不等式恒成立、能成立、恰成立问题

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不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用

庆阳二中 曹久贤

恒成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内总是成立的,例如:x²≥0，在实数范围即x∈R 内恒成立

能成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内存在值使这个代数式成立,使代数式成立的值有可能是一个,两个或是无穷多个,即个数是不定的,而在这个给定的范围内可以存在使这个代数式不成立的值,也可以不存在这样的值,例如:x+1>0在x>-2上能成立.

恰成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内恰好是成立的,或是说这个代数式只有在这个范围内成立,在这个范围外的值都不能使这个代数式成立,而这个代数式里面的值均能使这个代数式成立.例如:(x-1)²=0，在x=1时恰成立.

可以说恰成立是恒成立的一种特例,在给定的范围内恰成立肯定是恒成立的,但是恒成立的条件中还有可能符合代数式的在给定的范围之外,即恒成立不一定包含了满足这个代数式的所有的值,但是恰成立包含了满足这个代数的值,并且给定的范围也全都满足这个代数式. 例如:x+1>0在x>-5上是能成立的,在x>-1上是恰成立也是恒成立的.而在-1

常见关键词列表如下：

多参数恒成立问题举例：

例1: 已知f (x )是定义在[-1,1]上的奇函数,且f (1)=1,若0)

()(0],1,1[,>++≠+-∈n

m n f m f n m n m 时，若

12)(2+-≤at t x f 对于所有的]1,1[],1,1[-∈-∈a x 恒成立，求实数t 的取值范围.

二、不等式能成立问题的处理方法:图像法、最值法

若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A

>； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.

例2、已知不等式

a

x x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围______

例3、若关于x 的不等式32

-≤--a ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．

２

例4、已知函数()21

ln 22f x x ax x

=--（0≠a ）存在单调递减区间，求a 的取值范围________.

三、不等式恰好成立问题的处理方法：韦达定理法、代入法、最值法

例5、不等式2

ax bx 10++>的解集为1|13x x ⎧

⎫-<<⎨⎬⎩

⎭则a b ⋅=___________ 例6、已知(),

22x a

x x x f ++=当[)()x f x ,,1+∞∈的值域是[)+∞,0,试求实数a 的值.

例7、已知两函数f(x)=8x 2+16x-k ，g(x)=2x 3+5x 2+4x ，其中k 为实数。

（1）对任意x ∈[-3，3]，都有f （x)≤g(x)成立，求k 的取值范围； （2）存在x ∈[-3，3]，使f （x)≤g(x)成立，求k 的取值范围；

（3）对任意x 1、x 2∈[-3，3]，都有f （x 1)≤g(x 2)，求k 的取值范围。

不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习

1、 设函数32

9()62f x x x x a

=-

+-．对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值。

2、已知不等式[]

22023x x a x -+>∈对任意实数，恒成立。求实数a 的取值范围。

3、不等式

)4(x x ax -≤在]3,0[∈x 内恒成立，求实数a 的取值范围。

4. （1）若不等式2(1)(1)3(1)0m x m x m +--+-<对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围

（2）若不等式2(1)(1)3(1)0m x m x m +--+-<对任意实数m 恒成立，求实数x 的取值范围。

5、已知不等式22

6

22kx kx x x ++>++对任意的x R ∈恒成立，求实数k 的取值范围

6、 若不等式2log 0m x x -<在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，则实数m 的取值范围 。

6、不等式2

20kx k +-<有解，求k 的取值范围。 7、对于不等式

21x x a

-++<，存在实数x ，使此不等式成立的实数a 的集合是M ；对于任意[05]x ∈，

，使此不等式恒成立的实数a 的集合为N ，求集合M N ，．

8、设函数432

()2()f x x ax x b x R =+++∈，其中,a b R ∈．若对于任意的[]22a ∈-，，不等式()1

f x ≤在

[]11-，上恒成立，求b 的取值范围．

9、已知函数[].2,0,3

34)(2

∈+=

x x x

x f ，（Ⅰ）求)(x f 的值域；

３

（Ⅱ）设0≠a ，函数[]2,0,3

1)(23

∈-=

x x a ax x g 。若对任意[]2,01∈x ，总存在[]2,02∈x ，使0)()(21=-x g x f , 求实数a 的取值范围.

解：⑴方法一：对函数)(x f 求导，,)

1(134)(2

22

+-='x x x f 令)(x f '=0，得1=x 或1-=x ， 当()1,0∈x 时，)(x f '>0，)(x f 在()1,0上单调递增；当)2,1(∈x 时, )(x f '<0, )(x f 在(1,2)上单调递减。又

,32)1(,0)0(==f f ,158)2(=f ∴当)2,0(∈x 时)(x f 的值域是⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡32,0；

方法二：当0=x 时)(x f =0；当]2,0(∈x 时)(x f ,32

121341134=⋅⋅≤+⋅=x

x x x 当且仅当1,1==即x x x 时

)(x f 的值域是⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡32,0；

（2）设函数)(x g 在[]2,0的值域是A ，∵对任意[]2,01∈x ，总存在[]2,02∈x ，使0)()(21=-x g x f 。 ∴⎥⎦

⎤⎢⎣⎡32,0,A ⊆对函数)(x g 求导，a x g =')(2

2a x -， ①当0),2,0(<∈a x 时，函数)(x g 在)2,0(上单调递减，

,0238)2(,0)0(2<-==a a g g ∴当[]2,0∈x 时，不满足⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡32,0A ⊆；

②当0>a 时，a x g =')())((a x a x +-，令,0)(='x g 得a 或x a x -==（舍去），

（i ）当[]2,0∈x ，20<<

a 时，列表

x

0 )

,0(a

a

)2,(a

2 )(x g '

－

＋

)(x g

↓

a a 232-

↑ 223

8a a -- ∵,0)(,0)0(<=a g g 又∵⎥⎦

⎤⎢⎣⎡32,0A ⊆，∴,32238)2(2

≥-=a a g 解得.131≤≤a

(ii ）当2),2,0(≥∈a x 时, 0)(<'x g ,∴函数)(x g 在)2,0(上单调递减，,0)0(=g

0238)2(2<-=

a a g ,∴当[]2,0∈x 时，不满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0A ⊆.综上,实数a 的取值范围是⎥⎦

⎤⎢⎣⎡1,31. 10.（2004.福建）已知2

2()()2

x a

f x x R x -=

∈+在区间[1,1]-上是增函数. （Ⅰ）求实数a 的值组成的集合A ；

（Ⅱ）设关于x 的方程1

()f x x

=的两个非零实根为1,2x x .试问：是否存在实数m ，使得不等式

2121||m tm x x ++≥-对任意a A ∈及[1,1]t ∈-恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理

由.

解：（Ⅰ）f ＇(x)=222)2(224+-+x x ax = 2

22)

2()

2(2+---x ax x ，