高考数学专题之排列组合综合练习
排列组合训练
凤凰涅槃训练数学专题训练排列组合(一)一．选择题（共20小题）1．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）A 140种B 84种C 70种D 35种2．设数字1，2，3，4，5，6的一个排列为a1，a2，a3，a4，a5，a6，若对任意的a i（i=2，3，4，5，6）总有a k（k＜i，k=1，2，3，4，5）满足|a i﹣a k|=1，则这样的排列共有（）A 36B 32C 28D 203．各位数字之和为8的正整数（如8，17，224）按从小到大的顺序构成数列{a n}，若a n=2015，则n=（）A 56B 72C 83D 1244．某人根据自己爱好，希望从{W，X，Y，Z}中选2个不同字母，从{0，2，6，8}中选3个不同数字拟编车牌号，要求前三位是数字，后两位是字母，且数字2不能排在首位，字母Z和数字2不能相邻，那么满足要求的车牌号有（）A 198个B 180个C 216个D 234个5．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有（）A ．48种B．72种C．96种D．108种6．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且蓝色卡片至多1张．则不同的取法的共有（）A 135B 172C 189D 2167．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为3个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i （i=1，2，…6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有（）A ．22种B．24种C．25种D．36种8．若集合A1，A2满足A1∪A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一个分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分拆，则集合A={a1，a2}的不同分拆种数是（）A ．8 B．9 C．16 D．189．2011年春节，六安一中校办室要安排从正月初一至正月初六由指定的六位领导参加的值班表．要求每一位领导值班一天，但校长甲与校长乙不能相邻且主任丙与主任丁也不能相邻，则共有多少种不同的安排方法（）A ．336 B．408 C．240 D．26410．已知集合M=N={0，1，2，3}，定义函数f：M→N，且点A（0，f（0）），B（i，f（i）），C（i+1，f（i+1）），（其中i=1，2）．若△ABC的内切圆圆心为I，且R），则满足条件的函数有（）A ．10个B．12个C．18个D．24个11．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（）A ．12种B．18种C．24种D．36种12．若x、y∈{x|x=a0+a1•10+a2•100}，其中a i∈{1，2，3，4，5，6，7}（i=0，1，2），且x+y=636，则实数对（x，y）表示坐标平面上不同点的个数为（）A ．50个B．70个C．90个D．180个13．将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有（）A ．6种B．9种C．11种D．23种14．将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（）A ．6种B．12种C．24种D．48种15．高三年级有文科、理科共9个备课组，每个备课组的人数不少于4个，现从这9个备课组中抽出l2人，每个备课组至少1人，组成“年级核心组”商议年级的有关事宣．则不同的名分配方案共有（）A ．129种B．148种C．165种D．585种16．方程ay=b2x2+c中的a，b，c∈{﹣2，0，1，2，3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A ．28条B．32条C．36条D．48条17．设a n是（n≥2且n∈N）的展开式中x的一次项的系数，则的值为（）A ．18 B．17 C．﹣18 D．1918．某中学信息中心A与该校各部室、各年级B、C、D、E、F、G、H、I之间拟粒信息联网工程，经测算各段费用如图所示（单位：万元）．请据图计算，要使得中心与各部室、各年级彼此都能连通（可以直接连通或中转，从而不建部分网线就节省费用），则最少的建网费用是（）A ．10 B．13 C．14 D．1219．一个五位的自然数称为“凸”数，当且仅当它满足a＜b＜c，c＞d＞e（如12430，13531等），则在所有的五位数中“凸”数的个数是（）A ．8568 B．2142 C．2139 D．113420．从集合{1，2，3，…，10}中取出4个不同的元素，且其中一个元素的三倍等于其他三个元素之和（如1，6，7，10，就是一种取法），则这样的取法种数有（）A ．42种B．22种C．23种D．40种二．填空题21．如果一个正四位数的千位数a、百位数b、十位数c和个位数d满足关系（a﹣b）（c﹣d）＜0，则称其为“彩虹四位数”，例如2012就是一个“彩虹四位数”．那么，正四位数中“彩虹四位数”的个数为．（直接用数字作答）22．将四个相同的红球和四个相同的黑球排成一排，然后从左至右依次给它们赋以编号l，2，…，8．则红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有种．23．形如45132这样的数叫做“五位波浪数”，即十位数字、千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由数字0，1，2，3，4，5，6，7可构成无重复数字的“五位波浪数”的个数为．24．对于各数互不相等的整数数组（i1，i2，i3…i n）（n是不小于3的正整数），对于任意的p，q∈{1，2，3，…，n}，当p＜q时有i p＞i q，则称i p，i q是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组（2，4，3，1）中的逆序数等于；若数组（i1，i2，i3，…，i n）中的逆序数为n，则数组（i n，i n﹣1，…，i1）中的逆序数为．25．用5种颜色将一个正五棱锥的各面涂色，五个侧面分别编有1、2、3、4、5号，而有公共边的两个面不能涂同一种颜色，则不同的涂色的方法数为．26．对一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色，则不同的染色方法共有种（用数字作答）．27．设a1，a2，…，a n是1，2，…，n 的一个排列，把排在a i的左边且比a i小的数的个数称为a i的顺序数（i=1，2，…，n）．如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在由1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为．（结果用数字表示）28．将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”．那么，所有的三位数中，奇和数有个．29．二项式（x3+）n的展开式中，只有第6项的系数最大，则该展开式中的常数项为；已知x＞0，y＞0，x+y=1，求lgx+lgy的最大值是．30．以集合U={a，b，c，d}的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：（1）∅、U都要选出；（2）对选出的任意两个子集A和B，必有A⊆B或B⊆A，那么共有种不同的选法．凤凰涅槃训练数学专题训练排列组合(一)参考答案一．选择题（共20小题）1．C 2．B 3．C 4．A 5．B 6．C 7．C 8．B 9．A 10．C11．A 12．C 13．B 14．B 15．C 16．B 17．A 18．D 19．B 20．B二．填空题（共10小题）21．3645 22．31 23．721 24．425．1200 26．30 27．14428．100 29．210-2lg2 30．36凤凰涅槃训练数学专题训练排列组合(二)一．选择题1．已知S={1，2，3，…2010}，A⊆S且A中有三个元素，若A中的元素可构成等差数列，则这样的集合A共有（）A ．C20103个B．A32010个C．2A21005个D．2C21005个2．天干地支，简称“干支”，在我国古代的历法中，甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、酉、戌、亥叫做“十二地支”．天干和地支依次按固定的顺序互相配合，两者组成了干支纪年法．2010年是庚寅年，那么上一个庚寅年是（）A ．1998年B．2000年C．1950年D．1960年3．设a1，a2，…，a n是1，2，…，n的一个排列，把排在a i的左边且比a i小的数的个数称为a i的顺序数（i=1，2，…，n）．如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在由1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为（）A ．48 B．96 C．144 D．1924．已知全集U，集合A、B为U的两个非空子集，若“x∈A”y与“x∈B”是一对互斥事件，则称A与B 为一组U（A，B），规定：U（A，B）≠U（B，A）．当集合U={1，2，3，4，5}时，所有的U（A，B）的组数是（）A ．70 B．30 C．180 D．1505．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（）A ．5种B．6种C．7种D．8种二．填空题6．将1、2、3、…、9这九个数字填在如图所示的9个空格中，要求每一行从左到右依次增大，每一列从上到下依次增大，当3、4固定在图中的位置时，填写空格的办法有7．对于各数互不相等的正数数组（i1，i2，…，i n）（n是不小于2的正整数），如果在p＜q时有i p＞i q，则称i p与i q是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”．例如，数组（2，4，3，1）中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，2”，其“逆序数”等于4．若各数互不相等的正数数组（a1，a2，a3，a4，a5，a6）的“逆序数”是2，则（a6，a5，a4，a3，a2，a1）的“逆序数”是．8．定义：我们把阶乘的定义引申，定义n!!=n（n﹣2）（n﹣4）…，若n为偶数，则乘至2，反之，则乘至1，而0!!=0．