课时分层作业50匀速圆周运动的数学模型函数y=Asin(ωx+φ)的图象

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函数y=Asin(ωx+φ)图像变换优质课课件

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振动控制
在振动控制领域,函数y=asin(ωx+φ)可以用于设计振动控制器。通过调整控制器的参数, 可以实现振动的有效抑制或放大,提高机械设备的稳定性和可靠性。
振动信号处理
在振动信号处理中,函数y=asin(ωx+φ)可以用于信号的调制和解调。通过对信号进行变换, 可以实现信号的增强、降噪和特征提取,为故障诊断和状态监测提供依据。
控制系统稳定性分析
利用函数y=asin(ωx+φ)可以分析控制系统的稳定性。通过分析系统的极点和零点分布,可以判断系统的稳定性和动态性 能,为控制系统校正和优化提供指导。
控制系统校正与优化
在控制系统设计中,函数y=asin(ωx+φ)可以用于控制系统校正与优化。通过调整控制器的参数,可以提 高系统的性能指标,如响应速度、超调和稳态误差等,使系统更好地适应实际应用需求。
ω<0的周期变换
无界周期
当ω<0时,函数y=asin(ωx+φ)的周 期是无界的,这意味着函数在x轴上的 移动是无限循环的。
波形变化
随着ω的减小,函数的波形会变得更加 平缓或尖锐,这取决于绝对值的大小。
04 振幅变换
A>1的振幅变换
总结词
当振幅系数A大于1时,函数y=asin(ωx+φ)的图像将呈现放大 的效果。
φ=0的相位变换
总结词
当相位φ等于0时,函数图像不发生平移。
详细描述
当相位φ的值等于0时,函数y=asin(ωx+φ)就变成了标准正弦函数y=asin(ωx),图 像没有发生平移。这是因为此时函数的周期性没有改变,所以图像在x轴方向上没有 移动。
03 周期变换
ω>1的周期变换
周期缩短

匀速圆周运动的数学模型 5.6.2 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(1) Word版含解析

匀速圆周运动的数学模型 5.6.2 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(1) Word版含解析

一、复习巩固1.将函数y =sin ⎝⎛⎭⎫x -π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移π3个单位,得到的图象对应的解析式是( )A .y =sin 12xB .y =sin ⎝⎛⎭⎫12x -π2 C .y =sin ⎝⎛⎭⎫12x -π6D .y =sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6 解析:y =sin ⎝⎛⎭⎫x -π3――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变 y =sin ⎝⎛⎭⎫12x -π3――→向左平移个单位长度y =sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x +π3-π3=sin ⎝⎛⎭⎫12x -π6. 答案:C2.要得到函数y =cos ⎝⎛⎭⎫x +π3的图象,只需将函数y =sin x 的图象( ) A .向左平移π6个单位长度B .向右平移π6个单位长度C .向左平移5π6个单位长度D .向右平移5π6个单位长度解析:y =cos ⎝⎛⎭⎫x +π3=cos ⎝⎛⎭⎫x -π2+56π且y =sin x =cos ⎝⎛⎭⎫x -π2,故选C. 答案:C3.要得到函数y =cos 2x 的图象,只需将y =cos ⎝⎛⎭⎫2x +π4的图象( ) A .向左平移π8个单位长度B .向右平移π8个单位长度C .向左平移π4个单位长度D .向右平移π4个单位长度解析:设y =cos 2x 的图象平移φ个单位长度,得到y =cos 2(x +φ)=cos(2x +2φ)的图象,令φ=π8,即可得到y =cos ⎝⎛⎭⎫2x +π4,故y =cos 2x 的图象向左平移φ=π8个单位长度得到y =cos ⎝⎛⎭⎫2x +π4的图象,因此,要得到函数y =cos 2x 的图象,只需将y =cos ⎝⎛⎭⎫2x +π4的图象向右平移π8个单位长度. 答案:B4.把函数f (x )=sin 2x +1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g (x )的图象,则g (x )的最小正周期为( )A .2πB .π C.π2D.π4解析:由题意知g (x )=sin(2×12x )+1=sin x +1.故T =2π.答案:A5.函数y =cos x 图象上各点的纵坐标不变,把横坐标变为原来的2倍,得到的解析式为y =cos ωx ,则ω=( )A .2 B.12 C .4D.14解析:将y =cos x 图象上各点横坐标变为原来的2倍,得到函数y =cos 12x ,故ω=12.答案:B6.将函数y =sin(2x +φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位长度后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4 C .0D .-π4解析:将函数y =sin(2x +φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位长度,得到函数y =sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x +π8+φ=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4+φ,因为此时函数为偶函数,所以π4+φ=π2+k π,k ∈Z ,即φ=π4+k π,k ∈Z ,验证知选B.答案:B7.函数f (x )=cos(ωx +φ)的部分图象如图所示,则f (x )的单调递减区间为( )A .(k π-14,k π+34)k ∈ZB .(2k π-14,2k π+34),k ∈ZC .(k -14,k +34),k ∈ZD .(2k -14,2k +34),k ∈Z解析:由五点作图知,⎩⎨⎧14ω+φ=π254ω+φ=3π2,解得ω=π,φ=π4,所以f (x )=cos(πx +π4),令2k π<πx +π4<2k π+π,k ∈Z ,解得2k -14<x <2k +34,k ∈Z ,故单调减区间为(2k -14,2k +34),k ∈Z ,故选D.答案:D8.将函数y =sin(-2x )的图象向右平移π3个单位长度,所得函数图象的解析式为________.解析:将y =sin(-2x )的图象向右平移π3个单位长度,得函数y =sin[-2(x -π3)]=sin(-2x+23π)的图象. 答案:y =sin(-2x +23π)9.把函数y =cos ⎝⎛⎭⎫x +4π3的图象向右平移φ个单位长度,所得到的图象正好关于y 轴对称,则φ的最小正值是________.解析:将y =cos ⎝⎛⎭⎫x +4π3的图象向右平移φ个单位长度,得y =cos ⎝⎛⎭⎫x -φ+4π3的图象, ∵y =cos ⎝⎛⎭⎫x -φ+4π3的图象关于y 轴对称, ∴cos ⎝⎛⎭⎫0-φ+4π3=±1.∴φ-4π3=k π,k ∈Z .当k =-1时,φ取得最小正值π3.答案:π310.说明y =-2sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6+1的图象是由y =sin x 的图象经过怎样变换得到的. 解析:y =sin x 的图象――→各点的纵坐标伸长到原来的2倍且关于x 轴作对称变换y =-2sin x 的图象――→各点的横坐标缩短到原来的12y =-2sin 2x 的图象――→向右平移个单位长度y =-2sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6的图象――→向上平移1个单位长度 y =-2sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6+1的图象. 二、综合应用11.设ω>0,函数y =sin(ωx +π3)+2的图象向右平移4π3个单位长度后与原图象重合,则ω的最小值是( )A.23 B.43 C.32D .3解析:y =sin(ωx +π3)+2――→向右平移个单位长度y 1=sin[ω(x -4π3)+π3]+2=sin(ωx +π3-4π3ω)+2.∵y 与y 1的图象重合,∴-4π3ω=2k π(k ∈Z ),∴ω=-32k .又∵ω>0,k ∈Z ,∴k =-1时,ω取最小值为32.答案:C12.将函数y =3sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3的图象向右平移π2个单位长度,所得图象对应的函数( ) A .在区间⎣⎡⎦⎤π12,7π12上单调递减B .在区间⎣⎡⎦⎤π12,7π12上单调递增 C .在区间⎣⎡⎦⎤-π6,π3上单调递减 D .在区间⎣⎡⎦⎤-π6,π3上单调递增 解析:平移后的函数为y =3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x -π2+π3= 3sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3-π=3sin ⎝⎛⎭⎫2x -23π,增区间:-π2+2k π≤2x -23π≤π2+2k π,k ∈Z ,即π12+k π≤x ≤712π+k π,k ∈Z ,当k =0时,π12≤x ≤712π,故选B.答案:B13.将函数y =f (x )图象上每个点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的2倍,然后再将整个图象沿x 轴向左平移π2个单位长度,得到的曲线与y =12sin x 的图象相同,则y =f (x )的函数表达式为________.解析:根据题意,y =12sin x 的图象沿x 轴向右平移π2个单位长度后得到y =12sin (x -π2),再将此函数图象上点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的12倍,得到y =12sin(2x -π2),此即y =f (x )的解析式.答案:y =12sin(2x -π2)14.给出下列图象变换方法:①图象上所有点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变;②图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变; ③图象向右平移π3个单位长度;④图象向左平移π3个单位长度;⑤图象向右平移2π3个单位长度;⑥图象向左平移2π3个单位长度.请用上述变换中的两种变换,将函数y =sin x 的图象变换为函数y =sin ⎝⎛⎭⎫x 2+π3的图象,那么这两种变换的序号依次是________(填上一种你认为正确的答案即可).解析:可以先平移,再伸缩,故可将y =sin x 的图象向左平移π3个单位长度,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,故变换序号为④②.也可先伸缩再平移,即先将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再将图象向左平移2π3个单位长度,故变换序号为②⑥.答案:④②或②⑥15.已知函数f (x )=3sin(2x +φ)⎝⎛⎭⎫φ∈⎝⎛⎭⎫0,π2,其图象向左平移π6个单位长度后,关于y 轴对称.(1)求函数f (x )的解析式;(2)说明其图象是由y =sin x 的图象经过怎样的变换得到的.解析:(1)将函数f (x )=3sin(2x +φ)图象上的所有点向左平移π6个单位长度后,所得图象的函数解析式为y =3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x +π6+φ=3sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3+φ. 因为图象平移后关于y 轴对称, 所以2×0+π3+φ=k π+π2(k ∈Z ),所以φ=k π+π6(k ∈Z ).因为φ∈⎝⎛⎭⎫0,π2,所以φ=π6. 所以f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6. (2)将函数y =sin x 的图象上的所有点向左平移π6个单位长度,所得图象的函数解析式为y=sin ⎝⎛⎭⎫x +π6,再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变),得函数y =sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6的图象,再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),即得函数y =3sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6的图象. 16.将函数y =lg x 的图象向左平移一个单位长度, 可得函数f (x )的图象;将函数y =cos(2x -π6)的图象向左平移π12个单位长度,可得函数g (x )的图象. (1)在同一直角坐标系中画出函数f (x )和g (x )的图象; (2)判断方程f (x )=g (x )解的个数.解析:函数y =lg x 的图象向左平移一个单位长度,可得函数f (x )=lg(x +1)的图象,即图象C 1;函数y =cos(2x -π6)的图象向左平移π12个单位长度,可得函数g (x )=cos[2(x +π12)-π6]=cos 2x 的图象,即图象C 2.(1)画出图象C 1和C 2的图象如图(2)由图象可知:两个图象共有5个交点. 即方程f (x )=g (x )解的个数为5.。

