新编：人教版九年级上册数学第21章《一元二次方程》全章课件共13课时
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人教版九年级数学上册《一元二次方程》课件(共13张PPT)
【跟踪训练】
3．把方程 x(2x－1)＝1 化成 ax2＋bx＋c＝0 的形式，则 a，
b，c 的一组值是( A )
A．2，－1，－1
B．2，－1,1
C．2,1，－1
D．2,1,1
4．把下列关于 x 的一元二次方程化为一般形式，并指出其 二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)3x2＝5x－1； (2)a(x2－x)＝bx＋c(a≠0)． 解：(1)一般形式为 3x2－5x＋1＝0，二次项系数为 3，一次 项系数为－5，常数项为 1. (2)一般形式为 ax2－(a＋b)x－c＝0，二次项系数为 a，一次 项系数为－(a＋b)，常数项为－c.
证明：∵关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中的 二次项系数与常数项之和等于一次项系数，
∴a＋c＝b. ∴当 x＝－1 时，ax2＋bx＋c＝a－b＋c＝b－b＝0， ∴－1 必是该方程的一个根．
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话， 另一眼睛看到纸的背面。2022年4月11日星期一2022/4/112022/4/112022/4/11 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/112022/4/112022/4/114/11/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/112022/4/11April 11, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
第二十一章 一元二次方程
21．1 一元二次方程
1．一元二次方程的概念 只含有__一__个___未知数，并且未知数的最高次数是___2____ 的___整__式___方程，叫做一元二次方程． 注意：一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数； (2)未知数的最高次数是 2；(3)是整式方程．
人教版初中数学九年级上册 21.1 一元二次方程 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
（2）一元二次方程地二次项、二次项系数、一次项、一次 项系数、常数项等都是针对一般形式而言的。
（3)指出一元二次方程各项系数时，不要漏掉前面的符 号
?
2.将下列方程化为一般形式，并分别指出它 们的二次项系数、一次项系数和常数项：
1）
2）（x-2）(x+3)=8
3)
例题例讲题解讲解
• [例３]方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什 么条件下此方程为一元二次方程？在什 么条件下此方程为一元一次方程？
一般式 相同点 不同点
一元一次方程
一元二次方程
ax=b (a≠0）
ax2+bx+c=0 (a≠0）
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1 未知数最高次数是2
• [例2] 将下列方程化为一般形式， 并分别指出它们的二次项、一次项 和常数项及它们的系数：
3x(x 1) 5(x 2)
（1）一元二次方程地一般形式不是唯一地，但习 惯上都把二次项地系数化为正整数。
解：当a≠2时是一元二次方程；当a＝ 2，b≠0时是一元一次方程；
.选择题 1.方程（m－1)x2＋mx＋1=0为关于x的一元二次 方程则m的值为＿＿＿ A 任何实数 B m≠0 C m≠1 D m≠0 且m≠1
2.关于x的方程中一定是一元二次方程的是 A ax2＋bx＋c＝0 B mx2＋x－m2＝0 C (m＋1)x2＝(m＋1)2 D （m2＋1) x2－m2＝0
一元二次方程解的概念
❖方程解的定义是怎样的呢?
能使方程左右两边相等的未知数的 值就叫方程的解。只含有一个未知 数的方程的解也叫做根
例4 已知关于x的一元二次方程 (m－1)x2＋3x－5m＋4＝0有一根为2，
（3)指出一元二次方程各项系数时，不要漏掉前面的符 号
?
2.将下列方程化为一般形式，并分别指出它 们的二次项系数、一次项系数和常数项：
1）
2）（x-2）(x+3)=8
3)
例题例讲题解讲解
• [例３]方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什 么条件下此方程为一元二次方程？在什 么条件下此方程为一元一次方程？
一般式 相同点 不同点
一元一次方程
一元二次方程
ax=b (a≠0）
ax2+bx+c=0 (a≠0）
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1 未知数最高次数是2
• [例2] 将下列方程化为一般形式， 并分别指出它们的二次项、一次项 和常数项及它们的系数：
3x(x 1) 5(x 2)
（1）一元二次方程地一般形式不是唯一地，但习 惯上都把二次项地系数化为正整数。
解：当a≠2时是一元二次方程；当a＝ 2，b≠0时是一元一次方程；
.选择题 1.方程（m－1)x2＋mx＋1=0为关于x的一元二次 方程则m的值为＿＿＿ A 任何实数 B m≠0 C m≠1 D m≠0 且m≠1
2.关于x的方程中一定是一元二次方程的是 A ax2＋bx＋c＝0 B mx2＋x－m2＝0 C (m＋1)x2＝(m＋1)2 D （m2＋1) x2－m2＝0
一元二次方程解的概念
❖方程解的定义是怎样的呢?
