第八章相量法
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【第8章】 相量法
实轴 +1
复数在复平面上可 以用向量表示。
0
a1
2. 复数的四种表示形式
⑴ 表达式 ① 代数形式 A= a1+ ja2 +j a2 A
② 极坐标形式
③ 三角函数式 ④ 指数形式
0 模 幅角 A a cos j + j a sin j
A aj
a φ
a1 +1
A ae jj
（由欧拉公式e jφ = cos φ + jsin φ得到） ⑵ 四种表达式关系
I e jy i I y I m m m i
复振幅与正弦量的一一对应关系： 复振幅的模是正弦量的最大值 复振幅的幅角为正弦量的初相位
jy i I Ie Iy i 复有效值
复有效值与正弦量的一一对应关系： 复有效值的模是正弦量的有效值 复有效值的幅角为正弦量的初相位
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
φ =0，同相； i i1
0 i2
φ = (180o) ，反相； i i1 i2
wt
0 i i1
wt
φ = /2，正交；
i2
wt 因为规定了： |φ| (180°)。 0 所以，我们说i1 领先 i2 /2, 而不说i2落后i1 3 /2
注：我们此处比较的是两个电流的相位差，那么，我们是 否可以比较一个电压和一个电流的相位差？在今后的分析 中可以利用电压和电流的相位差来判断电路的性质。
线圈从中性面开始转过了ωt 时，导线切割磁 力线的速度是ωr SIN ωt
可见：交流电是电流的大小和方向都随时间做周期 性变化的电流。
交流电有许多优点: •交流电可以用变压器升高或降低电压， •交流电可以驱动结构简单，运行可靠的交流 感应电动机，交流电是廉价的动力或能量来源。
复数在复平面上可 以用向量表示。
0
a1
2. 复数的四种表示形式
⑴ 表达式 ① 代数形式 A= a1+ ja2 +j a2 A
② 极坐标形式
③ 三角函数式 ④ 指数形式
0 模 幅角 A a cos j + j a sin j
A aj
a φ
a1 +1
A ae jj
（由欧拉公式e jφ = cos φ + jsin φ得到） ⑵ 四种表达式关系
I e jy i I y I m m m i
复振幅与正弦量的一一对应关系： 复振幅的模是正弦量的最大值 复振幅的幅角为正弦量的初相位
jy i I Ie Iy i 复有效值
复有效值与正弦量的一一对应关系： 复有效值的模是正弦量的有效值 复有效值的幅角为正弦量的初相位
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
φ =0，同相； i i1
0 i2
φ = (180o) ，反相； i i1 i2
wt
0 i i1
wt
φ = /2，正交；
i2
wt 因为规定了： |φ| (180°)。 0 所以，我们说i1 领先 i2 /2, 而不说i2落后i1 3 /2
注：我们此处比较的是两个电流的相位差，那么，我们是 否可以比较一个电压和一个电流的相位差？在今后的分析 中可以利用电压和电流的相位差来判断电路的性质。
线圈从中性面开始转过了ωt 时，导线切割磁 力线的速度是ωr SIN ωt
可见：交流电是电流的大小和方向都随时间做周期 性变化的电流。
交流电有许多优点: •交流电可以用变压器升高或降低电压， •交流电可以驱动结构简单，运行可靠的交流 感应电动机，交流电是廉价的动力或能量来源。
第08章 相量法
而
i Re[ 2 I e jt ]
j t
] Re[ 2 I 2 e
j t
]
有 Re[ 2 I e
Re[ 2 ( I1 I 2 )e jt ] ]
上式对于任何时刻 t 都成立，故有
I I1 I 2
I
2
, e
j
2
cos
2
j sin
2
j
I
0
jI
Re
, e 2
j 2
cos( ) j sin( ) j 2 2
, e
j
cos( ) j sin( ) 1
故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
F1 F2
F1
F1 F2
F2
+1
O
F2
3、乘法 用指数形式比较方便 设 F | F |
1 1
1
F2 | F2 | 2
F1 F2 F1 1 F2 2
F1 F2 / 1 2
4、除法
F1 F2
| F1 | 1
| F2 | 2
F1 F2
b
+j F
O a
+1
2、三角形式
+j
F F (cos j sin )
F
b
O a
模
+1
F
a b
2
2
辐角
b arctan a
3、指数形式
i Re[ 2 I e jt ]
j t
] Re[ 2 I 2 e
j t
]
有 Re[ 2 I e
Re[ 2 ( I1 I 2 )e jt ] ]
上式对于任何时刻 t 都成立，故有
I I1 I 2
I
2
, e
j
2
cos
2
j sin
2
j
I
0
jI
Re
, e 2
j 2
cos( ) j sin( ) j 2 2
, e
j
cos( ) j sin( ) 1
故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
F1 F2
F1
F1 F2
F2
+1
O
F2
3、乘法 用指数形式比较方便 设 F | F |
1 1
1
F2 | F2 | 2
F1 F2 F1 1 F2 2
F1 F2 / 1 2
4、除法
F1 F2
| F1 | 1
| F2 | 2
F1 F2
b
+j F
O a
+1
2、三角形式
+j
F F (cos j sin )
F
b
O a
模
+1
F
a b
2
2
辐角
b arctan a
3、指数形式
第八章 相量法
2
t φ
2、 φ<0；即ψ1<ψ2，则u1滞后 2φ角。 、 滞后u 角 ； ψ u u =u +u u2 φ 3、 φ=0； 3、 φ=0；即ψ1=ψ2， ψ 同相。 则u1与u2同相。 u u1 u2 t Um= Um1+Um2 u1 t =Um1cos(ωt+ψ1)+ Um2cos(ωt+ψ2) ψ ψ =Umcos(ωt+ψ) ψ Um× m1+Um2 =U ψ ≠ ψ1+ ψ2 4、 φ=±π；即ψ1=ψ2 ±π ， 、 ± ； ψ 反相。 则u1与u2反相。 u u u1
例 1： I R 4V
–j 1 jωL ωC
10V 7V U=？ ？ 方法一： 方法一：相量图法 UL 10V 3V 7V UC U 4V UR I U=5V
解：串联电路电流 相同，而R、L、C上电 相同， 、 、 上电 压的相位不同。所以， 压的相位不同。所以， 不能直接用有效值相加。 不能直接用有效值相加。 方法二： 方法二：相量法 设： I =I 0º 则：UR = 4 0º V UC= 7 –90º V
相量形式电路图 I U 相量图
相量关系既反映了u、 相量关系既反映了 、i 的有效 值关系又反映了相位的关系。 值关系又反映了相位的关系。
