【电动力学课件】1-3-4 麦克斯韦方程组-介质的电磁性质

D = εE，ε = ε r ε 0 ，ε r = 1 + χ e
B = µH， µ = µ r µ 0， µ r = 1 + χ M
对于导电介质 J = σE，
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2.介质的分类：
①介质分子的正电中心和负电中心重合，没有电偶极矩。 (无极分子） ②介质分子的正负电中心不重合，有分子电偶极矩，但因 分子的无规则热运动，在物理小体积内的平均电偶极矩为 零，故没有宏观上的电偶极矩分布。（有极分子） (3)分子电流：介质分子内部电子运动可以认为构成微观电流。 无外场时，分子电流取向无规，不出现宏观电流分布。
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国际单位制中，电磁感应定律为：
dΦ d = − ∫ B ⋅ dS E =− dt dt S
感应电流表明空间中存在 着电场。电磁感应现象的 实质是变化磁场在其周围 空间中激发了电场，这是 电场和磁场内部相互作用 的一个方面。
（3.1）
B
E
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2. 磁场激发的电场强度： 感应电动势是电场强度沿闭合回路的线积分，即 E
②磁化强度M
分子电流可以用磁偶极矩描述，把分子电流看作载有电 流i的小线圈，线圈面积为a，则与分子电流相应的磁矩 为 m=ia ，介质磁化后，出现宏观磁偶极矩分布，用磁 化强度M，其定义为： ∑ mi
M= ∆V
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2.磁化电流密度与磁化强度的关系
由图可见，若分子电流被边 界线 L 链环着 , 这分子电流就 对 S 的电流有贡献。在其他 情形下,或者分子电流根本不 通过 S, 或者从 S 背面流出来 后再从前面流进,所以对IM没 贡献。因此 , 通过 S 的总磁化 电流JM 等于边界线L所链环 着的分子数目乘上每个分子 的电流i。
由图可见，当偶极子的负电荷处 于体积 l⋅dS 内时，同一偶极子的 正电荷就穿出界面dS外边。 设单位体积内分子数为n，则穿 出dS外面的正电荷为：
nql ⋅ dS = np ⋅ dS = P ⋅ dS
对包围区域V的闭合界面S积分，则由V 内通过界面S穿出去 的正电荷为： P ⋅ dS
∫
S
由于介质是电中性的，它也等于V 内净余的负电荷。即有
∫
V
ρ P dV = − ∫ P ⋅ dS
S
把面积分化为体积分，可得上式的微分形式
ρ P = −∇ ⋅ P
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③ 两介质分界面上的（面）束缚电荷的概念
如图：由公式 nql ⋅ dS = np ⋅ dS = P ⋅ dS 可知，通过薄层右 侧面进入介质2的正电荷为P2⋅dS ，由介质1通过薄层左侧进 束缚电荷面密度，有 入薄层的正电荷为P1⋅dS ，因此，薄层内出现的净余电荷为
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3. 介质的极化和磁化现象
分子是电中性的。没有外场时，介质内部的宏观电 磁场为零。有外场时，介质中的带电粒子受到场的 作用，正负电荷发生相对位移，有极分子的取向以 及分子电流的取向呈现一定的规则性，这就是介质 的极化和磁化现象。 由于极化和磁化，介质内部及表面出现宏观的电荷 电流分布，即束缚（极化）电荷和磁化电流。宏观 电荷电流反过来又激发起附加的宏观电磁场，从而 叠加外场而得到介质内的总电磁场。
由上式可知，位移电流实质上是电场的变化率， 它是麦克斯韦首先引入的。位移电流假设的正确 性由以后关于电磁波的广泛实践所证明。 关于磁场的另一规律 ∇ ⋅ B = 0 ，由于不存在自由 磁荷而仍然成立。
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三、麦克斯韦方程组
1. 麦克斯韦方程组
∇× B = µ J + µ ε ρ ∇ ⋅ E = ε ∇⋅B = 0
0
0
∂B ∇× E = − ∂t
(1)
0 0
∂E ∂t
(2) (3) (4)
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2.麦克斯韦方程组的特点和物理意义
特点：a. 它反映一般情况下电荷电流激发电磁场
以及电磁场内部运动的规律。 b. 在ρ和J为零的区域，电场和磁场通过本身 的互相激发而运动传播。
物理意义：
a. 麦氏方程组不仅揭示了电磁场的运动规律。 b. 它也揭示了电磁场可以独立于电荷与电流 之外而存在。
∇ ⋅ E = ρ / ε0
两式联立，得：
∂ ∇ ⋅ J + (ε 0∇ ⋅ E ) = 0 ∂t ∂E ∇ ⋅ (J + ε 0 )=0 ∂t
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∂E 可见，J D = ε 0 是位移电流的最佳定义，由此 ∂t
