信号与系统序列卷积的简便算法
信号与系统3-3 序列的分解与卷积和
3-3-2 序列的卷积和
2．令x(n)= h(n)=anu(n)，a<1，故有x(k)= aku(k)和h(n-k)=an-ku(n-k)。因为
k<0时，u(k)=0，所以卷积和的下限可简化为k=0；又因为k>n时，u(n-k)=0， 所以卷积和的上限可简化为k=n。因此有：
n
y(n) ak anku(k)u(n k) ak ank
x(0) x(1) x(2) x(3)
y(2) y(1) y(0)
上、下行样本起始点对齐相乘 z(0) x(0) y(0) ；
y(2)
x(0) y(1)
x(1) y(0)
x(2)
x(3)
下行样本右移一位两行
对齐相乘求和
z(1) x(0) y(1) x(1) y(0) ；
x(0) x(1) x(2) x(3)
国家“十二五”规划教材——《信号与系统》
§3-3 序列的分Po解we与rTe卷Tmhe积mpeGlaa和ltleery
重点 序列的分解及卷积和性质 难点 卷积和的运算
内容安排
3-3-1 序列的分解 3-3-2 序列的卷积和
前言
本讲首先讨论将一个任意序列表示为移 位单位样值序列（或叫移位冲激序列）的加 权叠加，然后给出卷积和的概念。
式（3-3-1）又被称之为离散时间单位样值序列的筛选（或抽样）性质。
这是因为移位单位样值序列 (n k)仅当k=n时为非零，因此式（3-3-1）
等式右边的和式就对序列x(n)进行了筛除，仅仅保留对应于k=n时的序 列样本值x(k)。
3-3-1 序列的分解
x(n)
图3-3-1序列分解
…
…
信号处理 卷积理解
卷积在信号处理中是一种基本操作，用于将输入信号和一组指定的“脉冲响应”信号结合，生成输出信号。
脉冲响应可以理解为系统对单位脉冲信号的响应。
单位脉冲信号是一个只在某一特定时间点有值的信号（如数学中的delta函数），而脉冲响应就是系统在接收到这个脉冲信号后输出的结果。
在卷积操作中，输入信号被视为一系列脉冲信号的组合。
每个脉冲信号都有自己的时间点，而卷积就是将输入信号中的每个脉冲信号与脉冲响应进行对应时间的乘积求和，然后将所有结果连接起来，得到输出信号。
具体来说，卷积操作可以看作是对输入信号的每一个采样点，乘以相应的脉冲响应函数，并将这些乘积相加。
这个过程可以公式化表示为：y[n] = ∑_{k} x[k] * h[n-k]。
其中y[n]是输出信号，x[k]是输入信号，h[n-k]是脉冲响应函数。
卷积的概念可以应用于各种不同的领域，例如数字图像处理、音频处理等。
通过卷积操作，可以对输入信号进行各种滤波、边缘检测等操作，实现信号的变换和处理。
信号与系统卷积分析法
2
电路基础教学部
2005年3月1日10时14分
2.1 冲激函数与冲激响应
2.1.1 冲激函数 2.1.2 冲激函数的性质 2.1.3 冲激响应
3
电路基础教学部
2005年3月1日10时14分
2.1.1 冲激函数(1)
工程定义
0 t 0 (t ) t 0
(1)
且
x(t ) lim x(n) g(t n)y(t ) lim
0
n
0
n
x(n)h
(t n)
y(t ) x()h(t )d y(t ) x(t ) * h(t ) 卷积积分
2.3 卷积的图解和卷积积分限的确定
2.3.1 卷积的图解 2.3.2 卷积积分限的确定
24
电路基础教学部
2005年3月1日10时14分
2.3.1 卷积的图解(1)
按如下步骤进行：
y(t ) x(t ) * h(t ) x()h(t )d
（1）改换变量：x(t)x()， h(t)h()
(t )(t ) (0)(t ) (0)(t )
(t )(t t0 ) (t0 )(t t0 ) (t0 )(t t0 )
(t )(t )dt (0) (t )(t t )dt (t ) ()(t )d(t )(t t ) (t )U (t t )
