高斯分布一维到多维123
图像滤波之高斯滤波介绍
图像滤波之⾼斯滤波介绍1 ⾼斯滤波简介 了解⾼斯滤波之前，我们⾸先熟悉⼀下⾼斯噪声。
⾼斯噪声是指它的服从（即）的⼀类噪声。
如果⼀个噪声，它的幅度分布服从⾼斯分布，⽽它的⼜是均匀分布的，则称它为⾼斯⽩噪声。
⾼斯⽩噪声的⼆阶矩不相关，⼀阶矩为，是指先后信号在时间上的相关性，包括和。
⾼斯滤波器是⼀类根据⾼斯函数的形状来选择权值的线性平滑滤波器。
⾼斯平滑滤波器对于抑制服从正态分布的噪声⾮常有效。
⼀维零均值⾼斯函数为： g(x)=exp( -x^2/(2 sigma^2) 其中，⾼斯分布参数Sigma决定了⾼斯函数的宽度。
对于图像处理来说，常⽤⼆维零均值离散⾼斯函数作平滑滤波器，⾼斯函数的图形：2 ⾼斯滤波函数 对于图像来说，⾼斯滤波器是利⽤⾼斯核的⼀个2维的卷积算⼦，⽤于图像模糊化（去除细节和噪声）。
1) ⾼斯分布 ⼀维⾼斯分布： ⼆维⾼斯分布： 2) ⾼斯核 理论上，⾼斯分布在所有定义域上都有⾮负值，这就需要⼀个⽆限⼤的卷积核。
实际上，仅需要取均值周围3倍标准差内的值，以外部份直接去掉即可。
如下图为⼀个标准差为1.0的整数值⾼斯核。
3 ⾼斯滤波性质 ⾼斯函数具有五个重要的性质，这些性质使得它在早期图像处理中特别有⽤．这些性质表明，⾼斯平滑滤波器⽆论在空间域还是在频率域都是⼗分有效的低通滤波器，且在实际图像处理中得到了⼯程⼈员的有效使⽤．⾼斯函数具有五个⼗分重要的性质，它们是： （1）⼆维⾼斯函数具有旋转对称性，即滤波器在各个⽅向上的平滑程度是相同的．⼀般来说，⼀幅图像的边缘⽅向是事先不知道的，因此，在滤波前是⽆法确定⼀个⽅向上⽐另⼀⽅向上需要更多的平滑．旋转对称性意味着⾼斯平滑滤波器在后续边缘检测中不会偏向任⼀⽅向． （2）⾼斯函数是单值函数．这表明，⾼斯滤波器⽤像素邻域的加权均值来代替该点的像素值，⽽每⼀邻域像素点权值是随该点与中⼼点的距离单调增减的．这⼀性质是很重要的，因为边缘是⼀种图像局部特征，如果平滑运算对离算⼦中⼼很远的像素点仍然有很⼤作⽤，则平滑运算会使图像失真． （3）⾼斯函数的傅⽴叶变换频谱是单瓣的．正如下⾯所⽰，这⼀性质是⾼斯函数付⽴叶变换等于⾼斯函数本⾝这⼀事实的直接推论．图像常被不希望的⾼频信号所污染(噪声和细纹理)．⽽所希望的图像特征（如边缘），既含有低频分量，⼜含有⾼频分量．⾼斯函数付⽴叶变换的单瓣意味着平滑图像不会被不需要的⾼频信号所污染，同时保留了⼤部分所需信号． （4）⾼斯滤波器宽度(决定着平滑程度)是由参数σ表征的，⽽且σ和平滑程度的关系是⾮常简单的．σ越⼤，⾼斯滤波器的频带就越宽，平滑程度就越好．通过调节平滑程度参数σ，可在图像特征过分模糊(过平滑)与平滑图像中由于噪声和细纹理所引起的过多的不希望突变量(⽋平滑)之间取得折衷． （5）由于⾼斯函数的可分离性，较⼤尺⼨的⾼斯滤波器可以得以有效地实现．⼆维⾼斯函数卷积可以分两步来进⾏，⾸先将图像与⼀维⾼斯函数进⾏卷积，然后将卷积结果与⽅向垂直的相同⼀维⾼斯函数卷积．因此，⼆维⾼斯滤波的计算量随滤波模板宽度成线性增长⽽不是成平⽅增长．4 ⾼斯滤波应⽤ ⾼斯滤波后图像被平滑的程度取决于标准差。
高斯投影及分带介绍
高斯投影及分带介绍2011年09月29日星期四 10:17高斯坐标即高斯-克吕格坐标系（1）高斯-克吕格投影性质高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影简称“高斯投影”，又名"等角横切椭圆柱投影”，地球椭球面和平面间正形投影的一种。
德国数学家、物理学家、天文学家高斯（Carl FriedrichGauss，1777一 1855）于十九世纪二十年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格（Johannes Kruger，1857～1928）于 1912年对投影公式加以补充，故名。
该投影按照投影带中央子午线投影为直线且长度不变和赤道投影为直线的条件，确定函数的形式，从而得到高斯一克吕格投影公式。
投影后，除中央子午线和赤道为直线外，其他子午线均为对称于中央子午线的曲线。
设想用一个椭圆柱横切于椭球面上投影带的中央子午线，按上述投影条件，将中央子午线两侧一定经差范围内的椭球面正形投影于椭圆柱面。
将椭圆柱面沿过南北极的母线剪开展平，即为高斯投影平面。
取中央子午线与赤道交点的投影为原点，中央子午线的投影为纵坐标x轴，赤道的投影为横坐标y轴，构成高斯克吕格平面直角坐标系。
高斯-克吕格投影在长度和面积上变形很小，中央经线无变形，自中央经线向投影带边缘，变形逐渐增加，变形最大之处在投影带内赤道的两端。
