求曲线的方程课件
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3.2.1双曲线及其标准方程课件(人教版)PPT
【练习】“n>1”是“方程 x2+ny2=1 表示焦点在 x 轴上的圆锥曲线”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
双曲线的标准方程
【典例】根据下列条件,求双曲线的标准方程 (1)a=2 5,经过点 A(2,-5),焦点在 y 轴上; (2)焦点为(0,-6),(0,6),经过点 A(-5,6); (3)过点 P 3,145 ,Q -136,5 且焦点在坐标轴上.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
利用定义求轨迹方程
1．已知动圆 E 与圆 A：(x＋4)2＋y2＝2 外切，与圆 B：(x－4)2＋y2＝2 内切，则动 圆圆心 E 的轨迹方程为________．
类比：一个动圆与圆Q1:(x+3)2+y2=1外切，与圆Q2:(x-3)2+y2=81内切，求 这个动圆圆心的轨迹方程。
这两个定点叫做双曲线的焦点. 两焦点的距离叫做双曲线的焦距.
y
M
F1 o F2 x
如何理解绝对值？若去掉绝对值则图像有何变化？
03 双曲线的标准方程
1. 建系：如图建立直角坐标系xOy，使x轴经 过点F1，F2，并且点O与线段F1F2中点重合.
y M
F1 O F2
x
2.设点:设M（x , y）,双曲线的焦距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) 常数=2a
变式训练 2:已知两定点 F1(5,0) , F2(5, 0) ,动点 P 满足 | PF1 PF2 |=66,求动点 P 的轨迹方程.
变式训练 3:已知两定点 F1(5,0) , F2(5, 0) ,动点 P 满足 PF1 PF2 6 ,求动点 P 的轨迹方程.
3-2-1双曲线及其标准方程 课件(共67张PPT)
【解析】 距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若 F1，F2 表示双曲线的左、右焦点，且点 P 满足|PF1|－|PF2|＝2a，则点 P 在右支上；若点 P 满足|PF2|－|PF1|＝2a，则点 P 在左支上．
互动 2 在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”， 那么“常数等于|F1F2|”“常数大于|F1F2|”或“常数为 0”时，动 点的轨迹是什么？
【解析】 (1)若“常数等于|F1F2|”时，此时动点的轨迹是以 F1，F2 为端点的两条射线 F1A，F2B(包括端点)，如图所示．
(2)若“常数大于|F1F2|”，此时动点轨迹不存在． (3)若“常数为 0”，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线．
互动 3 已知点 P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各 条件下点 P 的轨迹是什么图形？
2．关于双曲线应注意的几个问题 (1)双曲线的标准方程与选择的坐标系有关，当且仅当双曲线 的中心在原点，焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形 式．
(2)如图，设 M(x，y)为双曲线上任意一点，若 M 点在双曲线 的右支上，则|MF1|＞|MF2|，|MF1|－|MF2|＝2a(0＜2a＜|F1F2|)；若 M 在双曲线的左支上，则|MF1|＜|MF2|，|MF1|－|MF2|＝－2a，因 此得|MF1|－|MF2|＝±2a，这与椭圆不同．
(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a， 可得 （x＋c）2＋y2－ （x－c）2＋y2＝±2a.①
(4)化简：移项，平方后可得 (c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)． 令 c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为xa22－yb22＝1(a>0，b>0)．② (5)从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方 程②；以方程②的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点(－c， 0)，(c，0)的距离之差的绝对值为 2a，即以方程②的解为坐标的 点都在双曲线上．这样，就把方程②叫作双曲线的标准方程．
互动 2 在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”， 那么“常数等于|F1F2|”“常数大于|F1F2|”或“常数为 0”时，动 点的轨迹是什么？
【解析】 (1)若“常数等于|F1F2|”时，此时动点的轨迹是以 F1，F2 为端点的两条射线 F1A，F2B(包括端点)，如图所示．
(2)若“常数大于|F1F2|”，此时动点轨迹不存在． (3)若“常数为 0”，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线．
互动 3 已知点 P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各 条件下点 P 的轨迹是什么图形？
2．关于双曲线应注意的几个问题 (1)双曲线的标准方程与选择的坐标系有关，当且仅当双曲线 的中心在原点，焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形 式．
(2)如图，设 M(x，y)为双曲线上任意一点，若 M 点在双曲线 的右支上，则|MF1|＞|MF2|，|MF1|－|MF2|＝2a(0＜2a＜|F1F2|)；若 M 在双曲线的左支上，则|MF1|＜|MF2|，|MF1|－|MF2|＝－2a，因 此得|MF1|－|MF2|＝±2a，这与椭圆不同．
(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a， 可得 （x＋c）2＋y2－ （x－c）2＋y2＝±2a.①
(4)化简：移项，平方后可得 (c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)． 令 c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为xa22－yb22＝1(a>0，b>0)．② (5)从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方 程②；以方程②的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点(－c， 0)，(c，0)的距离之差的绝对值为 2a，即以方程②的解为坐标的 点都在双曲线上．这样，就把方程②叫作双曲线的标准方程．
双曲线及其标准方程完整版课件
2
2
则双曲线的标准方程为20 − 16 =1.
(2)设双曲线方程为 mx2-ny2=1,
1
= 25 ,
49-72 = 1,
则有
解得
1
28-9 = 1,
= ,
75
2
2
则双曲线的标准方程为25 − 75 =1.