能使方程左右两边相等的未知数的 值就叫方程的解。只含有一个未知 数的方程的解也叫做根
例4 已知关于x的一元二次方程 (m－1)x2＋3x－5m＋4＝0有一根为2，
人教版九年级数学上册第21章一元二次方程全章教学课件
各角应切去多大的正方形？
分析：设切去的正方形的边长为xcm，
则盒底的长为
１００－，２宽ｘ为
５０－２ｘ
得方程：
（１００－２ｘ）·（５０－２ｘ）＝３６００
整理得 ： ４ｘ２－３００ｘ＋１４.００＝０ ①.
自学指导
问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队 之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程 计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀 请多少个队参赛？
x＋3＝±5 （降次）
即 x＋3＝5 或 x＋3＝ －5 解一次方程，得： x1＝ 2 ，x2＝ －
归纳：通过配成完全平方式的形式解一元
二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的 是为了降次，把一元二次方程转化为两个一 元一次方程．
自学指导
自学自2：学解2下：列解方下程列：方程：
((13))((4313xx))2234－＋xx22－＋11＝611x＝65＋x；5＋1；61(＝26)(＝942.()9x4.－(x－1)21－)2－9＝9＝0；0；
(2)2(x2－1)＝3y
(3)2x2－3x－1＝0 (5)(x＋3)2＝(x－3)2
(4) 1 2 ＝0 x2 x
(6)9x2＝5－4x
解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是.
2．若x＝2是方程 ax24x50的一个根， 求a的值.
解：∵x＝2是 ax24x50方程的一个根
自学指导
问题1：一桶某种油漆可刷的面积为150方体形状的盒子 的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为 6x2 dm2，
根据一桶油漆可刷的面积列出方程：
10 ·6x2=1500
由此可得：x2=25
分析：设切去的正方形的边长为xcm，
则盒底的长为
１００－，２宽ｘ为
５０－２ｘ
得方程：
（１００－２ｘ）·（５０－２ｘ）＝３６００
整理得 ： ４ｘ２－３００ｘ＋１４.００＝０ ①.
自学指导
问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队 之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程 计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀 请多少个队参赛？
x＋3＝±5 （降次）
即 x＋3＝5 或 x＋3＝ －5 解一次方程，得： x1＝ 2 ，x2＝ －
归纳：通过配成完全平方式的形式解一元
二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的 是为了降次，把一元二次方程转化为两个一 元一次方程．
自学指导
自学自2：学解2下：列解方下程列：方程：
((13))((4313xx))2234－＋xx22－＋11＝611x＝65＋x；5＋1；61(＝26)(＝942.()9x4.－(x－1)21－)2－9＝9＝0；0；
(2)2(x2－1)＝3y
(3)2x2－3x－1＝0 (5)(x＋3)2＝(x－3)2
(4) 1 2 ＝0 x2 x
(6)9x2＝5－4x
解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是.
2．若x＝2是方程 ax24x50的一个根， 求a的值.