我们称之为双阶乘（Double Factorial）n对夫妇任意地排成一列，则每位丈夫都排在他的妻子后面的概率是．（结果用含双阶乘的形式表示）9．对于正整数n和m（m＜n）定义n m!=（n﹣m）（n﹣2m）（n﹣3m）…（n﹣km）其中k是满足n＞km的最大整数，则=．10．原有m个同学准备展开通信活动，每人必须给另外（m﹣1）个同学写1封信，后来又有n 个同学对活动感兴趣，若已知5＞n＞1，且由于增加了n个同学而多写了74封信，则原有同学人数m=．11．已知集合A={1，2，3，4}，函数f（x）的定义域、值域都是A，且对于任意i∈A，f（i）≠i．设a1，a2，a3，a4是1，2，3，4的任意一个排列，定义数表，若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同的数表，那么满足条件的不同的数表的张数为．12．某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有种（用数字作答）．13．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有种．（用数字作答）．14．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色．要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．15．从集合{P，Q，R，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）、每排中字母Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是．（用数字作答）、16．设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，若经过5次跳动质点落在点（3，0）处（允许重复过此点），则质点不同的运动方法共有种（用数字作答）；若经过20次跳动质点落在点（16，0）处（允许重复过此点），则质点不同的运动方法共有种（用数字作答）．17．圆周上有2n个等分点（n＞1），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为．18．将3种作物种植在如图块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有种．（以数字答）三．解答题19．设二项展开式C n=（+1）2n﹣1（n∈N*）的整数部分为A n，小数部分为B n．（1）计算C1B1，C2B2的值；（2）求C n B n．20.某品牌设计了编号依次为1，2，3，…，n（n≥4，且n∈N*）的n种不同款式的时装，由甲、乙两位模特分别独立地从中随机选择i，j（0≤i，j≤n，且i，j∈N）种款式用来拍摄广告．（1）若i=j=2，且甲在1到m（m为给定的正整数，且2≤m≤n﹣2）号中选择，乙在（m+1）到n号中选择．记P st（1≤s≤m，m+1≤t≤n）为款式（编号）s和t同时被选中的概率，求所有的P st的和；（2）求至少有一个款式为甲和乙共同认可的概率．21．六个面分别写上1，2，3，4，5，6的正方体叫做骰子．问（1）共有多少种不同的骰子；（2）骰子相邻两个面上数字之差的绝对值叫做这两个面之间的变差，变差的总和叫做全变差V．在所有的骰子中，求V的最大值和最小值．22．（1）已知k、n∈N*，且k≤n，求证：；（2）设数列a0，a1，a2，…满足a0≠a1，a i﹣1+a i+1=2a i（i=1，2，3，…）．证明：对任意的正整数n，是关于x的一次式．23．设数列{a n}是等比数列，，公比q是的展开式中的第二项（按x的降幂排列）．（1）求a1；（2）用n，x表示数列{a n}的通项a n和前n项和S n；（3）若，用n，x表示A n．24．已知a n=A n1+A n2+A n3+…+A n n（n∈N*），当n≥2时，求证：（1）；（2）．25．已知S n={A|A=（a1，a2，a3，…a n）}，a i={0或1}，i=1，2，••，n（n≥2），对于U，V∈S n，d（U，V）表示U和V中相对应的元素不同的个数．（Ⅰ）令U=（0，0，0，0），存在m个V∈S5，使得d（U，V）=2，写出m的值；（Ⅱ）令，U，V∈S n，求证：d（U，W）+d（V，W）≥d（U，V）；（Ⅲ）令U=（a1，a2，a3，…a n），若V∈S n，求所有d（U，V）之和．26．将1，2，3，…，n这n个数随机排成一列，得到的一列数a1，a2，…，a n称为1，2，3，…，n的一个排列；定义τ（a1，a2，…，a n）=|a1﹣a2|+|a2﹣a3|+…|a n﹣1﹣a n|为排列a1，a2，…，a n的波动强度．（Ⅰ）当n=3时，写出排列a1，a2，a3的所有可能情况及所对应的波动强度；（Ⅱ）当n=10时，求τ（a1，a2，…，a10）的最大值，并指出所对应的一个排列；（Ⅲ）当n=10时，在一个排列中交换相邻两数的位置称为一次调整，若要求每次调整时波动强度不增加，问对任意排列a1，a2，…，a10，是否一定可以经过有限次调整使其波动强度降为9；若可以，给出调整方案，若不可以，请给出反例并加以说明．27．设n是正整数，如果1，2，3，…，2n的一个排列x1，x2，x3，…，x2n满足：在{1，2，…2n﹣1}中至少有一个i使得|x i﹣x i+1|=n，则称排列x1，x2，x3，…，x2n具有性质P．（Ⅰ）当n=2时，写出4个具有性质P的排列；（Ⅱ）求n=3时不具有性质P的排列的个数；（Ⅲ）求证：对于任意n，具有性质P的排列比不具有性质P的排列多．28．设a1，a2，…，a n为1，2，…，n按任意顺序做成的一个排列，f k是集合{a i|a i＜a k，i＞k}元素的个数，而g k是集合{a i|a i＞a k，i＜k}元素的个数（k=1，2，…，n），规定f n=g1=0，例如：对于排列3，1，2，f1=2，f2=0，f3=0（I）对于排列4，2，5，1，3，求（II）对于项数为2n﹣1 的一个排列，若要求2n﹣1为该排列的中间项，试求的最大值，并写出相应得一个排列（Ⅲ）证明．29．已知f n（x）=（1+x）n，（Ⅰ）若f2011（x）=a0+a1x+…+a2011x2011，求a1+a3+…+a2009+a2011的值；（Ⅱ）若g（x）=f6（x）+2f7（x）+3f8（x），求g（x）中含x6项的系数；（Ⅲ）证明：．30．设函数（n∈N，且n＞1，x∈N）．（Ⅰ）当x=6时，求的展开式中二项式系数最大的项；（Ⅱ）对任意的实数x，证明＞f'（x）（f'（x）是f（x）的导函数）；（Ⅲ）是否存在a∈N，使得an＜k＜（a+1）n恒成立？若存在，试证明你的结论并求出a的值；若不存在，请说明理由．凤凰涅槃训练数学专题训练排列组合(二)参考答案一．选择题1．D 2．C 3．C 4．C 5．C二．填空题6．6 7．13 8．9．10．18 11．216 12．216 13．96 14．39015．5832 16．5190 17．2n（n-1）18．42凤凰涅槃训练数学专题训练排列组合(三)。
高三数学专项训练：排列与组合练习题
高三数学专项训练：排列与组合练习题一、选择题1．将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有（）A．81 B．64 C．14 D．122．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( )A.324B.328C. 360D.6483．A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必须相邻且B在A的左边，那么不同的排法共有（）A．60种 B．48种 C．36种 D．24种4．3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同的排法的种数是（）A．360 B．288 C．216 D．965．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )A．12种 B．10种 C．9种 D．8种6．现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，从中任选1人参加某项活动，则不同选法种数为（）（A）60 （B）12 （C）5 （D）57．从10名大学生中选3个人担任乡村干部，则甲、丙至少有1人入选，而乙没有入选的不同选法的种数为（）A． 85 B． 56 C． 49 D． 288．某公司新招聘8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，则不同的分配方案共有（）A. 24种B. 36种C. 38种D. 108种9．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位，节目丙不能排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（A）36种（B）42种(C)48种（D）54种10．有6人被邀请参加一项活动，必然有人去，去几人自行决定，共有（）种不同去法A. 36种B. 35种C. 63种D. 64种11．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（）A． 6种B． 12种C． 30种D． 36种12．从6名同学中选派4人分别参加数学、物理、化学、生物四科知识竞赛，若其中甲、乙两名同学不能参加生物竞赛，则选派方案共有（）A．240种 B．280种 C． 96种 D．180种13．2位教师与5位学生排成一排，要求2位教师相邻但不排在两端，不同的排法共有（）A. 480种B.720种C. 960种D.1440种14．4名运动员报名参加3个项目的比赛，每人限报一项，不同的报名方法有（A）43种（B）34种（C）34A种（D）34C种15．从9名学生中选出4人参加辩论赛，其中甲、乙、丙三人至少有两人入选的不同选法的种数为（）A．36 B．51 C．63 D．9616．今有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，现从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选派方法有A.1260种B.2025种C.2520种D.5054种17．某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有 ( )A．16种 B．36种 C．42种 D．60种18．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 ( )A．140种 B． 120种 C． 35种 D． 34种19．