x) → C(x))解释：对于所有个体x，如果x是人（P(x)），那么x是聪明的（C(x)）。
6. 证明：如果一个数是偶数，那么它的平方也是偶数。
证明：设x为任意整数，如果x是偶数，即存在一个整数k使得x=2k。
那么x^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)，由于2k^2是整数，所以x^2是偶数。
7. 判断下列命题是否为假，并给出理由。
命题：存在一个实数x，使得x^2 < 0。
答案：假。
理由：实数的平方不可能是负数，因为任何实数的平方都是非负的。
8. 将下列命题转化为谓词逻辑表达式。
命题：没有比2大的偶数。
表达式：∀x∈N, (x > 2 ∧ x是偶数) → 假解释：对于所有自然数x，如果x大于2并且是偶数，则该命题为假。
9. 证明：如果一个数是奇数，那么它的平方也是奇数。
证明：设x为任意整数，如果x是奇数，即存在一个整数k使得x=2k+1。
那么x^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1，由于2k^2 + 2k是整数，所以x^2是奇数。
谓词公式考试题目及答案
谓词公式考试题目及答案一、选择题1. 谓词公式中，谓词的参数可以是：A. 常量B. 变量C. 函数D. 所有以上选项答案：D2. 下列哪个不是谓词逻辑表达式？A. ∀x P(x)B. ∃y Q(y)C. ¬R(x, y)D. x + y = z答案：D二、填空题3. 谓词逻辑中，全称量词的符号是______。
答案：∀4. 谓词逻辑中，存在量词的符号是______。
答案：∃三、简答题5. 简述谓词公式的一般形式。
答案：谓词公式的一般形式是P(x1, x2, ..., xn)，其中P是一个谓词，x1, x2, ..., xn是参数，参数可以是常量、变量或函数。
6. 解释谓词逻辑中的量词。
答案：谓词逻辑中的量词用来表示对变量的量化，包括全称量词（∀）和存在量词（∃）。
全称量词表示对所有可能的值都成立，而存在量词表示至少存在一个值使得命题成立。
四、计算题7. 给定谓词公式：∀x ∃y R(x, y)，解释其含义。
答案：该谓词公式的含义是对于所有的x，都存在一个y，使得R(x, y)成立。
8. 如果有谓词公式：∃x (P(x) ∧ Q(x))，它表示什么？答案：该谓词公式表示存在至少一个x，使得P(x)和Q(x)同时成立。
五、论述题9. 论述谓词逻辑与命题逻辑的区别。
答案：谓词逻辑与命题逻辑的主要区别在于谓词逻辑引入了量词和谓词，能够表达更复杂的关系和属性。
命题逻辑主要处理简单的命题和它们的逻辑关系，而谓词逻辑则可以表达涉及个体和属性的更复杂的逻辑结构。
10. 描述谓词逻辑在数学证明中的应用。
答案：谓词逻辑在数学证明中应用广泛，它可以用来形式化地表达数学概念和定理，以及它们的证明过程。
通过谓词逻辑，数学家可以更精确地定义数学对象和它们的性质，以及使用逻辑推理来证明数学命题的正确性。
第2章 逻辑代数(下)：谓词演算
第2章逻辑代数（下）：谓词演算2.1 谓词演算基本概念2.1.1 个体谓词演算中把一切讨论对象都称为个体(individuals)，它们可以是客观世界中的具体客体，也可以是抽象的客体，诸如数字、符号等。
确定的个体常用a，b，c等小写字母或字母串表示。
a，b，c等小写字母或字母串称为个体常元(constants)。
不确定的个体常用字母x，y，z，u，v，w等来表示。
它们被称为个体变元，或变元(variables)。
谓词演算中把讨论对象——个体的全体称为个体域(domain of individuals)，常用字母D表示，并约定个体域都是非空的集合。
当讨论对象未作具体指定，而是泛指一切客体时，个体域特称为全总域(universe)，用字母U表示。
当给定个体域时，常元表示该域中的一个确定的成员，而变元则可以取该域中的任何一个成员为其值。
表示D上运算的运算符与常元、变元可组成所谓个体项(terms)。
例如，数学中的代数式a2+b，x2c等。
由于在我们讨论的谓词演算中，其变元只能取值个体对象，不能取值函数、命题或谓词，因此，它又常被叫做一阶谓词演算。
2.1.2 谓词2.1.3 量词谓词演算中的量词(quantifiers)指数学中常用的数量词“所有的”（或“每一个”）和“有”（或“存在”），用符号∀和∃来表示，分别称为全称量词和存在量词。
为了用全称量词∀表示个体域中所有（每一个）个体满足一元谓词P，用存在量词∃表示有（存在）个体满足一元谓词P，还需使用变元：∀xP(x) 读作“所有（任意，每一个）x满足P(x)”，表示个体域中所有的个体满足谓词P(x)。
∃x P(x) 读作“有（存在，至少有一个）x满足P(x)”，表示个体域中至少有一个体满足谓词P(x)。
当量词用于一谓词填式或复合的谓词表达式时，该谓词或复合的谓词表达式称为量词的辖域(domains of quantifiers)。
因此，量词的辖域或者是紧邻其右侧的那个谓词；或者是其右侧第一对括号内的表达式。
谓词逻辑测试题及答案
谓词逻辑测试题及答案一、选择题1. 谓词逻辑中的基本单位是：A. 命题B. 谓词C. 变量D. 连接词2. 在谓词逻辑中，以下哪个是合法的谓词表达式？A. P(x)B. x = yC. ∀x P(x)D. P(x, y)3. 以下哪个是谓词逻辑中的量词？A. ∨B. ∧C. ∀D. →4. 以下哪个命题不是谓词逻辑中的命题？A. ∀x P(x)B. ∃x P(x)C. P(x)D. ¬P(x)5. 谓词逻辑中的“存在量词”用符号表示为：A. ∀B. ∃C. ¬D. →二、简答题6. 解释谓词逻辑中的“全称量词”和“存在量词”的区别。
7. 请用谓词逻辑表达“所有学生都通过了考试”。
8. 给出谓词逻辑中的一个推理例子，并解释其推理过程。
三、证明题9. 证明：如果∀x (P(x) → Q(x)) 且∃x P(x)，则∃x Q(x)。
10. 给出一个谓词逻辑的命题，并构造一个反例来证明它不是普遍有效的。
答案一、选择题1. B. 谓词2. D. P(x, y)3. C. ∀4. C. P(x)5. B. ∃二、简答题6. 在谓词逻辑中，“全称量词”（符号为∀）表示对于所有个体，某个命题都成立；而“存在量词”（符号为∃）表示至少存在一个个体使得某个命题成立。
7. 用谓词逻辑表达“所有学生都通过了考试”可以写作：∀x (Student(x) → Passed(x))，其中 Student(x) 表示 x 是学生，Passed(x) 表示 x 通过了考试。
8. 推理例子：假设有命题∀x (P(x) → Q(x)) 和 P(a)，其中 a 是某个特定的个体。
根据全称量词的定义，对于所有 x，如果 P(x) 成立，则 Q(x) 也成立。
由于 P(a) 成立，根据条件，Q(a) 也必须成立。
这是一个典型的全称量词和存在量词的推理过程。
三、证明题9. 证明：已知∀x (P(x) → Q(x))，即对于所有 x，如果 P(x) 成立，则 Q(x) 也成立。
命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目及参考答案
命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目及参考答案说明：红色标注题目可以暂且不做命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目1、若P, Q,为二命题，P Q真值为0当且仅当 ____________________________ 。
