圆的参数方程与椭圆的参数方程共25页
圆的参数方程及其应用
在计算机图形学中的应用
渲染效果
圆的参数方程在计算机图形学中 常用于制作各种渲染效果，如光 照、阴影、反射等。通过参数的 调整，可以创建出逼真的视觉效
果。
动画制作
在动画制作中，圆的参数方程可 以用来描述物体的运动轨迹，例 如旋转、缩放等。通过参数的变 化，可以轻松地实现各种动态效
果。
游戏开发
在游戏开发中，圆的参数方程常 用于物理引擎和碰撞检测。例如， 物体在碰撞时会产生圆形冲击波， 通过参数方程可以精确地描述这
同样地，也可以将参数方程转换为直角坐标方程。通过消去参数$theta$，可以得到 $x^2 + y^2 = r^2$。
参数方程的几何意义
参数方程中，$r$表示圆上点到圆心的 距离，即半径。$theta$表示圆心角， 即从圆心出发沿逆时针方向旋转的角 度。
通过参数方程，可以方便地描述圆上 任意一点的坐标和位置关系。例如， 当$theta = frac{pi}{2}$时，点位于 圆的最高点；当$theta = pi$时，点 位于圆的最低点。
05
结论
参数方程在圆的应用中的重要性
参数方程在描述圆的位置和形状时具有直观性和简洁性，能够清晰地表达圆的参数关系，方便数学和 物理问题的解决。
参数方程在解决与圆相关的实际问题时具有广泛的应用，例如在几何学、物理学、工程学等领域中， 参数方程可以帮助我们更好地理解和分析问题。
对未来研究的展望
随着数学和物理学的发展，参数方程 在圆的应用中将会得到更深入的研究 和应用，例如在解决更复杂的几何和 物理问题时，参数方程可能会发挥更 大的作用。
种效果。
在机器人路径规划中的应用
1 2 3
导航系统
机器人在移动时需要精确地计算路径，圆的参数 方程可以用来描述机器人周围的环境，帮助机器 人规划出最优路径。
圆和椭圆的参数方程
圆和椭圆的参数方程知识点：1.圆的参数方程圆222r y x =+参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ为参数）说明：（1）参数θ的几何意义是OM 与x 轴正方向的夹角，如下图：（2）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。
（3）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。
（2）圆222()()x a y b r -+-=的常用参数方程为：cos ,[0,2π)sin x a r y b r θθθ=+⎧∈⎨=+⎩为参数.2.椭圆的参数方程（1）设点M 的坐标(x,y)，ϕ是以Ox 为始边，OA 为终边的正角，取ϕ为参数，那么 x=ON=|OA|cos ϕ， y=NM=|OB|sin ϕ 即⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x ①，引为点M 的轨迹参数方程，ϕ为参数。
（2）椭圆的参数方程也可由12222=+b y a x （a>b>0）三角换元直接得出，即令ϕcos =a x，ϕsin =by。
（3）椭圆参数方程⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （ϕ为参数），参数有明显几何意义，但是离心角ϕ与∠MOX 一般不同。
一、圆的参数方程的应用①距离和最值问题（22）（2017广州一测理）在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数.在以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 (Ⅰ) 求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程; (Ⅱ) 求曲线上的点到直线的距离的最大值.解： (Ⅰ) 由消去得,所以直线的普通方程为. 由,得.将代入上式,得曲线的直角坐标方程为, 即.(Ⅱ) 法1:设曲线上的点为,则点到直线的距离为xOy l 3,(1,=-⎧⎨=+⎩x t t y t )x :.4⎛⎫=- ⎪⎝⎭πρθC l C C l 3,1,=-⎧⎨=+⎩x t y t t 40+-=x y l 40+-=x y 4⎛⎫=-⎪⎝⎭πρθcos cos sin sin 2cos 2sin 44⎫=+=+⎪⎭ππθθθθ22cos 2sin =+ρρθρθ222,cos ,sin =+==ρρθρθx y x y C 2222+=+x y x y ()()22112-+-=x y C ()1,1ααP P l =d =当时, , 所以曲线上的点到直线的距离的最大值为法2: 设与直线平行的直线为, 当直线与圆相切时,解得或(舍去),所以直线的方程为. 所以直线与直线的距离为所以曲线上的点到直线的距离的最大值为2/.圆()()22124x y -++=上的点到直线210x y -+=的最短距离是_______.4．若实数,x y 满足22240x y x y +-+=，则2x y -的最大值为 .22222.