函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、零点(心血之作)

函函数数的的定定义义域域、、值值域域、、单单调调性性、、奇奇偶偶性性、、对对称称性性、、 反反函函数数、、伸伸缩缩平平移移变变换换、、零零点点问问题题知知识识点点大大全全

一、函数的定义域

1、求函数定义域的主要依据： （1）分式的分母不为零；

（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义； （3）对数函数的真数必须大于零；

（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；

例.（05江苏卷）函数y =

________________________

2、求函数定义域的两个难点问题 （1）知道f(x)的定义域（a ，b ），求f(g(x))的定义域：转化为解不等式a

（2）(21)x x 已知f －

的定义域是[-1,3],求f()的定义域。 例4：设2()lg

2x f x x +=-，则2

()()2x f f x

+的定义域为__________ 变式练习：24)2(x x f -=

-，求)(x f 的定义域。

二、函数的值域

1求函数值域的方法

①直接法：从自变量x 的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数； ②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式； ③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y 的取值范围；适合分母为二次且x

∈R 的分式；

④分离常数：适合分子分母皆为一次式（x 有范围限制时要画图）； ⑤单调性法：利用函数的单调性求值域； ⑥图象法：二次函数必画草图求其值域； ⑦利用对号函数

⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数

例：

1．（直接法）2

1

23

y x x =

++

2．2．()2f x = 3．（换元法）12-+-=x x y

4．4. （Δ法） 4

32

+=

x x

y 5. 1

1y 2

2+-=

x x

6. 6. (分离常数法) ①1+=x x y ②31

(24)21

x y x x -=

-≤≤+ 7. (单调性)3

([1,3])2y x x x

=-

∈-

8.①

y =

，②y = (结合分子/分母有理化的数学方法)

9．(图象法)2

32(12)y x x x =+--<≤ 10．(对号函数)8

2(4)y x x x

=+≥ 11. (几何意义)21y x x =+--

三、函数的单调性

复合函数的单调性：（同增异减）

设()[]x g f y =是定义在M 上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则()[]x g f y =在M 上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则()[]x g f y =在M 上是增函数。 两个函数f(x)、g(x)之间的基本性质： 增+增=增 增—减=减 减+减+减 减—增=减

例：

1判断函数)()(3

R x x x f ∈-=的单调性。

2函数)(x f 对任意的R n m ∈,，都有1)()()(-+=+n f m f n m f ，并且当0>x 时，

1)(>x f ，

（1）求证：)(x f 在R 上是增函数；⑵若4)3(=f ，解不等式2)5(2

<-+a a f 3函数)26(log 2

1.0x x y -+=的单调增区间是________

4.(高考真题)已知(31)4,1

()log ,1

a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围

是 （ ）

（A ）(0,1) （B ）1(0,)3

（C ）11[,)73

（D ）1[,1)7

四、函数的奇偶性

常用性质：

1．0)(=x f 是既奇又偶函数；

2．2．奇函数若在0=x 处有定义，则必有0)0(=f ； 3．偶函数满足)()()(x f x f x f =-=；

4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称； 5．0)(=x f 除外的所有函数奇偶性满足：

奇函数±奇函数=奇函数 奇函数×奇函数=偶函数 奇函数±偶函数=非奇非偶 奇函数×偶函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 偶函数×偶函数=偶函数 6．奇偶性的判断

①看定义域是否关于原点对称；②看f(x)与f(-x)的关系 例：

1 已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时，4)(x x x f -=，则当

),0(∞+∈x 时，=)(x f .

2 已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a

+-+=+是奇函数。

（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）若对任意的t R ∈，不等式22

(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围；

3 已知)(x f 在（－1，1）上有定义，且满足),1(

)()()1,1(,xy

y

x f y f x f y x --=--∈有 证明：)(x f 在（－1，1）上为奇函数；

4 若奇函数))((R x x f ∈满足1)2(=f ，)2()()2(f x f x f +=+，则=)5(f _______

五、函数的周期性

1．（定义）若⇔≠=+)0)(()(T x f T x f )(x f 是周期函数，T 是它的一个周期。 说明：nT 也是)(x f 的周期。（推广）若)()(b x f a x f +=+，则)(x f 是周期函数，a b -是它的一个周期 对照记忆：

()()f x a f x a +=-说明：f(x)的周期为2a; ()()f a x f a x +=-说明：f(x)关于直线x=a 对称。

2．若)()(x f a x f -=+；)

(1)(x f a x f =

+；)(1

)(x f a x f -=+；则)(x f 周期是2a

例：

1 已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为（ ） (A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2

2 定义在R 上的偶函数()f x ，满足(2)(2)f x f x +=-，在区间［-2,0］上单调递减，设

( 1.5),(5)a f b f c f =-==，则,,a b c 的大小顺序为_____________

3 已知f (x)是定义在实数集上的函数，且,32)1(,)

(1)

(1)2(+=-+=

+f x f x f x f 若f(2005)= .

4 已知)(x f 是(-∞+∞，)上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当0≤≤x 1时，f(x)=x ，则