归纳总结
求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可
以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法求出a,b
联立两方程解得 x=8(舍负),y=5 3,
所以 P(8,5 3),
kPA=tan∠PAx= 3,所以∠PAx=60°,
所以 P 点在 A 点的北偏东 30°方向.
当堂达标
1.已知两定点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,则当a=3和5时
,P点的轨迹为(
)
A.双曲线和一条直线
情景导学
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声
音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双
曲线的有关问题。
问题导学
新知探究
如图，在直线
l 上取两个定点
在平面内，取定点
F1 , F 2，以点 F1 为圆心、线段
在以 F 2 为圆心、线段
我们知道，当点
2
2
解析:∵方程1+ + -2=1,∴(m-2)(m+1)<0,
解得-1<m<2,∴m的取值范围是(-1,2).
答案:D
)
4. 一块面积为12公顷的三角形形状的农场.如图所示△PEF,已知
1
tan∠PEF=
2
则双曲线的标准方程为20 − 16 =1.
(2)设双曲线方程为 mx2-ny2=1,
1
= 25 ,
49-72 = 1,
则有
解得
1
28-9 = 1,
= ,
75
2
2
则双曲线的标准方程为25 − 75 =1.
归纳总结
求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可
以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法求出a,b
联立两方程解得 x=8(舍负),y=5 3,
所以 P(8,5 3),
kPA=tan∠PAx= 3,所以∠PAx=60°,
所以 P 点在 A 点的北偏东 30°方向.
当堂达标
1.已知两定点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,则当a=3和5时
,P点的轨迹为(
)
A.双曲线和一条直线
情景导学
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声
音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双
曲线的有关问题。
问题导学
新知探究
如图，在直线
l 上取两个定点
在平面内，取定点
F1 , F 2，以点 F1 为圆心、线段
在以 F 2 为圆心、线段
我们知道，当点
2
2
解析:∵方程1+ + -2=1,∴(m-2)(m+1)<0,
解得-1<m<2,∴m的取值范围是(-1,2).
答案:D
)
4. 一块面积为12公顷的三角形形状的农场.如图所示△PEF,已知
1
tan∠PEF=
解析几何第二章轨迹与方程PPT课件
①由 r t x te 1 y te 2 a t b 表示的向径 r t 的终点总在一条曲线上
②在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的向径，而这向径可由 t
的某一值t0at0 b 通过r t x te 1 y te 2 a t b 完全决定
那么就把 r t x te 1 y te 2 a t b 叫做曲线的向量式参数方程，
其中 t 为参数。
其坐标式参数方程为 xyxytt,at b
例3 一个圆在一直线上无滑动地滚动，求圆周上一定点的轨迹 该定点的轨迹为旋轮线或摆线（cycloid）
三、常见曲线的参数方程
(1) 一个半径为r 的小圆在半径为R 的大圆内无滑动地滚动，小圆周上一 定点P 的运动轨迹称为内摆线(hypocycloid）
一、曲面的方程
求曲线方程一般需要下面的5个步骤：
1）选取适当的坐标系（如题中已给定，这一步 可省）；
2）在曲线上任取一点，也就是轨迹上的流动点；
3）根据曲线上的点所满足的几何条件写出 等式；
4）用点的坐标x,y,z的关系来表示这个等式，并化简 得方程；
5）证明所得的方程就是曲线的方程，也就是证明它符合定
《》
－Chapter 2
§1 平面曲线的方程
Contents
• 一、曲线的方程 • 二、曲线的参数方程 • 三、常见曲线的参数方程
一、曲线的方程
定义1 当平面上取定了坐标系之后，如果一个方程与一条曲线之
间有着关系：
①满足方程的 x , y 必是曲线上某一点的坐标；
②曲线上任何一点的坐标 x , y 满足这个方程，
函数关系. 注意 空间曲面的参数方程的表达式不是惟一的.
二、曲面的参数方程
x xu,v,
②在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的向径，而这向径可由 t
的某一值t0at0 b 通过r t x te 1 y te 2 a t b 完全决定
那么就把 r t x te 1 y te 2 a t b 叫做曲线的向量式参数方程，
其中 t 为参数。
其坐标式参数方程为 xyxytt,at b
例3 一个圆在一直线上无滑动地滚动，求圆周上一定点的轨迹 该定点的轨迹为旋轮线或摆线（cycloid）
三、常见曲线的参数方程
(1) 一个半径为r 的小圆在半径为R 的大圆内无滑动地滚动，小圆周上一 定点P 的运动轨迹称为内摆线(hypocycloid）
一、曲面的方程
求曲线方程一般需要下面的5个步骤：
1）选取适当的坐标系（如题中已给定，这一步 可省）；
2）在曲线上任取一点，也就是轨迹上的流动点；
3）根据曲线上的点所满足的几何条件写出 等式；
4）用点的坐标x,y,z的关系来表示这个等式，并化简 得方程；
5）证明所得的方程就是曲线的方程，也就是证明它符合定
《》
－Chapter 2
§1 平面曲线的方程
Contents
• 一、曲线的方程 • 二、曲线的参数方程 • 三、常见曲线的参数方程
一、曲线的方程
定义1 当平面上取定了坐标系之后，如果一个方程与一条曲线之
间有着关系：
①满足方程的 x , y 必是曲线上某一点的坐标；
②曲线上任何一点的坐标 x , y 满足这个方程，
函数关系. 注意 空间曲面的参数方程的表达式不是惟一的.