2、命题“对于任意给定的正实数，都存在比它大的实数”令F(x) : x为实数，L(x,y):x y则命题的逻辑谓词公式为_________ 3、谓词合式公式xP(x) xQ(x)的前束式为。
4、将量词辖域中出现的_______________和指导变元交换为另一变元符号，公式其余的部分不变，这种方法称为换名规贝叽5、设x是谓词合式公式A的一个客体变元，A的论域为D, A(x)关于y是自由的，则 ____________________________________被称为存在量词消去规则，记为ESo6 •设P, Q的真值为0，R, S的真值为1, 则(P (Q (R P))) (R S) 的真值________________________________________ O7 •公式(P R)(S R) P的主合取式为&若解释I的论域D仅包含一个元素，则xP(x) xP(x) 在I下真值为9. P :你努力，Q:你失败。
“除非你努力，否则你将失败”的翻译为______________________ ；“虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为10. 论域D={1，2}，指定谓词P则公式x yP(y,x)真值为__________________________ 。
11. P，Q真值为0 ; R，S真值为1。
则wff (P (R S)) ((P Q) (R S)) 的真值为___________________________________ 。
12. w ff ((p Q) R) R的主合取式为____________________________________ _ 。
13. 设P (x): x是素数，E(x) : x是偶数，O(x) : x是奇数N (x,y) : x可以整数y。
命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目及参考答案上课讲义
命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目及参考答案说明：红色标注题目可以暂且不做命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目一、填空1、若P，Q，为二命题，QP→真值为0 当且仅当。
2、命题“对于任意给定的正实数，都存在比它大的实数”令F(x)：x为实数，:),(则命题的逻辑谓词公式yL>xxy为。
3、谓词合式公式)(xP∃∀的前束范式x→)(xxQ为。
4、将量词辖域中出现的和指导变元交换为另一变元符号，公式其余的部分不变，这种方法称为换名规则。
5、设x是谓词合式公式A的一个客体变元，A的论域为D，A(x)关于y是自由的，则被称为存在量词消去规则，记为ES。
6．设P，Q 的真值为0，R，S的真值为1，则→∨QP⌝∨⌝的真值→∧⌝(S)))(R()PR(= 。
7．公式P∧)()(的主合取范式为∨RSRP⌝∨∧。
8．若解释I的论域D仅包含一个元素，则)(xP∀→∃在I下真值为xP)(xx。
9. P：你努力，Q：你失败。
“除非你努力，否则你将失败”的翻译为；“虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为。
10. 论域D={1，2}，指定谓词P则公式),(x y∀真值x∃yP为。
11.P，Q真值为0 ；R，S真值为1。
则∧wff∧R∨→))∧的真值∨SP))P)((((QR(S为。
12. R⌝))((的主合取范式∧RQ∨Pwff→为。
13.设 P（x）：x是素数， E(x)：x 是偶数，O(x)：x是奇数 N (x,y)：x可以整数y。
则谓词)))xyOPy∀的自然语言是→∃wff∧x()(N(,y((x)。
14.谓词)),,(xyzPxz∀的前束∀P∃∧→wff∃y),(,))y(z(uQx(u范式为。
二、选择1、下列语句是命题的有（）。
A、明年中秋节的晚上是晴天；B、0>x；+yC、0>xy当且仅当x和y都大于0；D、我正在说谎。
2、下列各命题中真值为真的命题有（）。
A、2+2=4当且仅当3是奇数；B、2+2=4当且仅当3不是奇数；C、2+2≠4当且仅当3是奇数；D、2+2≠4当且仅当3不是奇数；3、下列符号串是合式公式的有（）A、QP⌝∨Q⌝；P∨∧P⇔；B、Q(QP⇒；C、)P∨)(D、)⌝。
第2章谓词逻辑习题测验及答案
谓词逻辑习题1. 将下列命题用谓词符号化。
（1）小王学过英语和法语。
（2）2大于3仅当2大于4。
（3）3不是偶数。
（4）2或3是质数。
（5）除非李键是东北人，否则他一定怕冷。
解：(1) 令)(x P ：x 学过英语，Q(x)：x 学过法语，c ：小王，命题符号化为)()(c Q c P ∧ (2) 令),(y x P ：x 大于y, 命题符号化为)3,2()4,2(P P → (3) 令)(x P ：x 是偶数，命题符号化为)3(P ⌝ (4) 令)(x P ：x 是质数，命题符号化为)3()2(P P ∨(5) 令)(x P ：x 是北方人；)(x Q ：x 怕冷；c ：李键；命题符号化为)()(x P c Q ⌝→ 2. 设个体域}{c b a D ，，=，消去下列各式的量词。
（1）))()((y Q x P y x ∧∃∀ （2）))()((y Q x P y x ∨∀∀（3）)()(y yQ x xP ∀→∀（4）))()((y yQ y x P x ∃→∀，解：(1) 中))()(()(y Q x P y x A ∧∃=，显然)(x A 对y 是自由的，故可使用UE 规则，得到 ))()(()(y Q y P y y A ∧∃=，因此))()(())()((y Q y P y y Q x P y x ∧∃∧∃∀α，再用ES 规则， )()())()((z Q z P y Q y P y ∧∧∃α，D z ∈，所以)()())()((z Q z P y Q x P y x ∧∧∃∀α（2）中))()(()(y Q x P y x A ∨∀=，它对y 不是自由的，故不能用UI 规则，然而，对)(x A 中约束变元y 改名z ，得到))()((z Q x P z ∨∀，这时用UI 规则，可得：))()((y Q x P y x ∨∀∀ ))()((z Q x P z x ∨∀∀⇔ ))()((z Q x P z ∨∀α （3）略 （4）略3. 设谓词)(y x P ，表示“x 等于y ”，个体变元x 和y 的个体域都是}321{，，=D 。
谓词逻辑复习题答案
证明：⑴
⑵
⑴（）
⑶
⑷
⑵，⑶（拒取式）
⑸
⑹
⑸（）
⑺
⑻
⑹，⑺（假言推理）
⑼
⑷，⑻（合取式）．
4、用逻辑推理规则证明：．
证明：⑴
⑵ ⑴（）
⑶
⑷ ⑶（）
⑸ ⑷（逆反律）
⑹ ⑵，⑸（假言三段论）
⑺ ⑹（）．
5、用逻辑推理规则证明：．
证明：⑴
⑵ ⑴（）
⑶
⑷ ⑶（）
⑸ ⑵，⑷（拒取式）
⑹
⑺ ⑹（）
⑻ ⑸，⑺（析取三段论）
8、用逻辑推理规则证明：． 证明：⑴
⑵ ⑴（） ⑶ ⑷ ⑴，⑶（假言推理） ⑸ ⑷（） ⑹ ⑵（加法式） ⑺ ⑸，⑹（假言推理） ⑻ ⑺（）． 9、用逻辑推理规则证明： . 证明：⑴ （附加前提） ⑵ ⑴（） ⑶ ⑷ ⑶（） ⑸ ⑵，⑷（假言推理）
⑹ ⑸（）
⑺．
10、用逻辑推理规则证明：
.
证明：⑴ （附加前提）
. 4、若个体域，：，：,：，:， 则谓词公式为真吗？为什么？ 答：为真；
. 5、谓词公式为真吗？为什么？ 答：不为真；设个体域：实数域，：， 则. 6、谓词公式为真吗？为什么？ 答：为真； . .