有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有（）不同的装法.A．240 B．120 C．600 D．36020．有11名学生,其中女生3名,男生8名,从中选出5名学生组成代表队,要求至少有1名女生参加,则不同的选派方法种数是 ( )A.406B.560C.462D.15421．有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的编号互不相同的种数为（）A．5 B．80 C．105 D．21022．从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为A．85B．56 C．49 D．2823．某班乒乓球队9名队员中有2名是校队选手，现在挑5名队员参赛，校队必须选，那么不同的选法共有（）种.A）126；B）84；C）35；D）21；24．三名教师教六个班的课，每人教两个班，分配方案共有（）Ａ．18种Ｂ．24种Ｃ．45种Ｄ．90种25．某班级有一个8人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余5人座位不变，则不同的调整方案的种数有（）A．56B．112C．336D．16826．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（）A．36种B．48种C．96种D．192种27．平面上有5个点,其中任何3个点都不共线,那么可以连成的三角形的个数是( ) A.3 B.5 C.10 D.2028．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，不同的分法种数是（）A．2264C C B C．336A D．36C29．某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )A.14B.24C.28D.4830．有5盆互不相同的玫瑰花，其中黄玫瑰2盆、白玫瑰2盆、红玫瑰1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆白玫瑰不能相邻，则这5盆玫瑰花的不同摆放种数是（）A、120 B、72 C、12 D、3631．从6人中选4人分别到北京、哈尔滨、广州、成都四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且在这6人中甲、乙不去哈尔滨游览，则不同的选择方案共有A.300种B.240种C.144种D.96种32．将4个不同的球放入3个不同的盒中，每个盒内至少有1个球，则不同的放法种数为（）（A）24 （B）36 （C）48 （D）9633．现安排5名同学去参加3个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案个数为（）（A）72 （B）114 （C）144（D）150 34．某人有3个不同的电子邮箱，他要发5个电子邮件，发送的方法的种数（）A . 8 B. 15 C. 243 D. 12535．7名志愿者安排6人在周六，周日两天参加社区公益活动若每天安排3人，则不同的安排方案共有（）Ａ．280种Ｂ．140种Ｃ．360种Ｄ．300种36．某班级要从4名男生、2名女生中选4人接受心理调查，如果要求至少有1名女生，那么不同的选法种数为（）A．14 B．24 C．28 D．4837．某节目表有6个节目，若保持其相对顺序不变，在它们之间再插入2个小品节目，且这2个小品在表中既不排头也不排尾，那么不同插入方法有（）A. 20种B. 30种C. 42种D. 56种38．现从甲、乙、丙等6名学生中安排4人参加4×100m接力赛跑。
高中数学排列组合专题练习题
高中数学排列组合专题练习题一、选择题1、从 5 名男同学和 4 名女同学中选出 3 名男同学和 2 名女同学，分别担任 5 种不同的职务，不同的选法共有（）A 5400 种B 18000 种C 7200 种D 14400 种解析：第一步，从 5 名男同学中选出 3 名，有\（C_{5}＾3\）种选法；第二步，从 4 名女同学中选出 2 名，有\（C_{4}＾2\）种选法；第三步，将选出的 5 名同学进行排列，有\（A_{5}＾5\）种排法。
所以不同的选法共有\（C_{5}＾3 × C_{4}＾2 × A_{5}＾5 ＝ 10×6×120 ＝7200\）种，故选 C。
2、有 5 本不同的书，其中语文书 2 本，数学书 2 本，物理书 1 本。
若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是（）A 24B 48C 72D 96解析：先排语文书有\（A_{2}＾2 ＝ 2\）种排法，再在语文书的间隔（含两端）处插数学书有\（A_{3}＾2 ＝ 6\）种插法，最后将物理书插入 4 个间隔中的一个有 4 种方法。
所以共有\（2×6×4 ＝ 48\）种排法，故选 B。
3、从 0，1，2，3，4，5 这 6 个数字中，任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A 300B 216C 180D 162解析：分两类情况讨论：第一类：取出的偶数含 0。
偶数 0 和另外一个偶数的取法有\（C_{2}＾1\）种，奇数的取法有\（C_{3}＾2\）种。
0 在个位时，其他三个数字全排列，有\（A_{3}＾3\）种；0 不在个位时，0 有 2 种位置，其他三个数字全排列，有\（2×A_{2}＾1×A_{2}＾2\）种。
此时共有\（C_{2}＾1×C_{3}＾2×（A_{3}＾3 ＋ 2×A_{2}＾1×A_{2}＾2) ＝ 108\）种。
高中数学排列组合专项练习(后附答案)
排列组合一、知识点讲解1.排列与组合的概念2.排列数与组合数（1）排列数的定义：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的________的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用____表示.（2）组合数的定义：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的________的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用____表示.3.排列数、组合数的公式及性质)(!n m m −+）m n n n C C =二、课堂练习题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）（1）所有元素完全相同的两个排列为相同排列. （ ） （2）一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序. （ ） （3）两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同. （ ） （4）（n ＋1）！－n ！＝n ·n ！.（ ）（5）若组合式C x n ＝C mn ，则x ＝m 成立. （ ） （6）k C k n ＝n C k －1n －1.（ ）题组二 教材改编2.[P29习题T5]6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为________.3.[P16例7]用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为________.题组三易错自纠4.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有_______种.5.为发展国外孔子学院，教育部选派6名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文，若每个国家至少去一人，则不同的选派方案种数为________.6.寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有______种. （用数字作答）三、课中讲解题型一排列问题1.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了_______条毕业留言. （用数字作答）2.用1,2,3,4,5,6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1,3,5有且只有两个相邻，则不同的排法种数为________.3.在1,2,3,4,5,6,7的任一排列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中，使相邻两数都互质的排列种数为________.排列应用问题的分类与解法（1）对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.（2）对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.题型二组合问题例1.某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货. 现从35种商品中选取3种.（1）其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？（2）其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？（3）恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？（4）至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？（5）至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？组合问题常有以下两类题型变化：（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.（2）“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解. 用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.练1.在某校2017年举办的第32届秋季运动会上，甲、乙两位同学从四个不同的运动项目中各选两个项目报名，则甲、乙两位同学所选的项目中至少有1个不相同的选法种数为________.练2.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有________种.题型三排列与组合问题的综合应用命题点1相邻、相间及特殊元素（位置）问题例1.在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为________.