0
0 h(t )dt 1 4[h(0) h(0)] 1 h(t)为有限值 h(0) 0 4h(t ) |
0 0
0
h(0) 1 / 4 1e t / 4 h(t ) t 0 4 1e t / 4 h(t ) U (t ) 4
离散卷积计算方法
离散卷积计算方法
离散卷积是一种数学运算，用于处理离散信号和系统的卷积操作。
离散卷积的计算方法可以通过以下步骤来进行：
1.确定输入序列和系统的响应序列。
输入序列通常表示为x[n]，系统的响应序列表示为h[n]。
2.反转系统的响应序列。
将h[n]反转得到h[-n]。
3.对每个n值，计算卷积的结果。
卷积的计算方法是将反转后的系统响应序列h[-n]与输入序列x[n]逐点相乘，并将结果相加。
离散卷积的公式为：y[n] = ∑(x[k] * h[n-k])，其中k取值范围根据信号的长度确定。
4.根据计算得到的y[n]，即卷积的结果，可以得到输出序列。
在实际计算中，可以使用循环或矩阵运算等方式来实现离散卷积的计算。
循环方法逐点进行相乘和相加的操作，而矩阵方法可以将卷积转化为矩阵乘法的形式，利用矩阵运算的效率进行计算。
需要注意的是，在进行离散卷积计算时，输入序列和系统的响应序列的长度需要满足一定的条件，以确保卷积的结果能够正确计算。
长度不足时，可以使用补零等方法进行扩展。
以上是离散卷积的一般计算方法，具体的实现和应用可能会根据信号处理的需求和算法的特点有所不同。
1/ 1。
卷积公式
卷积公式卷积的物理意义是将输入信号用时移加权的单位冲激信号和（积分）表示，然后输出就是各个冲激信号作用系统后再求和，而时移量u（f(t-u)），再对u积分，就产生了反转。
卷积的物理意义(2009-11-30 09:25:54)卷积这个东东是“信号与系统”中论述系统对输入信号的响应而提出的。
因为是对模拟信号论述的，所以常常带有繁琐的算术推倒，很简单的问题的本质常常就被一大堆公式淹没了，那么卷积究竟物理意义怎么样呢？卷积表示为y(n) = x(n)*h(n)假设0时刻系统响应为y(0),若其在1时刻时，此种响应未改变，则1时刻的响应就变成了y(0)+y(1),叫序列的累加和（与序列的和不一样）。
但常常系统中不是这样的，因为0时刻的响应不太可能在1时刻仍旧未变化，那么怎么表述这种变化呢，就通过h(t)这个响应函数与x(0)相乘来表述，表述为x(m)×h(m-n)，具体表达式不用多管，只要记着有大概这种关系，引入这个函数h(t)就能够表述y(0)在1时刻究竟削弱了多少，然后削弱后的值才是y(0)在1时刻的真实值，再通过累加和运算，才得到真实的系统响应。
再拓展点，某时刻的系统响应往往不一定是由当前时刻和前一时刻这两个响应决定的，也可能是再加上前前时刻，前前前时刻，前前前前时刻，等等，那么怎么约束这个范围呢，就是通过对h(n)这个函数在表达式中变化后的h(m-n)中的m 的范围来约束的。
即说白了，就是当前时刻的系统响应与多少个之前时刻的响应的“残留影响”有关。
当考虑这些因素后，就可以描述成一个系统响应了，而这些因素通过一个表达式（卷积）即描述出来不得不说是数学的巧妙和迷人之处了。
对于非数学系学生来说，只要懂怎么用卷积就可以了，研究什么是卷积其实意义不大,它就是一种微元相乘累加的极限形式。
卷积本身不过就是一种数学运算而已。
就跟“蝶形运算”一样，怎么证明，这是数学系的人的工作。
在信号与系统里，f(t)的零状态响应y(t)可用f(t)与其单位冲激响应h(t) 的卷积积分求解得，即y(t)=f(t)*h(t)。
卷积计算(图解法)
(4)相加：把所有的乘积累加起来，即得y(n)。
2021/3/11
1
计算卷积时，一般要分几个区间分别加以 考虑，下面举例说明。
例 已知x(n)和h(n)分别为：
1, 0 n 4 x(n) 0, 其它
an , 0 n 6
和 h(n)
0,
其它
