数值分析函数逼近1

b
定义 设f ( x ), g( x ) ∈ C [a , b], bρ ( x ) 是[a, b]上的权函数，积分
( f , g) =
∫
a
ρ ( x ) f ( x ) g ( x )dx源自文库
称为函数 f ( x )与g ( x )在[a, b]上的内积。
1） ( cf ,∈ g) C =c g] ), c 为常数 f( x) [(af,, b ，量 定义2） , g) + ( f2 , g) 3） ( f1 + f 2 , g ) = ( f1b 2 =0 f, f) f 4） ( f , ff ) ≥ 0 ，当且仅当 时 (= = ρ ( x ) f ( x )dx ( =f 0, f ) ∫ 2
k =0
a ≤ x ≤ b.
这与 ϕ 0 ( x ), ϕ 1 ( x ), Lϕ n −1 ( x ) 在[ a , b ] 上线性无关矛盾。
⇐
若函数系 { ϕ i } ( i = 0 , 1 , L , n − 1 ). 线性相关，则由
a 0 , a 1 ,L a n−1 .
定义可知有不全为0的数值
(sin kx , sin kx ) = ∫ sin kxdx = π , (cos kx , cos kx ) = ∫ cos 2 kxdx = π −π −π ( k = 1, 2, L) 而对 j ≠ k 时
π
∫ πcos kx cos jxdx = 0, ∫ π sin kx sin jxds = 0, ∫ πcos kx sin jxdx = 0
∑
k
n−1
k=0
β kϕ k ( x )
j = 0 ,1 , L , n − 1 .
∑β
k=0
n−1
(ϕ k , ϕ j ) = 0 ,
因而 有
(ψ ,ψ ) = ∑ β j (ψ , ϕ j ) = 0.
j=0 n −1
β j 不全为 0
⇒
ψ ( x ) ≡ 0,
§1 Inner n product space −1 ψ （ x） = ∑ β kϕ k ( x )
s ( x )∈ H n
f ( x ) − s * ( x ) 2 = ∫ [ f ( x ) − s * ( x )]2 dx = min f ( x ) − s( x )
a s ( x )∈ H n
2 2
n 次多项式 s( x ) = ∑ ak x k,
k =0
n
以 1, x ,L, x 为基函数所作的线性
2 0 ≤ ( f + λg , f + λ g ) = ( f , f ) + 2 λ ( f , g ) + λ ( g, g) 2 2 2 2 ≤ f + 2 | ( f , g ) | + g ≤ f + 2 f g + g ( f , g ) ( f , f ) +，代入上式得 2(2 f , g ) + ( g , g ) +2 ( f , f ) 2 − 2( f ,2 g ) + 2 ( g , g2) =− 现取 λ = 2 g 2 2 2 = ( f 2 +2 g 2| ) ( f , g ) 两边开方则得（2）. |2 | ( f ,2g ) |2
即有
∑ (ϕ
j =0
n
j
, ϕ k )a j = ( f , ϕ k ), ( k = 0, 1,L , n)
a
满足内积定义的函数空间称为内积空间。因此，连续 四条公理： C [a , b ] 函数空间 上定义了内积就形成一个内积空间。 ( f , g ) = ( g, f )
称为 f ( x ) 的欧氏范数。
定理
§1 Inner product space
对任何 f , g ∈ C [a , b] ，下列结论成立
b a k =0 n
k =0
的最小值问题。
) 为了确定参数 ak ( k = 0, 1, L , n，由多元函数极值存在的必
要条件，有
∂I = 0 ∂ak ( k = 0 , 1,L , n )
§2 Least_Squares Approximation
b ⎡ n ⎤ ∂I = 2 ∫ ρ ( x ) ⎢ ∑ a j ϕ j ( x ) − f ( x ) ⎥ ϕ k ( x ) dx = 0 a ∂a k ⎣ j=0 ⎦ ( k = 0, 1, L , n)
( f , g ) = ∫ ρ ( x ) f ( x ) g ( x )dx = 0
a b
则称f与g在[a, b]上带权 ρ ( x ) 正交，若函数族
j≠k ⎧ 0, (ϕ j , ϕ k ) = ∫ ρ ( x )ϕ j ( x )ϕ k ( x )dx = ⎨ a ⎩ Ak > 0, j = k 就称 {ϕ k }是[a, b]上带权 ρ ( x )的正交函数族；若 Ak ≡ 1 ，就称之为
第三章 函数逼近
/* Approximation Theory */
逼近误差的度量常用标准有：
¾ ¾
f ( x ) − y( x ) ∞ = max f ( x ) − y( x )
a≤ x≤b
太复杂/
一致逼近
2 b a
/* minimax Approximation */
f ( x ) − y( x ) 2 = ∫ ρ ( x )[ f ( x ) − y( x )]2 dx
证（反证法）
⇒ 假设 Gn−1 = 0. 则齐次线性方程组
∑
有非零解( β
n−1
k=0
0
β k (ϕ k , ϕ j ) = 0 ,
, β
1
j = 0 ,1 , L n − 1 .
