双曲线的简单几何性质总结归纳(人教版)教学教材
高二数学 8.4双曲线的几何性质(备课资料)大纲人教版必修
高二数学 8.4双曲线的几何性质(备课资料)大纲人教版必修一、双曲线的简单几何性质的学习对双曲线性质的讨论是我们又一次用曲线方程研究曲线性质的方法的学习，因此，在教学中，应尽力注意让学生对这种方法从思想上有一定的认识，并逐渐形成一种应用意识、1、问题：教学双曲线的渐近线时，应注意些什么？答：（1）使学生明确双曲线的渐近线是哪两条直线，过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，其两条对角线所在直线即为双曲线的渐近线，画双曲线时，应先画出它的渐近线、（2）使学生理解“渐近”两字的含义，当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近，接近的程度是无限的，也可以这样理解：当双曲线上的动点M沿着双曲线无限远离双曲线的中心时，点M到这条直线的距离逐渐变小而无限趋近于0、(3)使学生掌握根据双曲线的标准方程求出它的渐近线方程的求法、最简单且实用的方法是：把双曲线方程中等号右边为1改成0，就得到了此双曲线的渐近线方程、（4）使学生掌握根据双曲线的渐近线方程求出双曲线方程的求法、简单且实用的方法是：如果两条渐逝线的方程为AxBy=0，那么双曲线的方程为（Ax+By）（Ax-By)=m，这里m是待定系数，其值可由题目中的已知条件确定、2、双曲线几何性质的简单应用［例1］求与双曲线共渐近线且过A（2，-3）点的双曲线方程及离心率、解法一：双曲线的渐近线方程为：y=x（1）设所求双曲线方程为∵,∴b=a ①∵A(2,-3)在双曲线上∴ ②由①-②，得方程组无解（2）设双曲线方程为∵,∴b=a ③∵A(2,-3)在双曲线上∴ ④由③④得a2=,b2=4∴所求双曲线方程为且离心率e=解法二：设与双曲线共渐近线的双曲线方程为(λ≠0)∵点A（2，-3）在双曲线上∴λ=∴所求双曲线方程为即评述：（1）很显然，解法二优于解法一、（2）不难证明与双曲线共渐近线的双曲线方程为(λ≠0)、一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下，利用双曲线系方程(λ≠0)求双曲线方程较为方便、通常是根据题设中的另一条件确定参数λ、（3）以上优美巧妙的解法，达到了化繁为易的目的、教学中，要引起重视、二、在研究双曲线的几何性质基础上，我们应对根据曲线方程作出曲线图形感到得心应手［例2］作方程x=的图象、分析：∵x=∴x≥1∴x2-y2=1∴方程图象如右图，即表示双曲线x2-y2=1的右支、［例3］作方程y=的图象、分析：∵y=∴方程图象应该是圆x2+y2=1及双曲线x2-y2=1在x轴上方的图象、请读者自行完成、评述：在根据方程作出相应图象时，应遵循：“如果曲线C 的方程是f(x,y)=0,那么点P（x0,y0）在曲线C上的充要条件是f(x0,y0)=0”这一原则；另外，须注意方程变形的未知数的允许值可能会扩大，而原方程的曲线只能取原方程允许值范围内的那一部分、三、参考练习题1、双曲线的实轴长等于______，虚轴长等于______，焦点坐标是______，离心率是______，渐近线方程是______ 、答案：24 F1（-3，0），F2（3，0） y=x2、(2003年高考文科卷第6小题)双曲线虚轴的一个端点为M,两个焦点F\、F2，∠F1MF2=120，则双曲线的离心率为（）A、B、C、D、答案：B3、已知双曲线的离心率等于2，且过点M（2，-3），此双曲线标准方程是______、答案：●备课资料一、椭圆与双曲线标准方程和图形、性质如下表椭圆双曲线方程图形顶点坐标（a,0）(0,b)(0,a)(b,0)(a,0)(0,a)对称轴x=0,y=0焦点坐标(c,0)(0,c)(c,0)(0,c)对称中心（0，0）离心率准线方程渐近线方程二、双曲线标准方程的求法［例1］求以曲线2x2+y2-4x-10=0和y2=2x-2的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长为12的双曲线的标准方程、分析：先求出渐近线方程，确定出其斜率，结合已知条件确定所求双曲线方程中的字母系数、解：∵2x2+y2-4x-10=0y2=2x-2∴∴渐近线方程为y=x当焦点在x轴上时，由且a=6,得b=4、∴所求双曲线方程为当焦点在y轴上时，由,且a=6,得b=9、∴所求双曲线方程为评述：（1）“定量”与“定位”是求双曲线标准方程的两个过程，解题过程中应准确把握、（2）为避免上述的“定位”讨论，我们可以用有相同渐近线的双曲线系方程去解，请读者自行完成、［例2］已知双曲线的渐近线方程为3x2y=0，两条准线间的距离为,求双曲线标准方程、分析：可根据双曲线方程与渐近线方程的关系，设出双曲线方程，进而求出双曲线标准方程、解：∵双曲线渐近线方程为y=x∴设双曲线方程为(λ≠0)（1）若λ＞0,则a2=4λ,b2=9λ∴准线方程为：x=∴∴λ=4(2)若λ＜0,则a2=-9λ,b2=-4λ∴准线方程为：y=∴∴λ=-∴所求双曲线方程为：或评述：（1）准确及时地应用有相同渐近线的双曲线系方程给我们的求解过程带来了方便、（2）通过待定系数法求出参数N、［例3］中心在原点，一个焦点为F（1，0）的双曲线，其实轴长与虚轴长之比为m，求双曲线标准方程、解：设双曲线的标准方程为,则解得∴为所求双曲线的标准方程、评述：以上方法是求双曲线标准方程的通用方法，注意其中的运算技巧、［例4］求中心在原点，对称轴为坐标轴经过点P（1，-3）且离心率为的双曲线标准方程、解：设所求双曲线方程为(k≠0)则∴∴k=-8∴所求双曲线方程为评述：（1）以上巧妙简捷的设法是建立在一个事实的基础上的，即离心率e=是双曲线的等轴双曲线的充要条件，它的证明如下：设等轴双曲线x2-y2=m2(m＞0)则a2=b2=m2,∴c2=a2+b2=2m2∴c=m∴e=反之，如果一个双曲线的离心率e=、∴∴c=a,c2=2a2∴a2+b2=2a2∴a2=b2,a=b∴双曲线是等轴双曲线（2）读者还可以证明等轴双曲线的其他性质：两条渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项等、三、双曲线比值（第二）定义的应用［例5］已知点A（3，0），F（2，0），在双曲线x2-=1上求一点P，使|PA|+|PF|的值最小、解：∵a=1,b=∴c=2∴e=2设点P到与焦点F（2，0）相应准线的距离为d则=2∴|PF|=d∴|PA|+|PF|=|PA|+d至此，将问题转化成在双曲线上求一点P，使P到定点A的距离与到准线距离和最小、即到定点A的距离与到准线距离和最小为直线PA垂直于准线时，解之得，点P（，2）评述：灵活巧妙地运用双曲线的比值定义于解题中，将会带给我们意想不到的方便和简单、教学中应着重培养学生灵活运用知识的能力、四、参考练习题1一对共轭双曲线的离心率分别是e1和e2，则e1+e2的最小值为（）A、B、2C、2D、4解析：设这对共轭双曲线的方程为和(a＞0,b＞0)∴e1=,e2=∴(e1+e2)2= ≥2+2+22=8当且仅当a=b时，等号成立、从而当a=b时，e1+e2取得最小值，而且最小值为2、答案：C2、一条双曲线的两条渐近线的夹角为2arctan,则该双曲线的离心率为（）A、或B、或C、或D、解析：两条直线夹角指的是两条直线相交所成的锐角或直角，设两条渐近线的夹角是θ，则θ=2arctan,从而tan∵tan∴=或∴e= 