a为常数，且1<a，试求x(n)和h(n)的卷积。
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2
解 参看图，分段考虑如下：
x(m)
n 04
h(m)
n 06
h(n-m)
(1)对于n<0；
n-6 n
(2)对于0≤n≤4；
(3)对于n>4，且n-6≤0，即4<n≤6；
(4)对于n>6，且n-6≤4，即6<n≤10；
(5)对于(n-6)>4，即n>10。
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m
3
(1) n<0
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5
x(m)
(3)在4<n≤6区间上
4
y(n) x(m)h(n m)
m0
m 04
h(n-m)
4
4
1 anm an am
m0
m0
m
n-6 0
46 n
an 1 a(14) an4 a1n
1 a1
1 a
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6
x(m)
(4)在6<n≤10区间上
n
y(n) x(m)h(n m)
an4 a7
1 a
,
6 n 10
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0,
10 n 8
x(m)
m
y(n) x(n) h(n) 0
卷积计算方法
卷积计算方法
卷积计算方法是一种数字信号处理技术，通常用于图像处理、语音识别、人工智能等领域。
以下是常见的卷积计算方法：
1. 离散卷积计算：
- 线性卷积：使用滑动窗口将输入信号与卷积核进行逐点相乘，然后将结果求和得到输出的对应点。
- 快速卷积：利用卷积的因果性质和快速傅里叶变换 (FFT)
的性质，通过将输入信号和卷积核进行傅里叶变换、逐点相乘、逆傅里叶变换等步骤来实现。
2. 卷积神经网络计算：
- 前向传播：将输入图像通过一系列的卷积层、激活函数层、池化层、全连接层等操作，最终得到预测结果。
- 反向传播：通过损失函数计算预测结果与真实标签之间的
误差，然后利用链式法则逆向计算各层的梯度，并利用梯度下降法来更新网络的参数。
3. 转换矩阵计算：
- 利用矩阵的乘法运算，将输入信号和卷积核转换成矩阵形式，然后进行矩阵乘法运算，最后再将结果转换回信号形式。
4. 快速卷积计算方法：
- 基于频域：将输入信号和卷积核进行傅里叶变换，然后进
行频域的乘法运算，最后再进行逆傅里叶变换，得到输出信号。
- 基于时域：通过输入信号的循环移位和卷积核的翻转操作，实现快速的卷积计算。
以上方法各有优缺点，适用于不同的应用场景和计算需求。
信号与系统3-3 序列的分解与卷积和
3-3-2 序列的卷积和
z(n) x(k)y(n k)
k
n
x(k) y(n k) x(k) y(n k)
k 0
k 0
（3-3-3）
对于这种有限长度序列，其卷积和z(n)的长度怎样计算？假设这里的
x(n)和y(n)分别有l+1和m+1个样值，也就是说 x(n) x(0), x(1), , x(l) 和 y(n) y(0), y(1), , y(m)，则其卷积和：
的卷积，并确定卷积和的长度。
解：则卷积和z(n)的长度为l+m+1=3+2+1=6，代入式（3-3-4），有
0
z(0) x(k) y(0 k) x(0) y(0)
n0
k 0
1
z(1) x(k) y(1 k) x(0) y(0) x(1) y(0)
n 1
k 0
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3-3-1 序列的分解
x(n) ... x(2) (n 2) x(1) (n 1) x(0) (n) x(1) (n 1) x(2) (n 2) ...
