最新讲义基本不等式

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新高考数学基本不等式复习讲义

基本不等式复习讲义类型一：利用基础性质求解最值例1 函数y ＝x ＋1x(x >0)的最小值为________．【变式1】函数y ＝x ＋1x (x < 0)的最小值为________.【变式2】若x <54，则f (x )＝4x ＋14x －5的最大值为________．【变式3】若0,0x y ≥≥，且26xy x y +-=，则x y +的最小值为_________．练习1．已知0x >，则下列说法正确的是（） A ．12x x+-有最大值0 B ．12x x+-有最小值为0 C ．12x x+-有最大值为－4 D ．12x x+-有最小值为－4 练习2．已知x >3，则对于43y x x =+-，下列说法正确的是（） A ．y 有最大值7B ．y 有最小值7C ．y 有最小值4D ．y 有最大值4练习3.（多选题）下列说法正确的是（） A ．()10x x x+>的最小值是2B 2C 2的最小值是2D ．423x x--的最小值是2-类型二：常数代换法求最值例2.已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为________．【变式1】母题的条件不变，则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________．【变式2】母题的条件和结论互换即：已知a ＞0，b ＞0，1a ＋1b ＝4，则a ＋b 的最小值为________．【变式3】若母题条件变为“已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3”，则2a ＋1b 的最小值为________．例3．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则4a －1＋16b －1的最小值为________.【变式4】若正数a ，b 满足a ＋b ＝2，则1a ＋1＋4b ＋1的最小值是________．【变式5】已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为__________.练习1若0m >，0n >，且2m n +=，则12m n+的最小值为（）．A ．3+BC ．3D ．52练习2已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为( ) A.3B.5C.7D.9练习3正实数a ，b 满足a ＋3b －6＝0，则1a ＋1＋43b ＋2的最小值为( )A.13B.1C.2D.59练习4．（多选题）若正实数a ，b 满足1a b +=，则下列说法错误的是（）A ．ab 有最小值14B ．C ．11a b+有最小值4 D ．22a b +练习5．（多选题）已知正数a ，b 满足21a b +=，则（）A ．ab 的最大值为18B ．224a b +的最小值为12C ．12a b+的最小值为8D ．1a a+的最小值为2类型三：“和”与“积”的互换例4.已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则x ＋y 的最大值为________.【变式1】已知正数x ，y 满足8xy x y =++，则x y +的最小值为_________.【变式2】已知实数y x ,满足1422=-+xy y x ，则y x +2的最大值是_________.【变式3】已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________.练习1若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________.练习2已知0,>y x 且满足3=++y x xy 则xy 的最大值是____________.类型四：二次一次或一次二次的处理方法例5.已知x >0，则xx 2＋4的最大值为________例6.当2x >-时，函数2462++=+x x y x 的最小值为___________．【变式1】已知b a ,为正实数，且2=+b a ，则1222+++b b a a 的最小值是___________.【变式2】设y x ,是正实数，且1=+y x ，则1222+++y y x x 的最小值是___________.类型五：基本不等式求解恒成立问题例7已知0a >，0b >，若不等式313n a b a b+≥+恒成立，则n 的最大值为__________.【变式1】已知0a >，0b >，若不等式122ma b a b+≥+恒成立，则实数m 的最大值为（）A ．10B ．9C ．8D ．7练习1 设102m <<，若2212k m m +≥-恒成立，则k 的最大值为___________.练习2 若两个正实数x ，y 满足141x y+=，且不等式28x y m m +≤-有解，则实数m 的取值范围是______．练习3 已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A.2B.4C.6D.8类型六：其它基本不等式题型综合1.设z y x ,,为正实数，032=+-z y x ，则xzy 2的最小值是____________.2. 若正实数z y x ,,满足02=+-z y x ，则zy xz+的最大值是____________.3. 已知实数x ，y >0，且x 2－xy ＝2，则x ＋6x ＋1x －y 的最小值是____________.4.已知a ＞0，b ＞0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为__________.5.正实数a ，b 满足a ＋3b －6＝0，则1a ＋1＋43b ＋2的最小值为( ) A.13 B.1 C.2D.596.(多选题)若a ，b ，c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则下列不等式成立的是( ) A.a ＋b ＋c ≤3 B.(a ＋b ＋c )2≥3 C.1a ＋1b ＋1c ≥23D.a 2＋b 2＋c 2≥17.2020 年初至今，新冠肺炎疫情袭击全球，对人民生命安全和生产生活造成严重影响. 在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失. 为降低疫情影响，某厂家拟在2022年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量) x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足 x = 4−21m +. 已知生产该产品的固定成本为 8万元，生产成本为16万元 / 万件，厂家将产品的销售价格定为816xx+万元 / 万件 (产品年平均成本)的1.5倍. (1)将2022年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？课后作业1.（多选题）已知0,0x y >>，且2x y +=，则下列结论中正确的是（） A ．xy 有最小值1 B ．22x y +有最小值2 C ．22x y+有最小值4D ．x y +有最小值42.若0a >，0b >，2a b +=，则下列不等式恒成立的是（） A ．2ab ≥ B ．2a b +≤ C ．213a b+≥D ．222a b +≥3.（多选题）已知正数a ，b 满足21a b +=，则（）A ．ab 的最大值为18B ．224a b +的最小值为12C ．12a b+的最小值为8D ．1a a+的最小值为24.（1）已知a ＞0，b ＞0，且4a +b ＝1，求ab 的最大值；（2）若a ＞0，b ＞0，且a +b ＝4，求的最小值．5.如图，欲在山林一侧建矩形苗圃，苗圃左侧为林地，三面通道各宽2m ，苗圃与通道之间由栅栏隔开．(1)若苗圃面积25000m ，求栅栏总长的最小值；(2)若苗圃带通道占地总面积为25000m ，求苗圃面积的最大值．。

基本不等式教学讲义

基本不等式教学讲义ZHI SHI SHU LI 知识梳理 ) 1．重要不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )(当且仅当a ＝b 时等号成立)． 2．基本不等式ab ≤a ＋b2(均值定理)(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0；(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时等号成立；(3)其中a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数.3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)，那么当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2P .(简记：“积定和最小”) (2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)，那么当x ＝y 时，xy 有最大值S 24.(简记：“和定积最大”)ZHONG YAO JIE LUN重要结论 ) 常用的几个重要不等式(1)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)．(当且仅当a ＝b 时取等号) (2)ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R )．(当且仅当a ＝b 时取等号)(3)(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )．(当且仅当a ＝b 时取等号)(4)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)．(当且仅当a ＝b 时取等号)． (5)21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ，b >0当且仅当a ＝b 时取等号)．SHUANG JI ZI CE双基自测) 1．下列结论正确的个数为( B ) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值为2.(2)x >0，y >0是x y ＋yx ≥2的充要条件．(3)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a .(4)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )． (5)当x ∈(0，π2)时，函数f (x )＝sin x ＋4sin x ≥4.A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] (1)、(2)、(3)、(5)都不正确，(4)正确，故选B ． 2．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则ab 的最大值为( B ) A ．1 B ．14C ．12D ．22[解析] 因为a ，b ∈R ＋，所以1＝a ＋b ≥2ab ，所以ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．故选B ．3．(2018·陕西渭南期中)已知x >0，则函数y ＝4x ＋x 的最小值是( D )A ．－18B ．18C ．16D ．4[解析] 因为x >0，所以y ＝4x ＋x ≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝2时取等号，所以函数y ＝4x＋x 的最小值是4，故选D ． 4．若x <0，则x ＋1x ( D )A ．有最小值，且最小值为2B ．有最大值，且最大值为2C ．有最小值，且最小值为－2D ．有最大值，且最大值为－2[解析] 因为x <0，所以－x >0，－x ＋1－x ≥21＝2，当且仅当x ＝－1时，等号成立，所以x ＋1x≤－2. 5．(教材改编)若f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝n 处取得最小值，则n ＝( B )A ．52B ．3C ．72D ．4[解析] 由f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥4，当且仅当x －2＝1x －2>0，即x ＝3时，取得等号，故选B ．6．(2017·江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是30. [解析] 总费用为4x ＋600x ×6＝4(x ＋900x )≥4×2900＝240，当且仅当x ＝900x ，即x ＝30时等号成立．考点1 利用基本不等式求最值——多维探究角度1 配凑法求最值例1 (1)(2018·天津月考)已知a ，b 是正数，且4a ＋3b ＝6，则a (a ＋3b )的最大值是( C ) A ．98B ．94C ．3D ．9(2)已知x >54，则y ＝4x ＋14x －5的最小值为7，此时x ＝32.[解析] (1)∵a >0，b >0,4a ＋3b ＝6，∴a (a ＋3b )＝13·3a (a ＋3b )≤13(3a ＋a ＋3b 2)2＝13×(62)2＝3，当且仅当3a ＝a ＋3b ，即a ＝1，b ＝23时，a (a ＋3b )的最大值是3.(2)∵x >54，∴4x －5>0.y ＝4x ＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋5≥2＋5＝7.当且仅当4x －5＝14x －5，即x ＝32时上式“＝”成立．即x ＝32时，y min ＝7.[易错警示] 求最值时忽视两项和或积为定值致错利用基本不等式求最值，在保证各项为正数的情况下，必须考虑两项和或两项积为定值，本题解答易忽视两项和为定值的条件，即错误解法为：a (a ＋3b )≤(a ＋a ＋3b2)2，当且仅当a ＝a ＋3b ，且4a ＋3b ＝6，即a ＝32，b ＝0时，a (a ＋3b )的最大值为94，从而错选B ．[引申]把本例(2)中x >54，改为x <54，则y ＝4x ＋14x －5的最大值为3，此时x ＝1.[解析] 因为x <54，所以5－4x >0，则y ＝4x ＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x)＋5≤－2(5－4x )15－4x＋5＝－2＋5＝3.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故y ＝4x －2＋14x －5的最大值为3.此时x ＝1.名师点拨 ☞拼凑法求最值的技巧(1)用均值定理求最值要注意三个条件：一正、二定、三相等．“一正”不满足时，需提负号或加以讨论，“二定”不满足时，需变形，“三相等”不满足时，可利用函数单调性． (2)求乘积的最值．同样要检验“一正、二定、三相等”，如例(2)的关键是变形，凑出积为常数．角度2 换元法求最值例2 求函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值．[解析] 令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2＋1，所以y ＝t t 2＋1＋3＋t ＝tt 2＋t ＋4.当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0；当t >0时，即x >1时，y ＝1t ＋4t＋1，因为t ＋4t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，所以y ＝1t ＋4t ＋1≤15，即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值)．角度3 常数代换法求最值例3 (2018·辽宁师大附中期中)若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值为( C ) A ．245B ．285C ．5D ．6[解析] ∵x >0，y >0,3x ＋y ＝5xy ， ∴3y ＋1x＝5. ∴4x ＋3y ＝15(3y ＋1x )(4x ＋3y )＝15(13＋12x y ＋3y x )≥15(13＋212x y ·3y x )＝5.(当且仅当x ＝12，y ＝1时取等号)．∴4x ＋3y 的最小值为5，故选C ．名师点拨 ☞常数代换法的技巧(1)常数代换法就是利用常数的变形以及代数式与“1”的积、商都是自身的性质，通过代数式的变形构造和式或积式为定值，然后利用基本不等式求最值．(2)利用常数代换法求解最值应注意：①条件的灵活变形，常数化成1是代数式等价变形的基础；②利用基本不等式求最值时“一正、二定、三相等”的检验，否则容易出现错解．〔变式训练1〕(1)(角度1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为23.(2)(角度1)(2018·山东临沂期中)设x >0，y >0，x ＋y ＝5，则1x ＋4y ＋1的最小值为32.(3)(角度2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)(4)(角度3)(2018·内蒙古集宁月考)已知a >0，b >0且a ＋2b ＝1，则2a ＋1b 的最小值为( A )A ．8B ．5C ．4D ．6[解析] (1)x (4－3x )＝13(3x )(4－3x )，∵x <1，∴4－3x >0，∴x (4－3x )≤13[3x ＋(4－3x )2]2＝43，最小值为43，此时3x ＝4－3x 即x ＝23.(2)解法一：∵x >0，y >0，x ＋y ＝5，∴x ＋(y ＋1)＝6，∴1x ＋4y ＋1＝16 [x ＋(y ＋1)](1x ＋4y ＋1 )＝16 (5＋y ＋1x ＋4x y ＋1 )≥16 (5＋2y ＋1x ·4x y ＋1 )＝32(当且仅当y ＋1＝2x 即x ＝2，y ＝3时取等号)∴1x ＋4y ＋1的最小值为32.解法二：∵x >0，y >0，x ＋y ＝5， ∴1x ＋4y ＋1＝1x ＋46－x ＝6＋3x －x 2＋6x ，令x ＋2＝t ，则x ＝t －2(t >0)，从而1x ＋4y ＋1＝3t －t 2＋10t －16＝310－(t ＋16t). ∵t ＋16t≥2t ·16t＝8(当且仅当t ＝4时取等号)， ∴0<10－(t ＋16t )≤2，∴310－(t ＋16t )≥32，∴1x ＋4y ＋1≥32(当且仅当x ＝2，y ＝3时取等号)， ∴1x ＋4y ＋1的最小值为32. (3)y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋2x －2＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立．(4)∵a ＋2b ＝1，∴2a ＋1b ＝(2a ＋1b )(a ＋2b )＝4＋4b a ＋ab≥4＋24b a ·a b ＝8，当且仅当4b a ＝ab且a ＋2b ＝1，即a ＝12，b ＝14时取等号，∴2a ＋1b的最小值为8，故选A ．考点2 利用基本不等式求参数的范围——师生共研例4 若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，求： (1)ab 的取值范围； (2)a ＋b 的取值范围．[解析] (1)∵ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，令t ＝ab >0，∴t 2－2t －3≥0，∴(t －3)(t ＋1)≥0.∴t ≥3即ab ≥3，∴ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号． (2)∵ab ＝a ＋b ＋3，∴a ＋b ＋3≤(a ＋b2)2.今t ＝a ＋b >0，∴t 2－4t －12≥0，∴(t －6)(t ＋2)≥0. ∴t ≥6即a ＋b ≥6，当且仅当a ＝b ＝3时取等号． [答案] (1)[9，＋∞) (2)[6，＋∞)名师点拨 ☞利用方程的思想是解决此类问题的常规解法．另外，本例第二问也可用如下方法求解：由已知b ＝a ＋3a －1>0，∴a －1>0，∴a ＋b ＝a ＋a ＋3a －1＝a ＋a －1＋4a －1＝a ＋1＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋2≥6.〔变式训练2〕(2018·齐鲁教科研协作体模拟)已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是4. [解析] 解法一：∵x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8. ∴(2y ＋1)(x ＋1)＝9且x ＋1>0,2y ＋1>0 ∴x ＋2y ＝(2y ＋1)＋(x ＋1)－2≥2(2y ＋1)·(x ＋1)－2＝4.(当且仅当x ＝2，y ＝1时取等号)∴x ＋2y 的最小值为4.解法二：∵x >0，y >0，∴2xy ≤(2y ＋x 2)2＝(2y ＋x )42(当且仅当x ＝2，y ＝1时取等号)又x ＋2y ＋2xy ＝8， ∴x ＋2y ＋(x ＋2y )42≥8∴(x ＋2y －4)(x ＋2y ＋8)≥0 ∴x ＋2y －4≥0，即x ＋2y ≥4 (当且仅当x ＝2，y ＝1时取等号) ∴x ＋2y 的最小值为4.解法三：∵x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8 ∴x ＝8－2y 1＋2y ＝92y ＋1－1，∴x ＋2y ＝92y ＋1＋(2y ＋1)－2≥292y ＋1·(2y ＋1)－2＝4(当且仅当y ＝1时取等号) ∴x ＋2y 的最小值为4.秒杀解法：x ＋2y ＋2xy ＝8，即x ＋2y ＋x ·2y ＝8.由条件及结论关于x 、2y 的对称性知当x ＝2y ＝2时x ＋2y 取最小值为4.考点3 利用基本不等式解决实际问题——师生共研例5 (2018·山东寿光期末)已知正四棱柱的底面边长为a ，高为h ，其所有顶点都在球O 的球面上，若该正四棱柱的侧面积为4，则球O 的表面积的最小值为22π.[解析] 正四棱柱的侧面积为4ah ＝4，故ah ＝1.体对角线长为外接球O 的直径，所以2R ＝a 2＋a 2＋h 2＝2a 2＋h 2≥22a 2h 2≥22，所以R ≥222，当且仅当2a 2＝h 2时等号成立，则球O 的表面积为4πR 2≥4π×224＝22π，所以球O 的表面积的最小值为22π.名师点拨 ☞应用基本不等式解决实际问题的步骤：①仔细阅读题目，深刻理解题意；②找出题目中的数量关系，并设出未知数，并用它表示其它的量，把要求最值的量设为函数；③利用基本不等式求出最值；④再还原成实际问题，作出解答．特别强调的一点是，当利用基本不等式时，若等号成立的条件不具备，则利用函数的单调性求解．〔变式训练3〕(2018·云南师大附中月考)高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当教室在第n 层楼时，上下楼造成的不满意度为n ，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随教室所在楼层升高，环境不满意度降低，设教室在第n 层楼时，环境不满意度为8n ，则同学们认为最适宜的教室应在( B )A ．2楼B ．3楼C ．4楼D ．8楼[解析] 解法一：由题意知，同学们总的不满意度y ＝n ＋8n≥2n ·8n ＝42，当且仅当n ＝8n，即n ＝22≈3时，不满意度最小，所以同学们认为最适宜的教室应在3楼．解法二：代入法，分别n ＝2,3,4,8，比较n ＋8n的大小，即选C ．基本不等式的综合应用例6 (1)(2018·辽宁丹东五校协作体联考)已知函数f (x )＝|ln x |.若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋4b 的取值范围是( B ) A ．(4，＋∞) B ．[4，＋∞) C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)(2)(2018·安徽淮南一中等五校联考)已知正项等比数列{a n }(n ∈N *)满足a 5＝a 4＋2a 3.若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝8a 1，则1m ＋9n 的最小值为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] (1)由题意知ln a ＝－ln b ，即ln(ab )＝0， ∴ab ＝1，∴a ＋4b ≥24ab ＝4(当且仅当a ＝2，b ＝12时取等号)故选B ．(2)由等比数列的性质可知q 2－q －2＝0(q 为等比数列的公比)，∴q ＝2，a m a n ＝8a 1⇒a 21q m ＋n －2＝64a 21，∴m ＋n －2＝6即m ＋n ＝8，又m 、n ∈N *，∴1m ＋9n ＝18·(m ＋n )(1m ＋9n )＝18(10＋nm＋9m n )≥18(10＋2n m ·9m n )＝2.(当且仅当m ＝2，n ＝6时取等号)．∴1m ＋9n的最小值是2.故选B ．名师点拨 ☞基本不等式的综合问题的解法：利用相关知识确定某等量关系，在此条件下用基本不等式求解某些最值问题．〔变式训练4〕(1)(2018·甘肃嘉峪关一中模拟)已知a ≠0，直线ax ＋(b ＋2)y ＋4＝0与直线ax ＋(b －2)－3＝0互相垂直，则ab 的最大值等于( B ) A ．0 B ．2 C ．4D ．2(2)(2018·河北衡水中学调研五)若在函数f (x )＝ax 2＋bx (a >0，b >0)的图象上点(1，f (1))处的切线斜率为2，则8a ＋bab 的最小值是( B )A ．10B ．9C ．8D ．32[解析] (1)由题意知a 2＋(b －2)(b ＋2)＝0，即a 2＋b 2＝4. ∴ab ≤a 2＋b 22＝2(当且仅当a ＝b ＝2或－2时取等号)故选B ．(2)由题意知f ′(x )＝2ax ＋b ，又f ′(1)＝2，∴2a ＋b ＝2， ∴8a ＋b ab ＝1a ＋8b ＝12(2a ＋b )(1a ＋8b )，＝12(10＋b a ＋16a b )≥12(10＋2b a ·16ab)＝9 (当且仅当a ＝13，b ＝43时取等号)，故选B ．。