(1,0),(1,0)(3)(4)4.A B x y P PA PB P --+-=+（三星）平面上两点，在圆上取一点，求使取得最小值时点的坐标备注：注意P 点的坐标的求法，三角函数问题=sin 14⎛⎫+=- ⎪⎝⎭παmax =d C l l :0l x y b '++=l 'C =0b =4b =-l '0x y +=l l 'd ==C l2223.5,4,3.ABC AB BC AC P ABC PA PB PC ∆===∆++（三星）已知的三边长，点是内切圆上一点，求的最小值与最大值备注：也可以用三角函数来做②参数的几何意义2. （二星）（2014年高考新课标Ⅱ）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标. 备注：参数方程的应用解：（1）C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤可得C 的参数方程为1cos sin x ty t =+⎧⎨=⎩（t 为参数，0t π≤≤）（2）设(1c o s ,s i n )D t t+由（Ⅰ）知C 是以(1,0)G 为圆心，1为半径的上半圆，因为C在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l的斜率相同。
圆的参数方程2
圆的参数方程2
圆的参数方程2
一、概念
参数方程表示圆的几何特征，是由两个有理函数组成的系统，即：x=rcosθ
y=rsinθ
其中x和y是圆上的任意一点坐标，r是半径，θ（取值范围是0到2π）是极角，可用以定义从x轴正向转动到到该点的角度。
二、特点
1.圆的参数方程在直角坐标系中是一对互相交错的曲线，它由一组相同的点组成，这些点都在同一个圆内且离圆心恒定的距离。
2.圆的参数方程既有定义域的要求，又有值域的要求，定义域一般为0到2π，表示极角从0度（即X轴正向）逆时针增加至360°，值域范围为圆心到椭圆的最长半径之间的距离。
3.圆的参数方程可以用来求解圆上任意一点的坐标，只需知道极角θ即可，如果知道椭圆上的任意一点的坐标，可以很容易的求出极角。
4.圆的参数方程也扩展到椭圆和抛物线等其他几何图形，只要将上面参数的极角范围和曲线的最长半径改变即可。
三、参数方程
x = a cosθ
y = b sinθ
其中x和y是圆上任意一点的坐标，a和b是半径，θ（取值范围是0到2π）是极角。
用标准形式表示圆的参数方程是：
(x–h)2+(y–k)2=r2
其中h和k是圆心的坐标，r是半径。
当然，可以通过将圆心和圆上任意一点的坐标求出半径。
椭圆的参数方程表示
椭圆的参数方程表示
椭圆是一种常见的二次曲线，其方程可以表示为(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中a和b 分别为椭圆的长半轴和短半轴。
除此之外，我们还可以使用参数方程来描述椭圆。
椭圆的参数方程为：
x = a cos(t)
y = b sin(t)
其中t为参数，0 <= t <= 2π。
这个参数方程的意义是，我们可以通过让参数t从0到2π取遍所有可能的值，从而得到整个椭圆上的所有点的坐标。
具体来说，当t=0时，x=a，y=0，这个点位于椭圆的右端点。
当t=π/2时，x=0，y=b，这个点位于椭圆的上端点。
当t=π时，x=-a，y=0，这个点位于椭圆的左端点。
当t=3π/2时，x=0，y=-b，这个点位于椭圆的下端点。
当t=2π时，x=a，y=0，这个点又回到了椭圆的右端点。
通过这个参数方程，我们可以很容易地看出椭圆的形状和大小。
当a=b时，椭圆变成了一个圆，此时参数方程化简为：
x = r cos(t)
y = r sin(t)
其中r为圆的半径，t为参数。
椭圆在数学中有着广泛的应用，如在几何学中描述椭圆形的轨迹、在物理学中描述行星轨道、在工程学中描述电子轨道等等。
椭圆方程的参数方程是一种简单而直观的表示方式，方便我们对椭圆进行研究和应用。
椭圆的参数方程ppt课件
(1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程； (2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标． 分析 这是物理学中的平抛运动，选择合理的参变量将炸弹(看作质点)的水平方向和竖直方向的运动表示出来．
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解 (1)如图所示，A为投弹点，坐标为 (0，588)，B为目标，坐标为(x0， 0)．记炸弹飞行的时间为t，在A点t＝0. 设M(x，y)为飞行曲线上的任一点，它 对应时刻t，炸弹初速度v0＝150 m/s， 用物理学知识，分别计算水平、竖直 方向的路程，得
0＝2v0t0sin α －2gt20，
消去
t0，得vv2020ssiinn2αα
cos ＝2
α ＝3 400 g.