由于其投影精度高，变形小，而且计算简便（各投影带坐标一致，只要算出一个带的数据，其他各带都能应用），因此在大比例尺地形图中应用，可以满足军事上各种需要，能在图上进行精确的量测计算。
（2）高斯-克吕格投影分带按一定经差将地球椭球面划分成若干投影带,这是高斯投影中限制长度变形的最有效方法。
分带时既要控制长度变形使其不大于测图误差，又要使带数不致过多以减少换带计算工作，据此原则将地球椭球面沿子午线划分成经差相等的瓜瓣形地带,以便分带投影。
通常按经差6度或3度分为六度带或三度带。
六度带自0度子午线起每隔经差6度自西向东分带，带号依次编为第 1、2 (60)带。
多元高斯分布的特征与协方差矩阵的应用
多元高斯分布的特征与协方差矩阵的应用多元高斯分布是一种重要的随机变量分布，对于许多实际问题具有很强的描述和应用能力。
其中，协方差矩阵是多元高斯分布的一个重要特征，它给出了多元高斯分布的相关性和方向性等重要信息，因此也被广泛地应用于多元高斯分布的理论和实践中。
本文将介绍多元高斯分布的特征、协方差矩阵的含义和应用，并针对实际问题进行案例分析，探讨协方差矩阵在实际问题中的应用。
1. 多元高斯分布的特征多元高斯分布是指在多维空间中随机变量服从高斯分布的情况，它是一种具有简单形式但又非常灵活的随机变量分布。
多元高斯分布的密度函数的形式为：$$ p(x) = \frac{1}{(2\pi)^{d/2}|\Sigma|^{1/2}}\exp\left(-\frac{1}{2}(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)\right) $$其中，$x$ 是一个$d$ 维随机向量，$\mu$ 是一个$d$ 维向量，表示多元高斯分布的均值，$\Sigma$ 是一个 $d\times d$ 的矩阵，表示多元高斯分布的协方差矩阵。
整个密度函数可以看作是一个由 $x$ 的各个分量的平方和构成的二次型，其中 $\Sigma$ 给出了各个分量之间的相关性和方向性等信息。
多元高斯分布的特征有几个:一是它的分布具有可分离性，即正态分布是可以在任意两个方向上独立地研究的。
二是它具有旋转不变性，即旋转后的多元高斯分布依然是一个多元高斯分布。
三是它可以描述出一些实际问题，如某个工厂每一天所出产品的数量和种类的变化趋势等信息。
2. 协方差矩阵的含义协方差矩阵是多元高斯分布的一个重要特征，它描述了多维随机变量之间的相关性和方向性等信息。
协方差矩阵的定义如下：$$ \Sigma_{i,j} = E[(X_i - E(X_i)(X_j-E(X_j))] $$其中 $X_i$ 和 $X_j$ 是两个随机变量，$\Sigma_{i,j}$ 表示它们之间的协方差，$E$ 表示取期望值。
多维高斯分布讲解
多维高斯分布讲解高斯分布高斯分布：1维高斯分布公式：多维高斯分布公式：对于1维的来说是期望，是方差；对于多维来说D表示X的维数，表示D*D的协方差矩阵，定义为，为该协方差的行列式的值。
代码如下：m=[0 1]'; S=eye(2);x1=[0.2 1.3]'; x2=[2.2 -1.3]';pg1=comp_gauss_dens_val(m,S,x1)pg2=comp_gauss_dens_val(m,S,x2)其中comp_gauss_dens_val函数文件的代码如下：function [z]=comp_gauss_dens_val(m,S,x)[l,c]=size(m);z=(1/( (2*pi)^(l/2)*det(S)^0.5) )*exp(-0.5*(x-m)'*inv(S)*(x-m));题目大致意思就是判断x是属于w1还是w2？代码如下：P1=0.5;P2=0.5;m1=[1 1]';m2=[3 3]';S=eye(2);x=[1.8 1.8]';p1=P1*comp_gauss_dens_val(m1,S,x)p2=P2*comp_gauss_dens_val(m2,S,x)题目大致意思就是给出正态分布的期望和方差构造出一些服从这个分布的数据点代码如下：% Generate the first dataset (case #1)randn('seed',0);m=[0 0]';S=[1 0;0 1];N=500;X = mvnrnd(m,S,N)';% Plot the first datasetfigure(1), plot(X(1,:),X(2,:),'.');figure(1), axis equalfigure(1), axis([-7 7 -7 7])% Generate and plot the second dataset (case #2) m=[0 0]';S=[0.2 0;0 0.2];N=500;X = mvnrnd(m,S,N)';figure(2), plot(X(1,:),X(2,:),'.');figure(2), axis equalfigure(2), axis([-7 7 -7 7])% Generate and plot the third dataset (case #3) m=[0 0]';S=[2 0;0 2];N=500;X = mvnrnd(m,S,N)';figure(3), plot(X(1,:),X(2,:),'.');figure(3), axis equalfigure(3), axis([-7 7 -7 7])% Generate and plot the fourth dataset (case #4) m=[0 0]';S=[0.2 0;0 2];N=500;X = mvnrnd(m,S,N)';figure(4), plot(X(1,:),X(2,:),'.');figure(4), axis equalfigure(4), axis([-7 7 -7 7])% Generate and plot the fifth dataset (case #5) m=[0 0]';S=[2 0;0 0.2];N=500;X = mvnrnd(m,S,N)';figure(5), plot(X(1,:),X(2,:),'.');figure(5), axis equalfigure(5), axis([-7 7 -7 7])% Generate and plot the sixth dataset (case #6) m=[0 0]';S=[1 0.5;0.5 1];N=500;X = mvnrnd(m,S,N)';figure(6), plot(X(1,:),X(2,:),'.');figure(6), axis equalfigure(6), axis([-7 7 -7 7])% Generate and plot the seventh dataset (case #7) m=[0 0]';S=[.3 0.5;0.5 2];N=500;X = mvnrnd(m,S,N)';figure(7), plot(X(1,:),X(2,:),'.');figure(7), axis equalfigure(7), axis([-7 7 -7 7])% Generate and plot the eighth dataset (case #8) m=[0 0]';S=[.3 -0.5;-0.5 2];N=500;X = mvnrnd(m,S,N)';figure(8), plot(X(1,:),X(2,:),'.');figure(8), axis equalfigure(8), axis([-7 7 -7 7])即生成了8副图像。
多维高斯分布概率密度函数
多维高斯分布概率密度函数多维高斯分布概率密度函数是一种常见的概率分布函数，用于描述多个随机变量之间的关系。
在统计学和机器学习中经常使用该函数来建模数据集。
1. 概述多维高斯分布概率密度函数是一种连续型的概率分布函数，用于描述多个随机变量之间的关系。
它也被称为多元正态分布或高斯联合分布。
在统计学和机器学习中广泛应用于数据建模、分类、聚类等领域。
2. 公式多维高斯分布概率密度函数的公式如下：$$f(x)=\frac{1}{(2\pi)^{d/2}|\Sigma|^{1/2}}e^{-\frac{1}{2}(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)}$$其中，$x$ 是 $d$ 维向量，$\mu$ 是 $d$ 维均值向量，$\Sigma$ 是 $d\times d$ 的协方差矩阵。
3. 参数含义- $x$: 表示一个 $d$ 维向量。
- $\mu$: 表示一个 $d$ 维均值向量。
- $\Sigma$: 表示一个 $d\times d$ 的协方差矩阵。
4. 性质- 多维高斯分布概率密度函数是一个对称的函数，即 $f(x)=f(x^T)$。
- 多维高斯分布概率密度函数的积分为 $1$，即 $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1$。
- 多维高斯分布概率密度函数的图像呈现出一种钟形曲线，且中心点为均值向量 $\mu$。
5. 实现在 Python 中可以使用 scipy 库中的 multivariate_normal 函数来实现多维高斯分布概率密度函数。