例2.大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在. 某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4个孩子不考虑位置），其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有________种.命题点2分组与分配问题例1.国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教. 现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有_____种不同的分派方法.例2.有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有________种.（1）解排列、组合问题要遵循的两个原则①按元素（位置）的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步. 具体地说，解排列、组合问题常以元素（位置）为主体，即先满足特殊元素（位置），再考虑其他元素（位置）.（2）分组、分配问题的求解策略①对不同元素的分配问题a.对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A n n（n为均分的组数），避免重复计数.b.对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数.c.对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数.②对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”.练1.（2017·全国Ⅱ改编）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有________种.练2.（2017·浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有________种不同的选法. （用数字作答）练3.把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种.四、课后练习1.从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是________.2.有5本不同的书，其中语文书3本，数学书2本，若将它们随机并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的摆放方法数为________.3.某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为________.4.方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同. 在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有________条.5.有A，B，C，D，E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次. A，B两位学生去问成绩，老师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名. 请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为________.6.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为________.7.若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有________种. （用数字作答）8. 在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖. 将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种. （用数字作答）9. 某医院拟派2名内科医生，3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生，外科医生和护士，则不同的分配方案有______种.10. 用数字0,1,2,3,4组成的五位数中，中间三位数字各不相同，但首末两位数字相同的共有_____个.11. 某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是________.12. 某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法. （用数字作答）13. 7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法的种数为________.14. 将标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，则一共有________种放法.15. 在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现为其中的五个参会国的人员安排酒店，这五个参会国的人员要在a，b，c三家酒店中任选一家，且这三家都至少有一个参会国的人员入住，则这样的安排方法共有________种.16. 设三位数n＝abc，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n有多少个？排列组合一、知识点讲解1.排列与组合的概念2.排列数与组合数（1）排列数的定义：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用.（2）组合数的定义：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用.3.排列数、组合数的公式及性质)(!n m m −+C m －1n__ 二、课堂练习题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）（1）所有元素完全相同的两个排列为相同排列. （）（2）一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序. （ ） （3）两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同. （ ）（4）（n ＋1）！－n ！＝n ·n ！.（ ）（5）若组合式C x n ＝C mn ，则x ＝m 成立. （ ） （6）k C k n ＝n C k －1n －1.（ ）【答案】×；×；√；√；×；√题组二教材改编2. [P29习题T5]6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为________.【答案】24“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24.3. [P16例7]用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为________.【答案】48末位数字排法有A12种，其他位置排法有A34种，共有A12A34＝48（种）排法，所以偶数的个数为48.题组三易错自纠4. 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有_______种. 【答案】216第一类：甲在左端，有A55＝5×4×3×2×1＝120（种）排法；第二类：乙在最左端，甲不在最右端，有4A44＝4×4×3×2×1＝96（种）排法.所以共有120＋96＝216（种）排法.5. 为发展国外孔子学院，教育部选派6名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文，若每个国家至少去一人，则不同的选派方案种数为________.【答案】540②一个国家派3名，一个国家派2名，一个国家派1名，有C36C23C11A33＝360（种）；③每个国家各派6. 寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有______种. （用数字作答）【答案】45设5名同学也用A，B，C，D，E来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法，设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位，则有BADC，BDAC，BCDA，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共9种坐法，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有9×5＝45（种）.三、课中讲解题型一排列问题1. 某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了_______条毕业留言. （用数字作答）【答案】1 560由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A240＝40×39＝1 560（条）留言.2. 用1,2,3,4,5,6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1,3,5有且只有两个相邻，则不同的排法种数为________.【答案】432根据题意，分三步进行：第一步，先将1,3,5分成两组，共C23A22种排法；第二步，将2,4,6排成一排，共A33种排法；第三步，将两组奇数插入三个偶数形成的四个空位，共A24种排法. 综上，共有C23A22A33 A24＝3×2×6×12＝432（种）排法.3. 在1,2,3,4,5,6,7的任一排列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中，使相邻两数都互质的排列种数为________. 【答案】864解析先把数字1,3,5,7作全排列，有A44＝24种排法，再排数字6，由于数字6不与3相邻，在排好的排列中，除去3的左、右2个空隙，还有3个空隙可排数字6，故数字6有3种排法，最后排数字2,4，又数字2,4不与6相邻，故在剩下的4个空隙中排上2,4，有A24种排法，故共有A44×3×A24＝864（种）排法.排列应用问题的分类与解法（1）对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.