解：∵x＝2是 ax24x50方程的一个根
自学指导
问题1：一桶某种油漆可刷的面积为150方体形状的盒子 的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为 6x2 dm2，
根据一桶油漆可刷的面积列出方程：
10 ·6x2=1500
由此可得：x2=25
人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程复习课件(共18张PPT)
第二十一章 一元二次方程
重点归类提升练
一、有理数的解法
1．已知：关于 x 的一元二次方程 x －2(2m－3)x＋4m －14m＋8＝0. 3 (1)当 m＝ 时，用____________法解方程较为简单； 2 (2)当 m＝0 时，用配方法解方程； (3)当 m＝1 时，用公式法解方程；
2
2
第二十一章 一元二次方程
2
图21－Z－1
第二十一章 一元二次方程
(2)如果在(1)中正方体打孔后， 再在正面中心位置(如图 21－Z －1②所示)从前到后打一个边长为 1 cm 的正方形通孔，那么打孔 后的橡皮泥块的表面积为________． (3)如果把(1)(2)中的边长为 1 cm 的正方形通孔均改为边长为
a cm(a≠1)的正方形通孔，能否使打了两个通孔后的橡皮泥块的表 2 面积为 118 cm ？如果能，求出 a 的值；如果不能，请说明理由．
第二十一＜ 40 ， ∴ 8m ＋ 4 ＞ 0 ， ∴ 由 求 根 公 式 ， 得 x ＝ 2（2m－3）± 8m＋4 ＝(2m－3)± 2m＋1. 2 ∵方程有两个整数根，∴必须使 2m＋1为整数且 m 为整数． ∵2m＋1 必是奇数，∴ 2m＋1是奇数． 又∵12＜m＜40，∴25＜2m＋1＜81， ∴5＜ 2m＋1＜9，∴ 2m＋1＝7，∴m＝24.
第二十一章 一元二次方程
二、一元二次方程的应用
2．实验与操作：小明是一名动手能力很强的同学，他用橡皮 泥做了一个棱长为 4 cm 的正方体． (1)如图 21－Z－1①所示，在正方体顶面中心位置处从上到下 打一个边长为 1 cm 的正方形通孔，打孔后的橡皮泥块的表面积为 ________ cm .
第二十一章 一元二次方程
人教版九年级初中数学上册第二十一章一元二次方程-解一元二次方程(配方法)PPT课件
2
B.x 2 6 x 8 0，x 2 6 x 9 8 9， x 3 1
2
2
2
2
7
7 7
7 7 97
C.2 x 7 x 6 0，x x 3， x 2 x 3 ， x
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 解一元二次方程
——配方法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.理解配方法的概念，并运用配方法解一元二次方程。
2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤。
重点难点
重点：用配方法解一元二次方程。
难点：用配方法解一元二次方程的步骤。
新知探究
尝试写出解方程x2+6x+4=0的过程？
第二十一章 一元二次方程
课 程 结 束
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
C.大于等于1
的值（ C ）
D.不大于1
【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值。
【解题过程】 解：∵ 2 x 2 4 x 3
2 x 2 2 x 1 2 1 3
2 x 1 1。
2
2 x 1 0，
2
原式 1。
方”)
新知探究
通过配方法解一元二次方程的步骤
用配方法解一元二次方程
ax 2 bx c 0 a 0 的一般步骤：
（1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
（2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
B.x 2 6 x 8 0，x 2 6 x 9 8 9， x 3 1
2
2
2
2
7
7 7
7 7 97
C.2 x 7 x 6 0，x x 3， x 2 x 3 ， x
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 解一元二次方程
——配方法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.理解配方法的概念，并运用配方法解一元二次方程。
2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤。
重点难点
重点：用配方法解一元二次方程。
难点：用配方法解一元二次方程的步骤。
新知探究
尝试写出解方程x2+6x+4=0的过程？
第二十一章 一元二次方程
课 程 结 束
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
C.大于等于1
的值（ C ）
D.不大于1
【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值。
【解题过程】 解：∵ 2 x 2 4 x 3
2 x 2 2 x 1 2 1 3
2 x 1 1。
2
2 x 1 0，
2
原式 1。
方”)
新知探究
通过配方法解一元二次方程的步骤
用配方法解一元二次方程
ax 2 bx c 0 a 0 的一般步骤：
（1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
（2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)
解：设小道的宽度为x米，得(20－2x)(10－x)＝120整理得x2-要建造一个长10m，宽5m玻璃顶观景亭，如图所示在它的四角建造四个截面为正方形的承重柱. 已知需要用到玻璃的面积为45m2，那么承重柱的宽度多少？
