§2.3 几种特殊的矩阵

b11 b21 b22 B b b b n1 n2 nn
《线性代数》 (第四版)教学课件
首页 上一页 下一页 结束
(四)三角形矩阵
上三角形矩阵 下三角形矩阵 b11 a11 a12 a1n b21 b22 a22 a2n B A ann bn1 bn2 bnn 三角形矩阵的性质 若A B为同阶同结构三角形矩阵 容易验证kA AB AB 仍为同阶同结构三角形矩阵
首页 上一页 下一页 结束
《线性代数》 (第四版)教学课件
(一)对角矩阵
对角矩阵
a11 a22 A a nn 对角矩阵的性质 如果A B为同阶对角矩阵 则kA AB AB仍为同阶对角 矩阵
显然 如果A是对角矩阵 则ATA
《线性代数》 (第四版)教学课件
首页 上一页 下一页 结束
《线性代数》 (第四版)教学课件
(二)数量矩阵
数量矩阵
a a A a 数量矩阵的性质 以数量矩阵A左乘或右乘(如果可乘)一个矩阵B 其乘积 等于以数a乘矩阵B
提示
a 0 0
0 0 b11 a 0 b21 0 a bn1
首页 上一页 下一页 结束
《线性代数》 (第四版)教学课件
(三)单位矩阵
单位矩阵 如果n阶数量矩阵A中元素a1 则称A为n阶单位矩阵 记 作In(或En) 有时简记为I(或E) 即
1 1 In 1 单位矩阵的性质 ImAmnAmn AmnInAmn 对于n阶矩阵A 规定A0I 单位矩阵I在矩阵乘法中与数1在数的乘法中的性质类似
提示
a 0 0
0 0 b11 a 0 b21 0 a bn1
b12 b1l ab11 ab12 ab1l b22 b2l ab21 ab22 ab2l bn2 bnl abn1 abn 2 abnl
《线性代数》 (第四版)教学课件
首页
上一页
下一页
结束
提示
a1 ka1 a2 ka2 k an kan
首页 上一页 下一页 结束
《线性代数》 (第四版)教学课件
(一)对角矩阵
对角矩阵
a11 a22 A a nn 对角矩阵的性质 如果A B为同阶对角矩阵 则kA AB AB仍为同阶对角 矩阵
《线性代数》 (第四版)教学课件
首页 上一页 下一页 结束
(四)三角形矩阵
上三角形矩阵 如果n阶矩阵A(aij)中元素满足条件 aij0 ij (i, jຫໍສະໝຸດ Baidu1, 2, , n) 则称A为n阶上三角形矩阵 即
a11 a12 a1n a22 a2n A ann
提示
a1 b1 a1 b1 a2 b2 a2 b2 an bn an bn
首页 上一页 下一页 结束
《线性代数》 (第四版)教学课件
(一)对角矩阵
对角矩阵
a11 a22 A a nn 对角矩阵的性质 如果A B为同阶对角矩阵 则kA AB AB仍为同阶对角 矩阵
提示
a1 b1 a1b1 a2 b2 a2b2 an bn anbn
《线性代数》 (第四版)教学课件
首页
上一页
下一页
结束
(五)对称矩阵
对称矩阵 如果n阶矩阵A(aij)中满足aijaji (i, j1, 2, , n) 则称A为 对称矩阵 对称矩阵A的元素关于主对角线对称 因此有ATA 对称矩阵的性质 数乘对称矩阵及同阶对称矩阵之和仍为对称矩阵 但对 称矩阵乘积未必对称 举例
b12 b1l ab b 11 11 b b22 b2l ab 21 21 a bn2 bnl ab b nn 11
ab b12 bab 12 1l 1l ab b22 bab 22 2l 2l ab bn n b ab 22 nl nl
《线性代数》 (第四版)教学课件
首页
上一页
下一页
结束
(四)三角形矩阵
上三角形矩阵 a11 a12 a1n a22 a2n A ann 下三角形矩阵 如果n阶矩阵B(bij)中元素满足条件 bij0 ij (i, j1, 2, , n) 则称B为n阶下三角形矩阵 即
首页
上一页
下一页
结束
(二)数量矩阵
数量矩阵 如果n阶对角矩阵A中的元素a11a22 anna 则称A为n 阶数量矩阵 即
a a A a
《线性代数》 (第四版)教学课件
首页
上一页
下一页
结束
(二)数量矩阵
数量矩阵
a a A a 数量矩阵的性质 以数量矩阵A左乘或右乘(如果可乘)一个矩阵B 其乘积 等于以数a乘矩阵B
a11 a22 A a nn
《线性代数》 (第四版)教学课件
首页
上一页
下一页
结束
(一)对角矩阵
对角矩阵
a11 a22 A a nn 对角矩阵的性质 如果A B为同阶对角矩阵 则kA AB AB仍为同阶对角 矩阵
1 0 1 2 1 1 例如 1 0 0 2 1 均为对称矩阵 1 1 3 2
首页 上一页 下一页 结束
《线性代数》 (第四版)教学课件
(五)对称矩阵
对称矩阵 如果n阶矩阵A(aij)中满足aijaji (i, j1, 2, , n) 则称A为 对称矩阵 对称矩阵A的元素关于主对角线对称 因此有ATA 对称矩阵的性质 数乘对称矩阵及同阶对称矩阵之和仍为对称矩阵 但对 称矩阵乘积未必对称 对任意矩阵A ATA和AAT都是对称矩阵
§23 几种特殊的矩阵
(一)对角矩阵
(二)数量矩阵
(三)单位矩阵
(四)三角形矩阵 (五)对称矩阵
《线性代数》 (第四版)教学课件
首页
上一页
下一页
结束
(一)对角矩阵
对角矩阵 如果n阶矩阵A(aij)中的元素满足条件 aij0 ij (i, j1, 2, , n) 则称A为n阶对角矩阵 即
《线性代数》 (第四版)教学课件
首页
上一页
下一页
结束
例1 设A与B是两个n阶对称矩阵 证明 当且仅当A与B可 交换时 AB是对称的
证 由于A与B都是对称矩阵 所以ATA BTB 如果ABBA 则有 (AB)TBTATBA AB 所以AB是对称的 反之 如果AB是对称的 即(AB)TAB 则有 AB(AB)TBTATBA 即A与B可交换