四、证明题（每题10分）
1、求证：．
证明：左
右．
2、设个体域，求证：．
证明：左
右．
3、用逻辑推理规则证明：
⑼ ⑻（）．
6、用逻辑推理规则证明：
．
证明：⑴
⑵ ⑴(德.摩根律) ⑶ ⑵(蕴含表达式) ⑷ ⑶(量词否定) ⑸ ⑹ ⑷，⑸（拒取式） ⑺ ⑹(量词否定) ⑻ ⑺(德.摩根律) ⑼ ⑻(蕴含表达式) ． 7、用逻辑推理规则证明： ． 证明：⑴ ⑵ ⑶ ⑴，⑵（假言推理） ⑷ ⑴（） ⑸ ⑹ ⑸（） ⑺ ⑶（） ⑻ ⑹（加法式） ⑼ ⑺，⑻（假言推理） ⑽ ⑷，⑼（合取式） ⑾ ⑽（） ⑿ ⑾（）．
逻辑代数基础习题解答
分析电路中可能出现的竞争与冒险现象，采取相应措施进行消除或 抑制。
时序逻辑电路分析与设计
分析时序逻辑电路
了解时序逻辑电路的基本概念和组成，包括触发器、寄存器、计数器等。根据给定的电路图，分 析电路的工作原理和功能。
设计时序逻辑电路
根据实际需求，确定输入与输出之间的逻辑关系以及电路的状态转换关系。选择合适的触发器类 型，设计状态转换表和状态转换图，并进行电路连接。
备考策略指导
明确考试要求
了解考试形式和评分标准，明确备考方向和重 点。
制定复习计划
根据考试要求和自身情况，制定合理的复习计 划，并按照计划有序进行复习。
多做模拟试题
通过做模拟试题来检验自己的学习成果，找出自己的不足之处，有针对性地进 行弥补。
考试技巧点拨
仔细审题
在考试时，认真阅读题目，理解题意和要求 ，避免因为误解题意而导致失分。
题目1：逻辑代数中，基本的逻辑运算包括哪些？
02
A. 与、或、非
03
B. 与、或、异或
选择题解析
C. 与、非、同或 D. 或、非、异或 答案：A. 与、或、非
选择题解析
• 题目2：在逻辑代数中，下列哪个公式是正 确的？
选择题解析
C. A + A'B = A + B
B. A(A + B) = AB
表示方法
逻辑函数可以用多种方法表示，如真值表、逻辑表达式、卡诺图等。其中，真值表是列出所有输入组合及对应输 出的表格；逻辑表达式是用逻辑运算符和逻辑变量表示的式子；卡诺图是一种图形化表示方法，用于简化逻辑函 数。
02 逻辑代数化简方法
公式化简法
利用基本公式进行化简
谓词逻辑习题及答案
习题21．将下列命题符号化。
(1) 某些实数是有理数。
(2) 每一个有理数都是实数。
(3) 不是每一个实数都是有理数。
(4) 并非所有的素数都不是偶数。
(5) 没有不犯错误的人。
(6) 所有人都会犯错误。
(7) 火车比轮船快。
(8) 有些液体能溶解任何金属。
(9) 金子都会闪光，但闪光的未必是金子。
(10) 存在一些人是大学生。
解答：(1) 设H (x )：x 是实数；P (x )：x 是有理数。
则命题可符号化为：()x ∃(H (x )∧P (x ))。
(2) 设H (x )：x 是有理数；P (x )：x 是实数。
则命题可符号化为：()x ∀(H (x )→P (x ))。
(3) 设H (x )：x 是实数；P (x )：x 是有理数。
则命题可符号化为：⌝()x ∀(H (x )→P (x ))。
(4) 设H (x )：x 是素数；P (x )：x 是偶数。
则命题可符号化为：⌝()x ∀(H (x )→⌝P (x ))。
(5) 设H (x )：x 是人；P (x )：x 会犯错误。
则命题可符号化为：⌝()x ∃(H (x )∧⌝P (x ))。
(6) 设H (x )：x 是人；P (x )：x 会犯错误。
则命题可符号化为：()x ∀(H (x )→P (x ))。
(7) 设H (x )：x 是火车；L (x )：x 是轮船；P (x ,y )：x 比y 快。
则命题可符号化为：()x ∀()y ∀(H (x )∧L (y )→P (x ,y ))。
(8) 设H (x )：x 是液体；L (x )：x 是金属；P (x ,y )：x 能溶解y 。
则命题可符号化为：()x ∃(H (x )∧()y ∀(L (y )→P (x ,y )))。
(9) 设H (x )：x 是金子；P (x )：x 会闪光。
则命题可符号化为：()x ∀(H (x )→P (x ))∧()x ∃(H (x )∧⌝P (x ))。
谓词逻辑复习题及答案
谓词逻辑复习题及答案1. 请解释谓词逻辑中的量词“∀”和“∃”分别代表什么含义？答案：在谓词逻辑中，“∀”代表全称量词，意为“对于所有的”；“∃”代表存在量词，意为“存在”。
2. 描述谓词逻辑中命题逻辑与谓词逻辑的主要区别。
答案：命题逻辑主要处理简单命题及其逻辑关系，而谓词逻辑则引入了量词和谓词，能够处理更为复杂的结构，如个体之间的关系和属性。
3. 如何用谓词逻辑表达“所有的人都是会死的”？答案：可以用谓词逻辑表达为：∀x(P(x) → Q(x))，其中P(x)表示“x是人”，Q(x)表示“x会死”。
4. 请解释谓词逻辑中的逻辑等价和逻辑蕴涵。
答案：逻辑等价指的是两个公式在所有可能的解释下都具有相同的真值，而逻辑蕴涵指的是一个公式的真值能够保证另一个公式的真值。
5. 给定以下谓词逻辑表达式：∀x(P(x) → Q(x))，如果P(a)为真，那么Q(a)的真值如何？答案：如果P(a)为真，根据全称量词的定义，Q(a)也必须为真，否则表达式∀x(P(x) → Q(x))将不成立。
6. 请解释谓词逻辑中的析取和合取。
答案：析取（∨）表示逻辑或，即至少有一个命题为真时整个表达式为真；合取（∧）表示逻辑与，即所有命题都为真时整个表达式才为真。
7. 用谓词逻辑表达“存在一个学生，他既聪明又勤奋”。
答案：∃x(S(x) ∧ W(x) ∧ D(x))，其中S(x)表示“x是学生”，W(x)表示“x聪明”，D(x)表示“x勤奋”。
8. 描述谓词逻辑中的否定和双重否定。
答案：否定（¬）表示对一个命题的真值取反，即如果P为真，则¬P 为假；双重否定（¬¬P）则表示对否定的否定，逻辑上等同于原命题P。
9. 请解释谓词逻辑中的蕴含和逆蕴含。
答案：蕴含（→）表示如果前件为真，则后件也为真；逆蕴含（←）则表示如果后件为真，则前件也为真。
10. 用谓词逻辑表达“所有人都是动物，但并非所有动物都是人”。
谓词逻辑复习题及答案
谓词逻辑复习题及答案谓词逻辑是数理逻辑中的一个重要分支，它用于表达和推理关于对象和它们之间关系的命题。
以下是一些谓词逻辑的复习题及答案：题目一：定义谓词1. 定义谓词“L(x, y)”表示“x 爱y”。
2. 定义谓词“S(x, y)”表示“x 是 y 的学生”。
答案一：1. 谓词“L(x, y)”是一个二元谓词，它描述了两个对象x和y之间的关系，即x对y有爱的情感。
2. 谓词“S(x, y)”也是一个二元谓词，它描述了x和y之间的师生关系，即x是y的学生。
题目二：写出以下命题的谓词逻辑表达式1. 张三爱李四。
2. 每个学生都是老师的学生。
答案二：1. 命题“张三爱李四”的谓词逻辑表达式为：L(张三, 李四)。
2. 命题“每个学生都是老师的学生”的谓词逻辑表达式为：∀x∃y(S(x, y) ∧ T(y))，其中T(y)表示y是老师。
题目三：转换命题为谓词逻辑表达式1. 如果张三爱李四，那么李四也爱张三。
2. 没有学生是他自己的学生。
答案三：1. 命题“如果张三爱李四，那么李四也爱张三”的谓词逻辑表达式为：(L(张三, 李四) → L(李四, 张三))。
2. 命题“没有学生是他自己的学生”的谓词逻辑表达式为：∀x¬(S(x, x))。