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
人教版九年级上册数学第二十一章一元二次方程的根与系数的关系课件
解：原方程可化为：
x2 + kx- 6 =0 55
想一想，
设方程的另一根是x1 ，那么
2x1 =-56,∴x1
=-3 5
还有其他 方法吗？
又∵ （-53）+2=-5k，∴k=-5[53()-+2]=-7
答：方程的另一个根是
-
3 5
，k 的值是 -7。
还可以把 x=2代入方程的两边，求出k。
我能行3 例3、不解方程，求一元二次方程22 x+3x -1=0
两个根的①平方和；②倒数和。
解：设方x程1+的x两2=根-是3 2,xx11 ,x•2x,2那=-么1 2
① ∴ ( x 1 21 + + x x x 2 22 = ) 2 ( = 1 x + x 1 2 x + 2 2 ) 21 -x 2 x 2+ 1 x x x 2 2 2
∴ x1 2+x2 2=(-3 2) 2-2× (-1 2)=1 43
9．已知关于x的方程x2-2(m-2)x+m2=0 ，问：是 否存在正实数m,使方程的两个实数根的平方和等 于56，若存在，求出m的值；若不存在，请说明
理由。 不存在
10．已知关于x的一元二次方程x2+(4m+1)x+2m-
1=O。
(1)求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相
等的实数根； (2)若方程两根为x1、x2，且满足 求m的值。
2
如果方程ax +bx+c=0(a≠0)的两个根是x , 1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。
1
想一想，还有其他方法吗？
人教版九年级数学上册《21一元二次方程 公式法 课件
将a，b，c 代入式子
x b
b2 4ac .
2a
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公
式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式
可知，一元二次方程最多有两个实数根.
注意 用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0); 2.b2-4ac≥0.
探究新知
求根公式的推导
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式
ax2+bx+c=0
能否也用配方法得出它的解呢？
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0).
解: 移项，得 ax2 bx c，
方程两边都除以a x2 b x c ，
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
典例精析
例6:若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的
实数根，则k的取值范围是( B )
A.k>-1
B.k>-1且k≠0
C.k<1
D.k<1且k≠0
解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，
则b2-(4a2c)>20，4同k 时0要求二次项系数不为0，
即
，k≠0.解得k>-1且k≠0，故选B.
∴方程有两个相等的实数根．
例7:不解方程，判断下列方程的根的情况．
(3) 7y=5(y2+1).
解：（3）方程化为：5y2－7y+5=0, ∴b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0.
∴方程有两个相等的实数根．
初中数学九年级上册第21章《一元二次方程》 数学活动 PPT课件
…… 三角点阵中，从上往下有无数多行，其中第一行有 1 个点，第二行有 2 个点……第 n 行有 n 个点……
1．创设情境，发现规律
前 1 行的点数和：1 前 2 行的点数和：3 前 3 行的点数和：6 前 4 行的点数和：10
……
前 n 行的点数和：？
1．创设情境，发现规律
……
用试验的方法，由上而下 逐行相加其点数，可以得到结 果，但是当 n 很大的时候，我 们怎么简捷地得出答案呢？
前 n 行的点数和： 1+2+3+…+（ n-2）+（
n-1）+n=n（n2+1）
．
2．动脑思考，解决问题
假设三角点阵中前 n 行的点数和为 300，求 n 的值． n（n2+1）= 300
n 2 + n - 600 = 0
解方程： n 1 = 24， n 2 = -25（舍去）．
2．动脑思考，解决问题
九年级 上册
数学活动
课件说明
• 本课探究三角点阵中前课件说明
• 学习目标： 1．探究发现三角点阵中前 n 行的点数规律，并能用 于计算； 2．掌握从特殊到一般，从个别到整体地观察、分析 问题的方法，建立数学模型解决问题，培养应用 意识．
1．创设情境，发现规律
三角点阵中前 n 行的点数和能是 600 吗？如果能， 求出 n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．
n（n2+1）= 600
n 2 + n - 1 200 = 0 方程无整数根，所以不存在点数和为 600 的情况．
3．拓展延伸
如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为 2， 4，6，…，2n，…，你能探究出前 n 行的点数和满足什 么规律吗？这个三角形点阵中前 n 行的点数和能是 600 吗？如果能，求出 n；如果不能，试用一元二次方程说 明道理．
人教版九年级上册新第21章一元二次方程211一元二次方程教学公开课课件13张2
(a 1)x2 x a 2 1 0
- 有一个根为0，则 a =___1__.
