椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题
求离心率的取值范围方法总结
求离心率的取值范围求离心率的取值范围椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率。
求椭圆与双曲线离心率的范围是圆锥曲线这一章的重点题型。
求离心率的取值范围涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点，综合性强方法灵活，解题关键是挖掘题中的隐含条件，构造不等式。
下面从几个方面浅谈如何确定椭圆、双曲线离心率e的范围。
一、利用曲线的范围，建立不等关系例1．设椭圆的左右焦点分别为、，如果椭圆上存在点P，使，求离心率e的取值范围。
例2．已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直于PA，求椭圆的离心率e的取值范围。
二、利用曲线的平面几何性质，建立不等关系例1．已知12、F F是椭圆的两个焦点，满足的点P总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）Ａ．(0,1)Ｂ．1(0,]2Ｃ．2(0,)2Ｄ．2[,1)2例2．直线L过双曲线的右焦点，斜率k=2。
若L与双曲线的两个交点分别在左、右两支上，求双曲线离心率的取值范围。
例3. 已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点。
若△ABF2是锐角三角形，求双曲线的离心率的取值范围。
例4.设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )．A．2323⎛⎤⎥⎝⎦ B．323⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ C．33⎛⎫+∞⎪⎪⎝⎭ D．233⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭例5.过双曲线的左焦点1F且与双曲线的实轴垂直的直线交双曲线于A、B两点，若在双曲线的虚轴所在直线上存在一点C，使得090ACB∠=，双曲线的离心率e的取值范围为_______________.三、利用曲线的定义和焦半径范围，建立不等关系例1．已知双曲线的左右焦点分别为、，点P 在双曲线的右支上，且，求此双曲线的离心率e 的取值范围。
(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试(答案解析)(4)
一、选择题1．已知F 是双曲线22:13y C x -=的右焦点，Q 是双曲线C 左支上的一点，(0,M 是y 轴上的一点.当MQF 的周长最小时，过点Q 的椭圆与双曲线C 共焦点，则椭圆的离心率为（ ）A ．25B ．45C ．15D ．232．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若在右支上存在点A ，使得点2F 到直线1AF 的距离为2a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．C ．)+∞D ． 3．过抛物线24y x =焦点F ，斜率为k （0k >）的直线交抛物线于A ，B 两点，若3AF BF =，则k =（ ）A B ．2 C D ．1 4．圆22: ()4M x m y -+=与双曲线2222:1(0,0 ) y x C a b a b-=>>的两条渐近线相切于AB 、两点，若||1AB =，则C 的离心率为（ ）A B C ．14 D ．45．已知双曲线2221(0)x y a a -=>与椭圆22183x y +=有相同的焦点，则a =（ ）A B ．C ．2 D ．46．若圆222210x y ax y +-++=与圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点()2,C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为（ ）A ．24480y x y -++=B ．22220y x y +-+=C ．2210y x y ---=D ．24250y x y +-+=7．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆22182x y +=有公共焦点.则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．y x =B ．y =C ．y x =D ．y =8．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为F 1，F 2，点P (x 1，y 1)，Q (-x 1，-y 1)在椭圆C 上，其中x 1>0，y 1>0，若|PQ |=2|OF 2|，11||||QF PF ≥，则离心率的取值范围为（ ） A．⎛ ⎝⎦ B．2] C．1⎤⎥⎝⎦D．1] 9．椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点M 关于原点的对称点为N ，F 为椭圆的一个焦点，若0MF NF ⋅=，且3MNF π∠=，则该椭圆的离心率为（ ） A．1BCD110．已知椭圆22:12x C y +=，直线l 过椭圆C 的左焦点F 且交椭圆于A ，B 两点，AB 的中垂线交x 轴于M 点，则2||||FM AB 的取值范围为（ ） A ．11,164⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．11,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．11,162⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．11,82⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 11．以下关于圆锥曲线的命题中是真命题为（ ）A ．设,AB 是两定点，k 为非零常数，若||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线的一支；B ．过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若1()2OP OA OB =+，则动点P 的轨迹为椭圆；C ．方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；D ．双曲线221925x y -=与椭圆22135y x +=有相同的焦点. 12．12,F F 为双曲线2214x y -=-的两个焦点，点P 在双曲线上，且1290F PF ︒∠=，则12F PF △的面积是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16二、填空题13．直线l 过抛物线28y x =的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点到y 轴的距离是2，则AB =______.14．12F F 、分别为椭圆2214x y +=的左、右焦点，P 为该椭圆上一点，且1260F PF ︒∠=，则12F PF ∆的内切圆半径等于___________15．已知抛物线24y x = 上一点的距离到焦点的距离为5，则这点的坐标为_______． 16．已知双曲线221x my +=的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m =______.17．已知椭圆()222:1024x y C b b+=<<的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，13PF =，123F PF π∠=，则b =______． 18．在平面直角坐标系中，已知椭圆22:12+=x E y ，直线10x y +-=与椭圆E 交于A ，B 两点，则△AOB 的外接圆圆心的坐标为______．19．已知点P 是抛物线24y x =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()1,0-，则PF PA的最小值为 ________. 20．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，()2,0C p ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，AF 与BC 相交于点E .若2AF CF =，且ACE △的面积为p 的值为______.三、解答题21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率e =，一条准线方程为x （1）求椭圆C 的方程；（2）设,G H 为椭圆上的两个动点，G 在第一象限，O 为坐标原点，若OG OH ⊥，GOH ，求OG 的斜率.22．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>，焦距为2． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 为椭圆C 的上顶点，过点P 作两条相互垂直的直线1l ，2l 分别与椭圆相交于M 、N 两点，若4tan 3∠=PNM ，求直线1l 的方程． 附：多项式因式分解公式()()32238642322-+-=--+t t t t t t ． 23．过椭圆)(2222:10x y C a b a b+=>>右焦点2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，1F 为其左焦点，已知1AF B △的周长为8 （1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点P ，Q ，且OP OQ ⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．24．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点()2,1P ，离心率为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作两条互相垂直的弦PA ，PB 分别与椭圆C 交于A ，B .（i ）证明直线AB 过定点；（ii ）求点P 到直线AB 距离的最大值.25．我们把经过椭圆的焦点且与过焦点的轴垂直的弦称为椭圆的正焦弦．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的正焦弦长为1，且点⎛ ⎝⎭在椭圆上． （1）求椭圆的方程；（2）经过点11,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭作一直线交椭圆于,A B 两点如果点P 为线段AB 的中点，求直线AB 的斜率；（3）若直线l 与（2）中的直线AB 平行，且与椭圆交于M ，N 两点，试求MON △（O 为坐标原点）面积的最大值．26．在平面直角坐标系中，(10,C ，圆(222:12C x y +=，动圆P 过1C 且与圆2C 相切.（1）求动点P 的轨迹C 的标准方程； （2）若直线l 过点()0,1，且与曲线C 交于A 、B ，已知AB 的中点在直线14x =-上，求直线l 的方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，进而可求出Q 的坐标，结合椭圆的性质，可知椭圆的离心率EF e QE QF =+.