事件的独立性

事件的独立性

编写人： 编号：005

学习目标

理解两个事件相互独立的概念，并能进行一些与事件独立有关的概率的计算。

学习过程：

【一】预习：

1、问题1：抛掷一枚质地均匀的硬币两次．

在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？

2．问题2：第一次出现正面向上的条件，对第二次出现正面向上的概率是否产生影响．

设B 表示事件〝第一次正面向上〞， A 表示事件〝第二次正面向上〞，由古典概型知

P(A)= , P(B)= , P(AB)= ，

所以．P(A|B)=

即()()P A P A B =，这说明事件B 的发生不影响事件A 发生的概率． 归纳总结：

1．两个事件的独立性

一般地，假设事件A ，B 满足()()P A B P A =，那么称事件A ，B 独立．

当A ，B 独立时，假设()0P A >，因为()()()()P AB P A B P A P B =

=， 所以 ()()()P AB P A P B =，反过来()()()()P AB P B A P B P A ==， 即B ，A 也独立．这说明A 与B 独立是相互的，此时事件A 和B 同时发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之积，即

假设我们认为任何事件与必然事件相独立，任何事件与不可能事件相独立，那么两个事件A ，B 相互独立的充要条件是()()()P AB P A P B =．今后我们将遵循此约定．

事实上，假设B φ=，那么()0P B =，同时就有()0P AB =，此时不论A 是什么事件，都有〔*〕式成立，亦即任何事件都与φ独立．同理任何事件也与必然事件Ω独立.

2． 个事件的独立性可以推广到(2)n n >个事件的独立性，且假设事件12,,,n A A A L 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率

()()()()1212n n P A A A P A P A P A =L L ．

3． 独立与互斥：

回顾：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥事件有一个发 时另一个必不发生，这样的两个互斥事件叫对立事件.

区别：互斥事件和相互独立事件是两个不同概念：两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．

事实上，当()0P A >，()0P B >时，假设,A B 互斥，那么AB φ=，从而()0P AB =，但()()0P A P B >，因而等式()()()P AB P A P B =不成立，即互斥未必独立．假设,A B 独立，那么()()()0P AB P A P B =>，从而,A B 不互斥〔否那么，()0P AB =，导致矛盾〕．

例如：从一副扑克牌〔５２张〕中任抽一张，设A =〝抽得老Ｋ〞B =〝抽的红牌〞，C =〝抽到Ｊ〞，判断以下事件是否相互独立？是否互斥，是否对立？

①A 与B ； ②A 与C

图2-3-2 ()1P AB - A 、B 中至少有一个发生的概率

()1P AB - A 、B 中至多有一个发生的概率

练习：

1、甲,乙两人同时向敌人炮击,甲击中敌机的概率为0.6,乙击中敌机的概率为0.5,求敌机被击中的概率.

2、口袋中有a 只黑球b 只白球，连摸两次，每次一球.记A ={第一次摸

时得黑球}，

B ={第二次摸时得黑球}.问A 与B 是否独立？就两种情况进行讨论：①有放回；②无放回.

【二】课堂训练：

例1、求证：假设事件A 与B 相互独立，那么事件A 与B 也相互独立。 例2. 如图232--，用,,X Y Z 三类不同的元

件连接成系统N ．当元件,,X Y Z 都正常工作

时，系统N 正常工作．元件,,X Y Z 正常工作的概率依次为0.80，0.90，

0.90，求系统N 正常工作的概率P ． 例3、加工某一零件共需两道工序，假设第【一】二道工序的不合格品率分别为3﹪，5﹪ ，假定各道工序是互不影响的，问：加工出来的零件是不合格品的概率是多少？

【三】巩固练习：

1. 某机械零件由2道工序组成，第一道工序的废品率为a ，第二道工序的废品率为b ，假设这两道工序出废品是彼此无关的，那么产品的合格率为( )

A 、ab-a-b+1

B 、1-a-b

C 、1-ab

D 、1-2ab

2.甲、乙、丙三人参加数学竞赛，三人获奖的概率分别为0.6, 0.7和0.8, 那么他们三人中至少一人获奖的概率为( )

A.0.788

B.0.452

C.0.9

D.0.976

3、一年按365天计算，在全班58名同学中至少有两人的生日相同的概率是〔保留四位小数〕___________

4. 在一次反恐演习中，三名阻击手分别从三个不同的方位对某个恐怖分子同时射击，由于位置的原因，三人击中目标的概率分别为0.9, 0.8, 0.7，假设至少两人命中目标才能确保人质安全，如果三人同时射击，那么人质安全的概率为_______

5. 甲、乙、丙3位学生用计算机联网学习数学，每天独立完成6道检测题，甲及格的概率为108，乙及格的概率为106，丙及格的概率为107，3个人各做一遍，那么3人中只有1人及格的概率为_____________

6. 同时掷3颗骰子，共掷5次，那么至少有一次全部为六点的概率是〔保留四位小数〕__________________

7. 如下图,六个开关闭合的概率都是1/2,且相互独立,求灯亮的概率.

8. 一个元件能否正常工作的概率叫做元件的可靠性，设构成系统的每个元件的可靠性为p(0