即：e=或e=答案：C备课资料参考例题[例]己知L1、L2是过点P（-，0）的两条互相垂直的直线，且L1、L2与双曲线y2-x2=1各有两个交点，且分别为A1、B1和A2、B2、（1）求L1的斜率k1的取值范围；（2）若A1恰是双曲线的一个顶点，求| A2B2|的值、分析：本题涉及了两个基本问题：一是直线与双曲线相交于两点的判定问题，二是直线被双曲线截得的弦长问题（连续曲线上两点的线段叫曲线的弦）、前一个问题的思想是：直线与双曲线相交于两点方程组有两解一元二次方程有两个不等的实根判别式△>0;后一个问题的通常解法是不求交点坐标，当方程组经过消元化为一元二次方程后，利用一元二次方程根与系数的关系来解，即|AB|= =（其中k为直线的斜率）、解：（1）据题意，L1、L2的斜率都存在，因为L1过点P（-，0），且与双曲线有两个交点，故方程组①有两个不同的解、在方程组①中，消去y，整理得（k12-1）x2+2k12x+2k12-1=0、②若k12-1=0,直线与双曲线的渐近线平行，与双曲线只有一个交点，与题设矛盾、故k12-1≠0，即|k1|≠1、方程②的判别式为△1=（2k12）2-4(k12-1)(2k12-1)=4(3k12-1)、设L2的斜率为k2，因为L2过点P（-，0），-且与双曲线有两个交点，故方程组③有两个不同的解、在方程组③中消去y，整理得（k22-1）x2+2k22x+2k22-1=0、④同理有k22-1≠0，△2=4（3k22-1）、因为L1⊥L2，所以有k1k2=-1,于是L1、L2与双曲线各有两个交点的充要条件是∴k1∈（-，-1）∪（-1，-）∪（，1）∪（1，）、（2）双曲线y2-x2=1的顶点为（0，-1）、（0，1），取A1（0，1）时，有k1(0+)=1、解得k1=、∴k2=-,代入方程④得x2+4x+3=0、⑤设L2与双曲线的两个交点的坐标为A2（x1,y1）、B2（x2,y2）,则x1+x2=-4,x1x2=3、∴|A2B2|= =3、当取A1（0，-1）时，由双曲线y2-x2=1关于x轴对称，知|A2B2|=2、∴L1过双曲线的一个顶点时，|A2B2|=2、注意：直线方程与双曲线方程消去y后，得（k12-1）x2+2k12x+2k12-1=0，绝对不能忽视对k12-1是否为零的讨论，仅仅从形式上认为是二次方程而去谈论△和根与系数的关系是毫无意义的，所以在解题过程中用反证法证一下k12-1≠0是非常必要的、备课资料“以定点为中点的二次曲线的弦所在直线方程”的求法[例]设M（a,b）为二次曲线F（x,y）=0的内部的一个定点，经过点M的直线与二曲线交于A、B两点，使得M为AB弦的中点，则直线AB方程为F（2a-x,2b-x）-F(x,y)=0、证明：设A、B两点坐标分别为A（x,y）、B（x1,y1）,于是有a=(x+x1),b=(y+y1),即x1=2a-x,y1=2b-y、∵A（x,y）,B(2a-x,2b-y)在曲线上,∴F(x,y)=0, ①F(2a-x,2b-y)=0、②以上两式相减得F（2a-x,2b-y）- F(x,y)=0、③∵①、②两式的两个方程的二次项系数相同，∴③一定是关于x、y的一次方程、又∵A、B两点坐标适合①、②、∴一定也适合③式、∴AB的直线方程为F（2a-x,2b-y）- F(x,y)=0、。
3.2.2双曲线的简单几何性质课件(人教版)(第3课时)课件(人教版)
5
2
则 20 16k 0, 即 k
2
5
综上，k 1 或 k
2
例1 已知双曲线C：x2-y2=4，直线l：y=kx-1.
(3)若直线l与双曲线C的右支有2个公共点，求k的取值范围.
y kx 1
2
A. － ＝1
3
6
x2 y2
B. － ＝1
4
5
x2 y2
C. － ＝1
6
3
)
x2 y2
D. － ＝1
5
4
x2 y2
解：设双曲线的标准方程为 2－ 2＝1(a>0，b>0)，由题意知 c＝3，a2＋b2＝9，
a
b
x12 y12
－ 2 ＝1，
2
a
b
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x22 y22
第 3 章圆锥曲线的方程
3.2.2 双曲线的简单几何性质
复 焦点位置
习 方程
x轴
x2
y2
2 1( a 0，b 0)
2
a
b
y
图形
范围
对称性
顶点
y轴
y2
x2
2 1( a 0，b 0)
2
a
b
y
M(x,y)
F2
F1 O
F2
x
即x a或x a , y R
O
x
即y a或y a , x R
两式作差，
－
＝1，
a2
b2
y1－y2 b2（x 1＋x2） －12b2 4b2
【参考教案】《双曲线的简单几何性质》(人民教育出版社)
一、教案内容：《双曲线的简单几何性质》1. 教学目标（1）理解双曲线的定义及标准方程。
（2）掌握双曲线的焦点、实轴、虚轴、顶点等基本几何性质。
（3）能够运用双曲线的性质解决实际问题。
2. 教学重点与难点（1）双曲线的定义及标准方程。
（2）双曲线的焦点、实轴、虚轴、顶点等基本几何性质。
3. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组讨论法等，引导学生主动探究、合作交流。
4. 教学过程（1）导入：通过复习椭圆的相关知识，引导学生思考双曲线的定义及性质。
（2）新课讲解：介绍双曲线的定义、标准方程及基本几何性质。
（3）案例分析：分析具体的双曲线例子，让学生加深对双曲线性质的理解。
（4）课堂练习：布置相关的练习题，巩固所学知识。
（5）总结拓展：引导学生思考双曲线在实际问题中的应用。
5. 课后作业（1）复习双曲线的定义及标准方程。
（2）练习双曲线的性质分析。
二、教案内容：《双曲线的焦点与实轴、虚轴的关系》1. 教学目标（1）掌握双曲线的焦点与实轴、虚轴的关系。
（2）能够运用焦点与实轴、虚轴的关系解决实际问题。
2. 教学重点与难点（1）双曲线的焦点与实轴、虚轴的关系。
3. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组讨论法等，引导学生主动探究、合作交流。
4. 教学过程（1）导入：复习双曲线的定义及基本几何性质。
（2）新课讲解：介绍双曲线的焦点与实轴、虚轴的关系。
（3）案例分析：分析具体的双曲线例子，让学生加深对焦点与实轴、虚轴关系的理解。
（4）课堂练习：布置相关的练习题，巩固所学知识。
（5）总结拓展：引导学生思考焦点与实轴、虚轴关系在实际问题中的应用。
5. 课后作业（1）复习双曲线的焦点与实轴、虚轴的关系。
（2）练习运用焦点与实轴、虚轴关系解决实际问题。
三、教案内容：《双曲线的顶点与渐近线》1. 教学目标（1）掌握双曲线的顶点与渐近线。
（2）能够运用顶点与渐近线解决实际问题。
2. 教学重点与难点（1）双曲线的顶点与渐近线。
双曲线的简单几何性质 高二数学 (人教A版2019选择性 必修第一册)
2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(
2 2
A. 4 －12＝1
2 2
B.12－ 4 ＝1
)
2
C. 3 － 2 ＝1
2
D． 2 － 3
＝1
1
(2)渐近线方程为y＝± 2 x，且经过点A(2，－3)的双曲线方程为________.
[解析] (1)不妨设点A在第一象限，由题意可知c＝2，点A的坐标为(1， 3)，所以 ＝ 3，
−
2
(2)设F1，F2是双曲线C：2
2
＝1(a＞
2
−
2)的两条渐近线的夹角为 3 ，则双曲线的离心率为________；
2
＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且
2
△
PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率为________．
(2)不妨设|PF1|>|PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|
(2)等轴双曲线具有以下性质：
①方程形式为x2－y2＝λ(λ≠0)；
②渐近线方程为y＝±x，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；
③实轴长和虚轴长都等于2a，离心率e＝ 2.
（三）典型例题
1.利用双曲线的性质求标准方程
2 2
例1.(1)已知双曲线2-2 ＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为
[解析] 联立直线与双曲线方程
消去y得：(1－3k2)x2－6 2kx－9＝0.