【详解】由题意，双曲线22:13y C x -=中，2221,3,4a b c ===， 设双曲线的左焦点为E ，则()2,0E -，右焦点()2,0F ，则()222324MF =+=，根据双曲线的性质可知，2QF QE a -=，则MQF 的周长为26MF MQ QF MF MQ QE a MQ QE ++=+++=++，当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，此时MQF 的周长最小，此时直线ME 的方程为)32y x =+，联立)221332y x x y ⎧==+-⎪⎨⎪⎩，消去y 得450x +=，解得54x =-，则334y = 所以MQF 的周长最小时，点Q 的坐标为533,44⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 过点Q 的椭圆的左焦点()2,0E -，右焦点()2,0F ，则2222533533224444QE QF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭614544=+=， 所以椭圆的离心率45EFe QE QF ==+. 故选：B.【点睛】 本题考查双曲线、椭圆的性质，考查椭圆离心率的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.2．A解析：A【分析】由点()2,0F c 到直线1AF 的距离为2a ，可得出直线1AF 的方程为0ax by ac -+=，与双曲线联立，利用120x x <可建立关系求解.【详解】设点A 的坐标为(,)m n ，则直线1AF 的方程为()()0m c y n x c +-+=，点()2,0F c 到直线1AF 的距离为2a ，2a =，可得()a n m c b =+， 则直线1AF 的方程化为0ax by ac -+=，与双曲线方程联立，可得()4424422420b a x a cx a c a b ----=， A 在右支上，4224440a c a b b a--∴<-，即440b a ->，即220b a ->，即2220c a ->，则可得e >故选：A.【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 3．A解析：A【分析】 将直线方程代入抛物线可得212224k x x k++=，121=x x ，由3AF BF =可得1232x x =+，联立方程即可解出k .【详解】由题可得()1,0F ，则直线方程为()1y k x =-，将直线代入抛物线可得()2222240k x k x k -++=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则212224k x x k++=，121=x x ， 由抛物线定义可得121,1AF x BF x =+=+，3AF BF =，则1232x x =+， 结合212224k x x k++=可得1222312,x x k k =+=，代入121=x x ，则223121k k⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，由0k >，可解得k = 故选：A.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.4．B解析：B【分析】 由曲线的对称性，以及数形结合分析得115b a =，从而求得其离心率. 【详解】 如图所示，1AB =，2MA MB ==，根据对称性可知,A B 关于x 轴对称，所以112sin 24AMO ∠==，因为OA AM ⊥，所以1cos 4AOM ∠=， 渐近线OA 的斜率tan 15a k AOM b =∠==，所以115b a =， 所以22411515c b e a a ==+=， 故选：B ．【点睛】方法点睛：本题考查双曲线离心率，求双曲线离心率是常考题型，涉及的方法包含： 1.根据,,a b c 直接求.2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解.3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.5．C解析：C【分析】先求出椭圆焦点坐（椭圆的半焦距），再由双曲线中的关系计算出a ．【详解】 椭圆22183x y +=的半焦距为c ∴双曲线中215a +=，∴2a =（∵0a >）．故选：C ．【点睛】晚错点睛：椭圆与双曲线中都是参数,,a b c ，但它们的关系不相同：椭圆中222a b c =+，双曲线中222+=a b c ，不能混淆．这也是易错的地方．6．D解析：D【分析】首先根据两圆的对称性，列式求a ，再利用直接法求圆心P 的轨迹方程.【详解】由条件可知222210x y ax y +-++=的半径为1，并且圆心连线所在直线的斜率是1-， ()()2222222101x y ax y x a y a +-++=⇔-++=，，圆心(),1a -，22r a =， 所以2111a a -⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得：1a =，即()2,1C -设(),P x y ，由条件可知PC x =x =，两边平方后，整理为24250y x y +-+=.故选：D【点睛】方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：1.直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.2.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.3.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法. 7．C解析：C【分析】求出椭圆焦点坐标，得双曲线的焦点坐标，再由焦点到渐近线的距离可求得,a b，得渐近线方程．【详解】由题意已知椭圆的焦点坐标为(，即为双曲线的焦点坐标，双曲线中c =渐近线方程为b y x a=±，其中一条为0bx ay -=，1==，1b =，∴a = ∴渐近线方程为y x =． 故选：C ．【点睛】 关键点点睛：本题考查椭圆与双曲线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，关键是求出,a b ．解题时要注意椭圆中222a b c =+，双曲线中222+=a b c ．两者不能混淆． 8．C解析：C【分析】 根据2||2PQ OF =，可得四边形12PFQF 为矩形，设12,PFn PF m ==，根据椭圆的定义以及勾股定理可得()22242c m n n m a c =+-，再分析18m t n m=+的取值范围， 进而求得()222422c a c <≤-，再求离心率的范围即可 【详解】设12,PF n PF m ==，由210,0x y >>，知m n <，因为()()1111,,,P x y Q x y --，在椭圆C 上，222PQ OP OF ==，所以，四边形12PFQF 为矩形，12=QFPF ；由11QF PF ≥1m n≤<， 由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①；平方相减可得()222mn a c =-②；由①②得()2222242c m n m n mn n m a c +==+-； 令=+m n t n m，令3m v n ⎫=∈⎪⎪⎣⎭，所以，12,3t v v ⎛=+∈ ⎝⎦， 即()222422c a c <≤-，所以，()222223a c c a c -<≤-，所以，()222113e e e -<≤-，所以，2142e <≤-解得12e <≤ 故选：C【点睛】关键点睛：解题的关键在于运用椭圆的定义构造齐次式求椭圆的离心率， 即由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①；平方相减可得()222mn a c =-②；由①②得()2222242c m n m n mn n m a c +==+-，然后利用换元法得出()222113e e e -<≤-，进而求解 属于中档题 9．D解析：D【分析】E 是另一个焦点，由对称性知MENF 是平行四边形，从而得MENF 是矩形．3MEF MNF π∠=∠=，在直角三角形MEF 中用c 表示出两直角边，再上椭圆定义得,a c 的等式，求得离心率．【详解】如图，E 是另一个焦点，由对称性知MENF 是平行四边形， ∵0MF NF ⋅=，∴MF NF ⊥，∴MENF 是矩形．3MNF π∠=，∴3MEF π∠=，∴1cos 232ME EF c c π==⨯=，2sin 3MF c π==，∴1)2MF ME c a +==，∴1c e a ===． 故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到,a c 的关系，本题利用椭圆的对称性，引入另一焦点E 后形成一个平行四边形MENF ，再根据向量数量积得垂直，从而得到矩形，在矩形中利用椭圆的定义构造出,a c 的关系．求出离心率．10．B解析：B 【分析】 当l ：0y =时，2||1||8FM AB =，设():10l x my m =-≠与椭圆联立可得：()222210my my +--=， 然后求得AB 的中垂线方程，令0y = ，得21,02M m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，然后分别利用两点间的距离公式和弦长公式求得||MF ，2||AB ，建立2||||FM AB 求解. 【详解】椭圆22:12x C y +=的左焦点为()1,0F -,当l ：0y =时，())()2,0,2,0,0,0A BM -，1,22FM AB ==所以2||1||8FM AB =， 设():10l x my m =-≠与椭圆联立22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得： ()222210my my +--=，由韦达定理得：1221222212m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，取AB 中点为222,22m D m m -⎛⎫⎪++⎝⎭， 所以AB 的中垂线方程为：2212:22DM m l x y m m m ⎛⎫=--- ⎪++⎝⎭， 令0y = ，得21,02M m ⎛⎫-⎪+⎝⎭， 所以221||2m MF m +=+，又()()2222281||2m AB m +==+， 所以2222||121111=1(,)||818184FM m AB m m ⎛⎫+⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 综上所述2||11,||84FM AB ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 故选：B. 【点睛】思路点睛：1、解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单． 2、设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则弦长为AB ===k 为直线斜率)． 注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零．11．