第9讲基本不等式

第9讲基本不等式【知识点梳理】1.基本不等式如果00>>b a ，，那么2b a ab +≤，当且仅当b a =时，等号成立．其中，2ba +叫作b a ，的算术平均数，ab 叫作b a ，的几何平均数．即正数b a ，的算术平均数不小于它们的几何平均数．基本不等式1：若a b ∈，R ，则ab b a 222≥+，当且仅当b a =时取等号；基本不等式2：若a b ∈，+R ，则ab ba ≥+2（或ab b a 2≥+），当且仅当b a =时取等号.注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致.【方法技巧与总结】1.几个重要的不等式（1）()()()20,00,0.a a R a a a R ≥∈≥≥∈（2）基本不等式：如果,ab R +∈，则2a b+≥(当且仅当“a b =”时取“”).特例：10,2;2a ba a ab a>+≥+≥（,a b 同号）.（3）其他变形：①()2222a b a b ++≥(沟通两和a b +与两平方和22a b +的不等关系式)②222a b ab +≤(沟通两积ab 与两平方和22a b +的不等关系式)③22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(沟通两积ab 与两和a b +的不等关系式)④重要不等式串：)2,112a ba b R a b++≤≤≤∈+即调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值(注意等号成立的条件).2.均值定理已知,x y R +∈.（1）如果x y S +=(定值)，则2224x y S xy +⎛⎫≤=⎪⎝⎭(当且仅当“x y =”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果xy P =(定值)，则x y +≥=(当且仅当“x y =”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.3.常见求最值模型模型一：)0,0(2>>≥+n m mn xnmx ，当且仅当mnx =时等号成立；模型二：)0,0(2)(>>+≥+-+-=-+n m ma mn ma ax na x m a x n mx ，当且仅当mna x =-时等号成立；模型三：)0,0(2112>>+≤++=++c a bac xc b ax c bx ax x ，当且仅当acx =时等号成立；模型四：)0,0,0(421)()(22m n x n m m n mx n mx m m mx n mx mx n x <<>>=-+⋅≤-=-（，当且仅当mnx 2=时等号成立.【典型例题】题型一直接利用基本不等式求最值【例1】若正实数y x ,满足12=+y x .则xy 的最大值为（）A ．14B ．18C ．19D ．116【例2】已知01x <<，则)(33x x -的最大值为（）A ．12B ．14C ．23D ．34【题型专练】1.若x ，y 为实数，且26x y +=，则39x y +的最小值为（）A ．18B ．27C ．54D ．902.已知二次函数()22f x ax x c =++（R ）的值域为[)0,∞+，则14c a+的最小值为（）A ．4-B ．4C ．8D ．8-题型二“1”的代换，乘1法1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形．【例1】设b a ,为正数，且1a b +=，则ba 11+的最小值为_______.【例2】已知0,0x y >>，且350x y xy +-=，则34x y +的最小值是（）A ．4B ．5C ．6D ．9【例3】已知0,0a b >>，122a b+=，则a b +的最小值为（）A ．3222-B ．3222+C ．3-D ．3+【例4】0a >，0b >，且21a b +=，不等式1102m b a b+-≥+恒成立，则m 的范围为_______.【例5】当104x <<时，不等式11014m x x+-≥-恒成立，则实数m 的最大值为（）A ．7B ．8C ．9D ．10【例6】若1,0m n >>，3m n +=，则211m n+-的最小值为__________．【例7】若b a ,是正实数，且1a b +=，则11a ab+的最小值为．【例8】设2=+b a ，0>b ，则ba a ||||21+的最小值是．【题型专练】1.已知正实数x ，y 满足211x y+=，则436xy x y --的最小值为（）A ．2B ．4C ．8D ．122.若实数a ，b 满足123,12a b a b ⎛⎫+=>> ⎪⎝⎭，则2211a b a b +--的最小值为（）A ．6B ．4C ．3D ．23.已知0a >，0b >且1a b +=，则1811a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是()A ．49B ．50C ．51D ．524.已知正数a ，b 满足0ab a b --=，则4a b +的最小值为___________.5.设0x >，0y >，1x y +=，则212x xy+的最小值为______．6．已知0a >，0b >，且2233a b ab a b ++，则3a b +的最小值为___________.题型三常规凑配法【例1】已知(3,)x ∈+∞，函数43y x x =+-的最小值为（）A ．4B ．7C ．2D ．8【例2】函数19()(1)41f x x x x =+>-的最小值为（）A ．134B ．3C ．72D ．94【例3】若对任意0>x ，a x x x≤++132恒成立,则a 的取值范围是__________.【例4】设0a b c >>>，则221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值是（）（A ）2（B ）4（C ）（D ）5【例5】若11x -<<，则22222x x y x -+=-有（）A ．最大值1-B ．最小值1-C ．最大值1D ．最小值1【题型专练】1.函数131y x x =+-(1)x >的最小值是（）A ．4B ．3C ．D ．32.若0x >，0y >且x y xy +=，则211x y x y +--的最小值为（）A ．3B ．52C ．3D ．3+3.若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________.题型四换元法【例1】函数21()1x x f x x ++=-（1x >）的最小值为（）A ．B ．3+C ．2+D ．5【例2】函数2y =___________.题型五消参法消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！【例1】已知22451()x y y x y +=∈R ，，则22x y +的最小值是．【例2】若实数x ，y 满足133(0)2xy x x +=<<，则313x y +-的最小值为．【题型专练】1.若直线30(0,0)ax by a b --=>>过点(1,1)-的最大值为___________.2.设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（）A ．0B ．3C ．94D ．13.已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（）A ．2B ．2C ．2D ．6题型六双换元若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系．【例1】若00a b >>，，且11121a b b =+++，则2a b +的最小值为．【例2】已知0x y >，，求44x yx y x y+++的最大值为．A ．3B ．C ．1+D ．2【题型专练】1.若0a >，0b >，0c >，2a b c ++=，则4a b a b c+++的最小值为______．2.已知0a >，0b >，21a b +=，则11343a b a b+++取到最小值为________．3.若,x y R +∈，且21x y +=，则22212x y x y +++的最小值为_________4.若正实数x ，y 满足22x y +=，则224122x yy x +++的最小值是__________．题型七齐次化齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解．【例1】已知0x >，0y >，22x y +=，则223524x y x y xy+++的最小值为．【例2】若a ，b ，c 均为正实数，则2222ab bca b c +++的最大值为（）A ．12B ．14C ．2D 【题型专练】1.已知三次函数32()()f x ax bx cx d a b =+++<在R 上单调递增，则a b cb a++-最小值为（）A B ．53C ．72+D 2.已知0a >，0b >，且21a b +=，则12bb a b++的最小值为____________.3.已知x ，y ，z 为正实数，且240x y z +-=，则2xyz 的最大值为______．4．已知0x >，0y >，23x y +=，则23x yxy+的最小值为（）A ．3-B ．1+C 1-D ．1+题型八和、积、平方和的转化若出现c nab b a m =++)(，其中a 、b 、m 、n 、c *∈R 因为4)(22b a ab ab b a +≤⇒≥+，可以转化为c nab ab m ≤+2或c b a nb a m ≥+++4)()(2，从而求出b a +及ab 的取值范围．若出现求nb ma +取值范围，先将式子c nab b a m =++)(因式分解成为z y b x a =++))((形式，再用基本不等式求出nb ma +最值．【例1】设0a >，0b >，24a b ab ++=，则()A ．a b +有最大值8B ．a b +有最小值8C ．ab 有最大值8D ．ab 有最小值8【例2】设,1,0,0ab b a b a =++>>求b a 23+最小值．【例3】设y x ,为实数，若1422=++xy y x ，则y x +2的最大值是．【题型专练】1．已知a ，()0,b ∈+∞，且22347a ab b ++=，则2+a b 的最大值为（）A ．2B ．3C ．D ．2.已知正实数x ，y 满足：222xx xy y ++=，则232x y y++的最小值为_________．题型九多选题【例1】已知,x y +∈R ，x y m +=（m 是常数），则下列结论正确的是（）A ．若141x y ++的最小值为1m +，则3m =B ．若(1)x y +的最大值为4，则3m =C 的最大值为m ，则2m =D ．若4m =，则29y x+的最小值为2【例2】已知220,0,2a b a b >>+=，则以下不等式成立的是（）A ．2a b +>B ．332a b +≥C ．114a b b a ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．112a b+≥【例3】设a ，b 为两个正数，定义a ，b 的算术平均数为()2a bA a b +=,，几何平均数为()G a b ,．上个世纪五十年代，美国数学家D ．H.Lehmer 提出了“Lehmer 均值”，即()11,p pp p p a b L a b a b --+=+，其中p 为有理数．下列结论正确的是（）A ．()()0.51,,L a b L a b ≤B ．()()0,,L a b G a b ≤C ．()()2,,L a b A a b ≤D ．()()1,,n n L a b L a b +≤【例4】对任意x ，y ，221+-=x y xy ，则（）A.1x y +≤B.2x y +≥- C.222x y +≤ D.221x y +≥【题型专练】1.（多选题）设0a >，0b >，下列结论中正确的是（）A ．()1229a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭B ．()2221a b a b +≥++C ．22b a a ba b+≥+D ．22a b a b+≥+2．（多选题）设1,1a b >>，且()1ab a b -+=，那么（）A ．+a b 有最小值)21+B ．+a b 有最大值)21+C ．ab 有最大值3+D ．ab 有最小值3+。