上式可表示成通式
x(n) x(k) (n k) k
（3-3-1）
式（3-3-1）将任意离散时间序列x(n)分解成一个基本函数，也就是移位 单位样值序列的加权和，这里权重是对应移位处序列的样本值。图3-3-1 图解说明了序列的这种分解过程。
3-3-2 序列的卷积和
n
z(n) x(k) y(n k), n 0,1, ,l m （3-3-4）
k 0
是长度为l+m+1的序列z(n)。
信号与系统序列卷积的简便算法
信号与系统序列卷积的简便算法
序列卷积的方便算法
——杨曦序列卷积的计算我们常常遇到，但能用的方法老
师教过两种：图解法和列表法。
图解法主要用来解释卷积的定义，实际做起来不胜其繁；列表法虽然简单，不过要先划表线 (当然熟了也可不用)，标注离散时间，最后还要斜向相加，做起来也不利索。
这里介绍一种谁都会做的方法，做起来极快。
其实无线电系的瞎子都能证明，但注意到此的人似乎极少，是以吾推荐之。
本方法的“ 奥妙” 在于：两个多项式的积的系数序列，正是以这两个多项式系数构成的两个序列的序列卷积，多项式的指数等于序列对应点的离散时间。
例: {a}: a[-1]=2, a[0]=1, a[1]=3, a[2]=4
{b}: b[2]=.5, b[3]=4, b[4]=-1, b[5]=2
计算 c=a*b 。
解： 2 1 3 4
× .5 4 -1 2
————————————————
4 2 6 8
-2 -1 -3 -4
8 4 12 16
＋1 .5 1.5 2
————————————————————
1 8.5 3.5 17 15
2 8
∴ c[1]=1, c[2]=8.5, c[3]=3.5, c[4]=17
c[5]=15, c[6]=2 c[7]=8
不难看出，其实这种方法与列表法无异。
不过把表斜着列，从而竖着相加而已。
卷积的快速算法++
《数字信号处理》课程设计报告专业：通信工程班级：通信08-2BF组次：第10组姓名：学号： 14082300925一、 设计目的卷积运算是一种有别于其他运算的新型运算，是信号处理中一种常用的工具。
随着信号与系统理论的研究的深入及计算机技术发展，卷积运算被广泛地运用到现代地震勘测，超声诊断，光学诊断，光学成像，系统辨识及其他诸多新处理领域中。
了解并灵活运卷积运算用去解决问题，提高理论知识水平和动手能力，才是学习卷积运算的真正目的。
通过这次课程设计，一方面加强对《数字信号处理》这门课程的理解和应用，另一方面体会到学校开这些大学课程的意义。
二、设计任务探寻一种运算量更少，算法步骤更简单的算法来实现卷积运算，文中主要通过阶梯函数卷积计算方法和斜体函数卷积计算方法对比来得出最终结论。
三、设计原理1，什么是卷积？卷积是数字信号处理中经常用到的运算。
其基本的表达式为：()()()∑=-=nm m n x m h n y 0换而言之，假设两个信号f 1(t)和f 2(t)，两者做卷积运算定义为 f(t)= ∫f1(τ)∞−∞f2(t −τ)d τ 做一变量代换不难得出：f(t)= ∫f1(τ)∞−∞f2(t −τ)d τ=f 1(t)*f 2(t)=f 2(t)*f 1(t)在教材上，我们知道用图解法很容易理解卷积运算的过程，在此不在赘述。
2，什么是阶梯函数所谓阶梯函数，即是可以用阶梯函数u(t) 和u(t-1)的线性组合来表示的函数，可以看做是一些矩形脉冲的集合，图1-1给除了两个阶梯函数的例子。
1—1 其中f(t)=2u(t)+u(t-1)-2u （t-2）-u(t-3), h(t)= 2u(t)-u(t-1)+2u(t-2)-3u(t-3).以图1—1中两个阶梯函数为例介绍本文提出的阶梯函数卷积算法。