人教A版必修第一册5-6-2 匀速圆周运动的数学模型 函数y=Asin(ωx+ )的图象 课件

人教A版必修第一册5-6-2 匀速圆周运动的数学模型 函数y=Asin(ωx+ )的图象 课件

则函数 g(x)的图象的对称轴为 x= + ,k∈Z,



令 k=-1,可得 g(x)图象的一条对称轴可以是 x=-.故选 C.
类型二
伸缩变换


[例 2] 将函数 f(x)=sin(2x-)的图象向左平移个单位长度,再将图象上各点

横坐标压缩到原来的,则所得到的图象的解析式为(

得到 y=sin(4x+)的图象.故选 B.
方法总结
将 函 数 y=Asin( ω x+ )(A>0, ω >0)的 图 象上 各 点 横 坐标缩 短 到 原 来 的
k(0<k<1) 倍 ,纵坐标 不变 ,得 到 y=Asin(


+ )(横坐标 伸长类似 ).即 将
y=sin(x+ )图象上所有点的横坐标伸缩ω后得到的是函数 y=sin(ωx+ )
一般地,函数 y=AsinFra bibliotekωx+ )的图象,可以看作是把 y=sin(ωx+ )图象上
所有点的纵坐标 伸长 (当 A>1 时)或 缩短 (当 0<A<1 时)到原来的 A 倍
(横坐标不变)而得到.如图所示.
3.由函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ωx+ )的图象
一般地,函数 y=Asin(ωx+ )(A>0,ω>0)的图象,可以用下面的方法得到:先

一般地,函数 y=sin(ωx+ )的周期是 ,把 y=sin(x+ )图象上所有点的

横坐标 缩短 (当ω>1 时)或 伸长 (当 0<ω<1 时)到原来的 倍(纵坐

5.6第1课时 匀速圆周运动的数学模型及函数y=Asin(ωx+φ)的图象-【新教材】人教A版(2019)

5.6第1课时  匀速圆周运动的数学模型及函数y=Asin(ωx+φ)的图象-【新教材】人教A版(2019)