《不等式的基本性质》讲义

《不等式的基本性质》讲义一、不等式的定义在数学中，不等式是表示两个数或者表达式之间大小关系的一种数学表达式。

用不等号（如“＞”大于、“＜”小于、“≥”大于等于、“≤”小于等于）连接两个数或表达式所组成的式子，就叫做不等式。

例如：3 ＜5，x ＋ 2 ＞ 5 等等。

二、不等式的基本性质1、对称性如果 a ＞ b，那么 b ＜ a ；如果 a ＜ b，那么 b ＞ a 。

这就好像两个人比身高，如果甲比乙高，那么反过来乙就比甲矮，道理是很直观易懂的。

2、传递性如果 a ＞ b 且 b ＞ c，那么 a ＞ c ；如果 a ＜ b 且 b ＜ c，那么 a ＜c 。

比如说，甲比乙高，乙又比丙高，那自然甲就比丙高；反过来，如果甲比乙矮，乙又比丙矮，那甲肯定比丙矮。

3、加法性质如果 a ＞ b，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c 。

这意味着，当不等式两边同时加上同一个数，不等号的方向不变。

就好比甲和乙有身高差，两人同时穿上一样厚的增高鞋，身高差依然不变。

4、减法性质如果 a ＞ b，那么 a c ＞ b c 。

跟加法性质类似，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向也不变。

5、乘法性质（1）如果 a ＞ b 且 c ＞ 0，那么 ac ＞ bc 。

当不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向不变。

可以想象成把两个长度不同的线段同时按相同的比例放大，它们的长度差还是保持原来的大小关系。

（2）如果 a ＞ b 且 c ＜ 0，那么 ac ＜ bc 。

但如果乘以一个负数，不等号方向就要改变。

这有点像在镜子里看东西，左右方向会反过来。

6、除法性质（1）如果 a ＞ b 且 c ＞ 0，那么 a/c ＞ b/c 。

不等式两边同时除以一个正数，不等号方向不变。

（2）如果 a ＞ b 且 c ＜ 0，那么 a/c ＜ b/c 。

除以一个负数时，不等号方向改变。

7、乘方性质如果 a ＞ b ＞ 0，那么 a^n ＞ b^n（n 为正整数，n ≥ 1）。

基本不等式课件

[解析] (1)因为 a>2，所以 a－2>0，又因为 m＝a＋a－1 2＝
(a－2)＋a－1 2＋2，所以 m≥2 a－2·a－1 2＋2＝4，由 b≠0，得 b2≠0，所以 2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知 m>n.
(2)因为 a>b>1，所以 lg a>lg b>0，所以 Q＝12(lg a＋lg b)> lg a·lg b＝P； Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lg a＋2 b＝R. 所以 P<Q<R. [答案] (1)A (2)P<Q<R
∴xy＋9yx＋10≥2 xy·9yx＋10＝16，当且仅当3x，由1x＋9y＝1，
得xy＝＝142，，
即当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取得最小值 16.
(1)应用基本不等式需注意三个条件：即一正、二定、三相等．在具体的题目中，“正数”条件往往易从题设中获得解决，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧．因此，“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，这是解题成败的关键．
2 时，等号成立．
(3)变形：ab≤a＋2 b2≤a2＋2 b2，a＋b≥2 ab(其中 a＞0，b ＞0，当且仅当 a＝b 时等号成立)．
[点睛] 基本不等式成立的条件：a＞0 且 b＞0；其中等
号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号，即若 a≠b 时，
则 ab≠a＋2 b，即只能有 ab＜a＋2 b.
求实际问题中最值的解题 4 步骤 (1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式． (2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑基本不等式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性． (4)正确写出答案．

基本不等式及其应用讲义

基本不等式及其应用讲义一、知识梳理1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤)2(b a +2 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥)2(b a +2 (a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大) 注意：不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f (x )在区间D 上存在最小值，则不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立⇔f (x )min >A (x ∈D )；若f (x )在区间D 上存在最大值，则不等式f (x )A 成立⇔f (x )max >A (x ∈D )；若f (x )在区间D 上存在最小值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )A 恰在区间D 上成立⇔f (x )>A 的解集为D ；不等式f (x )0且y >0”是“x y ＋y x≥2”的充要条件．( ) (4)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a .( ) (5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b 2≥ab 有相同的成立条件．( ) (6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( )题组二：教材改编2．例1(2)]设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( )A ．80B ．77C ．81D ．823．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2.题组三：易错自纠4．“x >0”是“x ＋1x≥2成立”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( ) A ．0 B.12 C ．1 D.326．若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．5三、典型例题题型一：利用基本不等式求最值命题点1：通过配凑法利用基本不等式典例 (1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________．(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．命题点2：通过常数代换法利用基本不等式典例若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2思维升华：(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求最值．跟踪训练 (1)若对∀x ≥1，不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是__________． (2)已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为________．题型二：基本不等式的实际应用典例某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？思维升华：(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．跟踪训练：某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．题型三：基本不等式的综合应用命题点1：基本不等式与其他知识交汇的最值问题典例 (1)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是( ) A ．9 B ．8 C ．4 D ．2(2)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n (n ∈N *)，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是________．命题点2：求参数值或取值范围典例 (1)已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥m a ＋3b恒成立，则m 的最大值为( ) A ．9 B ．12 C ．18 D ．24(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．思维升华：(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．跟踪训练 (1)已知函数f (x )＝x ＋a x＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是( ) A.12 B.32C ．1D ．2 (2)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )A.32B.53C.94D.256注意：利用基本不等式求最值典例 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y＝1，则x ＋y 的最小值是________． (2)函数y ＝1－2x －3x(x <0)的值域为________．四、反馈练习1．“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg )41(2 x >lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 3．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( ) A.72 B ．4 C.92D ．5 4．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b的最小值为( ) A ．4 B ．22 C ．8 D ．165．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．46．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥15 B ．a >15 C ．a <15 D ．a ≤157．已知a >b >0，且ab ＝1，那么a 2＋b 2a －b取最小值时，b ＝________. 8．已知x >－1，y >0且满足x ＋2y ＝1，则1x ＋1＋2y的最小值为________． 9．已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________．10．某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．11．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；(2)求1x＋1y的最小值．12.某人准备在一块占地面积为1 800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图所示)，大棚占地面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2.(1)试用x，y表示S；(2)若要使S的值最大，则x，y的值各为多少？成立，故(a＋1)(b＋2)的最小值为27.。