若： = 2 Icos(ωt+ψi ) i i L di i u=L dt = – 2 IωLsin(ωt+ψi ) 则： t u = 2 IωLsin(ωt+ψi +90º) 比较u 的表达式 的表达式： 比较 、i的表达式： = 2 Ucos(ωt+ψu ) ψ ①u、i 同频率 、 ② ψu= ψi +90º 电感上电压相位超前电流相位 。 电感上电压相位超前电流相位90º。 U 感抗 = ωL =XL 有效值关系： ③有效值关系： U=IωL I 直流： 直流：ω=0, XL=0, 电路短路 感抗与ω成正比 成正比,ω↑ 感抗与 成正比 ↑,XL↑ 高频交流： →∞,电路断路 高频交流： XL→∞ 电路断路 相量关系： ④相量关系： I jωL U U =jωL=jX I 相量图 U L I 相量形式电路图
t φ
2、 φ<0；即ψ1<ψ2，则u1滞后 2φ角。 、 滞后u 角 ； ψ u u =u +u u2 φ 3、 φ=0； 3、 φ=0；即ψ1=ψ2， ψ 同相。 则u1与u2同相。 u u1 u2 t Um= Um1+Um2 u1 t =Um1cos(ωt+ψ1)+ Um2cos(ωt+ψ2) ψ ψ =Umcos(ωt+ψ) ψ Um× m1+Um2 =U ψ ≠ ψ1+ ψ2 4、 φ=±π；即ψ1=ψ2 ±π ， 、 ± ； ψ 反相。 则u1与u2反相。 u u u1
例 1： I R 4V
–j 1 jωL ωC
10V 7V U=？ ？ 方法一： 方法一：相量图法 UL 10V 3V 7V UC U 4V UR I U=5V
解：串联电路电流 相同，而R、L、C上电 相同， 、 、 上电 压的相位不同。所以， 压的相位不同。所以， 不能直接用有效值相加。 不能直接用有效值相加。 方法二： 方法二：相量法 设： I =I 0º 则：UR = 4 0º V UC= 7 –90º V
相量形式电路图 I U 相量图
相量关系既反映了u、 相量关系既反映了 、i 的有效 值关系又反映了相位的关系。 值关系又反映了相位的关系。
若： = 2 Icos(ωt+ψi ) i i L di i u=L dt = – 2 IωLsin(ωt+ψi ) 则： t u = 2 IωLsin(ωt+ψi +90º) 比较u 的表达式 的表达式： 比较 、i的表达式： = 2 Ucos(ωt+ψu ) ψ ①u、i 同频率 、 ② ψu= ψi +90º 电感上电压相位超前电流相位 。 电感上电压相位超前电流相位90º。 U 感抗 = ωL =XL 有效值关系： ③有效值关系： U=IωL I 直流： 直流：ω=0, XL=0, 电路短路 感抗与ω成正比 成正比,ω↑ 感抗与 成正比 ↑,XL↑ 高频交流： →∞,电路断路 高频交流： XL→∞ 电路断路 相量关系： ④相量关系： I jωL U U =jωL=jX I 相量图 U L I 相量形式电路图
第八章 相量法(Phasor method
k =1
由相量的线性特性，有
& Re[ 2e jω t ∑ I k ] = 0
k =1
28
& Re[ 2e jω t ∑ I k ] = 0
k =1
n
上式成立的条件为
∑ I&
k =1
n
k
=0
——KCL的相量形式
表明：在正弦稳态电路中，流入（或流出）结点的各支 路电流相量的代数和为零。 同理可得KVL的相量形式：
对应的相量为 5∠−60° 2)
− 8 2 cos(ω t − 45°) = 8 2 cos(ω t − 45° + 180°) = 8 2 cos(ω t + 135°)
对应的相量为 8∠135°
18
3)
− 6 2 sin(ω t − 60°) = 6 2 sin(ω t − 60° + 180 °) = 6 2 sin(ω t + 120 °) = 6 2 cos(ω t + 120 ° − 90°) = 6 2 cos(ω t + 30°)
10
3）复数的三角形式 由图可见 a1= |A| cosθ a2= |A|sinθ A= |A|（cos θ +jsin θ ） 4）复数的指数形式 根据欧拉公式 e jθ
a2
Im |A|
θ
o a1 Re
= cos θ + j sin θ jθ A = Ae 复数的三角形式变为指数形式，即
A = A ∠θ
i1 = 100 i 2 = 10
2 cos( 6280 t − 60 o ) A 2 cos( 6280 t + 30 o ) A
s
20
由相量的线性特性，有
& Re[ 2e jω t ∑ I k ] = 0
k =1
28
& Re[ 2e jω t ∑ I k ] = 0
k =1
n
上式成立的条件为
∑ I&
k =1
n
k
=0
——KCL的相量形式
表明：在正弦稳态电路中，流入（或流出）结点的各支 路电流相量的代数和为零。 同理可得KVL的相量形式：
对应的相量为 5∠−60° 2)
− 8 2 cos(ω t − 45°) = 8 2 cos(ω t − 45° + 180°) = 8 2 cos(ω t + 135°)
对应的相量为 8∠135°
18
3)
− 6 2 sin(ω t − 60°) = 6 2 sin(ω t − 60° + 180 °) = 6 2 sin(ω t + 120 °) = 6 2 cos(ω t + 120 ° − 90°) = 6 2 cos(ω t + 30°)
10
3）复数的三角形式 由图可见 a1= |A| cosθ a2= |A|sinθ A= |A|（cos θ +jsin θ ） 4）复数的指数形式 根据欧拉公式 e jθ
a2
Im |A|
θ
o a1 Re
= cos θ + j sin θ jθ A = Ae 复数的三角形式变为指数形式，即
A = A ∠θ
i1 = 100 i 2 = 10
2 cos( 6280 t − 60 o ) A 2 cos( 6280 t + 30 o ) A
s
20
第八章 相量法
w 2 f 2 T
单位： rad/s ，弧度 / 秒 i Im O T 2
(3) 初相位(initial phase angle) i 反映正弦量的计时起点。
/w i
twt
同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。
i
一般规定：| | 。
O
t
=0 =－/2
二. 相位差 ：
T
0
1 cos 2(w t i ) 1 dt t 2 2
T 0
1 T 2
1 2 T Im I Im 0.707 I m T 2 2
i(t ) I m cos(w t i ) 2I cos(w t i )
Im 2I
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
u( t ) u1 ( t ) u2 ( t ) Re( 2 U 1 e Re( 2 U 1 e
可得其相量关系为：
jwt
) Re( 2 U 2 e jwt )
jwt
2U2 e
jwt
) Re( 2 (U 1 U 2 )e jwt )
U U1 U 2
相量的模表示正弦量的有效值
相量的幅角表示正弦量的初相位
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
u( t ) 2U cos(w t θ ) U Uθ
例1 已知
i 141.4 cos(314t 30o )A u 311.1cos(314t 60o )V
试用相量表示i, u .
