2019-2020学年高三数学 第14周 基本计数原理学案.doc
高中教案：计数原理学案
高中教案：计数原理学案一、教学目标1. 理解分类计数原理和分步计数原理的概念。
2. 学会运用分类计数原理和分步计数原理解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 分类计数原理：定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有可能排列的个数称为分类计数原理。
公式：$A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$2. 分步计数原理：定义：从n个不同元素中，按一定的顺序逐个取出m（m≤n）个元素的所有可能排列的个数称为分步计数原理。
公式：$P_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$三、教学重点与难点1. 教学重点：分类计数原理和分步计数原理的概念及公式的运用。
2. 教学难点：如何将实际问题转化为分类计数原理和分步计数原理问题。
四、教学方法1. 采用案例教学法，通过具体案例让学生理解分类计数原理和分步计数原理。
2. 运用互动教学法，引导学生积极参与讨论，提高解决问题的能力。
3. 利用多媒体教学，生动展示分类计数原理和分步计数原理的应用。
五、教学过程1. 导入新课：通过生活中的实例引入分类计数原理和分步计数原理。
2. 讲解分类计数原理：解释概念，演示公式，举例说明。
3. 讲解分步计数原理：解释概念，演示公式，举例说明。
4. 案例分析：让学生尝试解决实际问题，运用分类计数原理和分步计数原理。
5. 课堂练习：布置练习题，巩固所学内容。
6. 总结：回顾本节课所学内容，强调重点和难点。
7. 布置作业：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学活动1. 小组讨论：学生分组讨论分类计数原理和分步计数原理在实际问题中的应用，分享解题思路和方法。
2. 课堂展示：每组选取一个讨论题目，进行课堂展示，阐述解题过程和答案。
3. 教师点评：针对学生的展示，进行点评，指出优点和需要改进的地方。
七、拓展与应用1. 生活中的计数原理：让学生举例说明分类计数原理和分步计数原理在生活中的应用。
2019-2020学年高中数学《计数原理》复习导学案 理新人教A版选修2-3.doc
2019-2020学年高中数学《计数原理》复习导学案 理新人教A 版选修2-3【学习目标】1. 进一步巩固本章的四个知识点，正确使用加法原理和乘法原理，正确区分排列和组合问题，熟练掌握二项式定理的形式和二项式系数的性质；2. 能把所学知识使用到实际问题中，并能熟练运用..课前预习案教材助读预习教材P 38~ P 41，找出疑惑之处）复习1：加法原理的使用条件是和 ；乘法原理的使用条件是 和 .复习2：排列中的元素满足的两个条件是和 ；组合中元素只需要满足条件 ，与元素的顺序 关.复习3：n b a )(+＝展开式中第1+r 项的二项式系数是 ，通项公式是 ，二项式系数的性质有三个是 ，和 .课内探究案1. 学生可从本年级开设的7门选修课中任意选择3门，从6种课外活动小组中选择2种，不同的选法种数是2.安排6名歌手演出顺序，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，不同排法的种数是3. 有5人分4张无座足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，不同分法的种数是4. 正十二边形的对角线的条数是5.()n x 21+()*∈N n 的展开式中，系数最大的项是第 项.6. 有4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，则可能的结果数是（ ） A. 34A B.34C C.43 D.347. 已知11-+n n C ＝21，那么n ＝ ；8.（07北京文科第5题）某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有( )A.4102126)(A AB.242610A AC.4212610)(A D.242610A9. 23262+被9除的余数为（ ）A ．0B ．1 C.2 D.310.（07重庆文科第15题）要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为 ．（以数字作答）例1 有10个不同的小球，其中4红球，6个白球. 若取到1个红球记2分，取到1个白球记1分，现从10个球中任取4个，使总分不低于5分的取法有多少种？变式：三张卡片的正反面上分别写有数字0与2，3与4，5与6，把这三张卡片拼在一起表示一个三位数，则三位数的个数为多少？例2 已知23)n x 的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992，求展开式中二项式系数最大的项变式：⑴ 在(1－x )5－(1－x )6的展开式中，含x 3的项的系数是 （ ）A 、－5B 、 5C 、10D 、－10⑵ 求(1－2x)8展开式中二项式系数最大的项；※ 动手试试练1. 有4名男生3名女生排成一排，若3名女生中有2名站在一起，但3名女生不能全排在一起，则不同的排法种数有 （ ）A .2880 B.3080 C.3200 D.3600练2. 一种汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，且2个英文字母不能相同，不同的牌照号码的个数是 .练3. 310(1)(1)x x -+的展开式中，5x 的系数是【归纳总结】※ 学习小结1. 正确区分排列组合问题：与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合；正确使用加法与乘法原理；2. 熟练掌握二项式定理，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，区分二项式系数与项系数的关系.三、当堂检测1.一个集合有8个元素，这个集合含有3个元素的子集有 个；2. 平面内有n 条直线，其中没有两条平行，也没有三条交于一点，共有 个交点；3. 书架上有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，全部排在同一层，如果不使同类的书分开，一共有 种排法；4. 由0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数,这样的五位数共有 个；5. 已知集合A ＝{}4321,,,a a a a ，B ＝{}321,,b b b ，可以建立从集合A 到集合B 的不同映射的个数是 ，可以建立从集合B 到集合A 的映射又有 .四、课后反思课后训练案1. 已知()n x +1的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列，求n的值.2. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复的数⑴ 能够组成多少个六位奇数？⑵ 能够组成多少个大于201345的正整数？。
高三数学第14周基本计数原理学案
山东省乐陵市第一中学高三数学第14周基本计数原理学案【学习方针】1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．【重点难点】分类加法计数原理和分步乘法计数原理.【知识梳理】1．分类加法计数原理做一件事，完成它有n类法子，在第1类法子中有m1种分歧的方式，在第2类法子中有m2种分歧的方式……在第n类法子中有mn种分歧的方式，那么完成这件事共有N＝_______ ___种分歧的方式．2．分步乘法计数原理做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种分歧的方式，做第二个步骤有m2种分歧的方式……做第n个步骤有mn种分歧的方式．那么完成这件事共有N＝_______ ___种分歧的方式．【自我检测】1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类分歧方案中的方式可以相同()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方式都能直接完成这件事()(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方式是各不相同的()(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事()2．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么分歧的插法种数为()A．504B．210C．336D．1203．三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，毽又被踢回给甲，则分歧的传递方式共有()A．6种B．8种C．10种D．16种4．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个分列(数字允许反复)暗示一个信息，分歧分列暗示分歧信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()A．10 B．11 C．12 D．155．(2021·山东高考)用0,1，…，9十个数字，可以组成有反复数字的三位数的个数为()A．243 B．252 C．261 D．279【合作探究】【例1】考向1分类加法计数原理(2021·福建高考)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x ＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A．14B．13C．12D．10变式训练1某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位伴侣，每位伴侣一本，则分歧的赠送方式共有()A．4种B．10种C．18种D．20种【例2】考向2分步乘法计数原理(2021·青岛质检)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则分歧的分列方式共有()A．12种 B．18种C．24种 D．