第1课时匀速圆周运动的数学模型及函数y=Asin(ωx+φ)的图象分层演练综合提升A级基础巩固1.函数y=3sin 3x的图象可看成是由y=sin x的图象按下列哪种变换得到()A.横坐标不变,纵坐标变为原来的13,纵坐标变为原来的3倍B.横坐标变为原来的13C.横坐标不变,纵坐标变为原来的3倍D.横坐标变为原来的3倍,纵坐标变为原来的13答案:B的图象,只需将函数y=sin x的图象2.为得到函数y=cos x-π3()个单位长度A.向左平移π6个单位长度B.向右平移π6个单位长度C.向左平移5π6个单位长度D.向右平移5π6答案:A3.把函数y=sin2x-π4的图象向右平移π8个单位长度,所得图象对应的函数是()A.非奇非偶函数B.既是奇函数又是偶函数C.奇函数D.偶函数答案:D4.函数y=12sin2x-π4的图象可以看成是把函数y=12sin 2x的图象向右平移π8个单位长度得到的.5.已知函数f(x)的图象上的每一点的纵坐标保持不变,首先将横坐标扩大到原来的2倍,然后把所得的图象沿x轴向左平移π2个单位长度,这样得到的图象与y=12sin x的图象相同,求f(x)的解析式.解:y=12sin x的图象y=12sin(x-π2)的图象y=12sin(2x-π2)的图象,即f(x)的解析式为f(x)=1 2sin(2x-π2).B级能力提升6.用“五点法”作函数f(x)=A sin(ωx+φ)的简图时,若所得五个点的横坐标从小到大依次为x1,x2,x3,x4,x5,且x1+x5=3π2,则x2+x4等于()A.π2B.πC.3π2D.2π解析:由五点法作图原理,知x2-x1=x3-x2=x4-x3=x5-x4=T4,故x1与x5的中点是x3,x2与x4的中点是x3,所以x2+x4=2x3=x1+x5=3π2.答案:C7.将函数f(x)=lg x的图象记为C1;将函数y=cos2x-π6的图象向左平移π12个单位长度,可得函数g(x)的图象,记为C2.(1)在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)和g(x)的图象.(2)判断方程f(x)=g(x)解的个数.解:(1)作出图象C1和C2,如图所示.(2)由图象可知两个图象共有7个交点,即方程f(x)=g(x)解的个数为7.8.(1)利用“五点法”作出函数y=sin12x+π6在长度为一个周期的闭区间上的简图.(2)说明该函数图象是由y=sin x(x∈R)的图象经过怎样平移和伸缩变换得到的.解:(1)先列表,然后描点作图.1 2x+π6π2π3π22πx-π32π35π38π311π3y0 1 0 -1 0(2)把y=sin x的图象上所有的点向左平移π6个单位长度,得到y=sin(x+π6)的图象,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=Sin(12x+π6)的图象.或把y=sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin 12x的图象,再把所得图象上所有的点向左平移π3个单位长度,得到y=sin[12(x+π3)],即y=sin(12x+π6)的图象.C级挑战创新9.多选题将函数f(x)=sin2x+π3的图象向右平移π2个单位长度得到g(x)的图象,则下列判断正确的是()A.函数g(x)的最小正周期是πB .g (x )的图象关于直线x =7π12对称C .函数g (x )在区间-π6,π3上单调递减D .g (x )的图象关于点π3,0对称解析:函数f (x )=sin(2x +π3)的图象向右平移π2个单位长度,得到g (x )=sin(2x -π+π3)=sin(2x -2π3)的图象.所以函数的最小正周期为2π2=π;当x =7π12时,函数的值为g (7π12)=sin(7π6-4π6)=1,所以g (x )的图象关于直线x =7π12对称;当-π6≤x ≤π3时,-π≤2x -2π3≤0,故g (x )在区间[-π6,π3]上先减后增;当x =π3时, g (π3)=0,所以g (x )的图象关于点(π3,0)对称.综上,A 、B 、D 项正确. 答案:ABD10y =sin 2x 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到的图象关于直线x =π6对称,则φ的最小值为5π12;若得到的图象关于原点对称,则φ的最小值为π2.解析:平移后函数解析式为y =sin(2x -2φ),因为图象关于直线x =π6对称,所以2×π6-2φ=k π+π2(k ∈Z),所以φ=-kπ2-π12(k ∈Z).又因为φ>0,所以当k=-1时,φ的最小值为5π;若得到的图象关于原点对称,则122×0-2φ=kπ(k∈Z),所以φ=-kπ(k∈Z).又因为φ>0,所以当k=-1时,φ的最2小值为π.2。

2020高考数学总复习课时作业:函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用 含解析

2020高考数学总复习课时作业:函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用 含解析
则f =sin =cos = .]
4.(2020·××市模拟)将函数f(x)=sin(2x+φ) 的图象向左平移 个单位后的图形关于原点对称,则函数f(x)在 上的最小值为()
A. B.
C.- D.-
解析:D[函数f(x)=sin (2x+φ) 的图象向左平移 个单位后,得到函数
y=sin =sin 的图象,再根据所得图象关于原点对称,可得 +φ=kπ,k∈Z,∴φ=- ,f(x)=sin .由题意x∈ ,得2x- ∈ ,∴sin ∈
(3)写出f(x)的单调递增区间.
解:(1)令X=2x+ ,则y=sin =sinX.
列表:
xபைடு நூலகம்

X
0
π

y=sin
0
1
0
-1
0
描点,画出函数f(x)在 上的图象:
(2)因为 ≤x≤ ,所以 ≤2x+ ≤ ,
当2x+ = ,即x= 时,sin 最大值等于1,即f(x)的最大值等于1;
当2x+ = ,即x= 时,sin 最小值等于- ,即f(x)的最小值等于- .
∴函数y=sin 在区间 的最小值为- .]
5.(2020·××市一模)如图,某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin (ωx+φ)+b(其中A>0,ω>0,-π<φ<π),那么中午12时温度的近似值(精确到1℃)是()
A.25℃B.26℃
C.27℃D.28℃
解析:C[由函数y=Asin (ωx+φ)+b(其中A>0,ω>0,-π<φ<π)的图象,可得b=20,A= =10, · =14-6,得ω= .再根据五点法作图可得 ·6+φ= ,φ= ,故y=10sin +20.
解析:函数f(x)=2sin (ω>0)的图象向右平移 个单位,

5.6画函数y=Asin(ωx+φ)的图象2023-2024学年高一上学期数学人教A版2019必修一

5.6画函数y=Asin(ωx+φ)的图象2023-2024学年高一上学期数学人教A版2019必修一
模型.
4.体会数学建模的过程,提升数学建模和数学运
算素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
规 范 解 答
随 堂 练 习
自主预习·新知导学
一、“五点法”作画函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象
1.用“五点法”画y=sin x,x∈[0,2π]的图象时,五个关键点的横
坐标依次取哪几个值?
所以 f(0)=±2.在四个选项中,


只有 φ= 时,才有 f(0)=2sin - +
答案:A


=2.故选 A.
)

3.若将函数 y=2sin 2x 的图象向左平移 个单位长度,则平移后

图象的对称轴为
.

解析:将函数 y=2sin 2x 的图象向左平移个单位长度,

得到的图象对应的函数解析式为 y=2sin + .


得 kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),


故 f(x)的单调递增区间是[kπ- ,kπ+ ](k∈Z).