谢谢各位聆听！
y 1
（7）
2x 3
y 4
0
（分式方程）
（8）x(x 5) 2
（二元一次方程）
归纳
定义：等号两边都是整式，只含有一个 未知数（一元），并且未知数的最高次数 是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
定义：使方程左右两边相等的未知数的 值就是这个一元二次方程的解，一元二次 方程的解也叫做一元二次方程的根。
教学内容分析
本节课是人教版数学九年级上第二十 一章《一元二次方程》的第一节课： 一元二次方程及其解的定义。本节课 内容虽然简单，但它是学生今后学习 一元二次方程的解法的基础；而且， 它是向学生渗透自主探究其它方程的 通法和思路的典型例子。
学生情况分析
学生已经学习了整式方程中的一元一 次方程、二元一次方程以及一类可化 为一元一次方程的分式方程；对方程 及其解的定义已经有了较深刻的认识。
22 2
应用新知
33
巩固新知
45
课堂小结
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
问题
下列方程中，请指出哪些是已经学过的方程， 这些方程的名称是什么？
（1）4x 3 1
（2）3x 2y 5
（一元一次方程）
（二元一次方程）
5 （3）2x
4 0 （y 分式方程）
（4）3 y 4 7 （一元一次方程）
（5）3x2 5x 4 0 （6）12 3 5
教学目标
理解一元二次方程的概念；掌握一元 知识技能 二次方程的一般形式，正确认识二次
项系数、一次项系数和常数项；
经历由观察、类比、归纳和猜想等手 过程方法 段概括出新概念的过程；体会类比、
- 有一个根为0，则 a =___1__.
谢谢各位聆听！
y 1
（7）
2x 3
y 4
0
（分式方程）
（8）x(x 5) 2
（二元一次方程）
归纳
定义：等号两边都是整式，只含有一个 未知数（一元），并且未知数的最高次数 是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
定义：使方程左右两边相等的未知数的 值就是这个一元二次方程的解，一元二次 方程的解也叫做一元二次方程的根。
教学内容分析
本节课是人教版数学九年级上第二十 一章《一元二次方程》的第一节课： 一元二次方程及其解的定义。本节课 内容虽然简单，但它是学生今后学习 一元二次方程的解法的基础；而且， 它是向学生渗透自主探究其它方程的 通法和思路的典型例子。
学生情况分析
学生已经学习了整式方程中的一元一 次方程、二元一次方程以及一类可化 为一元一次方程的分式方程；对方程 及其解的定义已经有了较深刻的认识。
22 2
应用新知
33
巩固新知
45
课堂小结
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
问题
下列方程中，请指出哪些是已经学过的方程， 这些方程的名称是什么？
（1）4x 3 1
（2）3x 2y 5
（一元一次方程）
（二元一次方程）
5 （3）2x
4 0 （y 分式方程）
（4）3 y 4 7 （一元一次方程）
（5）3x2 5x 4 0 （6）12 3 5
教学目标
理解一元二次方程的概念；掌握一元 知识技能 二次方程的一般形式，正确认识二次
项系数、一次项系数和常数项；
经历由观察、类比、归纳和猜想等手 过程方法 段概括出新概念的过程；体会类比、
九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程 21.1 一元二次方程教学课件 (新版)新人教版.pptx
一次项系数
7
二、新课讲解
例1 将方程3x( x-1)=5( x +2)化成一元
二次方程的一般形式，并写出其中的二次 项系数、一次项系数和常数项.
解：去括号，得
3x2 3x 5x 10
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2 8x 10 0
其中二次项系数是3，一次项系数是－8， 常数项是－10.
8
二、新课讲解
例2 下列哪些数是方程 x 2- x -6=0的根？
从中你能体会根的作用吗？ －4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4
解：将 x =-4带入方程的左边得14；同理可 得：x =-3时，左边得6；x=-2时，左边得0；x =-1时，左边得-4；x=0时，左边得-6；x =1 时，左边得-6；x =2时，左边得-4；x =3时， 左边得0；x =4时，左边得6.所以该方程的
6
二、新课讲解
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程
都可以化为 ax2 bx c 0 的形式,我们把
ax2 bx c 0 (a,b,c为常数，a≠0）称为一
元二次方程的一般形式.