,L β
n −1
) T其中
β 0 , β 1 , L β n − 1 不全为零
令 ψ （ x ）= 则有（ ψ , ϕ ） j =
n
n
组合构成的一类函数。进一步推广可将 x k 改为一般的线性无关的 连续函数ϕ k ( x ) . 以 ϕ 0 , ϕ 1 ,L , ϕ n 为线性组合 s( x ) = ∑ akϕ k ( x )的全体构 k =0 成 C[a , b] 的子空间 Φ ，即 Φ = span{ϕ 0 , ϕ 1 ,L, ϕ n }。
当且仅当 a0 = a1 = L = a n−1 = 0 时成立，则称在[a, b]上是线性无 关的，若函数族 {ϕ k }( k = 0, 1,L) 中的任何有限个ϕ k 线性无关， 则称{ ϕ k }为线性无关函数族。 例如：1, x ,L , x n ,L 就是[a, b]上线性无关函数族， 若 ϕ 0 ( x ),L , ϕ n−1 ( x )是 C [a , b]中的线性无关函数，且 a0 , a1 ,L , an−1 是任意实数，则
/* Least_Squares Approximation */
平方逼近
§1 内积空间
/* Inner product space */
a, b)上非负函数ρ(x)，满足条件： 定义 设在区间( b 2）对非负的连续函数 g(x) ，若 ∫ a g( x ) ρ ( x )dx = 0 。 则在(a, b)上 g ( x ) ≡ 0 , ρ( x) 就称为区间(a, b)上的权函数。 1） ∫ a | x |n ρ ( x )dx 存在(n=0,1,…)，
= 0
这与 G n − 1
≠ 0
矛盾。
Approximation */ §2 函数的最佳平方逼近 /* Least_Squares n
设函数 f ( x ) ∈ C [a , b] ，用 n 次多项式s( x ) = ∑ a k x k 作最佳
* 0
平方逼近，就是要求得以 a , a , L , a 为系数的多项式 使
(ϕ0 , ϕ0 ) (ϕ1 , ϕ0 ) LL (ϕ0 , ϕ1 ) L (ϕ0 , ϕn−1 ) (ϕ1 , ϕ1 ) L (ϕ1 , ϕn−1 ) L
它的克莱姆（Gramer）行列式 Gn−1 ≠ 0 ，其中
Gn−1 = G(ϕ0 ϕ1 ,L, ϕn−1 ) =
(ϕn−1 ,ϕ0 ) (ϕn−1 , ϕ1 ) L (ϕn−1 , ϕn−1 )
§2 Least_Squares Approximation
* ( k = 0, 1, L , n)使 最佳平方逼近的提法可叙述为：求 a k
n 2
* f ( x ) − s * ( x ) 2 = f ( x ) − ∑ ak ϕ k ( x ) = min f ( x ) − s( x ) 2 2 2
* s * ( x ) = a ] 称 ∑ kϕ k ( x )为 f ( x ) ∈ C [a , b]在子集 Φ ⊂ C [a , b中的最佳平
n
k =0
2
s ( s )∈Φ
方逼近函数，为了求得 s * ( x ) ，这个问题等价于关于 a0 , a1 ,L , an 的多元函数
I ( a0 , a1 , L , a n ) = ∫ ρ ( x )[ f ( x ) − ∑ a kϕ k ( x )]2 dx
b
满足关系
ϕ 0 ( x ), ϕ 1 ( x ), L , ϕ n ( x ),L