36种变式训练2一个非负整数的有序数对(m，n)，如果在做m与n的加法时不用进位，则称(m，n)为“中国梦数对”，m＋n称为“中国梦数对”(m，n)的和，则和为2 013的“中国梦数对”的个数有________．例4 (2021·湖北高考)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3 443,94 249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则(1)4位回文数有________个；(2)2n＋1(n∈N*)位回文数有________个．【达标检测】1．(2021·济宁一模)某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B、C、D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以反复)，有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3、5、6、8、9中选择，其他号码只想在1、3、6、9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有()A．180种B．360种C．720种D．960种2．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个分歧的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为() A．3 B．4C．6 D．83．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一个有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是()A．9 B．14C．15 D．214．6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则分歧的演讲次序共有() A．240种B．360种C．480种D．720种5．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必需同时使用，且同一数字不能相邻泛起，则这样的四位数有()A．6个 B．9个C．18个D．36个6．(2021·课标全国卷)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别放置到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，分歧的放置方案共有()A．12种 B．10种C．9种D．8种7．(2021·北京高考)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都泛起一次，这样的四位数共有________个(用数字作答)．8．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则分歧的选法共有________种(用数字作答)．9．如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个．10．用n种分歧颜色为下列两块广告牌着色(如图①②)，要求在A、B、C、D四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色．图10－1－5(1)若n＝6，为①着色时共有多少种分歧的方式？(2)若为②着色时共有120种分歧的方式，求n.【选做题】1．[2021·辽宁卷] 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数A．144 B．120 C．72 D．242．[2021·全国卷] 有6名男大夫、5名女大夫，从中选出2名男大夫、1名女大夫组成一个医疗小组，则分歧的选法共有()A．60种B．70种C．75种D．150种3．[2021·四川卷] 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则分歧的排法共有()A．192种B．216种C．240种D．288种4.[2021·浙江卷] 在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分派给4个人，每人2张，分歧的获奖情况有________种．(用数字作答)5．[2021·重庆卷] 某次联欢会要放置3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出按次，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72 B．120 C．144 D．168。
高考理科数学专题练习十四《计数原理》
专题十四计数原理考点45：排列与组合（1-6题，13,14题，17-19题）考点46：二项式定理（7-12题，15,16题，20-22题）考试时间：120分钟满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1、考点45 中难某校高三年级共有6个班,现在安排6名教师担任某次模拟考试的监考工作,每名教师监考一个班级.在6名教师中,甲为其中2个班的任课教师,乙为剩下4个班中2个班的任课教师,其余4名教师均不是这6个班的任课教师,那么监考教师都不担任自己所教班的监考工作的概率为( )A.715B.815C.115D.4152、考点45 中难某单位周一至周六要安排甲、乙、丙、丁四人值班,每人至少值一天班,则甲至少值两天班的概率为( )A. 11 26B. 9 26C. 11 52D. 9 523、考点45 中难某同学有7本不同的书,其中语文书2本、英语书2本、数学书3本,现在该同学把这7本书放到书架上排成一排,要求2本语文书相邻、2本英语书相邻、3本数学书中任意2本不相邻,则不同的排法种数为( )A.12B.24C.48D.7204、考点45 中难一个停车场有5个排成一排的空车位，现有2辆不同的车停进这个停车场，若停好后恰有2个相邻的停车位空着，则不同的停车方法共有（ ）种 A.6B.12C.36D.725、考点45 中难某种植基地将编号分别为1,2,3,4,5,6的六个不同品种的马铃薯种在如图所示的这六块实验田上进行对比试验,要求这六块实验田分别种植不同品种的马铃薯,若种植时要求编号1,3,5的三个品种的马铃薯中至少有两个相邻,且2号品种的马铃薯不能种植在A 、F 这两块实验田上,则不同的种植方法有 ( )A.360种B.432种C.456种D.480种 6、考点45 难2017年11月30日至12月2日,来自北京、上海、西安、郑州、青岛及凯里等七所联盟学校(“全国理工联盟”)及凯里当地高中学校教师代表齐聚凯里某校举行联盟教研活动,在数学同课异构活动中,7名数学教师各上一节公开课,教师甲不能上第三节课,教师乙不能上第六节课,则7名教师上课的不同排法有 种( )A.5040B.4800C.3720D.4920 7、考点46 易24)(121()x x ++的展开式中3x 的系数为( )A ．12B ．16C ．20D ．248、考点46 易 已知1021001210(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-L ，则=8a （ ）A.-180B.180C.45D.-45 9、考点46 易9(23)x y -的展开式中各项的二项式系数之和为（ ）A ．-1B ．1C ．-512D ．51210、考点46 中难已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数为5,则a =( ) A.-4B.-3C.-2D.-111、考点46 中难在二项式1121x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,系数最大的项为( )A.第五项B.第六项C.第七项D.第六项或第七项 12、考点46 中难332除以9的余数是( )A.1B.2C.4D.8第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020年高中数学 排列与组合 版块三 基本计数原理的综合应用完整讲义(学生版)
2019-2020年高中数学 排列与组合 版块三 基本计数原理的综合应用完整讲义（学生版）1．基本计数原理⑴加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种方法，……，在第类办法中有种不同的方法．那么完成这件事共有种不同的方法．又称加法原理．⑵乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成个子步骤，做第一个步骤有种不同的方法，做第二个步骤有种不同方法，……，做第个步骤有种不同的方法．那么完成这件事共有种不同的方法．又称乘法原理．⑶加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．2． 排列与组合⑴排列：一般地，从个不同的元素中任取个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）排列数：从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示．排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+，，并且． 全排列：一般地，个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列． 的阶乘：正整数由到的连乘积，叫作的阶乘，用表示．规定：． ⑵组合：一般地，从个不同元素中，任意取出个元素并成一组，叫做从个元素中任取个元素的一个组合．组合数：从个不同元素中，任意取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中，任意取出个元素的组合数，用符号表示．组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()!mn n n n n m n m m n m ---+==-，，并且． 组合数的两个性质：性质1：；性质2：．（规定）⑶排列组合综合问题解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：1．特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．