000
g，
解得：α ＝arctan45，v0＝7 1 230(米/秒)．
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1． 已知点P(x，y)是圆x2＋y2＝2y上的动点，
(1)求2x＋y的取值范围；
∴a≥ 2－1.
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2．点 P 在椭圆1x62＋y92＝1 上，求点 P 到直线 3x－4y＝24 的最 大距离和最小距离．
解 设 P(4cos θ ，3sin θ )，
则 d＝|12cos
2.2圆和椭圆的参数方程
2.2圆和椭圆的参数方程学习目标：1.圆的参数方程与普通方程的互化；2.了解椭圆的参数方程的推导过程及参数的意义；3. 掌握椭圆的参数方程，并能解决一些简单的问题.学习重点：椭圆参数方程的应用，学习难点：椭圆参数方程中参数的意义.学习过程：（一）复习旧知（1）在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数， 即 并且对于t 的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M （x,y ）都在这条曲线上，那么上述方程组就叫做这条曲线的参数方程 ，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数。
参数方程的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数（2） 相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。
（二）新课学习：探究1：圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程？例题讲解1、直线y ax b =+通过第一、二、四象限，则圆cos ()sin x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数的圆心位于 （ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限2、圆22(1)4x y -+=上的点可以表示为 （ ）A 、(1cos ,sin )θθ-+B 、(1sin ,cos )θθ+C 、(12cos ,2sin )θθ-+D 、(12cos ,2sin )θθ+ 3、圆cos ()sin 2x r r r y r θθθ=+⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数,r>0的直径是4，则圆心坐标是 ． 4、点(,)x y 是曲线2cos :()sin x C y θθθπθ=-+⎧≤<⎨=⎩为参数,0上任意一点，则y x 的取值范围是 ．探究3：如图，以原点为圆心，分别以a ，b （0a b >>）为半径作两个圆，点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点A 作AN Ox ⊥，垂足为N ，过点B 作BM AN ⊥，垂足为M ，求当半径OA 绕点O 旋转时点M 的轨迹参数方程.2．根据以上的解法，可求得椭圆22221b a y x +=（0a b >>）的参数方程是：cos sin x b y a θθ=⎧⎨=⎩为参数（）. 注意：椭圆的参数方程中离心角θ的的几何意义是：是xOA θ∠=，不是xOM θ∠=.5.把下列普通方程化为参数方程.（1）22149x y += （2） 22116y x += 6.已知A 、B 两点是椭圆22194y x +=与坐标轴正半轴的两个交点，在第一象限的椭圆弧上求一点P ，使四边形OAPB 的面积最大.7.点P 在椭圆221169x y +=上，求点P 到直线3424x y -=的最大距离和最小距离． 三、总结提升：1.椭圆的参数方程对于解决与椭圆上的点有关的最值问题，有很大的优越性，具体表现在最大距离、最小距离、最大面积等；在求解过程中，将问题转化为三角函数的问题，利用三角函数求最值.2.椭圆参数方程中的参数θ的几何意义，一定要利用图形观察弄清楚.教学反思：在课堂中，对学生完成课堂练习的情况进行分析，分析学生的解题情况，通过提问其他学生，让全班学生帮助分析错题原因，做到讲、练、评的有效结合。
椭圆的参数方程
2 2
O
N
x
x y 消去参数得: 2 2 1, 即为点M轨迹的普通方程. a b
1 .参数方程 参数方程. 2 .在椭圆的参数方程中，常数a、b分 别是椭圆的长半轴长和短半轴长. a>b
椭圆的参数方程
椭圆的参数方程 一、知识回顾
问题： 圆( x a) 2 ( y b) 2 r 2的参数方程是什么 ？ 是怎样推导出来的 ？
2 2
x a y b 1 r r
x a cos r 令: y b sin r
(3)
x 9
2
1 (4)
y 25
2
x 64
2
y 100
2
1
例2、如图，在椭圆4x2+9y2=36上一点找一点M ，使M到直线
l：x+2y-10=0的距离最小，并求出最小距离 . y 平移直线 l 至首次与椭圆相切， 分析1： 切点到直线的距离即为所求.