根据卷积的性质（又称为杜阿美尔积分），上述f(t)与h(t)的卷积等于f(t)的导数与 h(t)的积分的卷积，即： f(t)*h(t)=df(t)dt*∫h (τ)dτ.t−∞由于f(t)为阶梯函数，因此其导数也为冲击函数δ(t )及其延时的线性组合， 如图1—2（a ） 所示。
卷积的快速算法++
《数字信号处理》课程设计报告专业：通信工程班级：通信08-2BF组次：第10组姓名：学号：14082300925一、设计目的卷积运算是一种有别于其他运算的新型运算，是信号处理中一种常用的工具。
随着信号与系统理论的研究的深入及计算机技术发展，卷积运算被广泛地运用到现代地震勘测，超声诊断，光学诊断，光学成像，系统辨识及其他诸多新处理领域中。
了解并灵活运卷积运算用去解决问题，提高理论知识水平和动手能力，才是学习卷积运算的真正目的。
通过这次课程设计，一方面加强对《数字信号处理》这门课程的理解和应用，另一方面体会到学校开这些大学课程的意义。
二、设计任务探寻一种运算量更少，算法步骤更简单的算法来实现卷积运算，文中主要通过阶梯函数卷积计算方法和斜体函数卷积计算方法对比来得出最终结论。
三、设计原理1，什么是卷积？卷积是数字信号处理中经常用到的运算。
其基本的表达式为：换而言之，假设两个信号f1(t)和f2(t)，两者做卷积运算定义为f(t)d做一变量代换不难得出：f(t)d=f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)在教材上，我们知道用图解法很容易理解卷积运算的过程，在此不在赘述。
2，什么是阶梯函数所谓阶梯函数，即是可以用阶梯函数u(t) 和u(t-1)的线性组合来表示的函数，可以看做是一些矩形脉冲的集合，图1-1给除了两个阶梯函数的例子。
1—1其中f(t)=2u(t)+u(t-1)-2u（t-2）-u(t-3),h(t)= 2u(t)-u(t-1)+2u(t-2)-3u(t-3).以图1—1中两个阶梯函数为例介绍本文提出的阶梯函数卷积算法。
根据卷积的性质（又称为杜阿美尔积分），上述f(t)与h(t)的卷积等于f(t)的导数与h(t)的积分的卷积，即：f(t)*h(t)=*由于f(t)为阶梯函数，因此其导数也为冲击函数及其延时的线性组合，如图1—2（a）所示。
1—2由于h(t)也为阶梯函数，所以其积分也能方便地求得，其值为阶梯函数图像下方的面积，记作为H(t),如图1—2(b)所示：冲击函数与其它函数的卷积有如下的关系：*f(t)=f(t-T),因此f(t)*h(t)=2H(t)+2H(t-1)-H(t-2)-H(t-3).即f(t)和(t)的卷积等于H(t)及其延时的线性组合，如图1-3所示：1—3从以上分析可以看到，两个阶梯函数的卷积等于其中一个函数的积分H(t)及其延迟H(t)的线性组合，组合系数对应于各个冲击函数的系数。
计算卷积的方法
详细描述了系统传递函数的计算过程，包括系统传递 函数的定义、系统函数的表示、系统传递函数的计算 步骤以及计算实例。
详细描述
系统传递函数是描述线性时不变系统动态特性的数学模 型，可以通过系统的输入输出关系来计算。具体来说， 假设有一个线性时不变系统，其输入为x(t)，输出为y(t)， 系统的传递函数可以通过以下步骤得到：首先根据系统 的输入输出关系列出微分方程，然后通过拉普拉斯变换 求解微分方程，得到传递函数H(s)。
04
卷积的特性
时移性
总结词
卷积的结果可以通过将其中一个信号进 行时间平移来获得。
VS
详细描述
卷积运算具有时移性，即当一个信号在时 间上平移时，其与另一个信号的卷积结果 也会相应地发生平移。这种特性在信号处 理和控制系统等领域中非常重要，因为它 允许我们通过改变输入信号的时间位置来 控制输出信号的时间响应。
滤波器
滤波器