```pythonfrom scipy.stats import multivariate_normal# 定义均值向量和协方差矩阵mean = [0, 0]cov = [[1, 0], [0, 1]]# 构建多维高斯分布概率密度函数rv = multivariate_normal(mean=mean, cov=cov)# 计算在点 (1, 2) 处的概率密度值rv.pdf([1, 2])```6. 应用多维高斯分布概率密度函数广泛应用于数据建模、分类、聚类等领域。
高斯-克吕格投影
3°、6°带高斯-克吕格投影但椭球体不能代表基准面，同样的椭球体能定义不同的基准面，如前苏联的Pulkovo 1942、非洲索马里的Afgooye基准面都采用了Krassovsky椭球体，但它们的大地基准面显然是不同的。
在目前的GIS商用软件中，大地基准面都通过当地基准面向WGS84的转换7参数来定义，即三个平移参数ΔX、ΔY、ΔZ表示两坐标原点的平移值；三个旋转参数εx、εy、εz表示当地坐标系旋转至与地心坐标系平行时，分别绕Xt、Yt、Zt的旋转角；最后是比例校正因子，用于调整椭球大小。
北京54、西安80相对WGS84的转换参数至今没有公开，实际工作中可利用工作区内已知的北京54或西安80坐标控制点进行与WGS84坐标值的转换，在只有一个已知控制点的情况下(往往如此)，用已知点的北京54与WGS84坐标之差作为平移参数，当工作区范围不大时，如青岛市，精度也足够了。
以（32°，121°）的高斯-克吕格投影结果为例，北京54及WGS84基准面，两者投影结果在南北方向差距约63米(见下表)，对于几十或几百万的地图来说，这一误差无足轻重，但在工高斯-克吕格投影（1）高斯-克吕格投影性质高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影简称“高斯投影”，又名"等角横切椭圆柱投影”，地球椭球面和平面间正形投影的一种。
德国数学家、物理学家、天文学家高斯（Carl FriedrichＧauss，1777一1855）于十九世纪二十年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格（Johannes Kruger，1857～1928）于1912年对投影公式加以补充，故名。
该投影按照投影带中央子午线投影为直线且长度不变和赤道投影为直线的条件，确定函数的形式，从而得到高斯一克吕格投影公式。
投影后，除中央子午线和赤道为直线外，其他子午线均为对称于中央子午线的曲线。
设想用一个椭圆柱横切于椭球面上投影带的中央子午线，按上述投影条件，将中央子午线两侧一定经差范围内的椭球面正形投影于椭圆柱面。
2.4 多维高斯分布与高斯信号
t
2 −
)
1
(
G x
−
JG μ
)′
C
−
1
(
G x
−
JG μ
)
e2
1
2π C 2
G x
=
⎡ x1
⎢ ⎣
x
2
⎤ ⎥ ⎦
JG
μ
=
⎡ ⎢ ⎣
m m
( t1 (t2
)⎤
⎡ Var
)电⎥⎦子科技C大学=通⎢⎣信C学院(t 2
(t1 ) , t1 )
成都信息工程学院电子工程系
C (t1 , t2 ) ⎤
V
a
r
(
t
⎡σ
⎢
2 1
C
=
⎢ ⎢
σ 22
%
⎤ ⎥ ⎥ ⎥
⎢ ⎢⎣
σ
n
2
⎥ ⎥⎦
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9
高斯随机信号的性质
所有分布由其 m(t)和 C(s, t) 决定；
经过线性变换(或线性系统处理)后仍然是高 斯信号；
它是独立信号的充要条件是：
C(s,t) = 0, (s ≠ t)
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= EA2 cosωscosωt + EB2 sinωssinωt
=σ2 cosω(s −t)
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11
例2.12续
因此， m(t ) = 0 ，σ 2 (t ) = σ 2 ，
，
而且，
ρ
=
C (s, t )
σ (s)σ (t)
=
cos ω ( s
−
t)
于是，
高斯模糊原理
1、高斯分布正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布，记为：X∼N(μ,σ2),则其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
决定了分布对称中心，决定了分布的形状——越小形状越瘦高，越大越矮胖。
我们通常所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布。