题目四：谓词逻辑中的量词1. 写出“所有”的逻辑表达式。
2. 写出“存在”的逻辑表达式。
答案四：1. “所有”的逻辑表达式使用全称量词，表示为：∀x。
2. “存在”的逻辑表达式使用存在量词，表示为：∃x。
题目五：谓词逻辑中的逻辑连接词1. 写出“并且”的逻辑表达式。
2. 写出“或者”的逻辑表达式。
3. 写出“非”的逻辑表达式。
答案五：1. “并且”的逻辑表达式使用逻辑与，表示为：A ∧ B。
2. “或者”的逻辑表达式使用逻辑或，表示为：A ∨ B。
3. “非”的逻辑表达式使用否定，表示为：¬A。
题目六：谓词逻辑推理给定以下命题：1. ∀x (L(x, y) → L(y, x))。
(完整word版)谓词逻辑习题解
数理逻辑习题解二1.设个体域是整数集合，请利用给出的谓词将下列命题符号化。
N(e):e是自然数（不包括0）.P（e):e是素数。
Q（e):e是偶数.E(e1,e2）:e1=e2。
L（e1,e2）：e1e2。
D(e1，e2)：e1｜e2。
(即e1整除e2）a)凡素数均为自然数.b)没有最大的素数。
c)有些自然数不是素数.d)并非所有的素数都不是偶数.e)偶素数只有2.f)一个自然数是素数的充要条件是除1之外，该数不能被其它任何小于它的自然数整除。
[解]a)"x(P（x)→N（x））。
b）x（P(x）Ù"y（P（y)→L(y,x）））。
c)＄x（N(x）ÙØP(x)）。
d）Ø”x(P(x)→ØQ（x））。
e)"x（P（x)ÙQ(x)→E（x,2）).f)”x(N(x)→(P（x)Ø$y(N(y)ÙØE（y，1)ÙØE（y，x)ÙL（y,x)ÙD（y，x））））。
2.利用上题给出的各谓词，用自然语言表达下述命题.a)"x(Q(x)→D(2，x))b)$x(N（x）ÙD(x,9））c)"x"y（N(x）ÙN（y)ÙD（x,y）ÙD（y,x）→E（x,y)）d)Ø$x(N（x）Ù”y(N（y)→L(y，x））e)”x(P（x）→"y(N（y)ÙD（y，x)→E（y,x)ÚE(y,1）))f)"x（N（x)ÙØP（x）→＄y(ØE(y，x）ÙØE(y,1)ÙD(y，x)）)［解］a)凡偶数都能被2整除.b)存在着能整除9的自然数.c）两个能互相整除的自然数相等。
d）没有最大的自然数。
谓词逻辑复习题答案
谓词逻辑一、选择题（每题3分）1、设个体域{,}A a b =，则谓词公式(()())x F x G x ∃∧消去量词后，可表示为为（ C ）A 、(()())(()())F a F b G a G b ∧∨∧B 、(()())(()())F a F b G a G b ∨∧∨C 、(()())(()())F a G a F b G b ∧∨∧D 、(()())(()())F a G a F b G b ∨∧∨2、设个体域{,}A a b =，则谓词公式(),x yR x y ∀∃去掉量词后，可表示为（ D ）A 、()()()(),,,,R a a R a b R b a R b b ∧∧∧B 、()()()(),,,,R a a R a b R b a R b b ∨∨∨C 、()()()()()(),,,,R a a R a b R b a R b b ∧∨∧D 、()()()()()()b b R a b R b a R a a R ,,,,∨∧∨ 提示：原式()()()()()()()(),,,,,,yR a y yR b y R a a R a b R b a R b b ⇔∃∧∃⇔∨∧∨3、设个体域{,}D a b =，使谓词公式()xP x ∀的真值为1的谓词P 满足（ D ）A 、()0,()0P a P b ==B 、()0,()1P a P b ==C 、()1,()0P a P b ==D 、()1,()1P a P b ==4、设个体域{2}D =，()P x ：3x >，()Q x ：4x =，则谓词公式(()())x P x Q x ∃→为( A )A 、永真式B 、永假式C 、可满足式D 、无法判定5、谓词公式(,)((,)(,))F x y G x y F x y →→的真值（ D ）A 、与谓词变元有关，与论述域无关B 、与谓词变元无关，与论述域有关C 、与谓词变元和论述域都有关D 、与谓词变元和论述域都无关 提示：()()p q p p q p T →→⇔⌝∨⌝∨⇔.6、谓词公式(,)(,)y xP x y x yP x y ∃∀→∀∃的真值（ D ）A 、与谓词变元有关，与论述域无关B 、与谓词变元无关，与论述域有关C 、与谓词变元和论述域都有关D 、与谓词变元和论述域都无关7、谓词公式(()())()x P x yR y Q x ∀∨∃→中的变元x （ C ）A 、仅是自由的B 、仅是约束的C 、既是自由的也是约束的D 、既不是自由的也不是约束的8、设D ：全总个体域，()H x ：x 是人， ()P x ：x 要死的，则命题“人总是要死的”的逻辑符号化为（ D ）A 、(()())x H x P x ∃∧B 、(()())x H x P x ∃→C 、(()())x H x P x ∀∧D 、(()())x H x P x ∀→9、设D ：全总个体域，()H x ：x 是人， ()P x ：x 犯错误，则命题“没有不犯错误的人”的逻辑符号化为（ D ）A 、(()())x H x P x ∃∧B 、(()())x H x P x ∃→C 、(()())x H x P x ∀∧D 、(()())x H x P x ∀→10、设D ：全总个体域，()F x ：x 是花，()M x ：x 是人，(,)H x y ：x 喜欢y ， 则命题“有的人喜欢所有的花”的逻辑符号化为（ D ）A 、(()(()(,))x M x y F y H x y ∀∧∃→B 、(()(()(,))x M x y F y H x y ∀∧∀→C 、 (()(()(,))x M x y F y H x y ∃∧∃→D 、(()(()(,))x M x y F y H x y ∃∧∀→11、设D ：全总个体域，()L x ：x 是演员，()J x ：x 是老师，(,)A x y ：x 钦佩y ， 则命题“所有演员都钦佩某些老师”的逻辑符号化为( B )A 、)),()((y x A x L x →∀B 、))),()(()((y x A y J y x L x ∧∃→∀C 、 )),()()((y x A y J x L y x ∧∧∃∀D 、)),()()((y x A y J x L y x →∧∃∀12、设P 是不含自由变元x 的谓词，则下列表达式错误的有( B )A 、(())()x A x P xA x P ∀∨⇔∀∨B 、(()())()()x A x B x xA x xB x ∀∨⇔∀∨∀C 、 (())()x A x P xA x P ∀∧⇒∀∧D 、(()())()()x A x B x xA x xB x ∀∧⇔∀∧∀13、设B 是不含自由变元x 的谓词，则下列表达式错误的有( B )A 、(())()x A x P xA x P ∀∨⇔∀∨B 、(()())()()x A x B x xA x xB x ∀∨⇔∀∨∀C 、(())()x A x P xA x P ∃∨⇔∃∨D 、(()())()()x A x B x xA x xB x ∃∨⇔∃∨∃14、下列表达式错误的有( A )A 、(()())()()x A xB