3 分析2：设 M ( 4 y 2 , y ) 2 3 | 4 y 2 2 y 10 | 则d 2 5
2 2
b tan a
椭圆参数方程的推导 从几何变换的角度看， 通过伸缩变换 1 x x 2 2 x y a 则椭圆的方程 { 1可以变成 2 2 1 a b y y b 2 2 x ＋y 1.利用圆的参数方程 x cos { (为参数)可以得到椭圆的参数 y sin 方程为 { x a cos y b sin
O x
M
| 3cos 4sin 10 | 设 M (3cos , 2sin ) 则 d 分析3： 5
椭圆的参数方程(公开课)
x
令
a y
c os sin
xy
a cos(为参数) b sin
b
是焦点在X轴的椭圆的参数方程
第二章 参数方程
问题:你能仿此推导出椭圆
x2 b2
y2 a2
1的参数方程吗？
x2 b2
y2 a2
1
x
2
y
2
1
b a
解： 设∠XOA=φ, M(x, y), 则
y
A: (acosφ, a sinφ),
A
B: (bcosφ, bsinφ),
B
M
由已知:
x y
acos bsin
(为参数)
即为点M的轨迹参数方程.
O
Nx
消去参数得: x2 y2 1, 即为点M的轨迹普通方程. a2 b2
第二章 参数方程
(为参数)
（2）椭圆的参数方程在求最值，范围问题上有其优 越性；
第二章 参数方程
例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0） 为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过 点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M， 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.
问题：
x2 9
y2 4
1
与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭
圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
解 : 椭圆参数方程
设点P(3cos,2sin )
S >
ABC
面积一定,
需求
S >
ABP
最大即可
即求点P到线AB的距离最大值
2.2.2-2.2.4圆的参数方程 椭圆的参数方程 双曲线的参数方程
名师点拨椭圆的参数方程中a,b分别是椭圆的半长轴长,半短轴
������2 长,对椭圆的普通方程 2 ������
+ 2=1(a>b>0)(焦点在 x 轴上)在解题时可 ������ ������ = ������cos������, 利用参数方程 ������ = ������sin������ (φ 为参数)来寻求解决方案.
2.2 圆的参数方程 2.3 椭圆的参数方程 2.4 双曲线的参数方程
学 习 目 标 思 维 脉 络 1.掌握圆的参数方程及其参数的几何 意义,并运用圆的参数方程解决简单 的问题. 2.能 依据圆锥曲线的几何性质,选择适 当的参数,写出它们的参数方程. 3.能 利用圆锥曲线的参数方程来解决 简单的实际问题.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
圆的参数方程的应用 【例1】圆的直径AB上有两点C,D,且|AB|=10,|AC|=|BD|=4,P为 圆上一点,求|PC|+|PD|的最大值. 分析：本题应考虑数形结合的方法,因此需要先建立平面直角坐 标系,将P点坐标用圆的参数方程的形式表示出来,θ为参数,则 |PC|+|P计算出最大值.
|-10| 10 =2 5
,所以直线与圆相切.
一
二
三
二、椭圆的参数方程
������ = ������cos������, + 2 =1(a>b>0)的参数方程是 ������ = ������sin������ (φ 为参数).参 ������ 数 φ 的几何意义是以原点为圆心,a 为半径所作圆上一点和椭圆中 心的连线与 x 轴正半轴的夹角. 2.中心在点 C(x 0,y 0),长轴平行于 x 轴的椭圆的参数方程是 ������ = ������0 + ������cos������, (φ 为参数).参数 φ 的几何意义是以 C 为圆心,a 为 ������ = ������0 + ������sin������ 半径所作圆上一点 P 和椭圆中心 C 的连线 CP 与 x 轴正半轴的夹 角.