想一想
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项系数
根为-2和3. 根的作用：可以使等号成立.
9
二、新课讲解
例3 你能根据所学过的知识解出下列方程的 解吗？
（1）x2-36=0 ; （2）4 x2-9=0.
解：（1）移项得：x2=36, 所以 x =6或-6.
（2）移项得：4 x 2=9, 两边同时除以4得：x2=9/4, 所以 x= 2 或- 2 .
特点： （1）等号两边都是整式； （2）整式的最高次数是2次 .
最新人教部编版九年级数学上册《第21章 一元二次方程【全章】》精品PPT优质课件
A. x-6=-4 B. x-6=4 C. x+6=4
2. 方程3x2+9=0的根为（ D ）
A. 3
B. －3 C. ±3
3. 若8x2-16=0，则x的值是
.
D. x+6=-4 D. 无实数根
4. 解关于x的方程(x+m)2=n. 解：①当n>0时，此时方程两边直接开方.得
x+m=± n ，方程的两根为x1= n -m, x2=- n -m. ②当n=0时，此时(x+m)2=0,直接开方得
p mn ，x2来自pnm,当p<0时，方程(mx+n)2=p 无实数根 .
课后作业
1.从教材课后习题中选取； 2.从练习册中选取。
课堂感想 1、这节课你有什么收获？ 2、这节课还有什么疑惑？ 说出来和大家一起交流吧！
谢谢观赏！
再见！
21.2 解一元二次方程
21.2.1 配方法 第2课时 配方法
分析：根据一元二次方程的根的定义，将这些数 作为未知数x的值分别代入方程x2+3x-10=0中，能够使 方程左右两边相等的数就是方程的根，通过代入检验 可知，当且仅当x=-5或2时，方程x2+3x-10=0左右两边 相等.
随堂演练
1. 一元二次方程3x2=5x的二次项系数和一次项系数分别 是（ C ） A. 3，5 B. 3，0 C. 3，-5 D. 5，0
课堂小结
一个未知数
一 概念 最高次是2
元
整式方程
二
次 一般形式： ax2 + bx + c =0(a≠0)
方
程
二次项系数
常数项
一次项系数
课后作业
人教版九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》课件
练一练：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解? -4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4
解： 3和-2.
你注意到了吗？一元 二次方程可能不止一 个根.
例4：已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根, 求
2a2+4a+2018的值.
解：由题意得 a2 2a 2 0 即a2 2a 2
2a2 4a 2018 2(a2 2a) 2018 2 2 2018 2022
方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意 观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数 式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值．
当堂练习
1. 下列哪些是一元二次方程？
3x+2=5x-2
×
x2=0
5.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根 是3，求a的值. 解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得
32+3a+a=0 9+4a=0 4a=-9
a 9 4
6.若关于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0
有一个根为0，求m的值.
解：将x=0代入方程m2-4=0，
解：由题意得 a b c 0 即a 12 b 1 c 0 ∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1.
2. 若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 ，你能通过观察,求出方 程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗? x=2
课堂小结
概念
一 元 二 一般形
次方程
式
根
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2
③
由方程③可以得出参赛队数．
x2+2x-4=0
x2－75x+350=0
?
一元二次方程是 刻画现实世界的 一种数学模型
x x 56
2
特点:
①都是整式方程; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2。
像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数，并且 未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程。
课堂练习
1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出 其中的二次项系数，一次项系数及常数项：
1
5x2 1 4x；
一般式： 5x 2
2 4x2 81；
1 5x2 1 4x
4 x 1 0.
二次项系数为５，一次项系数－4，常数项－1.
2 4x2 81
2
2
2
-4
1 2 -1 0 1-m
4 0 -1 -5 -m -10
2
3
4 m-3 3
2
3x(x-1)=5(x+2)
-8
例4.从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横 拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个 醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚 好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．
全部比赛共4×7＝28场 设应邀请x个队参赛，每个队要与其它（x－1）个队各赛1场，由于甲队对乙
队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共
列方程
1 x x 1 28 2
1 2 1 x x 28 2 2
1 x x 1场． 2
整理，得
化简，得
x x 56
设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长 为（100－2x）cm，宽为（50－2x）cm，根据 方盒的底面积为3600cm2，得
（100－2x）（50－2x）=3600. 整理，得 4x2－300x+1400=0. 化简，得 x2－75x+350=0 . ②
x
由方程②可以得出所切正方形的具体尺寸．
问题2: 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比 赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安 排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
4 3x 2x 1 8x 3
一般式： 3x 2
7 x 1 0.