高考数学一轮复习讲义(新高考版) 第2章第3讲基本不等式

第3讲基本不等式一、知识梳理 1．基本不等式:ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件:a ≥0,b ≥0. (2)等号成立的条件:当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b2称为正数a ,b ,ab a ,b 的几何平均数．[点拨] 应用基本不等式求最值要注意:“一正、二定、三相等”．忽略某个条件,就会出错．2．利用基本不等式求最值已知x ≥0,y ≥0,则(1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x ＝y 时,x ＋y 有最小值是2p ．(简记:积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值s ,那么当且仅当x ＝y 时,xy 有最大值是s 24．(简记:和定积最大)[点拨] 在利用不等式求最值时,一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用,则一定要保证它们等号成立的条件一致．常用结论几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ,b ∈R ),当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ,b ∈R ),当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ,b ∈R ),当且仅当a ＝b 时取等号． (4)b a ＋ab ≥2(a ,b 同号),当且仅当a ＝b 时取等号．二、教材衍化1．设x ＞0,y ＞0,且x ＋y ＝18,则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81D ．82解析:选C ．xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝⎝⎛⎭⎫1822＝81,当且仅当x ＝y ＝9时等号成立,故选C ． 2．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是________．解析:设矩形的长为x m ,宽为y m ,则x ＋y ＝10,所以S ＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝25,当且仅当x ＝y ＝5时取等号．答案:25 m 2一、思考辨析判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22成立的条件是ab >0.( )(3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．( )(4)若a >0,则a 3＋1a 2的最小值是2a .( )答案:(1)× (2)× (3)× (4)× 二、易错纠偏常见误区| (1)忽视不等式成立的条件a >0且b >0; (2)忽视定值存在; (3)忽视等号成立的条件． 1．若x <0,则x ＋1x ( )A ．有最小值,且最小值为2B ．有最大值,且最大值为2C ．有最小值,且最小值为－2D ．有最大值,且最大值为－2解析:选D ．因为x <0,所以－x >0,－x ＋1－x ≥21＝2,当且仅当x ＝－1时,等号成立,所以x ＋1x≤－2.2．若x >1,则x ＋4x －1的最小值为________．解析:x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5. 当且仅当x －1＝4x －1,即x ＝3时等号成立．答案:53．设0<x <1,则函数y ＝2x (1－x )的最大值为________．解析:y ＝2x (1－x )≤2⎝⎛⎭⎫x ＋1－x 22＝12.当且仅当x ＝1－x ,即x ＝12时,等号成立．答案:12考点一利用基本不等式求最值(基础型) 复习指导| 探索并了解基本不等式的证明过程,会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．核心素养:逻辑推理角度一通过配凑法求最值(1)已知0<x <1,则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． (2)已知x <54,则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．【解析】 (1)x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎡⎦⎤3x ＋（4－3x ）22＝43, 当且仅当3x ＝4－3x , 即x ＝23时,取等号．(2)因为x <54,所以5－4x >0,则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x)＋3≤－2（5－4x ）15－4x＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ,即x ＝1时,等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 【答案】 (1)23(2)1通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题:(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标; (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．角度二通过常数代换法求最值已知a >0,b >0,a ＋b ＝1,则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________．【解析】 ⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1＋a ＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋a ＋b b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a · ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当a ＝b ＝12时,取等号．【答案】 9【迁移探究1】 (变问法)若本例中的条件不变,则1a ＋1b 的最小值为________．解析:因为a >0,b >0,a ＋b ＝1,所以1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4,即1a ＋1b的最小值为4,当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．答案:4【迁移探究2】 (变条件)若本例条件变为:已知a >0,b >0,4a ＋b ＝4,则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________．解析:由4a ＋b ＝4得a ＋b4＝1,⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 4b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b 4a ⎝⎛⎭⎫54＋a b ＝52＋2a b ＋5b 16a ＋14≥114＋258＝114＋102.当且仅当42a ＝5b 时取等号．答案:114＋102常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数); (2)把确定的定值(常数)变形为1;(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式; (4)利用基本不等式求解最值．角度三通过消元法求最值若正数x ,y 满足x 2＋6xy －1＝0,则x ＋2y 的最小值是( )A ．223B ．23C ．33D ．233【解析】因为正数x ,y 满足x 2＋6xy －1＝0,所以y ＝1－x26x .由⎩⎨⎧x >0y >0即⎩⎨⎧x >01－x 26x>0解得0<x <1.所以x ＋2y ＝x ＋1－x 23x ＝2x 3＋13x ≥22x 3·13x ＝223,当且仅当2x 3＝13x ,即x ＝22,y ＝212时取等号．故x ＋2y 的最小值为223.【答案】 A通过消元法求最值的方法消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围．1．(2020·辽宁大连第一次(3月)双基测试)已知正实数a ,b 满足a ＋b ＝(ab )32,则ab 的最小值为( )A ．1B ． 2C ．2D ．4解析:选C ．(ab )32＝a ＋b ≥2ab ＝2(ab )12,所以ab ≥2,当且仅当a ＝b ＝2时取等号,故ab 的最小值为2,故选C ．2．已知x ,y 为正实数,则4x x ＋3y ＋3y x 的最小值为( )A ．53B ．103C ．32D ．3解析:选D ．由题意得x >0,y >0,4x x ＋3y ＋3y x ＝4xx ＋3y ＋x ＋3y x －1≥24x x ＋3y ·x ＋3yx－1＝4－1＝3(当且仅当x ＝3y 时等号成立)．3．已知x >0,y >0,且x ＋16y ＝xy ,则x ＋y 的最小值为________．解析:已知x >0,y >0,且x ＋16y ＝xy .即16x ＋1y ＝1,则x ＋y ＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫16x ＋1y ＝16＋1＋16y x ＋x y≥17＋2 16y x ·xy＝25,当且仅当x ＝4y ＝20时等号成立,所以x ＋y 的最小值为25. 答案:25考点二利用基本不等式解决实际问题(应用型) 复习指导| 利用基本不等式解决实际问题,关键是把实际问题抽象出数学模型,列出函数关系,然后利用基本不等式求最值．某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利,求出最大利润;如果不获利,则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？【解】 (1)由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为y x ＝12x ＋80 000x －200≥212x ·80 000x－200＝200, 当且仅当12x ＝80 000x ,即x ＝400时等号成立,故该单位月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为200元．(2)不获利．设该单位每月获利为S 元,则S ＝100x －y ＝100x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000,因为x ∈[400,600],所以S ∈[－80 000,－40 000]．故该单位每月不获利,需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．应用基本不等式解决实际问题的基本步骤(1)理解题意,设出变量,建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最值问题; (2)在定义域内,利用基本不等式求出函数的最值; (3)还原为实际问题,写出答案．某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池,池的深度为1米,池的四周墙壁建造单价为每米400元,中间一条隔壁建造单价为每米100元,池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计),则泳池的长设计为多少米时,可使总造价最低．解:设泳池的长为x 米,则宽为200x 米,总造价f (x )＝400×⎝⎛⎭⎫2x ＋2×200x ＋100×200x＋60×200＝800×⎝⎛⎭⎫x ＋225x ＋12 000≥1 600x ·225x ＋12 000＝36 000(元),当且仅当x ＝225x(x >0),即x ＝15时等号成立．即泳池的长设计为15米时,可使总造价最低．[基础题组练]1．(2020·安徽省六校联考)若正实数x ,y 满足x ＋y ＝2,则1xy 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析:选A ．因为正实数x ,y 满足x ＋y ＝2, 所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1,所以1xy ≥1.2．若2x ＋2y ＝1,则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2,＋∞)D ．(－∞,－2] 解析:选D ．因为1＝2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y ,(当且仅当2x ＝2y ＝12,即x ＝y ＝－1时等号成立)所以2x ＋y ≤12,所以2x ＋y ≤14,得x ＋y ≤－2.3．若实数a ,b 满足1a ＋2b ＝ab ,则ab 的最小值为( )A ． 2B ．2C ．2 2D ．4解析:选C ．因为1a ＋2b ＝ab ,所以a ＞0,b ＞0,由ab ＝1a ＋2b≥21a ×2b＝22ab, 所以ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号), 所以ab 的最小值为2 2.4．(多选)若a ,b ∈R ,且ab >0,则下列不等式中,恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2ab B ．1a ＋1b >1abC ．b a ＋ab≥2D ．a 2＋b 2≥2ab解析:选CD ．因为ab >0,所以b a >0,a b >0,所以b a ＋ab≥2b a ·ab＝2,当且仅当a ＝b 时取等号．所以选项C 正确,又a ,b ∈R ,所以(a －b )2≥0,即a 2＋b 2≥2ab 一定成立．5．已知x >0,y >0,lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2,则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3解析:选C ．因为lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2,所以lg(2x ·8y )＝lg 2,所以2x ＋3y＝2,所以x ＋3y ＝1.因为x >0,y >0,所以1x ＋13y ＝(x ＋3y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋13y ＝2＋3y x ＋x 3y ≥2＋23y x ·x3y＝4,当且仅当x ＝3y ＝12时取等号,所以1x ＋13y的最小值为4.故选C ．6．设P (x ,y )是函数y ＝2x(x >0)图象上的点,则x ＋y 的最小值为________．解析:因为x >0,所以y >0,且xy ＝2.由基本不等式得x ＋y ≥2xy ＝22,当且仅当x ＝y 时等号成立．所以x ＋y 的最小值为2 2.答案:2 27．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________．解析:因为y ＝x 2－1＋1x ＋1＝x －1＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－2(x >－1),所以y ≥21－2＝0,当且仅当x ＝0时,等号成立．答案:08．(2020·湖南岳阳期末改编)若a >0,b >0,且a ＋2b －4＝0,则ab 的最大值为________,1a ＋2b的最小值为________．解析:因为a >0,b >0,且a ＋2b －4＝0,所以a ＋2b ＝4,所以ab ＝12a ·2b ≤12×⎝⎛⎭⎫a ＋2b 22＝2,当且仅当a ＝2b ,即a ＝2,b ＝1时等号成立,所以ab 的最大值为2,因为1a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ·a ＋2b4＝14(5＋2b a ＋2a b )≥14⎝⎛⎭⎫5＋2·2b a ·2a b ＝94,当且仅当a ＝b 时等号成立,所以1a ＋2b 的最小值为94. 答案:2 949．(1)当x <32时,求函数y ＝x ＋82x －3的最大值;(2)设0<x <2,求函数y ＝x （4－2x ）的最大值．解:(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32.当x <32时,有3－2x >0,所以3－2x 2＋83－2x ≥23－2x 2·83－2x＝4, 当且仅当3－2x 2＝83－2x ,即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52,故函数的最大值为－52.(2)因为0<x <2,所以2－x >0,所以y ＝x （4－2x ）＝2·x （2－x ）≤2·x ＋2－x2＝2,当且仅当x ＝2－x ,即x ＝1时取等号,所以当x ＝1时,函数y ＝x （4－2x ）的最大值为 2. 10．已知x >0,y >0,且2x ＋8y －xy ＝0,求 (1)xy 的最小值; (2)x ＋y 的最小值．解:(1)由2x ＋8y －xy ＝0, 得8x ＋2y ＝1, 又x >0,y >0, 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64,当且仅当x ＝16,y ＝4时,等号成立．所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0,得8x ＋2y ＝1,则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18. 当且仅当x ＝12,y ＝6时等号成立,所以x ＋y 的最小值为18.[综合题组练]1．设a >0,若关于x 的不等式x ＋ax －1≥5在(1,＋∞)上恒成立,则a 的最小值为( ) A ．16 B ．9 C ．4D ．2解析:选C ．在(1,＋∞)上,x ＋a x －1＝(x －1)＋a x －1＋1≥2 （x －1）×a（x －1）＋1＝2a ＋1(当且仅当x ＝1＋a 时取等号)．由题意知2a ＋1≥5,所以a ≥4. 2．(2020·福建龙岩一模)已知x >0,y >0,且1x ＋1＋1y ＝12,则x ＋y 的最小值为( ) A ．3 B ．5 C ．7D ．9解析:选C ．因为x >0,y >0.且1x ＋1＋1y ＝12,所以x ＋1＋y ＝2⎝⎛⎭⎫1x ＋1＋1y (x ＋1＋y )＝2(1＋1＋y x ＋1＋x ＋1y )≥2(2＋2y x ＋1·x ＋1y )＝8,当且仅当yx ＋1＝x ＋1y ,即x ＝3,y ＝4时取等号,所以x ＋y ≥7,故x ＋y 的最小值为7,故选C ．3．已知正实数x ,y 满足x ＋y ＝1,①则x 2＋y 2的最小值为________;②若1x ＋4y ≥a 恒成立,则实数a 的取值范围是________．解析:因为x ＋y ＝1,所以xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝14,所以x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ≥1－14×2＝12,所以x 2＋y 2的最小值为12.若a ≤1x ＋4y 恒成立,则a 小于等于⎝⎛⎭⎫1x ＋4y 的最小值,因为1x ＋4y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋4y (x ＋y )＝5＋y x ＋4x y ≥5＋2y x ×4x y ＝9,所以1x ＋4y的最小值为9,所以a ≤9,故实数a 的取值范围是(－∞,9]．答案:12(－∞,9]4．(2020·洛阳市统考)已知x >0,y >0,且1x ＋2y ＝1,则xy ＋x ＋y 的最小值为________．解析:因为1x ＋2y ＝1,所以2x ＋y ＝xy ,所以xy ＋x ＋y ＝3x ＋2y ,因为3x ＋2y ＝(3x ＋2y )·(1x ＋2y )＝7＋6x y ＋2yx,且x >0,y >0,所以3x ＋2y ≥7＋43,所以xy ＋x ＋y 的最小值为7＋4 3. 答案:7＋4 3教案、讲义、课件、试卷、PPT 模板、实用文案，请关注【春暖文案】，进店下载。

不等式-基本不等式辅导讲义(含详细解答)

例题1证明 ∵x ＞0，y ＞0，z ＞0，∴y x ＋z x ≥2 yz x ＞0，x y ＋z y ≥2 xzy ＞0， x z ＋y z ≥2 xyz ＞0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋y z ≥ 8 yz ·xz ·xyxyz＝8.当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立．训练1解：∵x ，y 都是正数 ∴yx ＞0，x y ＞0，x 2＞0，y 2＞0，x 3＞0，y 3＞0(1)xyy x x y y x ⋅≥+2＝2即x y y x +≥2.(2)x ＋y ≥2xy ＞0 x 2＋y 2≥222y x ＞0 x 3＋y 3≥233y x ＞0∴（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥2xy ·222y x ·233y x ＝８x 3y 3即（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3.例题2解析 (1)由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，得z ＝x 2－3xy ＋4y 2， ∴xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3. 又x ，y ，z 为正实数，∴x y ＋4yx ≥4，当且仅当x ＝2y 时取等号，此时z ＝2y 2. ∴2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2＋2y＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1，当1y ＝1，即y ＝1时，上式有最大值1.(2)∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2y ＝ 4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥4＋4x y ·yx ＝8.当且仅当x y ＝yx ，即x ＝y ＝4时取等号．答案 (1)B (2)D训练2解析 (1)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x＝1，y＝12时，等号成立)，∴3x＋4y的最小值是5.(2)由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2×(2x)×(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.答案(1)C(2)C解析由32＋x＋32＋y＝1可化为xy＝8＋x＋y，∵x，y均为正实数，∴xy＝8＋x＋y≥8＋2xy(当且仅当x＝y时等号成立)，即xy－2xy－8≥0，解得xy≥4，即xy≥16，故xy的最小值为16.答案 D课堂练习1、解析因为ab＞0，即ba＞0，ab＞0，所以ba＋ab≥2ba×ab＝2.答案 C2、解析由题意1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ba＋ab≥2＋2ba×ab＝4，当且仅当ba＝ab，即a＝b＝12时，取等号，所以最小值为4.答案 C3、解析y＝x－4＋9x＋1＝x＋1＋9x＋1－5，由x＞－1，得x＋1＞0，9x＋1＞0，所以由基本不等式得y＝x＋1＋9x＋1－5≥2(x＋1)×9x＋1－5＝1，当且仅当x＋1＝9x＋1，即(x＋1)2＝9，所以x＋1＝3，即x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.答案 C4、解析(1＋2a)(1＋b)＝5＋2a＋b≥5＋22ab＝9.当且仅当2a＝b，即a＝1，b ＝2时取等号．答案9解析 ∵x ＞0，y ＞0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y 4，即当x ＝32，y＝2时取等号．答案 3解析 ∵y ＝a 1－x 恒过点A (1,1)，又∵A 在直线上，∴m ＋n ＝1.而1m ＋1n ＝m ＋n m ＋m ＋n n ＝2＋n m ＋m n ≥2＋2＝4，当且仅当m ＝n ＝12时，取“＝”，∴1m ＋1n 的最小值为4. 答案 4课后作业1、答案 C2、答案 A解析由题意知，a <0，b a ＝－56，－1a ＝16，∴a ＝－6，b ＝5.∴x 2－5x ＋6<0的解是(2,3)．3、答案 C解析作出可行域如图所示 .由于2x ＋y ＝40、x ＋2y ＝50的斜率分别为－2、－12，而3x ＋2y ＝0的斜率为－32，故线性目标函数的倾斜角大于2x ＋y ＝40的倾斜角而小于x ＋2y ＝50的倾斜角，由图知，3x ＋2y ＝z 经过点A (10,20)时，z 有最大值，z 的最大值为70.4、答案 A解析 x －1x ≥2⇔x －1x －2≥0⇔－x －1x≥0⇔x ＋1x ≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋1)≤0x ≠0⇔－1≤x <0. 5、答案 A解析 ∵ab －(a ＋b )＝1，ab ≤(a ＋b 2)2，∴(a ＋b 2)2－(a ＋b )≥1，它是关于a ＋b 的一元二次不等式，解得a ＋b ≥2(2＋1)或a ＋b ≤2(1－2)(舍去)． ∴a ＋b 有最小值2(2＋1)．又∵ab －(a ＋b )＝1，a ＋b ≥2ab ，∴ab －2ab ≥1，它是关于ab 的一元二次不等式，解得ab ≥2＋1，或ab ≤1－2(舍去)， ∴ab ≥3＋22，即ab 有最小值3＋2 2.6、答案 A 解析不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax ＋by ＝z (a >0，b >0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值12，即4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，而2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·2a ＋3b 6＝136＋(b a ＋a b )≥136＋2＝256(a ＝b＝65时取等号)．7、答案 [－1,0]解析由f (x )＝2x 2－2ax －a －1的定义域为R .可知2x 2－2ax －a ≥1恒成立，即x 2－2ax －a ≥0恒成立，则Δ＝4a 2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.8答案 3解析由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z 2，将其代入y 2xz，得x 2＋9z 2＋6xz 4xz ≥6xz ＋6xz 4xz ＝3，当且仅当x ＝3z 时取“＝”，∴y 2xz的最小值为3.。