x xA x xB x ∀∨⇒∀∨∀ B 、()()(()())xA x xB x x A x B x ∀∨∀⇒∀∨C 、 (()())()()x A x B x xA x xB x ∀∧⇒∀∧∀D 、()()(()())xA x xB x x A x B x ∀∧∀⇒∀∧15、下列表达式错误的有( B )A 、(()())()()x A xB x xA x xB x ∃∧⇒∃∧∃ B 、()()(()())xA x xB x x A x B x ∃∧∃⇒∃∧C 、(()())()()x A x B x xA x xB x ∃∨⇒∃∨∃D 、()()(()())xA x xB x x A x B x ∃∨∃⇒∃∨16、设P 是不含自由变元x 的谓词，则下列表达式错误的有( B )A 、(())()x A x P xA x P ∀→⇔∃→B 、(()())()()x A x B x xA x xB x ∀→⇔∃→∀C 、(())()x A x P xA x P ∃→⇔∀→D 、(()())()()x A x B x xA x xA x ∃→⇔∀→∃17、设P 是不含自由变元x 的谓词，则下列表达式错误的有( B )A 、(())()x PB x P xB x ∀→⇔→∀ B 、(()())()()x A x B x xA x xB x ∀→⇔∃→∀C 、(())()x P B x P xB x ∃→⇔→∃D 、(()())()()x A x B x xA x xA x ∃→⇔∀→∃18、下列表达式错误的有( A )A 、(()())()()x A xB x xA x xB x ∀→⇒∃→∀ B 、()()(()())xA x xB x x A x B x ∃→∀⇒∀→C 、(()())()()x A x B x xA x xA x ∃→⇒∀→∃D 、(()())()()x A x B x xA x xA x ∃→⇒∀→∃19、设y 是个体域D 中任一确定元素，则推理规则()()xP x P y ∀⇒可称为( A )A 、USB 、ESC 、UGD 、EG20、设y 是个体域D 中任一确定元素，则推理规则()()P y xP x ⇒∃可称为( D )A 、USB 、ESC 、UGD 、EG二、填充题（每题4分）1、若个体域D 仅包含一个元素，则谓词公式()()yP y xP x ∃→∀的真值为1．2、若个体域{1,2}D =，指定谓词P 满足右表 则谓词公式(,)x yP y x ∀∃的真值为1．3、若个体域{1,2}D =，指定谓词P 满足右表 则谓词公式(,)y xP x y ∃∀的真值为0．4、设D ：全总个体域，()W x ：x 是女同志，()J x ：x 是教练员，()L x ：x 是运动员，则命题“有些女同志既是教练员又是运动员”的逻辑符号化为(()()())x W x J x L x ∃∧∧．5、设个体域D ：实数域， (,)S x y ：x y =，则命题“存在着实数x ，对所有的实数y ，都有x y =”的逻辑符号化为(,)x yS x y ∃∀．6、设D ：全总个体域，()R x ：x 是实数， (,)S x y ：x y =，则命题“对所有的实数x ，都存着实数y ，使得x y =”的逻辑符号化为(()(()(,))x R x y R y S x y ∀→∃∧．7、设个体域D ：人类， (,)G x y ：x 与y 一样高，则命题“所有的人都不一样高”的逻辑符号化为(,)x y G x y ∀∀⌝．8、设D ：全总个体域，()A x ：x 是人， (,)G x y ：x 与y 一样高，则命题“所有的人都不一样高”的逻辑符号化为(()()(,))x y R x R y G x y ∀∀∧→⌝．9、设D ：全总个体域，()R x ：x 是质数，()B x ：x 是奇数，(,)C x y ：x y ≠，则命题“除2以外的所有质数都是奇数”的逻辑符号化为(()(,2)())x A x C x B x ∀∧→．10、设D ：全总个体域，()P x ：x 是大象，()Q x ：x 是老鼠， (,)R x y ：x 比y 重， 则命题“大象比老鼠重”的的逻辑符号化为)),()()((y x R y Q x P y x →∧∀∀．11、若已证()xA x ∃为真，则可假设某一确定的个体y 使()A y 为真，此推理规则被称为ES ．12、令Γ是公理与前提的合取，Γ中无x 的自由出现，若从Γ可推出()A x ，则从Γ也可推出()xA x ∀，此推理规则被称为UG ．三、问答题（每题6分）1、设个体域D ：实数域，(,)F x y ：x y =，(,)G x y ：x y <，说明谓词公式)),(),((y x F y x G y x ⌝→∀∀的含义，并指出其真值.答：对于任意两个实数,x y ，如果x y <，那么x y ≠ ；其真值为1.2、设D ：全总个体域，()S x ：x 是大学生，()L x ：x 是明星，(,)H x y ：x 崇尚y ， 说明谓词公式(()()(,))x y S x L y H x y ∃∃∧∧⌝的含义，并指出其真值.答： 有些大学生不崇尚某些明星；其真值为1.3、若个体域{2,4}D =，(,)H x y ：x y >，则谓词公式(,)x yH x y ∀∃为真吗？为什么？ 答：为假；(,)(2,)(4,)x yH x y yH y yH y ∀∃⇔∃∧∃((2,2)(2,4))((4,2)(4,4))(00)(11)0H H H H ⇔∨∧∨⇔∨∧∨⇔.4、若个体域{1,3,6}D =-，()S x ：3x >，()Q x ：5x =,a ：3，P :53>， 则谓词公式(()())x S x Q a P ∃→∧为真吗？为什么？答：为真；(()())(((1)())((3)())((6)()))1x S x Q a P S Q a S Q a S Q a ∃→∧⇔-→∨→∨→∧((00)(00)(10))1(110)11⇔→∨→∨→∧⇔∨∨∧⇔.5、谓词公式(,)(,)x yP x y y xP x y ∀∃→∃∀为真吗？为什么？答：不为真；设个体域D ：实数域，(,)P x y ：0x y +=，则(,)(,)100x yP x y y xP x y ∀∃→∃∀⇔→⇔.6、谓词公式(()())()()x A x B x xA x xB x ∃→⇔∀→∃为真吗？为什么？答：为真；(()())(()())()()x A x B x x A x B x x A x xB x ∃→⇔∃⌝∨⇔∃⌝∨∃.()()()()xA x xB x xA x xB x ⇔⌝∀∨∃⇔∀→∃.四、证明题（每题10分）1、求证：(()())()()x y A x B y xA x yA y ∀∀→⇔∃→∀．证明：左(()())()()x y A x B y x A x yB y ⇔∀∀⌝∨⇔∀⌝∨∀()()()()xA x yB y xA x yA y ⇔⌝∃∨∀⇔∃→∀⇔右．2、设个体域{,,}D a b c =，求证：()()(()())xA x xB x x A x B x ∀∨∀⇒∀∨．证明：左(()()())(()()())A a A b A c B a B b B c ⇔∧∧∨∧∧(()(())(()())(()())A a B a A a B b A a B c ⇔∨∧∨∧∨(()(())(()())(()())A b B a A b B b A b B c ∧∨∧∨∧∨(()(())(()())(()())A c B a A c B b A c B c ∧∨∧∨∧∨(()(())(()())(()())A a B a A b B b A c B c ⇒∨∧∨∧∨(()())x A x B x ⇔∀∨⇔右．