知识内容3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．6．插板法：个相同元素，分成组，每组至少一个的分组问题——把个元素排成一排，从个空中选个空，各插一个隔板，有．7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成堆（组），必须除以！，如果有堆（组）元素个数相等，必须除以！8．错位法：编号为1至的个小球放入编号为1到的个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2．具体的解题策略有：①对特殊元素进行优先安排；②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．典例分析基本计数原理的综合应用【例1】用，，，，排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是_________．（用数字作答）【例2】若自然数使得作竖式加法均不产生进位现象．则称为“可连数”．例如：是“可连数”，因不产生进位现象；不是“可连数”，因产生进位现象．那么，小于的“可连数”的个数为（）A．B．C．D．【例3】由正方体的8个顶点可确定多少个不同的平面？【例4】如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种．（以数字作答）【例5】如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）A．96 B．84 C．60 D．48【例6】某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有种．（以数字作答）【例7】分母是385的最简真分数一共有多少个？并求它们的和．【例8】某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有种（用数字作答）【例9】用，，，，，这个数字，可以组成_______个大于，小于的数字不重复的四位数．【例10】某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“”到“”共个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“”或“”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（）A．B．C．D．【例11】同室人各写张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿张别人送出的贺年卡，则张贺年卡不同的分配方式有（）A．种B．种C．种D．种【例12】某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为（）A．B．C．D．【例13】某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共（）A．15种B．12种C．9种D．6种【例14】如图所示，画中的一朵花，有五片花瓣.现有四种不同颜色的画笔可供选择，规定每片花瓣都要涂色，且只涂一种颜色.若涂完的花中颜色相同的花瓣恰有三片，则不同涂法种数为（用数字作答）.【例15】 用到这个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）A ．B ．C ．D ．【例16】 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为的个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且“、、”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（ ）种．987654321A ．B ．C ．D ．【例17】 足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么一个队打14场共得19分的情况有（ ）A ．种B ．种C ．种D ．种.。
高中教案：计数原理学案
高中教案：计数原理学案一、教学目标：1. 理解分类计数原理和分步计数原理的概念。
2. 学会运用分类计数原理和分步计数原理解决问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和创新思维能力。
二、教学内容：1. 分类计数原理：（1）定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的方法种数称为从n 个不同元素中取出m个元素的组合数，记为C(n,m)。
（2）计算公式：C(n,m) = n! / [m! (n-m)!]，其中n!表示n的阶乘。
2. 分步计数原理：（1）定义：完成一个任务需要分成k个步骤，第一步有A种方法，第二步有B 种方法，……，第k步有C种方法，完成这个任务的方法种数为A B …C。
（2）应用：排列、组合、概率等问题中，当各个步骤相互独立时，可运用分步计数原理解决问题。
三、教学重点与难点：1. 重点：分类计数原理和分步计数原理的概念及运用。
2. 难点：灵活运用计数原理解决实际问题。
四、教学方法：1. 讲授法：讲解分类计数原理和分步计数原理的概念、公式及应用。
2. 案例分析法：分析典型例题，引导学生运用计数原理解决问题。
3. 讨论法：组织学生分组讨论，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
五、教学过程：1. 导入：通过生活中的实例，引导学生思考计数原理的应用。
2. 讲解：讲解分类计数原理和分步计数原理的概念、公式及应用。
3. 例题分析：分析典型例题，让学生掌握计数原理的应用方法。
4. 练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。
6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
教学评价：通过课堂讲解、练习和课后作业，评价学生对分类计数原理和分步计数原理的理解和运用能力。
六、教学案例与分析：案例1：排列问题问题：有5本不同的书，要从中选出3本来阅读，问有多少种不同的选法？分析：这是一个排列问题，因为选出的3本书的阅读顺序是有关系的。
我们可以使用分步计数原理来解决这个问题。
高中教案：计数原理学案
高中教案：计数原理学案第一章：排列与组合1.1 排列的概念与性质学习排列的定义及排列数的计算方法。
理解排列的性质，如排列的交换律、结合律等。
1.2 组合的概念与性质学习组合的定义及组合数的计算方法。
理解组合的性质，如组合的交换律、结合律等。
1.3 排列与组合的应用学习排列与组合在实际问题中的应用，如排列组合问题、抽屉原理等。
第二章：计数原理2.1 分类计数原理学习分类计数原理的定义及应用。
理解分类计数原理的原理，并能运用到实际问题中。
2.2 分步计数原理学习分步计数原理的定义及应用。
理解分步计数原理的原理，并能运用到实际问题中。
第三章：概率初步3.1 概率的概念学习概率的定义及计算方法。
理解概率的性质，如概率的取值范围、概率的加法规则等。
3.2 事件的相互独立性学习事件的相互独立性的概念及判断方法。
理解事件的相互独立性在实际问题中的应用。
3.3 概率的计算学习概率的计算方法，包括条件概率、联合概率等。
能够运用概率的计算方法解决实际问题。
第四章：二项式定理4.1 二项式定理的概念学习二项式定理的定义及展开式。
理解二项式定理的性质，如系数的对称性、系数的和等。
4.2 二项式定理的应用学习二项式定理在实际问题中的应用，如组合数的计算、概率的计算等。
第五章：排列组合的综合应用5.1 排列组合的综合问题学习排列组合的综合问题的解决方法。
能够运用排列组合的知识解决综合问题。
5.2 排列组合与概率的综合问题学习排列组合与概率的综合问题的解决方法。
能够运用排列组合与概率的知识解决综合问题。
高中教案：计数原理学案第六章：鸽巢原理6.1 鸽巢原理的基本概念学习鸽巢原理的定义及应用。
理解鸽巢原理的原理，并能运用到实际问题中。
6.2 鸽巢原理的推广学习鸽巢原理的推广形式，如鸽巢原理在排列组合中的应用。
第七章：数论初步7.1 整数的基本性质学习整数的基本性质，如整数的加法、减法、乘法、除法等。
理解整数的性质，如整数的相反数、整数的倒数等。
专题14 计数原理-2019年高考数学(理)考试大纲解读 Word版含解析
2019年考试大纲解读14 计数原理（二十）计数原理1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理（1）理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.（2）会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.2．排列与组合（1）理解排列、组合的概念.（2）能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.（3）能解决简单的实际问题.3．二项式定理（1）能用计数原理证明二项式定理.（2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.与2018年考纲相比没有什么变化，计数原理作为高考的必考内容，在2019年的高考中预计仍会以“一小（选择题或填空题）”的格局呈现.考查方向主要体现在以下两个方面：一是以分类加法计数原理和分步乘法计数原理为基础的排列组合问题，要理解分类和分步的思想，掌握特殊元素、特殊条件的处理方法(捆绑法、插空法、优先法、逆向法等）；二是以二项式定理为主体的问题，主要考查二项展开式的通项公式，求特定项的系数、参数的值、系数和等.考向一排列与组合样题1 高考临近，学校为丰富学生生活，缓解高考压力，特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球比赛．由于爱好者众多，高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．首发要求每个班至少1人，至多2人，则首发方案数为A．720 B．270C．390 D．300【答案】C【名师点睛】本题主要考查了分层抽样及组合问题，属于中档题.根据分层抽样求出各个班的人数，然后按照题意求出首发的方案即可.