随 堂 练 习
1.若函数y=Asin(ωx+φ)+k的图象如图所示,则A与最小正周期
T分别是(
)


A.A=3,T=
B.A=3,T=
C.A= ,T=
D.A= ,T=
地面110米,运行一周大约需要21分钟.某人在最低点的位置坐
上摩天轮,则第7分钟时他到地面的距离为(
)
A.75米
B.85米
C.100米 D.110米
解析:设某人与地面的高度 f(t)与时间 t 的关系为

函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用讲义

函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用讲义

函数y =A sin(ωx +φ)的图象及应用一、知识梳理1.y =A sin(ωx +φ)的有关概念y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0),x ∈R振幅 周期 频率 相位 初相 AT =2πωf =1T =ω2πωx +φφ2.用五点法画y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,x ∈R )一个周期内的简图时,要找五个特征点 如下表所示:x0-φω π2-φω π-φω 3π2-φω 2π-φω ωx +φ 0 π2 π 3π2 2π y =A sin(ωx +φ)A-A3.函数y =sin x 的图象经变换得到y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的图象的两种途径注意:1.函数y =A sin(ωx +φ)+k 图象平移的规律:“左加右减,上加下减”.2.由y =sin ωx 到y =sin(ωx +φ)(ω>0,φ>0)的变换:向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度.3.函数y =A sin(ωx +φ)的对称轴由ωx +φ=k π+π2,k ∈Z 确定;对称中心由ωx +φ=k π,k ∈Z 确定其横坐标.二、基础检测题组一:思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y =sin )4(π-x 的图象是由y =sin )4(π+x 的图象向右平移π2个单位长度得到的.( ) (2)将函数y =sin ωx 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到函数y =sin(ωx -φ)的图象.( ) (3)函数y =A cos(ωx +φ)的最小正周期为T ,那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )(4)由图象求函数解析式时,振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.( ) 题组二:教材改编2.为了得到函数y =2sin )32(π-x 的图象,可以将函数y =2sin 2x 的图象( )A .向右平移π6个单位长度B .向右平移π3个单位长度C .向左平移π6个单位长度D .向左平移π3个单位长度3.]函数y =2sin )321(π-x 的振幅、频率和初相分别为( )A .2,4π,π3B .2,14π,π3C .2,14π,-π3D .2,4π,-π34.如图,某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin(ωx +φ)+b ,则这段曲线的函数解析式为__________________________.题组三:易错自纠 5.要得到函数y =sin )34(π-x 的图象,只需将函数y =sin 4x 的图象( )A .向左平移π12个单位长度B .向右平移π12个单位长度C .向左平移π3个单位长度D .向右平移π3个单位长度6.函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则函数f (x )的解析式为________.三、典型例题题型一:函数y =A sin(ωx +φ)的图象及变换 典例 已知函数y =2sin )32(π+x .(1)求它的振幅、周期、初相;(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象; (3)说明y =2sin )32(π+x 的图象可由y =sin x 的图象经过怎样的变换而得到.思维升华:(1)y =A sin(ωx +φ)的图象可用“五点法”作简图得到,可通过变量代换z =ωx +φ计算五点坐标. (2)由函数y =sin x 的图象通过变换得到y =A sin(ωx +φ)图象有两条途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.跟踪训练:(1)若把函数y =sin )6(πω-x 的图象向左平移π3个单位长度,所得到的图象与函数y =cos ωx 的图象重合,则ω的一个可能取值是( )A .2 B.32 C.23 D.12(2)把函数y =sin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把所得函数图象向左平移π4个单位长度,得到的函数图象的解析式是________.题型二:由图象确定y =A sin(ωx +φ)的解析式典例 (1)函数y =A sin(ωx +φ)的部分图象如图所示,则y =________________.(2)已知函数f (x )=sin(ωx +φ))2,0(πϕω<>的部分图象如图所示,则y =f )6(π+x 取得最小值时x 的集合为________.思维升华:y =A sin(ωx +φ)中φ的确定方法(1)代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.(2)五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口. 跟踪训练 已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)+B )2,0,0(πϕω<>>A 的部分图象如图所示,将函数f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后,得到函数g (x )的图象关于点)23,3(π对称,则m 的值可能为( )A.π6B.π2C.7π6D.7π12 题型三:三角函数图象性质的应用 命题点1:三角函数模型典例 如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y =3sin )6(ϕπ+x +k ,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( )A .5B .6C .8D .10 命题点2:函数零点(方程根)问题典例 已知关于x 的方程2sin 2x -3sin 2x +m -1=0在),2(ππ上有两个不同的实数根,则m 的取值范围是____________.引申探究:本例中,若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”,则m 的取值范围是__________. 命题点3:三角函数图象性质的综合 典例 已知函数f (x )=3sin )32(πω+x (ω>0)的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式;(2)若将f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到函数g (x )的图象恰好经过点)0,3(π-,求当m 取得最小值时,g (x )在]127,6[ππ-上的单调递增区间.思维升华:(1)三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题;二是把实际问题抽象转化成数学问题,利用三角函数的有关知识解决问题. (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.(3)研究y =A sin(ωx +φ)的性质时可将ωx +φ视为一个整体,利用换元法和数形结合思想进行解题.跟踪训练 (1)已知函数f (x )=sin(ωx +φ))2,0(πϕω≤>的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22,且过点)21,2(-,则函数f (x )的解析式为__________.四、反馈练习1.已知曲线C 1:y =cos x ,C 2:y =sin )322(π+x ,则下面结论正确的是( ) A .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2B .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2C .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2D .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 22.若将函数f (x )=sin 2x +cos 2x 的图象向右平移φ个单位长度,所得图象关于y 轴对称,则φ的最小正值是( ) A.π8 B.π4 C.3π8D.5π43.若函数y =sin(ωx -φ))2,0(πϕω<>在区间],2[ππ-上的图象如图所示,则ω,φ的值分别是( )A .ω=2,φ=π3B .ω=2,φ=-2π3C .ω=12,φ=π3D .ω=12,φ=-2π34.函数y =sin x -3cos x 的图象可由函数y =sin x +3cos x 的图象至少向右平移的单位长度是( ) A.π2 B.2π3 C.π3D.π45.将函数f (x )=3sin x -cos x 的图象沿着x 轴向右平移a (a >0)个单位长度,所得函数图象关于y 轴对称,则a 的最小值是( )A.π6B.π3C.π2D.2π3 6.函数f (x )=sin(2x +φ))2(πϕ<的图象向左平移π6个单位长度后所得函数图象的解析式是奇函数,则函数f (x )在]2,0[π上的最小值为( )A .-32B .-12C.12D.327.将函数y =sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是______________. 8.函数f (x )=2sin(ωx +φ))20,0(πϕω<<>的部分图象如图所示,已知图象经过点A (0,1),B )1,3(-π,则f (x )=________.9.已知函数f (x )=cos )33(π+x ,其中x ∈],6[m π,若f (x )的值域是]23,1[--,则m 的取值范围是________. 10.已知函数f (x )=sin ωx +cos ωx (ω>0),x ∈R .若函数f (x )在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y =f (x )的图象关于直线x =ω对称,则ω的值为________. 11.已知函数y =A sin(ωx +φ))2,0,0(πϕω<>>A 的图象过点P )0,12(π,图象上与点P 最近的一个最高点是Q )5,3(π.(1)求函数的解析式;(2)求函数f (x )的单调递增区间. 12.将函数f (x )=sin(2x +θ))2(πϕ<的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后,得到函数g (x )的图象,若f (x ),g (x )的图象都经过点P )23,0(,则φ的值为________. 13.已知函数f (x )=3sin ωx +cos ωx (ω>0),x ∈R .在曲线y =f (x )与直线y =1的交点中,若相邻交点距离的最小值为π3,则f (x )的最小正周期为________.14.设偶函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,△KLM 为等腰直角三角形,∠KML =90°,KL =1,则f )61(的值为________..15.设函数f (x )=sin )6(πω-x +sin )2(πω-x ,其中0<ω<3.已知f )6(π=0. (1)求ω;(2)将函数y =f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移π4个单位长度,得到函数y =g (x )的图象,求g (x )在]43,4[ππ-上的最小值.。

