椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题

椭圆和双曲线的离心率的求值及范围求解问题【重点知识温馨提示】
1.e＝c
a
＝1－
b2
a2
(0<e<1)，e＝
c
a
＝1＋
b2
a2
(e>1)
2.确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，c的方程或不等式，进而得到关于e的方程或不等式，
3.
【典例解析】
例1.(2015·新课标全国Ⅱ，11)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )
A. 5 B．2 C. 3 D. 2
例2.【2016高考新课标3文数】已知O为坐标原点，F是椭圆C：
22
22
1(0)x y a b a b +=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）
（A ）
1
3
（B ）
12
（C ）
23
（D ）
34
例3 (2015·福建)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直
线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于4
5，
则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.⎝
⎛⎦⎤0，
32 B.⎝⎛⎦⎤0，34 C.⎣⎡⎭
⎫3
2，1 D.⎣⎡⎭⎫
34，1
例4.(2014·江西)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与
C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点
D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________． 【跟踪练习】
1. (2015·浙江)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝b c x 的对称点Q 在椭圆
上，则椭圆的离心率是________．
2. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2
n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若
c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项， 则椭圆的离心率是( ) A.
33 B.22 C.14 D.1
2
3.已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使
a sin ∠PF 1F 2＝c
sin ∠PF 2F 1
，则椭圆的离心率的取值范围为______．
4.过双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条
渐近线交于点B ，若FB →＝2F A →
，则此双曲线的离心率为( ) A. 2
B. 3 C ．2
D. 5
5.(2015·山东)过双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交
C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．
6.(2015·湖北)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )
A ．对任意的a ，b ，e 1<e 2
B ．当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2
C ．对任意的a ，b ，e 1>e 2
D ．当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2
7、（2016年山东高考）已知双曲线E ：22x a
–22y b =1（a >0，b >0）．矩形ABCD 的四个顶点
在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______．
8（2015年高考）过双曲线C ：22
221x y a a
-=0,0a b >>（）
的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ,则C 的离心率为 .
9、（齐鲁名校协作体2016届高三上学期第二次调研联考）设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m ，0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是（）
(A)
(B)
(C) (D) 10、（东营市、潍坊市2016届高三高三三模）已知1F 、2F 为椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的
左、右焦点，以原点O 为圆心，半焦距长为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于y 轴右侧的两个交点为A 、B ，若1ABF ∆为等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A 1
B 1-
C D
11、（济宁市2016届高三上学期期末）已知抛物线2
y =-的焦点到双曲线
()
2222
10,0x y a b a b -=>>
A.
3
B.
3
C.
D.
39
12、（莱芜市2016届高三上学期期末）已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左焦点是
(),0F c -，
离心率为e ，过点F 且与双曲线的一条渐近线平行的直线与圆222
x y c y +=在轴
右侧交于点P ，若P 在抛物线2
2y cx =上，则2
e =
A.
5
B.
51
+ C.
51-
D.
2
13，（烟台市2016届高三上学期期末）设点F 是抛物线()2:20x py p τ=>的焦点，1F 是
双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的右焦点，若线段1FF 的中点P 恰为抛物线τ与双曲线
C 的渐近线在第一象限内的交点，则双曲线C 的离心率e 的值为 A.
322
B.
33
4
C.
98
D.
32
4
1,4、（青岛市2016高三3月模拟）已知点12,F F 为双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左，
右焦点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足21212,120PF F F F F P =∠=，则双曲线的离心率为_________.
15、（日照市2016高三3月模拟）已知抛物线2
8y x =的准线与双曲线22
2116
x y a -
=相交于A,B 两点，点F 为抛物线的焦点，ABF ∆为直角三角形，则双曲线的离心率为 A.3
B.2
C.
6
D.
3
16. (2015·重庆)如图，椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 2的直线交
椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.
(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；
(2)若|PQ |＝λ|PF 1|，且34≤λ＜4
3
，试确定椭圆离心率e 的取值范围．
答案部分：
例1【解析】 如图，设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)，则|AB |＝2a ，由双
曲线的对称性，可设点M (x 1，y 1)在第一象限内，过M 作MN ⊥x 轴于点N (x 1，0)，∵△ABM 为等腰三角形，且∠ABM ＝120°，∴|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBN ＝60°，∴y 1＝|MN |＝|BM |sin ∠MBN ＝2a sin 60°＝3a ，x 1＝|OB |＋|BN |＝a ＋2a cos 60°＝2a .将点M (x 1，y 1)的坐标代
入x 2a 2－y 2b 2＝1，可得a 2＝b 2
，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2
a 2
＝2，选D.
例2【答案】A
例3如图，设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形．
∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4， ∴a ＝2.
设M (0，b )，则4b 5≥4
5，∴1≤b ＜2.
离心率e ＝c
a ＝
c 2a 2＝a 2－b 2
a 2
＝4－b 24∈⎝
⎛⎦⎤0，3
2， 故选A.
例4.直线AB ：x ＝c ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2
a .
∴A (c ，b 2a )，B (c ，－b 2
a )．
∴kBF 1＝－b 2a －0c －(－c )＝－b 2a 2c ＝－b 2
2ac .
∴直线BF 1：y －0＝－b 2
2ac (x ＋c )．
令x ＝0，则y ＝－b 2
2a
，
∴D (0，－b 2
2a )，∴k AD ＝b 2a ＋
b 22a
c ＝3b 22ac .
由于AD ⊥BF 1，∴－b 22ac ·3b 2
2ac ＝－1，
∴3b 4＝4a 2c 2，
∴3b 2＝2ac ，即3(a 2－c 2)＝2ac ， ∴3e 2＋2e －3＝0，
∴e ＝－2±4－4×3×(－3)23＝－2±423.