样题2 （2018新课标全国Ⅰ理科）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）【答案】16【解析】根据题意，没有女生入选有种选法，从6名学生中任意选3人有种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有种，故答案是16.【名师点睛】（1）解排列、组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列、组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．样题3 （2018新课标全国Ⅱ理科）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A．112B．114C．115D．118【答案】C【名师点睛】先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.古典概型中基本事件数的探求方法：(1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.学-科网考向二 二项式定理样题4 （2018新课标全国Ⅲ理科）522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为A ．10B ．20C ．40D ．80【答案】C 【解析】由题可得，令,则，所以.故选C. 样题5 二项式展开式的常数项为A ．B ．C ．80D ．16【答案】C【解析】,当时，.故选C ．样题6 设，且21nx ax ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是A．1 B．1 256C．64 D．1 64【答案】D。
高中数学计数原理教案
高中数学计数原理教案
教学内容：计数原理
教学对象：高中学生
教学时间：一节课
教学目标：
1. 了解计数原理的概念和基本原理；
2. 能够应用计数原理解决相关问题；
3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
教学重点：
1. 计数原理的基本概念和原理；
2. 计数原理在实际问题中的应用。
教学难点：
1. 计数原理的具体运用；
2. 解决实际问题时的逻辑思维能力。
教学准备：
1. 计算器；
2. 实例题目。
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师引导学生回顾排列、组合的概念，并提出计数原理的概念。
通过一个简单的例子引导学生了解计数原理的基本原理。
二、讲解（15分钟）
1. 计数原理的概念和原理；
2. 巴斯卡三角形及其应用；
3. 实例分析和解决。
三、练习（15分钟）
教师布置几道相关计数原理的练习题，学生针对每道题进行思考并给出答案，教师引导学生讨论解题方法，帮助学生掌握计数原理的运用技巧。
四、总结（5分钟）
教师对本节课的教学内容进行总结和回顾，强化学生对计数原理的理解和运用。
五、作业（5分钟）
布置相关练习题作为课后作业，加深学生对计数原理的掌握和应用。
【教学反思】
本节课主要通过讲解概念、实例分析和练习训练，帮助学生掌握计数原理的基本原理和运用技巧。
在以后的教学中，可以结合实际问题，进一步提高学生的问题解决能力和创新思维。
(完整版)高中数学计数原理知识点总结及练习教案-学生.docx
教：学生：： _ 2016_年 __月日段第 __次教学生姓名上日期月日学科数学年高二教材版本人教版型知解：√考解：√本人第（）共（）学案主修 2-3 第一章《数原理》复数量第（）授段教学目1．明确分和分步数原理及用；2．掌握排列合概念和算，以及二式定理和用教学重点、排列合及数原理的用。
点掌握二式定理和用。
知点复【知点梳理】数原理基本知点1. 分数原理：做一件事情，完成它可以有n 法，在第一法中有m1种不同的方法，在第二法中有 m2种不同的方法，⋯⋯，在第n 法中有m n种不同的方法那么完成件事共有N m1 m2L m n种不同的方法2.分步数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，⋯⋯，做第n 步有m n种不同的方法，那么完成件事有N m1 m2L m种n不同的方法3．排列的概念：从n个不同元素中，任取m （m n ）个元素（里的被取元素各不相同）按照一定．．的序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．．．．4．排列数的定：从n个不同元素中，任取m （ m n ）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中教学程A n m表示取出 m 元素的排列数，用符号5．排列数公式：A n m n( n1)(n 2)L( n m 1) （ m, n N ,m n ）6乘： n! 表示正整数1到n的乘，叫做n的乘定 0! 1．7．排列数的另一个算公式：A n m=n!.(n m)!8 合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m m n 个元素并成一，叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的一个合9m m n个元素的所有合的个数，叫做从 n 个不同元素．合数的概念：从 n 个不同元素中取出中取出 m 个元素的合数．用符号m表示．．．．C nm A n m n(n1)(n2)L(n m1)m n!N ,且m n) 10．合数公式：C n或 C n( n, mA m m m!m! (n m)!11 合数的性 1： C n m C n n m ． 定： C n 01；12． 合数的性2： C n m 1 ＝ C n m +C n m 11．二 式定理及其特例：（1） (a b)n C n 0a n C n 1a n b L C n r a n r b r L C n n b n (nN ) ，（2） (1 x)n1 C n 1 x L C n r x rLx n .2．二 展开式的通 公式：T r1C n r a n r b r3．求常数 、有理 和系数最大的 ，要根据通 公式r 的限制；求有理 要注意到指数及 数的整数性4．二 式系数表（ 三角）(a b)n 展开式的二 式系数，当n 依次取 1,2,3 ⋯ ，二 式系数表，表中每行两端都是1，除 以外1的每一个数都等于它肩上两个数的和 5．二 式系数的性 ：（1） 称性．与首末两端“等距离”的两个二 式系数相等（∵C nmC n n m ）．直 rn是 象的2称 ．nn 1n 1（2）增减性与最大 ： 当 n是偶数 ， 中 一 C n 2 取得最大 ； 当 n 是奇数 ， 中 两 C n 2，C n2取得最大 ． （3）各二 式系数和：∵ (1 x)n1 C n 1 x L C n r x rL x n ，令 x 1 ， 2n C n 0C n 1 C n 2L C n r L C n n［特 提醒］1. 在运用二 式定理 一定要牢 通 公式Tr 1 C n r a n r b r ，注意 ( a b) n 与 (b a)n 然相同，但具 体到它 展开式的某一面 却是不相同的，所以我 一定要注意 序 。
2019-2020学年高考数学一轮复习-计数原理导学案
2019-2020学年高考数学一轮复习 计数原理导学案 一：学习目标1、理解分类计数原理与分步计数原理，并能用它们解决一些简单的应用问题。
2、理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题。
3、理解二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。
二：课前预习1、若25(21)x +=24100125a a x a x a x +++，则135a a a ++的值为________.2、某团支部进行换届选举，从甲、乙、丙、丁四人中选出三人分别担任书记、副书记、组织委员，规定上届任职的甲、乙、丙三人不能连任原职，则不同的任职方案有_________种3、将标号为1、2、3、4、5、6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有________.4、若n x )31(+展开式各项系数和为256，设 i 为虚数单位，复数ni )1(+的运算结果为________. 5、二项式3032a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项为第________项. 6、从1,3,5,7,9中任取2个数，从0,2,4,6中任取2个数，⑴能组成多少个没有重复数字的四位数？⑵若将⑴中所有个位是5的四位数从小到大排成一列，则第100个数是多少？三：课堂研讨1、二项式n x x )21(3-展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的4倍. 求：（1）n ； (2）展开式中的所有的有理项。
2、已知()()()()nn n x a x a x a a x 11112210-++-+-+=+ （*,2N n n ∈≥），备 注1、将标号为1、2、3、4、5、6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有 .2、9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品来检查，至少有两件一等品的种数是 .3、2013年南京青奥会组委会分配甲、乙、丙、丁四人做三项不同的工作，每一项工作至少分一人，且甲、乙两人不能同时做同一项工作，则不同的分配种数是 .4、若291()ax x的展开式的常数项为84，则a 的值为 . 5、将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有____________种(用数字作答)．6、已知)()2(82*∈-N n xx (1）求展开式中各项系数和；（2）二项式系数最大的项. (3）求展开式中含23x 的项；（4）求展开式中系数最大的项课外作业——计数原理 姓名：1、毕业之际，2名教师与4名学生站成一排合影留念，则2名教师之间恰好站有2名学生的不同站法种数为 .2、将5种不同的商品在货架上排成一排，其中甲乙两种必须排在一起，丙，丁两种不能在一起，则不同的排法种数是 .3、设5n x x -（）的展开式的各项系数之和为M, 二项式系数之和为N,若M-N ＝240, 则展开式中x 3的系数为 .4、若321()n a a+的展开式中含3a 项，则最小自然数n 是 .5、将3种作物种植在如图5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有 种.（以数字做答）6、一个盒子装有七张卡片，上面分别写着七个定义域为R 的函数：31)(x x f =，22)(x x f =，x x f =)(3，x x f cos )(4=，x x f sin )(5=，x x f -=2)(6,2)(7+=x x f 。