(完整版)不等式基本概念讲义

第五章不等式一、不等式的定义：1、一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式，常见的不等号有“〉”“<”“≤”“≥”及“≠”五种.2、不等号所表示的意义特征3、常见的符号表示:（1）a是正数表示为a>0，a是负数表示为a〈0，（2）a是非负数表示为a≥0，a是非正数表示为a≤0,(3）a，b同号表示为ab〉0，a，b是异号表示为ab〈0。

例1、在下列各式中，是不等式的有__________①—3x〉0; ②4x+3y〉0；③x=4；④a+b+c；⑤x+y=7；⑥1〉8；⑦2≠2提示：判断一个式子是不是不等式从形式上看，只要这个式子是用不等号连接的就是不等式（不管对错）例2、数学表达式中：①a2≥0;②5p—6q〈0;③x—6=0;④7x+7y-1>9；⑤x≠3；⑥800,是不等式的有_____________二、不等式的解与解集1、不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解(不等式的解是一个具体的数值）2、不等式的解集:一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集.（不等式的解集是一个集合,一个范围，包含不等式的每一个解）3、解不等式:求不等式解集的过程叫做解不等式。

例1、判断下列说法是否正确，并说明理由（1）x=3是不等式3x≥9的解集（）（2）不等式3x≥9的解为3（）（3）x=3是不等式3x≥9的一个解( ）（4）x≥3是不等式3x≥9的解（）（5）不等式3x≥9的解集是x≥3（ )三、不等式解集的表示方法（1）一般形式:用x〉a,或x<a或x≥a或x≤a的形式表示出来的形式。

（2）数轴表示法（最容易理解的方法）:不等式的解集表示的是未知数的取值范围，所以不等式的解可以表示在数轴上。

注意！！！用数轴表示不等式的解集是首先要“两定”：①定边界点（注意是实心还是空心）有等号需要的是实心圆点,没有等号用空心圆圈；②定方向：大于号开口向右，小于号开口向左。

