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泛函分析学习心得

学习《实变函数论与泛函分析》这门课程已有将近一年的时间，在接触这门课程之前就已经听闻这门课程是所有数学专业课中最难学的一门，所以一开始是带着一种“害怕学不好”的心理来学.刚开始接触的时候是觉得很难学，知识点很难懂，刚开始上课时也听不懂，只顾着做笔记了.后来慢慢学下来，在课前预习、课后复习研究、上课认真听课后发现没有想象中的那么难，上课也能听懂了.因此得出了一个结论：只要用心努力去学，所有课程都不会很难，关键是自己学习的态度和努力的程度.

在学习《泛函分析》的前一个学期先学习了《实变函数论》，《实变函数论》这部分主要学习了集合及其运算、集合的势、n 维空间中的点集、外测度与可测集、Lebesgue 可测集的结构、可测函数、P L 空间等内容，这为这学期学习《泛函分析》打下了扎实的基础.我们在这个学期的期中之前学习的《泛函分析》的主要内容包括线性距离空间、距离空间的完备性、内积空间、距离空间中的点集、不动点定理、有界线性算子及其范数等.下面我谈谈对第一章的距离空间中部分内容的理解与学习：

第一章第一节学习了线性距离空间，课本首先给出了线性空间的定义及其相关内容，这与高等代数中线性空间是基本一样的，所以学起来比较容易.接着是距离空间的学习，如果将n 维欧氏空间n R 中的距离“抽象”出来，仅采用性质，就可得到一般空间中的距离概念：

1.距离空间（或度量空间）的定义：

设X 为一集合，ρ是X X ⨯到n R 的映射，使得使得X z y x ∈∀,,，均满足以下三个条件：

（1）)(0,≥y x ρ，且)(0,=y x ρ当且仅当y x =（非负性）

（2）)()(x y y x ,,ρρ=（对称性）

（3）)()()(z y y x z x ,,,ρρρ+≤（三角不等式），

则称X 为距离空间（或度量空间），记作)(ρ,X ，)(y x ,ρ为y x ,两点间的距离.

学习了距离空间定义后，我们可以验证：欧式空间n R ，离散度量空间，连

续函数空间],[b a C ，有界数列空间∞l ，p 次幂可和的数列空间p l ，p 次幂可积函数空间],[b a L p )1(≥p ，均满足距离空间的性质.

2.距离空间的完备性

设)(ρ,X 是距离空间（或赋范空间），如果X 中的点列{}n x 满足

()0,→m n x x ρ ()∞→m n ,

则称{}n x 是X 中的基本列（或Cauchy 列），若X 中任意基本列都在X 中收敛，则称)(ρ,X 是完备的距离空间（或赋范空间）.

在上学期学习《实变函数论》时我们已讨论过P L ()∞<≤ρ1空间的完备性，除此之外，我们可知道[]()b a C ,按距离()()()t y t x y x b

t a −=≤≤max ,ρ是完备的、p l ()∞≤≤ρ1是完备的.

第一章第三节的内容是内积空间，与高等代数中的欧式空间类似，但又不一样，在n 维欧式空间中，向量的“夹角”是利用内积来定义的.两个向量v u ,的夹角指的是()v u v u ⋅=,arccos

θ，其中()v u ,是u 与v 的内积，u 是u 的模或长度，它等于()v u ,.如果抛开n R 中内积的具体形式，将其性质抽象出来，就可得到抽象空

间上的内积概念： 设X 是复数域上的线性空间，)(⋅⋅,是X X ⨯到复数域C 的二元函数，使得对任意C X z y x ∈∈α及,,满足：

(1)()()00,,0,==≥x x x x x 当且仅当且

(2)()()()z y z x z y x ,,,+=+

(3)()()y x y x ,,αα=

(4)()()x y y x ,,=

则称)(⋅⋅,为X 上的内积，称X 为具有内积)(⋅⋅,的内积空间，也记为()()⋅⋅,,X .

在学习了内积空间的定义后，我们知道若在()E L 2上定义

()()()dx x g x f g f E ⎰=, ()()E L g f 2,∈

则()E L 2是内积空间.还有其他的内积空间需要我们去探究和研究.

以上是我对本学期学习的《泛函分析》的一小部分内容的理解，学习了《泛函分析》后发现这是一门很值得学习和研究的课程，同时是一门相对比较深奥的课程，需要我们更用心去学习.这门课程与其他数学学科有密切的联系，但又有本质的区别，我会在日后更加努力认真学习，去研究和探究其与其他学科的联系与区别，希望能运用《泛函分析》的知识和观点去解决其他学科的问题.