3
当1－3k2＝0，即k＝± 3 时，直线l1与双曲线C只有一个公共点；
当1－3k2≠0，Δ＝(6k)2＋36(1－3k2)＝36－36k2，
人教课标版高中数学选修1-1《双曲线的简单几何性质》教案-新版
2.2.2双曲线的简单几何性质一、教学目标 1.核心素养培养直观想象、逻辑推理、数学建模、数据分析素养 2.学习目标（1）类比椭圆的性质，能根据双曲线的标准方程，了解它的简单几何性质（范围、对称性、顶点、实轴长、虚轴长等）．（2）理解渐近线和离心率的定义、范围，掌握参数,,,a b c e 间的关系 （3）能运用双曲线的几何性质解决一些简单的问题． （4）了解直线与双曲线的位置关系 3.学习重点双曲线的几何性质． 4.学习难点双曲线性质的应用，渐近线的理解． 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 任务1预习教材4953P P - ，类比椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的哪些性质?如何研究这些性质? 任务2 完成53P 的练习 2.预习自测1.已知双曲线2213x y m m-=的一个焦点为()2,0，则此双曲线的实轴长为（ ） A ．1 B ．3C ．2D ．23 答案：C解析：考查双曲线简单几何性质.2. .已知双曲线()222103x y a a -=>的离心率为2，则a =（ ） A ．2 B ．62C ．52D ．1 答案：D解析：考查双曲线简单几何性质.3.椭圆222134x y n +=和双曲线222116x y n -=有共同的焦点，则双曲线的离心率为（ ） A ．415B ．53C ．43D ．不能确定 答案：B解析：考查双曲线简单几何性质. （二）课堂设计 1.知识回顾1.焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>，焦点()()12,0,,0F c F c -，其中222c a b =+；2.焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b-=>>，焦点()()120,,0,F c F c -其中222c a b =+.3.()0l y kx b C F x y 直线:,与圆锥曲线:,=+=相交于1122()()A x y B x y ,,,两点,则：222121212114AB k x x k x x x x =+-=+(+)-或21212122211114AB y y y y y y k k=+-=+(+)- 2.问题探究问题探究一 双曲线的几何性质根据双曲线的标准方程()222210,0x y a b a b-=>>研究它的性质1．（1）从形的角度看：双曲线位于直线x a =和x a =-的外侧，即在不等式x a ≤-与x a ≥所表示的平面区域内.（2）从数的角度看：利用方程研究，双曲线上点的坐标满足222210x y a b -=≥，故22x a ≥，即x a ≤-或x a ≥；这说明双曲线在不等式x a ≤-或x a ≥与所表示的平面区域内.2. （1）从形的角度看：双曲线与椭圆一样，既是中心对称图形，也是轴对称图形．（2）从数的角度看：在双曲线方程中，以－x 、－y 代替x 、y 方程不变，因此双曲线是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图象；也是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心叫做双曲线的中心.3．双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点，双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的顶点是(,0)a ±，这两个顶点之间的线段叫做双曲线的实轴，它的长等于2a ,同时在另一条对称轴上作点()()120,,0,B b B b -，线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b ，a 、b 分别是双曲线的实半轴长和虚半轴长．4. 双曲线()222210,0x y a b a b -=>>各支向外延伸时，与两条直线y ＝±b a x 逐渐接近，但永不相交，我们把这两条直线称为双曲线的渐近线，方程为y ＝±ba x. 5．双曲线的半焦距c 与实半轴长a 的比叫做双曲线的离心率，其取值范围是(1,)+∞．问题探究二 能运用双曲线的几何性质解决一些简单的问题例1.求双曲线22194x y -=的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．【知识点：双曲线的几何性质】详解：222229,4,13,3,2,13a b c a b a b c ===+====， 顶点()()123,0,3,0A A -，焦点()()1213,0,13,0F F -，实轴长26a =，虚轴长24b = 离心率133c e a ==， 在方程22194x y -=中将1换成0，得22094x y -=，即032x y ±=． ∴23y x =±为双曲线的渐近线方程．变式引伸：已知双曲线的渐近线方程为43y x =±，并且焦点都在圆22100x y +=上，求双曲线方程．解法一：（1）当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为22221x y a b -=，因为渐近线方程为43y x =±，则43b a =．又由焦点在圆22100x y +=上知10c =，所以222100a b c +==，可求得6a =，8b =．所求双曲线方程为2213664x y -=．（2）当焦点在y 轴上时，设双曲线方程为22221y x a b-=．由题设得22210043a b c a b ⎧+==⎪⎨=⎪⎩，解得：8,6a b ==．焦点在y 轴上时，双曲线方程为2216436y x -=．综上所述，所求双曲线方程为2213664x y -=或2216436y x -=． 解法二：因为双曲线的渐近线方程为43y x =±．设双曲线方程为222234x y λ-=(0)λ≠． 又焦点都在圆22100x y +=上，所以2100c =．则22(3)(4)100λλ+=．解得4λ=±．所求双曲线方程为2222434x y -=±．即：2213664x y -=±． 点拔：双曲线与其渐近线的关系是：以0x ya b ±=为渐近线的双曲线系方程为2222(0)x y a b λλ-=≠；双曲线2222(0)x y a b λλ-=≠的渐近线方程为0x y a b ±=． 例2.求与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且经过点(3,23)M -的双曲线的方程．【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】详解：设所求双曲线方程为22(0)916x y λλ-=≠，由于双曲线过点(3,23)M -，有：22(3)(23)19164λ-=-=．故双曲线方程为2219164x y -=，即：221944x y -=． 点拔：与双曲线22221x y a b-=有共同渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠的形式．当λ的值为正时，焦点在x 轴上，为负时焦点在y 轴上．例3.设双曲线22221x y a b-=(0)a b <<的半焦距为c ，直线l 过(,0)(0,)a b 、两点，且原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率． 解：由直线l 过(,0)(0,)a b 、两点，得l 的方程为0bx ay ab +-=． 由点到l 的距离为34c ，得2234ab c a b=+．将22b c a =-代入，平方后整理得：2222216()1630a a c c -⨯+=．令22a x c=，则：2161630x x -+=，解得34x =或14x =． 由c e a =得，1e x=．故233e =或2e =． 因为0a b <<，故222212c a b b e a a a+===+>．所以应舍去233e =． 故所求离心率为2e =．点拔：此题易得出错误答案2e =或233e =，其原因是未注意到题设条件0a b <<，从而离心率2e >，而2323<，应舍去． 问题探究三 直线与双曲线的位置关系1.设直线方程为y kx m =+，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，联立方程得22221y kx m x y a b =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并化简()22222222220b a k x a mkx a m a b ----=①当2220b a k -=，即bk a =±时，直线与渐近线平行，则直线与双曲线只有一个公共点.②当2220b a k -≠，即bk a ≠±时，0∆>⇔直线与双曲线相交⇔直线与双曲线有两个公共点； 0∆=⇔直线与双曲线相切⇔直线与双曲线有且只有一个公共点0∆<⇔直线与双曲线相离⇔直线与双曲线无公共点 2.弦长问题设直线方程为y kx m =+，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>于点()()111222,,P x y P x y 两点，则()()22121212PP x x y y =-+-()221212121y y x x x x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥=-+ ⎪-⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()22121x x k =-+2121k x x =+-()22121214kx x x x =++-同理可得1212211PP y y k =+-()212122114y y y y k=++-()0k ≠3.双曲线的通径过双曲线的焦点且垂直于实轴的直线被双曲线截得的弦称为双曲线的通径，通径长为22b a.例4.过点(8,1)P 的直线与双曲线2244x y -=相交于A 、B 两点，且P 是线段AB 的中点，求直线AB 的方程．【知识点：双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系】详解一：设A 、B 的坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ．则：221144x y -= ① 222244x y -= ② ①－②得：12121212()()4()()0x x x x y y y y +--+-=． ∵Ｐ是线段AB 的中点， ∴121216,2x x y y +=+= ． ∴1212121224()y y x xx x y y -+==-+．∴直线AB 的斜率为2． ∴直线AB 的方程为12(8)y x -=-． 即2150x y --=．详解二：设A (,)x y ，则B (16,2)x y --． ∵A 、B 为双曲线上的点， ∴2244x y -= ①22(16)4(2)4x y ---= ② ①－②得2321616160x y --+=． 整理得2150x y --=．例5.已知曲线C ：221x y -=及直线l ：1y kx =-． （1）若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；（2）若l 与C 交于A 、B 两点，O 是原点，且△OAB 的面积为2，求实数k 的值．【知识点：双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系】 详解：(1)曲线Ｃ与直线l 有两个不同的交点．则方程组2211x y y kx ⎧-=⎨=-⎩有两个不同的解，整理得：22(1)220k x kx -+-=，此方程必有两个不等的实根1x 、2x ．∴22210△48(1)0k k k ⎧-≠⎪⎨=+->⎪⎩． 解得22k -<<且1k ≠±时，曲线C 与直线l 有两个不同的交点． (2)设交点A 11(,)x y 、B 22(,)x y ，直线l 与y 轴交于点D （0,－1）．∴1221222121k x x k x x k -⎧+=⎪⎪-⎨-⎪⋅=⎪-⎩． ∵△△△121()2OAB OAD OBD S S S x x =+=+12122x x =-=．∴2212()(22)x x -=， 即22228811k k k-⎛⎫+= ⎪--⎝⎭．解得0k =或62k =±． 又∵22k -<<且1k ≠±，∴0k =或62k =±时，△OAB 的面积为2． 3.课堂总结 【知识梳理】椭圆、双曲线的标准方程的区别和联系双曲线的几何性质与椭圆的几何性质有不少相同或类似之处，要注意它们的区别与联系，不能混淆，列表如下 椭圆双曲线方程()2222+10,0x y a b a b=>> ()222210,0x y a b a b-=>> 图形范围 b y a ≤≤||,|x | R y a x ∈≥,||对称性对称轴：x 轴、y 轴对称中心：原点对称轴：x 轴、y 轴 对称中心：原点顶点 轴长 ,0,0(0,)0,a a b b （）、（）、（）--长轴长2a ，短轴长2b,0,0a a （）、（）-实轴长2a虚轴长2b离心率 ,(01)ce e a=<< ,(1)ce e a=> 渐近线无 有两条，其方程为b y x a=±【重难点突破】 1．双曲线的渐近线(1)对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线的特有性质，画双曲线时应先画出它的渐近线．(2)要明确双曲线的渐近线是哪两条直线，过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，其两条对角线所在直线即为双曲线的渐近线．(3)“渐近”两字的含义：当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近，接近的程度是无限的．(4)根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法：把标准方程中“1”用“0”替换得出的两条直线方程，即双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的渐近线方程为02222=-b y a x 即b y x a =±；双曲线22221(0,0)y x a b a b -=>>的渐近线方程为22220y x a b-=，即a y x b =±. (5)渐近线是刻画双曲线的一个重要概念，根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为n y x m =的双曲线方程可设为：2222(0);x y m nλλ-=≠如果两条渐近线的方程为0Ax By ±=那么双曲线的方程可设为2222(0);A x B y m m -=≠与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线方程可设为.02222）（≠=-λλby a x 2．双曲线上两个重要的三角形(1)实轴端点、虚轴端点及对称中心构成一个直角三角形，边长满足222c a b =+称为双曲线的特征三角形．