正态分布中一些值得注意的量：▪密度函数关于平均值对称▪平均值是它的众数（statistical mode）以及中位数（median）▪函数曲线下68.268949%的面积在平均值左右的一个标准差范围内▪95.449974%的面积在平均值左右两个标准差2σ的范围内▪99.730020%的面积在平均值左右三个标准差3σ的范围内▪99.993666%的面积在平均值左右四个标准差4σ的范围内他的二维方程：2、图像掩膜用选定的图像、图形或物体，对处理的图像（全部或局部）进行遮挡，来控制图像处理的区域或处理过程。
用于覆盖的特定图像或物体称为掩模或模板。
光学图像处理中,掩模可以是胶片、滤光片等。
数字图像处理中,掩模为二维矩阵数组,有时也用多值图像。
数字图像处理中,图像掩模主要用于：①提取感兴趣区,用预先制作的感兴趣区掩模与待处理图像相乘,得到感兴趣区图像,感兴趣区内图像值保持不变,而区外图像值都为0。
②屏蔽作用,用掩模对图像上某些区域作屏蔽,使其不参加处理或不参加处理参数的计算,或仅对屏蔽区作处理或统计。
③结构特征提取,用相似性变量或图像匹配方法检测和提取图像中与掩模相似的结构特征。
④特殊形状图像的制作。
掩膜是一种图像滤镜的模板，实用掩膜经常处理的是遥感图像。
当提取道路或者河流，或者房屋时，通过一个n*n的矩阵来对图像进行像素过滤，然后将我们需要的地物或者标志突出显示出来。
第5章高斯随机过程ppt课件
二、高斯随机过程
✓高斯过程是二阶矩过程 E[ X 2 (t)] ✓严格平稳和广义平稳等价
✓相互独立和互不相关等价
✓特征函数
n(v1,v2,
, vn;t1,t2,
, tn )
exp
j
n i1
aivi
1 2
n i1
n
CX
k 1
(ti ,tk )vivk
高斯随机过程
一、多维高斯随机变量 二、高斯随机过程 三、窄带平稳实高斯随机过程 四、随机相位正弦波加窄带平稳高斯随机过程之和 五、Ｘ2分布及非中心Ｘ2分布 六、维纳过程
一、多维高斯随机变量
1、一维分布 x ~ N(a, 2 )
1
(x a)2
f (x)
exp{
}
2
2 2
x
+
F (x) P( X x) f ( )d
2
1
四、随机相位正弦波加窄带平稳高斯随机过程之和
设随机相位正弦波加窄带平稳高斯过程之和为
Y (t) s(t) N(t)
式中 s(t) B cos[0t ] B cos0t cos B sin 0t sin
N(t)为窄带噪声，是一个平稳高斯过程
N (t) An (t) cos[0t n (t)] Nc (t) cos0t Ns (t) sin 0t
并将其称为具有n个自由度的Ｘ2变量，其概率分布为Ｘ2分
布
五、Ｘ2分布及非中心Ｘ2分布
1、Ｘ2分布
Ｘ2的概率密度函数为
f
(s)
1
2
n 2
(
n
)
n 1 s
s2 e 2,s
0
一维、二维、三维高斯积分点和权重
一维、二维、三维高斯积分点和权重
一维高斯积分是一种数值积分方法，用于计算一维函数的定积分。
高斯积分点和权重是该方法的关键组成部分。
高斯积分点是在积分区间上选择的特定点，而权重是与这些点相关联的系数。
在一维高斯积分中，我们通常选择一组称为“Legendre多项式”的正交函数作为基函数。
这些函数在积分区间内具有正交性质，并且可以在其中选择积分点和权重，以获得更高的积分精度。
二维高斯积分是一种用于计算二维函数的定积分的数值积分方法。
在二维高斯积分中，我们使用二维的正交多项式作为基函数，并选择一组合适的积分点和权重。
三维高斯积分是一种用于计算三维函数的定积分的数值积分方法。
类似地，我们使用三维的正交多项式作为基函数，并选择一组合适的积分点和权重。
这些积分点和权重的选取是根据特定的规则和算法进行的，以确保在给定的积分区间上获得良好的数值结果。
高斯积分在数值积分中得到广泛应用，特别是在计算复杂函数的积分时，可以提供较高的精度和效率。
d维向量的高斯分布
d维向量的高斯分布
高斯分布，又称正态分布，是一种常见的概率分布。
对于一个d 维的向量X=(X1,X2,...,Xd)，其服从d维高斯分布的概率密度函数可表示为：
f(X) = (1/(sqrt(2π))^d) * exp(-1/2 * (X-μ)^T * Σ^(-1) * (X-μ))
其中，μ是一个d维的均值向量，Σ是一个d维的协方差矩阵，T表示矩阵的转置。
分布的标准差由协方差矩阵的对角线元素给出，协方差矩阵的其他元素描述了不同维度之间的相关程度。
高斯分布在统计学和机器学习中经常被用来描述连续型随机变量的分布，其形状钟形对称，常用于建模实际数据的分布情况。
在许多实际问题中，我们可以使用高斯分布来估计观测数据的概率分布，进而进行预测和推断。
多维高斯分布条件概率
多维高斯分布条件概率多维高斯分布是指具有多个随机变量的高斯分布。