e cos j sin
指数形式
F=|F|（cos + jsin ）
第8章 相量法_电气09级
*注意区分电压、电流的瞬时值、 注意区分电压、电流的瞬时值、 注意区分电压 最大值、有效值的符号。 最大值、有效值的符号。 宁波工程学院
i , Im , I
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第8章 相量法 章
正弦电流、 正弦电流、电压的有效值 ———— 同理，正弦电压有效值： 同理，正弦电压有效值： 1 T 2 I = √ —∫ 0 i dt 1 T U= Um 2 i = Imcos( ωt + ϕ ) 或 Um = 2U —————————— Im
+j b
F
F=a+jb
F
θ
称为复数 的模 +1
0
a
——— F = √ a2 + b2
a = Fcos θ b = Fsin θ
宁波工程学院
θ = arg F = arctan ( b/a )
称为复数 的辐角
8-5
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第8章 相量法 章
3 指数形式和极坐标形式
指数形式 欧拉公式
F = F(cosθ + jsinθ ) = Fe jθ e jθ = cosθ + jsinθ F = F/θ
正弦交流电变化的快慢； 正弦交流电变化的快慢； ϕu、ϕi 为正弦交流电的初相位。 为正弦交流电的初相位。
相位角
u = Umcos ( ωt + ϕu ) or u = Umsin( ωt + ϕu ) 瞬时值： 瞬时值：
宁波工程学院 简称相角或相（ u = U m cos(ω t + ϕ u ) 简称相角或相 phase） 单位：弧度或度 单位： i = I m cos(ω t + ϕ i )
i , Im , I
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第8章 相量法 章
正弦电流、 正弦电流、电压的有效值 ———— 同理，正弦电压有效值： 同理，正弦电压有效值： 1 T 2 I = √ —∫ 0 i dt 1 T U= Um 2 i = Imcos( ωt + ϕ ) 或 Um = 2U —————————— Im
+j b
F
F=a+jb
F
θ
称为复数 的模 +1
0
a
——— F = √ a2 + b2
a = Fcos θ b = Fsin θ
宁波工程学院
θ = arg F = arctan ( b/a )
称为复数 的辐角
8-5
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第8章 相量法 章
3 指数形式和极坐标形式
指数形式 欧拉公式
F = F(cosθ + jsinθ ) = Fe jθ e jθ = cosθ + jsinθ F = F/θ
正弦交流电变化的快慢； 正弦交流电变化的快慢； ϕu、ϕi 为正弦交流电的初相位。 为正弦交流电的初相位。
相位角
u = Umcos ( ωt + ϕu ) or u = Umsin( ωt + ϕu ) 瞬时值： 瞬时值：
宁波工程学院 简称相角或相（ u = U m cos(ω t + ϕ u ) 简称相角或相 phase） 单位：弧度或度 单位： i = I m cos(ω t + ϕ i )
第8章相量法
o o
式 原 = (3.41+ j3.657) + (9.063 − j4.226) o =12.47 − j0.569 =12.48∠− 2.61
o
(17 + j9) (4 + j6) 220 ∠ + 35 =? 例2 20+ 20 + j5 19.24∠27.9o ×7.211∠ .3o 56 解 原 =180.2 + j .2 + 126 式 20.62∠ .04o 14 =180.2 + j .2 + 6.728∠ .16o 126 70
ωt
ϕ1
i2 = I m2 cos(ω t + ϕ
i1 = I m1 cos(ω t − ϕ 1 )
2
)
称
i2
超前
ϕ = (ω t +ϕ 2 ) − (ω t −ϕ 1 ) = ϕ 2+ϕ1
i1
第8章相量法 特殊相位关系： 特殊相位关系：
ϕ =±π (±180o ) ，反相： 反相： ±π ±
u, i u iω t
正弦波 特征量之二 -- 幅度
第8章相量法
最大值
电量名称必须大 写,下标加 m。
i = I m cos (ω t + ϕ )
I m 为正弦电流的最大值
如：Um、Im
在工程应用中常用有效值表示幅度。 在工程应用中常用有效值表示幅度。常用交流电 有效值表示幅度 表指示的电压、电流读数， 表指示的电压、电流读数，就是被测物理量的有效 也是指供电电压的有效值。 值。标准电压220V，也是指供电电压的有效值。 标准电压
第8章相量法
第8章 相量法
§8.1 复数 §8.2 正弦量的基本概念 §8.3 正弦量的相量表示 §8.4 电路定理的相量形式
式 原 = (3.41+ j3.657) + (9.063 − j4.226) o =12.47 − j0.569 =12.48∠− 2.61
o
(17 + j9) (4 + j6) 220 ∠ + 35 =? 例2 20+ 20 + j5 19.24∠27.9o ×7.211∠ .3o 56 解 原 =180.2 + j .2 + 126 式 20.62∠ .04o 14 =180.2 + j .2 + 6.728∠ .16o 126 70
ωt
ϕ1
i2 = I m2 cos(ω t + ϕ
i1 = I m1 cos(ω t − ϕ 1 )
2
)
称
i2
超前
ϕ = (ω t +ϕ 2 ) − (ω t −ϕ 1 ) = ϕ 2+ϕ1
i1
第8章相量法 特殊相位关系： 特殊相位关系：
ϕ =±π (±180o ) ，反相： 反相： ±π ±
u, i u iω t
正弦波 特征量之二 -- 幅度
第8章相量法
最大值
电量名称必须大 写,下标加 m。
i = I m cos (ω t + ϕ )
I m 为正弦电流的最大值
如：Um、Im
在工程应用中常用有效值表示幅度。 在工程应用中常用有效值表示幅度。常用交流电 有效值表示幅度 表指示的电压、电流读数， 表指示的电压、电流读数，就是被测物理量的有效 也是指供电电压的有效值。 值。标准电压220V，也是指供电电压的有效值。 标准电压
第8章相量法
第8章 相量法
§8.1 复数 §8.2 正弦量的基本概念 §8.3 正弦量的相量表示 §8.4 电路定理的相量形式