(2)焦点,F 过F 作渐近线的垂线，垂足为D ，则||,||,||,O F c F D b O D a O F D Δ===|亦是直角三角形，满足,||||||222OD FD OF +=也称为双曲线的特征三角形． 3．学习双曲线中应注意的几个问题：(1)双曲线是两支曲线，而椭圆是一条封闭的曲线； (2)双曲线只有两个顶点，离心率1e >；(3)等轴双曲线是一种比较特殊的双曲线，其离心率为2，实轴长与虚轴长相等，两条渐近线互相垂直；(4)注意双曲线中a b c e 、、、的等量关系与椭圆中a b c e 、、、的不同． 4.随堂检测1.已知双曲线221ax y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则a =（ ）A ．14-B ．4-C ．4D ．14答案：A解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】2.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线相互垂直，则双曲线的离心率为（ ）A．3 B．2C．5 2D．2 2答案：B解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】3.已知双曲线C的焦点、顶点恰好分别是椭圆2212516x y+=的长轴端点、焦点，则双曲线的渐近线方程为（）A．430x y±=B．340x y±=C．450x y±=D．540x y±=答案：A解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】4. 过双曲线2212yx-=的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若4AB=，则这样的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条．答案：C解析：【知识点：双曲线的几何性质，直线与双曲线的标准方程及几何性位置】5. 已知,,,a b c分别为双曲线的半实轴长、半虚轴长、半焦距，且方程20ax bx c++=无实根，则双曲线离心率e的取值范围是()A ． 152e <<-B ．12e <<C ．13e <<D ．152e <<+ 答案：D解析：【知识点：双曲线的几何性质】 由已知，04b 2<-=∆ac2222c 40,()4()10,410.c ca ac e e a a∴--<∴--<--<即2525,1,125e e e ∴-<<+><<+又故. （三）课后作业 基础型 自在突破1.双曲线221916x y -=的一个焦点到一条渐近线的距离等于( ) A.3 B.3 C.4 D.2 答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】2．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22144x y -=B ．22144y x -=C ．22148y x -=D ．22184x y -= 答案：B解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】3．双曲线与椭圆2211664x y +=有相同的焦点，它的一条渐近线为y x =-，则双曲线的方程为（ ） A ．2296x y -= B ．22160y x -= C ．2280x y -=D ．2224y x -= 答案：D解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质，椭圆的几何性质】4．中心在原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为（ ）A ．54y x =±B ．45y x =±C ．43y x =±D ．34y x =±答案：D解析：【知识点：双曲线的几何性质】5. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.22154x y -=B.22145x y -= C.22136x y -=D.22163x y -= 答案：A解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质，圆的几何性质】6．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两焦点分别为12F F 、，以12F F 为边作等边三角形，若双曲线恰平分三角形的另两边，则双曲线的离心率为( ) A ．1＋ 3B ．4＋2 3C ．23－2D ．23＋2解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】 答案：A 能力型 师生共研7．设12F F 、分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近方程为( ) A ．450x y ±= B ．340x y ±= C ．430x y ±= D ．540x y ±= 答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】8.双曲线221x y -=与直线y kx =没有公共点，则k 的取值范围是______________． 答案： 11k k ≤-≥或解析：【知识点：直线与双曲线的位置关系】9.设1a >，则双曲线()222211x y a a -=+的离心率的取值范围是_________. 答案：25e <<解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】10.求与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且经过点(3,23)M -的双曲线的方程．答案：见解析解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】设所求双曲线方程为22(0)916x y λλ-=≠，由于双曲线过点(3,23)M -，有： 22(3)(23)19164λ-=-=．故双曲线方程为2219164x y -=，即：221944x y -=． 探究型 多维突破11. 已知F 1和F 2是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点，P 在双曲线右支上，且124PF PF =，求双曲线的离心率的取值范围． 答案：见解析解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】点P 在双曲线右支上，故有1212||||2,||4||,PF PF a PF PF 又-==所以21121228||,||.||||||,33a aPF PF PF PF F F ==+≥当且仅当三点共线时取等号．所以28102,333a a a c +=≥即53c a ≤，双曲线的离心率1e >.所以双曲线离心率的取值范围为]351，（. 12. 设双曲线C ：2221x y a -=（0a >）与直线l ：1x y +=相交于不同的两点A 、B ．(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围； (2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且512PA PB =．求a 的值． 答案：见解析解析：【知识点：直线与双曲线的位置关系】(1)由C 与直线l 相交于不同的两点A 、B 得方程：22211x y a x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩有两个不同的实数解．消去y 并整理得2222(1)220a x a x a -+-=． ①所以22221048(1)0a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩解得02a <<且1a ≠． 双曲线的离心率22111a e a a +==+． ∵02a <<且1a ≠，∴62e >且2e ≠． (2)设11(,)A x y ，22(,)B x y ，(0,1)P ．∵512PA PB =， ∴11225(,1)(,1)12x y x y -=-由此得12512x x =．由于1x 、2x 是方程①的两根，且210a -≠，所以222172121a x a =--，222252121a x a=--． 消去2x 得222289160a a -=-， 由0a >得1713a =．(四) 自助餐1．双曲线2233x y -=的渐近线方程是（ ） A ．3y x =±B ．13y x =±C ．3y x =±D ．33y x =± 答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】2． 已知点P 在双曲线221916x y -=上，则P 到双曲线焦点距离的最小值是（ ）A ．9B ．3C ．2D ．无最大值和最小值 答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】3．经过点1(,2)2P 且与双曲线2241x y -=仅有一个公共点的直线有（ ）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 答案：A解析：【知识点：直线与双曲线的位置关系】4. 若双曲线221x y -=的右支上一点(,)P a b 到直线y x =的距离为2，则a b +的值为（ ）A ．12-B．1 2C．1 2±D．2±答案：B解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】5. 双曲线2214x yb+=的离心率e∈(1,2)，则b的取值范围是（）A．012b<<B．102b-<<-C．120b-<<D．80b-<<答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】6．已知双曲线22221x ya b-=(0,0)a b>>的离心率152e+=，A与F分别是左顶点和右焦点，B点的坐标为(0,)b，则∠ABF等于（）A．120B．90C．60D．30答案：B解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】7.若过双曲线2213yx-=的右焦点2F，作直线l与双曲线的两支都相交，则直线l的倾斜角α的取值范围是______________.答案：233,,⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭πππ解析：【知识点：直线与双曲线的位置关系】8.双曲线221169x y -=上有点P ，1F 、2F 是双曲线的焦点，且123F PF π∠=，则△12F PF 的面积是__________． 答案：93解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】9．已知PQ 为过双曲线的一个焦点F 且垂直于实轴的弦，F '是另一个焦点，若90PF Q '∠=，则双曲线的离心率为__________． 答案：12+解析：【知识点：双曲线的几何性质】10.若双曲线的渐近线方程为230x y ±=，且两顶点间的距离为6，求该双曲线的标准方程. 答案：见解析解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】设所求双曲线方程为()22094x y λλ-=≠ 分00λλ><与讨论，焦点在x 轴上双曲线标准方程为22194x y -=，焦点在y 轴上双曲线标准方程为2241981y x -= 11．已知双曲线的中心在原点，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率为2，且过点(4,10)-．（1）求此双曲线的方程；（2）若直线系30kx y k m --+=（k 为参数）所过定点Ｍ恰在双曲线上，求证：12F M F M ⊥． 答案：见解析解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质，直线与椭圆的位置关系】 ①2222222212c a b b e a a a +===+=， ∴1b a=．设双曲线的方程为22x y λ-=． ∵点(4,10)-在双曲线上，∴24106λ=-=．∴双曲线的方程为：226x y -=．②证明：直线系方程为：(3)()0k x m y -+-=过定点(3,)M m ．∵M 在双曲线上，∴2236m -=， ∴3m =±．∴(3,3)M ±． 又∵双曲线的焦点为1(23,0)F -、2(23,0)F ．∴121F M F M k k ⋅=-， ∴12F M F M ⊥．12．已知直线1y ax =+与双曲线2231x y -=交于A 、B 两点．（1）若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值；（2）是否存在这样的实数a ，使A 、B 两点关于直线12y x =对称？若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．答案：见解析解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质，直线与椭圆的位置关系】（1）由22131y ax x y =+⎧⎨-=⎩消去y 得： 22(3)220a x ax ---= ①依题意得：230△0a ⎧-≠⎨>⎩，解得：66a -<<且3a ≠± ② 设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则：1221222③32④3a x x a x x a ⎧+=⎪⎪-⎨-⎪∙=⎪-⎩∵以AB 为直径的圆过坐标原点．∴OA ⊥OB ． ∴12120x x y y += ⑤2121212()1y y a x x a x x =+++．由③④⑤得：22222(1)1033a a a a a -+⋅+⋅+=--． 解得1a =±满足②∴1a =±(2)假设存在实数a ，使A 、B 两点关于直线12y x =对称．则直线1y ax =+与12y x =垂直． ∴112a ⋅=-，即2a =-．直线l 的方程为21y x =-+． 将2a =-代入③得124x x +=．∴A 、B 中点的横坐标为2，纵坐标为2213y =-⨯+=-．但A 、B 中点（2，－3）不在直线12y x =上． 故不存在实数a ，使A 、B 两点关于直线12y x =对称． 三、 数学视野回顾椭圆定义的拓展，我们在教材第46页双曲线标准方程的推导过程中，对()()2222x c y x c y a ++--+=±和()()22222222c a x a y a c a --=-分别进行变形整理，类似可以得到.双曲线的第二定义：点P 满足,1,PF e e F l d=>∉，则P 点的轨迹为椭圆.其中F 为定点，l 为定直线，e 为离心率，d 为点P 到直线l 的距离.双曲线的第三定义：点P 满足21,1PA PB k k e e ⋅=->，则P 点的轨迹为椭圆，其中,k k分别表示点P与两定点A,B连线的斜率，e为离心率. PA PB。
2.3.2《双曲线的简单几何性质》(人教版选修2-1)
（2）如图，线段 A1A2 叫做双曲线 的实轴，它的长为2a,a叫做
实半轴长；线段 B1B2 叫做双
曲线的虚轴，它的长为2b,b
y
叫做双曲线的虚半轴长.