在此基础上，我们可以考虑给定某些变量的条件下，其他变量的概率分布情况。
假设我们有一个p维的高斯分布，其概率密度函数为：$$begin{aligned}f(mathbf{x}) =&frac{1}{(2pi)^{p/2}|mathbf{Sigma}|^{1/2}}expleft(-frac{1}{2 }(mathbf{x}-mathbf{mu})^Tmathbf{Sigma}^{-1}(mathbf{x}-mathb f{mu})right)end{aligned}$$其中$mathbf{x}$是一个p维列向量，$mathbf{mu}$也是一个p 维列向量，$mathbf{Sigma}$是一个p×p的正定矩阵。
现在我们考虑给定一部分变量的条件下，其他变量的条件概率分布。
不妨设我们关心的是变量集合$mathbf{x}_A$的条件下，变量集合$mathbf{x}_B$的条件概率分布，其中$mathbf{x}_A$和$mathbf{x}_B$是$mathbf{x}$的两个不相交子集。
根据贝叶斯定理，我们有：$$begin{aligned}p(mathbf{x}_B|mathbf{x}_A) =&frac{p(mathbf{x}_A,mathbf{x}_B)}{p(mathbf{x}_A)}=&frac{frac{1}{(2pi)^{p/2}|mathbf{Sigma}|^{1/2}}expleft(-frac {1}{2}(left[begin{array}{c}mathbf{x}_Amathbf{x}_Bend{array}right]-left[begin{array}{c}mathbf{mu}_ Amathbf{mu}_Bend{array}right])^Tleft[begin{array}{cc}mathbf{ Sigma}_{AA} & mathbf{Sigma}_{AB} mathbf{Sigma}_{BA} & mathbf{Sigma}_{BB}end{array}right]^{-1}(left[begin{array}{c }mathbf{x}_Amathbf{x}_Bend{array}right]-left[begin{array}{c}mathbf{mu}_ Amathbf{mu}_Bend{array}right])right)}{frac{1}{(2pi)^{p_A/2}| mathbf{Sigma}_{AA}|^{1/2}}expleft(-frac{1}{2}(mathbf{x}_A-m athbf{mu}_A)^Tmathbf{Sigma}_{AA}^{-1}(mathbf{x}_A-mathbf{mu }_A)right)}end{aligned}$$其中$mathbf{mu}_A$和$mathbf{mu}_B$分别是$mathbf{mu}$在$mathbf{x}_A$和$mathbf{x}_B$上的投影，$mathbf{Sigma}_{AA}$、$mathbf{Sigma}_{AB}$、$mathbf{Sigma}_{BA}$和$mathbf{Sigma}_{BB}$分别是$mathbf{Sigma}$在四个子空间上的投影。
卷积核多维高斯变换方法
卷积核多维高斯变换方法1.高斯分布基本特性高斯分布，也称为正态分布，是一种在统计学上经常使用的连续概率分布。
其基本特性包括：2.钟形曲线：高斯分布的曲线呈钟形，左右对称，且具有一个峰值。
3.均值为零：对于多维高斯分布，其每个维度的均值都为零。
4.方差决定曲线宽度：方差越大，高斯分布曲线越宽；方差越小，曲线越窄。
5.多维高斯分布多维高斯分布是多个高斯分布在多维空间中的联合概率分布。
对于n个维度，多维高斯分布的表达式如下：f(x1, x2, ..., xn) = (1 / (2π)^n |Σ|^(1/2))exp(-1/2(x - μ)Σ^(-1)(x - μ)')其中，x是n维向量，μ是均值向量，Σ是协方差矩阵。
6.卷积核基本原理卷积核是一种用于图像处理的线性操作，它可以对输入图像进行卷积运算，提取出图像的特征。
卷积核通过与输入图像的像素进行乘积累加，得到输出图像的像素值。
卷积核的基本原理是将输入图像看作是一个二维矩阵，而卷积核也是一个二维矩阵，它通过对输入图像进行遍历并执行乘积累加操作，得到输出图像。
7.卷积核对多维高斯分布的影响由于卷积核是一种线性操作，它可以对多维高斯分布进行变换。
具体来说，如果我们使用一个卷积核对多维高斯分布进行卷积运算，那么我们可以得到一个新的多维高斯分布。
这个新的多维高斯分布的均值和协方差矩阵会发生变化，但是其仍然服从多维高斯分布。