∂E ∇ × B = µ 0 ( J + J D ) = µ 0 J + µ 0ε 0 ∂t
ε 0∇ ⋅ E = ρ f + ρ P
在实际问题中,束缚电荷不易受实验条件限制,我们 可以将其消去,得：
∇ ⋅ (ε 0 E + P ) = ρ f
引入电位移矢量D，定义为 D = ε 0 E + P ∇ ⋅ D = ρf 可以得
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② D和E之间的实验关系 对于一般各向同性线性介质，极化强度和电场 之间有简单的线性关系
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4.介质和磁场的相互作用 ①介质与磁场是相互作用、相互制约的。介质对磁 场的作用是通过诱导电流JP+JM激发磁场。因此， 麦氏方程中的 J 包括自由电流密度 Jf 和介质内的 诱导电流密度JP+JM在内，则在介质中的麦氏方 程为 1 ∂E ∇ × B = Jf + JM + JP + ε0 µ0 ∂t 利用 J M = ∇ × M
J P = ∂P / ∂t D = ε 0 E + P 得
B ∂D ∇× − M µ = J f + ∂t 0
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引入磁场强度H，定义为
∂D ∇ × H = Jf + ∂t ② B和H之间的实验关系
H=
B
µ0
−M
改写上式为
实验指出，对于各向同性非铁磁物质，磁化强度 M和H之间有简单的线性关系
看出，感应电场是有旋场。 感应电场是由变化着的磁场激发的窝旋状的场，所 以场线是闭合的，即所谓的横场。 由于场线闭合，所以 ∇ ⋅ E感 = 0 , 由此, 我们得到 ∂B ∇× E = ∇× （E 静 + E 感） =− ∂t
∇ ⋅ E = ∇ ⋅ ( E 静 + E 感）= ρ / ε 0
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二、变化电场激发磁场
第三节 麦克斯韦方程组 Maxwell’s equations
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实验发现 : 电荷激发电场 , 电流激发磁场 , 而且变化 着的电场和磁场可以互相激发,电场和磁场成为统 一的整体——电磁场。 与恒定场相比，变化电磁场的新规律主要是： （1）变化磁场激发电场； （法拉第电磁感应定律） （2）变化电场激发磁场。 （麦克斯韦位移电流假设）
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图示边界线 L 上的一个线元 dl 。设 分子电流圈的面积为a.由图可见， 若分子中心位于体积为a⋅dl 的柱体 内，则该分子电流就被dl所穿过。 因此，若单位体积分子数为n，则 为 被边界线L链环着的分子电流数目
∫ na ⋅ dl
L
此数目乘上每个分子的电流 i 即得 从S背面流向前面的总磁化电流
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二、介质的极化
1.介质的极化
① 电极化强度矢量P ：在外场作用下，电介质内部出现 宏观电偶极矩分布，用电极化强度矢量P描述。 ∑ pi P= ∆V ②束缚电荷体密度ρp和电极化强度P之间的关系 如右图：我们用简化模型 来描述介质中的分子。设 每个分子由相距为l 的一 对正负电荷±q 构成。
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四、洛伦兹力公式
麦氏方程组反映了电荷电流激发场以及场内部运 动的规律，而场对电荷体系的作用，则由洛伦兹 公式给出。
f = ρE + J × B = ρ ( E + v × B )
对于带电粒子系统来说 , 若粒子电荷为e , 速度为v , J等于单位体积内 ev 之和。把电磁作用力公式用到 一个粒子上，得到一个带电粒子受到磁场的作用力
F = eE + ev × B
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第四节 介质的电磁性质
Electromagnetic Property in Medium
☻ 关于介质的概念 ☻ 介质的极化 ☻ 介质的磁化 ☻ 介质的麦克斯韦方程组
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一、介质的概念
1.概念：
介质由分子组成。从电磁学观点看来，介质是一个带电粒 子系统，其内部存在着不规则而又迅速变化的微观电磁场。
I M = ∫ Biblioteka Baiduia ⋅ dl = ∫ nm ⋅ dl = ∫ M ⋅ dl
L L L
以JM表示磁化电流密度，有
∫J
S
M
⋅ dS = ∫ M ⋅ dl
L
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3.极化电流JP