3、用逻辑推理规则证明：(()(()())),(()()),(),(()())()().x P x Q x R x Q a R a S a x S x G x P a G a ∀→∧⌝∧∀→⇒⌝∧证明：⑴))()(()(x P x Q x xP ∧→∀ P⑵ ))()(()(a P a Q a P ∧→ T ⑴（US ）⑶ ))()((a R a Q ∧⌝ P⑷ )(a P ⌝ T ⑵，⑶（拒取式）⑸(()())x S x G x ∀→ P⑹)()(a G a S → T ⑸（US ）⑺ )(a S P⑻ )(a G P ⑹，⑺（假言推理）⑼ )()(a G a P ∧⌝ T ⑷，⑻（合取式）．4、用逻辑推理规则证明：(()()),(()())(()())x F x G x x R x G x x R x F x ∀→∀→⌝⇒∀→⌝． 证明：⑴(()())x R x G x ∀→⌝P⑵()()R c G c →⌝ T ⑴（US ）⑶(()())x F x G x ∀→ P⑷()()F c G c → T ⑶（US ）⑸()()G c F c ⌝→⌝ T ⑷（逆反律）⑹()()R c F c →⌝ T ⑵，⑸（假言三段论）⑺(()())x R x F x ∀→⌝ T ⑹（UG ）． 5、用逻辑推理规则证明：(()()),(()()),()()x F x G x x G x R x xR x xF x ∀∨∀→⌝∀⇒∀． 证明：⑴()xR x ∀ P⑵()R c T ⑴（US ）⑶(()())x G x R x ∀→⌝ P⑷()()G c R c →⌝ T ⑶（US ）⑸()G c ⌝ T ⑵，⑷（拒取式）⑹(()())x F x G x ∀∨ P⑺()()F c G c ∨ T ⑹（US ）⑻()F c T ⑸，⑺（析取三段论）⑼()xF x ∀ T ⑻（UG ）． 6、用逻辑推理规则证明：(()())(()()),(()())(()())x F x I x y M y N y y M y N y x F x I x ∃∧→∀→∃∧⌝⇒∀→⌝． 证明：⑴(()())y M y N y ∃∧⌝ P⑵(()())y M y N y ∃⌝⌝∨ T ⑴(德.摩根律)⑶(()())y M y N y ∃⌝→ T ⑵(蕴含表达式)⑷(()())y M y W y ⌝∀→ T ⑶(量词否定)⑸(()())(()())x F x I x y M y N y ∃∧→∀→ P⑹(()())x F x I x ⌝∃∧ T ⑷，⑸（拒取式）⑺(()())x F x I x ∀⌝∧ T ⑹(量词否定)⑻(()())x F x I x ∀⌝∨⌝ T ⑺(德.摩根律)⑼(()())x F x I x ∀→⌝ T ⑻(蕴含表达式) ．7、用逻辑推理规则证明：()((()())()),(),()(()())xP x x P x Q x R x xP x xQ x x y P x R y ∃→∀∨→∃∃⇒∃∃∧． 证明：⑴()xP x ∃ P⑵()((()())())xP x x P x Q x R x ∃→∀∨→ P⑶((()())())x P x Q x R x ∀∨→ T ⑴，⑵（假言推理）⑷)(e P T ⑴（ES ）⑸()xQ x ∃ P⑹)(d Q T ⑸（ES ）⑺)())()((d R d Q d P →∨ T ⑶（US ）⑻)()(d P d Q ∨ T ⑹（加法式）⑼)(d R T ⑺，⑻（假言推理）⑽)()(d R e P ∧ T ⑷，⑼（合取式）⑾(()())y P e R y ∃∧ T ⑽（EG ）⑿(()())x y P x R y ∃∃∧ T ⑾（EG ）．8、用逻辑推理规则证明：()(()()()),()()xF x y F y G y R y xF x xR x ∃→∀∨→∃⇒∃． 证明：⑴()xF x ∃P⑵()F c T ⑴（ES ）⑶()(()()())xF x y F y G y R y ∃→∀∨→ P⑷(()()())y F y G y R y ∀∨→ T ⑴，⑶（假言推理）⑸()()()F c G c R c ∨→ T ⑷（US ）⑹()()F c G c ∨ T ⑵（加法式）⑺()R c T ⑸，⑹（假言推理）⑻()xR x ∃ T ⑺（EG ）． 9、用逻辑推理规则证明： (()())()()x P x Q x xP x xQ x ∀→⇒∃→∃.证明：⑴()xP x ∃ P （附加前提）⑵()P a T ⑴（ES ）⑶(()())x P x Q x ∀→ P⑷()()P a Q a → T ⑶（US ）⑸()Q a T ⑵，⑷（假言推理）⑹()xQ x ∃ T ⑸（EG ）⑺()()xP x xQ x ∃→∃ CP ． 10、用逻辑推理规则证明：(()()),(()())()()x F x G x x G x R x xR x x F x ∀→⌝∀∨⇒⌝∀→∃⌝.证明：⑴()xR x ⌝∀P （附加前提） ⑵()x R x ∃⌝T ⑴（量词否定） ⑶()R a ⌝T ⑵（ES ） ⑷(()())x G x R x ∀∨P ⑸()()G a R a ∨T ⑷（US ） ⑹()G aT ⑶，⑸（析取三段论） ⑺(()())x F x G x ∀→⌝P ． ⑻()()F a G a →⌝T ⑺（US ） ⑼()F a ⌝T ⑹，⑻（拒取式） ⑽()x F x ∃⌝ T ⑼（ES ） ⑾()()xR x x F x ⌝∀→∃⌝CP ．11、证明下列命题推得的结论有效：凡15的倍数都是3的倍数，凡15的倍数都是5的倍数，所以有些5的倍数是3的倍数.证明：设个体域为整数集，(,)D x y ： x 是y 的倍数.该推理就是要证明： ))3()15((，，x D x D x →∀，))5()15((，，x D x D x →∀，15((5)(3))xD x x D x D x ∃⇒∃∧（，），，⑴ ），（15x xD ∃ P ⑵ 15D a （，） T ⑴（ES ）⑶ ))3()15((，，x D x D x →∀ P ⑷(15)(3)D a D a →，， T ⑶（US ） ⑸(,3)D a T ⑵，⑷（假言推理）⑹))5()15((，，x D x D x →∀ P ⑺(15)(5)D a D a →，， T ⑹（US ） ⑻(,5)D a T ⑵，⑺（假言推理）⑼(,5)(,3)D a D a ∧ T ⑸，⑻（合取式）⑽))3,()5,((x D x D x ∧∃ T ⑼（EG ）．12、证明下列命题推得的结论有效：教师都上课，有一个人不上课，则该人一定不是教师. 证明：设个体域D ：人类，():S x x 是教师，():E x x 上课.该推理就是要证明： (()())x S x E x ∀→，(())x E x ∃⌝⇒(())x S x ∃⌝.⑴(())x E x ∃⌝ P⑵()E a ⌝ T ⑴（ES ）⑶(()())x S x E x ∀→ P⑷()()S a E a → T ⑶（US ）⑸()S a ⌝ T ⑵，⑷（拒取式）⑹(())x S x ∃⌝ T ⑸（EG ）.13、证明下列命题推得的结论有效：只要今天天气不好，就一定有考生不能提前进入考场，当且仅当所有考生提前进入考场，考试才能准时进行，故若考试准时进行，那么天气就好. 