人教版(新教材)高中数学第一册 匀速圆周运动的数学模型 函数y=Asin(ωx+φ)的图象

人教版(新教材)高中数学第一册 匀速圆周运动的数学模型 函数y=Asin(ωx+φ)的图象

解析 ω=4>1,因此只需把正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的14,纵坐标 不变.
答案 B
2.把函数y=2sin 3x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标变为原来的 3倍,得到________的图象. 答案 y=6sin32x
3.将函数 y=cos 2x 的图象向右平移π3个单位长度,所得图象对应的解析式为 ________.
5.6 函数y=Asin(ωx+φ) 5.6.1 匀速圆周运动的数学模型 5.6.2 函数y=Asin(ωx+φ)的图象 第一课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
课标要求
素养要求
1.会用“五点法”画出y=Asin(ωx+φ)的
图象.
通过整体代换和图象的变换提
2.理解参数A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+ 升学生的直观想象、逻辑推理
【训练 1】 请用“五点法”画出函数 y=12sin(2x-π6)的图象. 解 函数 y=12sin2x-π6的周期 T=22π=π,先用“五点法”作它在长度为一个周
期上的图象,令 X=2x-π6,则 x 变化时,y 的值如下表:
X
0
π 2
π
3π 2

x
π 12
π 3
7π 12
5π 6
13π 12
解析 答案
由题意得所得图象对应的解析式为 y=cos 2(x-π3)=cos(2x-23π). y=cos(2x-23π)
[微思考] 1.由y=sin ωx(ω>0)的图象得到y=sin(ωx+φ)的图象是如何平移的呢?
提示 ∵y=sin(ωx+φ)=sin ωx+ωφ, ∴由 y=sin ωx 的图象向左(右)平移ωφ个单位.
y

匀速圆周运动的数学模型 5.6.2 函数y=Asin(ωx+φ)的图象ppt课件

匀速圆周运动的数学模型 5.6.2 函数y=Asin(ωx+φ)的图象ppt课件

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换得到 y=Asin(ωx+φ),x∈R 的图象.(难点) 养直观想象素养.
2.能根据 y=Asin(ωx+φ)的部分图象,确定其 2.借助函数的图象求解析
解析式.(重点)
式,提升数学运算素养.
3.求函数解析式时 φ 值的确定.(易错点)
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19-20 第5章 5.6 5.6.1 匀速圆周运动的数学模型 5.6.2 函数y=Asin(ωx+φ)的图象

19-20 第5章 5.6 5.6.1 匀速圆周运动的数学模型 5.6.2 函数y=Asin(ωx+φ)的图象

缩短 伸长
3.A(A>0)对 y=Asin(ωx+φ)的图象的影响
伸长 缩短
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D [根据图象
1.把函数 y=sin
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对函数
y=Asin(ωx+φ)
的图象的影响;能够将 y=sin x 的图象进行变 1.通过函数图象的变换,培
换得到 y=Asin(ωx+φ),x∈R 的图象.(难点) 养直观想象素养.
2.能根据 y=Asin(ωx+φ)的部分图象,确定其 2.借助函数的图象求解析
1.φ 对 y=sin(x+φ),x∈R 的图象的影响


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2.ω(ω>0)对 y=sin(ωx+φ)的图象的影响
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函数y=Asin(ωx+φ)(高中数学)

函数y=Asin(ωx+φ)(高中数学)
三角函数
函数y=Asin(ωx+φ)
课标阐释
思维脉络
1.理解匀速圆周运动数学
模型的特点,并能用数学
模型解决一些相关的实
际问题.
2.会用“五点法”作函数
y=Asin(ωx+φ)的图象.
3.理解参数 A,ω,φ 对函数
y=Asin(ωx+φ)图象的影
响.
4.掌握函数 y=Asin(ωx+φ)
与 y=sin x 图象之间的关
2

φ
φ
φ
3 φ
2 φ

x




2ω ω
ω ω
2ω ω
ω ω
y
0 A
0
-A
0
第二步:在同一平面直角坐标系中描出各点.
第三步:用光滑曲线连接这些点,得到图象.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
1
1
2
2
变式训练 2 作出函数 y= cos
随堂演练
+
π
3
在一个周期内的图象.
解:列表:
4
解析:因为ω=4>1,所以可由y=sin x的图象上所有点的横坐标变
1
为原来的 4 得到y=sin 4x的图象.
答案:B
课前篇
自主预习



3.A(A>0)对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响
1
(1)在同一平面直角坐标系中,用“五点法”作出函数y=4sin x与y= 2
sin x的图象,从列表中变量的值以及画出的图象两个方面进行观察

人教版高中数学必修一5.6.1匀速圆周运动的数学模型及函数y=A sin (ωx+φ)的图象【课件】

人教版高中数学必修一5.6.1匀速圆周运动的数学模型及函数y=A sin (ωx+φ)的图象【课件】
以及变量x,y的物理意义
理解参数A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)
图象的影响,探究其图象的变化规律
学科核心素养
在建立匀速圆周运动的数学模型的
过程中,培养数学抽象、数学建模等
素养
通过研究函数y=A·sin(ωx+φ)中参数
的物理意义,培养数学抽象、直观想
象等素养
通过研究A,ω,φ对y=Asin(ωx+φ)图
② 由函数y=f(x)的图象通过变换得到y=f(ωx)(ω>0,ω≠1)的图象:当ω>1时,即把y=f(x)
图象上所有点的横坐标缩短到原来的


倍(纵坐标不变);当0<ω<1时,即把y=f(x)图象上所


有点的横坐标伸长到原来的 倍(纵坐标不变).
③ 由函数y=f(x)的图象通过变换得到y=Af(x)(A>0,A≠1)的图象:当A>1时,即把y=f(x)
随堂演练
D
A
3. (多选)函数f(x)=2sin (ωx+φ)(ω>
象如图所示,则 (
A. ω=2
C. ω=


AD
B.