C解析：C 【分析】①根据双曲线定义可得出判断；②不妨在单位圆x 2+y 2=1中，用代入法求得P 的轨迹方程可得判断；③求出方程22520x x -+=根，利用椭圆与双曲线的离心率的范围可得出判断； ④求出双曲线和椭圆的焦点坐标可得答案； 【详解】①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，当||||||PA PB k AB -==时，则动点P 的轨迹是以A 为端点的一条射线线，因此不正确； ②∵()12OP OA OB =+，∴P 为弦AB 的中点，不妨在单位圆x 2+y 2=1中，定点A （1，0），动点11(,)B x y ，设P （x ，y ），用代入法求得P 的轨迹方程是212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+y 2=14，∴点P 的轨迹为圆，错误；③解方程22520x x -+=可得两根12，2．因此12可以作为椭圆的离心率，2可以作为双曲线的离心率，因此方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，正确；④由双曲线221925x y -=可得c，其焦点(，同理可得椭圆22135y x +=焦点为(0,，因此没有相同的焦点，错误； 综上可知：其中真命题的序号为 ③． 故选：C ． 【点睛】本题综合考查了圆锥曲线的定义、标准方程及其性质，考查了推理能力，属于中档题．12．B解析：B 【分析】先求出双曲线的a,b,c ，再利用12Rt PF F 中三边关系求出128PF PF =，再由直角三角形面积公式即得结果. 【详解】由2214x y -=-得标准方程为2214x y -=得221,4a b ==，2145c ∴=+=c ∴= 故12Rt PF F 中，()222212121212121222=2F F PF PF PF PFPF PF PF PF F F c ⎧==+⎪⎪=⎨+-=-⎪⎪⎩128PF PF ∴=所以12118422S PF PF =⋅=⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查了双曲线的定义和几何性质，考查了直角三角形的边长关系和面积公式，属于中档题.二、填空题13．【分析】设再表达出的坐标再利用抛物线的弦长公式求解即可【详解】设则利用中点坐标公式知又点M 到y 轴的距离为2故即又故利用过抛物线焦点的弦长公式故答案为：8【点睛】方法点睛：本题主要考查了过抛物线焦点的解析：【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，再表达出M 的坐标，再利用抛物线的弦长公式求解即可. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则利用中点坐标公式知1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，又点M 到y 轴的距离为2，故1222x x +=,即124x x +=, 又28,4p p ==，故利用过抛物线焦点的弦长公式12448AB x x p =++=+=. 故答案为：8 【点睛】方法点睛：本题主要考查了过抛物线焦点的弦长公式，有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式12AB x x p =++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式，考查学生的运算能力与转化思想，属于一般题.14．【分析】由题意知由余弦定理可得由面积公式即可求解【详解】因为分别为椭圆的左右焦点为该椭圆上一点所以则由余弦定理得即所以故的面积设的内切圆半径为则解得故答案为：【点睛】本题主要考查了椭圆的定义椭圆的简解析：13- 【分析】由题意知12124,F P PF F F +==1243F PPF =‖，由面积公式12121211sin |)2602(S F P PF F P PF F F r ︒=⋅+⋅=‖+|即可求解.【详解】因为12F F 、分别为椭圆2214x y +=的左、右焦点，P 为该椭圆上一点，所以12124,F P PF F F +==则由余弦定理得，2221212122cos 60F F F P PF F P PF ︒=+-‖，()2121212122cos602F P PF F P PF F P PF ︒=+--，即1212163F PPF =-‖，所以1243F PPF =‖， 故12PF F ∆的面积121sin 602S F P PF ︒=⋅‖=设12F PF ∆的内切圆半径为r ，则12121|)(4122(F P PF F F r r S +⋅=+⋅==+|，解得1r =-1 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，余弦定理，面积公式，属于中档题.15．【解析】由抛物线定义得即这点的坐标为 解析：(4,4)±【解析】由抛物线定义得215,4444x x y y +=∴=∴=⨯⇒=± ,即这点的坐标为()4,4±16．【分析】化双曲线方程为标准方程求得的值依题意列方程解方程求得的值【详解】双曲线方程化为标准方程得故依题意可知即解得【点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程考查双曲线的虚轴和实轴考查运算求解能力属于基础题解析：1-4【分析】化双曲线方程为标准方程，求得,a b 的值，依题意列方程，解方程求得m 的值. 【详解】双曲线方程化为标准方程得2211y x m-=-，故1,a b == 依题意可知2b a =2=，解得14m =-.【点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程，考查双曲线的虚轴和实轴，考查运算求解能力，属于基础题.17．【分析】作出图形利用椭圆的定义可求得利用余弦定理可求得的值进而可求得的值【详解】根据椭圆的定义：在焦点中由余弦定理可得：则所以故答案为：【点睛】本题考查利用椭圆的定义和余弦定理求椭圆方程中的参数考查解析：32【分析】作出图形，利用椭圆的定义可求得2PF ，利用余弦定理可求得c 的值，进而可求得b 的值. 【详解】根据椭圆的定义：2231PF a =-=，在焦点12PF F △中，由余弦定理可得：222212121242cos 73c F F PF PF PF PF π==+-⋅=，274c ∴=，则22279444b a c =-=-=，所以，32b =. 故答案为：32.【点睛】本题考查利用椭圆的定义和余弦定理求椭圆方程中的参数，考查计算能力，属于中等题.18．【分析】首先联立方程求得设圆心坐标利用其到△三个顶点的距离相等列出等量关系式求得结果【详解】联立方程可得：设圆心坐标则得：故答案为：【点睛】该题考查的是有关圆的问题涉及到的知识点有求直线与椭圆的交点解析：51,62⎛⎫⎪⎝⎭【分析】首先联立方程221012x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，求得()0,1A ，41,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设圆心坐标(),x y ，利用其到△AOB 三个顶点的距离相等，列出等量关系式，求得结果.【详解】联立方程221012x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：()0,1A ，41,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 设圆心坐标(),x y ，则()22222241133x y x y x y ⎛⎫-++=+=+- ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭， 得：56x =，12y =， 故答案为：51,62⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】该题考查的是有关圆的问题，涉及到的知识点有求直线与椭圆的交点，三角形外接圆的圆心的求法，属于简单题目.19．【分析】过P 做准线的垂线根据定义可得将所求最小转化为的最小结合图像分析出当PA 与抛物线相切时最小联立直线与抛物线方程根据判别式求出PA 斜率k 进而可得的值代入所求即可【详解】由题意可得抛物线的焦点准线【分析】过P 做准线的垂线，根据定义可得PF PM =，将所求PFPA最小，转化为sin PMPAM PA=∠的最小，结合图像分析出，当PA 与抛物线相切时，PAM ∠最小，联立直线与抛物线方程，根据判别式求出PA 斜率k ，进而可得PAM ∠的值，代入所求即可。
「精品」高考高考数学试题分项版解析专题14椭圆及其相关的综合问题文
专题14 椭圆及其相关的综合问题1.【2017浙江，2】椭圆22194x y +=的离心率是A ．3B ．3C ．23D ．59【答案】B【考点】 椭圆的简单几何性质【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于c b a ,,的方程或不等式，再根据c b a ,,的关系消掉得到c a ,的关系式，建立关于c b a ,,的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．2.【2017课标1，文12】设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞B ．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．[4,)+∞【答案】A 【解析】试题分析：当03m <<，焦点在轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则t a n 603ab≥=≥，得01m <≤；当3m >，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan 603ab ≥=≥，得9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)⋃+∞，选A ． 【考点】椭圆【名师点睛】本题设置的是一道以椭圆的知识为背景的求参数范围的问题．解答问题的关键是利用条件确定b a ,的关系，求解时充分借助题设条件 120=∠AMB 转化为360tan =≥ ba，这是简化本题求解过程的一个重要措施，同时本题需要对方程中的焦点位置进行逐一讨论．3.【2017课标3，文11】已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）A ．3B ．3C ．3D ．13【答案】A【考点】椭圆离心率【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.4.【2016高考新课标1文数】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为（ ）（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】B 【解析】试题分析：如图,由题意得在椭圆中,11OF c,OB b,OD 2b b 42===⨯= 在Rt OFB ∆中,|OF ||OB||BF ||OD |⨯=⨯,且222a b c =+,代入解得22a 4c =,所以椭圆得离心率得1e 2=,故选B.考点：椭圆的几何性质【名师点睛】求椭圆或双曲线离心率是高考常考问题,求解此类问题的一般步骤是先列出等式,再转化为关于a ,c 的齐次方程,方程两边同时除以a 的最高次幂,转化为关于e 的方程,解方程求e .5.2016高考新课标Ⅲ文数]已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34【答案】A考点：椭圆方程与几何性质．【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c 的值，进而求得的值；（2）建立,,a b c 的齐次等式，求得ba或转化为关于的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出． 6.