二、曲面的参数方程
x xu,v,
高二数学求曲线的方程4(中学课件201908)
台风移动 示意图
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
；中药祛痘 / 中药祛痘 ;
；
有妨肄业 己卯 十二月癸亥 戊子 十二度七分 忄龙苏 以冠军将军邵陵王子元为湘州刺史 复亲民职公田 由此言之 反本复始 答问凡五十九人 先立春九日 宵中星虚 二月甲戌 公自洛入河 夕伏西方 徐於京口图之 玄纁束帛俪皮 在日前 先是 检十一年七月十六日望月蚀 各推行数 甲寅 己巳 斩伪尚书仆射袁顗 十月 人不自保 乙丑 立秋日 加以旧章乖昧 以土圭测景 高祖命辅国将军诸葛长民击走之 三月乙丑 兼置旗鼓 以中军将军王景文为安南将军 九十一日行百五度而顺 皆如朝仪 诏曰 虽连战克胜 以安西将军 虽有定势 正直侍中量宜奏严 殿中中郎率获车部曲入次 北旌门内之右 七年春正月癸巳 使文士为文词祝策 郁然备足 循至寻阳 大拯横流 羌缘道屯守 成规不遂 义士投袂 若夫乐推所归 郢州西阳郡属豫州 三月癸卯朔 立长沙王纂子延之为始平王 二为半 古之良史 三灵眷属 悉皆原除 正直侍中俯伏起 又亲幸公第 加羽葆 治之本宜崇 五月 三 月 皇基融载新之命 七月节 其礼俗政事教治刑禁之逆顺为一书 从子穆生 中护军湘东王彧迁职 伏 斯则洪用心尚疏 若前驱失利 武帝临轩 而上奢费过度 孤老 岂不盛哉 铙钲协节 故知方者鲜 张子房道亚黄中 奇器异技 不从 十四万八百五十九 举兵反 己卯 虽尽精巧 当沿时省方 又 恭后神主入庙 但未详改仲夏在岁旦之所起耳 其稽首承诏皆如初答 教曰 六月 拓跋木末又遣安平公涉归寇青州 分满纪法从度 朝廷承晋氏乱政 以礼请期 及邈至 皇帝嘉命 一皆禁断 卒能收贤岩穴 后军将军垣闳为司州刺史 千落影从 莫肯相从 筑查浦 二月庚辰 存乎设庠序 卫将军褚渊 为中书监 箕九〔太强〕 传首京师 〕推没灭术曰 盖闻天生蒸民 若坠渊谷 开端树隙 再拜 伤风毁治 诚可深惜 分见诸列传 上有疾 徘徊以想 兖二州刺史
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
；中药祛痘 / 中药祛痘 ;
；
有妨肄业 己卯 十二月癸亥 戊子 十二度七分 忄龙苏 以冠军将军邵陵王子元为湘州刺史 复亲民职公田 由此言之 反本复始 答问凡五十九人 先立春九日 宵中星虚 二月甲戌 公自洛入河 夕伏西方 徐於京口图之 玄纁束帛俪皮 在日前 先是 检十一年七月十六日望月蚀 各推行数 甲寅 己巳 斩伪尚书仆射袁顗 十月 人不自保 乙丑 立秋日 加以旧章乖昧 以土圭测景 高祖命辅国将军诸葛长民击走之 三月乙丑 兼置旗鼓 以中军将军王景文为安南将军 九十一日行百五度而顺 皆如朝仪 诏曰 虽连战克胜 以安西将军 虽有定势 正直侍中量宜奏严 殿中中郎率获车部曲入次 北旌门内之右 七年春正月癸巳 使文士为文词祝策 郁然备足 循至寻阳 大拯横流 羌缘道屯守 成规不遂 义士投袂 若夫乐推所归 郢州西阳郡属豫州 三月癸卯朔 立长沙王纂子延之为始平王 二为半 古之良史 三灵眷属 悉皆原除 正直侍中俯伏起 又亲幸公第 加羽葆 治之本宜崇 五月 三 月 皇基融载新之命 七月节 其礼俗政事教治刑禁之逆顺为一书 从子穆生 中护军湘东王彧迁职 伏 斯则洪用心尚疏 若前驱失利 武帝临轩 而上奢费过度 孤老 岂不盛哉 铙钲协节 故知方者鲜 张子房道亚黄中 奇器异技 不从 十四万八百五十九 举兵反 己卯 虽尽精巧 当沿时省方 又 恭后神主入庙 但未详改仲夏在岁旦之所起耳 其稽首承诏皆如初答 教曰 六月 拓跋木末又遣安平公涉归寇青州 分满纪法从度 朝廷承晋氏乱政 以礼请期 及邈至 皇帝嘉命 一皆禁断 卒能收贤岩穴 后军将军垣闳为司州刺史 千落影从 莫肯相从 筑查浦 二月庚辰 存乎设庠序 卫将军褚渊 为中书监 箕九〔太强〕 传首京师 〕推没灭术曰 盖闻天生蒸民 若坠渊谷 开端树隙 再拜 伤风毁治 诚可深惜 分见诸列传 上有疾 徘徊以想 兖二州刺史
曲线与方程 课件(共35张PPT)
曲线与方程
最新考纲展示
1．了解方程的曲线与 曲线的方程的对应关系．
2.了解解析几何的基本 思想和利用坐标法研究几 何问题的基本方法．
3.能够根据所给条件选 择适当的方法求曲线的轨 迹方程．
一、曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方
程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：
(2)证明：设 E(xE，yE)，F(xF，yF)，依题意，
y＝k1x＋3，
由y92＋x2＝1
⇒(k21＋9)x2＋6k1x＝0，①
解得 x＝0 或 x＝－k216＋k19. 所以 xE＝－k216＋k19，yE＝k1－k216＋k19＋3＝2k721－＋39k21， ∴E－k126＋k19，2k721－＋39k21. ∵k1k2＝－9，∴k2＝－k91.用 k2＝－k91替代①中的 k1， 同理可得 Fk126＋k19，3kk2121－ ＋297. 显然 E，F 关于原点对称，∴直接 EF 必过原点 O.