证明：设个体域D ：所有考生,P ：今天天气好,Q ：考试准时进行,()A x ：x 提前进入考场. 该推理就是要证明：()P x A x ⌝→∃⌝,()xA x Q ∀↔Q P ⇒→.⑴()P x A x ⌝→∃⌝ P⑵()P xA x ⌝→⌝∀ T ⑴（量词否定）⑶()xA x P ∀→ T ⑵（逆反律）⑷()xA x Q ∀↔ P⑸(())(())xA x Q Q xA x ∀→∧→∀ T ⑷（等值表达式）⑹()Q xA x →∀ T ⑸（简化式）⑺Q P → T ⑹，⑶（假言三段论）.14、证明下列命题推得的结论有效：舞者皆有风度，学生王华是舞者，则某些学生有风度. 证明：设D ：全总个体域,()P x ：x 是舞者,()Q x ：x 有风度,()S x ：x 是学生, a ：王华. 该推理就是要证明： ))()((x Q x P x →∀，)()(a P a S ∧(()())x S x Q x ⇒∃∧.⑴)()(a P a S ∧P⑵))()((x Q x P x →∀ P⑶)()(a Q a P → T ⑵（US ）⑷ )(a P T ⑴（简化式）⑸ ()Q a T ⑶，⑷（假言推理）⑹ )(a S T ⑴（简化式）⑺)()(a Q a S ∧ T ⑸，⑹（合取式）⑻)()((x Q x S x ∧∃ T ⑺（EG ）． 15、证明下列命题推得的结论有效：所有计算机都是电器，某些计算机是手提电脑，因此，某些手提电脑是电器．证明：设D ：全总个体域，()Q x ：x 是计算机，()R x ：x 是电器，()Z x ：x 是手提电脑． 该推理就是要证明：))()(()),()((x Z x Q x x R x Q x ∧∃→∀⇒ ))()((x Z x R x ∧∃．⑴))()((x Z x Q x ∧∃ P⑵ )()(a Z a Q ∧ T ⑴（ES ）⑶ )(a Q T ⑵（简化式）⑷ ))()((x R x Q x →∀ P⑸ )()(a R a Q → T ⑷（US ）⑹ )(a R T ⑶，⑸（假言推理）⑺ )(a Z T ⑵（简化式）⑻ )()(a Z a R ∧ T ⑹，⑺（合取式）⑼ ))()((x Z x R x ∧∃T ⑻（EG）．。
数学逻辑的谓词演算
数学逻辑的谓词演算当然可以，请看以下试题：选择题：1. 下列哪个选项最能描述数学逻辑的谓词演算？A. 一种用来分析数学问题的几何方法。
B. 一种用来推导数学定理的符号逻辑系统。
C. 一种用来解决数学方程的数值方法。
D. 一种用来测量数学对象的统计工具。
2. 谓词演算的基本要素包括：A. 命题、定义、引理。
B. 命题、变元、量词。
C. 函数、微分、积分。
D. 逻辑、分析、代数。
3. 谓词演算中，量词用来：A. 表示函数和关系。
B. 限定变元的取值范围。
C. 描述数学公理。
D. 解决数学方程。
4. 在谓词演算中，∀表示：A. 存在量词。
B. 全称量词。
C. 唯一量词。
D. 假设量词。
5. 谓词演算中，逻辑连接词∧表示：A. 或。
B. 非。
C. 与。
D. 若。
填空题：6. 谓词演算中，命题变元通常用什么符号表示？（单词）7. 在谓词演算中，命题的真假取决于什么？（一个词）8.谓词演算中，用来限定变元范围的量词包括哪两种？（用逗号分隔）9. ∃符号在谓词演算中表示什么？（一个词）10. 在谓词演算中，逻辑连接词∨表示什么？（一个词）11. 命题演算和谓词演算的主要区别是什么？（简短回答）12. 逻辑蕴含符号→在谓词演算中表示什么？（一个词）13. 在谓词演算中，关系符号用来表示什么？（一个词）14.谓词演算中，用来修饰变元的量词包括哪两种？（用逗号分隔）15. 哪种逻辑连接词表示“如果...则...”？（一个词）这些试题旨在测试学生对数学逻辑的谓词演算的理解程度。
7 逻辑代数下谓词演算 习题答案.doc
1.指出下列谓词公式中的量词及其辖域，指出各自山变元和约束变元，并作适当更改，同时回答它们是否是命题：(1)Vx(P(x)VQ(x))AR(2)Vx(P(x)AQ(x))A3xS(x)-T(x)(3 ) Vx(P(x)-3y(B(x,y) AQ(y))VT(y))(4)P(x)->( Vy3x(P(x) AB(x,y))->P(x))解：(1)全称量词V,辖域P(x)VQ(x),其中x为约束变元，Vx(P(x)VQ(x))AR是命题。
不需要更改变元。
(2)全称量词V,辖域P(x)VQ(x),其中x为约束变元。
存在量词土辖域S(x),其中x为约束变元。
T(x)中x为自山变元。
Vx(P(x) A Q(x)) A mxS(x) 一T(x)不是命题-公式中X既是自由变元又是约束变元，可更改变元为如下公式：Vx(P(x) A Q(x)) A 3yS(y)—>T(z)(3)全称量词V,辖域P(x)一my(B(x,y)/\Q(y))VT(y),其中x为约束变元,存在量词土辖域B(x,y)AQ(y)，其中y为约束变元。
T(y)中y为自山变元。
Vx(P(x)-3y(B(x,y) A Q(y))V T(y))不是命题。
公式中y既是自山变元又是约束变元，可更改变元为如下公式：Vx(P(x)-3y(B(x,y) A Q(y))V T(z))不是命题。
(4)全称量词V,辖域mx(P(x)AB(x,y)),其中y为约束变元。
存在量词土辖域P(x)AB(x,y)，其中x为约束变元。
不在量词辖域中的P(x)(第一个和第二个P(x))中的x为自山变元。
P(x)-(Vy3x(P(x)AB(x,y))-P(x))不是命题。
公式中x既是自由变元又是约束变元，可更改变元为如下公式：P(z)^(Vy3x(P(x)AB(x,y))^P(z))2.对个体域｛0, 1｝判定下列公式的真值,E(x)表示“x是偶数”：(1)Vx(E(x)—x=l)(2)Vx(E(x)An x=l)(3)3x(E(x)Ax=l)(4)mx(E(x)—x=l)再将它们的量词消去，表示成合取或析取命题公式，鉴别你所确定的真值是否正确。
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练习5.11•指出下列谓词公式中的量词及其辖域，指出各自由变元和约束变元，并作适当更改，同时回答它们是否是命题：(1)x(P(x)V Q(x))A R(2)x(P(x)A Q(x))A xS(x) f T(x)(3)x(P(x) f y(B(x,y)A Q(y))V T(y))(4)P(x) ( y x(P(x)A B(x,y)) P(x))解：(1)全称量词，辖域P(x)V Q(x)，其中x为约束变元，x(P(x)V Q(x))A R是命题。
不需要更改变元。
(2)全称量词，辖域P(x)V Q(x),其中x为约束变元。
存在量词，辖域S(x),其中x为约束变元。
T(x)xxx为自由变元。
x(P(x)A Q(x))A xS(x) f T不是命题。
公式中x既是自由变元又是约束变元，可更改变元为如下公式：x(P(x)A Q(x))A yS(y) f T(z)(3)全称量词，辖域P(x) f y(B(x,y)A Q(y))V T(y),其中x为约束变元,存在量词，辖域B(x,y)A Q(y)，其中y为约束变元。
T(y)xxy为自由变元。
x(P(x) f y(B(x,y)A Q(y))V T(y))不是命题。