卷积在信号处理中常常用于实现滤波器功能。通过设计特定 的滤波器系数（相当于冲激响应），可以对输入信号进行滤 波处理，提取出需要的信号成分或者抑制不需要的噪声干扰 。
IIR滤波器和FIR滤波器
在数字信号处理中，滤波器可以分为无限冲激响应（IIR）滤波 器和有限冲激响应（FIR）滤波器。IIR滤波器具有反馈结构，可 以实现对信号的递归处理；而FIR滤波器没有反馈结构，只能实 现线性相位响应。
计算卷积的方法
• 卷积的定义 • 卷积的物理意义 • 计算卷积的方法 • 卷积的特性 • 卷积的计算实例
01
卷积的定义
数学定义
数学上，卷积是一种二元运算，表示为 *。 对于两个函数 f 和 g，它们的卷积定义为
(f * g)[n] = sum_{k=-infty}^{+infty} f[k] g[n-k])
信号与系统计算卷积积分的图示解析法
h( t )
y( t ) t 3
t 1 2 t 1 2
t 1 2
y( t ) 2
t 1 2
y( t ) 3 t
t 1 2
t 1 2 t 1 2
y( t ) [u( t 2) u( t 2)] [u( t 1) u( t 1)]
y( t )
0
BC 2BC ( t )d (t 1) 3 3
t30 t3 2
x ( )
h( t )
t3
2
t
BC BC 2 y( t ) ( t )d ( t +4t +5) (3 t 5) 3 6 t 3
x ( )
假定参与卷积的两个函数都只有一个定 义段，即：
fl ( t ) ()u( t Ll ) u( t Rl )
f s ( t ) ()u( t Ls ) u( t Rs )
其中，l、s分别表示长短，L、R分别表 示左右，则时限长度分别为：
Tl Rl Ll，Ts Rs Ls
h( )
t0
x ( )
t3
t
y( t ) 0
(t 0)
h( t )
x ( )
t0 t2
t3
t
y( t )
0
t
BC BC 2 ( t )d t 3 6
(0 t 2)
h( t )
x ( )
t2 t30
t3
2
t
(2 t 3)
y( t )
例
x ( t ) C [u( t ) u( t 2)],
卷积的快速算法
《数字信号处理》课程设计报告专业：通信工程班级：通信08-2BF组次：第10组姓名：学号：14082300925一、 设计目的卷积运算是一种有别于其他运算的新型运算，是信号处理中一种常用的工具。
随着信号与系统理论的研究的深入及计算机技术发展，卷积运算被广泛地运用到现代地震勘测，超声诊断，光学诊断，光学成像，系统辨识及其他诸多新处理领域中。
了解并灵活运卷积运算用去解决问题，提高理论知识水平和动手能力，才是学习卷积运算的真正目的。
通过这次课程设计，一方面加强对《数字信号处理》这门课程的理解和应用，另一方面体会到学校开这些大学课程的意义。
二、设计任务探寻一种运算量更少，算法步骤更简单的算法来实现卷积运算，文中主要通过阶梯函数卷积计算方法和斜体函数卷积计算方法对比来得出最终结论。
三、设计原理1，什么是卷积？卷积是数字信号处理中经常用到的运算。
其基本的表达式为：()()()∑=-=nm m n x m h n y 0换而言之，假设两个信号f 1(t)和f 2(t)，两者做卷积运算定义为 f(t)= ∫f1(τ)∞−∞f2(t −τ)d τ 做一变量代换不难得出：f(t)= ∫f1(τ)∞−∞f2(t −τ)d τ=f 1(t)*f 2(t)=f 2(t)*f 1(t)在教材上，我们知道用图解法很容易理解卷积运算的过程，在此不在赘述。
2，什么是阶梯函数所谓阶梯函数，即是可以用阶梯函数u(t)和u(t -1)的线性组合来表示的函数，可以看做是一些矩形脉冲的集合，图1-1给除了两个阶梯函数的例子。
1—1 其中f(t)=2u(t)+u(t -1)-2u （t -2）-u(t -3), h(t)=2u(t)-u(t -1)+2u(t -2)-3u(t -3).以图1—1中两个阶梯函数为例介绍本文提出的阶梯函数卷积算法。