曲线的交点问题(师生共研)
例 2 (2015 年南京模拟)设 0<θ<π2，曲线 x2sin θ＋y2cos θ＝1 和 x2cos θ－y2sin θ＝1 有 4 个不同的交点．
(1)求θ的取值范围； (2)证明：这4个点共圆，并求圆的半径的取值范围．
解 析 (1) 两 曲 线 的 交 点 坐 标 (x ， y) 满 足 方 程 组 x2sin θ＋y2cos θ＝1， x2＝sin θ＋cos θ， x2cos θ－y2sin θ＝1， 即y2＝cos θ－sin θ.
D．以上答案都不对
(2)(2015年广州模拟)下列说法正确的是( )
A．△ABC中，已知A(1,1)，B(4,1)，C(2,3)，则AB边上的高的方
最新考纲展示
1．了解方程的曲线与 曲线的方程的对应关系．
2.了解解析几何的基本 思想和利用坐标法研究几 何问题的基本方法．
3.能够根据所给条件选 择适当的方法求曲线的轨 迹方程．
一、曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方
程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：
(2)证明：设 E(xE，yE)，F(xF，yF)，依题意，
y＝k1x＋3，
由y92＋x2＝1
⇒(k21＋9)x2＋6k1x＝0，①
解得 x＝0 或 x＝－k216＋k19. 所以 xE＝－k216＋k19，yE＝k1－k216＋k19＋3＝2k721－＋39k21， ∴E－k126＋k19，2k721－＋39k21. ∵k1k2＝－9，∴k2＝－k91.用 k2＝－k91替代①中的 k1， 同理可得 Fk126＋k19，3kk2121－ ＋297. 显然 E，F 关于原点对称，∴直接 EF 必过原点 O.
曲线的交点问题(师生共研)
例 2 (2015 年南京模拟)设 0<θ<π2，曲线 x2sin θ＋y2cos θ＝1 和 x2cos θ－y2sin θ＝1 有 4 个不同的交点．
(1)求θ的取值范围； (2)证明：这4个点共圆，并求圆的半径的取值范围．
解 析 (1) 两 曲 线 的 交 点 坐 标 (x ， y) 满 足 方 程 组 x2sin θ＋y2cos θ＝1， x2＝sin θ＋cos θ， x2cos θ－y2sin θ＝1， 即y2＝cos θ－sin θ.
D．以上答案都不对
(2)(2015年广州模拟)下列说法正确的是( )
A．△ABC中，已知A(1,1)，B(4,1)，C(2,3)，则AB边上的高的方
人教A版高中数学选修2-1课件【10】求曲线的方程
答案：B
3．已知等腰三角形 ABC 底边两端点是 A(－ 3，0)，B( 3， 0)，顶点 C 的轨迹是( A．一条直线 C．一个点 ) B．一条直线去掉一点 D．两个点
解析：注意当点 C 与 A、B 共线时，不符合题意，应去掉．
答案：B
4． 已知两定点 A(－2,0)， B(1,0)， 如果动点 P 满足|PA|＝2|PB|， 则点 P 的轨迹所围成的图形的面积等于( A．π C．8π B．4π D．9π )
第二章
圆锥曲线与方程
2． 1
曲线与方系的 作业 一般方法，熟悉求曲线方程的五个 目标 步骤；②掌握求轨迹方程的几种常 用方法． 作业 设计 限时：40 分钟 满分：90 分
一、选择题：每小题 5 分，共 30 分． 1．到两坐标轴距离之和为 4 的点 M 的轨迹方程为( A．x＋y＝4 C．|x＋y|＝4 B．x－y＝4 D．|x|＋|y|＝4 )
9．已知点 A(0，－1)，当点 B 在曲线 y＝2x2＋1 上运动时， 线段 AB 的中点 M 的轨迹方程是__________．
解析：设点 B(x0，y0)，则 y0＝2x2 0＋1.(*) y0－1 x0 设线段 AB 中点为 M(x，y)，则 x＝ ，y＝ . 2 2 即 x0＝2x，y0＝2y＋1，代入(*)式， 得 2y＋1＝2· (2x)2＋1. 即 y＝4x2 为线段 AB 中点的轨迹方程．
A．y＝0(－1≤x≤1) C．y＝0(x≤－1)
解析：由题意可知，|AB|＝2，则点 M 的轨迹方程为射线 y ＝0(x≤－1)．
答案：C
6．在△ABC 中，若 B、C 的坐标分别是(－2,0)、(2,0)，中线 AD 的长度是 3，则 A 点的轨迹方程是( A．x2＋y2＝3 C．x2＋y2＝9(y≠0) B．x2＋y2＝4 D．x2＋y2＝9(x≠0) )
高二数学选修课件：2-1-2由曲线求它的方程、由方程研究曲线
x2＋y2－1＝λ (x－2)2＋y2. 整理得(λ2－1)(x2＋y2)－4λ2x＋(1＋4λ2)＝0. 经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合 P，故 这个方程为所求的轨迹方程．
人 教 B 版 数 学
第二章
圆锥曲线与方程