高三一轮复习数学计数原理复习教案
富县高级中学集体备课教案年级：高三级科目：数学（理）授课人：审核人签字：年月日富县高级中学集体备课教案年级：高三级科目：数学（理）授课人：审核人签字：年月日富县高级中学集体备课教案年级：高三级科目：数学（理）授课人：审核人签字： 年 月 日富县高级中学集体备课教案年级：高三级科目：数学（理） 授课人：(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．思维启迪：(1)根据甲品牌频数条形图计算寿命小于200小时的频率；(2)根据甲乙两品牌频数条形图求出使用了200小时的产品总数量和甲品牌使用了200小时的产品数量，并计算相应的频率．题型二：互斥事件的概率【例2】某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示：已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)．审核人签字：年月日富县高级中学集体备课教案年级：高三级科目：数学（理）授课人：思维启迪：由于出现的结果有限，每次每颗只能有四种结果，且每种结果出现的可能性是相等的，所以是古典概型．由于试验次数少，故可将结果一一列出．题型二：古典概型【例2】有编号为A1，A2，…，A10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品．(1)从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；(2)从一等品零件中，随机抽取2个．①用零件的编号列出所有可能的抽取结果；②求这2个零件直径相等的概率．思维启迪：确定基本事件总数，可用列举法．确定事件所包含的基本事件数，用公式求解．题型三：古典概型的综合应用【例3】为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：审核人签字：年月日富县高级中学集体备课教案年级：高三级科目：数学（理）授课人：一、知识梳理1. 几何概型2．几何概型中，事件A的概率计算公式P(A）=构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积3．在切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点二、典型例题题型一：与长度有关的几何概型【例1】在集合A＝{m|关于x的方程x2＋mx＋3 4审核人签字：年月日富县高级中学集体备课教案年级：高三级科目：数学（理）授课人：审核人签字：年月日富县高级中学集体备课教案年级：高三级科目：数学（理）授课人：审核人签字：年月日富县高级中学集体备课教案年级：高三级科目：数学（理）授课人：审核人签字：年月日。
2019高考数学 考点突破——计数原理：分类加法计数原理与分步乘法计数原理学案
分类加法计数原理与分步乘法计数原理【考点梳理】1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同的方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m ＋n 种不同的方法.2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m ×n 种不同的方法.3．分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.【考点突破】考点一、分类加法计数原理【例1】(1)如图，从A 到O 有________种不同的走法(不重复过一点).(2)满足a ，b ∈{－1，0，1，2}，且关于x 的方程ax 2＋2x ＋b ＝0有实数解的有序数对(a ，b )的个数为( )A ．14B ．13C ．12D ．10[答案] (1) 5 (2) B[解析] (1)分3类：第一类，直接由A 到O ，有1种走法；第二类，中间过一个点，有A →B →O 和A →C →O 共2种不同的走法；第三类，中间过两个点，有A →B →C →O 和A →C →B →O 共2种不同的走法，由分类加法计数原理可得共有1＋2＋2＝5种不同的走法.(2)①当a ＝0，有x ＝－b 2，b ＝－1，0，1，2有4种可能； ②当a ≠0时，则Δ＝4－4ab ≥0，ab ≤1，(ⅰ)若a ＝－1时，b ＝－1，0，1，2有4种不同的选法；(ⅱ)若a＝1时，b＝－1，0，1有3种可能；(ⅲ)若a＝2时，b＝－1，0，有2种可能.∴有序数对(a，b)共有4＋4＋3＋2＝13(个).【类题通法】分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置.1．根据题目特点恰当选择一个分类标准.2．分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复.3．分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏，如本例(2)中易漏a＝0这一类.【对点训练】1．有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则不同的监考方法有( )A．8种 B．9种 C．10种 D．11种[答案] B[解析] 设四位监考教师分别为A，B，C，D，所教班分别为a，b，c，d，假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c，d时，也分别有3种不同方法，由分类加法计数原理，共有3＋3＋3＝9(种)不同的监考方法.2．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )A．3 B．4 C．6 D．8[答案] D[解析] 以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9；以2为首项的等比数列为2，4，8；以4为首项的等比数列为4，6，9；把这4个数列的顺序颠倒，又得到另外的4个数列，∴所求的数列共有2(2＋1＋1)＝8个.23 考点二、分步乘法计数原理【例2】(1)教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有( )A ．10种B ．25种C ．52种D ．24种(2)如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A ．24B ．18C ．12D ．9[答案] (1) D (2) B[解析] (1)每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步.由分步乘法计数原理，共有24种不同的走法.(2)分两步，第一步，从E →F ，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F →G ，有3条可以选择的最短路径.由分步乘法计数原理可知有6×3＝18条可以选择的最短路径.故选B.【类题通法】1．在第(1)题中，易误认为分5步完成，错选B.2．利用分步乘法计数原理应注意：①要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的.②各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事.【对点训练】1．五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为________.五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有________种.[答案] 45 54[解析] 五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有45种不同的报名方法.五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性.2．已知某公园有5个门，从任一门进，另一门出，则不同的走法的种数为________(用数字作答).[答案] 204 [解析] 分两步，第一步选一个门进有5种方法，第二步再选一个门出有4种方法，所以共有5×4＝20种走法.考点三、两个计数原理的综合应用【例3】(1)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( )A ．48B ．18C ．24D ．36(2)如图所示，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数为________(用数字作答).[答案] (1) D (2) 96[解析] (1)在正方体中，每一个表面有四条棱与之垂直，六个表面，共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角面中，每个对角面有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”.(2)按区域1与3是否同色分类：①区域1与3同色：先涂区域1与3有4种方法，再涂区域2，4，5(还有3种颜色)有A 33种方法.∴区域1与3涂同色，共有4A 33＝24种方法.②区域1与3不同色：先涂区域1与3有A 24种方法，第二步涂区域2有2种涂色方法，第三步涂区域4只有一种方法，第四步涂区域5有3种方法.∴这时共有A 24×2×1×3＝72种方法.由分类加法计数原理， 不同的涂色种数为24＋72＝96.【类题通法】1．①注意在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步.在分步时可能又用到分类加法计数原理.②注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表5 格，使问题形象化、直观化.2．解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域分步完成.第(2)题中，相邻区域不同色，是按区域1与3是否同色分类处理.【对点训练】1．如图所示，在连结正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个(用数字作答).[答案] 40[解析] 把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个).第二类，有两条公共边的三角形共有8个.由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个).2．如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有( )A ．72种B ．48种C ．24种D ．12种[答案] A[解析] 法一 首先涂A 有4种涂法，则涂B 有3种涂法，C 与A ，B 相邻，则C 有2种涂法，D 只与C 相邻，则D 有3种涂法，所以共有4×3×2×3＝72种涂法.法二 按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时A 有4种涂法，B 有3种涂法，C 有2种涂法，D 有1种涂法，共有4×3×2×1＝24(种)涂法；二是用3种颜色，这时A ，B ，C 的涂法有4×3×2＝24(种)，D 只要不与C 同色即可，故D 有2种涂法，所以不同的涂法共有24＋24×2＝72(种).。
