高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程课堂导学案

2.3.1 双曲线及其标准方程

课堂导学

三点剖析

一、双曲线的定义

【例1】 已知双曲线的两个焦点F 1、F 2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的方程.

解：若以线段F 1F 2所在的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系,则双曲线的方程为标准形式. 由题意得2a=24,2c=26. ∴a=12,c=13， b 2=132-122

=25.

当双曲线的焦点在x 轴上时，双曲线的方程为25

1442

2y x -=1. 若以线段F 1F 2所在直线为y 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴，建立直角坐标系，则双曲线

的方程为25

1442

2x y +=1. 温馨提示

求轨迹方程时，如果没有直角坐标系，应先建立适当的直角坐标系.求双曲线的标准方

程就是求a 2、b 2

的值，同时还要确定焦点所在的坐标轴.双曲线所在的坐标轴，不像椭圆那

样看x 2、y 2的分母的大小，而是看x 2、y 2

的系数的正、负. 二、求双曲线的标准方程

【例2】 求满足下列条件的双曲线的标准方程. （1）经过点A （1，

3

10

4），且a=4; (2)经过点A （2，

3

3

2）、B （3，-22）. 解析:（1）若所求双曲线方程为

22

22b y a x -=1（a ＞0，b ＞0）， 则将a=4代入，得2

2

216b y x -=1， 又点A （1，

3

10

4）在双曲线上， ∴

29160

161b

-=1， 解得b 2

＜0，不合题意，舍去.

若所求双曲线方程为2222b

x a y -=1（a ＞0，b ＞0），同上，解得b 2

=9，

∴双曲线的方程为

9

162

2x y -=1. （2）设双曲线方程为mx 2

+ny 2

=1（mn ＜0）， ∵点A （2，

3

3

2）、B （3，22-）在双曲线上， ∴⎪⎩⎪⎨⎧

=+=+.

189,1344n m m . 解之，得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

-==.41,3

1n m .

∴所求双曲线的方程为14

32

2=-y x . 三、确定方程表示的曲线类型 【例3】 已知方程kx 2+y 2

=4，其中k 为实数，对于不同范围的k 值分别指出方程所表示的曲线类型. 解：（1）当k=0时，y=±2，表示两条与x 轴平行的直线.

（2）当k=1时，方程为x 2+y 2

=4，表示圆心在原点，半径为2的圆.

（3）当k ＜0时，方程为k

x x y ---442

22=1，表示焦点在y 轴上的双曲线.

（4）当0＜k ＜1时，方程为442

2y k x +=1，表示焦点在x 轴上的椭圆. （5）当k ＞1时，方程为442

2y k

x +=1，表示焦点在y 轴上的椭圆. 温馨提示

本题是判定方程所表示的曲线类型题目.对参数k 讨论时，首先要找好讨论的分界点，除了区别曲线类型外，同一类曲线还要区别焦点在x 轴和y 轴的情况.

各个击破

类题演练 1

(2006辽宁高考，9) 已知点F 1(-2,0)、F 2(2,0)，动点P 满足|PF 2|-|PF 1|=2.当点P 的

纵坐标是

2

1

时，点P 到坐标原点的距离是（ ） A.

2

6

B.23

C.3

D.2

答案：A

变式提升 1

在△MNG 中，已知NG=4.当动点M 满足条件sinG-sinN=

2

1

sinM 时，求动点M 的轨迹方程. 解析：如右图所示，以NG 所在的直线为x 轴，以线段NG 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系

.

∵sinG -sinN=

2

1

sinM ， ∴由正弦定理，得|MN|-|MG|=

2

1

×4. ∴由双曲线的定义知，点M 的轨迹是以N 、G 为焦点的双曲线的右支（除去与x 轴的交点）. ∴2c=4,2a=2,即c=2,a=1. ∴b 2=c 2-a 2

=3.

∴动点M 的轨迹方程为x 2

-3

2

y =1(x ＞0，且y≠0). 类题演练 2

双曲线22

22b

y a x -=1(a>0,b>0)与直线x=6的一个交点到两焦点的距离分别是30和20,求该双

曲线的方程.

解:将x=6代入双曲线方程,得226a -22

b

y =1,

则y=±

a

b 226a -,

设一个交点P 的坐标为(6,

a

b

226a -), 则由题意,得⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨⎧+==-++-=2222

2

2222,30)6()6(,20302b a c a a b c a ,

解之得a=5,b 2

=

36

589

25⨯. 故所求的双曲线方程为36

589

25252

2⨯=y x =1. 变式提升 2

在面积为1的△PMN 中，tan∠PMN=

2

1

,tan∠MNP=2,建立适当坐标系，求以M 、N 为焦点且过点P 的双曲线方程.

解:以MN 所在直线为x 轴，MN 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，

设P （x 0,y 0)、M(-c,0)、N(c,0)(y 0＞0,c ＞0),（如右图）

则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∙∙=-=+.122

1

,2,

21000

00

y c c x y c x y 解得⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎪

⎪⎨⎧=

==23,332,63

500c y x . 设双曲线方程为22

a x 224

3a y -==1（y ＞0）,

将点P （

635，6

32）代入，可得a 2

=125.

∴所求双曲线方程为3

11252

2y x -=1（y ＞0）. 类题演练 3