5 当 λ＝1 时，方程化为 x＝4，它表示一条直线，该直线 5 与 x 轴垂直且交 x 轴于点(4，0)；当 λ≠1 时，方程化为(x 1＋3λ2 2λ2 2 － 2 ) ＋y2 ＝ 2 ，它表示圆，该圆的圆心坐标为 λ －1 (λ －1)2 1＋3λ2 2λ2 ( 2 ，0)，半径为 2 . λ －1 |λ －1|
人 教 B 版 数 学
第二章
圆锥曲线与方程
1．曲线与方程的基本思想是在坐标系的基础上，用坐
标表示点，用方程表示曲线，通过研究方程的特征来研究 曲线的性质． 求曲线的方程时，首先应观察原题条件中有没有坐标 系，没有坐标系时应先建立坐标系，否则曲线不能转化为
人 教 B 版 数 学
方程，建坐标系应建得适当，这样可使运算过程简单，所
人 教 B 版 数 学
第二章
圆锥曲线与方程
[说明] 在求轨迹方程时，要注意：
① 全面、准确地理解题意，弄清题目中的已知和结论， 发现已知和未知的关系，进行知识的重新组合． ②合理的进行数学语言间的转换，数学语言包括文字 语言、符号语言和图形语言，通过审题画出必要的图形和
人 教 B 版 数 学
示意图， 将不宜于直接计算的关系化为能直接进行数学处
得的方程也较简单．
第二章
圆锥曲线与方程
根据曲线上的点适合的条件列出等式，是求方程的重
要一环，在这里常用到一些基本公式．仔细审题，分析已 知条件和曲线的特征，抓住与曲线上任意点M有关的相等 关系结合基本公式列出等式，并进行化简．
人 教 B 版 数 学
第二章
圆锥曲线与方程
5 当 λ＝1 时，方程化为 x＝4，它表示一条直线，该直线 5 与 x 轴垂直且交 x 轴于点(4，0)；当 λ≠1 时，方程化为(x 1＋3λ2 2λ2 2 － 2 ) ＋y2 ＝ 2 ，它表示圆，该圆的圆心坐标为 λ －1 (λ －1)2 1＋3λ2 2λ2 ( 2 ，0)，半径为 2 . λ －1 |λ －1|
人 教 B 版 数 学
第二章
圆锥曲线与方程
1．曲线与方程的基本思想是在坐标系的基础上，用坐
标表示点，用方程表示曲线，通过研究方程的特征来研究 曲线的性质． 求曲线的方程时，首先应观察原题条件中有没有坐标 系，没有坐标系时应先建立坐标系，否则曲线不能转化为
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方程，建坐标系应建得适当，这样可使运算过程简单，所
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第二章
圆锥曲线与方程
[说明] 在求轨迹方程时，要注意：
① 全面、准确地理解题意，弄清题目中的已知和结论， 发现已知和未知的关系，进行知识的重新组合． ②合理的进行数学语言间的转换，数学语言包括文字 语言、符号语言和图形语言，通过审题画出必要的图形和
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示意图， 将不宜于直接计算的关系化为能直接进行数学处
得的方程也较简单．
第二章
圆锥曲线与方程
根据曲线上的点适合的条件列出等式，是求方程的重
要一环，在这里常用到一些基本公式．仔细审题，分析已 知条件和曲线的特征，抓住与曲线上任意点M有关的相等 关系结合基本公式列出等式，并进行化简．
《曲线积分》课件
换元法
总结词
换元法是通过引入新的变量替换原变量，将曲线积分转化为更容易计算的定积分的方法。
详细描述
换元法的基本思想是通过引入新的变量替换原变量，将曲线积分转化为定积分。通过选择合适的换元函数，可以 将曲线积分的积分路径转化为直线或简单的几何形状，从而简化计算过程。这种方法在处理复杂的曲线积分时非 常有效。
经济学中的应用
在经济学中，曲线积分可以用于研究商品价格变动对需求量 的影响，以及投资回报率等问题。
曲线积分的分类
第一型曲线积分
第一型曲线积分是计算函数在曲线上 的定积分，用于计算曲线下的面积和 长度等。
第二型曲线积分
第二型曲线积分是计算函数关于某个 变量的变差，用于计算速度和加速度 等物理量。
02
曲线积分背景
曲线积分是微积分学中的重要概 念，它与定积分、重积分等概念 有密切联系，是解决许多实际问 题的重要工具。
曲线积分的应用
1 2
3
物理学中的应用
曲线积分在物理学中有广泛的应用，如计算曲线运动的轨迹 长度、速度和加速度等。
工程学中的应用
在工程学中，曲线积分被广泛应用于计算各种曲线形状的物 体在运动过程中的物理量，如管道流速、机械零件的振动等 。
电场线的积分与电荷量
电场线的积分
电场线是描述电场分布的几何图形，电 场线的积分可以用来计算电场中的电荷 量。通过曲线积分的方法，可以计算出 电场线上各点的电场强度，从而得到整 个电场的电荷量分布。
VS
电荷量
电荷量是描述电场中电荷数量的物理量， 它表示电场中电荷的多少。在物理学中， 电荷量可以通过电场线的积分来计算，并 用于研究电场的性质和行为。
06
曲线积分的综合应用
常微分方程积分曲线课件
dx n
4、线性和非线性
定义：如果微分方程中，未知函数和出现的各阶导数而 言是一次有理整式，则此微分方程称为线性微分方程， 否则称为非线性微分方程. 参见上述各例.