2019届高考数学复习计数原理10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理学案
§10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( ×)(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．( √)(3)在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成．( √)(4)如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法m i(i＝1,2,3，…，n)，那么完成这件事共有m1m2m3…m n种方法．( √)(5)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( √)题组二教材改编2．[P12A组T5]已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标，纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是( )A．12 B．8 C．6 D．4答案 C解析分两步：第一步先确定横坐标，有3种情况，第二步再确定纵坐标，有2种情况，因此第一、二象限内不同点的个数是3×2＝6，故选C.3．[P10A组T4]已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为( ) A．16 B．13C．12 D．10答案 C解析将4个门编号为1,2,3,4，从1号门进入后，有3种出门的方式，共3种走法，从2,3,4号门进入，同样各有3种走法，共有不同走法3×4＝12(种)．题组三易错自纠4．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )A．24 B．18 C．12 D．6答案 B解析分两类情况讨论：第1类，奇偶奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有2种选择，共有3×2×2＝12(个)奇数；第2类，偶奇奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有1种选择，共有3×2×1＝6(个)奇数．根据分类加法计数原理知，共有12＋6＝18(个)奇数．5.现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有( )A．24种B．30种C．36种D．48种答案 D解析需要先给C块着色，有4种方法；再给A块着色，有3种方法；再给B块着色，有2种方法；最后给D块着色，有2种方法，由分步乘法计数原理知，共有4×3×2×2＝48(种)着色方法．6．如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个．答案12解析由题意知本题是一个分类计数问题．当组成的数字有三个1，三个2，三个3，三个4时共有4种情况．当有三个1时：2111,3111,4111,1211,1311,1411,1121,1131,1141，有9种，当有三个2,3,4时：2221,3331,4441，有3种，根据分类加法计数原理可知，共有12种结果．题型一分类加法计数原理的应用1．(2017·郑州质检)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )A．14 B．13 C．12 D．10答案 B解析当a＝0时，关于x的方程为2x＋b＝0，此时有序数对(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)均满足要求；当a≠0时，Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，此时满足要求的有序数对为(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)．综上，满足要求的有序数对共有13个，故选B.2．(2017·济南模拟)如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2，且a2>a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为( )A．240 B．204C．729 D．920答案 A解析若a2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120与121，共2个．若a2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2×3＝6(个)．若a2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12(个)，…，若a2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72(个)．所以所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个)．3．(2016·全国Ⅲ)定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有( )A．18个B．16个C．14个D．12个答案 C解析第一位为0，最后一位为1，中间3个0,3个1,3个1在一起时为000111,001110；只有2个1相邻时，共A24个，其中110100,110010,110001,101100不符合题意；三个1都不在一起时有C34个，共2＋8＋4＝14(个)．思维升华分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词，关键元素，关键位置．(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准．(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复．(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏．题型二分步乘法计数原理的应用典例(1)(2016·全国Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A．24 B．18 C．12 D．9答案 B解析从E点到F点的最短路径有6条，从F点到G点的最短路径有3条，所以从E点到G 点的最短路径有6×3＝18(条)，故选B.(2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法．答案120解析每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120(种)．引申探究1．本例(2)中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项，每项人数不限”，则有多少种不同的报名方法？解每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有36＝729(种)．2．本例(2)中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每项限报一人，但每人参加的项目不限”，则有多少种不同的报名方法？解每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有63＝216(种)．思维升华 (1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．跟踪训练一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路游览A，B，C三个景点及沿途风景，则不同(除交汇点O外)的游览线路有______种．(用数字作答)答案48解析根据题意，从点P处进入后，参观第一个景点时，有6个路口可以选择，从中任选一个，有6种选法；参观完第一个景点，参观第二个景点时，有4个路口可以选择，从中任选一个，有4种选法；参观完第二个景点，参观第三个景点时，有2个路口可以选择，从中任取一个，有2种选法．由分步乘法计数原理知，共有6×4×2＝48(种)不同游览线路．题型三两个计数原理的综合应用命题点1 与数字有关的问题典例(2017·天津)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)答案 1 080解析①当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为C35·C14·A44＝960.②当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为A45＝120.故符合题意的四位数一共有960＋120＝1 080(个)．命题点2 涂色、种植问题典例(2017·济南质检)如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数为________．