【2015高考新课标1，文5】已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB = ( )（A ） （B ） （C ） （D ）12 【答案】B【解析】∵抛物线2:8C y x =的焦点为（2,0），准线方程为2x =-，∴椭圆E 的右焦点为（2,0），∴椭圆E 的焦点在x 轴上，设方程为22221(0)x y a b a b+=>>，c=2，∵12c e a ==，∴4a =，∴22212b a c =-=，∴椭圆E 方程为2211612x y +=， 将2x =-代入椭圆E 的方程解得A （-2,3），B （-2，-3），∴|AB|=6，故选B. 【考点定位】抛物线性质；椭圆标准方程与性质【名师点睛】本题是抛物线与椭圆结合的基础题目，解此类问题的关键是要熟悉抛物线的定义、标准方程与性质、椭圆的定义、标准方程与性质，先由已知曲线与待确定曲线的关系结合已知曲线方程求出待确定曲线中的量，写出待确定曲线的方程或求出其相关性质.7.【2015高考福建，文11】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A ． (0,2 B ．3(0,]4 C ．2 D ．3[,1)4【答案】A【考点定位】1、椭圆的定义和简单几何性质；2、点到直线距离公式．【名师点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，将4AF BF +=转化为142AF AF a +==，进而确定的值，是本题关键所在，体现了椭圆的对称性和椭圆概念的重要性，属于难题．求离心率取值范围就是利用代数方法或平面几何知识寻找椭圆中基本量,,a b c 满足的不等量关系，以确定ca的取值范围． 8.【2015高考广东，文8】已知椭圆222125x y m+=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C【考点定位】椭圆的简单几何性质．【名师点晴】本题主要考查的是椭圆的简单几何性质，属于容易题．解题时要注意椭圆的焦点落在哪个轴上，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是椭圆的简单几何性质，即椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点()1F ,0c -，右焦点()2F ,0c ，其中222a b c =+． 9.【2015高考浙江，文15】椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点()F ,0c 关于直线by x c=的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．【答案】2【解析】设()F ,0c 关于直线b y x c =的对称点为(,)Q m n ，则有1222n bm c cn b m c ⎧⋅=-⎪⎪-⎨+⎪=⨯⎪⎩，解得3222222,c b bc bcm n a a --==，所以3222222(,)c b bc bcQ a a --在椭圆上，即有32222422(2)(2)1c b b c b c a a b --+=，解得222a c=，所以离心率c e a ==. 【考点定位】1.点关于直线对称；2.椭圆的离心率.【名师点睛】本题主要考查椭圆的离心率.利用点关于直线对称的关系，计算得到右焦点的对称点，通过该点在椭圆上，代入方程，转化得到关于,a c 的方程，由此计算离心率.本题属于中等题。
椭圆、双曲线的离心率问题值得关注
椭圆、双曲线的离心率问题值得关注江西临川二中 何泉清解几是高考重点考查的内容，故椭圆、双曲线的离心率问题依然是高考数学的热点和重点．一、求离心率的值 求解椭圆、双曲线离心率的值的方法：一是直接利用其定义；二是利用直线与其位置关系，转化到一个关于离心率e 的方程来求解．例1 已知P 是以F 1、F 2为焦点的双曲线2222by a x -=1上的一点，1PF ·2PF =0，且tan ∠P F 1F 2=21，则此双曲线的离心率e = ． 解：如图1，∵1PF ·2PF =0，∴△P F 1F 2为直角三角形．∵tan ∠P F 1F 2=21，∴12PF PF =21，即| P F 1|=2| P F 2|． 又| PF 1|-| PF 2|=2a ，| PF 1|2+| PF 2|2=（2c ）2， 图１∴| PF 2|=2a ,5| PF 2|2=4c 2,20a 2=4c 2， ∴22ca =5，则e =c a =5．例2 已知椭圆的短轴长为 6,F 1、F 2分别为它的左、右焦点，CD 是过F 1的弦，且与x 轴成α角（0＜α＜)π，若△F 2CD 的周长为20，则椭圆的离心率e =．解：如图2，∵| CF 1|+| CF 2|=2a ，|DF 1|+|DF 2|=2a ，∴两式相加，得：| CF 1|+| CF 2|+|DF 1|+|DF 2|=20=4a ．∴a =5，又b =3，∴c =4, 则e =a c =54． 图２ 点评：例1、例2是直接利用双曲线、椭圆的一义来求离心率的．例3 设双曲线2222by a x -=1（0＜a ＜b ＝的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（b ，0）两点．已知原点到直线l 的距离为43c ，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．2或332 解：由l ： by a x -=1，得bx +a -yab =0 原点到直线l 的距离为22b a ab+-=43c ，又a 2+b 2=c 2， ∴ab =43c 2，∴a 2b 2= 163c 4，即a 2c 2-a 4=163c 4，两边同除以a 4，则e 2-1=163e 4，解得e =2或e =332． 又b ＞a ＞0，∴ab ＞1，即e 2-1＞1，e 2＞2． ∴e =2．故选A ．例4 已知椭圆C 的方程为2222x y a b+=1（a ＞b ＞0），若直线y =22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F 2，则椭圆的离心率e 的（ ）A ．21B ．22C ．23D ．2-1解：设半焦距为c ，则F 2（c ,0）．∵M 在轴上的射影恰好是右焦点F 2，∴M （c , 22c ）． ∴22a c +22)22(bc =1，又a 2-c 2=b 2， ∴22ac +)(2222c a c -=1， 整理得，2c 4-52a c 2+2a 4=0，即2e 4-5e 2+2=0．∴e 4=21，故选B ． 点评：例3、例4求离心率的方法是有相同的特点：先根据条件得到一个关于a 、c 的齐次等式，然后等式两边同除以a 的方幂，得到一个关于离心率的方程，解出e 并注意条件即得到所求．二、求离心率的取值范围其方法可以利用椭圆、双曲线的变化范围，直线与椭圆、双曲线的三种位置关系建立的一元二次方程存在实根的条件，图形的直观性，实数的非负性或已知变量的取值范围（隐含条件的不等关系）等来确立含离心率e 的不等式，从而获解．例5 已知椭圆2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别为A 、B ，如果椭圆上存在点P ，使得∠APB =1200，求椭圆的离心率e 的取值范围．解法一：设P （x 0，y 0），由椭圆的对称性，不妨令0≤x 0＜a , 0＜y 0≤b ．∵A （-a ，0），B （a ，0）， ∴PA k =a x y +00，PB k =ax y -00． ∵∠APB =1200，∴tan ∠APB =-3，又tan ∠APB =1PB PA PB PA k k k k -+=2202002a y x ay -+， ∴2202002a y x ay -+=-3，……① 而点P 在椭圆上，∴b 2x 02+a 2y 02=a 2b 2……②由①、②得 y 0=)(32222b a ab -．∵0＜y 0≤b ，∴0＜)(32222b a ab -≤b ．∵a ＞b ＞0，∴2ab ≤3（a 2-b 2），即4 a 2b 2≤3 c 4，整理得，3e 4+4e 2-4≥0．考虑0＜e ＜1，可解得36≤e ＜1． 解法二：以AB 为弦，含0120的角且在x 轴上方的弓形弧与上半椭圆的交点除A 、B外至多有两个，至少有一个，所以上顶点D （0，b ）在弓形内，即∠ADB ≥0120， ∴∠ODB ≥600（点O 为坐标原点），∴ba ≥3，即a 2≥3b 2=3(a 2-c 2)， 则e 2≥32． ∴33≤e ≤1． 点评：椭圆、双曲线上点的横、纵坐标的取值范围往往可以确立含离心率e 的不等式．解法二是考虑到几何性质运用数形结合的思想方法建立了含e 的不等式，简化了求解过程．下面再看例6对这一方法漂亮的应用．例6 已知椭圆2222by a x +=1（a ＞b ＞0）上有点P ，使∠F 1PF 2为直角，求椭圆离心率的取值范围．解：依题意知，以F 1F 2为直径的圆Ｃ与椭圆必有公共点P ，则椭圆短轴上端点B 必在圆Ｃ的内部或圆上，即|OB |≤r =c （r 为圆Ｃ的半径），∴b ≤c ，∴a 2- c 2≤c 2, 即2 c 2≥a 2，则22≤e ＜1． 点评：本题还有其他多种解法，请同学们试试．例7 过双曲线2222by a x -=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F 且倾斜角为045的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点．求双曲线离心率的取值范围．解：设F （c ,0），则直线AB 的方程为y =x -c ，且c 2= a 2+ b 2 由⎪⎩⎪⎨⎧-==-c x y b y a x 12222，消去y ，得2222)(b c x a x --=1， 即（a 2- b 2）x 2-2 a 2cx + a 2 (b 2 -c 2)=0．∵直线AB 与双曲线有两个交点，∴a 2- b 2≠0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2222b a c a -，x 1x 2=22222)(ba cb a -+． 又∵A 、B 分别在双曲线的右支上， ∴⎪⎩⎪⎨⎧〉-+=≠-0)(022*******b a c b a x x b a ，即a 2＞ b 2，a 2＞c 2- a 2， ∴e 2＜2，则1＜e ＜2．点评：本题是以直线与双曲线的位置关系来确立含e 的不等式，亦可由图形上根据角度的大小关系确立含e 的不等式来求解．例8 已知梯形ABCD 中，|AB |=2|CD |，点E 满足=λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点，当32≤λ≤43时，求双曲线e 的取值范围． 解：以AB 为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图3，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称．设A （-c ,0）， C （2c ,h ）， E （x 0,y 0）,其中c =21|AB |，h 是梯形的高． ∵=λ， 图３∴（x 0+c ，y 0）=λ（2c -x 0，h -y 0）， ∴x 0=)1(2)2(+-λλc ，y 0=λλ+1h ． 设双曲线方程为2222by a x -=1， ∵C 、E 在双曲线上，并考虑e =a c ， ∴222222221,(1)42()() 1.(2)411e h b eh b λλλλ⎧-=⎪⎪⎨-⎪-=⎪++⎩ 由(1)得22bh =42e -1，代入(2)，得42e （4-4λ）=1+2λ， ∴λ=1-132+e ，由32≤λ≤43，得32≤1-132+e ≤43， 解得7≤e ≤10． 故双曲线离心率的取值范围为[7，10]．点评：本题依据已知变量的范围来确立含e不等式从而获解．―――原载《广东教育》2005年第18期。