（见教材P.56)
b B2
（3）实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线
x2 y 2 m(m 0)
A1 -a o a A2
x
-b B1
第6页，共69页。
2.3.2 双曲线简单的几何性质 (一)
第1页，共69页。
定义 图象
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
M
y
M F2
F1 o F2 x
x
F1
方程
焦点
a.b.c 的关系
x2 a2
y2 b2
1
y2 x2 a2 b2 1
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2 b2
(x,-y)
x以轴-x、代yx轴方是程不双变曲，线故的图对像称关轴于，原轴y点对是称对；称中心，
又 以-叫y代做y方双程曲不线变的，中故心图像。关于 轴对x 称；。
以-x代x且以-y代y方程不变，故图像关于 原点对称
第5页，共69页。
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
顶点是A1(a,0)、A2 (a,0)
P( 1,－3 ) 且离心率为 的2双曲线标准方程.
y2 x2 1 88
第34页，共69页。
学习小结:
渐近线方程为 y b x 的双曲线的方程可写 a
成
x2 a2
y2 b2
y b x a
第26页，共69页。
高中数学选择性必修一(人教版)《3.2.2双曲线的简单几何性质》课件
(1)求直线 AB 的方程； (2)求弦 AB 的长．
[解] (1)法一：由题意知直线 AB 的斜率存在， 设直线 AB 的方程为 y－1＝k(x－2)， 联立双曲线方程 3x2－y2＝3，得 (3－k2)x2＋2k(2k－1)x－4k2＋4k－4＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＋x2＝－2k32－k－k2 1＝4，解得 k＝6. 所以直线 AB 的方程为 y－1＝6(x－2)， 即 6x－y－11＝0.
[方法技巧] 求双曲线的标准方程的方法与技巧
(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定 系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择 方程的形式．
(2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧： ①焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程可设为xa22－by22＝1(a>0， b>0)； ②焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为ay22－xb22＝1(a>0， b>0)；
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔． ( )
(2)以 y＝±2x 为渐近线的双曲线有 2 条．
()
(3)
双
曲
线
x2 b2
－
y2 a2
＝
1(a>0
，
b>0)
的
离
心
率
e
＝
c a
(其
中
c＝
a2＋b2)．
()
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．双曲线1x62－y2＝1 的顶点坐标是
第三章3.2.2第1课时双曲线的简单几何性质PPT课件(人教版)
4.双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于
A.12
√B.
2 2
C.1
D. 2
解析 双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，顶点坐标为(1,0) 2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
5.已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率为 25，则双曲线 C 的渐近线方
∴b＝2，∴－m1 ＝b2＝4， ∴m＝－41，故选 C.
12345
3.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲
线的方程是
√A.x2－y2＝8
B.x2－y2＝4
C.y2－x2＝8
D.y2－x2＝4
解析 令y＝0，得x＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)， ∴c＝4，a2＝b2＝21c2＝21×16＝8，故选 A.
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
离心率 e＝ac＝ 313， 渐近线方程为 y＝±bax＝±23x.
延伸探究 求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心 率、顶点坐标和渐近线方程.
解 把方程 nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为xm2－yn2＝1(m>0，n>0)， 由此可知，实半轴长 a＝ m，
所以双曲线的离心率为 1＋ 2.
3 随堂演练
PART THREE
1.(多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则
√A.实轴长为 8 2
√B.虚轴长为 4
C.焦距为 6
√D.离心率为3 4 2
解析 双曲线方程 x2－8y2＝32 化为标准方程为3x22 －y42＝1， 可得 a＝4 2，b＝2，c＝6，
第2章 2.6.2 双曲线的几何性质-【新教材】人教B版(2019)高中数学选择性必修第一册讲义
2.6.2双曲线的几何性质学习目标核心素养1．了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等)．2．理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程．(重点)3．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．(难点)1．通过对双曲线几何性质的学习，培养直观想象素养．2．借助于几何性质的应用，提升逻辑推理，数学运算素养．我们知道，椭圆是一条封闭的曲线，而双曲线是两支“开放式”的曲线，椭圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，它具有四个顶点，离心率的范围是(0,1)，它的大小决定着椭圆的扁圆程度；双曲线和椭圆有着相似之处，那双曲线又有怎样的性质呢？让我们一起对双曲线的性质进行探究吧！1．双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)性质图形焦点(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)焦距2c范围x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；半实轴长：a ，半虚轴长：b离心率 e ＝ca ∈(1，＋∞)渐近线y ＝±b a xy ＝±a b x思考1：能否用a ，b 表示双曲线的离心率？ [提示] 能. e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a 2． 思考2：离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？ [提示] 有影响，因为e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a 2，故当ba 的值越大，渐近线y ＝ba x 的斜率越大，双曲线的开口越大，e 也越大，所以e 反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大．2．等轴双曲线实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y ＝±x ，离心率e ＝2．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)等轴双曲线的离心率为2．( )(2)双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b a x ．( )(3)离心率越大，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线的斜率绝对值越大．( )[答案] (1)√ (2)× (3)√[提示] (1)√ 因为a ＝b ，所以c ＝2a ，所以e ＝ca ＝2． (2)× 由y 2a 2－x 2b 2＝1，得y ＝±a b x ，所以渐近线方程为y ＝±ab x ．(3)√ 由b a ＝c 2－a 2a ＝e 2－1(e ＞1)，所以e 越大，渐近线y ＝±ba x 斜率的绝对值越大．2．若0<k <a ，则双曲线x 2a 2－k 2－y 2b 2＋k 2＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( )A ．相同的实轴B ．相同的虚轴C ．相同的焦点D ．相同的渐近线C [∵0＜k ＜a ，∴a 2－k 2＞0． ∴c 2＝(a 2－k 2)＋(b 2＋k 2)＝a 2＋b 2．] 3．x 2－y 24＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±12x C ．y ＝±4xD ．y ＝±14xA [双曲线x 2－y 24＝1焦点在x 轴上且a 2＝1，b 2＝4， ∴a ＝1，b ＝2，y ＝±ba x ＝±2x ．]4．已知双曲线的焦点为(－4,0)，(4,0)，离心率为2，则双曲线的标准方程为 ．x 24－y 212＝1 [∵e ＝c a ＝2，c ＝4，∴a ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝12，且焦点在x 轴上，故标准方程为x 24－y 212＝1．]5．已知双曲线的渐近线方程是y ＝±4x ，则其离心率为 ． 17或174[若双曲线焦点在x 轴上，依题意得，b a ＝4， ∴b 2a 2＝16，即c 2－a 2a 2＝16，∴e 2＝17，e ＝17． 若双曲线焦点在y 轴上，依题意得，ab ＝4． ∴b a ＝14，b 2a 2＝116，即c 2－a 2a 2＝116． ∴e 2＝1716，故e ＝174，即双曲线的离心率是17或174．]由双曲线的标准方程求其简单的几何性质22长、离心率和渐近线方程．[思路探究] 要将双曲线方程化成标准方程，然后由各个所求量的定义作答．[解] 将9y 2－4x 2＝－36变形为x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1，∴a ＝3，b ＝2，c ＝13， 因此顶点为A 1(－3,0)，A 2(3,0)， 焦点坐标为F 1(－13，0)，F 2(13，0)， 实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4， 离心率e ＝c a ＝133， 渐近线方程y ＝±b a x ＝±23x ．由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键. (2)由标准方程确定焦点位置，确定a 、b 的值.(3)由c 2＝a 2＋b 2求出c 值，从而写出双曲线的几何性质.[跟进训练]1．求双曲线x 23－y 24＝1的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率和渐近线方程．[解] 由题意知a 2＝3，b 2＝4，所以c 2＝a 2＋b 2＝3＋4＝7，解得a ＝3，b ＝2，c ＝7． 因此，双曲线的实轴长2a ＝23，虚轴长2b ＝4． 顶点坐标为(－3，0)，(3，0)， 焦点坐标为(－7，0)，(7，0)． 离心率e ＝c a ＝73＝213，由于该双曲线的焦点在x 轴上，所以渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±233x ．由双曲线的几何性质确定标准方程(1)过点P (3，－2)，离心率e ＝52；(2)与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且过点(－3，23)．