（2）对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.题型二组合问题例1.某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货. 现从35种商品中选取3种.（1）其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？（2）其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？（3）恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？（4）至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？（5）至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？【答案】（1）从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561种取法，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.（2）从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335－C234＝C334＝5 984种取法.∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.（3）从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有C120C215＝2 100种取法.∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.（4）选取2种假货有C120C215种，选取3种假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555（种）.∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.（5）方法一（间接法）选取3种的总数为C335，因此共有选取方式C335－C315＝6 545－455＝6 090（种）.∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.方法二（直接法）选取3种真货有C320种，选取2种真货有C220C115种，选取1种真货有C120C215种，因此共有选取方式C320＋C220C115＋C120C215＝6 090（种）.∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.组合问题常有以下两类题型变化：（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.（2）“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解. 用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.练1.在某校2017年举办的第32届秋季运动会上，甲、乙两位同学从四个不同的运动项目中各选两个项目报名，则甲、乙两位同学所选的项目中至少有1个不相同的选法种数为________.【答案】30因为甲、乙两位同学从四个不同的项目中各选两个项目的选法有C24C24种.其中甲、乙所选的项目完全相同的选法有C24种，所以甲、乙所选的项目中至少有1个不相同的选法共有C24C24－C24＝30（种）.练2.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有________种. 【答案】66共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故不同的取法有C45＋C44＋C25C24＝66（种）.题型三排列与组合问题的综合应用命题点1相邻、相间及特殊元素（位置）问题例1.在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为________.【答案】602位男生不能连续出场的排法共有N1＝A33×A24＝72（种），女生甲排第一个且2位男生不连续出场的排法共有N2＝A22×A23＝12（种），所以出场顺序的排法种数为N＝N1－N2＝60.例2.大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在. 某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4个孩子不考虑位置），其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有________种.【答案】24根据题意，分两种情况讨论：①A家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C23×C12×C12＝12（种）乘坐方式；②A家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个孩子都在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C13×C12×C12＝12（种）乘坐方式，故共有12＋12＝24（种）乘坐方式.命题点2分组与分配问题例1.国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教. 现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法.【答案】90例2.有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有________种.【答案】36则共有6×6＝36（种）不同的保送方案.（1）解排列、组合问题要遵循的两个原则①按元素（位置）的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步. 具体地说，解排列、组合问题常以元素（位置）为主体，即先满足特殊元素（位置），再考虑其他元素（位置）.（2）分组、分配问题的求解策略①对不同元素的分配问题a. 对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A n n（n为均分的组数），避免重复计数.b. 对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数.c. 对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数.②对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”.练1.（2017·全国Ⅱ改编）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有________种.【答案】36由题意可知，其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C13·C24·A22＝练2.（2017·浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有________种不同的选法. （用数字作答）【答案】660方法一只有1名女生时，先选1名女生，有C12种方法；再选3名男生，有C36种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法. 由分步计数原理知，共有C12C36A24＝480（种）选法.有2名女生时，再选2名男生，有C26种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法. 由分步计数原理知，共有C26A24＝180（种）选法. 所以依据分类计数原理知，共有480＋180＝660（种）不同的选法.方法二不考虑限制条件，共有A28C26种不同的选法，而没有女生的选法有A26C24种，故至少有1名女生的选法有A28C26－A26C24＝840－180＝660（种）.练3.把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种.【答案】36将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有A22A44种方法，将产品A，B，C 捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有A22A33种方法. 于是符合题意的摆法共有A22A44－A22A33＝36（种）.四、课后练习1.从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是________.【答案】18为A25－2＝18.2. 有5本不同的书，其中语文书3本，数学书2本，若将它们随机并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的摆放方法数为________.【答案】12A33A22＝12.3. 某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为________.【答案】24将4个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排3辆不同型号的车，在3个车位上任意排列，有A33＝6种排法，再将捆绑在一起的4个车位插入4个空档中，有4种方法，故共有4×6＝24（种）方法.4. 方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同. 在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有________条.【答案】62a，b均不为0，且b取互为相反数的两数时抛物线相同，故分a取1与a不取1两类：①a取1时，b2取值为4,9两类，当b2＝4和b2＝9时，c都有5种情况，此时有2×5＝10（种）；②a不取1时有C14种，不妨设a取2，则b2取值有1,4,9三类，当b2＝1时，c有4种，当b2＝4时，c有4种，当b2＝9时，c有5种，此时有C14（4＋4＋5）＝52（条）不同的抛物线.故共有10＋52＝62（种）不同的抛物线.5. 有A，B，C，D，E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次. A，B两位学生去问成绩，老师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名. 