第2节基本不等式--2025年高考数学复习讲义及练习解析

第二节基本不等式1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2.(1)基本不等式成立的条件：01a >0，b >0．(2)等号成立的条件：当且仅当02a ＝b 时，等号成立．(3)其中03a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，04ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 205≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋ab 06≥2(a ，b同号)．(3)(a ，b ∈R )．(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为09a ＝b ．3．利用基本不等式求最值(1)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当10x ＝y 时，和x ＋y 有最小值112P ．(简记：积定和最小)(2)已知x ，y 都是正数，如果和x ＋y 等于定值S ，那么当12x ＝y 时，积xy 有最大值1314S 2．(简记：和定积最大)注意：(1)利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”，其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．(2)形如y ＝x ＋ax (a >0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．1．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件要一致．2．若a >0，b >0，则21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时，等号成立．3．常见求最值的模型模型一：mx ＋nx≥2mn (m >0，n >0，x >0)，当且仅当x ＝nm时，等号成立；模型二：mx ＋n x －a ＝m (x －a )＋nx －a ＋ma ≥2mn ＋ma (m >0，n >0，x >a )，当且仅当x －a ＝n m时，等号成立；模型三：xax 2＋bx ＋c ＝1ax ＋b ＋c x ≤12ac ＋b(a >0，c >0，x >0)，当且仅当x ＝ca时，等号成立；模型四：x (n －mx )＝mx (n －mx )m ≤1m ·>0，n >0，0<x 当且仅当x ＝n 2m时，等号成立．4．三个正数的均值不等式：若a ，b ，c >0，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y ＝x ＋1x 的最小值是2.()(2)|b a ＋a b |≥2.()(3)已知0<x <12，则x (1－2x )的最大值为18.()(4)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为4.()答案(1)×(2)√(3)√(4)×2．小题热身(1)设a ＞0，则9a ＋1a 的最小值为()A ．4B ．5C ．6D ．7答案C 解析9a ＋1a≥29a ·1a ＝6，当且仅当9a ＝1a ，即a ＝13时，等号成立．(2)矩形两边长分别为a ，b ，且a ＋2b ＝6，则矩形面积的最大值是()A ．4 B.92C.322D ．2答案B解析依题意，可得a ＞0，b ＞0，则6＝a ＋2b ≥2a ·2b ＝22·ab ，当且仅当a ＝2b 时取等号，所以ab ≤628＝92，即矩形面积的最大值为92.故选B.(3)(2024·河南郑州高三模拟)已知实数a >0，b >0，a ＋b ＝2，则1a ＋ab 的最小值为________．答案12＋2解析1a ＋a b ＝12×a ＋b a ＋a b ＝12＋b 2a ＋a b ≥12＋2b 2a ·a b ＝12＋2，当且仅当b 2a ＝ab，即a ＝22－2，b ＝4－22时，等号成立．(4)(人教A 必修第一册习题2.2T1(2)改编)函数y ＝x (3－2x )(0≤x ≤1)的最大值是________．答案98解析因为0≤x ≤1，所以3－2x ＞0，所以y ＝12·2x ·(3－2x )≤122x ＋(3－2x )22＝98，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时取等号．(5)(人教A 必修第一册复习参考题2T5改编)已知a ，b >0，且ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围为________．答案[9，＋∞)解析因为a，b>0，所以ab－3＝a＋b≥2ab，于是ab－2ab－3≥0，解得ab≤－1(舍去)或ab≥3，所以ab≥9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立，所以ab的取值范围是[9，＋∞)．考点探究——提素养考点一利用基本不等式求最值(多考向探究)考向1配凑法求最值例1(1)(2024·福建福州四校高三期中联考)已知0<x<2，则y＝x4－x2的最大值为() A．2B．4C．5D．6答案A解析因为0<x<2，所以y＝x4－x2＝x2(4－x2)≤x2＋(4－x2)2＝2，当且仅当x2＝4－x2，即x＝2时，等号成立，即y＝x4－x2的最大值为2.故选A.(2)函数y＝x2＋3x＋3x＋1(x<－1)的最大值为()A．3B．2C．1D．－1答案D解析y＝x2＋3x＋3x＋1＝(x＋1)2＋(x＋1)＋1x＋1＝－－(x＋1)＋1－(x＋1)＋1≤－1＝－1，当且仅当x＋1＝1x＋1＝－1，即x＝－2时，等号成立．故选D.【通性通法】配凑法求最值的关键点【巩固迁移】1．函数y ＝3x ()A ．8B ．7C ．6D ．5答案D解析因为x >13，所以3x －1>0，所以y ＝3x ＋43x －1＝(3x －1)＋43x －1＋1≥2(3x －1)·43x －1＋1＝5，当且仅当3x －1＝43x －1，即x ＝1时，等号成立，故函数y ＝3x 值为5.故选D.2．(2023·浙江杭州高三教学质量检测)已知a >1，b >1，且log 2a ＝log b 4，则ab 的最小值为()A ．4B ．8C ．16D ．32答案C解析∵log 2a ＝log b 4，∴12log 2a ＝log b 4，即log 2a ＝2log 24log 2b ，∴log 2a ·log 2b ＝4.∵a >1，b >1，∴log 2a >0，log 2b >0，∴log 2(ab )＝log 2a ＋log 2b ≥2log 2a ·log 2b ＝4，当且仅当log 2a ＝log 2b ＝2，即a ＝b ＝4时取等号，所以ab ≥24＝16，当且仅当a ＝b ＝4时取等号，故ab 的最小值为16.故选C.考向2常数代换法求最值例2(1)已知0<x <1，则9x ＋161－x 的最小值为()A ．50B ．49C ．25D ．7答案B解析因为0<x <1，所以9x ＋161－x ＝(x ＋1－x )25＋9(1－x )x＋16x 1－x ≥25＋29(1－x )x ·16x 1－x ＝49，当且仅当9(1－x )x＝16x 1－x ，即x ＝37时，等号成立，所以9x ＋161－x 的最小值为49.故选B.(2)已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则1a ＋1b 的最小值为()A.223B.233C ．1＋223D ．1＋233答案C解析因为a ＋2b ＝3，所以13a ＋23b ＝1，＋23b ＝13＋23＋a 3b ＋2b 3a≥1＋2a 3b ·2b3a＝1＋223，当且仅当a 3b ＝2b3a ，即a ＝3(2－1)，b ＝3(2－2)2时，等号成立．故选C.【通性通法】常数代换法求最值的基本步骤【巩固迁移】3．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＝9，则－1x －4y 的最大值是()A.6＋429B ．－6＋429C ．6＋42D ．－6－42答案B解析因为1x ＋4y ＝19x ＋y )＋y x ＋8x y＋6＋429，当且仅当y x ＝8xy ，即x ＝9(2－1)2，y ＝9(2－2)时，等号成立，所以－1x －4y ≤－6＋429.故选B.4．(2024·湖北荆门三校高三联考)已知实数a ，b 满足lg a ＋lg b ＝lg (a ＋2b )，则2a ＋b 的最小值是()A ．5B ．9C ．13D ．18答案B解析由lg a ＋lg b ＝lg (a ＋2b )，可得lg (ab )＝lg (a ＋2b )，所以ab ＝a ＋2b ，即2a ＋1b ＝1，且a >0，b >0，则2a ＋b ＝(2a ＋b 5＋2b a ＋2ab ≥5＋22b a ·2a b ＝9，当且仅当2b a ＝2ab，即a ＝b ＝3时，等号成立，所以2a ＋b 的最小值为9.故选B.考向3消元法、换元法求最值例3(1)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是()A.14B.45C.255D ．2答案B解析因为5x 2y 2＋y 4＝1，所以x 2＝1－y 45y 2，又x 2≥0，所以y 2∈(0，1]，所以x 2＋y 2＝y 2＋1－y 45y2＝4y 4＋15y 2＝y 2≥15×24y 2·1y 2＝45，当且仅当4y 2＝1y 2，即y 2＝12，x 2＝310时取等号，所以x 2＋y 2的最小值是45.故选B.(2)(2024·浙江嘉兴第一中学高三期中)若x >0，y >0，且1x ＋1＋1x ＋2y＝1，则2x ＋y 的最小值为()A ．2B ．23C.12＋3D ．4＋23答案C解析设x ＋1＝a ，x ＋2y ＝b ，则x ＝a －1，y ＝b －a ＋12，且a >0，b >0，则1a ＋1b ＝1，2x ＋y＝2(a －1)＋b －a ＋12＝3a ＋b 2－32，而3a ＋b ＝(3a ＋b 4＋3a b ＋ba ≥4＋23a b ·ba＝4＋23，当且仅当3a b ＝ba ，即a ＝3＋33，b ＝3＋1时，等号成立，则2x ＋y ≥4＋232－32＝12＋ 3.故选C.【通性通法】当所求最值的代数式中变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值．【巩固迁移】5．(2023·江苏南京高三调研)设a ≥0，b ≥0，且2a ＋b ＝1，则ab 的最小值为__________．答案解析因为2a ＋b ＝1，所以a ＝(b －1)24，所以a b ＝(b －1)24b＝b 4＋14b －12≥2b 4·14b－12＝0，当且仅当a ＝0，b ＝1时取等号．6．(2024·湖北襄阳五中高三质量检测)若正数a ，b 满足2a ＋b ＝1，则a 2－2a ＋b2－b的最小值是________．答案223－12解析设u ＝2－2a ，v ＝2－b ，则a ＝2－u 2，b ＝2－v ，则u ＋v ＝3(u >0，v >0)，所以a 2－2a ＋b2－b＝1－12u u＋2－v v ＝1u ＋2v －32＝13(u ＋v 32＋v u ＋－32＋321＋223－32＝223－12，当且仅当v ＝6－32，u ＝32－3时，等号成立，所以a 2－2a ＋b 2－b 的最小值为223－12.考向4“和”“积”互化求最值例4(多选)设a >1，b >1，且ab －(a ＋b )＝1，那么()A ．a ＋b 有最小值22＋2B ．a ＋b 有最大值22－2C ．ab 有最大值3－22D ．ab 有最小值3＋22答案AD解析∵a >1，b >1，∴ab －1＝a ＋b ≥2ab ，当a ＝b 时取等号，即ab －2ab －1≥0，解得ab ≥2＋1，∴ab ≥(2＋1)2＝3＋22，∴ab 有最小值3＋2 2.又ab ，当a ＝b 时取等号，∴1＝ab －(a ＋b )－(a ＋b )，即(a ＋b )2－4(a ＋b )≥4，则[(a ＋b )－2]2≥8，解得a ＋b －2≥22，即a ＋b ≥22＋2，∴a ＋b 有最小值22＋2.故选AD.【通性通法】“和”“积”互化求最值的方法(1)基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值．(2)如果条件中含有两个变量的和与积的形式，可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解，或者通过构造一元二次方程，利用根的分布解决问题．【巩固迁移】7．正实数x ，y 满足4x 2＋y 2＋xy ＝1，则xy 的最大值为________，2x ＋y 的最大值为________．答案152105解析∵1－xy ＝4x 2＋y 2≥4xy ，∴5xy ≤1，∴xy ≤15，当且仅当y ＝2x ，即x ＝1010，y ＝105时取等号．∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2－3xy ＝1，∴(2x ＋y )2－1＝3xy ＝32·2x ·y，即(2x ＋y )2－1≤38(2x ＋y )2，∴(2x ＋y )2≤85，∴2x ＋y ≤2105，当且仅当2x ＝y ，即x ＝1010，y＝105时取等号．考点二基本不等式的综合应用例5(2024·河南濮阳外国语学校模拟)若对任意正数x ，不等式2x 2＋4≤2a ＋1x恒成立，则实数a 的取值范围为()A ．[0，＋∞) B.－14，＋∞C.14，＋∞ D.12，＋∞答案B解析依题意得，当x >0时，2a ＋1≥2x x 2＋4＝2x ＋4x恒成立，又x ＋4x ≥4，当且仅当x ＝2时取等号，所以2x ＋4x 的最大值为12，所以2a ＋1≥12，解得实数a 的取值范围为－14，＋故选B.【通性通法】1．利用基本不等式求参数的值或范围时，要观察题目的特点，先确定是恒成立问题还是有解问题，再利用基本不等式确定等号成立的条件，最后通过解不等式(组)得到参数的值或范围．2．当基本不等式与其他知识相结合时，往往是为其他知识提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值．【巩固迁移】8．在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，若AC 边上的中线BD 的长为3，则△ABC 面积的最大值是()A ．6B ．12C ．18D ．24答案A解析设AB ＝AC ＝2m ，BC ＝2n ，因为∠ADB ＝π－∠CDB ，所以m 2＋9－4m 26m ＝－m 2＋9－4n 26m，整理得m 2＝9－2n 2.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12BC ＝12×2n ×4m 2－n 2＝3n 4－n 2＝3n 2(4－n 2)≤3×n 2＋4－n 22＝6，当且仅当n ＝2时，等号成立．故选A.考点三基本不等式的实际应用例6网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2022年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x (万件)与投入实体店体验安装的费用t (万元)之间满足函数关系式x ＝3－2t ＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是________万元．答案37.5解析由题意知t ＝23－x－1(1<x <3)，设该公司的月利润为y 万元，则y －32x －3－t ＝16x －t 2－3＝16x －13－x ＋12－3＝45.5－16(3－x )＋13－x ≤45.5－216＝37.5，当且仅当x ＝114时取等号，即最大月利润为37.5万元．【通性通法】利用基本不等式解决实际应用问题的技巧【巩固迁移】9．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．若顾客实际购得的黄金为m g ，则()A ．m >10B ．m ＝10C ．m <10D ．以上都有可能答案A解析由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a ，右臂长为b ，则a ≠b ，设先称得黄金为xg ，后称得黄金为y g ，则bx ＝5a ，ay ＝5b ，∴x ＝5a b ，y ＝5b a ，∴x ＋y ＝5a b ＋5ba＝5×2a b ·b a ＝10，当且仅当a b ＝ba，即a ＝b 时，等号成立，但a ≠b ，等号不成立，即x ＋y >10.因此顾客实际购得的黄金克数m >10.故选A.课时作业一、单项选择题1．当x ＜0时，函数y ＝x ＋4x ()A ．有最大值－4B ．有最小值－4C ．有最大值4D ．有最小值4答案A解析y ＝x ＋4x＝－(－x )－4，当且仅当x ＝－2时，等号成立．故选A.2．(2023·陕西咸阳高三模拟)已知x >0，y >0，若2x ＋y ＝8xy ，则xy 的最小值是()A.18B.14C.24D.22答案A解析因为2x ＋y ≥22xy ，所以8xy ≥22xy ，解得xy ≥18，当且仅当2x ＝y ，即x ＝14，y ＝12时，等号成立．故选A.3．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29＋y 24＝1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|·|MF 2|的最大值为()A ．13B ．12C ．9D ．6答案C解析由椭圆的定义可知，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝6.由基本不等式可得|MF 1|·|MF 2|＝9，当且仅当|MF 1|＝|MF 2|＝3时，等号成立．故选C.4．(2024·浙江绍兴第一中学高三期中)已知直线ax ＋by －1＝0(ab >0)过圆(x －1)2＋(y －2)2＝2024的圆心，则1a ＋1b 的最小值为()A ．3＋22B ．3－22C ．6D ．9答案A解析由圆的方程知，圆心为(1，2)．∵直线ax ＋by －1＝0(ab >0)过圆的圆心，∴a ＋2b ＝1(ab >0)，∴1a ＋1b ＝(a ＋2b )＝3＋a b ＋2ba≥3＋2a b ·2b a＝3＋当且仅当a b ＝2ba，即a ＝2b ，∴1a ＋1b的最小值为3＋2 2.故选A.5．(2023·湖南五市十校联考)原油作为“工业血液”“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济．小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是()A ．第一种方案更划算B ．第二种方案更划算C ．两种方案一样D ．无法确定答案B解析设小李这两次加油的油价分别为x 元/升、y 元/升(x ≠y )，则第一种方案：两次加油的平均价格为40x ＋40y 80＝x ＋y 2>xy ，第二种方案：两次加油的平均价格为400200x ＋200y ＝2xyx ＋y <xy ，故无论油价如何起伏，第二种方案都比第一种方案更划算．故选B.6．(2023·浙江杭州调研)对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0，则实数a 的最大值为()A ．4 B.92C.2D ．22答案D 解析由m 2－amn ＋2n 2≥0得m 2＋2n 2≥amn ，即a ≤m 2＋2n 2mn＝m n ＋2n m 恒成立，因为m n ＋2nm≥2m n ·2n m ＝22，当且仅当m n ＝2nm，即m ＝2n 时取等号，所以a ≤22，故实数a 的最大值为2 2.故选D.7．(2024·浙江名校协作体高三模拟)设x ，y 为正实数，若2x ＋y ＋2xy ＝54，则2x ＋y 的最小值是()A ．4B ．3C ．2D ．1答案D解析因为x ，y 为正实数，且54＝2x ＋y ＋2xy ＝(2x ＋1)(y ＋1)－1，令m ＝2x ＋1，n ＝y ＋1，则mn ＝94，所以2x ＋y ＝m ＋n －2≥2mn －2＝1，当且仅当m ＝n ，即y ＝12，x ＝14时取等号．故选D.8．(2024·湖北襄阳第四中学高三适应性考试)若a ，b ，c 均为正数，且满足a 2＋2ab ＋3ac ＋6bc ＝1，则2a ＋2b ＋3c 的最小值是()A ．2B ．1C.2D ．22答案A解析因为a 2＋2ab ＋3ac ＋6bc ＝1，所以a (a ＋2b )＋3c (a ＋2b )＝(a ＋2b )(a ＋3c )＝1，又a ，b ，c 均为正数，(a ＋2b )(a ＋3c )＝(2a ＋2b ＋3c )24，当且仅当a ＋2b ＝a ＋3c ＝1时取等号，所以(2a＋2b＋3c)24≥1，即2a＋2b＋3c≥2.故选A.二、多项选择题9．下列四个函数中，最小值为2的是()A．y＝sin xxB．y＝ln x＋1ln x(x＞0，x≠1)C．y＝x2＋6 x2＋5D．y＝4x＋4－x 答案AD解析对于A，因为0＜x≤π2，所以0＜sin x≤1，则y＝sin x＋1sin x≥2，当且仅当sin x＝1sin x，即sin x＝1时取等号，故y＝sin x x2，符合题意；对于B，当0＜x＜1时，ln x＜0，此时y＝ln x＋1ln x为负值，无最小值，不符合题意；对于C，y＝x2＋6x2＋5＝x2＋5＋1x2＋5，设t＝x2＋5，则t≥5，则y≥5＋15＝655，其最小值不是2，不符合题意；对于D，y＝4x＋4－x＝4x＋14x≥24x·14x＝2，当且仅当x＝0时取等号，故y＝4x＋4－x的最小值为2，符合题意．故选AD.10．(2024·湖北部分名校高三适应性考试)已知正实数a，b满足ab＋a＋b＝8，下列说法正确的是()A．ab的最大值为2B．a＋b的最小值为4C．a＋2b的最小值为62－3D.1a(b＋1)＋1b的最小值为12答案BCD解析对于A，因为ab＋a＋b＝8≥ab＋2ab，即(ab)2＋2ab－8≤0，解得0<ab≤2，则ab≤4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故A错误；对于B，ab＋a＋b＝8≤(a＋b)24＋(a＋b)，即(a＋b)2＋4(a＋b)－32≥0，解得a＋b≤－8(舍去)，a＋b≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故B正确；对于C，由题意可得b(a＋1)＝8－a，所以b＝8－aa＋1>0，解得0<a<8，a＋2b＝a＋2·8－a a ＋1＝a ＋18a ＋1－2＝a ＋1＋18a ＋1－3≥2(a ＋1)·18a ＋1－3＝62－3，当且仅当a ＋1＝18a ＋1，即a ＝32－1时取等号，故C 正确；对于D ，因为1a (b ＋1)＋1b ＝181a (b ＋1)＋1b [a (b ＋1)＋b ]＝182＋b a (b ＋1)＋a (b ＋1)b ≥18＋2)＝12，当且仅当b a (b ＋1)＝a (b ＋1)b ，即b ＝4，a ＝45时取等号，故D 正确，故选BCD.11．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则()A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b >12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D.a ＋b ≤2答案ABD解析对于A ，a 2＋b 2＝a 2＋(1－a )2＝2a 2－2a ＋1＝＋12≥12，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故A 正确；对于B ，a －b ＝2a －1>－1，所以2a －b >2－1＝12，故B 正确；对于C ，log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log＝log 214＝－2，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为(a ＋b )2＝1＋2ab ≤1＋a ＋b ＝2，所以a ＋b ≤2，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故D 正确．故选ABD.三、填空题12．(2023·山东滨州三校联考)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝________．答案3解析当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3.13．(2024·河北衡水中学高三第三次综合素养评价)已知实数a >b >1，满足a ＋1a －1≥b ＋1b －1，则a ＋4b 的最小值是________．答案9解析由已知条件，得a －b ≥1b －1－1a －1＝(a －1)－(b －1)(b －1)(a －1)＝a －b (b －1)(a －1)，∵a －b >0，∴1≥1(b －1)(a －1)，又a －1>0，b －1>0，∴(b －1)(a －1)≥1，∴a ＋4b ＝(a －1)＋4(b －1)＋5≥2(a －1)·4(b －1)＋5＝9，－1＝4(b －1)，－1)(a －1)＝1，＝3，＝32时，等号成立．14．(2023·湖北荆宜三校高三模拟)已知正数a ，b 满足a ＋3b ＋3a ＋4b ＝18，则a ＋3b 的最大值是________．答案9＋36解析设t ＝a ＋3b ，则3a ＋4b ＝18－t ，所以t (18－t )＝(a ＋3b 15＋9b a ＋4ab≥15＋29b a ·4ab＝27，当且仅当2a ＝3b 时取等号．所以t 2－18t ＋27≤0，解得9－36≤t ≤9＋36，即a ＋3b 的最大值是9＋36，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝3＋6，b ＝2＋263时取等号．15．(2024·浙江名校联盟高三上学期第一次联考)已知正实数x ，y 满足1x ＋4y ＋4＝x ＋y ，则x＋y 的最小值为()A.13－2B ．2C ．2＋13D ．2＋14答案C解析因为正实数x ，y 满足1x ＋4y＋4＝x ＋y ，等式两边同乘以x ＋y ，可得(x ＋y )2＝4(x ＋y )＋5＋y x ＋4xy≥4(x ＋y )＋5＋2y x ·4xy ＝4(x ＋y )＋9，所以(x ＋y )2－4(x ＋y )－9≥0，因为x ＋y >0，所以x ＋y ≥2＋13，当且仅当y ＝2x 时，等号成立．因此x ＋y 的最小值为2＋13.故选C.16．已知点E 是△ABC 的中线BD 上的一点(不包括端点)，若AE →＝xAB →＋yAC →，则2x ＋1y 的最小值为()A ．4B ．6C ．8D ．9答案C解析设BE →＝λBD →(0<λ<1)，∵AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋λBD →＝AB →＋λ(AD →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λ2AC →，∴x ＝1－λ，y ＝λ2(x >0，y >0)，∴2x ＋1y ＝21－λ＋2λ＝－λ)＋λ]＝4＋2λ1－λ＋2(1－λ)λ≥4＋22λ1－λ·2(1－λ)λ＝8，当且仅当2λ1－λ＝2(1－λ)λ，即λ＝12时取等号，故2x ＋1y 的最小值为8.故选C.17．(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则()A ．x ＋y ≤1B ．x ＋y ≥－2C ．x 2＋y 2≤2D ．x 2＋y 2≥1答案BC解析由x 2＋y 2－xy ＝1得(x ＋y )2－1＝3xy ≤，解得－2≤x ＋y ≤2，当且仅当x ＝y ＝－1时，x ＋y ＝－2，当且仅当x ＝y ＝1时，x ＋y ＝2，所以A 错误，B 正确；由x 2＋y 2－xy ＝1得x 2＋y 2－1＝xy ，又x 2＋y 2≥2x 2·y2＝2|xy |，所以|x 2＋y 2－1|≤x2＋y 22即－x 2＋y 22≤x 2＋y 2－1≤x 2＋y 22，所以23≤x 2＋y 2≤2，当且仅当x ＝y ＝±1时，x 2＋y 2＝2，当x ＝33，y ＝－33或x ＝－33，y ＝33时，x 2＋y 2＝23，所以C 正确，D 错误．故选BC.18．(多选)(2024·湖北襄阳第五中学高三月考)若a >b >0，且a ＋b ＝1，则()A ．2a ＋2b ≥22B ．2a ＋ab ≥2＋22C ．(a 2＋1)(b 2＋1)<32D ．a 2a ＋2＋b 2b ＋1≥14答案BD解析因为a >b >0，且a ＋b ＝1，所以0b >0，所以等号取不到，故A 错误；对于B ，因为b a >0，a b >0，由基本不等式，得2a ＋a b ＝2a ＋2b a ＋a b ＝2＋2b a ＋a b ≥2＋22b a ·ab＝2＋22，当且仅当2b a ＝a b ，即a ＝2－2，b ＝2－1时，等号成立，所以2a ＋ab≥2＋22，故B 正确；对于C ，因为a ＋b ＝1，所以(a 2＋1)(b 2＋1)＝a 2b 2＋a 2＋b 2＋1＝a 2b 2＋(a ＋b )2－2ab ＋1＝a 2b 2－2ab ＋2＝(ab －1)2＋1，其中ab ≤(a ＋b )24＝14，当且仅当a ＝b 时取等号，但a >b >0，所以等号取不到，所以0<ab <14，(a 2＋1)(b 2＋1)＝(ab －1)2＋1故C 错误；对于D ，a 2a ＋2＋b 2b ＋1＝[(a ＋2)－2]2a ＋2＋[(b ＋1)－1]2b ＋1＝(a ＋2)＋4a ＋2－4＋(b ＋1)＋1b ＋1－2＝4a ＋2＋1b ＋1－2，因为a ＋b＝1，所以a ＋2＋b ＋1＝4，故a ＋24＋b ＋14＝1，所以4a ＋2＋1b ＋1＝＝1＋14＋b ＋1a ＋2＋a ＋24(b ＋1)≥54＋2b ＋1a ＋2·a ＋24(b ＋1)＝94，当且仅当b ＋1a ＋2＝a ＋24(b ＋1)，即a ＝23，b ＝13时，等号成立，所以a 2a ＋2＋b 2b ＋1＝4a ＋2＋1b ＋1－2≥94－2＝14，故D 正确．故选BD.19．(2024·湖北百校高三联考)已知正数x ，y 满足3x ＋4y ＝4，则y是________．答案1解析因为x ，y 是正数，所以＝y xy ＋3＋y 2xy ＋1＝1x ＋3y ＋12x ＋1y，且x ＋3y ＋2x ＋1y ＝3x ＋4y ＝4，所以y＝14＋3y ＋2x·＝＋2x ＋1y x ＋3y ＋≥14×(2＋2)＝1，当且仅当2x ＋1y x ＋3y ＝x ＋3y 2x ＋1y，即x ＝45，y ＝52，等号成立，所以y 1.20．(2023·广东深圳高三二模)足球是一项很受欢迎的体育运动．如图，某标准足球场的底线宽AB ＝72码，球门宽EF ＝8码，球门位于底线的正中位置．在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P ，使得∠EPF 最大，这时候点P 就是最佳射门位置．当攻方球员甲位于边线上的点O 处(OA ＝AB ，OA ⊥AB )时，根据场上形势判断，有OA →，OB →两条进攻线路可供选择．若选择线路OA →，则甲带球________码时，到达最佳射门位置；若选择线路OB →，则甲带球________码时，到达最佳射门位置．答案72－165722－165解析若选择线路OA →，设AP ＝t ，其中0<t ≤72，AE ＝32，AF ＝32＋8＝40，则tan ∠APE ＝AEAP＝32t ，tan ∠APF ＝AF AP ＝40t ，所以tan ∠EPF ＝tan(∠APF －∠APE )＝tan ∠APF －tan ∠APE 1＋tan ∠APF tan ∠APE＝40t －32t 1＋1280t 2＝8t 1＋1280t2＝8t ＋1280t ≤82t ·1280t ＝520，当且仅当t ＝1280t ，即t ＝165时，等号成立，此时OP ＝OA －AP ＝72－165，所以若选择线路OA →，则甲带球72－165码时，到达最佳射门位置；若选择线路OB →，以线段EF 的中点N 为坐标原点，BA →，AO →的方向分别为x ，y 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则B (－36，0)，O (36，72)，F (－4，0)，E (4，0)，k OB ＝7236＋36＝1，直线OB 的方程为y ＝x ＋36，设点P (x ，x ＋36)，其中－36<x ≤36，tan ∠AFP ＝k PF ＝x ＋36x ＋4，tan ∠AEP ＝k PE ＝x ＋36x －4，所以tan ∠EPF ＝tan(∠AEP －∠AFP )＝tan ∠AEP －tan ∠AFP1＋tan ∠AEP tan ∠AFP＝x ＋36x －4－x ＋36x ＋41＋x ＋36x －4·x ＋36x ＋4＝8(x ＋36)x 2－161＋(x ＋36)2x 2－16＝8(x ＋36)＋x 2－16x ＋36，令m ＝x ＋36∈(0，72]，则x ＝m －36，所以x ＋36＋x 2－16x ＋36＝m ＋(m －36)2－16m ＝2m ＋1280m －72≥22m ·1280m72＝3210－72，当且仅当2m ＝1280m，即m ＝810，即x ＝810－36时，等号成立，所以tan ∠EPF ＝82m＋1280m－72≤83210－72＝1410－9，当且仅当x＝810－36时，等号成立，此时|OP|＝2·|36－(810－36)|＝722－165，所以若选择线路OB→，则甲带球722－165码时，到达最佳射门位置．。