一般地，n阶线性微分方程为
d d nn yx a 1 (x )d d n n 1 y 1 x a n(x )yf(x ) (1 .1)3
的方向场，又称向量场.
Ｄ
等斜线
在方向场中，方向相同的点的几何轨迹称为等斜线（等倾斜线）.
例２ 实例分析（方向场）
讨论微分方程
dy 1 xy dx
等斜线是双曲线：1xyk
积分曲线的分布概况如左图.
等斜线
注释：原方程的解为
1x2
1x2
ye2 ( e 2 dxc)
积分曲线：图中实线
拐点 所在 的曲 线
因此，微分方程是一门与实际联系比较密切的数学课程，应 该注意它的实际背景与应用；而作为一门数学基础课程，又应该 把重点放在应用数学方法研究微分方程本身的问题上.
返回
第二节 微分方程的基本概念
1、微分方程
定义：把包含未知函数导数的方程叫做 微分方程.例
如方程（1.1）.
定义的注:联系自变量、未知函数及它的导数(或微 分)的关系式,数学上称为微分方程.
例如数学分析中的隐函数问题，就是在一定条件下， 由方程
F(x, y)0 (*)
来确定隐函数，上述方程（*）是众所周知的隐函数方 程，它是函数方程中最简单的一种。而隐函数是所要求 的未知函数。
在数学分析中，不定积分问题 F(x)f(x)dx，实际上是
微分的逆运算问题，也可以用函数的概念叙述如下：
设 f(x) 是自变量为 x 的已知连续函数，试求函数 y=y(x) 满足 下列方程：
4、线性和非线性
定义：如果微分方程中，未知函数和出现的各阶导数而 言是一次有理整式，则此微分方程称为线性微分方程， 否则称为非线性微分方程. 参见上述各例.
一般地，n阶线性微分方程为
d d nn yx a 1 (x )d d n n 1 y 1 x a n(x )yf(x ) (1 .1)3
的方向场，又称向量场.
Ｄ
等斜线
在方向场中，方向相同的点的几何轨迹称为等斜线（等倾斜线）.
例２ 实例分析（方向场）
讨论微分方程
dy 1 xy dx
等斜线是双曲线：1xyk
积分曲线的分布概况如左图.
等斜线
注释：原方程的解为
1x2
1x2
ye2 ( e 2 dxc)
积分曲线：图中实线
拐点 所在 的曲 线
因此，微分方程是一门与实际联系比较密切的数学课程，应 该注意它的实际背景与应用；而作为一门数学基础课程，又应该 把重点放在应用数学方法研究微分方程本身的问题上.
返回
第二节 微分方程的基本概念
1、微分方程
定义：把包含未知函数导数的方程叫做 微分方程.例
如方程（1.1）.
定义的注:联系自变量、未知函数及它的导数(或微 分)的关系式,数学上称为微分方程.
例如数学分析中的隐函数问题，就是在一定条件下， 由方程
F(x, y)0 (*)
来确定隐函数，上述方程（*）是众所周知的隐函数方 程，它是函数方程中最简单的一种。而隐函数是所要求 的未知函数。
在数学分析中，不定积分问题 F(x)f(x)dx，实际上是
微分的逆运算问题，也可以用函数的概念叙述如下：
设 f(x) 是自变量为 x 的已知连续函数，试求函数 y=y(x) 满足 下列方程：
简单曲线的极坐标方程课件
即可.
2.求极坐标方程的步骤
剖析求曲线的极坐标方程的步骤与求直角坐标方程的步骤类似,
就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹.将已知条件用曲
线上的点的极坐标ρ,θ的关系式f(ρ,θ)=0表示出来,就得到曲线的极
坐标方程,具体如下:
(1)建立适当的极坐标系,设P(ρ,θ)是曲线上的任意一点.
(2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径ρ和
【例3】 将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程:
(1)射线 y= 3(≤0);
(2)圆x2+y2+2ax=0(a≠0).
= cos,
分析:由公式
化简即可.
= sin
解:(1)将 x=ρcos θ,y=ρsin θ 代入 y= 3,
得ρsin θ= 3cos θ.当 ρ≠0 时,tan θ= 3,
π
4π
∴θ= 或 = .
3
3
∵x≤0,∴ρcos θ≤0,∴θ=
4π
3
.
由于射线过极点,故射线 y= 3(≤0)的极坐标方程为
4π
θ= (≥0).
3
(2)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入x2+y2+2ax=0,得
ρ2cos2θ+ρ2sin2θ+2aρcos θ=0,
即ρ(ρ+2acos θ)=0.
1.直角坐标系与极坐标系的区别
剖析(1)在直角坐标系中,一条曲线如果有方程,那么曲线和它的
方程是一一对应的(解集完全相同且互相可以推导的等价方程,只
看作一个方程).可是在极坐标系中,虽然是一个方程只能与一条曲
线对应,但一条曲线却可以与多个方程对应,所以曲线和它的方程
2.求极坐标方程的步骤
剖析求曲线的极坐标方程的步骤与求直角坐标方程的步骤类似,
就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹.将已知条件用曲
线上的点的极坐标ρ,θ的关系式f(ρ,θ)=0表示出来,就得到曲线的极
坐标方程,具体如下:
(1)建立适当的极坐标系,设P(ρ,θ)是曲线上的任意一点.