请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为________.【答案】18由题意知，名次排列的种数为C13A33＝18.6. 用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为________.【答案】72由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1,3,5.分为两步：先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有C13种选法，再将剩下的4个数字排列有A44种排法，则满足条件的五位数有C13·A44＝72（个）.7. 若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有________种. （用数字作答）【答案】11把g，o，o，d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A24种排法；第二步：排两个o，共1种排法，所以总的排法种数为A24＝12.其中正确的有一种，所以错误的共有A24－1＝12－1＝11（种）.8. 在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖. 将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种. （用数字作答）【答案】60分两类：第一类：3张中奖奖券分给3个人，共A34种分法；第二类：3张中奖奖券分给2个人相当于把3张中奖奖券分两组再分给4人中的2人，共有C23A24种分法.总获奖情况共有A34＋C23A24＝60（种）.9. 某医院拟派2名内科医生，3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生，外科医生和护士，则不同的分配方案有______种.【答案】362名内科医生的分法为A22，3名外科医生与3名护士的分法为C23C13＋C13C23，共有A22（C23C13＋C13C23）＝36（种）不同的分法.10. 用数字0,1,2,3,4组成的五位数中，中间三位数字各不相同，但首末两位数字相同的共有________个.【答案】240由题意，知本题是一个分步计数问题，从1,2,3,4四个数中选取一个有四种选法，接着从这五个数中选取3个在中间三个位置排列，共有A35＝60个，根据分步计数原理知，有60×4＝240（个）.11. 某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是________.【答案】120先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空. 安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”. 对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有A22C13A23＝36（种）安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有A22A34＝48（种）安排方法. 由分类计数原理知，共有36＋36＋48＝120（种）安排方法.12. 某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法. （用数字作答）【答案】1145个人住3个房间，每个房间至少住1人，则有（3,1,1）和（2,2,1）两种，当为（3,1,1）时，有C35·A33＝90种，A，B住同一房间有C23·A33＝18种，故有90－18＝72（种），根据分类计数原理可知，共有42＋72＝114（种）.13. 7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法的种数为________.【答案】360前排3人有4个空，从甲、乙、丙3人中选1人插入，有C14C13种方法，对于后排，若插入的2人不相邻，有A25种方法；若相邻，有C15A22种，故共有C14C13（A25＋C15A22）＝360（种）.14. 将标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，则一共有________种放法.【答案】150标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，故可分成（3,1,1）和（2,2,1）15. 在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现为其中的五个参会国的人员安排酒店，这五个参会国的人员要在a，b，c三家酒店中任选一家，且这三家都至少有一个参会国的人员入住，则这样的安排方法共有________种.【答案】150这三家酒店入住的参会国数目有以下两种可能：满足题意的安排方法共有90＋60＝150（种）.。
排列组合练习
排列组合练习排列组合是数学中的一个重要概念，它涉及到对象的选择、排列和组合等问题。
通过对排列组合的练习，我们可以提高我们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
下面，我们来进行一些排列组合的实例练习。
一、排列的练习1. 从10个人中选出3个人，按一二三名的顺序排列，有几种可能性？解析：根据排列的计算公式，我们可以得到答案。
P(10,3) = 10! / (10-3)! = 10! / 7! = (10 × 9 × 8) / (3 × 2 × 1) = 10 × 9 × 8 = 720。
所以，从10个人中选出3个人，并按一二三名的顺序排列，共有720种可能性。
2. 有6本书，按次序排列，共有几种可能性？解析：同样地，根据排列的计算公式，我们可以得到答案。
P(6,6) = 6! / (6-6)! = 6! / 0! = 6! = 720。
所以，有6本书按次序排列，共有720种可能性。
二、组合的练习1. 从5个不同的字母中任取2个字母，有几种组合的可能性？解析：根据组合的计算公式，我们可以得到答案。
C(5,2) = 5! / ((5-2)! × 2!) = (5 × 4) / (2 × 1) = 10。
所以，从5个不同的字母中任取2个字母，共有10种组合的可能性。
2. 有7个人，从中选出3个人组成一个小组，有几种组合的可能性？解析：同样地，根据组合的计算公式，我们可以得到答案。
C(7,3)= 7! / ((7-3)! × 3!) = (7 × 6 × 5) / (3 × 2 × 1) = 35。
所以，从7个人中选出3个人组成一个小组，共有35种组合的可能性。
三、排列组合的综合练习1. 从4个不同的数字中选出3个数字，按一二三位的顺序排列，有几种可能性？解析：根据排列组合的计算公式，我们可以得到答案。
排列组合综合练习(含答案)
排列组合综合练习一、填空题1.从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作.若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作,则选派方案共有 240种2.设直线的方程是0=+By Ax ,从1,2,3,4,5这五个数中取两个不同的数作为A 、B 的值,则所得不同直线的条数是 183.三个人坐在八个座位上,若每个人的两边都要有空位,则不同的坐法总数为_________.244.今有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加以区分,将这9个球排成一列有______种不同的方法(用数字作答) 12605.从5名男生和3名女生中任选3男2女,分别参加不同的学科兴趣小组,则不同安排的总数是 ()552335A C C + 6.把4个不同的小球全部放入3个不同的盒子中,使每个盒子都不空的放法总数为 3324A C7.四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法有 种。
1444.8.在直角坐标系xOy 平面上,平行直线x=n(n=0,1,2,…,5)与平行直线y=n(n=0,1,2,…,5)组成的图形中,矩形共有 225个9.在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,不能被5整除的数共有____个.19210.从6名运动员中选出4个参加4×100m 接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有____种不同的参赛方法。
25211.甲、乙、丙、丁、戊5名同学手拉手站成一圈,有 种不同的站法。
245155=A 12.用0,1,2,3,4,5这六个数组成没有重复数字的四位偶数,将这些四位数从小到大排列起来,第71个数是 。
312013.将三种作物种植在如图所示的试验田里,每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物,不同的种植方法有 种。
42（提示：有乘法原理有3×2×2×2×2=48种不同的种法,但这样可能只种了2种作物不符合题意,若只种两种作物,则有611111223=⨯⨯⨯⨯C C 种不同的种法,所以满足题意的种法有48-6=42种不同的种植方法）.14.如图所示,在某个城市中,M,N 两地之间有整齐的道路网,若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进,则从M 到N不同的走法共有 种。
高三数学排列组合综合应用试题答案及解析