标准正交函数族。 例如 三角函数族 1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , L , 就是在区间 [ −π , π ] 上的正交函数族，因为 ( 1 , 1 ) =
π
2
∫
π
−π
1 2 dx = 2π
− − −
π
π
π
§1 Inner product space
定义 线 性 无 关 /*
linearly independent */ 函 数 族 {
ϕ0(x),
ϕ1(x), … , ϕn(x), … } 满足条件：其中任意函数的线性组合
a 0ϕ 0 ( x ) + a 1ϕ 1 ( x ) + L + a n − 1ϕ n − 1 ( x ) = 0 对任意 x∈[a, b]成立
2
2
2
− = 2[( f , f ) + ( gf, g )]2= 2( f 2 2 g
2
2 2
2
+ + g
g
22
2
)
≥0
证毕。
即 | ( f , g ) |2 ≤ f
g
2 2
两边开平方即得(1).
§1 Inner product space
定义
若 f ( x ), g ( x ) ∈ C [a , b] ，满足
2
* k s * ( x ) = ∑ ak x k =0
b
n
* 1
* n
k =0
推广到一般的情况，就是对于给定的权函数 ρ ( x )，要求得 * ak ( k = 0, 1, L , n) 使 b 2 2 2 f ( x ) − s * ( x ) 2 = ∫ ρ ( x )[ f ( x ) − s * ( x )] dx = min f ( x ) − s( x ) 2 a
使得
∑
方程组
n−1 i=0
a iϕ
i
= 0.
于是将此式两边乘以 ρϕ 0 , ρϕ 1 , L , ρϕ n − 1 . 之后再积分，便得到
∑
n−1 i=0
a i ( ϕ i , ϕ j ) = 0 . ( j = 0 ,1 , L n − 1 ).
既然上面的齐次方程 组有非0解( a 0 , a 1 , L a n − 1 ). 故其系数 行列式的值一定为0; 亦即 G n − 1
（1） | ( f , g ) |≤ f 2 g 2 此式称为柯西—许瓦兹（Cauchy-Schwarz）不等式 （2） f + g 2 ≤ f 2＋ g 2 （三角不等式） （3）
f +g 2+ f −g
2 2 2
= 2( f
2
+ g 2 )（平行四边形定律） 2
2
平行四边形定律可直接计算得 证明 利用（1）考虑 若 g = 0，则柯西—许瓦兹（Cauchy-Schwarz）不等式 2 2 2 g ≠ 0 显然成立，现考虑 ，有 f + g f+ +，对任何实数 f) ,+ f () f +− 2(gf,λ ,fg )+ f +g + f= − (gf + =g (, f gg , )f=+( g − g( ) g, g)
s( x ) = a0ϕ 0 ( x ) + a1ϕ 1 ( x ) + L + a n −1ϕ n −1 ( x )
的全体是C [a , b] 中的一个子集，记作
Φ = span {ϕ 0 , ϕ 1 , L , ϕ n − 1 }
§1 Inner product space
ϕ
k
判断函数族{ ϕ k } ( k = 0, 1, L , n − 1) 线性无关的充要条件 定理 ϕ 0 ( x ), ϕ 1 ( x ),L , ϕ n−1 ( x )在[a, b]上线性无关的充要条件是