φ=

D.

φ=-

)

, −

<<

)的部分图

4.将y=sin x图象上
所有的点横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变
_______________________________________

【解】
(1)


记C对应的函数为f(x)= sin(2x+ )


.

课时作业1:5.6.1 匀速圆周运动的数学模型~第一课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象

课时作业1:5.6.1 匀速圆周运动的数学模型~第一课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象

5.6 函数y =A sin(ωx +φ) 5.6.1 匀速圆周运动的数学模型 5.6.2 函数y =A sin(ωx +φ)的图象 第一课时 函数y =A sin(ωx +φ)的图象基础达标一、选择题1.将函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3的图象向左平移π3个单位长度,再将图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),则所得图象对应的函数解析式为( ) A .y =sin x B .y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x +π3C .y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x -2π3D .y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3解析 将函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3的图象向左平移π3个单位长度后,得到函数y =sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3-π3=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3的图象,再将图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),得到函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x +π3的图象,故选B. 答案 B2.把函数y =cos 2x +1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是( )解析 把函数y =cos 2x +1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y =cos x +1的图象,然后把所得函数图象向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到函数y =cos(x +1)的图象,故选A. 答案 A3.有下列四种变换方式:①向左平移π4个单位长度,再将横坐标变为原来的12(纵坐标不变); ②横坐标变为原来的12(纵坐标不变),再向左平移π8个单位长度; ③横坐标变为原来的12(纵坐标不变),再向左平移π4个单位长度; ④向左平移π8个单位长度,再将横坐标变为原来的12(纵坐标不变). 其中能将正弦函数y =sin x 的图象变为y =sin(2x +π4)的图象的是( ) A.①和② B.①和③ C.②和③D.②和④解析 ①向左平移π4个单位长度,再将横坐标变为原来的12(纵坐标不变),则正弦函数y =sin x 的图象变为y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4的图象;②横坐标变为原来的12(纵坐标不变),再向左平移π8个单位长度,正弦函数y =sin x 的图象变为y =sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π8=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4的图象;③横坐标变为原来的12(纵坐标不变),再向左平移π4个单位长度,正弦函数y =sin x 的图象变为y =sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π2的图象;④向左平移π8个单位长度,再将横坐标变为原来的12(纵坐标不变),正弦函数y =sin x 的图象变为y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π8的图象,因此①和②符合题意,故选A.答案 A4.要得到函数y =2cos x 的图象,只需将函数y = 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4的图象上的所有点的( ) A.横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),再向左平移π8个单位长度 B.横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),再向右平移π4个单位长度 C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移π4个单位长度 D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移π8个单位长度 解析 ∵y =2cos x =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π2,y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π2的图象.答案 C5.函数f (x )=sin(ωx +φ)的图象上所有的点向左平移π2个单位长度,若所得图象与原图象重合,则ω的值不可能等于( ) A.4 B.6 C.8D.12解析 y =f (x )的图象向左平移π2后得到y =sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π2+φ=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx +π2ω+φ,其图象与原图象重合,有π2ω=2k π,即ω=4k (k ∈Z ).故ω的值不可能为6. 答案 B二、填空题6.利用“五点法”作函数y =2sin(2x -π4)的图象时,所取的五个点的坐标为________________.解析 令2x -π4=0,π2,π,3π2,2π得x =π8,3π8,5π8,7π8,9π8,故五个点的坐标是(π8,0),(3π8,2),(5π8,0),(7π8,-2),(9π8,0). 答案 (π8,0),(3π8,2),(5π8,0),(7π8,-2),(9π8,0)7.将函数y =sin x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后,得到函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π6的图象,则φ=________. 解析 将函数y =sin x 的图象向左平移φ个单位后,得y =sin(x +φ)的图象,而y =sin(x -π6)=sin(x +11π6),所以φ=11π6. 答案 11π68.将函数f (x )=sin(ωx +φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0,-π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移π6个单位长度得到y =sin x 的图象,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6=________.解析 y =sin x 的图象向左平移π6个单位长度,得到y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6图象,再对每一点横坐标伸长为原来的2倍,得到y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +π6的图象即为f (x )=sin(ωx +φ)的图象,∴f (x )=sin(12x +π6),f (π6)=22. 答案 22 三、解答题9.已知函数f (x )=3sin(x 2+π6)+3(x ∈R ),用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的简图. 解 (1)列表:x 2+π6 0 π2 π 3π2 2π x -π3 2π3 5π3 8π3 11π3 f (x )3633(2)描点画图:10.函数f (x )=5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3-3的图象是由y =sin x 的图象经过怎样的变换得到的?解 先把函数y =sin x 的图象向右平移π3个单位长度,得y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π3的图象;再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变),得y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3的图象;然后把所得函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)得函数y =5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3的图象,最后将所得函数图象向下平移3个单位长度,得函数y =5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3-3的图象(答案不唯一).能力提升11.已知函数f (x )=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -π4,x ∈R .(1)列表并画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图. (2)将函数y =sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象?解 (1)函数f (x )的周期T =2π12=4π.由12x -π4=0,π2,π,3π2,2π, 解得x =π2,3π2,5π2,7π2,9π2. 列表如下:x π2 3π2 5π2 7π2 9π2 12x -π4 0 π2 π 3π2 2π 3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -π43-3描出五个关键点并光滑连线,得到一个周期的简图.图象如下:(2)先把y =sin x 的图象向右平移π4个单位长度,然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变),再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变),得到f (x )的图象.12.已知函数f (x )=2sin ωx ,其中常数ω>0.(1)若y =f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4,2π3上单调递增,求ω的取值范围;(2)令ω=2,将函数y =f (x )的图象向左平移π6个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数y =g (x )的图象,区间[a ,b ](a ,b ∈R 且a <b )满足:y =g (x )在[a ,b ]上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的[a ,b ]中,求b -a 的最小值. 解 (1)因为ω>0,根据题意有 ⎩⎪⎨⎪⎧-π4ω≥-π2,2π3ω≤π2,解得0<ω≤34.所以ω的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0,34.(2)由题意知f (x )=2sin 2x ,g (x )=2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6+1=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3+1,由g (x )=0得,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3=-12,解得x =k π-π4或x =k π-712π,k ∈Z , 即g (x )的零点相离间隔依次为π3和2π3,故若y =g (x )在[a ,b ]上至少含有30个零点,则b -a 的最小值为14×2π3+15×π3=43π3.。

课时2 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(二)

课时2 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(二)