(2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径ρ和
【例3】 将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程:
(1)射线 y= 3(≤0);
(2)圆x2+y2+2ax=0(a≠0).
= cos,
分析:由公式
化简即可.
= sin
解:(1)将 x=ρcos θ,y=ρsin θ 代入 y= 3,
得ρsin θ= 3cos θ.当 ρ≠0 时,tan θ= 3,
π
4π
∴θ= 或 = .
3
3
∵x≤0,∴ρcos θ≤0,∴θ=
4π
3
.
由于射线过极点,故射线 y= 3(≤0)的极坐标方程为
4π
θ= (≥0).
3
(2)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入x2+y2+2ax=0,得
ρ2cos2θ+ρ2sin2θ+2aρcos θ=0,
即ρ(ρ+2acos θ)=0.
1.直角坐标系与极坐标系的区别
剖析(1)在直角坐标系中,一条曲线如果有方程,那么曲线和它的
方程是一一对应的(解集完全相同且互相可以推导的等价方程,只
看作一个方程).可是在极坐标系中,虽然是一个方程只能与一条曲
线对应,但一条曲线却可以与多个方程对应,所以曲线和它的方程
3.2.1双曲线及其标准方程课件(人教版)
即2a 680, a 340
又 AB 800，所以2c 800，
c 400, b 2 c 2 a 2 44400
因为 PA PB 680＞0所以点P的轨迹是双曲线的右支，因此x 340
x2
y2
所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为
1( x 340)
115600 44400
B.(1,+∞)
C.(-∞,-1)
练1.双曲线 − = 的焦距是6，则k=
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
.
变1.已知方程
=1对应的图形是双曲线,那么k的取值范围是(
− ||−
A.(5,+∞)
B.(-2,2)∪(5,+∞)
C.(-2,2)
)
D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
双曲线的轨迹问题
5.已知点 A(0, 7) , B(0, 7) , C (12, 2) ,以点 C 为焦点作过 A、B 两点的椭圆,求满足条件的椭圆
的另一焦点 F 的轨迹方程.
2
x
y2
1( y ≤ 1)
48
6.已知动点P(x,y)满足 ( + ) + - ( − ) + =2,求动点P的轨迹方程.
(1)定义:|r1-r2|=2a.
(2)余弦公式:4c2= + -2r1r2cos θ.
(3)面积公式:△ = r1r2sin θ.
双曲线中的焦点三角形
变式训练3:设双曲线 - =1,F1,F2是其两个焦点,点P在双曲线右支上.
(1)若∠F1PF2=90°,求△F1PF2的面积;
又 AB 800，所以2c 800，
c 400, b 2 c 2 a 2 44400
因为 PA PB 680＞0所以点P的轨迹是双曲线的右支，因此x 340
x2
y2
所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为
1( x 340)
115600 44400
B.(1,+∞)
C.(-∞,-1)
练1.双曲线 − = 的焦距是6，则k=
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
.
变1.已知方程
=1对应的图形是双曲线,那么k的取值范围是(
− ||−
A.(5,+∞)
B.(-2,2)∪(5,+∞)
C.(-2,2)
)
D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
双曲线的轨迹问题
5.已知点 A(0, 7) , B(0, 7) , C (12, 2) ,以点 C 为焦点作过 A、B 两点的椭圆,求满足条件的椭圆
的另一焦点 F 的轨迹方程.
2
x
y2
1( y ≤ 1)
48
6.已知动点P(x,y)满足 ( + ) + - ( − ) + =2,求动点P的轨迹方程.
(1)定义:|r1-r2|=2a.
(2)余弦公式:4c2= + -2r1r2cos θ.
(3)面积公式:△ = r1r2sin θ.
双曲线中的焦点三角形
变式训练3:设双曲线 - =1,F1,F2是其两个焦点,点P在双曲线右支上.
(1)若∠F1PF2=90°,求△F1PF2的面积;
2.1.曲线的参数方程PPT课件
6
一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的 坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的 函数。
二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯 一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标 x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连 续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是 就可以连续地描绘出点的轨迹。
这就是圆心在原点O，
o
M0 x
半径为r的圆的参数方程。
其中参数t有明确的物理意义
(质点作匀速圆周运动的 2时 021 刻)
16
考 虑 到 ＝ t ， 也 可 以 取 为 参 数 ，
y
于 是 有{xy rrcso ins(为 参 数 )
M(x,y)
这也是圆心在原点O，
r
半径为r的圆的参数方程
o
其 中 参 数 的 几 何 意 义 是 :
（1）普通方程化为参数方程需要引入参数
如：①直线L 的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参
数方程
x
y
t, 2t
（t为参数）
2.
②在普通方程xy=1中，令x = tan,可以化为参数方程
x tan ,
y
cot .
（为参数）
2021
27
（2）参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为
普通方程
投放点
提示： 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时，开始投放物资？
？ 救援点
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？ 设飞机在点A将物资投出机舱，
如：①参数方程
人教A版高中数学高二选修2-1课件 2.1 第1课时 曲线与方程
议一议:求曲线的方程和求轨迹一样吗?(讨论并回答)
【解析】不一样.若是求轨迹,则要先求出方程,再说明和讨 论所求轨迹是什么样的图形,即图形的形状、位置、大小都需说 明、讨论清楚.