[思路探究] (1)(2)中焦点位置不明确，应先讨论焦点位置；再根据已知条件求解，对于(2)也可以根据渐近线方程设双曲线的方程求解．[解] (1)依题意，双曲线的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，分别讨论如下：①若双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 由e ＝52，得c 2a 2＝54．① 由点P (3，－2)在双曲线上，得9a 2－2b 2＝1． ②又a 2＋b 2＝c 2，结合①②，得a 2＝1，b 2＝14． ∴双曲线的方程为x 2－y 214＝1．②若双曲线的焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．同理有c 2a 2＝54，2a 2－9b 2＝1，a 2＋b 2＝c 2， 解得b 2＝－172(不合题意，舍去)． 故双曲线的焦点只能在x 轴上， ∴所求双曲线的方程为x 2－y 214＝1．(2)法一：双曲线x 29－y 216＝1的渐近线方程为y ＝±43x ． ①当所求双曲线的焦点在x 轴上时， 设标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ b a ＝43，9a 2－12b 2＝1，解得a 2＝94，b 2＝4．∴双曲线的方程为x 294－y 24＝1．②当所求双曲线的焦点在y 轴上时， 设标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝43，12a 2－9b 2＝1，此方程组无解，∴所求双曲线的方程为x 294－y 24＝1．法二：∵所求双曲线与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线． ∴设所求双曲线的方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)． 将点(－3,23)代入，得99－1216＝λ，即λ＝14，∴双曲线的方程为x29－y216＝14，即为x294－y24＝1．求双曲线的标准方程的方法与技巧(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．(2)利用渐近线与双曲线的位置关系，设有公共渐近线的双曲线方程x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)，这样可避免分类讨论，从而减少运算量，提高解题速度与准确性．拓展延伸：巧设双曲线的六种方法与技巧(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)．(3)与双曲线x2a2－y2b2＝1共焦点的双曲线方程可设为x2a2－λ－y2b2＋λ＝1(λ≠0，－b2＜λ＜a2)．(4)与双曲线x2a2－y2b2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(5)渐近线为y＝kx的双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0)．(6)渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．[跟进训练]2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为135；(2)渐近线方程为y＝±12x，且经过点A(2，－3)．[解](1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，又ca＝135，∴a＝5，b2＝c2－a2＝144，故其标准方程为y 225－x 2144＝1． (2)∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则ba ＝12．① ∵A (2，－3)在双曲线上，∴4a 2－9b 2＝1． ②由①②联立，无解．若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a b ＝12．③ ∵A (2，－3)在双曲线上，∴9a 2－4b 2＝1． ④ 由③④联立，解得a 2＝8，b 2＝32． ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1．与双曲线有关的离心率问题[1．求离心率的突破点是什么？[提示] 通过已知条件结合双曲线的几何性质建立等式关系． 2．如何求离心率的取值范围？[提示] 利用定义结合已知条件建立不等关系求解．【例3】 已知A 、B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，求E 的离心率．[解] 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，如图所示，|AB|＝|BM|，∠ABM＝120°，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，在Rt△BMN 中，|BN|＝a，|MN|＝3a，故点M的坐标为M(2a，3a)，代入双曲线方程得a2＝b2，所以e＝2．(变换条件)设F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，若PF1⊥PF2且∠PF1F2＝30°，求离心率．[解]在直角三角形PF1F2中，由题设可知：|F1F2|＝2c，|PF2|＝c，|PF1|＝3c，又|PF1|－|PF2|＝2a，所以2a＝3c－c，e＝ca＝23－1＝3＋1．求离心率的方法与技巧(1)求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出a，c，再计算e＝ca；二是依据条件建立参数a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化成离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含ba的方程，求出ba后利用e＝1＋b2a2求离心率．(2)求离心率的范围一般是根据条件建立a，b，c的不等式，通过解不等式得ca或ba的范围，再求得离心率的范围．与渐进线有关的问题【例4】如图，已知F1，F2为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，求双曲线的渐近线方程．[思路探究]根据Rt△PF2F1中的边角关系及双曲线的定义可得a，b的关系，进而可求渐近线方程．[解]设F2(c,0)，(c＞0)，P(c，y0)，则c2a2－y20b2＝1，解得y0＝±b2a．∴|PF2|＝b2 a．在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，则|PF1|＝2|PF2|．①由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a．②由①②，得|PF2|＝2a．∵|PF2|＝b2a，∴2a＝b2a，即b2＝2a2．∴ba＝2．∴渐近线方程为y＝±2x．1．双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线为y＝±ba x，双曲线y2a2－x2b2＝1的渐近线为y＝±abx，两者容易记混，可将双曲线方程中的“1”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程．2．若已知渐近线方程为mx±ny＝0，求双曲线方程，双曲线的焦点可能在x 轴上，也可能在y轴上，可用下面的方法来解决．方法一：分两种情况设出方程进行讨论．方法二：依据渐近线方程，设出双曲线方程m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)，求出λ即可．显然方法二较好，避免了讨论．3．有共同渐近线的双曲线的方程．与双曲线x2a2－y2b2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．若λ＞0，则实轴在x轴上；若λ＜0，则实轴在y轴上，再依据题设条件可确定λ．[跟进训练]3．双曲线C的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为F1，F2，虚轴的一个端点为A，若△AF1F2是顶角为120°的等腰三角形．求双曲线C的渐近线方程．[解]双曲线C的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为F1，F2，虚轴的一个端点为A，若△AF1F2是顶点为120°的等腰三角形．可得c＝3b，所以c2＝3b2，即a2＋b2＝3b2，a2＝2b2，解得ba＝22，或ab＝2．所以双曲线的渐近线方程为：y＝±2x或y＝±22x．1．渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程x2 a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax±by ＝0变为a2x2－b2y2＝λ，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程．2．准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口．对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．1．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是( )A ．x 225－y 29＝1B ．x 225－y 29＝1或y 225－x 29＝1C ．x 2100－y 236＝1 D ．x 2100－y 236或y 2100－x 236＝1B [实轴长为10，虚轴长为6，所以a ＝5，b ＝3． 当焦点在x 轴上时，方程为x 225－y 29＝1；当焦点在y 轴上时，方程为y 225－x 29＝1．] 2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程是y ＝±33x ，则双曲线的离心率为( )A ．32B ．233C ．74D ．55B [由双曲线的渐近线方程是y ＝±33x 知b a ＝33，所以b ＝33a ，所以c 2＝a 2＋b 2＝a 2＋13a 2＝43a 2，所以e 2＝c 2a 2＝43，所以e ＝233．故选B ．] 3．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±x 2，虚轴长为4，则该双曲线的标准方程是 ．x 216－y 24＝1或y 2－x 24＝1 [若双曲线的焦点在x 轴上，则b a ＝12，2b ＝4，解得b ＝2，a ＝4，所以此时双曲线的标准方程为x 216－y 24＝1；若双曲线的焦点在y 轴上，则a b ＝12，2b ＝4，解得b ＝2，a ＝1，所以此时双曲线的标准方程为y 2－x 24＝1．综上可知：该双曲线的标准方程是x 216－y 24＝1或y 2－x 24＝1．]点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．x 24－34y 2＝1 [双曲线右顶点为(a,0)，一条渐近线x －3y ＝0，∴1＝a 1＋3＝a 2．∴a ＝2， 又b a ＝33，∴b ＝233，∴双曲线方程为x 24－34y 2＝1．]5．中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7．求这两条曲线的方程．[解] 由已知：c ＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a ，b ，双曲线半实轴、半虚轴长分别为m ，n ，则⎩⎨⎧ a －m ＝4，7·13a ＝3·13m ，解得a ＝7，m ＝3．所以b ＝6，n ＝2．所以椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1．。
2.3.2 双曲线的简单几何性质课件人教新课标
4
2
2.若双曲线 x2 - y2 =1(a,b>0)的渐近线方程为 y=± 3 x,则该双曲线的离心率为
a2 b2
3
(B )
(A) 3 (B) 2 3 (C)2 (D) 6
3
3
2
3.已知定点 A,B 且|AB|=4,动点 P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为( C )
(A) 1 2
所以 b=6,c=10,a=8.