素养目标
1.能由图象求出 y=Asin(ωx+φ)的解析
式. 2.利用函数 y=Asin(ωx+φ)来研究匀速 圆周运动.
新知线索

题型深度探究
题型 1◆已知图象求函数的解析式 典例 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,-π2<φ<π2,x∈R 在一个周期内的图象如图所示.
(1)求函数 f(x)的解析式; (2)设 g(x)=12f(2x)cos x,求 g54π的值.
所以34πω+π2=kπ,k∈Z,解得 ω=34k-23,k∈Z. 又 f(x)在0,2π上是单调函数,所以 T≥π,即2ωπ≥π,所以 ω≤2,又 ω>0, 所以当 k=1 时,ω=23,当 k=2 时,ω=2. 综上,φ=π2,ω=23或 2.
三角函数对称轴、对称中心的求法
对称轴
对称中心
y=Asin(ωx+φ)
(备选题)设函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 是常数,A>0,ω>0).若
f(x)在区间6π,π2上具有单调性,且 f2π=f23π=-f6π,则 f(x)的最小正周 期为( C )
π
π
A.4 B.2
C.π
3π D. 2
解析:因为 f2π=f23π,所以 x=π2+223π=71π2为函数 f(x)的图象的一条 对称轴.因为 fπ2=-f6π,f(x)在区间6π,π2上具有单调性,所以 x=π6- 71π2-π2=1π2为 f(x)图象的一条对称轴,且与 x=172π相邻,故函数 f(x)的最小 正周期 T=2×71π2-1π2=π.
所以 S=f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 020) =f(0)+[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]×505. 又因为 f(0)=1,f(1)=32,f(2)=1,f(3)=12,f(4)=1, 所以 S=1+32+1+12+1×505=2 021.

第1课时匀速圆周运动的数学模型及函数y=asinωx+φ)的图象

第1课时匀速圆周运动的数学模型及函数y=asinωx+φ)的图象

第1课时匀速圆周运动的数学模型及函数y=Asin(ωx+φ)的图象分层演练综合提升A级基础巩固1.函数y=3sin 3x的图象可看成是由y=sin x的图象按下列哪种变换得到( )A.横坐标不变,纵坐标变为原来的B.横坐标变为原来的,纵坐标变为原来的3倍C.横坐标不变,纵坐标变为原来的3倍D.横坐标变为原来的3倍,纵坐标变为原来的答案:B2.为得到函数y=cos x-的图象,只需将函数y=sin x的图象( )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度答案:A3.把函数y=sin2x-的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数是( )A.非奇非偶函数B.既是奇函数又是偶函数C.奇函数D.偶函数答案:D4.函数y=sin2x-的图象可以看成是把函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度得到的.5.已知函数f(x)的图象上的每一点的纵坐标保持不变,首先将横坐标扩大到原来的2倍,然后把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度,这样得到的图象与y=sin x的图象相同,求f(x)的解析式.第1课时匀速圆周运动的数学模型及函数y=Asin(ωx+φ)的图象分层演练综合提升A级基础巩固1.函数y=3sin 3x的图象可看成是由y=sin x的图象按下列哪种变换得到( )A.横坐标不变,纵坐标变为原来的B.横坐标变为原来的,纵坐标变为原来的3倍C.横坐标不变,纵坐标变为原来的3倍D.横坐标变为原来的3倍,纵坐标变为原来的答案:B2.为得到函数y=cos x-的图象,只需将函数y=sin x的图象( )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度答案:A3.把函数y=sin2x-的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数是( )A.非奇非偶函数B.既是奇函数又是偶函数C.奇函数D.偶函数答案:D4.函数y=sin2x-的图象可以看成是把函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度得到的.5.已知函数f(x)的图象上的每一点的纵坐标保持不变,首先将横坐标扩大到原来的2倍,然后把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度,这样得到的图象与y=sin x的图象相同,求f(x)的解析式.。

