全概率公式贝叶斯公式推导过程

全概率公式贝叶斯公式
推导过程
Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
全概率公式、贝叶斯公式推导过程
（1）条件概率公式
设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：
P(A|B)=P(AB)/P(B)
（2）乘法公式
1.由条件概率公式得：
P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)
上式即为乘法公式；
2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥
（1）条件概率公式
设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：
P(A|B)=P(AB)/P(B)
（2）乘法公式
1.由条件概率公式得：
P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)
上式即为乘法公式；
2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥2，当P(A
1A
2
...A
n-1
) > 0 时，
有：
P(A
1A
2
...A
n-1
A
n
)=P(A
1
)P(A
2
|A
1
)P(A
3
|A
1
A
2
)...P(A
n
|A
1
A
2
...A
n-1
)
（3）全概率公式
1. 如果事件组B
1，B
2
，.... 满足
，B
2....两两互斥，即 B
i
∩ B
j
= ，i≠j ， i,j=1，2，....，且
P(B
i
)>0,i=1,2,....;
∪B
2∪....=Ω，则称事件组 B
1
,B
2
,...是样本空间Ω的一个划分
设B
1,B
2
,...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：
上式即为全概率公式（formula of total probability)
2.全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(B
i ),P(A|B
i
)
(i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。

思想就是，
将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A 的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样
本空间Ω的一个个划分B
1,B
2
,...B
n
,这样事件A就被事件AB
1
,AB
2
,...AB
n
分解
成了n部分，即A=AB
1+AB
2
+...+AB
n
, 每一B
i
发生都可能导致A发生相应的概率
是P(A|B
i
)，由加法公式得
P(A)=P(AB
1)+P(AB
2
)+....+P(AB
n
)
=P(A|B
1)P(B
1
)+P(A|B
2
)P(B
2
)+...+P(A|B
n
)P(PB
n
)
3.实例：某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分别为5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。

解：设..... P(A)=25%*5%+4%*35%+2%*40%=
（4）贝叶斯公式
1.与全概率公式解决的问题相反，贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因（即大事件A已经发生的条件下，分割中的小事件Bi的概
率），设B
1,B
2
,...是样本空间Ω的一个划分，则对任一事件A（P(A)>0),有
上式即为贝叶斯公式（Bayes formula)，B
i
常被视为导致试验结果A发生
的”原因“，P(B
i
)(i=1,2,...)表示各种原因发生的可能性大小，故称先验概
率；P(B
i
|A)(i=1,2...)则反映当试验产生了结果A之后，再对各种原因概率的新认识，故称后验概率
2，当P(A1A2...An-1) > 0 时，有：
P(A1A2...An-
1An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(An|A1A2...An-1)
（3）全概率公式
1. 如果事件组B1，B2，.... 满足
，B2....两两互斥，即 Bi ∩ Bj = ，i≠j ， i,j=1，2，....，且P(Bi)>0,i=1,2,....;
∪B2∪....=Ω，则称事件组 B1,B2,...是样本空间Ω的一个
划分
设 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：
上式即为全概率公式（formula of total probability)
2.全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(Bi),P(A|Bi) (i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。

思想就是，
将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A
的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样
本空间Ω的一个个划分B1,B2,...Bn,这样事件A就被事件AB1,AB2,...ABn分
解成了n部分，即A=AB1+AB2+...+ABn, 每一Bi发生都可能导致A发生相应的
概率是P(A|Bi)，由加法公式得
P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(ABn)
=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(PBn)
3.实例：某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分
别为5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%，将它们的产
品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。

解：设..... P(A)=25%*5%+4%*35%+2%*40%=
（4）贝叶斯公式
1.与全概率公式解决的问题相反，贝叶斯公式是建立在条件概率的基础
上寻找事件发生的原因（即大事件A已经发生的条件下，分割中的小事件Bi的
概率），设B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，则对任一事件A（P(A)>0),有
上式即为贝叶斯公式（Bayes formula)，Bi 常被视为导致试验结果
A发生的”原因“，P(Bi)(i=1,2,...)表示各种原因发生的可能性大小，故称
先验概率；P(Bi|A)(i=1,2...)则反映当试验产生了结果A之后，再对各种原因
概率的新认识，故称后验概率。