第08章 相量法
α= π
2 , e
j
复
数
Im
ɺ + jI
π
2 =+j
ɺ I
π
2
= cos
j−
π
2
+ j sin
0
Re
ɺ − jI
α =−
π
2
π
2
, e
= cos(− ) + j sin(− ) = − j 2 2
π
π
ɺ −I
2>、反向因子-1 、反向因子
α = ±π , e j ±π = cos(±π ) + j sin(±π ) = −1
def
T
0
有效值也称均方根值 有效值也称均方根值(root-meen-square，简 也称均方根值 ， 记为 rms。) 。
8. 1 正弦量的基本概念
电流有效值的物理意义： 电流有效值的物理意义： 周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期 内吸收的 ，在一周期T 电能，等于一直流电流I 流过R 在时间T 电能，等于一直流电流 流过 , 在时间 内吸收的电 的有效值。 能，则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值。 i(t) 如图： 如图： T 2
m
8. 2
一、复数A表示形式 复数 表示形式
复
数
Im b A
在平面上， 在平面上，由O指向Ａ的有向 指向 线段（向量）， ），表示复数 线段（向量），表示复数Ａ。 1、直角坐标表示 、 代数形式： 代数形式：
O Im b
a A |A|
Re
Ａ=a+jb
Re[Ａ]=a Im[Ａ]=b
1 j = =−j j j⋅ j
8. 1 正弦量的基本概念
2 , e
j
复
数
Im
ɺ + jI
π
2 =+j
ɺ I
π
2
= cos
j−
π
2
+ j sin
0
Re
ɺ − jI
α =−
π
2
π
2
, e
= cos(− ) + j sin(− ) = − j 2 2
π
π
ɺ −I
2>、反向因子-1 、反向因子
α = ±π , e j ±π = cos(±π ) + j sin(±π ) = −1
def
T
0
有效值也称均方根值 有效值也称均方根值(root-meen-square，简 也称均方根值 ， 记为 rms。) 。
8. 1 正弦量的基本概念
电流有效值的物理意义： 电流有效值的物理意义： 周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期 内吸收的 ，在一周期T 电能，等于一直流电流I 流过R 在时间T 电能，等于一直流电流 流过 , 在时间 内吸收的电 的有效值。 能，则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值。 i(t) 如图： 如图： T 2
m
8. 2
一、复数A表示形式 复数 表示形式
复
数
Im b A
在平面上， 在平面上，由O指向Ａ的有向 指向 线段（向量）， ），表示复数 线段（向量），表示复数Ａ。 1、直角坐标表示 、 代数形式： 代数形式：
O Im b
a A |A|
Re
Ａ=a+jb
Re[Ａ]=a Im[Ａ]=b
1 j = =−j j j⋅ j
8. 1 正弦量的基本概念
电路原理课件 第8章 相量法
三. 相位差 ：
两个同频率正弦量相位角之差。
i(t) 0
Im um
设 u(t)=Umcos(w t+ u)
2
i(t)=Imcos(w t+ i)
0
wt
则 相位差j : j = (w t+ u)- (w t+ i)
u- i
同频率正弦量的相位差等于它们的初相之差。 不同频率的两个正弦量之间的相位差不再是一个常数，而是 随时间变动。
j u与i正交; j u与i反相;
2
§8 - 3相量法的基础
1. 正弦量的相量表示
复函数 F F ej(wt)
没有物理意义
F cos(wt ) j F sin(wt Ψ )
若对F取实部：
Re[F] F cos(ωt Ψ ) 是一个正弦量，有物理意义。
对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应的 复指数函数：
F e j
4、极坐标形式：
F F ej
=|F|
二 复数运算
(1)加减运算——代数形式
+j F2
若 F1=a1+jb1
F2=a2+jb2 O
则 F1±F2= (a1±a2) +j (b1±b2)
F= F1 +F1
F1 +1
+j
O - F2
F2 F1
F= F1 - F2 +1
(2) 乘除运算——指数形式或极坐标形式
⑶∫i2dt。
解： ⑴设 i i1 i2 2I cos(wt i ), 其相量为 I=I/Ψi
I I1 I2 10/600A+22/-1500A=（5+j8.66）A+（-19.05-j11）A
第八章相量法
i i
i
i
i
如 i 26 2 cos(t 60) A 26e j 60 A 2660 A I 对应的有效值相量为：
Im 26 2e j 60 A 26 260 A 其最大值相量为：
U 同理若有： 220e j 30V 则有; u 220 2 cos(t 30)V 2.相量图 相量是一个复数，它在复平面上的图形称为相量图。 若用旋转相量表示为，2Ie j e jt 其中复常数 2Ie j 2I i 称为旋转相量的复振幅， e jt 是一个随时间变化而以角速度不断逆时针旋转 的因子，两者的乘积即表示复振幅在复平面上不断 逆时针旋转，故称之为旋转相量，这就是复指数 函数的几何意义。
dt 2
③正弦量的积分
i 2I cos(t i ) 则 idt Re [ 2 Ie jt ]dt Re [ 2 Ie jt dt ] 如
jt I I Re [ 2 ( )e ] 2 cos(t i ) j 2
即正弦量的积分为同频率正弦量，其相量等于原 j 相量 I 除以 . I I 表示为： ( i ) idt
F F1 F2 F1 F2 [cos( 1 2 ) j sin(1 2 )]
F1 a1 jb1 (a1 jb1 )(a2 jb2 ) a1a2 b1b2 a2 b1 a1b2 j 2 2 2 2 F2 a2 jb2 (a2 jb2 )(a2 jb2 ) a2 b2 a2 b2
1
i1 I1m cos(t i 1 ) A 和 i2 I 2 m cos(t i 2 ) A 则 i1 与 i 2 如 的相位差 12 (t i1 ) (t i 2 ) i1 i 2 （初相之差）
i
i
i
如 i 26 2 cos(t 60) A 26e j 60 A 2660 A I 对应的有效值相量为：