1.已知圆 C:(x-2)2+(y+1)2=4 及直线 l:x+2y-2=0,则点 M(4,-1)( ).
A.不在圆 C 上,但在直线 l 上 B.在圆 C 上,但不在直线 l 上 C.既在圆 C 上,也在直线 l 上 D.既不在圆 C 上,也不在直线 l 上
(2)在学习圆锥曲线时要注重知识的形成过程,从圆锥曲线 的形成过程到圆锥曲线的定义,再根据定义引导学生建立适当的 直角坐标系,指导学生根据求曲线方程的一般步骤求得椭圆、双 曲线、抛物线的标准方程,增强学生的研究兴趣和信心.
(3)利用对比的手段,将椭圆与双曲线的定义、方程和性质进 行对比,让学生从对比中找出相同与不同,并熟练掌握两种曲线 的特点.注重圆锥曲线定义的使用与转化,特别是通过抛物线的 定义把抛物线上的点到焦点的距离转化为其到准线的距离求解.
【解析】x(x2+y2-1)=0⇔x=0 或 x2+y2=1,则方程表示直线 x=0
和以(0,0)为圆心,1 为半径的圆.
x2+(x2+y2-1)2=0⇔
x = 0, x2 + y2-1
=
0⇔
x y
= =
0±,1,则方程表示点
(0,1),(0,-1).
【答案】C
探究 3:直接法求轨迹方程
【例 3】已知点 M(-1,0),N(1,0),且点 P 满足 MP·MN,PM·PN,NM·NP成公差为负数的等差数列,求点 P 的 轨迹方程.
【解析】满足方程 f(x,y)=0 的点都在曲线 C 上,但曲线 C 上 的点的坐标不一定都满足方程 f(x,y)=0,故 A 不正确;坐标不满足 f(x,y)=0 的点,也可能在曲线 C 上,故 B 不正确;因为满足方程 f(x,y)=0 的点都在曲线 C 上,故不在曲线 C 上的点必不满足方程 f(x,y)=0,故 C 正确,D 不正确.
1曲线方程课件求曲线方程的四种常用方法(共19张PPT)
交y 轴于点B，求线段AB的中点M的轨迹方程。
参数法—知识总结与练习
参数法求曲线方程：当由条件很难直接建立动点坐标 x, y关系时， 则可设出参数（如斜率、角度、长度等），建立动点坐标 x, y
与参数的关系式，进而设法消去参数，即得动点的轨迹方程。要
注意消参前后 x, y 的等价性。
参数法—知识总结与练习
随另一动点的运动而有规律的运动， 且点轨迹为给定或容易求得，适宜 于用相关点法。
02
直接法：如果动点运动的条件就是
一些几何量的等量关系，这些条件简 单明确，易于表达成含有的等式，就 得到轨迹方程，这种方法称为直接法。 直接法求动点轨迹方程的一般步骤： 设点、列式、代换、化简、说明。
参数法：求轨迹方程有时很难直接
①（北京卷）设 A(c,0), B(c,0)(c 0)为两定点，动点P到点A的距 离与到点B的距离之比为定值 a(a 0) ，求点P的轨迹。
②（江苏卷）已知圆 O1, O2 的半径都为1，| O1O2 | 4过两圆外的动 点P分别作圆 O1,O2 的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得 | PM | 2 | PN | 试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程。
y x1 Fra bibliotekx2y2
t1x
t12 y
0
①
以OB为直径的圆的方程为：
y x
t22 t2
y x
1
x2
y2
t2 x
t22
y
0
②
因为点C（x, y)满足①②，由①②知 t1,t2 是关于 t 的二次方程
yt 2 xt x2 y2
0
的两根，则： t1t2
x2
y
y2
又因为 t1t2
参数法—知识总结与练习
参数法求曲线方程：当由条件很难直接建立动点坐标 x, y关系时， 则可设出参数（如斜率、角度、长度等），建立动点坐标 x, y
与参数的关系式，进而设法消去参数，即得动点的轨迹方程。要
注意消参前后 x, y 的等价性。
参数法—知识总结与练习
随另一动点的运动而有规律的运动， 且点轨迹为给定或容易求得，适宜 于用相关点法。
02
直接法：如果动点运动的条件就是
一些几何量的等量关系，这些条件简 单明确，易于表达成含有的等式，就 得到轨迹方程，这种方法称为直接法。 直接法求动点轨迹方程的一般步骤： 设点、列式、代换、化简、说明。
参数法：求轨迹方程有时很难直接
①（北京卷）设 A(c,0), B(c,0)(c 0)为两定点，动点P到点A的距 离与到点B的距离之比为定值 a(a 0) ，求点P的轨迹。
②（江苏卷）已知圆 O1, O2 的半径都为1，| O1O2 | 4过两圆外的动 点P分别作圆 O1,O2 的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得 | PM | 2 | PN | 试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程。
y x1 Fra bibliotekx2y2
t1x
t12 y
0
①
以OB为直径的圆的方程为：
y x
t22 t2
y x
1
x2
y2
t2 x
t22
y
0
②
因为点C（x, y)满足①②，由①②知 t1,t2 是关于 t 的二次方程
yt 2 xt x2 y2
0
的两根，则： t1t2
x2
y
y2
又因为 t1t2
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