二次项系数为3，一次项系数－7，常数项1.
2.填表：
一元二次方程
二次项系 数 一次项系 数
常数项
2x +x+4=0 -4y +2y=0 2 3x -x-1=0 4x -5=0
(m-3)x -(m-1)x-m=0(m≠3)
典例精析
解：设竹竿的长为x尺, 则门的宽 度为 (x－4)尺, 长为 (x－2)尺,依题意得 方程：
ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一
次项系数；c是常数项．
典例精析
例3: 将方程3x(x－1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般 形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项．
解：去括号，得
3x2－3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的 一般形式： 3x2-8x-10=0. 其中二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为 －10.
情景导入
要设计一座2m高的人体雕像，修雕像的上部（腰以上）与下部 （腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雕像的下部应 设计为多高？ 雕像上部的高度AC，下部的高度BC应有如下关系： A
AC BC = BC 2
2cm
BC =2AC
2
C
设雕像下部高xm，于是得方程
x2=2(2－x)
B
整理得
x2＋2x－4=0
当k ＝－1 时，是元一次方程．
3.若关于x的方程2mx（x-1）-nx（x+1）=1，化成一般形式后 为4x2-2x-1=0，求m、n的值。
归纳总结
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整
理，都能化成如下形式
ax bx c 0 a 0 .
2
这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中
一般式： 4 x
2
81 0.
二次项系数为4，一次项系数0，常数项－81.
4x x 2 25； 4 3 3x 2 x 1 8x 3.
3 4 xx 2 25
一般式： 4x2
8 x 25 0.
二次项系数为4，一次项系数8，常数项－25.
你会发现这个方程与以前学习过的一次方程不同，其 中未知数x的最高次数是2，怎样解决这样的方程从而 得到问题的答案呢？
合作探究
问题1 ：如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它 的四角各切一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起， 就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
课堂练习 下列方程哪些是一元二次方程? 为什么？
(1)7x2－6x＝0 (2)2x2－5xy＋6y＝0
1 －1 ＝0 (3)2x2－ － 3x 2 y (4) － ＝ 0 2
(5)x2＋2x－3＝1＋x2
解: (1)、 (4)
典例精析
例2 m为何值时，方程 于x的一元二次方程？
m 1x
人 教 版 九 年 级 数 学 上 册
第二十一章 一元二次方程
21.1一元二次方程
第1课时一元二次方程的概念
情景引入
合作探究
课堂练习
课堂小结
达标测试
读书之法，在循序而渐进，熟读而精思。
知识回顾
5x-15=0
这是一个什么样的方程？
只含有一个未知数（元），并且未知数的 次数是1的整式方程叫一元一次方程
m2 1
3x 2 0 是关
m 1 0 解： 由题意，得 2 m 1 2
解，得
m 1
课堂练习
1.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,当k ≠3 时，是一元二次方 程． 2.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,当k≠±1 时， 是一元二次方程．
典例精析
判断下列方程是否为一元二次方程？ 例1 ： (1)x +x =36 (3)x+3y=36 (5) x+1=0
2
2
2
(2) x + x =36
1 2 (4) 2 0 x x
3
2
x (6) 6 3
2
(7)4 x 1 (2 x 3)
(8)( x ) 2 2 x 6 0
③
由方程③可以得出参赛队数．
x2+2x-4=0
x2－75x+350=0
?
一元二次方程是 刻画现实世界的 一种数学模型
x x 56
2
特点:
①都是整式方程; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2。
像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数，并且 未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程。
课堂练习
1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出 其中的二次项系数，一次项系数及常数项：
1
5x2 1 4x；
一般式： 5x 2
2 4x2 81；
1 5x2 1 4x
4 x 1 0.
二次项系数为５，一次项系数－4，常数项－1.