Im 26 2e j 60 A 26 260 A 其最大值相量为：
U 同理若有： 220e j 30V 则有; u 220 2 cos(t 30)V 2.相量图 相量是一个复数，它在复平面上的图形称为相量图。 若用旋转相量表示为，2Ie j e jt 其中复常数 2Ie j 2I i 称为旋转相量的复振幅， e jt 是一个随时间变化而以角速度不断逆时针旋转 的因子，两者的乘积即表示复振幅在复平面上不断 逆时针旋转，故称之为旋转相量，这就是复指数 函数的几何意义。
dt 2
③正弦量的积分
i 2I cos(t i ) 则 idt Re [ 2 Ie jt ]dt Re [ 2 Ie jt dt ] 如
jt I I Re [ 2 ( )e ] 2 cos(t i ) j 2
即正弦量的积分为同频率正弦量，其相量等于原 j 相量 I 除以 . I I 表示为： ( i ) idt
F F1 F2 F1 F2 [cos( 1 2 ) j sin(1 2 )]
F1 a1 jb1 (a1 jb1 )(a2 jb2 ) a1a2 b1b2 a2 b1 a1b2 j 2 2 2 2 F2 a2 jb2 (a2 jb2 )(a2 jb2 ) a2 b2 a2 b2
1
i1 I1m cos(t i 1 ) A 和 i2 I 2 m cos(t i 2 ) A 则 i1 与 i 2 如 的相位差 12 (t i1 ) (t i 2 ) i1 i 2 （初相之差）
第八章-相量法
θ
arctan
b a
或
o
aห้องสมุดไป่ตู้
a | F | cos
b| F | sin
Re
2. 复数运算
①加减运算 —— 采用代数式
返回 上页 下页
若 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2 则 F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2)
Im F2
F1+F2
Im
F1+F2
F2
o 图解法
F1 Re o
i2(t)3co1s0(π0 t300)
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4. 周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为 了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。
周期电流、电压有效值定义
物 直流I R 理 意
义 WR2IT
交流 i R
W0TRi2(t)dt
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均方根值
F (t)2 Ijy e e jw t2 I e jw t
F(t) 包含了三要素：I、 、w， 正弦量对 复常数包含了两个要素：I , 。 应的相量
i(t)2Icowts(Ψ) II Ψ
相量的模表示正弦量的有效值
注意
相量的幅角表示正弦量的初相位
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同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
周期T 和频率f
t
f1 T
周期T ：重复变化一次所需的时间。单位：秒s 频率f ：每秒重复变化的次数。单位：赫(兹)Hz
返回 上页 下页
正弦电流电路 激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路
（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。
研究正弦电路的意义 1.正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域 占有十分重要的地位。
第八章 相量法
第八章相量法§8.1 复数§8.2 正弦量§8.3 相量法的基础§8.4 电路定律的相量形式一、复数的四种表示形式代数形式A = a +j b三角形式：指数表示形式：极坐标形式：二、复数的运算1、加减运算——采用代数形式比较方便若则即复数的加、减运算满足实部和实部相加减，虚部和虚部相加减。
二、复数的运算2、乘除运算——采用指数形式或极坐标形式比较方便。
若则即复数的乘法运算满足模相乘，辐角相加。
除法运算满足模相除，辐角相减2121)(21221121212121θθθθθθθθ-∠==∠∠==-A A e A A A A e A e A A A j j j二、复数的运算3、旋转因子把e jθ称为旋转因子。
当当故+j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
三、复数运算定理定理1式中K 为实常数 定理2定理3若则§8.2 正弦量 一、正弦量（1）I m ——幅值(振幅、最大值)：反映正弦量变化过程中所能达到的最大幅度。
（2）ω——角频率：为相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。
它与周期和频率的关系为：（3）Ψ ——初相角：反映正弦量的计时起点，常用角度表示。
§8.2 正弦量二、正弦量的三要素srad T f ππϖ22==§8.2 正弦量三、相位差相位差是用来描述电路中两个同频正弦量之间相位关系的量。
设则相位差为：通常相位差取主值范围，即：|φ|≤π§8.2 正弦量φ＞0 ，称u 超前i，或i 滞u ，表明u 比i 先达到最大值；如图（a）所示。
φ＜0 ，称i 超前u ，或u 滞后i , 表明i 比u 先达到最大值。
φ= ±π ，称i 与u 反相，如图（b）所示；φ=0 ，称i 与u 同相，如图（c）所示。
(a) (b) (c)§8.2 正弦量四、正弦电流、电压的有效值令：这个直流量I 称为周期量的有效值。
第八章 相量法
I
单位 : 欧
相量图
3. 电容中的正弦电流
相量法： 从求正弦量的幅值和初相角入手，通过 引 入相量，建立相量电路模型，直接应用直流分 析方法，把在时域范围内求微分方程的问题转化 为在频域范围内求复数代数方程的问题，从而使 正弦电路的稳态解法大为简化。
(1)正弦量的相量表示法
u ( t ) U m cos( t ) Re[ U m e Re[( U m e
Im
U2 U1
U
Im
U1
U
U2
60
41 . 9
60
41 . 9
30
30
Re