高三数学排列组合综合应用试题答案及解析1.学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（）A．36种B．30种C．24种D．6种【答案】B【解析】先将语文、数学、英语、理综4科分成3组，每组至少1科，则不同的分法种数为，其中数学、理综安排在同一节的分法种数为1，故数学、理综不安排在同一节的分法种数为-1，再将这3组分给3节课有种不同的分配方法，根据分步计数原理知，不同的安排方法共有(-1)=30，故选B.【考点】分步计数原理，排列组合知识2.在高三(1)班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为()A．24B．36C．48D．60【答案】D【解析】先排3个女生，三个女生之间有4个空，从四个空中选两个排男生，共有＝72(种)，若女生甲排在第一个，则三个女生之间有3个空，从3个空中选两个排男生，有＝12(种)，∴满足条件的出场顺序有72－12＝60(种)排法，选D．3.暑假期间，华光中学安排3名职工从周一到周五值班，每天只安排一名职工值班，每人至少安排一天，至多安排两天，且这两天必须相邻，那么不同的安排方法有()A．10种B．12种C．18种D．36种【答案】C【解析】这五天可分成三组，共三种情况：(1,2)，(3,4)，5；1，(2,3)，(4,5)；(1,2)，3，(4,5)，因此不同的安排方法3＝18种．4.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有A．60种B．70种C．75种D．150种【答案】C．【解析】由已知可得不同的选法共有，故选C．【考点】排列组合．5. [2014·南京模拟]用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)【答案】14【解析】分类讨论：若2出现一次，则四位数有C14个；若2出现二次，则四位数有C24个；若2出现3次，则四位数有C34个，所以共有C14＋＋＝14个．6.（2011•湖北）给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相连的着色方案如图所示：由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有_________种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有_________种，（结果用数值表示）【答案】21；43【解析】由题意知当n=1时，有2种，当n=2时，有3种，当n=3时，有2+3=5种，当n=4时，有3+5=8种，当n=5时，有5+8=13种，当n=6时，有8+13=21种，当n=6时，黑色和白色的小正方形共有26种涂法，黑色正方形互不相邻的着色方案共有21种结果，∴至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有64﹣21=43种结果，故答案为：21；437.某学校位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得分，答错得分；选乙题答对得分，答错得分.若位同学的总分为，则这位同学不同得分情况的种数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】分以下两种情况讨论：（1）两位同学选甲题作答，一个答对一个答错，另外两个同学选乙题作答，一个答对一个答错，此时共有种；（2）四位同学都选择甲题或乙题作答，两人答对，另外两人答错，共有种情况；（3）一人选甲题作答并且答对，另外三人选乙题作答并且全部答错，此时有种情况；（4）一人选甲题作答并且答错，另外三人选乙题作答并且全部答对，此时有种情况；综上所述，共有种不同的情况.故选D.【考点】排列组合8.某写字楼将排成一排的6个车位出租给4个公司，其中有两个公司各有两辆汽车，如果这两个公司要求本公司的两个车位相邻，那么不同的分配方法共有________种．（用数字作答）【答案】24【解析】此问题相当于将4个公司全排列，因为，则此问题的不同分配方法共有24种。
(完整版)排列组合习题_[含详细答案解析]
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圆梦教育中心排列组合专项训练1.题1 (方法对比，二星) 题面：(1)有5个插班生要分配给3所学校，每校至少分到一个，有多少种不同的分配方法？(2)有5个数学竞赛名额要分配给3所学校，每校至少分到一个名额，有多少种不同的名额分配方法？ 解析：“名额无差别”——相同元素问题 (法1)每所学校各分一个名额后，还有2个名额待分配，可将名额分给2所学校、1所学校，共两类：2133C C +(种) (法2——挡板法)相邻名额间共4个空隙，插入2个挡板，共：246C =(种) 注意：“挡板法”可用于解决待分配的元素无差别，且每个位置至少分配一个元素的问题.(位置有差别，元素无差别)同类题一 题面：有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ 答案：69C 详解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。
相邻名额之间形成9个空隙。
在9个空档中选6个位置插个隔板，可把名额分成7份，对应地分给7个班级，每一种插板方法对应一种分法共有69C 种分法。
同类题二题面：求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数。
答案：36. 详解：将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x 、y 、z之值, 故解的个数为C 92=36（个）。
2.题2 (插空法，三星)题面：某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有____种. 答案：60，48同类题一题面：6男4女站成一排，任何2名女生都不相邻有多少种排法？答案：A 66·A 47种.详解： 任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有A 66·A 47种不同排法．同类题二 题面：有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )A ．36种B ．48种C ．72种D ．96种答案：C.详解：恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A 33A 24＝72种排法，故选C.3．题3 (插空法，三星)题面：5个男生到一排12个座位上就座，两个之间至少隔一个空位．1]没有坐人的7个位子先摆好，[2](法1——插空)每个男生占一个位子，插入7个位子所成的8个空当中，有：58A =6720种排法.(法2)[1]5个男生先排好：55A ；[2]每个男生加上相邻的一个座位，共去掉9个位置，当作5个排好的元素，共有6个空，剩下的3个元素往里插空，每个空可以插1个、2个、3个元素，共有：3216662C C C ++种，综上：有55A (3216662C C C ++)=6720种.同类题一题面：文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有4个歌舞节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添两个小品节目，则不同的排列方法有多少种？ 答案：30。
高中数学-排列组合100题(附解答)
中学数学_排列组合100题一、填充题1. (1)设{}3,8A =﹐{}8,36B x =+﹐若A B =﹐则x =____________﹒(2)设{}2|320A x x x =-+=﹐{}1,B a =﹐若A B =﹐则a =____________﹒ 2. (1)822x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭绽开式中10x 项的系数为____________﹒(2)52123x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭绽开式中3x 项的系数为____________﹒(3)53212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭绽开式中常数项为____________﹒3. (1)()82x y z +-绽开式中332x y z 项的系数为____________﹒(2)()532x y z -+绽开式中﹐2.3x y 项的系数为____________﹒4. 四对夫妇围一圆桌而坐﹐夫妇相对而坐的方法有___________种﹒5. {}{}1,21,2,3,4,5,A ⊂⊂且A 有4个元素﹐则这种集合A 有____________个﹒6. 从2000到3000的全部自然数中﹐为3的倍数或5的倍数者共有____________个﹒7. 从1至10的十个正整数中任取3个相异数﹐其中均不相邻的整数取法有____________种﹒8. 某女生有上衣5件﹑裙子4件﹑外套2件﹐请问她外出时共有____________种上衣﹑裙子﹑外套的搭配法﹒（留意：外套可穿也可不穿﹒）9. 已知数列n a 定义为1132n n a a a n +=⎧⎨=+⎩﹐n 为正整数﹐求100a =____________﹒10. 设A ﹑B ﹑T 均为集合﹐{},,,A a b c d =﹐{},,,,=B c d e f g ﹐则满意T A ⊂或T B ⊂的集合T 共有____________个﹒11. 李先生与其太太有一天邀请邻家四对夫妇围坐一圆桌闲聊﹐试求下列各情形之排列数：(1)男女间隔而坐且夫妇相邻____________﹒ (2)每对夫妇相对而坐____________﹒12. 体育课后﹐阿珍将4个相同排球﹐5个相同篮球装入三个不同的箱子﹐每箱至少有1颗球﹐则方法有____________种﹒13. 如图﹐由A 沿棱到G 取快捷方式（最短路径）﹐则有____________种不同走法﹒14. 0﹑1﹑1﹑2﹑2﹑2﹑2七个数字全取排成七位数﹐有____________种方法﹒ 15. 1012⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭绽开式中﹐各实数项和为____________﹒17. 设{}2,4,1A a =+﹐{}24,2,23B a a a =----﹐已知A B ⋂{}2,5=﹐则()()A B A B ⋃-⋂=____________﹒ 18. 把1～4四个自然数排成一行﹐若要求除最左边的位置外﹐每个位置的数字比其左边的全部数字都大或都小﹐则共有____________种排法﹒（例如：2314及3421均为符合要求的排列） 19. 从1到1000的自然数中﹐(1)是5的倍数或7的倍数者共有____________个﹒ (2)不是5的倍数也不是7的倍数者共有____________个﹒ (3)是5的倍数但不是7的倍数者共有____________个﹒ 20. 如图﹐从A 走到B 走快捷方式﹐可以有____________种走法﹒21. 1到1000的正整数中﹐不能被2﹑3﹑4﹑5﹑6之一整除者有____________个﹒ 22. 将100元钞票换成50元﹑10元﹑5元﹑1元的硬币﹐则(1)50元硬币至少要1个的换法有____________种﹒ (2)不含1元硬币的换法有____________种﹒ 23. 求()21x -除1001x +的余式为____________﹒24. 在()8x y z ++的绽开式中﹐同类项系数合并整理后﹐(1)共有____________个不同类项﹒(2)其中323x y z 的系数为____________﹒25. 