共顶点的椭圆和双曲线离心率关系
共顶点的椭圆和双曲线离心率关系【导言】在数学中，椭圆和双曲线是两种常见的几何曲线，它们在各个领域都起到重要的作用。
在本文中，我们将探讨共顶点的椭圆和双曲线之间的离心率关系。
通过深入剖析这一关系，我们可以更好地理解这两种曲线的性质和特点。
【第一部分：椭圆】1. 了解椭圆的基本定义椭圆是平面上一点到两个固定点（焦点）的距离之和为常数的轨迹。
这个常数称为椭圆的离心率，通常用符号e表示。
对于一个椭圆来说，离心率e的取值范围是0<e<1。
2. 探究离心率为0的椭圆当离心率e为0时，两个焦点重合于一点，此时的椭圆就变成了一个圆。
在圆中，任意一点到圆心的距离都相等，这与椭圆的定义相符。
3. 研究离心率为1的椭圆当离心率e为1时，椭圆的性质发生了变化。
此时的椭圆被称为狭义椭圆，它的特点是两个焦点离圆心相等。
离心率为1的椭圆是一个特殊的情况，它与双曲线之间存在着一种联系。
【第二部分：双曲线】1. 了解双曲线的基本定义双曲线是平面上一点到两个固定点（焦点）的距离之差为常数的轨迹。
与椭圆不同的是，双曲线的离心率e大于1。
具体地说，离心率e越大，双曲线的形状越扁平。
2. 探究离心率大于1的双曲线当离心率e大于1时，双曲线的性质变得更加有趣。
与椭圆不同，双曲线的拟焦点是在曲线的两边，离圆心同等距离。
双曲线可以分为左右两支，两支之间存在着一定的对称性。
3. 研究离心率等于1的双曲线当离心率e等于1时，我们可以得到一种特殊的双曲线，称为狭义双曲线。
与离心率为1的椭圆类似，狭义双曲线也具有对称性。
由于其特殊的形态，狭义双曲线在物理学和工程学领域有着广泛的应用。
【第三部分：共顶点的椭圆和双曲线离心率关系】1. 比较椭圆和双曲线的离心率通过以上对椭圆和双曲线的研究，我们可以得出一个重要的结论：共顶点的椭圆和双曲线的离心率之和恒为2。
也就是说，对于任意一个椭圆和双曲线，它们的离心率之和总是等于2。
2. 离心率关系的几何意义这一结论有着深远的几何意义。
求离心率的范围问题整理分类
求离心率的范围问题求离心率范围的方法 一、建立不等式法：1.利用曲线的范围建立不等关系。
2.利用线段长度的大小建立不等关系。
F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]；F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，|PF 1|≥c －a .3.利用角度长度的大小建立不等关系。
4.利用题目不等关系建立不等关系。
5. 利用判别式建立不等关系。
6.利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系。
7.利用基本不等式，建立不等关系。
二、函数法：1. 根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；2.通过确定函数的定义域；3.利用函数求值域的方法求解离心率的范围.练习利用曲线的范围建立不等关系1.F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，求椭圆的离心率的取值范围.2.A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使∠OPA = , 则椭圆离心率的范围是_________.3.设12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,且12||2F F c =,若椭圆上存在点P 使得212||||2PF PF c ⋅=,则椭圆的离心率的最小值为（ ）A ．12B ．13 C．2 D．32π4.5.设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎝⎛⎦⎥⎤0，33 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 6．已知点()()000,P x y x a ≠±在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO PM ⊥（O为坐标原点），则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．()0,1C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭利用线段长度的大小建立不等关系7. 设点P 在双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的右支上，双曲线两焦点21F F 、，|PF |4|PF |21=，求双曲线离心率的取值范围。
圆锥曲线专题[求离心率的值、离心率的取值范围]
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圆锥曲线专题 求离心率的值师生互动环节讲课内容：历年高考或模拟试题关于离心率的求值问题分类精析与方法归纳点拨。
策略一：根据定义式求离心率的值在椭圆或双曲线中，如果能求出c a 、的值，可以直接代公式求离心率；如果不能得到ca 、的值，也可以通过整体法求离心率：椭圆中221ab ac e -==；双曲线中221a b a c e +==.所以只要求出ab值即可求离心率. 例1.（2010年全国卷2）己知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()2222100x y a b a b-=＞，＞相交于D B 、两点，且BD 的中点为)3,1(M ，求曲线C 的离心率.解析：如图，设),(),(2211y x D y x B 、，则1221221=-b y a x ① 1222222=-by a x ② ①-②整理得0))(())((2212122121=+--+-b y y y y a x x x x ③又因为)3,1(M 为BD 的中点，则6,22121=+=+y y x x ，且21x x ≠，代入③得13222121==--=a b x x y y k BD，解得322=ab ，所以231122=+=+=a b e .方法点拨：此题通过点差法建立了关于斜率与a b 的关系，解得22ab 的值，从而整体代入求出离心率e .当然此题还可以通过联立直线与曲线的方程，根据韦达定理可得),(21b a x x ϕ=+，2),(=b a ϕ或者),(21b a y y ω=+，6),(=b a ω从而解出22a b 的值，最后求得离心率.【同类题型强化训练】1.（呼市二中模拟）已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为032=±y x ，则双曲线的离心率为（ ）. 313.A 213.B 315.C 210.D 2.（衡水中学模拟）已知中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与圆222)1()2(r y x =-+-交于B A 、两点，AB 恰是该圆的直径，且直线AB 的斜率21-=k ，求椭圆的离心率.3.（母题）已知双曲线)0(1:22>=-m y m x C ，双曲线上一动点P 到两条渐近线的距离乘积为21，求曲线C 的离心率. 【强化训练答案】1.答案：由双曲线焦点在x 上，则渐近线方程0=±ay bx ，又题设条件中的渐近线方程为032=±y x ，比较可得32=a b ，则313941122=+=+=a b e .2.答案：设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，),(),,(2211y x B y x A ，则1221221=+b y a x ① 1222222=+by a x ② ①-②整理得0))(())((2212122121=+-++-b y y y y a x x x x ③因为AB 恰是该圆的直径，故AB 的中点为圆心)1,2(，且21x x ≠则2,42121=+=+y y x x ，代入③式整理得2221212ab x x y y k -=--=直线AB 的斜率21-=k ，所以21222-=-=a b k ，解得4122=a b所以离心率23411122=-=-==a b a c e .3.答案：曲线C 的渐近线方程分别为0:1=+y m x l 和0:2=-y m x l ，设),(00y x P ，则 点),(00y x P 到直线1l 的距离m y m x d ++=1001，点),(00y x P 到直线2l 的距离my m x d +-=1002，mmy x my m x y m x d d +-=+-⋅+=⋅11220000021因为),(00y x P 在曲线C 上，所以m my x =-2020，故21121=+=⋅m m d d ，解得1=m 所以2=e .策略二：构造c a ,的关系式求离心率根据题设条件，借助c b a ,,之间的关系，沟通c a 、的关系（特别是齐次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解方程得出离心率e .例 2.已知21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点P 在双曲线上，求双曲线的离心率.解析：如图1，1MF 的中点为P ，则点P 的横坐标为2c-.由c F F PF ==21121， 焦半径公式a ex PF p --=1有a ca c c --⨯-=)2(，即02222=--ac a c 有0222=--e e解得31+=e ，或31-=e （舍去）.方法点拨：此题根据条件构造关于c a ,的齐次式，通过齐次式结合离心率的定义ace =整理成关于e 的一元方程，从而解出离心率的值.注意解出的结果要做验证，取符合离心率的范围的结果：),1(),1,0(+∞∈∈双曲线椭圆e e . 【同类题型强化训练】1.（2011新课标）已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A 、B 两点，||AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（ ）.A 2.B 3.C 2 .D 32.（2008浙江）若双曲线12222=-b y a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是（ ）.A 3 .B 5 .C 3 .D 5 【同类题型强化训练答案】1.答案：依据题意a aa c AB 22222=-=，解得2=e .2.答案：依据题意2:3)(:)(22=-+c a c c a c ，整理得223a c =，所以3==ace .策略三：根据圆锥曲线的统一定义求离心率（第二定义）由圆锥曲线的第二定义，知离心率e 是动点到焦点的距离和动点到准线的距离之比，适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题，即e dMF =.例3.（2010年辽宁卷）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C相交于B A ,两点，直线l 的倾斜角为︒60,2AF FB =,求椭圆C 的离心率.解法一：作椭圆的左准线B A '',过A 作B A ''的垂线，垂足为A '；过B 作B B '的垂线，垂足为B '.过B 作A A '的垂线，垂足为M .如图2.由图，由椭圆的第二定义，则e A A AF ='e AF A A ='⇒，e B B BF ='e BFB B ='⇒ 12::==''e BF e AF B B A A B B A A '='⇒2 且A A BM '⊥,所以M 是A A '的中点又因为直线l 的倾斜角为︒60，即︒=∠=∠60AFx BAM ， 所以在BAM Rt ∆中，A A AM AB '==2,故3232=⋅='=AB AB A A AF e . 解法二：设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意知10y <，20y >.直线l 的方程为 3()y x c =-，其中22c a b =-联立22223(),1y x c x y ab ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得22224(3)2330a b y b cy b ++-=解得221222223(2)3(2),33b c a b c a y y a b a b -+--==++因为2AF FB =，所以122y y -=.即 2222223(2)3(2)233b c a b c a a b a b +--=⋅++得离心率 23c e a ==. 方法点拨：该题对于课标地区选择第二种代数法处理，对于自主命题对圆锥曲线的第二定义要求的地区，两种方法都可以给学生讲讲。