Re
(2)一个正弦量乘以一个常数的运算相当于对应相量乘以常数
Au 1 ( t ) A 2 U 1 cos( t y ) Re( 2 A U 1 e 1
j t
)
(3)一个正弦量对时间求导的运算，就变成了对应相量乘以 j 的运算 di j I i I
A
C
+1
O 复数的乘法
复数的除法
C A B A B ( a b )
C
A B
A B
( a b )
e
j
1
3. 旋转因子：
任何一个复数乘以一个旋转因子，就旋转一个角. j F 例 F=F1e j 特殊： F1
j
e e
2 j
j
2
yu yi
t
(3) = 0， u与i 同相：
(4) = ( 180o ) ， u与i 反相：
单位 : 欧
相量图
3. 电容中的正弦电流
相量法： 从求正弦量的幅值和初相角入手，通过 引 入相量，建立相量电路模型，直接应用直流分 析方法，把在时域范围内求微分方程的问题转化 为在频域范围内求复数代数方程的问题，从而使 正弦电路的稳态解法大为简化。
(1)正弦量的相量表示法
u ( t ) U m cos( t ) Re[ U m e Re[( U m e
Im
U2 U1
U
Im
U1
U
U2
60
41 . 9
60
41 . 9
30
30
Re
Re
(2)一个正弦量乘以一个常数的运算相当于对应相量乘以常数
Au 1 ( t ) A 2 U 1 cos( t y ) Re( 2 A U 1 e 1
j t
)
(3)一个正弦量对时间求导的运算，就变成了对应相量乘以 j 的运算 di j I i I
A
C
+1
O 复数的乘法
复数的除法
C A B A B ( a b )
C
A B
A B
( a b )
e
j
1
3. 旋转因子：
任何一个复数乘以一个旋转因子，就旋转一个角. j F 例 F=F1e j 特殊： F1
j
e e
2 j
j
2
yu yi
t
(3) = 0， u与i 同相：
(4) = ( 180o ) ， u与i 反相：
第八章 相量法
而A2中包含了正弦量中不同变量中可变的两个要素I、φ i （不同变量，I、φ i 不相同）。 定义：1：A1 2e jt 称为旋转矢量——是个不变的复指数函数
可以看出 i(t)和指数函数A是一一对应的关系，再将A作如下变换：
其在实轴上的投影随时间规律变化就是正弦量（取实部）。
2e jt 是随时间从实轴出发沿逆时针方向旋转的一个矢量，
而 i(t ) Re[I 2e jt ]
I I1 I 2
2. 相量的乘除 u (t ) 2U cos(t u ) U U u i (t ) 2 I cos(t ) I I
i i
复阻抗
U U u U Z ( u i ) I i I I Z z
I 1 I 1 1 I 2 I 2 2 I I I
1 2
显然，三角函数本身的代数和较 麻烦，若转化为相量求代数和后 再转换成正弦函数就容易的多。
i(t ) i1 (t ) i2 (t ) Re I1 2e jt Re I 2 2e jt Re (I1 I 2 ) 2e jt
U Z I Z z Ii Uu
3．正弦量的一阶微分（积分）仍为同频率的正弦量，其相量为原正弦量的相 量乘以（除以） jω 。（P211） 正弦量的积分仍为同频率的正弦量，其相量为原正弦量的相量除以jω 。
i (t ) 2 I cos(t i ) 则 di(t ) dt j I
除法时，复数的模直接相除，而幅角相减。
A1 1 A2 2 A1 A2 1 2
1 2
§8-2正弦量
可以看出 i(t)和指数函数A是一一对应的关系，再将A作如下变换：
其在实轴上的投影随时间规律变化就是正弦量（取实部）。
2e jt 是随时间从实轴出发沿逆时针方向旋转的一个矢量，
而 i(t ) Re[I 2e jt ]
I I1 I 2
2. 相量的乘除 u (t ) 2U cos(t u ) U U u i (t ) 2 I cos(t ) I I
i i
复阻抗
U U u U Z ( u i ) I i I I Z z
I 1 I 1 1 I 2 I 2 2 I I I
1 2
显然，三角函数本身的代数和较 麻烦，若转化为相量求代数和后 再转换成正弦函数就容易的多。
i(t ) i1 (t ) i2 (t ) Re I1 2e jt Re I 2 2e jt Re (I1 I 2 ) 2e jt
U Z I Z z Ii Uu
3．正弦量的一阶微分（积分）仍为同频率的正弦量，其相量为原正弦量的相 量乘以（除以） jω 。（P211） 正弦量的积分仍为同频率的正弦量，其相量为原正弦量的相量除以jω 。
i (t ) 2 I cos(t i ) 则 di(t ) dt j I
除法时，复数的模直接相除，而幅角相减。
A1 1 A2 2 A1 A2 1 2
1 2
§8-2正弦量
第8章 相量法
设 i(t)=ImCos(ω t+Ψ )
1 T 2 I= I m Cos 2 ( ωt + Ψ )dt T ∫0
Q
∫
T
0
Cos ( ωt + Ψ )dt = ∫
2
T
0
1 + cos 2(ωt + Ψ ) 1 dt = T 2 2
Im 1 2 T Im ⋅ = = 0.707 I m ∴ I= T 2 2 Im = 2I
(j = − 1 为虚数单位 )
A a Re
Im b O
θ
A A=|A|ejθ =|A| θ a Re
直角坐标表示 极坐标表示
a =| A | cosθ b =| A | sinθ
或
二、 复数运算 (1)加减运算 加减运算——直角坐标 加减运算 直角坐标 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2 若 则 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2) Im Im A2 A1 O Re -A2 O A2 A1 Re 加减法可用图解法。 加减法可用图解法。
对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应 的复指数函数： 的复指数函数：
i = 2 ICos(ωt + Ψ ) ↔
A(t ) = Re[ 2 Ie
jψ
j(ωt +Ψ )
]
A(t)还可以写成 A(t ) = Re[ 2 Ie e ] = Re[ 2 I e jωt ] 还可以写成 复常数 A(t)包含了三要素：Im、 Ψ 、ω ，复常数包含了Ι m , Ψ 。 包含了三要素： 包含了三要素
o