∵e >0，∴e ＝－2＋423＝223＝3
3
.
【跟踪练习】
1，答案 方法一 设椭圆的另一个焦点为F 1(－c,0)，如图，连接QF 1，QF ，设QF 与直线y ＝b
c
x 交于点M .由题意知M 为线段QF 的中点，且OM ⊥FQ .
又O 为线段F 1F 的中点， ∴F 1Q ∥OM ，
∴F 1Q ⊥QF ，|F 1Q |＝2|OM |.
在Rt △MOF 中，tan ∠MOF ＝|MF ||OM |＝b
c ，|OF |＝c ，
可解得|OM |＝c 2a ，|MF |＝bc
a
，
故|QF |＝2|MF |＝2bc a ，|QF 1|＝2|OM |＝2c 2
a .
由椭圆的定义得|QF |＋|QF 1|＝2bc a ＋2c 2
a ＝2a ，
整理得b ＝c ，∴a ＝b 2＋c 2＝2c ，故e ＝c a ＝2
2
.
方法二 设Q (x 0，y 0)，则FQ 的中点坐标⎝⎛
⎭⎫
x 0＋c 2，y 02，
k FQ
＝y
0x 0
－c ，依题意⎩⎨⎧
y 0
2＝b c ·x 0
＋c 2，y 0x 0
－c ·
b
c ＝－1，
解得⎩⎨⎧
x 0＝c (2c 2－a 2)a 2
，
y 0
＝2bc
2
a 2
，
又因为(x 0，y 0)在椭圆上，
所以c 2(2c 2－a 2)2a 6＋4c 4a 4＝1，令e ＝c a ，则4e 6＋e 2＝1，
∴离心率e ＝
2
2
. 2解析 在双曲线中m 2＋n 2＝c 2，又2n 2＝2m 2＋c 2，解得m ＝c
2，又c 2＝am ，故椭圆的离心
率e ＝c a ＝12
.
3依题意及正弦定理，
得|PF 2||PF 1|＝a c (注意到P 不与F 1，F 2共线)， 即|PF 2|2a －|PF 2|＝a c ， ∴
2a |PF 2|－1＝c a ，∴2a |PF 2|＝c a ＋1>2a a ＋c
，
即e ＋1>2
1＋e ，∴(e ＋1)2>2.又0<e <1，因此2－1<e <1.
4解析 (1) 如图，
∵FB →＝2F A →，
∴A 为线段BF 的中点， ∴∠2＝∠3.
又∠1＝∠2，∴∠2＝60°， ∴b
a
＝tan 60°＝3， ∴e 2＝1＋(b
a )2＝4，∴e ＝2. 答案 C
5.把x ＝2a 代入x 2a 2－y 2
b 2＝1
得y ＝±3b .
不妨取P (2a ，－3b )．又∵双曲线右焦点F 2的坐标为(c,0)， ∴kF 2P ＝3b c －2a .由题意，得3b c －2a ＝b
a
.
∴(2＋3)a ＝c .∴双曲线C 的离心率为e ＝c
a ＝2＋ 3.
6. e 1＝
1＋b 2
a
2，e 2＝1＋(b ＋m )2(a ＋m )2
.不妨令e 1<e 2
，化简得b a <b ＋m a ＋m (m >0)，得bm <am ，得b <a .所以当b >a 时，有b a >b ＋m a ＋m ，即e 1>e 2；当b <a 时，有b a <b ＋m
a ＋m ，即e 1<e 2.故选B.
7、【答案】2 【解析】
试题分析：
依题意，不妨设6,4AB AD ==作出图像如下图所示
则2124,2;2532,1,c c a DF DF a ===-=-==故离心率2
21
c a == 8、【答案】23+
考点：1.双曲线的几何性质；2.直线方程. 9、【答案】B
【解析】双曲线的渐近线为y ＝±b
a
x ，易求得渐近线与直线x －3y ＋m ＝0的交点为
A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－am a ＋3b ，bm a ＋3b ，
B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－am a －3b ，－bm a －3b .设AB 的中点为D .由|P A |＝|PB |知AB 与DP 垂直，则D ⎝ ⎛⎭⎪
⎫－a 2m （a ＋3b ）（a －3b ），－3b 2m （a ＋3b ）（a －3b ），k DP
＝－3，
解得a 2＝4b 2，故该双曲线的离心率是52
.
10B,11.B 12.D 13 D 14. 15.A
16.解 (1)由椭圆的定义，
2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2， 因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23， 即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2
＝1.
(2)如图，连接F 1Q ，由PF 1⊥PQ ，
|PQ |＝λ|PF 1|，得 |QF 1|＝|PF 1|2＋|PQ |2 ＝1＋λ2|PF 1|.
由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ， 进而|PF 1|＋|PQ |＋|QF 1|＝4a ，
高中数学 于是(1＋λ＋1＋λ2)|PF 1|＝4a ，
解得|PF 1|＝4a 1＋λ＋1＋λ2
， 故|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a (λ＋1＋λ2－1)1＋λ＋1＋λ2
. 由勾股定理得
|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2，
从而⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋λ＋1＋λ22＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a (λ＋1＋λ2－1)1＋λ＋1＋λ22＝4c 2. 两边除以4a 2，得
4(1＋λ＋1＋λ2)2＋(λ＋1＋λ2－1)2
(1＋λ＋1＋λ2)2
＝e 2. 若记t ＝1＋λ＋1＋λ2，则上式变成
e 2＝4＋(t －2)2t 2＝8⎝⎛⎭⎫1t －142＋12
. 由34≤λ＜43，并注意到t ＝1＋λ＋1＋λ2关于λ的单调性，得3≤t ＜4，即14＜1t ≤13. 进而12＜e 2≤59，即22＜e ≤53
.。