椭圆双曲线共焦点离心率结论
椭圆双曲线共焦点离心率结论
椭圆双曲线：
1. 定义：椭圆双曲线是一种数论对象，它可以用$y^2=x^3+ax+b$的形
式表示，又称做Weierstrass椭圆双曲线，其中a、b是常数。
2. 特点：和椭圆类似，椭圆双曲线也具有两个焦点和长短轴，但与传
统的椭圆不同，它由一系列点组成，而不是单一点。
3. 离心率：椭圆双曲线的离心率常用$e=\frac{2c^2}{a^2+b^2}$来表示，其中a、b、c是椭圆双曲线的长短轴、重心距等参数，它的取值范围在
1到无穷大之间，如果离心率e=1，则该椭圆双曲线称为椭圆形椭圆双
曲线，1<e<无穷大时，椭圆双曲线称为双曲线椭圆双曲线。
4. 共焦点：椭圆双曲线有两个焦点，对称轴有两个共焦点，即它们之
间的距离相等，可以用公式$2c^2=a^2+b^2$来表示。
5. 结论：椭圆双曲线的参数a、b、c以及离心率e与共焦点之间存在特定关系，即$2c^2=a^2+b^2$,$e=\frac{2c^2}{a^2+b^2}$，离心率的值可
以用来判断这类椭圆双曲线是否为椭圆形双曲线或双曲线椭圆双曲线。
离心率问题的7种题型15种方法(教师版)
目录题型一:椭圆离心率的求值 2方法一：定义法求离心率 2方法二：运用通径求离心率 3方法三：运用e=e=1+k2λ-1λ+1求离心率 4方法四：运用e=c a=sin(α+β)sinα+sinβ求离心率 4方法五：运用k OM⋅k AB=-b2a2求离心率 5方法六：运用正弦定理、余弦定理、三角函数求离心率 6方法七：运用相似比求离心率 6方法八：求出点的坐标带入椭圆方程建立等式 7方法九：运用几何关系求离心率 7题型二:双曲线离心率的求解 9方法一：定义法关系求离心率 10方法二：运用渐近线求离心率 10方法三：运用e=1+k2λ-1λ+1求离心率 11方法四：运用e=c a=sin(α+β)sinα-sinβ求离心率 11方法五：运用结论k OM•k AB=b2a2求离心率 12方法六：运用几何关系求离心率 13题型三:椭圆、双曲线离心率综合运用 15题型四:根据已知不等式求离心率的取值范围 17题型五:根据顶角建立不等式求离心率范围 18题型六:根据焦半径范围求离心率范围 19题型七:题型七根据渐近线求离心率的取值范围 21离心率问题的7种题型15种方法1离心率问题的7种题型15种方法求离心率常用公式椭圆公式1:e =ca 公式2:e =1-b 2a2证明：e =c a=c 2a 2=a 2−b 2a 2=1-b 2a 2公式3:已知椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),两焦点分别为F 1,F 2,设焦点三角形PF 1F 2，∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,则椭圆的离心率e =sin (α+β)sin α+sin β证明：∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,由正弦定理得：F 1F 2 sin (180o −α−β)=PF 2 sin α=PF 1sin β由等比定理得：F 1F 2 sin (α+β)=PF 1 +PF 2 sin α+sin β，即2c sin (α+β)=2a sin α+sin β∴e =c a =sin (α+β)sin α+sin β。
求解离心率的范围问题
求解离心率的范围问题离心率的范围问题是高考的热点问题，各种题型均有涉及，因联系的知识点较多，且处理的思路和方法比较灵活，关键在于如何找到不等关系式，从而得到关于离心率的不等式，进而求其范围.很多同学掌握起来比较困难，本文就解决本类问题常用的处理方法和技巧加以归纳.一、【知识储备】求离心率的方法离心率是刻画圆锥曲线几何特点的一个重要尺度.常用的方法：（1）直接求出a 、c ，求解e ：已知标准方程或a 、c 易求时，可利用离心率公式ace =来求解； （2）变用公式，整体求出e ：以椭圆为例，如利用e ===e == （3）构造a 、c 的齐次式，解出e ：根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造出a 、c 的齐次式，进而得到关于e 的方程，通过解方程得出离心率e 的值. 二、求解离心率的范围的方法1 借助平面几何图形中的不等关系根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值 等得到不等关系，然后将这些量结合曲线的几何性质用,,a b c 进行表示，进而得到不等式，从而确定离心率 的范围.【例1】 已知椭圆的中心在O ,右焦点为F ，右准线为l ，若在l 上存在点M ，使线段OM 的垂直平分线经过点F ，则椭圆的离心率的取值范围是_____________.【答案】：⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22 x【点评】离心率的范围实质为一个不等式关系，如何构建这种不等关系可以利用方程和垂直平分线性质构建.利用题设和平面几何知识的最值构建不等式往往使问题简单化.【牛刀小试】已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与圆2222:C x y b +=，若在椭圆1C 上存在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是______________.【答案】2[,1)2【解析】椭圆上长轴端点向圆外两条切线PA,PB ，则两切线形成的角APB ∠最小，若椭圆1C 上存在点P 令切线互相垂直，则只需090APB ∠≤，即045APO α=∠≤， ∴02sin sin 452b a α=≤=，解得222a c ≤，∴212e ≥，即22e ≥，而01e <<， ∴212e ≤<，即2[2e ∈. 2借助题目中给出的不等信息根据试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，∆的范围等，进一步得到离心率的不等关系式，从而求解.Bo F 1FAxy【例2】 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点O 的对称点为,B F 为其右焦点，若,AF BF ⊥设,ABF α∠=且,,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则椭圆离心率的取值范围是 . 【答案】26[,]23【点评】本题的关键是利用椭圆的定义建立等量关系式2sin 2cos 2c c a αα+=，然后借助已知条件,,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦利用三角函数的图象求解离心率的范围. 【牛刀小试】过椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若31＜k ＜21, 则椭圆的离心率的取值范围是.【答案】(32,21)【解析】如图所示：2AF a c =+|，222a c BF a-=，()2222222tan a c BF a c a k BAF AF a c a a c --=∠===++， 又∵31＜k ＜21，∴()221132a c a a c -<<+，∴2111312e e -<<+，解得1223e <<．3 借助函数的值域求解范围根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式，通过确定函数的定义域后，利用函数求值域的方法求解离心率的范围.【例3】已知椭圆221:12x y C m n -=+与双曲线222:1x y C m n+=有相同的焦点，则椭圆1C 的离心率e 的取值范围为_________________. 【答案】2(,1)2【点评】本题根据题设“相同的焦点”建立等量关系，得到函数关系式21112e m =-+，进而根据m 的范围，借助反比例函数求解离心率的范围.【牛刀小试】已知两定点(2,0)A -和(2,0)B ，动点(,)P x y 在直线:3l y x =+上移动，椭圆C 以,A B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为______________.【答案】26【解析】由题意可知，2c =，由2c e a a==可知e 最大时需a 最小，由椭圆的定义||||2PA PB a +=，即使得||||PA PB +最小，如图，设(2,0)A -关于直线3y x =+的对称点(,)D x y ，由11202322y x y x -⎧⋅=-⎪⎪+⎨+-+⎪=+⎪⎩，可知(3,1)D -. 所以22||||||||||1526PA PB PD PB DB +=+≥=+=，即226a ≥，所以262a ≥，则2626c e a=≤=. 4 根据椭圆或双曲线自身的性质求范围在求离心率的范围时有时常用椭圆或双曲线自身的性质，如椭圆()2222100x y a b a b+=>>，中，a x a -≤≤，P 是椭圆上任意一点，则1a c PF a c -≤≤+等。
求椭圆、双曲线离心率
2
2 2 c c ,
2
e 2e 1 0
2
e 2 -1
5、离心率 c 双曲线的焦距与实轴长 的比e ,叫做 （1）定义： a 双曲线的 离心率。
（2）e的范围：
c>a>0
2 2
e >1
2
（3）e的含义：
e
c 2 a
2
a b b 1 2 2 a a
椭圆的离心率
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比： c 叫做椭圆的离心率。 e [1]离心率的取值范围： 因为 a > c > 0，所以0<e<1 [2]离心率对椭圆形状的影响：
c e a a 2 b2 a b 2 1 ( ) , a
4、椭圆的离心率
a
y
O
x
1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆就 越扁 2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆就 越圆 3）特例：e =0，则 a = b，则 c=0，两个焦点重合， 椭圆方程变为（？）
x 2 y2 B. 1 9 8 y2 x 2 D. 1 9 8
【解析】选C.由于c=1,所以离心率最大即为长轴最小. 点F1(-1,0)关于直线x-y+3=0的对称点为F′(-3,2),设点P为直 线与椭圆的公共点,则2a=|PF1|+|PF2|=|PF′|+|PF2|≥|F′F2|
双曲线的一个焦点到一条渐近 线的距离等于其虚半轴长
x y 1、过双曲线 2 2 1的一个焦点F作它的渐近线 a b 的垂线，垂足为 A，延长FA交y轴于点B, 若A为 FB的中点，则双曲线的离 心率是
2
高考数学离心率的求值或取值范围问题解题模板
考点：1、双曲线的简单几何性质；2、双曲线的概念.