2 4x2 81
2
2
2
-4
1 2 -1 0 1-m
4 0 -1 -5 -m -10
2
3
4 m-3 3
2
3x(x-1)=5(x+2)
-8
例4.从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横 拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个 醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚 好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．
全部比赛共4×7＝28场 设应邀请x个队参赛，每个队要与其它（x－1）个队各赛1场，由于甲队对乙
队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共
列方程
1 x x 1 28 2
1 2 1 x x 28 2 2
1 x x 1场． 2
整理，得
化简，得
x x 56
设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长 为（100－2x）cm，宽为（50－2x）cm，根据 方盒的底面积为3600cm2，得
（100－2x）（50－2x）=3600. 整理，得 4x2－300x+1400=0. 化简，得 x2－75x+350=0 . ②
x
由方程②可以得出所切正方形的具体尺寸．
问题2: 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比 赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安 排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
4 3x 2x 1 8x 3
一般式： 3x 2
7 x 1 0.
二次项系数为3，一次项系数－7，常数项1.
2.填表：
一元二次方程
二次项系 数 一次项系 数
常数项
2x +x+4=0 -4y +2y=0 2 3x -x-1=0 4x -5=0
(m-3)x -(m-1)x-m=0(m≠3)
典例精析
解：设竹竿的长为x尺, 则门的宽 度为 (x－4)尺, 长为 (x－2)尺,依题意得 方程：
ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一
次项系数；c是常数项．
典例精析
例3: 将方程3x(x－1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般 形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项．
解：去括号，得
3x2－3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的 一般形式： 3x2-8x-10=0. 其中二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为 －10.
情景导入
要设计一座2m高的人体雕像，修雕像的上部（腰以上）与下部 （腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雕像的下部应 设计为多高？ 雕像上部的高度AC，下部的高度BC应有如下关系： A
AC BC = BC 2
2cm
BC =2AC
2
C
设雕像下部高xm，于是得方程
x2=2(2－x)
B
整理得
x2＋2x－4=0
当k ＝－1 时，是元一次方程．
3.若关于x的方程2mx（x-1）-nx（x+1）=1，化成一般形式后 为4x2-2x-1=0，求m、n的值。
归纳总结
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整
理，都能化成如下形式
ax bx c 0 a 0 .
2
这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中
一般式： 4 x
2
81 0.
二次项系数为4，一次项系数0，常数项－81.
4x x 2 25； 4 3 3x 2 x 1 8x 3.
3 4 xx 2 25
一般式： 4x2
8 x 25 0.
二次项系数为4，一次项系数8，常数项－25.
你会发现这个方程与以前学习过的一次方程不同，其 中未知数x的最高次数是2，怎样解决这样的方程从而 得到问题的答案呢？
合作探究
问题1 ：如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它 的四角各切一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起， 就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
课堂练习 下列方程哪些是一元二次方程? 为什么？
(1)7x2－6x＝0 (2)2x2－5xy＋6y＝0
1 －1 ＝0 (3)2x2－ － 3x 2 y (4) － ＝ 0 2
(5)x2＋2x－3＝1＋x2
解: (1)、 (4)
典例精析
例2 m为何值时，方程 于x的一元二次方程？
m 1x
人 教 版 九 年 级 数 学 上 册
第二十一章 一元二次方程
21.1一元二次方程
第1课时一元二次方程的概念
情景引入
合作探究
课堂练习
课堂小结
达标测试
读书之法，在循序而渐进，熟读而精思。
知识回顾
5x-15=0
这是一个什么样的方程？
只含有一个未知数（元），并且未知数的 次数是1的整式方程叫一元一次方程
m2 1
3x 2 0 是关
m 1 0 解： 由题意，得 2 m 1 2
解，得
m 1
课堂练习
1.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,当k ≠3 时，是一元二次方 程． 2.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,当k≠±1 时， 是一元二次方程．
典例精析
判断下列方程是否为一元二次方程？ 例1 ： (1)x +x =36 (3)x+3y=36 (5) x+1=0
2
2
2
(2) x + x =36
1 2 (4) 2 0 x x
3
2
x (6) 6 3
2
(7)4 x 1 (2 x 3)
(8)( x ) 2 2 x 6 0