必修五基本不等式讲义

3.4 基本不等式ab ba ≥+2一、基本不等式：2ba ab +≤1、重要不等式：a 2＋b 2≥2ab(a 、b ∈R) 当且仅当“a ＝b ”时“＝”成立。

注意：（1）不等式成立的条件是“a ＝b ”，如果a 、b 不相等，则“＝”不成立；（2）不等式的变形：①a b ≤222b a + ②a b ≤2)2(b a + ③222b a + ≥2)2(b a +≥ab ④2(a 2＋b 2)≥(a ＋b)22、基本不等式：2b a +≥ab (a 、b ∈R ＋) 当且仅当“a ＝b ”时“＝”成立。

注意：（1）内容：a ＞0， b ＞0，当且仅当“a ＝b ”时“＝”成立；（2）其中2ba +叫做正数a 、b 的算术平均数，ab 叫做正数a 、b 的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

例1：求证对于任意实数a ，b ，c ，有a 2＋b 2＋c 2≥a b ＋bc ＋c a ，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立。

【证明】：∵ a 2＋b 2≥2ab c 2＋b 2≥2bc a 2＋c 2≥2ac∴ 2(a 2＋b 2＋c 2) ≥2ab ＋2bc ＋2ac ，∴ a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca 当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立。

变式练习1：若0＜a ＜1，0＜b ＜1，且a ≠b ，则a ＋b ，2ab ，2a b ，a 2＋b 2中最大的一个是（） A ：a 2＋b2B ：2abC ：2a bD ：a ＋b变式练习2：下列不等式：（1）x ＋x 1≥2；（2）｜x ＋x1｜≥2；（3）若0＜a ＜1＜b ，则log a b ＋log b a ≤－2；（4）若0＜a ＜1＜b ，log a b ＋log b a ≥2。

其中正确的是_______________。

均值不等式推广：ba 112+ ≤ab ≤ 2ba + ≤ 222b a + 调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数当仅且当“a ＝b ”时“＝”成立。

基本不等式(讲课稿)

2.2 基本不等式（第一课时 )【目标引领】1. 学会推导并掌握基本不等式,理解不等式的意义.2. 探索了解基本不等式的证明过程,领悟数形结合思想的应用.3. 会应用基本不等式求简单的最值问题.【自学探究】复习回顾: 1.(a-b)2= （a+b)2= 2.如何比较两个实数的大小？ 3.∀a,b ∈R,a 2+b 2≥ ,当且仅当时,等号成立.4.如果a>0,b>0,我们用a ,b 分别代替上式中的a,b,可得，当且仅当时,等号成立. 【合作解疑】基本不等式: 通常称为基本不等式.其中,2a b +叫做正数a,b 的算术平均数，b a 叫做正数a,b 的几何平均数。

思考：能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？探究: 如图，AB 是圆O 的直径，点C 是AB 上一点，AC=a ，BC=c ．过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD,BD ．你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？【精讲点拨】例1 已知x>0,求x+x 1的最小值。

巩固练习：1. 已知x>2,求x+2-x 1的最小值. 2. 已知x<0,求x+x1的最大值。

例2 已知0<x<2,求x(2-x)的最大值。

例3 已知x,y 都是正数，求证：（1）如果积xy 等于定值P ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值2P ;（2）如果积x+y 等于定值S ，那么当x=y 时，和xy 有最大值241S ;巩固练习:P46 练习 1、2、3、4、5【课后小结】:【当堂达标】1.若a,b ∈R,且ab>0,则下列不等式中，恒成立的是（）A. ab a 2b 22>+B.a+b ≥ 2abC. ba a 2b 11>+ D.2≥+b a a b 2若x,y 为正实数，且x+4y=1,则xy 的最大值为3.已知x>23,求函数y=2x-2+321-x 的最小值.4.已知0<x<21,求21x(1-2x)的最大值.【作业布置】：P48习题2.2 复习巩固 1、2 综合运用 4、5。