【方法点评】本题考查了双曲线的简单几何性质和双曲线的概念，考查学生综合知识能力和图形识别能力，
数中档题.其解题的一般思路为：首先根据矩形的性质并将直线 代入双曲线 方程中即可得出点 的坐标，再由矩形的几何性质可得 ，最后可得出所求的结果.其解题的关键是正确地运用矩形的几何性质求解双曲线的简单几何性质.
离心率的求值或取值范围问题解题模版
【高考地位】
圆锥曲线的离心率是近年高考的一个热点，有关离心率的试题，究其原因，一是贯彻高考命题“以能力立意”的指导思想，离心率问题综合性较强，灵活多变，能较好反映考生对知识的熟练掌握和灵活运用的能力，能有效地反映考生对数学思想和方法的掌握程度;二是圆锥曲线是高中数学的重要内容，具有数学的实用性和美学价值，也是以后进一步学习的基础.
因为 为等边三角形，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
因为在 中， ， ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
所以双曲线的离心率为 ，
故选：B
方法四借助题目中给出的不等信息
万能模板
内容
使用场景
离心率的求值或取值范围
解题模板
第一步找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立， 的范围等；
第二步列出不等式，化简得到离心率的不等关系式，从而求解.
【详解】解：因为过 作垂直于 轴的直线与椭圆交于 两点（ 在 轴上方），
所以 为椭圆的一条通径，
所以 ， ， ， ，
因为 ，
所以 ，即： ，
整理得： ，
所以 .
故选：C.
方法三借助平面几何图形中的不等关系
关于椭圆,双曲线及抛物线离心率的几何性质
关于椭圆,双曲线及抛物线离心率的几何性质
离心率是一个几何性质，是指一个图形它的焦点到曲线上任意点的距离与另一个焦点到这一点的距离的比值。
这个几何性质经常用于椭圆，双曲线和抛物线描述，从而有助于理解它们的几何特征。
下面对这三种曲线的离心率进行详细介绍。
（1）椭圆的离心率
椭圆是一种经典的曲线，其离心率的定义如下：椭圆的离心率是焦点到曲线上任意点的距离与两焦点之间的距离的比值。
也就是说，椭圆的离心率就是两个焦点之间距离与任意点到其中一个焦点之间距离的比值。
椭圆的离心率一般大于0，但小于1。
（2）双曲线的离心率
双曲线属于几何图形，它的离心率的定义如下：双曲线的离心率是焦点到曲线上任意点的距离与两焦点之间的距离之比。
双曲线的离心率一般大于1，但小于无限大。
（3）抛物线的离心率
抛物线也称为二次曲线，它的离心率定义为：抛物线的离心率是焦点到曲线上任意点的距离与两焦点之间的距离之比。
抛物线的离心率总是等于1，两个焦点之间的距离总是等于任意点到其中一个焦点之间的距离。
以上就是椭圆，双曲线和抛物线的离心率的相关几何特征。
它们的离心率是一个重要的几何属性，可以帮助我们更好地理解这三种曲线的几何结构。
2025高考数学总复习离心率的范围问题
由题意知 a＝1，b＝ 1－m2，c＝m，
椭圆E上存在点P满足|OP|＝m，等价于以O为原点，以c为半径的圆与
椭圆有交点，得c≥b，
所以
c2≥b2＝a2－c2，解得ac22≥12，所以
e＝ac≥
2 2.
又
0<e<1，所以椭圆
E
的离心率的取值范围为
22，1.
(2)已知 P 为椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)上一点，F1，F2 为椭圆焦点，且|PF1|
题型二 利用圆锥曲线的性质求离心率的范围
例 2 (1)(2023·张掖模拟)若椭圆 E：x2＋1－y2m2＝1(0<m<1)上存在点 P，
满足|OP|＝m(O 为坐标原点)，则椭圆 E 的离心率的取值范围为
A.0，12
C.0，
2
2
B.12，1
√
D.
22，1
设椭圆E的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a，b，c，
该双曲线的右顶点，过点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点，
若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是
A.(1，＋∞) C.(2,1＋ 2)
√B.(1,2)
D.(1,1＋ 2)
由题意可知|AE|＝|BE|，即△ABE为等腰三角形， ∵△ABE是锐角三角形， ∴∠AEB<90°，∴∠AEF<45°， 将 x＝－c 代入ax22－by22＝1，可得 y＝±ba2， 故在 Rt△AFE 中，|AF|＝ba2，|FE|＝a＋c， ∵∠AEF<45°，
第八章
§8.7 离心率的范围问题
重点解读
圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知 特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘 应用也可使问题求解更简洁.
高中数学常见题型解法归纳 - 离心率取值范围的常见求法
高中数学常见题型解法归纳 - 离心率取值范围的常见求法【知识要点】1、求圆锥曲线离心率的取值范围是高考的一个热点，也是一个难点.2、椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率,对于这三种圆锥曲线的离心率的范围要清楚，自己求出的离心率的范围必须和这个范围求交集.3、求离心率的取值范围常用的方法有以下三种：（1）利用圆锥曲线的变量的范围，建立不等关系；（2）直接根据已知中的不等关系，建立关于离心率的不等式；（3）利用函数的思想分析解答.【方法讲评】先求出曲线的变量或如果椭圆上存在点，使【例1】设椭圆的左右焦点分别为，,，求离心率的取值范围.从而，且所以【点评】（1）本题主要椭圆中的满足建立了关于离心率的不等式.(2)求离心率的取值范围，注意圆锥曲线离心率法范围，椭圆的离心率，双曲线的离心率，求出离心率的取值范围后，必须和它本身的范围求交集，以免扩大范围，出现错解.【反馈检测1】双曲线在右支上存在与右焦点、左准线长等距离的点，求离心率的取值范围.的不等关系，再转化为离心率的不等式，解不等式【例2】已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是．【点评】本题就是直接根据“直线与双曲线的右支有且只有一个交点”得到关于的不等式，再转化成关于的二次不等式，解二次不等式即得离心率的取值范围.【反馈检测2】过双曲线的右焦点作实轴所在直线的垂线，交双曲线于，两点，设双曲线的左顶点为，若点在以为直径的圆的内部，则此双曲线的离心率的取值范围为( ) A． B． C． D．【例3】设，则双曲线的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【点评】本题就是利用离心率的公式建立了关于实数的函数，再利用二次函数的图像和性质来求函数的值域，即得离心率的取值范围.【反馈检测3】已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【反馈检测4】设双曲线：与直线相交于不同的两点．求双曲线的离心率的取值范围.参考答案【反馈检测1答案】【反馈检测2答案】【反馈检测2详细解析】设双曲线方程为，则直线AB方程为：，其中，因此，设，，∴，解之得，得∵双曲线的左焦点在以为直径的圆内部,∴，即＜，将，并化简整理，得，两边都除以，整理得，解之得（舍负）故选.【反馈检测3答案】【反馈检测3详细解析】∵和关于原点对称∴也在椭圆上设左焦点为根据椭圆定义：又∵∴①是的斜边中点，∴又②③②③代入①∴即∴,所以. 【反馈检测4答案】。
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椭圆和双曲线的离心率的求值及范围求解问题【重点知识温馨提示】1.e＝ca＝1－b2a2(0<e<1)，e＝ca＝1＋b2a2(e>1)2.确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，c的方程或不等式，进而得到关于e的方程或不等式，3.【典例解析】例1.(2015·新课标全国Ⅱ，11)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )A. 5 B．2 C. 3 D. 2例2.【2016高考新课标3文数】已知O为坐标原点，F是椭圆C：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34例3 (2015·福建)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，32 B.⎝⎛⎦⎤0，34 C.⎣⎡⎭⎫32，1 D.⎣⎡⎭⎫34，1例4.(2014·江西)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________． 【跟踪练习】1. (2015·浙江)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝b c x 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．2. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项， 则椭圆的离心率是( ) A.33 B.22 C.14 D.123.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则椭圆的离心率的取值范围为______．4.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB →＝2F A →，则此双曲线的离心率为( ) A. 2B. 3 C ．2D. 55.(2015·山东)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．6.(2015·湖北)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )A ．对任意的a ，b ，e 1<e 2B ．当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2C ．对任意的a ，b ，e 1>e 2D ．当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 27、（2016年山东高考）已知双曲线E ：22x a–22y b =1（a >0，b >0）．矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______．