圆和椭圆的参数方程
圆和椭圆的参数方程圆和椭圆是数学中常见的几何图形，它们可以用参数方程来表示。
在本文中，我将详细介绍圆和椭圆的参数方程，并且按照分层次的优美排版方式进行分段分标题输出。
一、圆的参数方程1. 圆的定义圆是平面上所有到一个固定点（圆心）距离相等的点的集合。
2. 圆的参数方程假设圆心坐标为（h，k），半径为r，则可以使用以下参数方程来表示一个圆：x = h + r * cos(θ)y = k + r * sin(θ)其中，θ是从0到2π范围内变化的角度。
3. 参数方程解释- x = h + r * cos(θ) 表示x坐标值随着角度θ变化而变化，通过cos函数来确定具体位置。
- y = k + r * sin(θ) 表示y坐标值随着角度θ变化而变化，通过sin 函数来确定具体位置。
- h 和 k 是圆心的坐标，r 是半径。
二、椭圆的参数方程1. 椭圆的定义椭圆是平面上到两个固定点（焦点）距离之和等于常数（长轴）的点的集合。
2. 椭圆的参数方程假设焦点坐标分别为（h，k±c），长轴为2a，短轴为2b，则可以使用以下参数方程来表示一个椭圆：x = h + a * cos(θ)y = k + b * sin(θ)其中，θ是从0到2π范围内变化的角度。
3. 参数方程解释- x = h + a * cos(θ) 表示x坐标值随着角度θ变化而变化，通过cos函数来确定具体位置。
- y = k + b * sin(θ) 表示y坐标值随着角度θ变化而变化，通过sin 函数来确定具体位置。
- h 和 k 是椭圆中心的坐标，a 是长半轴长度的一半，b 是短半轴长度的一半。
三、圆和椭圆参数方程的应用1. 绘制图形使用参数方程可以方便地绘制出圆和椭圆的图形。
通过给定不同的参数值，可以绘制出不同大小、位置和形状的圆和椭圆。
2. 计算点坐标通过给定角度θ，可以计算出对应于该角度的点在圆或椭圆上的坐标。
这在进行数学计算和几何分析时非常有用。
圆和椭圆的参数方程
圆和椭圆的参数方程概述圆和椭圆是数学中常见的几何图形，它们都可以通过参数方程来表示。
本文将详细探讨圆和椭圆的参数方程，包括如何推导参数方程、参数的含义以及参数方程的应用。
圆的参数方程推导圆是一个具有等距离的点构成的闭合曲线，可以通过一个参数方程来表示。
假设圆心为(0, 0)，半径为r，则圆上任意一点的坐标可以表示为(x, y)。
根据勾股定理，有： 1.为了求解参数方程，我们引入一个参数θ（取值范围为0到2π），并使用三角函数来表示x和y。
具体推导过程如下： 1. x = r * cosθ 2. y = r * sinθ给定不同的θ，就可以得到对应的圆上的点坐标。
圆的参数方程的含义圆的参数方程中，参数θ表示角度。
通过不同的θ取值，可以得到圆上不同位置的点坐标。
当θ等于0时，点坐标为(1, 0)，即圆上最右边的点；当θ等于π/2时，点坐标为(0, 1)，即圆上最上边的点；当θ等于π时，点坐标为(-1, 0)，即圆上最左边的点；当θ等于3π/2时，点坐标为(0, -1)，即圆上最下边的点。
圆的参数方程的应用圆的参数方程在几何学和物理学中有广泛的应用。
下面列举了一些常见的应用场景：1. 编程中的绘图：通过参数方程，可以在计算机屏幕上绘制出一个圆。
2. 物理运动的描述：例如，一个物体以圆形轨道运动，可以通过参数方程描述物体在不同时间的位置。
3. 数学建模：通过参数方程，可以将圆形曲线用于解决一些数学问题，如曲线的长度计算、曲线与其他曲线的交点等。
椭圆的参数方程推导椭圆是一个具有两个焦点的闭合曲线，可以通过一个参数方程来表示。
假设椭圆的两个焦点为F1和F2，焦点之间的距离为2a，离心率为e，则椭圆上任意一点的坐标可以表示为(x, y)。
根据焦点定义，有： 1.其中P为椭圆上的任意一点。
为求解参数方程，我们引入一个参数θ（取值范围为0到2π），并使用三角函数来表示x和y。
具体推导过程如下： 1. x = a * cosθ 2. y = b * sinθ其中b为椭圆的短半轴长度，根据离心率计算公式e = √(1 - (b2/a2))可求得短半轴b的值。
圆的参数方程与椭圆的参数方程
(是
参
数)
的
交
点
个
数.
2.若
0,
2
, 求 椭 圆x 2
2
y2
4x
cos
8
y
sin
4 s in2
2
0
的 中 心 的 轨 迹 方 程.
y
2
2
sin
4.把圆的参数方程化成普通方程：
（1）xy
1 3
2 cos
2sin
（2）xy
2 2
cos sin
圆的参数方程
例3：若实数x、y满足x2+y2-2x+4y=0, 求x-y的最大值。
分析：化为标准方程 : (x-1)2+(y+2)2=5
例2 把下列普通方程化为参数方程
（3）x2 y2 1 49
（4）x 2
y2
16
1
例3
已知椭圆
x2 100
y2 64
1
有一内接矩形ABCD，
求矩形ABCD的最大面积
D
y B2 A
A1 F1
O F2 A2 X
C
B
B1
例4 在椭圆 x2 y2 1 上, 到直线 l : 3x 2y 16 0
47
8 13
最短距离是 13 .
练习：已知椭圆的参数方程为
x 2cos
y sin
(
是
参数) ，则此椭圆的长轴长为（4 ），短轴长
为（ 2 ）,焦点坐标是（ 3,0）,准线方程是