8.基于卷积核的多维高斯变换方法基于卷积核的多维高斯变换方法主要包括以下步骤：9.定义输入数据的均值和协方差矩阵；10.根据均值和协方差矩阵生成多维高斯分布；11.使用卷积核对多维高斯分布进行卷积运算；12.根据卷积运算的结果重新计算均值和协方差矩阵；13.重复执行步骤2-4，直到满足停止条件。
14.实验验证与结果分析我们使用基于卷积核的多维高斯变换方法对一组数据进行处理，并比较处理前后的结果。
实验结果表明，该方法可以有效地提取出数据中的特征，并使得数据的分布更加符合多维高斯分布。
多种分布 高斯分布(思维导图)
多元高斯分布
核心思想：通过固定联合分布P（Xa,Xb)中的Xb 分块 精度矩阵 二次型展开
条件高斯分布
概率分布与多元高斯分布
beta分布 伯努利推广 多项式分布
分块矩阵求逆
组合数公式 sigama 01求和
sigama 01求和 sigama 01求和
对数似然函数求导
伯努利似然函数归一化 组合数性质->二项公式->提N因子
多项式分布的本质意义与实例&二项联系 与组合数公式的区别
共轭 先验-引入参数，似然-数据集，后验oc先验*似然
迪利克雷分布
伯努利分布
一元标准高斯-标准二次型 矩阵形式-中间单位矩阵 线性变换，别忘了雅可比
协方差矩阵-利用线性变换
Байду номын сангаас一元高斯到多元高斯
二项分布
用边缘概率积分求归一化 二次型和矩阵tr迹的关系
矩阵知识-分解 标准化+奇函数 z=x+u->yi=uj(T)Z
归一化等式-对u微分-为什么偏偏对u微分-因为u连续 归一化等式-对u两次微分
Gamma函数与Beta分布的内在联系&Beta的由来 gamma双重积分->t=x+y->x=tu
利用归一化积分=系数倒数的结论 利用归一化积分=系数倒数的结论
概率函数映射的输入输出 sigma(x)的本质意义 sigma里面乘向量的本质意义 拉格朗日乘数法，对谁求导？
多个高维高斯分布平方求和
多个高维高斯分布平方求和多维高斯分布是一种常用的概率分布模型，它在许多领域中都有广泛的应用。
本文将介绍多个高维高斯分布的平方求和，并探讨其在统计学和机器学习中的重要性。
高斯分布，又称正态分布，是一种连续概率分布，其概率密度函数在数学上可以用一个平均值和一个标准差来描述。
在一维情况下，高斯分布的概率密度函数呈钟形曲线，以平均值为中心对称，标准差决定了曲线的宽窄。
然而，在现实世界的许多问题中，数据往往具有多个特征，因此需要使用多维高斯分布来建模。
多维高斯分布可以描述多个变量之间的相关关系，其概率密度函数的形状不再是简单的钟形曲线，而是一个多维椭球体。
考虑一个具有d个特征的数据集，其中每个样本可以表示为一个d 维向量。
假设我们有n个样本，可以将这些样本表示为一个n×d的矩阵X。
我们可以使用多维高斯分布来描述这些样本的分布情况。
多维高斯分布的概率密度函数可以写为：P(X) = (1/((2π)^(d/2) * |Σ|^(1/2))) * exp(-0.5 * (X-μ)' * Σ^(-1) * (X-μ))其中，X是一个d维向量，μ是一个d维向量，表示多维高斯分布的均值向量，Σ是一个d×d的协方差矩阵，|Σ|表示协方差矩阵的行列式。
在实际应用中，我们通常需要估计多维高斯分布的参数，即均值向量和协方差矩阵。
常用的方法包括最大似然估计和贝叶斯估计。
通过估计这些参数，我们可以得到一个对数据分布的模型，进而可以进行各种统计推断和预测。
在机器学习中，多维高斯分布也被广泛应用于聚类和异常检测等问题。
聚类是将相似的样本归为一类的任务，而异常检测是发现与正常样本有明显偏差的样本。
由于多维高斯分布可以描述数据的分布情况，因此可以用来建模正常样本的分布，进而判断新样本是否为异常。
除了单个多维高斯分布外，我们还可以将多个多维高斯分布进行加权求和。
这种加权求和的形式在一些机器学习算法中经常出现。
例如，高斯混合模型是一种常用的聚类算法，它假设数据由多个高斯分布组成，通过最大化似然函数来估计每个高斯分布的参数。
多维高斯分布相乘
多维高斯分布相乘多维高斯分布是指在多维空间中服从高斯分布的随机变量。
在统计学和概率论中，多维高斯分布是一种常用的概率分布模型，具有很多重要的性质和应用。
多维高斯分布的概率密度函数可以用以下形式表示：```p(x) = 1/((2π)^(d/2) |Σ|^(1/2)) * exp(-1/2(x-μ)ᵀΣ^(-1)(x-μ))```其中，x 是一个 d 维向量，μ 是一个 d 维向量，Σ 是一个d×d 的对称正定矩阵，|Σ| 表示矩阵Σ 的行列式。
多维高斯分布的特点之一是其形状是一个椭球体，而椭球体的形状由矩阵Σ 决定。