1. 已知复数 已知复数A=4+j5，B=6-j2。试求 ， 。试求A+B、 、 A-B、A×B、A÷B。 、 、 。 A + B = (4 + 6) + j(5 − 2) = 10 + j3 ≈ 10.4/ 16.7° A − B = (4 − 6) + j[5 − (−2)] = −2 + j7 ≈ 7.28/ 106° A = 4 + j5 = 6.4/ 51.3° B = 6 − j 2 = 6.32/− 18.4° A × B = 6.4 × 6.32/ 51.3° + (−18.4°) = 40.4/ 32.9°
第08章相量法
？ 则：U＝10V U 10e j15V？ -j15º 已知： I 10050 A
？ 则： i＝100cos(t＋50º)A
100 2
（3-24）
§8.3 相量法的基础
无物理意义
一、正弦量为何可以用相量表示？
某复函数： A(t ) 2Iej(t)
为正弦量 有物理意义
（3-16）
+j
b
r
A
+1
a
欧拉公式
cos＋jsin ＝ej
A＝a＋jb …………………………代数式
＝r(cos＋j sin) …………三角函数式
＝rej …… …………………………指数式
＝r∠ …………………………极坐标形式
（3-17）
设a、b为正实数
A＝a＋jb ＝r∠
0<< 90º
2.KVL相量式
——任一瞬间任一回路上: u(t)＝0
若该回路上的电压均为同频率正 弦量,则用相量表示时仍满足KVL,即:
KVL相量形式 U 0
I
如右图,设uR,uL,uC均为同频率正弦量：
U R U L U C U 0
+R
U U R U L U C
相量——表示正弦电压、电流的复数
（3-15）
一、复数的基本形式
设复平面上某复数A ：
+j
b
r
A
+1
a
r a2 b2
arctan b
a a＝rcos
b＝ rsin
其中:r—复数的模; —辐角; a—实部; b —虚部
A＝a＋jb ＝rcos＋jrsin ＝r(cos＋j sin)
？ 则： i＝100cos(t＋50º)A
100 2
（3-24）
§8.3 相量法的基础
无物理意义
一、正弦量为何可以用相量表示？
某复函数： A(t ) 2Iej(t)
为正弦量 有物理意义
（3-16）
+j
b
r
A
+1
a
欧拉公式
cos＋jsin ＝ej
A＝a＋jb …………………………代数式
＝r(cos＋j sin) …………三角函数式
＝rej …… …………………………指数式
＝r∠ …………………………极坐标形式
（3-17）
设a、b为正实数
A＝a＋jb ＝r∠
0<< 90º
2.KVL相量式
——任一瞬间任一回路上: u(t)＝0
若该回路上的电压均为同频率正 弦量,则用相量表示时仍满足KVL,即:
KVL相量形式 U 0
I
如右图,设uR,uL,uC均为同频率正弦量：
U R U L U C U 0
+R
U U R U L U C
相量——表示正弦电压、电流的复数
（3-15）
一、复数的基本形式
设复平面上某复数A ：
+j
b
r
A
+1
a
r a2 b2
arctan b
a a＝rcos
b＝ rsin
其中:r—复数的模; —辐角; a—实部; b —虚部
A＝a＋jb ＝rcos＋jrsin ＝r(cos＋j sin)
第8章 相量法
重点掌握正弦稳态电路 的解题思路。
重点理解正弦量和相量 运算的映射关系。
§8-1 §8-1 复数（complex 复数（complex number） number）
一、复数的四种表示方法
1、代数形式
+j
b
F = a + jb
a = Re [F] —— 实部real b = Im [F] —— 虚部image 2、三角形式
映射
& = I∠ ϕ I
∫ idt = ∫
=
1 = ⋅ 2 ICos(ωt + ϕ − 90o ) ω
结论：
2 ICos (ω t + ϕ ) d t I 2 Sin (ω t + ϕ ) ω
∫ idt
映射
1 & I jω
& = U C 1 × I&C jω C
1 电容VCR : uC = ∫ iC dt C
学生练习： 217页 题8-9 （充分体现出相量运算的简便性）
二、微分运算
i=
2 ICos (ω t + ϕ I
di 则： dt
=
d [ 2 I cos( ω t + ϕ )] = = − 2 I ω sin( ω t + ϕ ) dt
2 I ω sin( ω t + ϕ + 180 o )
三、正弦量的有效值
1、任意周期量的有效值 ——定义和本质：热等效
T产生热量 Q i：经过一个周期 ：经过一个周期T 产生热量Q I：经过时间 T产生 了相同的 热量 直流 直流I ：经过时间T 产生了 相同的热量
i i
R
I
R
∫
T
重点理解正弦量和相量 运算的映射关系。
§8-1 §8-1 复数（complex 复数（complex number） number）
一、复数的四种表示方法
1、代数形式
+j
b
F = a + jb
a = Re [F] —— 实部real b = Im [F] —— 虚部image 2、三角形式
映射
& = I∠ ϕ I
∫ idt = ∫
=
1 = ⋅ 2 ICos(ωt + ϕ − 90o ) ω
结论：
2 ICos (ω t + ϕ ) d t I 2 Sin (ω t + ϕ ) ω
∫ idt
映射
1 & I jω
& = U C 1 × I&C jω C
1 电容VCR : uC = ∫ iC dt C
学生练习： 217页 题8-9 （充分体现出相量运算的简便性）
二、微分运算
i=
2 ICos (ω t + ϕ I
di 则： dt
=
d [ 2 I cos( ω t + ϕ )] = = − 2 I ω sin( ω t + ϕ ) dt
2 I ω sin( ω t + ϕ + 180 o )
三、正弦量的有效值
1、任意周期量的有效值 ——定义和本质：热等效
T产生热量 Q i：经过一个周期 ：经过一个周期T 产生热量Q I：经过时间 T产生 了相同的 热量 直流 直流I ：经过时间T 产生了 相同的热量
i i
R
I
R
∫
T
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d (t )
dt
频率f —— 周期函数每秒变化的次数
周期T、频率f、角频率之间的关系：
T 1 ， 2f 2
f
T
(2) 正弦量的初相(位):
正弦量的相位：(t + )
正弦量的初相: 为 t =0 时的相位。 正弦量的初相 的确定：
量值 取主值范围的原点到正最大值之间的值.