把线积分变为∇×M的面积分，由S的任意性可得微 分形式 J M = ∇ × M ① 定义： 当电场变化时，介质的极化强度P发生变 化，这种变化产生另一种电流 , 称为极化 电流。 ② 由 P = ∑ ei xi 可得极化电流密度的表示式 ∆V ∂P ∂ ∑ ei xi ∑ ei vi = = JP = ∆V ∂t ∂t ∆V xi是V内每个带电粒子的位置矢量，其电荷为ei 。
(P1 −P2)⋅dS ，以σP表示
σ P dS = ( P1 − P2 ) ⋅ dS
= ( P1 − P2 ) ⋅ ndS
由此， σ P = n ⋅ ( P1 − P2 ) n为分界面上由介质1指向介质2的法线。
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2.介质与场的相互作用
①介质与场的作用是相互的.介质对宏观场的作用就 是通过束缚电荷激发电场.因此,在麦氏方程中的电 荷密度包括自由电荷密度和束缚电荷密度,故有
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一、变化磁场激发电场
1.电磁感应定律 1831年法拉第发现当磁场发生变化时,附近闭合线 圈中有电流通过,并由此总结出电磁感应定律: ① 感应电动势的大小： 闭合线圈中的感应电动势与通过该线圈内部的 磁通量变化率成正比。
dΦ E ∝ dt
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②感应电动势的方向： 如图: L为闭合线，S为 L所围的一个曲面， dS为S上的一个面元。 我们规定：L的围绕 方向与 dS 的法线方向 成右手螺旋关系。 实验结果：当通过S的磁通量增加时，在线圈L上 的感应电动势与我们规定的 L 的围绕方向相反， 因此用负号表示。
= ∫ E 感 ⋅ dl
L
因此电磁感应定律可写为
d ∫L E感 ⋅ dl = − dt ∫SB ⋅ dS
若回路L是空间中的一条固定回路，则上式中的 对t的全微商可代为偏微商：
∂B ∫L E感 ⋅ dl = −∫S ∂t ⋅ dS
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化为微分形式后可得：
∂B ∇ × E感 = − ∂t ——这是磁场对电场作用的基本规律。由上式可以
∇ × B( x ) = µ0 J
两边取散度，左边
∇ ⋅ (∇ × B ) ≡ 0
因此只有当 ∇ ⋅ J = 0 时等式才能成立。 但是，在非恒定电流情形下，一般有 ∇⋅J ≠ 0 所以，方程 ∇ × B ( x ) = µ 0 J 只适用于恒定电流 激发的磁场。
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2.位移电流的引入
把上述情况推广的一个方案是假设存在一个称 为位移电流的物理量JD，它和电流J合起来构成 闭合的量，即
M = χM H
χM称为磁化率。 由此可得： B = µ 0 H + µ 0 M = µ（ 0 1 + χ M ) H = µ 0 µ r H = µH µ称为磁导率， µr为相对磁导率。
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四、介质中的麦克斯韦方程组
∂B ∇ × E = − ∂t ∇ × H = J + ∂D f t ∂ ∇ ⋅ D = ρ f ∇ ⋅ B = 0
∇ ⋅ (J + J D ) = 0
并假设位移电流 JD与电流 J 一样产生磁效应，即 把（2.11)式修改为
∇ × B( x ) = µ0 (J + J D )
此式两边的散度都等于零，因而理论上就不再有 矛盾。
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根据上述假定可找到定义JD的方法。 由电荷守恒定律
∂ρ ∇⋅J + =0 ∂t
以及电荷密度与电场散度的关系式
1. ∇ × B ( x ) = µ 0 J 的适用条件： 在第二节中我们指出，恒定电流线是闭合的，但 在交变情况下，电流分布由电荷守恒定律制约。 一般说来，在非恒定情况下，电荷分布随时间变 化，由电荷守恒定律有：
∂ρ ∇⋅J = − ≠0 ∂t
所以，电流线一般不再是闭合的。
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现在我们考察电流激发的磁场所满足的方程：
P = χ eε 0 E χ e 称为介质的极化率。 于是
D = ε 0 E + P = ε 0 (1 + χ e ) E = ε r ε 0 E = εE，
ε = ε rε 0 ， ε r = 1 + χe
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三、介质的磁化
1.磁化电流密度与磁化强度的引入 ①宏观磁化电流密度JM
在没有外场时，介质不出现宏观电流分布，在外场作用 下，分子电流出现有规则分布，形成了宏观电流密度JM