最新讲义基本不等式

第3讲 基本不等式

1．基本不等式ab ≤a ＋b

2

(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0．

(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．算术平均数与几何平均数

设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b

2

，几何平均数为术平均数不小于它们的几何平均数．

3．利用基本不等式求最值问题

已知x >0，y >0，则

(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是(简记：积定和最小)

(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 4

．(简记：和定积最大)

[做一做] 1．已知a ，b ∈(0，＋∞)，若ab ＝1，则a ＋b 的最小值为________；若a ＋b ＝1，则ab 的最大值为________． 2 14

1．辨明两个易误点

(1)使用基本不等式求最值，“一正，二定、三相等”三个条件缺一不可； (2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致． 2．活用几个重要的不等式

a 2＋

b 2≥2ab (a ，b ∈R )；b a ＋a

b

≥2(a ，b 同号)．

ab ≤

⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )． 3．巧用“拆”“拼”“凑”

在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．

考点一__利用基本不等式证明不等式__________ [规律方法] 利用基本不等式证明不等式的方法技巧

利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．

1．“a >0且b >0”是“a ＋b

2

≥ab ”成立的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 A

2．若x >1，则x ＋4

x －1

的最小值为________．

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已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，

求证：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭

⎫1＋1

b ≥9.

在本例条件下，求证1a ＋1

b

≥4.

1.设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ac b ＋ab

c

≥a ＋b ＋c .

考点二__利用基本不等式求最值(高频考点)______

利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题． 高考对利用基本不等式求最值的考查常有以下三个命题角度： (1)知和求积的最值； (2)知积求和的最值； (3)求参数的值或范围．

[规律方法] 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等． (1)“一正”就是各项必须为正数；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转化成定值；

(3)“三相等”即检验等号成立的条件，判断等号能否取到，只有等号能成立，才能利用基本不等式求最值

(1)当0

2

x (1－2x )的最大值为________．

(2)(2014·高考重庆卷)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋23 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3 D ．7＋4 3

(3)(2015·吉林长春调研)若两个正实数x ，y 满足2x ＋1

y

＝1，并且x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值

范围是( )

A ．(－∞，－2)∪[4，＋∞)

B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)

C ．(－2，4)

D ．(－4，2) (1)1

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(2)D (3)D

2.(1)当x ＞0时，f (x )＝2x

x 2＋1的最大值为__________．

(2)若x <3，则函数f (x )＝4

x －3

＋x 的最大值为________．

(3)已知函数y ＝a x ＋

3－2(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋y n ＝－1上，且m ，n >0，则3m

＋n 的最小值为________．

(4)已知正实数a ，b 满足a ＋2b ＝1，则a 2＋4b 2＋1

ab

的最小值为________．

(1)1 (2)－1 (3)16 (4)17

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考点三__利用基本不等式解决实际问题____

[规律方法] 应用基本不等式解实际问题的步骤：①理解题意，设变量；②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象成求函数的最大值或最小值问题；③在定义域内，求出函数的最大值或最小值；④写出正确答案．

小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投

入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W (x )万元，在年产量不足8万件时，W (x )＝1

3

x 2

＋x (万元)．在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100

x

－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小

王生产的商品能当年全部售完．

(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)

(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大．最大利润为15万元．

2.某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．

(1)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少；

(2)若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时，其价格可享受八五折优惠(即为原价的85%)．问：该厂是否应考虑利用此优惠条件？请说明理由．

3.某化工企业2014年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是

0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用为y (单位：万元)．

(1)用x 表示y ；

(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备，则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．

该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备．

考题溯源——基本不等式的实际应用

(2014·高考福建卷)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．

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