根据卷积的性质（又称为杜阿美尔积分），上述f(t)与h(t)的卷积等于f(t)的导数与 h(t)的积分的卷积，即： f(t)*h(t)=df(t)dt*∫h (τ)dτ.t−∞由于f(t)为阶梯函数，因此其导数也为冲击函数δ(t )及其延时的线性组合，如图1—2（a ） 所示。
5.4 卷积和
当i < 0,ε(i) = 0；当i > k时，ε(k - i) = 0
k 1 a 1 i b k a b k k i k i k y f ( k ) a b ( k ) b ( k ) a 1 i 0 i 0 b b k ε(k)*ε(k) = (k+1)ε(k) b (k 1)
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12
第一章 信号与系统 性质求卷积和例
例1 复合系统中 h1(k) = ε(k)， h2(k) = ε(k – 5)，求复合系统的单 位序列响应h (k) 。 f(k) 解 根据h(k)的定义，有
h1(k) ∑ h2(k) h 1(k) y(k)
h(k)= [δ(k)* h1(k) –δ(k)* h2(k) ]* h1(k) = [h1(k) – h2(k) ]* h1(k) = h1(k) * h1(k) –h2(k) * h1(k) = ε(k)* ε(k) – ε(k – 5) *ε(k) = (k+1)ε(k) – (k+1 – 5)ε(k – 5) = (k+1)ε(k) – (k– 4)ε(k – 5)
f (i)h(k i)
‖ yf(k)
y f (k )
i
f (i)h(k i) 卷积和
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3
第一章 信号与系统
3 .卷积和的定义
已知定义在区间（ – ∞，∞）上的两个函数f1(k) 和f2(k)，则定义和 f (k ) f1 (i ) f 2 (k i )
f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0) f1(2)f2(1)+ f1(3)f2(0) f1(1) f2(0)
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序列卷积的方便算法
——杨曦
序列卷积的计算我们常常遇到，但能用的方法老师教过两种：图解法和列表法。
图解法主要用来解释卷积的定义，实际做起来不胜其繁；列表法虽然简单，不过要先划表线 (当然熟了也可不用)，标注离散时间，最后还要斜向相加，做起来也不利索。
这里介绍一种谁都会做的方法，做起来极快。
其实无线电系的瞎子都能证明，但注意到此的人似乎极少，是以吾推荐之。
本方法的“ 奥妙” 在于：两个多项式的积的系数序列，正是以这两个多项式系数构成的两个序列的序列卷积，多项式的指数等于序列对应点的离散时间。
例: {a}: a[-1]=2, a[0]=1, a[1]=3, a[2]=4
{b}: b[2]=.5, b[3]=4, b[4]=-1, b[5]=2
计算 c=a*b 。
解： 2 1 3 4
× .5 4 -1 2
————————————————
4 2 6 8
-2 -1 -3 -4
8 4 12 16
＋1 .5 1.5 2
————————————————————
1 8.5 3.5 17 15
2 8
∴ c[1]=1, c[2]=8.5, c[3]=3.5, c[4]=17
c[5]=15, c[6]=2 c[7]=8
不难看出，其实这种方法与列表法无异。
不过把表斜着列，从而竖着相加而已。