不等式恒成立、能成立、恰成立问题

１不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用庆阳二中 曹久贤恒成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内总是成立的,例如:x²≥0，在实数范围即x∈R 内恒成立能成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内存在值使这个代数式成立,使代数式成立的值有可能是一个,两个或是无穷多个,即个数是不定的,而在这个给定的范围内可以存在使这个代数式不成立的值,也可以不存在这样的值,例如:x+1>0在x>-2上能成立.恰成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内恰好是成立的,或是说这个代数式只有在这个范围内成立,在这个范围外的值都不能使这个代数式成立,而这个代数式里面的值均能使这个代数式成立.例如:(x-1)²=0，在x=1时恰成立.可以说恰成立是恒成立的一种特例,在给定的范围内恰成立肯定是恒成立的,但是恒成立的条件中还有可能符合代数式的在给定的范围之外,即恒成立不一定包含了满足这个代数式的所有的值,但是恰成立包含了满足这个代数的值,并且给定的范围也全都满足这个代数式. 例如:x+1>0在x>-5上是能成立的,在x>-1上是恰成立也是恒成立的.而在-1<x<9上是恒成立但不是恰成立.常见关键词列表如下：多参数恒成立问题举例：例1: 已知f (x )是定义在[-1,1]上的奇函数,且f (1)=1,若0)()(0],1,1[,>++≠+-∈nm n f m f n m n m 时，若12)(2+-≤at t x f 对于所有的]1,1[],1,1[-∈-∈a x 恒成立，求实数t 的取值范围.二、不等式能成立问题的处理方法:图像法、最值法若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A>； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.例2、已知不等式ax x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围______例3、若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．２例4、已知函数()21ln 22f x x ax x=--（0≠a ）存在单调递减区间，求a 的取值范围________.三、不等式恰好成立问题的处理方法：韦达定理法、代入法、最值法例5、不等式2ax bx 10++>的解集为1|13x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭则a b ⋅=___________ 例6、已知(),22x ax x x f ++=当[)()x f x ,,1+∞∈的值域是[)+∞,0,试求实数a 的值.例7、已知两函数f(x)=8x 2+16x-k ，g(x)=2x 3+5x 2+4x ，其中k 为实数。

（1）对任意x ∈[-3，3]，都有f （x)≤g(x)成立，求k 的取值范围； （2）存在x ∈[-3，3]，使f （x)≤g(x)成立，求k 的取值范围；（3）对任意x 1、x 2∈[-3，3]，都有f （x 1)≤g(x 2)，求k 的取值范围。

不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习1、 设函数329()62f x x x x a=-+-．对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值。

2、已知不等式[]22023x x a x -+>∈对任意实数，恒成立。

求实数a 的取值范围。

3、不等式)4(x x ax -≤在]3,0[∈x 内恒成立，求实数a 的取值范围。

4. （1）若不等式2(1)(1)3(1)0m x m x m +--+-<对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围（2）若不等式2(1)(1)3(1)0m x m x m +--+-<对任意实数m 恒成立，求实数x 的取值范围。

5、已知不等式22622kx kx x x ++>++对任意的x R ∈恒成立，求实数k 的取值范围6、 若不等式2log 0m x x -<在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，则实数m 的取值范围 。

6、不等式220kx k +-<有解，求k 的取值范围。

7、对于不等式21x x a-++<，存在实数x ，使此不等式成立的实数a 的集合是M ；对于任意[05]x ∈，，使此不等式恒成立的实数a 的集合为N ，求集合M N ，．8、设函数432()2()f x x ax x b x R =+++∈，其中,a b R ∈．若对于任意的[]22a ∈-，，不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立，求b 的取值范围．9、已知函数[].2,0,334)(2∈+=x x xx f ，（Ⅰ）求)(x f 的值域；３（Ⅱ）设0≠a ，函数[]2,0,31)(23∈-=x x a ax x g 。

若对任意[]2,01∈x ，总存在[]2,02∈x ，使0)()(21=-x g x f , 求实数a 的取值范围.解：⑴方法一：对函数)(x f 求导，,)1(134)(222+-='x x x f 令)(x f '=0，得1=x 或1-=x ， 当()1,0∈x 时，)(x f '>0，)(x f 在()1,0上单调递增；当)2,1(∈x 时, )(x f '<0, )(x f 在(1,2)上单调递减。

又,32)1(,0)0(==f f ,158)2(=f ∴当)2,0(∈x 时)(x f 的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0；方法二：当0=x 时)(x f =0；当]2,0(∈x 时)(x f ,32121341134=⋅⋅≤+⋅=xx x x 当且仅当1,1==即x x x 时)(x f 的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0；（2）设函数)(x g 在[]2,0的值域是A ，∵对任意[]2,01∈x ，总存在[]2,02∈x ，使0)()(21=-x g x f 。

∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0,A ⊆对函数)(x g 求导，a x g =')(22a x -， ①当0),2,0(<∈a x 时，函数)(x g 在)2,0(上单调递减，,0238)2(,0)0(2<-==a a g g ∴当[]2,0∈x 时，不满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0A ⊆；②当0>a 时，a x g =')())((a x a x +-，令,0)(='x g 得a 或x a x -==（舍去），（i ）当[]2,0∈x ，20<<a 时，列表x0 ),0(aa)2,(a2 )(x g '－＋)(x g↓a a 232-↑ 2238a a -- ∵,0)(,0)0(<=a g g 又∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0A ⊆，∴,32238)2(2≥-=a a g 解得.131≤≤a(ii ）当2),2,0(≥∈a x 时, 0)(<'x g ,∴函数)(x g 在)2,0(上单调递减，,0)0(=g0238)2(2<-=a a g ,∴当[]2,0∈x 时，不满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0A ⊆.综上,实数a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,31. 10.（2004.福建）已知22()()2x af x x R x -=∈+在区间[1,1]-上是增函数. （Ⅰ）求实数a 的值组成的集合A ；（Ⅱ）设关于x 的方程1()f x x=的两个非零实根为1,2x x .试问：是否存在实数m ，使得不等式2121||m tm x x ++≥-对任意a A ∈及[1,1]t ∈-恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）f ＇(x)=222)2(224+-+x x ax = 222)2()2(2+---x ax x ，４()f x 在[－1，1]上是增函数， ∴'()0f x ≥对x ∈[－1，1]恒成立，即2()20x x ax ϕ=--≤对x ∈[－1，1]恒成立, ① 方法一：由()x ϕ图象知① ⇔ ⎩⎨⎧≤-+=-≤--=021)1(021)1(a a ϕϕ⇔11a -≤≤， ∴{|11}A a a =-≤≤.方法二：①⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤-+=-≥021)1(02a a ϕ或⎪⎩⎪⎨⎧≤--=<021)1(02a a ϕ⇔ 01a ≤≤ 或 10a -≤≤⇔ 11a -≤≤ ∴{|11}A a a =-≤≤.（Ⅱ）由222+-x a x =x1，得2()20x x ax ϕ=--=， ∵△=a 2+8>0 ∴x 1，x 2是方程220x ax --=的两非零实根， ∴12x x a +=，122x x =- ，从而|x 1－x 2|=212214)(x x x x -+=82+a . ∵11a -≤≤，∴12||x x -=82+a ≤3.要使不等式2121||m tm x x ++≥-对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立， 当且仅当213m tm ++≥对任意t ∈[－1，1]恒成立，即220m tm +-≥对任意t ∈[－1，1]恒成立． ② 设22()22g t m tm mt m =+-=+-② ⇔ 22(1)20(1)20g m m g m m ⎧-=--≥⎨=+-≥⎩⇔2m ≤-2m ≥或． 所以，存在实数m ，使不等式2121||m tm x x ++≥-对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{|22}m m m ≤-≥或．11. 设3x =是函数23()()()x f x x ax b e x -=++∈R 的一个极值点.（Ⅰ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间； （Ⅱ）设0a >，225()()4xg x a e =+,若存在12,[0,4]ξξ∈使得12()()1f g ξξ-<成立，求a 的取值范围.8. 本题的第（Ⅱ） “若存在12,[0,4]ξξ∈使得12()()1f g ξξ-<成立，求a 的取值范围.”如何理解这一设问呢？如果函数()f x 在[]0,4x ∈的值域与()g x 在[]0,4x ∈的值域的交集非５空，则一定存在12,[0,4]ξξ∈使得12()()1f g ξξ-<成立，如果函数()f x 在[]0,4x ∈的值域与()g x 在[]0,4x ∈的值域的交集是空集，只要这两个值域的距离的最小值小于1即可.由（Ⅰ）可得,函数()f x 在[]0,4x ∈的值域为()323,6a e a ⎡⎤-++⎣⎦,又()g x 在[]0,4x ∈的值域为2242525,44a a e ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,存在12,[0,4]ξξ∈使得12()()1f g ξξ-<成立，等价于()()ma xm i n1f x g x -<或()()max min 1g x f x -<，容易证明,2254a +6a >+. 于是, ()22561,30420.a a a a ⎧⎛⎫+-+<⎪ ⎪⇒<<⎝⎭⎨⎪>⎩. 12. 已知函数].1,0[,274)(2∈--=x xx x f （1）求)(x f 的单调区间和值域；（2）设1≥a ，函数()[]1,0,2323∈--=x a x a x x g ,若对于任意1x []1,0∈,总存在[]1,00∈x 使得)()(10x f x g =成立，求a 的取值范围.9. （1）对函数)(x f 求导，得222)2()72)(12()2(7164)(x x x x x x x f ----=--+-=' 令0)(='x f 解得.2721==x x 或可以求得，当)21,0(∈x 时，)(x f 是减函数；当)1,21(∈x 时，)(x f 是增函数.当]1,0[∈x 时，)(x f 的值域为[]4,3--. （2）对函数)(x g 求导，得).(3)(22a x x g -=' 因为1≥a ，当)1,0(∈x 时，.0)1(3)(2≤-<'a x g 因此当)1,0(∈x 时，)(x g 为减函数， 从而当]1,0[∈x 时有)].0(),1([)(g g x g ∈ 又,2)0(,321)1(2a g a a g -=--=即]1,0[∈x 时有()g x 的值域为是2[123,2].a a a ---６如何理解“任给]1,0[1∈x ，]3,4[)(1--∈x f ，存在]1,0[0∈x 使得)()(10x f x g =”， 实际上，这等价于)(x f 值域是()g x 值域的子集，即2[123,2][4,3].a a a ---⊃--这就变成一个恒成立问题，)(x f 的最小值不小于()g x 的最小值，)(x f 的最大值不大于()g x 的最大值即⎩⎨⎧-≥--≤--.32,43212a a a 解①式得 351-≤≥a a 或；解②式得.23≤a又1≥a ，故a 的取值范围为.231≤≤a① ②。