公式中y既是自由变元又是约束变元，可更改变元为如下公式：x(P(x) -y(B(x,y)A Q(y))V T(z)不是命题。
(4)全称量词，辖域x(P(x)A B(x,y)),其中y为约束变元。
存在量词，辖域P(x)A B(x,y),其中x为约束变元。
不在量词辖域中的P(x)(第一个和第三个P(x))中的x为自由变元。
P(x) y x(P(x)A B(x,y)) - P不是命题。
公式中x既是自由变元又是约束变元，可更改变元为如下公式：P(z) -(y x(P(x)A B(x,y)) - P(z))2. 对个体域｛0,1｝判定下列公式的真值，E(x)表示“是偶数”(1)x(E(x) x=1)(2)x(E(x)A「x=1)(3)x(E(x)A x=1)(4)x(E(x) —x=1)再将它们的量词消去，表示成合取或析取命题公式，鉴别你所确定的真值是否正确。
解：(1)x(E(x) x真)x(E(x) —n可表示成命题公式(E(0) —n 0=1A (E(1) —n 1)1其中E(0) —n 0真，E(1) 1也真，故(E(0) r 0)=1A (E(1)「1)真。
(2)x(E(x)A「x=1假x(E(x)A「x=1可表示成命题公式(E(0)A n0=) A (E(1) A n1=)其中E(0)A n0二真，但E(1)A n仁假，故(E(0)A n0=) A (E(1) A q 1=)假。
(3)x(E(x)A x=1假x(E(x)A x=1)可表示成命题公式(E(0)A 0=1)V (E(1)A 仁1)其中E(0)A 0=1 假，E(1)A 1 = 1 也假，故(E(0)A 0=1)V (E(1)A 仁1)假。
(4)x(E(x) f x二真x(E(x) f x可表示成命题公式(E(0) f 0=^(E(1)f 仁1)其中E(0) f 0二假，但E(1) f仁真，故(E(0) f 0=1^ (E(1) f仁真。
3. 设整数集为个体域，判定下列公式的真值(表示数乘运算)：(1)x y(x y=x)(2)x y (x y=1)(3)x y(x+y=1)(4)y x (x y=x)(5)y x (x+y=1)解：(1)x y(x y=x)真(2)x y (x y=1)假(3)x y(x+y=1 真(4)y x (x y=x)真(5)y x (x+y=1假4•用谓词公式将下列语句形式化:( 1) xx 是xx 的首都。
(2) xx 是数学家，但不是文学家。
(3)不劳动者不得食。
( 4)人无完人。
( 5)发亮的xx 不都是金子。
(6)天下乌鸦一般黑。
( 7)一个数既是偶数又是质数，当且仅当该数为2。
(8)有的猫不捉耗子，会捉耗子的猫便是好猫。
(9)凡成功者都xx,但反之不然。
( 10)有的汽车比有的火车跑得快。
( 11)一个人如果不相信所有其他人,那么他也就不可能得到其他人的信任。
( 12)不是所有的男人都至少比一个女人高,但至少有一个男人比所有的女人高。
解:( 1) xx 是xx 的首都；C(x,y表示“X是y的首都” w表示华盛顿” a表示美国，原句可表示为C(w,a)( 2) xx 是数学家,但不是文学家。
解:M(x)表示“X是数学家” A(x)表示“X是天文学家” g表示高斯”原句可表示为M(g)A n A(g)(3)W(x)表示“是劳动的” F(x)表示“是可以得到食物的”原句可表示为x( n W (x) n F(x))(4)人无完人。
解：M(x)表示“是人” P(x)表示“是完美的”原句可表示为n x(M(x)A P(x)或者x ( M(x)门P(x))(5)L(x)表示“是发亮的” G(x)表示“是金子”原句可表示为n x(L (x) - G(x))(6)天下乌鸦一般黑。
解：W(x)表示“是乌鸦” B(x)表示“是黑的的”原句可表示为x(W (x) - B或者n x (W(x)An B(x))(7)O(x)表示“是奇数” E(x)表示“是偶数”原句可表示为x(O(x)A E(x) x=2)(8)有的猫不捉耗子，会捉耗子的猫便是好猫。
解：C(x)表示“是猫” M(x)表示“是耗子” G(x)表示“是好的” K(x,y)表示“x 会捉y”原句可表示为x(C (x A y(M (y) -n K(x^)))x (C (x A y(M (y)- K(x,y)) - G(x))(9)S(x)表示“是成功” H(x)表示“是努力奋斗的”原句可表示为x(S(x) —H(A)n x(H(x) —S(x))(10)有的汽车比有的火车跑得快。
解：C(x)表示“是汽车” T(x)表示“是火车” F(x,y表示“X匕y快”原句可表示为x(C (x)A y(T (y)A F(x,y)))(11)M(x)表示“是人” B(x,y)表示“相信y”原句可表示为x(M (x)A n y(M(y) A x工A B(x,y)) -7(M(y) A x^y B(y,x)))(12)M(x)表示“是男人” F(x)表示“是女人” H(x,y)表示“比y高”原句可表示为n x(M (x) -y(F(y)A H(x,y)))A x(M (x)A y(F(y) - H(x,y)))5. 量词！表示有且仅有” !xP(x)表示有且仅有一个个体满足谓词P(x)b 试用量词，，，等号“圾谓词P(x)表示!P(x)，即写出一个通常的谓词公式使之与！xP(x具有相同的意义。
解：!xP(x)可用以下具有相同的意义的谓词公式表示x (P(x)A y (P(y) - y=x)6. f(x)为一实函数当且仅当对每一实数x都有且只有一个实数y满足y二f(x) (不得使用量词!b “f(＞为实函数”可译为RF(f))b解：RF(f ) x y(y = f(x)A n z(z #y z= f(x)))练习5.21•设个体域D= d1,,,dn ，试用消去量词的方法证明下列基本逻辑等价式:(1)n xA(x) x n A(x)解：n xA(x)n (A (d1) A A (d2) A , A A (dn))nA( d1) VnA(d2) V , VnA( dn)x n A(x)(2)xA(x)A P x(A(x)A P) (P 为命题常元)解：xA(x)A P(A (d1) A A (d2) A , A A (dn)) A P(A (d1) A P) A (A (d2) A P) A , A (A (dn) A P)x(A(x)A P)(3)xA(x)V x B(x)x(A(x)V B(x)) 解：xA(x)V x B(x)(A (d1) V A (d2) V , V A (dn))V( B (d1) V B (d2) V , V B (dn))(A (d1) V B (d1) )V( A (d2) V B (d2)) V , V (A (dn) V B (dn))x(A(x)V B(x))11 /102•证明下列逻辑蕴涵式及逻辑等价式：(1) x y(P(x) Q(y))x P(x —> 证明：x y(P(x) Q(y))x y( n PMQ(y))x ( n P(x )y Q(y))x n P(^) y Q(y)n x P(x)V y Q(y)x P(x) y Q(y)(2) x y(P(x) Q(y))x P(x —>证明：x y(P(x) - Q(y))x y( n P V )Q(y))x ( n P V x) y Q(y))x n P(V ) y Q(y)n x P(x)V y Q(y)x P(x) t Q(y) y Q(y) y Q(y)。