所以标准方程为 x2 - y2 =1 或 y2 - x2 =1.
64 36
64 36
(2)顶点间距离为 6,渐近线方程为 y=± 3 x; 2
解:(2)法一 当焦点在 x 轴上时, b = 3 且 a=3, a2
所以 b= 9 .所以标准方程为 x2 - y2 =1.
ab 线方程为 x2 - y2 =λ(λ≠0),再根据其他条件确定λ的值.
a2 b2 (2)巧设双曲线方程的六种常用方法 ①焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程可设为 x2 - y2 =1(a>0,b>0).
a2 b2
②焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为 y2 - x2 =1(a>0,b>0). a2 b2
a2 b2
25 9
曲线的焦点坐标为
;渐近线方程为
.
答案:(4,0),(-4,0) y=± 3 x
5.已知双曲线 x2 - y2 =1 的左顶点为 A,过右焦点 F 作垂直于 x 轴的直线,交双曲线 9 16
于 M,N 两点,则△AMN 的面积为
.
答案: 128 3
课堂探究
题型一 双曲线的简单几何性质
≤-a 所表示的平面区域内,而在直线 x=a 与 x=-a 之间没有图象.
3.2.2双曲线的简单几何性质课件(人教版)(4)
设双曲线的方程为 x2 a2
y2 b2
1(a
0，b
0)
点C的坐标为(13，y)，则点B的坐标为(25，y-55).
因为直径AA′是实轴，∴a=12. 又B，C两点都在双曲线上，所以 252 ( y 55)2
解方程，得b≈25(负值舍去)
因此所求双曲线的方程为 x 2 y 2 1 144 625
3
2
，
消去y得，3x2-24x+36+λ=0，
d 1 12
242 12(36 ) 8 3
3
3
双曲线方程为 x2 y2 1 4
随堂练习
5、双曲线x2-y2=1的左焦点为F，点P为左支下半支上任意一点(异于顶点)，则
直线PF的斜率的变化范围是_(_-_∞_，___0_)∪___(1__，__＋_ ∞)
双曲线 y2 a2
x2 b2
1中：
上焦点F2 (0，c)，对应的上准线方程是y
a2 c
下焦点F1 (0，
c)，对应的下准线方程是y
a2 c
y
F1 o F2
a2 y
cx
a2 y
c
2、直线与双曲线的位置关系 1、复习：椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
⇕ ∆<0 判断方法： (1)联立方程组 (2)消去一个未知数
3、两条；
4、D(0，0).
4、零条.
答案又是怎样的?
例题解析
直线与双曲线问题：
3、过双曲线 ，求|AB|。
x2 3
y2 6
1的右焦点F2倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点
分析：求弦长问题有两种方法：
法一：如果交点坐标易求，可直接用两点间距离公式代入求弦长；
双曲线的简单几何性质课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
b
A1 -a
B2
O
-b
B1
a
A2
x
探究新知
x2 y2
双曲线a 2 b 2 1(a 0，b 0)的简单几何性质
y
4、渐近线
x2 y2
b
(1)双曲线 2 2 1(a 0，b 0)的渐近线为y x
a
a
b
( 2)等轴双曲线x y m( m 0)的渐近线为y x
顶点坐标为( 3, 0),焦点坐标为( 3 10 ，
0).
c 3 10
离心率为 e
10 .
a
3
渐近线方程为 y 3 x .
练习
1. 求下列双曲线的实轴与虚轴的长, 顶点和焦点的坐标, 离心率, 渐近线方程.
2
2
x
y
2
2
2
2
2
2
(1) x 8 y 32; (2) 9 x y 81; (3) x y 4; (4)
-a O
a
说明：双曲线位于直线x=-a及其左侧和直线x=a及其右侧的区域.
x
探究新知
x2 y2
双曲线 a 2 b 2 1(a 0，b 0)的简单几何性质
y
(x，y))
(-x，y)
2、对称性：
关于x轴、y轴和原点都是对称。
x轴、y轴是双曲线的对称轴，
原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。
离心率, 渐近线方程.
解析
2
2
y
x
把双曲线的方程9y 2 16x 2 144化为标准方程 2 2 1.
4
3
由此可知, 实半轴长a 4, 虚半轴长b 3;
3.2.2双曲线的简单几何性质课件(人教版)
范围
对称性
顶点
渐近线
离心率
A′
A
0
x
C′
C
B′
B
y
25
26
解：
.
例5、点M（x，y）与定点F（4，0）的距离和它到定直线 的距离的比是常数 ，求点M的轨迹。
双曲线的第二定义：
根据双曲线的对称性，
双曲线的第一定义：
直线与双曲线的位置关系
①Δ＞0 直线和双曲线相交 直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0 直线和双曲线相切 直线和双曲线相切，有一个公共点； ③Δ＜0 直线和双曲线相离 直线和双曲线相离，无公共点．
双曲线标准方程：
双曲线性质：
1.范围：
2.对称性：
3.顶点：
*4.渐近线方程：
5.离心率：
y≥a或y≤-a
关于坐标轴和原点对称
A1(0，-a),A2(0,a)
A1A2为实轴，B1B2为虚轴
13
例1 求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐进线方程.
同桌比一比，看谁快又准!
双曲线方程
标准方程
实半轴长
虚半轴长
顶点坐标
焦点坐标
离心率
渐近线
2
2
(0,±2)
的渐近线方程为：
16
已知渐近线方程,不能确定a,b的值,只能确定a,b的关系
如果两条渐近线方程为 ,那么双曲线的方程为
当λ >0时,
当λ <0时,
A
B
37
例6：如图所示，过双曲线 的右焦点F2,倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|
A
B
*
人教版高中数学选修2第4讲：双曲线的标准方程与性质(教师版)
人教版高中数学双曲线的标准方程与性质1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及简单性质．2. 了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用．3. 理解数形结合的思想．1．双曲线的定义平面内动点与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|大于零)，则点的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)若a<c时，则集合P为双曲线；(2)若a＝c时，则集合P为两条射线；(3)若a>c时，则集合P为空集．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a ，0)，A2(a ，0) A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y ＝±b axy ＝±abx离心率e ＝ca，e ∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)类型一双曲线的定义及应用例1：(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．【解析】利用动圆M同时与圆及圆外切,可得的轨迹为到定点,距离差为常数2的点的集合,即双曲线的左支,从而可得方程.【答案】动圆的圆心为,动圆的圆心为动圆M同时与圆及圆外切,动圆M的半径,即的轨迹为到定点,距离差为常数2的点的集合,即双曲线的左支的轨迹方程为因此，本题正确答案是:练习1：已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．【答案】23练习2：设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝( )A．1 B．17 C．1或17 D．以上答案均不对【答案】B练习3：已知F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为( )A．5 B．5＋4 3 C．7 D．9【答案】D类型二双曲线的标准方程例2:已知双曲线中心在原点且一个焦点为F1(－5，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是( )A.2214xyB．2214yxC.22123x yD.22132x y【解析】∵F1(－5，0)，PF1的中点坐标为(0,2)，∴P的坐标为(5，4)．又∵双曲线的一个焦点为F1(－5，0)，∴另一个焦点为F2(5，0)．∴2a＝||PF1|－|PF2||＝2.∴a＝1.又∵c＝5，∴b2＝c2－a2＝4.∴双曲线方程为x2－y24＝1.【答案】B练习1：设双曲线与椭圆x227＋y236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是________．【答案】根据题意可以知道椭圆的焦点在y 轴上,且,故焦点坐标为由双曲线的定义可得,故,,故所求双曲线的标准方程为因此，本题正确答案是:规律方法待定系数法求双曲线方程具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．练习2：根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M(0，12)；(3)经过两点P(－3，27)和Q(－62，－7)．【答案】(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)．由题意知，2b＝12，e＝＝.∴b＝6，c＝10，a＝8.∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. (2)∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.又2c＝26，∴c＝13.∴b2＝c2－a2＝25.∴双曲线的标准方程为－＝1.(3)设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)．∴∴双曲线的标准方程为－＝1.类型三双曲线的几何性质例3：(1)设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A．3x±4y＝0 B．3x±5y＝0 C．4x±3y ＝0 D．5x＋4y＝0【解析】等腰三角形中,到的距离为2a化简得所以渐近线方程【答案】C练习1：(2014·浙江卷)设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m，0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．【答案】：5 2练习2：设a>1，则双曲线22221(1)x ya a的离心率e的取值范围是( )A．(2，2) B．(2，5) C．(2,5) D．(2，5)【解析】e＝ca＝1＋a＋1a2＝1＋1＋1a2.∵a>1，∴0<1a<1，∴1<1＋1a<2，∴2<e<5，故选 B.【答案】B类型四直线与双曲线的位置关系例4:已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，实轴长为2 3.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C左支交于A，B两点，求k的取值范围．【解析】(1),,,C的方程为由与消去y,得,方程有解,判别式大于0,两根之和小于0，解得,【答案】(1),,,C的方程为(2)由与消去y,得,方程有解,判别式大于0,两根之和小于0，解得,研究直线与双曲线位置关系的通法：将直线代入双曲线的方程，消元，得到关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．(2)近几年高考对直线与双曲线的考查降低了要求，一般与双曲线的几何性质结合考查．练习1：(2014·湖北卷)设a，b是关于t的方程t2cosθ＋tsinθ＝0的两个不等实根，则过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线x2cos2 θ－y2sin2 θ＝1的公共点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】A练习2：【2015江苏高考，12】在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。