第三节基本不等式复习讲义

第三节基本不等式(对应学生用书第50页)一、基本不等式基本不等式2a b +(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当a=b 时取等号.(3)其中2a b+称为正数a,b 的算术平均数,a,b 的几何平均数.1.概念理解(1)基本不等式成立的条件是a,b 都是正数,在解题时,如果a,b 为负数,可提取负号,创造变量为正数的条件,再利用基本不等式解题. (2)在运用基本不等式解题时,注意一定要验证它们成立的条件是否满足.2.与之相关联的结论几个常用的不等式 (1)a 2+b 2≥2ab(a,b ∈R).(2)ab ≤(2a b +)2(a,b ∈R). (3)(2a b +)2≤222a b +(a,b ∈R).(4)b a +ab≥2(ab>0).(5)211a b+2a b+≤(6)a+1a ≥2(a>0),当且仅当a=1时取等号;a+1a≤-2(a<0),当且仅当a=-1时取等号.二、利用基本不等式求最值问题1.两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,即若a,b 为正实数,且a+b=M,M 为定值,则ab ≤24M ,等号当且仅当a=b 时成立.(简记:和定积最大)2.两个正数的积为定值时,它们的和有最小值,即若a,b 为正实数,且ab=P,P 为定值,则a+b ≥等号当且仅当a=b 时成立.(简记:积定和最小)1.理解辨析利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:一正、二定、三相等.(1)“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值; (3)“三相等”即检验等号成立的条件,判断等号能否取到,只有等号能成立,才能利用基本不等式求最值. 2.与基本不等式相关联的结论用f(x)+()b f x ≥或f(x)+()b f x ≤求最值时,若使等号成立的条件不存在,常借助函数y=x+b x (b>0)的图象和单调性求式子的最值.1.已知a,b ∈R,a,b ≠0,则“a>0,b>0”是“2a b +≥( C )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:当a>0,b>0时,显然2a b +.当2a b +,有两个结论出现:0,0,a b ab ⎧+≥⎪⎨≥⎪⎩ 所以a>0,b>0. 故选C.2.已知a>0,b>0,a+b=2,则y=1a +4b的最小值是( C ) (A)72 (B)4 (C)92(D)5 解析:依题意,得1a +4b =12(1a +4b )·(a+b)= 12[5+(b a+4a b )]≥1292,当且仅当2,4,0,0,a b b aa b a b +=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪>>⎩即a=23,b=43时取等号,即1a +4b 的最小值是92.故选C. 3.若实数x,y 满足xy=1,则x 2+2y 2的最小值为 . 解析:因为x 2+2y 2≥当且仅当x 2=2y 2时取“=”, 所以x 2+2y 2的最小值为答案4.已知a,b 为正数且a+b=1,则(1+1a )(1+1b)的最小值为 . 解析:因为a+b=1,所以原式=(1+a b a +)(1+a b b +) =(2+b a )(2+a b ) =5+2(b a +a b)≥9, 当且仅当a=b=12时取等号, 所以最小值为9. 答案:9(对应学生用书第50～52页)考点一利用基本不等式求最值【例1】 (1)(2018·浙江六校联考)已知x>0,y>0,且x+y+1x+1y =5,则x+y 的最大值是( )(A)3 (B)72 (C)4 (D)92(2)(2018·嘉兴高三测试)已知a>0,b>0,且满足3a+b=a 2+ab,则2a+b 的最小值为 ;(3)已知正实数a,b 满足1a +2b=3,则(a+1)(b+2)的最小值是 ;(4)已知实数x,y>0,且xy=2,则3322848x y x y +++的最小值是 .解析:(1)由x+y+1x+1y =5, 得5=x+y+x yxy +,因为x>0,y>0, 所以5≥x+y+2()2x yx y ++=x+y+4x y+, 所以(x+y)2-5(x+y)+4≤0, 解得1≤x+y ≤4,所以x+y 的最大值是4.故选C. (2)由a>0,b>0,3a+b=a 2+ab,可得b=231a aa-->0, 解得1<a<3. 故2a+b=2a+231a aa --=a-1+21a -+3 ≥当且仅当a-1=21a -, 即时取等号.故2a+b 的最小值为(3)因为a>0,b>0, 所以3 =1a+2b≥ab ≥89.当且仅当12,123,a b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即2,343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立, 所以ab 的最小值是89,又1a +2b=2b aab +=3, 所以2a+b=3ab,所以(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=4ab+2≥4×89+2=509. (4)因为x,y>0,且xy=2,所以3322848x y x y +++=2222(2)(24)44x y x xy y x y xy +-+++=22(2)[(2)6](2)x y x y xy x y ++-+ =2(2)2x y x y++=(x+2y)-122x y+, 令x+2y=t,则t=x+2y ≥f(t)=t-12t在[4,+∞)上单调递增, 所以当t=4时有最小值4-124=1,当且仅当x=2,y=1时,取等号. 答案:(1)C(3)509(4)1 (1)利用基本不等式解决最值问题的关键是构造和为定值或乘积为定值,主要有两种思路:①对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解;②条件变形,进行“1”的代换求目标函数最值.(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件,但可以通过变形使之能运用基本不等式,常用的方法还有:拆项法、变系数法、凑因数法、分离常数法、换元法、整体代换法等.1.(2018·杭州二中月考)若正数a,b 满足1a +1b=1,则11a -+91b -的最小值为( B )(A)1 (B)6 (C)9 (D)16解析:因为正数a,b 满足1a +1b=1, 所以b=1a a ->0,解得a>1,同理b>1, 所以11a -+91b -=11a -+911aa --=11a -+9(a-1)≥=6,当且仅当11a -=9(a-1), 即a=43时等号成立, 所以11a -+91b -的最小值为6.故选B. 2.已知log 2(x+y)=log 2x+log 2 y,则1x+1y = ,x+2y 的最小值为 .解析:由log 2(x+y)=log 2 x+log 2 y 得, x+y=xy 且x>0,y>0,所以1x+1y =1. x+2y=(x+2y)(1x + 1y ) =3+x y +2y x≥当且仅当x y =2yx,即. 答案:1考点二利用基本不等式证明不等式【例2】已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1.求证:1a +1b+1c≥9. 证明:因为a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1, 所以1a+1b +1c =a b c a +++a b c b +++a b c c ++=3+b a +c a +a b +c b +a c +b c =3+(b a +a b )+(c a +a c)+(c b +b c)≥3+2+2+2=9, 当且仅当a=b=c=13时,取等号.利用基本不等式证明不等式的策略(1)若要证明的不等式不能直接使用基本不等式,则考虑利用拆项、配凑等方法对要证不等式进行变形,使之达到能使用基本不等式的条件;(2)若题目中还有已知条件,则首先观察已知条件和要证不等式之间的联系,当已知条件中含有1时,要注意1的代换; (3)解题时要时刻注意取得等号的条件能否成立.1.已知a>0,b>0,a+b=1,求证:1a +1b +1ab ≥8. 证明:1a +1b +1ab =2(1a +1b), 因为a+b=1,a>0,b>0.所以1a +1b =a b a ++a b b +=2+a b +ba≥2+2=4. 所以1a +1b +1ab ≥8(当且仅当a=b=12时等号成立).2.已知a>0,b>0,a+b=1,证明 2.证明:因为a>0,b>0,且a+b=1,≤1122a +++1122b ++=32a b ++=42=2.当且仅当a+12=1,b+12=1, 即a=b=12时等号成立. 考点三基本不等式的综合应用【例3】运货卡车以每小时x(50≤x ≤100)千米的速度匀速行驶130千米,假设汽油的价格是每升2元,而卡车每小时耗油(2+2360x )升,司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式;(2)当x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值. 解:(1)设所用时间为t=130x (小时), y=130x×2×(2+2360x )+14×130x,x ∈[50,100]. 所以,这次行车总费用y 关于x 的表达式是y=2340x +1318x,x ∈[50,100]. (2)y=2340x +1318x=13018x ⨯+2130360⨯x ≥,当且仅当13018x ⨯=2130360⨯x,即时,等号成立.故当千米/时时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为元.有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值;(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数;(3)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围;(4)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解.1.某单位用2 160万元购得一块空地,计划在该空地上建造一栋至少10层,每层2 000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).(1)写出楼房每平方米的平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式;(2)该楼房应建造多少层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少?最少值是多少?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平)均购地费用=购地总费用建筑总面积解:(1) 依题意得y=(560+48x)+2160100002000x=560+48x+10800(x≥10,x∈N*).x(2)因为x>0,所以48x+10800x≥当且仅当48x=10800x,即x=15时取到“=”, 此时,楼房每平方米的平均综合费用的最小值为560+1 440=2 000(元).故当该楼房建造15层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少,最少值为2 000元.2.为响应国家扩大内需的政策,某厂家拟在某年年初举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用t(t ≥0)万元满足x=4-21k t +(k 为常数).如果不搞促销活动,则该产品的年销量只能是1万件.已知这一年生产该产品的固定投入为6万元,每生产1万件该产品需要再投入12万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分).(1)将该厂家这一年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数;(2)该厂家这一年的年促销费用投入多少万元时,厂家利润最大?解:(1)由题意有1=4-1k ,得k=3,故x=4-321t +. 故y=1.5×612x x +·x-(6+12x)-t=3+6x-t =3+6(4-321t +)-t =27-1821t +-t(t ≥0). (2)由(1)知,y=27-1821t +-t=27.5-[912t ++(t+12)].912t ++(t+12)≥2故y=27-1821t +-t=27.5-[912t ++(t+12)]≤27.5-6=21.5. 当且仅当912t +=t+12,即t=2.5时,等号成立,y 有最大值21.5. 所以,该厂家这一年的年促销费用投入2.5万元时,厂家利润最大,最大利润为21.5万元. 考点四易错辨析【例4】已知x<54,求函数y=4x-2+145x -的最大值. 解:因为x<54,所以5-4x>0. y=4x-2+145x - =-(5-4x+154x -)+3≤当且仅当5-4x=154x -,即x=1时,上式等号成立,故当x=1时,y max =1.运用基本不等式求最值,当条件不满足和或积为定值时,可以通过“拆、拼、凑”的技巧把求最值的代数式化为ax+b x (ab>0)等形式,本题就是一个典型例子,盲目使用条件是本题的易错点.1.(2017·天津卷)若a,b ∈R,ab>0,则4441a b ab ++的最小值为 .解析:因为a,b ∈R,ab>0,所以4441a b ab ++≥2241a b ab +=4ab+1ab≥=4,当且仅当222,14,a b ab ab ⎧=⎪⎨=⎪⎩即22a b ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩时取得等号. 故4441a b ab ++的最小值为4.答案:4 2.设常数a>0,若9x+2a x≥a+1对一切正实数x 成立,求a 的取值范围.解:常数a>0,若9x+2a x ≥a+1对一切正实数x 成立,故(9x+2a x )min ≥a+1, 又9x+2a x≥6a,当且仅当9x=2a x,即x=3a 时,等号成立. 故6a ≥a+1,解得a ≥15. 即a 的取值范围为[15,+∞).(对应学生用书第53页)类型一利用基本不等式比较大小1.设0<a<b,则下列不等式中正确的是( B )2a b+2a b +<b2a b +2a b +<b解析:因0<a<b,所以a 2<ab0,y>0,且x+2y=xy,若x+2y-m 2-2m>0恒成立,则实数m 的取值范围是( B )(A)[-4,2) (B)(-4,2) (C)(-3,3) (D)[-3,3]解析:由x>0,y>0,x+2y=xy 变形得,2x+ 1y =1,所以x+2y=(x+2y)(2x +1y )=4y x +x y +4≥4+4=8,当且仅当4y x =x y ,即x=2y 时等号成立,又2x+1y =1,得x=4,y=2,即当x=4,y=2时,x+2y 取得最小值,且最小值为8.由x+2y-m 2-2m>0恒成立,得(x+2y)min >m 2+2m,从而8>m 2+2m,解得-4<m<2.所以实数m 的取值范围是(-4,2).故选B.3.(2018·杭州质检)已知正数x,y 满足x 2+2xy-3=0,则2x+y 的最小值是 . 解析:由题意得y=232x x-,所以2x+y=2x+232x x -=2332x x +=32(x+1x)≥3, 当且仅当x=y=1时,等号成立. 答案:34.函数f(x)=lg 2x x -,若f(a)+f(b)=0,则3a +1b的最小值为 .解析:依题意得0<a<2,0<b<2,且lg (2a a -·2b b-)=0, 即ab=(2-a)(2-b),2a b +=1, 3a+1b =2a b +(3a +1b )=12(4+3b a +a b )≥12,当且仅当3ba =ab ,即-1时取等号,因此3a +1b 的最小值是答案5.若a>0,b>0,不等式3a +1b ≥3ma b+恒成立,则m 的最大值为 .解析:因为a>0,b>0,不等式3a +1b ≥3m a b +恒成立, 所以m ≤[(a+3b)( 3a +1b )]min .因为(a+3b)(3a +1b)=6+9b a +a b ≥=12,当且仅当a=3b 时取等号, 所以m 的最大值为12. 答案:12类型三基本不等式的综合应用6.(2018·天津卷)已知a,b ∈R,且a-3b+6=0,则2a +18b的最小值为 .解析:因为a-3b+6=0,所以a-3b=-6, 所以2a +18b=2a +2-3b ≥×2-3=14, 当且仅当3,360a b a b =-⎧⎨-+=⎩时等号成立,即3,1a b =-⎧⎨=⎩时取到等号. 答案:147.规定一种运算:a ⊗为正实数).若1⊗k=3,则k 的值为 ,此时函数的最小值为 .解析:1⊗+1+k=3,即-2=0,=1=-2(舍去),所以k=1,≥1+2=3,当且仅当x=1时取“=”. 答案:1 38.已知a>0,b>0,设M=max(a,b a +9ab),则M 的最小值为 . 解析:在同一坐标系中作出函数y=a,y=9b ba+的图象(图略),可得M=09,,,b b a a a a ⎧+⎪⎪⎨⎪>⎪⎩0<a ≤a 0, 其中a 0是函数y=a,y=9b ba +图象的交点横坐标,即20a =b+9b ≥6(当且仅当b=3时,取得“=”),所以M 的最小值为a 0,而a 0所以M答案。

(完整版)不等式基本性质讲义

课题不等式的基本性质1．经历不等式基本性质的研究过程，初步领悟不等式与等式的异同。

授课目的2．掌握不等式的基本性质，并会运用这些基本性质将不等式变形。

重点、难点不等式的基本性质的掌握与应用。

考点及考试要求领悟不等式与等式的异同。

掌握不等式的基本性质授课内容一、知识点：不等式的基本性质：（1）不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

用式子表示：若是a>b，那 a+c>b+c（或 a–c>b– c）（2）不等式的基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

用式子表示：若是a>b，且 c>0，那么 ac>bc，a b。

c c（3）不等式的基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

用式子表示：若是a>b，且 c<0，那么 ac<bc，a b。

c c（4）对称性：若是 a>b，那么 b<a。

（5）同向传达性： a>b，b>c 那么 a>c。

注意：不等式的基本性质是对不等式变形的重要依照。

不等式的性质与等式的性质近似，但等式的结论是“仍是等式”，而不等式的结论则是“不等号方向不变或改变”。

在运用性质（2）和性质（ 3）时，要特别注意不等式的两边乘以或除以同一个数，第一认清这个数的性质符号，从而确定不等号的方向可否改变。

说明：常有不等式所表示的基本语言与含义还有：①若 a－b＞0，则 a 大于 b ；②若 a－b＜0，则 a 小于 b ；③若 a－b≥0，则 a 不小于 b ；④若 a－b≤0，则 a 不大于 b ；⑤若 ab＞ 0 或a0 ，则a、b同号；b⑥若 ab＜ 0 或a 0 ，则、异号。

a bb随意两个实数 a、b 的大小关系：①a-b>O a>b；②a-b=O a=b；③a-b<O a<b．不等号拥有方向性，其左右两边不能够随意交换; 但 a＜b 可变换为 b＞ a，c≥ d 可变换为 d≤c。

基本不等式讲义

基本不等式讲义考纲要求掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。

要点归纳1．重要不等式：22,,2(a b R a b ab ∈+≥若则当且仅当a=b 等号成立)。

2．均值不等式：,2a b a b R ab a b *+∈≥=若,则(当且仅当时等号成立)。

3．相关的常用公式：2222222()();;22;2(0)a b a b ab a b b a a b c ab bc ca ab a b ++≤+≥++≥+++≥ 4．利用均值不等式求最值应注意：（1）和定积最大；积定和最小；（2）满足三个条件：一正，二定，三相等。

例题解析例1．（1）已知54x ，求函数14245y x x =-+-的最大值；（2）已知220,12y x x += 求函数21y x y =+的最大值；（3）已知：190,0,1,x y x y x y+=+ 且求的最小值。

变式训练：（1）（10年，重庆）已知822,0,0=++xy y x y x ，则y x 2+的最小值（2）（11年，浙江）若实数y x ,满足122=++xy y x ，则y x +的最大值是（3）（11年，湖南）设0,,≠∈xy R y x ，则)41()1(2222y x y x +⋅+的最小值为例2．求下列函数的值域：（1）1()y x x R x =+∈；（2）4()y x x o x =+ ；（3）4(3)y x x x=+≥ 变式训练：（1）4(14)y x x x =-≤≤；（2）236(2)2x x y x x -+=- 例3．已知,,a b c 为正数，求证：444222a b c a bc ab c abc ++≥++。

基础训练 1．已知5,2x ≥则245()24x x f x x -+=-有（） A ．最大值54 B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值12．函数(]4()32f x x x=++-∞-在，上（） A ．无最小值，有最大值7 B ．无最大值，有最小值1-C ．有最大值7，有最小值1-D ．有最大值1-，无最小值3．（10年，四川文）已知0 b a ，则)(112b a a ab a -++的最小值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．用232m 的材料制作一个长方形的无盖盒子，如果底面的宽度定为2m ，那么这个盒子的最大容积可以是（）A ．336mB ．318mC ．316mD ．314m5．（10年，浙江文）若正数y x ,满足62++=y x xy 则xy 的最小值是（变式：求y x +2的范围）6．已知,,,+∈R c b a 且,1=++c b a 则131313+++++c b a 的最大值为7．已知,,a b c 为某一直角三角形的三条边长，c 为斜边，若点(,)m n 在直线20ax by c ++=上，则22m n +的最小值是8．设,,a b c R +∈，若1,a b c ++=则111a b c ++≥ 。