答案96解析按区域1与3是否同色分类：(1)区域1与3同色：先涂区域1与3有4种方法，再涂区域2,4,5(还有3种颜色)有A33种方法．∴区域1与3同色时，共有4A33＝24(种)方法．(2)区域1与3不同色：第一步涂区域1与3有A24种方法，第二步涂区域2有2种涂色方法，第三步涂区域4只有1种方法，第四步涂区域5有3种方法．∴共有A24×2×1×3＝72(种)方法．故由分类加法计数原理可知，不同的涂色种数为24＋72＝96.命题点3 与几何有关的问题典例 (1)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( )A．48 B．18C．24 D．36答案 D解析第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36(个)．(2)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( )A．60 B．48C．36 D．24答案 B解析长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6×6＝36，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”的个数为6×2＝12，故符合条件的“平行线面组”的个数是36＋12＝48.思维升华利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么．(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类．(3)弄清分步、分类的标准是什么．(4)利用两个计数原理求解．跟踪训练(1)(2017·黄山模拟)建造一个花坛，花坛分为4个部分(如图)．现要栽种4种不同颜色的花(不一定4种颜色都栽种)，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有________种．(用数字作答)答案108解析先栽第一块地，有4种情况，然后栽第二块地，有3种情况，第三块地有3种情况，第四块地有3种情况，则共有4×3×3×3＝108(种)不同的栽种方法．(2)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( ) A．144个B．120个C．96个D．72个答案 B解析由题意，首位数字只能是4,5，若万位是5，则有3×A34＝72(个)；若万位是4，则有2×A34＝48(个)，故比40 000大的偶数共有72＋48＝120(个)．故选B.利用两个基本原理解决计数问题典例 (1)把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有( )A．24种 B．4种 C．43种 D．34种(2)某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有4次，轮船有3次，问此人的走法可有________种．错解展示：解析(1)因为每个信箱有三种投信方法，共4个信箱，所以共有3×3×3×3＝34(种)投法．(2)乘火车有4种方法，坐轮船有3种方法，共有3×4＝12(种)方法．错误答案(1)D (2)12现场纠错解析(1)第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法．只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有43种方法．(2)因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，每一种方法都能从甲地到乙地，根据分类加法计数原理，可得此人的走法共有4＋3＝7(种)．答案(1)C (2)7纠错心得(1)应用计数原理解题首先要搞清是分类还是分步．(2)把握完成一件事情的标准，如典例(1)没有考虑每封信只能投在一个信箱中，导致错误．1．(2017·济南质检)有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式的种数为( ) A．24 B．14C．10 D．9答案 B解析第一类：一件衬衣，一件裙子搭配一套服装有4×3＝12(种)方式；第二类：选2套连衣裙中的一套服装有2种选法．所以由分类加法计数原理可知，共有12＋2＝14(种)选择方式．2．(2018·河北保定质检)三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有( )A．4种B．6种C．10种D．16种答案 B解析分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件的有3种传递方式(如图)，同理，甲先传给丙时，满足条件的也有3种传递方式．由分类加法计数原理可知，共有3＋3＝6(种)传递方法．3．从集合{1,2,3,4，…，10}中，选出5个数组成子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有( )A．32个 B．34个 C．36个 D．38个答案 A解析将和等于11的放在一组：1和10,2和9,3和8,4和7,5和6.从每一小组中取一个，有C12＝2(种)，共有2×2×2×2×2＝32(个)子集．故选A.4．(2018·惠州调研)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有( )A．18个B．15个C．12个D．9个答案 B解析由题意知，这个四位数的百位数，十位数，个位数之和为4.由4,0,0组成3个数，分别为400,040,004；由3,1,0组成6个数，分别为310,301,130,103,013,031；由2,2,0组成3个数，分别为220,202,022；由2,1,1组成3个数，分别为211,121,112，共有3＋6＋3＋3＝15(个)．5．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，则不同的安排方案共有( )A．12种B．10种C．9种D．8种答案 A解析第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C12＝2(种)选派方法；第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，有C24＝6(种)选派方法．由分步乘法计数原理可知，不同的选派方案共有2×6＝12(种)．6．(2018·驻马店质检)将一个四面体ABCD的六条棱上涂上红、黄、白三种颜色，要求共端点的棱不能涂相同颜色，则不同的涂色方案有( )A．1种B．3种C．6种D．9种答案 C解析因为只有三种颜色，又要涂六条棱，所以应该将四面体的对棱涂成相同的颜色，故有3×2×1＝6(种)涂色方案．7．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是( )A．9 B．14C．15 D．21答案 B解析当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7.当x≠2时，∵P⊆Q，∴x＝y.∴x可从3,4,5,6,7,8,9中取，有7种方法．因此满足条件的点共有7＋7＝14(个)．8．(2018·湖南郴州模拟)用六种不同的颜色给如图所示的六个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有( )A．4 320种B．2 880种C．1 440种D．720种答案 A解析分步进行：1区域有6种不同的涂色方法，2区域有5种不同的涂色方法，3区域有4种不同的涂色方法，4区域有3种不同的涂色方法，6区域有4种不同的涂色方法，5区域有3种不同的涂色方法．根据分步乘法计数原理可知，共有6×5×4×3×3×4＝4 320(种)不同的涂色方法，故选A. 9．设集合A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B 中元素的个数为________．(用数字作答)答案10解析易知A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}，∴x有2种取法，y有5种取法．由分步乘法计数原理，知A*B中的元素有2×5＝10(个)．10．(2017·日照调研)从1,2,3,4,7,9六个数中，任取两个数作为对数的底数和真数，则所有不同对数值的个数为________．答案17解析当所取两个数中含有1时，1只能作真数，对数值为0，当所取两个数不含有1时，可得到A25＝20(个)对数，但log23＝log49，log32＝log94，log24＝log39，log42＝log93.综上可知，共有20＋1－4＝17(个)不同的对数值．11．在某运动会的百米决赛上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种．答案 2 880解析分两步安排这8名运动员．第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排，∴安排方式有4×3×2＝24(种)．第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排，∴安排方式有5×4×3×2×1＝120(种)．∴安排这8人的方式有24×120＝2 880(种)．12．(2017·昆明质检)某小区一号楼共有7层，每层只有1家住户，已知任意相邻两层数的住户在同一天至多一家有快递，且任意相邻三层楼的住户在同一天至少一家有快递，则在同一天这7家住户有无快递的可能情况共有________种．答案 12解析 分三类：(1)同一天两家有快递：可能是2层和5层，3层和5层，3层和6层，共3种情况；(2)同一天三家有快递：考虑将有快递的三家插入没有快递的四家形成的空位中，有C 35种插入法，但需减去1层，3层与7层有快递，1层，5层与7层有快递2种情况，所以有C 35－2＝8(种)情况；(3)同一天四家有快递：只有1层，3层，5层，7层有快递1种情况．根据分类加法计数原理可知，同一天7家住户有无快递的可能情况共有3＋8＋1＝12(种)．13．(2017·郑州质量预测)将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数的个数为( )A ．72B ．120C ．192D ．