符号
在原点的左边为正、右边为负
(1)正弦量的相量表示法
u(t) Um cos(t ) Re[Ume j(t) ] Re[(Ume j )e jt ] Re[(Um)e jt ]
u(t) 2U cos(t ) Re[( 2U)e jt ] 该式表明: 实函数与复函数一一对应
(2)相量概念引出 :
U U
+j
U
u
U 一一对应
U
u 2U cos(t ) U U
(3)相量图:
O
+1
图 有效值相量的相量图
对电流亦然:
i(t) Im cos(t ) Re[Ime j(t) ] Re[(Ime j )e jt ] Re[(Im)e jt ]
i(t) 2I cos(t ) Re[( 2I)e jt ]
I I
+j
+j
一 . 复数 b
1. 复数表达式与复平面
(１) 代数形式 (２) 三角形式
A a jb
O
A A cos j A sin
(３) 指数形式 (４) 极坐标形式
A A e j
A A
复平面 A
|A|
a
a A cos
b A sin A a2 b2
tg b a
2. 复数运算___复数的加减乘除
T0 Im 2I
i(t) 2I cos(t )
u(t) Um cos(t u )
Ut u)
三. 相量法的基础
1. 相量法的引入
重要结论 : 激励产生 响应
相量法： 从求正弦量的幅值和初相角入手，通过 引 入相量，建立相量电路模型，直接应用直流分 析方法，把在时域范围内求微分方程的问题转化 为在频域范围内求复数代数方程的问题，从而使 正弦电路的稳态解法大为简化。
2 . 了解相量法的引入思想，正确理解相量 的定义、性质。
3 . 复习复数的性质和基本运算。
问题的引入___特解及稳态响应问题
如图所示,为RL一阶 电路的正弦稳态响应
其特解及稳态响应 用经典法求解是困难的.
解决的方法之一,是 相量法.
t=0
+ uS
_
R
i( t )
+ uL(t)
_L
uS Um cos(t u )
i(A) Im
O 2
-Im
t(rad)
2. 同频率正弦量的相位差:
设 u(t)=Umsin( t + u), i(t)=Imsin( t + i ) 相位差 = ( t + u) - ( t + i)= u - i (1) >0， u 领先(超前)i ，或i 落后(滞后) u
(2) <0， i 领先(超前) u，或u 落后(滞后) i
A A
B B a
+j
+j
A O
+j A
O
C A B
复数加法的平行四边形法和三角形法
+j A B
B O C -A 复数减法的平行四边形法和三角形法
C A B
C
乘法运算：
除法运算：
+j
C
B
b
a + b
b
A
O
+1
复数的乘法
C A B A B (a b )
+j
A
B
+1
O
a- b
C
复数的除法
C
•
Um
311 .1 60
例8-3
已知
•
I
5015o
A,
•
f 50Hz , U m 50 65V
试写出电流的瞬时值表达式。
解： i 50 2 sin(314t 15o ) A
u 50 sin( 314t 65 )V
旋转相量与正弦量
+1
2Ie jt 2Ie j(t)
2I cos(t ) j 2I sin(t )
2 . 相量的性质和运算法则
(1)同频率正弦量的和差运算就变成了对应相量的 和差运算
I
i
I 一一对应
I
u 2I cos(t ) I I
O
+1
图 有效值相量的相量图
例8-2
已知
i 141.4sin(314t 30o )A u 311.1sin(314t 60o )V
试用相量表示 i、u 。
解：
•
I 10030o A
•
U 220 60o V
或
•
I m 141 .430
Re[ 2Ie jt ]
+j
O
O
t
t1
t2
t1
t2 t
Im[ 2Ie jt ]
i(t) 2I cos(t ) Re[ 2Ie jt ]
一个初始相位为、为角频率逆时针 旋转的相量，在实数轴上的投影的长度将 按照余弦函数规律变化，而在虚数轴上的 投影的长度将按照正弦函数规律变化。
图 旋转相量与正弦量示意图
A -jB
O
+1
旋转因子示意
二. 正弦量
1.正弦量的基本概念
(1)正弦量的三要素 变化的幅度——幅值Im
i(t) Im cos(t )
变化的快慢——角频率
变化的计时起点——初相(角)
i(A) Im
O 2
-Im
t(rad)
周期T——最小正周期T f (t) f (t T )
角频率 ——相角（t ）随时间变化的速度
u, i u i
0
t
u i
(3) = 0， u与i 同相：
u, i
u
i
0
t
(4) = ( 180o ) ， u与i 反相：
u, i
i
u
0
t
(5) = 90°，u与i 正交
u, i u i
0
t
规定： | | (180°)
3 . 有效值
i(t) Im cos(t i )
I 1 T i2dt
第八章 相量法
§8-1 相量 §8-2 正弦量的相量表示 §8-3 电阻、电感和电容元件上电压
和电流的相量关系
§8-4 电路定律的相量形式和电路的 相量模型
本次课要点
1 相量及引入思想 2 电路定律的相量形式及电路的相量模型 3 阻抗(导纳)及其三角形关系
要求:
1 . 掌握正弦量的三要素，掌握初相与相位 差的定义、量值、符号、性质。
A B
A
B (a b )
3. 旋转因子： e j 1
任何一个复数乘以一个旋转因子，就旋转一个角.
例8-1 F=F1e j
特殊：
j
e 2 j
( 逆时针旋转90 )
j
e 2 j
( 顺时针旋转90 )
e j( ) cos( ) j sin( ) 1 B
j F
F1
+1
+j
jA
+j , –j , -1 都可以看成旋转因子