双曲线的简单几何性质
2.椭圆的图像与性质:
标 准 x2 y2 方 程 a2 b2 1
范围
|x|a,|y|≤b
对称性
顶点
关于X,Y轴, 原点对称
±a,0 , 0,±b
焦点
±c,0
A1 F1
长轴、
短轴 A1A2 ; B1B2
离心率
e c a
Y
B2
o
B1
A2
F2
X
课堂新授
一、研究双曲线
法一:直接设标准方程,运用待定系数法
⑵解:设双曲线方程为
x2 a2
y2 b2
1 (a>0,b>0)
a2 b2 20
则
(3 2)2 22 a2 b2
1
解之得
a b
2 2
12 8
或设
x2 m2
y2 20 m2
1,
∴双曲线方程为 x2 y2 1 12 8
求得m2 12(30舍去)
y2 x2 a2b2 1(a0,b0)
x≥ a,或 x≤ a， y R y≥ a,或 y≤ a， x R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称
顶点 A1 - a,0 ,A2 a,0
离心率 渐近线
e c (e 1) a
y b x a
A1 0,-a ,A2 0,a
e c (e 1) a
顶A 点 1 ( a ,0 )、 是 A 2 (a ,0 )
（2）线段 A 1 A 2 叫双曲线的实轴，长为2a，a为实半轴长；
线段B 1 B 2叫双曲线的虚轴，长为2b，b为虚半轴长 y
（3）实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线，即a=b
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双曲线的简单几何性质一．基本概念1 双曲线定义：①到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．②动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线2、双曲线图像中线段的几何特征： ⑴实轴长122A A a =，虚轴长2b,焦距122F F c =⑵顶点到焦点的距离：11A F =22A F c a =-，12A F =21A F a c =+⑶顶点到准线的距离：21122 a A K A K a c ==-；21221 a A K A K a c ==+⑷焦点到准线的距离：2211221221 a a F K F K c F K F K c c c==-==+或 ⑸两准线间的距离: 2122a K K c=⑹21F PF ∆中结合定义a PF PF 221=-与余弦定理21cos PF F ∠，将有关线段1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来，122122PF F F PF S b ∆∠=⑺离心率： 121122121122PF PF A F A F c e PM PM A K A K a ======∈（1，+∞）⑻焦点到渐近线的距离：虚半轴长b⑼通径的长是a b 22，焦准距2b c ，焦参数2b a（通径长的一半）其中22b a c +=a PF 221=-3 双曲线标准方程的两种形式：①22a x －22b y =1，c =22b a +，焦点是F 1（－c ，0），F 2（c ，0） ②22a y －22b x =1，c =22b a +，焦点是F 1（0，－c ）、F 2（0，c ）4、双曲线的性质：22a x －22by =1（a ＞0，b ＞0）⑴范围：|x |≥a ，y ∈R⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线：①若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程⇒=-02222b y a x x aby ±=②若渐近线方程为x aby ±=⇒0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x（0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）④特别地当⇔=时b a 离心率2=e ⇔两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，此时双曲线为等轴双曲线，可设为λ=-22y x ；y =a b x ，y =－ab x ⑸准线：l 1：x =－c a 2，l 2：x =c a 2，两准线之距为2122a K K c=⋅⑹焦半径：21()a PF e x ex a c =+=+，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；22()a PF e x ex a c=-=-，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；当焦点在y 轴上时，标准方程及相应性质（略）⑺与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222by a x )0(≠λ⑻与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x ⑼双曲线上过焦点的弦，当弦的两端点在双曲线的同一支上时，过焦点且垂直于实轴的弦最短， 当弦的两端点在双曲线的两支上时，以实轴长最短。
⑽双曲线的通径（即通过焦点且垂直于x 轴的弦长）为22ab 。
⑾处理双曲线的中点弦问题常用差分法，即代点相减法。
⑿注意两类特殊的双曲线一类是等轴双曲线：其主要性质有：a b =，离心率e =一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。
另一类是共轭双曲线：其主要性质有：它们有共同的渐近线，它们的四个焦点共圆，它们的离心率的倒数的平方和等于1。
等轴双曲线是一个方程所对应的几何图形，有两支双曲线，而互为共轭双曲线则是两个方程所对应的几何图形，每个方程各对应两支双曲线。
二．例题选讲【例1】若00(,)M x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右支上时，证明：10||MF ex a =+，20||MF ex a =-变式1：若00(,)M x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的左支上时，证明：10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--变式2：（2010江西理）点00()A x y ，在双曲线221432x y -=的右支上，若点A 到右焦点的距离等于02x ，则0x = 解：a=2.c=6,re d=3r d ⇒=,200023()2a x x x c =-⇒=变式2：（2010江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线112422=-y x 上一点M ，点M 的横坐标是3，则M 到双曲线右焦点的距离是__________ 解：422MF e d ===，d 为点M 到右准线1x =的距离，d =2，MF=4。
变式3：（09全国Ⅱ理）已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的右焦点为F ,过F的直线交C于A B 、两点，若4AF FB =,则C 的离心率为 ( )A ．65 B. 75C. 58D.95解：设双曲线22221x y C a b-=：的右准线为l ,过A B 、分 别作AM l ⊥于M ,BN l ⊥于N , BD AM D ⊥于,由直线AB,知直线AB 的倾斜角16060,||||2BAD AD AB ︒∴∠=︒=,由双曲线的第二定义有1||||||(||||)AM BN AD AF FB e -==-11||(||||)22AB AF FB ==+.又15643||||25AF FB FB FB e e =∴⋅=∴= .【例2】双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点，12F PF θ∠=，求证：（1）2122||||1cos b PF PF θ=-；（2）双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co θ∆=.变式：（2010全国1文）已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ︒∠=，则12||||PF PF =(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8解1：由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-()(22221212121212122221cos60222PF PF PF PF PF PF F F PF PF PF PF +--+-⇒=⇒=12||||PF PF =4解2：由焦点三角形面积公式得：12022012126011cot 1cot sin 602222F PF S b PF PF PF PF θ∆=====，12||||PF PF =4 变式2：（2010全国1理）已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ︒∠=，则P 到x 轴的距离为【例3】设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，证明：sin (sin sin )ce aαγβ==±-.【例4】证明：与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222by a x )0(≠λ变式1：证明：与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x变式2：根据下列条件，求双曲线方程：（1）与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点（－3，23）； （2）与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）分析：设双曲线方程为22a x －22by =1，求双曲线方程，即求a 、b ，为此需要关于a 、b 的两个方程，由题意易得关于a 、b 的两个方程解法一：（1）设双曲线的方程为22a x －22b y =1，由题意得2243(3)(23)1916b a ⎧=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，解得a 2=49，b 2=4 所以双曲线的方程为492x －42y =1（2）设双曲线方程为22a x －22b y =1，由题意易求c 5，又双曲线过点（32，2），∴22)23(a －24b =1又∵a 2+b 2=（25）2，∴a 2=12，b 2=8，故所求双曲线的方程为122x －82y =1解法二：（1）设所求双曲线方程为92x －162y ＝λ（λ≠0），将点（－3，23）代入得λ＝41，所以双曲线方程为92x －162y 41（2）设双曲线方程为k x -162－ky +42＝1，将点（32，2）代入得k =4，所以双曲线方程为122x －82y ＝1点评：求双曲线的方程，关键是求a 、b ，在解题过程中应熟悉各元素（a 、b 、c 、e 及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用若已知双曲线的渐近线方程ax ±by =0，可设双曲线方程为a 2x 2－b 2y 2=λ（λ≠0）【例5】在等轴双曲线中，证明：（1）其离心率e = （2）两条渐近线互相垂直；（3）等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。
变式：双曲线12222=-by a x 与双曲线12222=-a x b y 互为共轭双曲线，证明：（1）共轭双曲线有共同的渐近线；（2）它们的四个焦点共圆；（3）它们的离心率的倒数的平方和等于1.。