8（2015年高考）过双曲线C ：22221x y a a-=0,0a b >>（）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ,则C 的离心率为 .9、（齐鲁名校协作体2016届高三上学期第二次调研联考）设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m ，0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是（）(A)(B)(C) (D) 10、（东营市、潍坊市2016届高三高三三模）已知1F 、2F 为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，以原点O 为圆心，半焦距长为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于y 轴右侧的两个交点为A 、B ，若1ABF ∆为等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）A 1B 1-C D11、（济宁市2016届高三上学期期末）已知抛物线2y =-的焦点到双曲线()222210,0x y a b a b -=>>A.3B.3C.D.3912、（莱芜市2016届高三上学期期末）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点是(),0F c -，离心率为e ，过点F 且与双曲线的一条渐近线平行的直线与圆222x y c y +=在轴右侧交于点P ，若P 在抛物线22y cx =上，则2e =A.5B.51+ C.51-D.213，（烟台市2016届高三上学期期末）设点F 是抛物线()2:20x py p τ=>的焦点，1F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，若线段1FF 的中点P 恰为抛物线τ与双曲线C 的渐近线在第一象限内的交点，则双曲线C 的离心率e 的值为 A.322B.334C.98D.3241,4、（青岛市2016高三3月模拟）已知点12,F F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足21212,120PF F F F F P =∠=，则双曲线的离心率为_________.15、（日照市2016高三3月模拟）已知抛物线28y x =的准线与双曲线222116x y a -=相交于A,B 两点，点F 为抛物线的焦点，ABF ∆为直角三角形，则双曲线的离心率为 A.3B.2C.6D.316. (2015·重庆)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PQ |＝λ|PF 1|，且34≤λ＜43，试确定椭圆离心率e 的取值范围．答案部分：例1【解析】 如图，设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则|AB |＝2a ，由双曲线的对称性，可设点M (x 1，y 1)在第一象限内，过M 作MN ⊥x 轴于点N (x 1，0)，∵△ABM 为等腰三角形，且∠ABM ＝120°，∴|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBN ＝60°，∴y 1＝|MN |＝|BM |sin ∠MBN ＝2a sin 60°＝3a ，x 1＝|OB |＋|BN |＝a ＋2a cos 60°＝2a .将点M (x 1，y 1)的坐标代入x 2a 2－y 2b 2＝1，可得a 2＝b 2，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝2，选D.例2【答案】A例3如图，设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形．∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4， ∴a ＝2.设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b ＜2.离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝4－b 24∈⎝⎛⎦⎤0，32， 故选A.例4.直线AB ：x ＝c ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a .∴A (c ，b 2a )，B (c ，－b 2a )．∴kBF 1＝－b 2a －0c －(－c )＝－b 2a 2c ＝－b 22ac .∴直线BF 1：y －0＝－b 22ac (x ＋c )．令x ＝0，则y ＝－b 22a，∴D (0，－b 22a )，∴k AD ＝b 2a ＋b 22ac ＝3b 22ac .由于AD ⊥BF 1，∴－b 22ac ·3b 22ac ＝－1，∴3b 4＝4a 2c 2，∴3b 2＝2ac ，即3(a 2－c 2)＝2ac ， ∴3e 2＋2e －3＝0，∴e ＝－2±4－4×3×(－3)23＝－2±423.∵e >0，∴e ＝－2＋423＝223＝33.【跟踪练习】1，答案 方法一 设椭圆的另一个焦点为F 1(－c,0)，如图，连接QF 1，QF ，设QF 与直线y ＝bcx 交于点M .由题意知M 为线段QF 的中点，且OM ⊥FQ .又O 为线段F 1F 的中点， ∴F 1Q ∥OM ，∴F 1Q ⊥QF ，|F 1Q |＝2|OM |.在Rt △MOF 中，tan ∠MOF ＝|MF ||OM |＝bc ，|OF |＝c ，可解得|OM |＝c 2a ，|MF |＝bca，故|QF |＝2|MF |＝2bc a ，|QF 1|＝2|OM |＝2c 2a .由椭圆的定义得|QF |＋|QF 1|＝2bc a ＋2c 2a ＝2a ，整理得b ＝c ，∴a ＝b 2＋c 2＝2c ，故e ＝c a ＝22.方法二 设Q (x 0，y 0)，则FQ 的中点坐标⎝⎛⎭⎫x 0＋c 2，y 02，k FQ＝y0x 0－c ，依题意⎩⎨⎧y 02＝b c ·x 0＋c 2，y 0x 0－c ·bc ＝－1，解得⎩⎨⎧x 0＝c (2c 2－a 2)a 2，y 0＝2bc2a 2，又因为(x 0，y 0)在椭圆上，所以c 2(2c 2－a 2)2a 6＋4c 4a 4＝1，令e ＝c a ，则4e 6＋e 2＝1，∴离心率e ＝22. 2解析 在双曲线中m 2＋n 2＝c 2，又2n 2＝2m 2＋c 2，解得m ＝c2，又c 2＝am ，故椭圆的离心率e ＝c a ＝12.3依题意及正弦定理，得|PF 2||PF 1|＝a c (注意到P 不与F 1，F 2共线)， 即|PF 2|2a －|PF 2|＝a c ， ∴2a |PF 2|－1＝c a ，∴2a |PF 2|＝c a ＋1>2a a ＋c，即e ＋1>21＋e ，∴(e ＋1)2>2.又0<e <1，因此2－1<e <1.4解析 (1) 如图，∵FB →＝2F A →，∴A 为线段BF 的中点， ∴∠2＝∠3.又∠1＝∠2，∴∠2＝60°， ∴ba＝tan 60°＝3， ∴e 2＝1＋(ba )2＝4，∴e ＝2. 答案 C5.把x ＝2a 代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y ＝±3b .不妨取P (2a ，－3b )．又∵双曲线右焦点F 2的坐标为(c,0)， ∴kF 2P ＝3b c －2a .由题意，得3b c －2a ＝ba.∴(2＋3)a ＝c .∴双曲线C 的离心率为e ＝ca ＝2＋ 3.6. e 1＝1＋b 2a2，e 2＝1＋(b ＋m )2(a ＋m )2.不妨令e 1<e 2，化简得b a <b ＋m a ＋m (m >0)，得bm <am ，得b <a .所以当b >a 时，有b a >b ＋m a ＋m ，即e 1>e 2；当b <a 时，有b a <b ＋ma ＋m ，即e 1<e 2.故选B.7、【答案】2 【解析】试题分析：依题意，不妨设6,4AB AD ==作出图像如下图所示则2124,2;2532,1,c c a DF DF a ===-=-==故离心率221c a == 8、【答案】23+考点：1.双曲线的几何性质；2.直线方程. 9、【答案】B【解析】双曲线的渐近线为y ＝±bax ，易求得渐近线与直线x －3y ＋m ＝0的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－am a ＋3b ，bm a ＋3b ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－am a －3b ，－bm a －3b .设AB 的中点为D .由|P A |＝|PB |知AB 与DP 垂直，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2m （a ＋3b ）（a －3b ），－3b 2m （a ＋3b ）（a －3b ），k DP＝－3，解得a 2＝4b 2，故该双曲线的离心率是52.10B,11.B 12.D 13 D 14. 15.A16.解 (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2， 因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23， 即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)如图，连接F 1Q ，由PF 1⊥PQ ，|PQ |＝λ|PF 1|，得 |QF 1|＝|PF 1|2＋|PQ |2 ＝1＋λ2|PF 1|.由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ， 进而|PF 1|＋|PQ |＋|QF 1|＝4a ，高中数学 于是(1＋λ＋1＋λ2)|PF 1|＝4a ，解得|PF 1|＝4a 1＋λ＋1＋λ2， 故|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a (λ＋1＋λ2－1)1＋λ＋1＋λ2. 由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2，从而⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋λ＋1＋λ22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a (λ＋1＋λ2－1)1＋λ＋1＋λ22＝4c 2. 两边除以4a 2，得4(1＋λ＋1＋λ2)2＋(λ＋1＋λ2－1)2(1＋λ＋1＋λ2)2＝e 2. 若记t ＝1＋λ＋1＋λ2，则上式变成e 2＝4＋(t －2)2t 2＝8⎝⎛⎭⎫1t －142＋12. 由34≤λ＜43，并注意到t ＝1＋λ＋1＋λ2关于λ的单调性，得3≤t ＜4，即14＜1t ≤13. 进而12＜e 2≤59，即22＜e ≤53.。