高中数学《导数的计算》学案1 新人教A版选修

高中数学《导数的计算》学案1 新人教A版选

修

3、2 导数的计算

【成功细节】

张玥谈导数的计算的方法（xx年，北京文9)

已知是的导函数，则的值是＿＿＿＿、本节内容公式和法则比较多，以公式的推导、记忆以及应用为主，重点是基本初等函数导数公式以及导数的四则运算法则的灵活运用，公式的形式多样，容易引起混淆，并且公式中往往会有一些条件容易忽略，导致遗漏错误、所以在学习时，我认为应注意以下几个方面：（1）要牢记常数函数和幂函数的求导公式，能用定义法求这些函数的导数的方法，注意四种常见函数实际上就是四种特殊的幂函数；（2）要熟记基本初等函数的导数公式，特别是对数函数和指数函数的导函数的形式，；（3）熟练掌握导数的四则运算法则，注意公式的形式以及前提条件，两个函数的和与差的导数与两个函数积的导数的形式是不同的；（4）和（或差）、积的函数的导数运算法则可以推广到两个以上函数的和（差）、积的求导；（5）在求函数的导数时，一定要先化简函数的表达式，尽量不使用积的函数的导数的法则；（6）若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导。如，这个题主要考查基本初等

函数的导数公式以及函数和的导数的计算法则，是一个简单的小题，但计算时要细心，可先求出导函数，然后再求导数值，显然有公式可得，，所以、

【高效预习】

（核心栏目）“要养成学生阅读书籍的习惯就非教他们预习不可”。叶圣陶

【关注、思考】

1、阅读课本第8182页，总结四个常用函数的导数公式，认真阅读导数公式的推导过程，这四个常用函数有什么共同的特征，其导数有什么意义？细节提示：利用导数的定义求解四种函数的导数，对照函数图象，把握住导数的物理意义和几何意义；四种常用函数实际上都是幂函数，探讨规律时，应把导函数的系数与幂指数与原函数进行对比、

【领会、感悟】

1、这四种函数实质上都是特殊的幂函数，它们的导函数的系数为幂函数的指数，指数为幂函数的指数减去1所的数值；函数的导数的几何意义是函数图象在该点处的切线的斜率

【领会感悟】

2、基本初等函数的导数公式是我们求解函数导数的基础，要记准确，记牢，才可能在运算过程中不出现错误。例1是导数的简单应用、

【精读细化】

2、认真阅读教材83页,记住基本初等函数的导数公式，注意各公式之间的联系，特别注意对数函数与指数函数的导函数、细节提示:前面四个常见函数的导函数实际上就是公式

1、2所对应公式，对数函数的导函数与指数函数的导函数形式不同，应注意两者之间的区别、

【精读细化】

3、认真阅读教材8485页,识记到数的运算法则，两个函数的和（差）与积的导数的形式一致吗？两函数的商的导数有什么特征？它们成立的前提条件是什么、细节提示:两个函数和（差）与积的导数的形式是不一致的，特别要注意两函数积的导数，两函数上的导数的特征非常明显，注意法则成立的前提是两函数的导数都存在、

【领会感悟】

3、深刻理解和掌握到数的运算法则，在结合给定函数自身的特点，才能有效地进行求导运算；理解和掌握求导法则与公式的结构规律是灵活进行求导的前提。

【学习细节】

（核心栏目）

A、基础知识导数的计算知识点1 几个常用函数的导数

【情景引入】

化学中常用表示不同液体的酸碱性。与液体中氢离子的浓度（单位：mol/L）的关系是。当时，氢离子浓度的瞬时变化率是多

少？由前面所学知识可知，导数的几何意义是曲线在某一点处切线的斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度。根据瞬时变化率的意义，上述问题就是要求函数在处的导数。那么对于函数，如何求它的导数？

【探究】

根据导数的定义，求函数的导数，就是求出当趋近于0时，所趋于的那个定值。求函数的导数的流程图：（1）求函数的改变量；（2）求平均变化率；（3）取极限，得导数＝但是由导数的定义去求太复杂了。所以我们要去寻求一种能够简单求出函数导数的方法。

【思考】

对于几个常见的函数常数函数、一次函数、二次函数以及倒数函数，如何求解它们的导数？

【引导】

显然要根据导数的定义来求、求函数的导数的流程图：（1）求函数的改变量（2）求平均变化率（3）取极限，得导数＝【探究1】

函数的导数因为所以知识拓展常数函数的导数为0，其几何意义为在任意点的切线平行于轴，其斜率为零。若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态。（如图1）

【探究2】

函数的导数因为知识拓展表示函数图象上每一点处的切线斜率都为

1、任意一点处的切线都是函数图象本身、若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体作瞬时速度为1的匀速运动。（如图2）所以

【例题1】

在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，并根据导数定义，求它们的导数。（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？（3）函数增（减）的快慢与什么有关？

【解析】

结合函数图象，从导数的几何意义分析。

【答案】

函数的导数因为所以；同理可求得函数的导数；函数的导数。如图，画出它们的图象，（1）从图象上看，它们的导数分别表示各条直线的斜率；（2）在这三个函数中，增加得最快，增加得最慢；（3）函数增（减）的快慢与有关,当时，越大，增加得就越快；当时，越小，减小的就越慢、

【探究3】

函数的导数因为所以知识拓展表示函数图象上点处切线的斜率为，说明随着的变化，切线的斜率也在变化。另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，标明：当时，随着的增

加，函数减少得越来越慢；当时，随着的增加，函数增加得越来越快。

若函数表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做变速运动，它在时刻的瞬时速度为。（如图3）

【探究4】

函数的导数因为所以知识拓展因为的图象是双曲线，所以图象上点处的切线的斜率随着的变化而变化。当时，随着的不断增加，切线的斜率由负值不断增大，函数的值减少得越来越慢；随着的不断减小，切线的斜率由负值不断减小，函数的值增加得越来越快；当时，与上面情况正好相反、（如图4）

【例题2】

的斜率等于2的切线方程为（）

A、

B、或

C、

D、

【解析】

先求出导函数，然后令导数值等于2便可求得点的横坐标。

【答案】

设切点为，∵∴令，解得∴切点为∴切线方程为，即，故选

C、知识归纳

1、若，则；