当Σ 是对角矩阵时，椭球体的主轴与坐标轴对齐，分布呈现各向同性；当Σ 的主对角线元素不相等时，椭球体的主轴与坐标轴不对齐，分布呈现各向异性。
多维高斯分布在实际应用中有广泛的应用。
例如，在模式识别中，多维高斯分布可以用来建模数据的特征向量，从而实现分类和聚类的任务。
在金融领域，多维高斯分布可以用来建模资产收益率的分布，从而进行风险评估和投资组合优化。
在图像处理中，多维高斯分布可以用来建模图像的纹理和颜色分布，从而实现图像的分割和去噪等任务。
多维高斯分布的参数估计是统计学中的一个重要问题。
给定一组观测样本，我们可以通过最大似然估计或贝叶斯估计来估计多维高斯分布的参数。
最大似然估计是在给定观测样本的条件下，选择使得观测样本出现概率最大的参数值；贝叶斯估计是在给定观测样本的条件下，选择使得后验概率最大的参数值。
多维高斯分布的另一个重要性质是线性变换的不变性。
具体而言，如果 X 是一个服从 d 维高斯分布的随机变量，A 是一个d×d 的非奇异矩阵，b 是一个 d 维向量，那么 Y = AX + b 仍然服从 d 维高斯分布。
这个性质在很多应用中都是非常有用的，例如在图像处理中，我们可以通过线性变换来对图像进行旋转、缩放和平移等操作。
总结来说，多维高斯分布是一种重要的概率分布模型，在统计学和概率论中有广泛的应用。
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从一元高斯分布到多元高斯分布（含例子，python 代码）
为了简化下面的高斯分布都是按照零均值写的
一元高斯的标准形式：
多元高斯的标准形式：
下面推导为什么一般的多元高斯具有形式：
核心观点：所有的非奇异的多元高斯分布都是以多元标准高斯分布为基础，通过非奇异矩阵进行坐标变换而来的
假设对于一般的多元高斯分布有
那么
因此
这样应该就可以理解公式里面为什么会有协方差矩阵了
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
class Distribution():
def __init__(self,mu,Sigma):
self.mu = mu
self.sigma = Sigma
def tow_d_gaussian(self,x):
mu = self.mu
Sigma =self.sigma
n = mu.shape[0]
Sigma_det = np.linalg.det(Sigma)
Sigma_inv = np.linalg.inv(Sigma)
N = np.sqrt((2*np.pi)**n*Sigma_det)
fac = np.einsum('...k,kl,...l->...',x-mu,Sigma_inv,x-mu)
return np.exp(-fac/2)/N
def one_d_gaussian(self,x):
mu = self.mu
sigma = self.sigma
N = np.sqrt(2*np.pi*np.power(sigma,2))
fac = np.power(x-mu,2)/np.power(sigma,2)
return np.exp(-fac/2)/N
if __name__=='__main__':
p1 = Distribution(0,2)
x = np.linspace(-10,10,100)
y = p1.one_d_gaussian(x)
plt.plot(x,y,'b-',linewidth=3)
# plt.show()
N = 60
X = np.linspace(-3,3,N)
Y = np.linspace(-4,4,N)
X,Y = np.meshgrid(X,Y)
mu = np.array([0.,0.])
Sigma = np.array([[1.,-0.5],[-0.5,1.5]])
pos = np.empty(X.shape+(2,))
pos[:,:,0]= X
pos[:,:,1] = Y
p2 = Distribution(mu,Sigma)
Z = p2.tow_d_gaussian(pos)
fig =plt.figure()
ax = fig.gca(projection='3d')
ax.plot_surface(X,Y,Z,rstride=3,cstride=3,linewidth=1,antialiased =True) cset = ax.contour(X,Y,Z,zdir='z',offset=-0.15)
ax.set_zlim(-0.15,0.2)
ax.set_zticks(np.linspace(0,0.2,5))
ax.view_init(27,-21)
plt.show()。