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课时分层作业 (五十 ) 函数 y = Asin(x + φ)(建议用时: 60 分钟)[合格基础练 ]、选择题1.下列表示函数 y =sin 2x - 3 在区间-2,π上的简图正确的是 (当 x =6π时 y = sin 0=0,排除 C , 故选 A.]2.把函数 y =sin 2x -4π的图象向左平移 8π个单位长度, 所得到的图象对应的 函数是 ( )A .奇函数 B.偶函数C .既是奇函数也是偶函数 D.非奇非偶函数A [y =sin 2x -4π=sin 2 x -8π ,向左平移 8π个单位长度后为 y =3.同时具有性质“ (1)最小正周期是 π;(2)图象关于直线 x =3π对称; (3)在A [当 x =π时,y = sin -3π=- 23排除 B 、D.sin 2x ,为奇函数 .]-6π,3π上单调递增”的一个函数是 ( )证知只有 C 符合要求 . ]4.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+B 的一部分图象如图所示, 若 A>0,ω>0, |φ|< 2π,则 ( )A .B =4C .ω=1B [ 由函数图象可知 f(x) min = 0, f(x) max =4. 4-0 4+0所以 A = 2 = 2,B = 2 =2. 2π 5π π由周期 T =ω=4 12-6 知 ω=2. 由 f 6 =4得 2sin 2× 6+φ+ 2= 4, π π πsin 3+φ= 1,又 |φ|<2,故 φ=6.]5.已知函数 f(x)=cos ωx -6π(ω>0)的相邻两个零点的距离为 2π,要得到 y =f(x)的图象,只需把 y =cos ωx 的图象 ()A .向右平移 1π2个单位B .向左平移 1π2个单位A .y =sin 2x+6 B . y =cos 2x + 3 C .πy =sin 2x - 6D . y =cos2x -6 [ 由(1)知 T =π=2ωπ,2,排除 A. 由(2)(3)知 x =,f(x)取最大值 ,验π B .φ=6 D .A =4πC .向右平移 6π个单D .向左平移 6π个单位A [由已知得2ωπ=2×2π,故 ω=2. ω2y =cos 2x 向右平移1π2个单位可得 y =cos 2x -12=cos2x -6的图象.] 二、填空题6.要得到函数 y =sin 21x 的图象,只需将函数 y =sin 21x +4 的图象向右平移 _________ 个单位.2π [由于 y =sin 12x + 4π= sin 21 x +2π ,故要得到 y =sin 12x 的图象 ,只要将 y=sin 21x +4 的图象向右平移 2π个单位 .]7.将函数 y =sin 3x +4π的图象向右平移 8π个单位长度, 再将图象上各点的横 坐标扩大到原来的 3倍(纵坐标不变 ),则所得的函数解析式是 _____π向右平移 8个单位长度y =sin x - 8π [y = sin3x +4π各点的横坐标扩大到原来的 3倍 πy =sin x -8π,ππ8.某同学利用描点法画函数 y =Asin (ωx +φ)(其中 0<A ≤2,0<ω<2,-2<φ<2) 的图象,列出的部分数据如下表:经检查,发现表格中恰有一组数据计算错误,请你根据上述信息推断函数 = Asin (ωx + φ)的解析式应是 ______ .y = sin 3π π π x -8 + 4 =sin3x -8故所得的函数解析式是 y =sin x -纵坐标不变y= 2sin 3πx+6π[在平面直角坐标系中描出这五个点,如图所示.根据函数图象的大致走势,可知点 (1,0)不符合题意;又因为 0<A≤ 2,函数图象过 (4,-2),所以 A= 2.因为函数图象过 (0,1),∴2sin φ=1,又∵-2<φ<2,∴φ=6,由(0,1),(2,1)关于直线 x=1 对称,知 x=1 时函数取得最大值 2,因此函数的最小正周期为 6.π∴ω=3.]三、解答题π9.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< 2)的部分图象如图所示.(1)求函数 f(x)的解析式;(2)如何由函数 y=sin x 的图象通过相应的平移与伸缩变换得到函数 f(x)的图象,写出变换过程.[解] (1)由图象知 A= 1.f(x)的最小正周期 T= 4× 12-6=π,故ω=T=2,将点6π,1 代入 f(x)的解析式得 sin 3π+φ=1,π π π又|φ|<2,∴ φ=6.故函数 f(x)的解析式为 f(x)=sin 2x+6 .(2)变换过程如下:所有点的横坐标缩小为原来 1/2倍y=sin x图象上的――――――――――――――――→ y=sin 2x的图象,再把 y 纵坐标不变=sin 2x的图象,向左平移1π2个单位 y=sin 2x+6的图象.2π10.已知函数 f(x)=2cos2ωx-1+2 3sin ωxcos ωx(0<ω<1),直线 x=3是函数f(x) 的图象的一条对称轴.(1)求函数 f(x)的单调递增区间;(2)已知函数 y=g(x)的图象是由 y= f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2 倍,然后再向左平移23π个单位长度得到的,若 g 2α+π3=65,α∈ 0,2π,求 sin α的值.[解] (1)f(x)=cos 2 ωx+3sin 2ωx=2sin2 ωx+6,由于直线 x=3π是函数 f(x)=2sin 2ωx+6π的图象的一条对称轴, 2πππ所以3ω+6=kπ+2(k∈Z),31解得ω=2k+2(k∈Z),1又0< ω< 1,所以ω=2,所以 f(x)=2sin x+6 .π π π由2kπ-2≤x+6≤ 2kπ+2(k∈Z),2ππ得2kπ-3≤x≤2kπ+3(k∈Z ),所以函数 f(x)的单调递增区间为 2k π- 23 , 2k π+3π(k ∈Z ). (2)由题意可得 g(x)= 2sin 21x +23 +6π, x即 g(x) =2cos 2,D [当 a =0 时,f(x)=1,是选项 C ,当 a ≠0 时, 2π函数 f(x)=1+asin ax 的周期 T =|a|, 振幅为 |a|,所以当 |a|<1 时,T>2π.当|a|>1 时 T<2π,由此可知 A ,B 有可能出现 ,D 不可能 .]2.函数 y =sin 2x 的图象向右平移 φ个单位长度 (φ>0)得到的图象恰好关于由 g 2α+ π66 = 5,得 cos π3 α+6 =5,所以 sin 6= 4,sin α+6π·cos 6π- cos α+ ππ6 ·sin 6 =45× 3-3×1=4 3- 3 2 - 5×2=101.已知 a 是实数,[等级过关练 ]则函数 f(x)=1+asin ax 的部分图象不可能是( 2cos α+ 3π=又π π 2 π 故6<α+6<3,+ 所以 sin α=6π-6πx = 6对称,则 φ的最小值是 _______ .152π [函数 y = sin 2x 的图象向右平移后得到 y =sin[2(x -φ)]的图象,而 x =6π是π π- kπ π6-φ=kπ+2(k ∈Z ),所以 φ= 2 -12(k ∈Z ).又 φ>0当 k =-1 5π时 ,φ取得最小值 12π.]3.函数 f(x)= 3sin 2x -3π的图象为 C ,则以下结论中正确的是 _______ .(写 出所有正确结论的编号 )① 图象 C 关于直线 x = 12对称; ② 图象 C 关于点 23π,0 对称;3③ 函数 f(x)在区间 - 1π2,512π内是增函数;π④ 由 y =3sin 2x 的图象向右平移 3π个单位长度可以得到图象 C.②③ [f 1π2 =3sin 2×1π2- π3故①错,②正确.π π π令- 2+ 2kπ≤ 2x-3≤2+2kπ,k ∈Z ,π5解得- 12+kπ≤x≤12π+kπ,k ∈Z ,故③正确.函数 y =3sin 2x 的图象向右平移 3π个单位长度 ,得到函数 y =3sin 2 x -3π= 3sin 2x - 23π的图象 , 故④错 .]2f3414.函数 y =2sin πx - (-2≤x ≤4)的所有零点之和为 _________1- x18 [函数 y =2sin πx- (- 2≤ x ≤4)的零点即1-x 1方程 2sin πx= 的根 ,1-x1作函数 y = 2sin x π与 y = 的图象如下:由图可知共有 8 个公共点所以原1-x 函数有 8 个零点 .1令 t =1-x ,则 y = 2sin t π- t ,t ∈[-3,3],该函数是奇函数 ,故零点之和为 0.所以原函数的零点之和为 8.] π5.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|< 2)的一系列对应值如表:xπ -6π 35π 64π 311π 67π 317π 6y-1 1 3 1 -1 1 3(1)根据表格提供的数据求函数 f(x)的一个解析式;(2)根据(1)的结果,若函数 y =f(kx)(k>0)的最小正周期为 23π,当 x ∈ 0,3π时, 方程 f(kx)=m 恰有两个不同的实数解,求实数 m 的取值范围.y = 2sin xπ- 1-x 2sin π-(1x)-11-x[解] (1)设 f(x)的最小正周期为 T,则T=161π--6π=2π,由 T=2ωπ,得ωB+A=3,A= 2,5ππ5ππ= 1,又解得令ω·56π+φ=2π,即56π+φ=2π,解得φ=B-A=- 1,B=1, 6 2 6 2-3π,∴ f(x)=2sin x-3π+1.(答案不唯一 )(2)∵函数 y=f(kx)=2sin kx-3π+1的最小正周期为23π,且 k>0,∴k=3.令t=3x-3π,∵ x∈ 0,3π,∴t∈ -3,23,如图所示,当 sin t=s 在-3π,23π上有两个不同的实数解时, s∈ 23,1 ,∴当 x∈ 0,3π时,由方程 f(kx)=m 恰有两个不同的实数解得 m∈[ 3+1,3),即实数 m 的取值范围是 [ 3+ 1,3).。

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