240答案 D解析 将数字“124467”重新排列后所得数字为偶数，则末位数应为偶数，①若末位数字为2，因为含有2个4，所以有5×4×3×2×12＝60(种)情况；②若末位数字为6，同理有5×4×3×2×12＝60(种)情况；③若末位数字为4，因为有2个相同数字4，所以共有5×4×3×2×1＝120(种)情况．综上，共有60＋60＋120＝240(种)情况．14．已知集合M ＝{1,2,3}，N ＝{1,2,3,4}，定义函数f ：M →N .若点A (1，f (1))，B (2，f (2))，C (3，f (3))，△ABC 的外接圆圆心为D ，且 DA →＋DC →＝λDB →(λ∈R )，则满足条件的函数f (x )有________种．答案 12解析 由DA →＋DC →＝λDB →(λ∈R )，说明△ABC 是等腰三角形，且BA ＝BC ，必有f (1)＝f (3)，f (1)≠f (2)．当f (1)＝f (3)＝1时，f (2)＝2,3,4，有三种情况；f (1)＝f (3)＝2，f (2)＝1,3,4，有三种情况；f (1)＝f (3)＝3，f (2)＝2,1,4，有三种情况；f (1)＝f (3)＝4，f (2)＝2,3,1，有三种情况．因而满足条件的函数f (x )有12种．15．(2017·甘肃诊断)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元的，1个8元的，1个10元的(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有( )A．18种 B．24种 C．36种 D．48种答案 C解析①若甲、乙抢到的是一个6元和一个8元的，剩下2个红包，则被剩下的3人中的2人抢走，有A22A23＝12(种)情况；②若甲、乙抢到的是一个6元和一个10元的，剩下2个红包，则被剩下的3人中的2人抢走，有A22A23＝12(种)情况；③若甲、乙抢到的是一个8元和一个10元的，剩下2个红包，则被剩下的3人中的2人抢走有A22C23＝6(种)情况；④若甲、乙抢到的是2个6元的，剩下2个红包，则被剩下的3人中的2人抢走，有A23＝6(种)情况．根据分类加法计数原理可知，共有36种情况．16．回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99,3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则(1)4位回文数有________个；(2)2n＋1(n∈N*)位回文数有________个．答案(1)90 (2)9×10n解析(1)4位回文数相当于填4个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法，中间两位一样，有10种填法，共有9×10＝90(种)填法，即4位回文数有90个．(2)根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格．结合分步乘法计数原理，知有9×10n 种填法．。
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2019-2020学年高三数学第14周基本计数原理学案
【学习目标】1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．
【重点难点】分类加法计数原理和分步乘法计数原理.
【知识梳理】
1．分类加法计数原理做一件事，完成它有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有
mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝_______ ___种不同的方法．
2．分步乘法计数原理做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法……做第n个步骤有
mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝_______ ___种不同的方法．
【自我检测】1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同()
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事()
(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的()
(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事()
2．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为()
A．504B．210C．336D．120
3．三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，
毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有()
A．6种B．8种C．10种D．16种
4．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()
A．10 B．11 C．12 D．15
5．(2013·山东高考)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()
A．243 B．252 C．261 D．279
【合作探究】
【例1】考向1分类加法计数原理(2013·福建高考)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x ＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()
A．14B．13C．12D．10
变式训练1某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有()
A．4种B．10种C．18种D．20种
【例2】考向2分步乘法计数原理(2014·青岛质检)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()
A．12种 B．18种
C．24种 D．36种
变式训练2一个非负整数的有序数对(m，n)，如果在做m与n的加法时不用进位，则称(m，n)为“中国梦数对”，m＋n称为“中国梦数对”(m，n)的和，则和为2 013的“中国梦数对”的个数有________．
例4 (2012·湖北高考)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3 443,94 249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则
(1)4位回文数有________个；
(2)2n＋1(n∈N*)位回文数有________个．
【达标检测】
1．(2014·济宁一模)某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B、C、D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3、5、6、8、9中选择，其他号码只想在1、3、6、9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有()
A．180种B．360种
C．720种D．960种
2．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为() A．3 B．4
C．6 D．8
3．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一个有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是()
A．9 B．14
C．15 D．21
4．6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有() A．240种B．360种
C．480种D．720种
5．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，则这样的四位数有()
A．6个 B．9个
C．18个D．36个
6．(2012·课标全国卷)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()
A．12种 B．10种
C．9种D．8种
7．(2011·北京高考)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个(用数字作答)．
8．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种(用数字作答)．
9．如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，
与正八边形有公共边的三角形有________个．
10．用n 种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图①②)，要求在A 、B 、C 、D 四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色．
图10－1－5
(1)若n ＝6，为①着色时共有多少种不同的方法？
(2)若为②着色时共有120种不同的方法，求n.
【选做题】
1．[2014·辽宁卷] 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数
A ．144
B ．120
C ．72
D ．24
2．[2014·全国卷] 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )
A ．60种
B ．70种
C ．75种
D ．150种
3．[2014·四川卷] 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有
( )
A ．192种
B ．216种
C ．240种
D ．288种
4.[2014·浙江卷] 在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)
5．[2014·重庆卷] 某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )
A ．72
B ．120
C ．144
D ．
168。