小明与小美玩猜数字嬉戏﹐小明写一个五位数﹐由小美来猜；小美第一次猜75168﹐小明说五个数字都对﹐但只有万位数字对﹐其他数字所在的位数全不对﹐则小美最多再猜____________次才能猜对﹒26. 若{}|,,110000S x x x =≤≤為正整數正整數﹐{}|12,,110000T x x k k x ==≤≤為正整數﹐则()n S T -=____________﹒27. 小于10000之自然数中﹐6的倍数所成集合为A ﹐9的倍数所成集合为B ﹐12的倍数所成集合为C ﹐则(1)()n A B ⋂=____________﹒ (2)()n A B C ⋂⋂=____________﹒ (3)()n A B C ⎡⋂⋃⎤=⎣⎦____________﹒ (4)()n A B C ⎡⋂⋃⎤=⎣⎦____________﹒28. 1到300的自然数中﹐是2或3的倍数但非5的倍数有____________个﹒ 29. ()10222x x -+除以()31x -所得的余式为____________﹒30.如圖﹐以五色塗入各區﹐每區一色且相鄰區不得同色﹐則有____________種不同的塗法﹒（圖固定不得旋轉）31. 如图﹐则(1)由A 取捷徑到B 的走法有____________種﹒(2)由A 走到B ﹐走向可以↑﹑→或↓﹐但不可以←﹐且不可重複走﹐則走法有____________種﹒33.()101kk x =-∑绽开式中5x 的系数为____________﹒34. 绽开()200.990.abcd =……﹐则a b c ++=____________﹒35. 建中高二教室楼梯一层有11个阶梯﹐学生上楼时若限定每步只可跨一阶或二阶﹐则上楼的走法有____________种﹒36. 利用二项式定理求12323n n n n n C C C nC +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+和为____________﹒37. 四对夫妇Aa ﹑Bb ﹑Cc ﹑Dd 围一圆桌而坐﹐若Aa 要相对且Bb 要相邻的坐法有____________种﹒38. 很多白色及黑色的磁砖﹐白色的磁砖为正方形﹐边长为1单位；黑色为长方形﹐其长为2单位﹐宽为1单位﹔则贴满一个长7单位﹐宽1单位的长方形墙壁﹐共有____________种方法﹒ 39.如圖,有三組平行線,每組各有三條直線,則 (1)可決定____________個三角形.(2)可決定____________個梯形.（一組對邊平行,另一組對邊不平行）.40. 小功家住在一栋7楼的电梯公寓﹐今日小功回家时有5人同时和小功一起进入1楼电梯欲往上﹐假设每人按下自己想要到的楼层（可相同或不同）﹐请问电梯有____________种停靠方式﹒（假设这期间电梯只会由下而上依次停靠这6人所按的楼层）41. 设202020201232023......20,S C C C C =+⋅+⋅++⋅则S 为____________位数﹒（设log20.3010=）42. 4面不同色的旗子﹐若任取一面或数面悬挂在旗杆上来表示讯号﹐假如考虑上下的次序﹐则可作成____________种不同的讯号﹒ 43.如圖的棋盤式街道﹐甲走捷徑從A 至B ﹐則 (1)走法有____________種﹒(2)若不得經過C 且不經過D 的走法有____________種﹒44.圖中的每一格皆是正方形﹐邊長均為1個單位﹐試問由圖中線段(1)共可決定____________個矩形﹒ (2)可決定____________個正方形﹒45. 有红﹑白﹑黄三种大小一样的正立方体积木各20个﹐从中取出7个积木﹐相同颜色堆在一起﹐一一重迭堆高﹐共有____________种堆法﹒46. 2颗苹果﹐3颗番石榴﹐4颗菠萝﹐将9颗水果随意装入4个不同的箱子﹐水果全装完每个箱子至少装一颗水果有____________种方法﹒（同种水果视为同物）47. A ﹑B ﹑C ﹑D ﹑E 五对夫妇围成一圆桌而坐（座位无编号）﹐A 夫妇相对且B 夫妇相邻的情形有____________种﹒48. 如图﹐取快捷方式而走﹐由A 不经P ﹑Q 至B 有____________种方法﹒50. 二个中国人﹑二个日本人﹑二个美国人排成一列﹐同国籍不相邻有____________种排法﹒二、计算题1. 设数列n a 满意14a =且132k n a a +=+﹐n 为自然数﹐试求(1)2a ﹐3a ﹐4a ﹐5a ﹒(2)推想n a 之值（以n 表示）﹒(3)401kk a=∑﹒2. 某校从8名老师中选派4名老师分别去4个城市研习﹐每地一人﹒其中甲和乙不能同时被选派﹐甲和丙只能同时被选派或同时不被选派﹐问共有几种选派方法？3. 试求()632x y -的绽开式﹒4. 试求()421x -的绽开式﹒5. 从SENSE 的5个字母中任取3个排成一列﹐问有几个排法？6. 下列各图形﹐自A 到A 的一笔划﹐方法各有多少种﹖(1)(2)(3)7. 如图﹐至少包含A 或B 两点之一的矩形共有几个？8. 设()nx y +绽开式中依x 降序排列的第6项为112﹐第7项为7﹐第8项为14﹐试求x ﹑y 及n 之值﹒（但x ﹑y 都是正数）9. 红﹑白﹑绿﹑黑四色大小相同的球各4颗共16颗球﹐任取四颗﹐则(1)四球恰为红﹑白二色的情形有几种？ (2)四球恰具两种颜色的情形有几种？10. 一楼梯共10级﹐某人上楼每步可走一级或两级﹐要8步走完这10级楼梯﹐共有多少种走法？11. 设{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10U =为一基集（宇集）﹐则{}1,2,4,5,8A =﹐{}1,2,5,7,9B =﹐求(1)A B ⋃ (2)A B ⋂ (3)A B - (4)B A - (5)'A (6)'B (7)()'⋃A B (8)''⋂A B (9)()'A B ⋂ (10)''A B ⋃﹒12. 若()1922381211x x a x a x x -+=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+﹐求1a 和2a 的值﹒13. 某一场舞会将4位男生与4位女生配成4对﹐每一对皆含一位男生与一位女生﹐试问总共有几种配对法﹖(1)43C ﹒ (2)44P ﹒ (3)44﹒ (4)44H ﹒ (5)4﹒14. 如图﹐A A →一笔划的方法数有几种﹖(1) (2)15. 如图﹐由A 至B 走快捷方式﹐不能穿越斜线区﹐有多少种走法﹖16. 求()70.998之近似值﹒（至小数点后第6位）17. 设()1012220211x x ax bx cx +-=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+﹐求a ﹑b ﹑c 之值﹒18. (1)试证明下列等式成立:()1012121.12311n n n n n n C C C C n n ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-++ (2)设n 为自然数﹐且满意1231,2311n nn nn C C C C n n +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=++则n 之值为何？19. 王老师改段考考卷﹐她希望成果是0﹑4﹑5﹑6﹑7﹑8﹑9所组成的2位数﹐则(1)不小于60分的数有几个﹖ (2)有几个3的倍数﹖(3)改完考卷后发觉由小到大排列的第12个数正是全班的平均成果﹐请问班上的平均成果是几分﹖20. 某日有七堂课﹐其中有两堂是数学﹐有两堂是国文﹐另外是英文﹑生物﹑体育各一堂﹒若数学要连两堂上课﹐国文也要连两堂上课﹐但同科目的课程不跨上﹑下午（即第四五节课不算连堂）﹐若第四﹑五堂课也不排体育﹐则该日之课程有几种可能的排法﹖21. ()10122320211,x x ax bx cx x +-=++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+求a ﹑b ﹑c ﹒22. 已知{}{}{}0,,1,2,1,1,2=∅A ﹐下列何者为真﹖(A)∅∈A (B)∅⊂A (C)0A ∈ (D)0A ⊂ (E){}1,2A ∈ (F){}1,2A ⊂ (G){}∅⊂A ﹒ 23.設有A ﹑B ﹑C ﹑D ﹑E 五個市鎮﹐其通道如圖所示﹐今某人自A 地到E 地﹐同一市鎮不得經過兩次或兩次以上﹐且不必走過每一市鎮﹐求有幾種不同路線可走﹖24. 设数列n a 的首项15a =且满意递归关系式()123n n a a n +=+-﹐n 为正整数﹐试求(1)2a ﹐3a ﹐4a ﹐5a ﹒(2)一般项na （以n 表示）﹒(3)20a ﹒25. 方程式10x y z ++=有多少组非负整数解？26. 用0﹑1﹑2﹑3﹑4﹑5作成大于230的三位数奇数﹐数字可重复运用(1)可作成多少个﹖ (2)其总和若干﹖5678192028. 妈妈桌球俱乐部拟购买8把桌球拍以供遗忘携带球拍的会员运用﹐若球拍分为刀板﹐直拍与大陆拍3类﹐试问俱乐部有多少种不同的购买方式？29. 设直线方程式0ax by +=中的,a b 是取自集合{}3,2,1,0,2,4,6---中两个不同的元素﹐且该直线的斜率为正值﹐试问共可表出几条相异的直线﹖30. 下列各图﹐由A 到B 的一笔划﹐方法各有多少种﹖(1) (2)31. 以五种不同的颜色﹐涂入下列各图（图形不能转动）﹐同色不相邻﹐颜色可重复运用﹐则涂法各有多少种﹖(1)(2)32. 平面上有n 个圆﹐其中任三个圆均不共点﹐此n 个圆最多可将平面分割成n a 个区域﹐则(1)求1a ﹐2a ﹐3a ﹐4a ﹒(2)写出n a 的递归关系式﹒(3)求第n 项n a （以n 表示）﹒33. 于下列各图中﹐以五色涂入各区﹐每区一色但相邻不得同色﹐则各有几种不同的涂法﹖（各图固定﹐不得旋转）(1)(2)(3)34. 车商将3辆不同的休旅车及3辆不同的跑车排成一列展示﹒求下列各种排列方法：(1)休旅车及跑车相间排列﹒(2)休旅车及跑车各自排在一起﹒35. 从6本不同的英文书与5本不同的中文书中﹐选取2本英文书与3本中文书排在书架上﹐共有几种排法？36. 将9本不同的书依下列情形安排﹐方法各有几种？(1)分给甲﹐乙﹐丙3人﹐每人各得3本﹒(2)分装入3个相同的袋子﹐每袋装3本﹒(3)分装入3个相同的袋子﹐其中一袋装5本﹐另两袋各装2本﹒37. 学校举办象棋及围棋竞赛﹐已知某班级有42位同学参赛﹐其中有34位同学参与围棋竞赛﹐而两种棋赛都参与的同学有15人﹒试问此班有多少位同学参与象棋竞赛？38. 求()321x x ++的绽开式中2x 的系数﹒39. 求()322x x -+的绽开式中4x 的系数﹒40. 求240的正因子个数﹒41. 自甲地到乙地有电车路途1条﹐公交车路途3条﹐自乙地到丙地有电车路途2条﹐公交车路途2条﹒今小明自甲地经乙地再到丙地﹐若甲地到乙地与乙地到丙地两次选择的路途中﹐电车与公交车路途各选一次﹐则有几种不同的路途支配？42. 某班实行数学测验﹐测验题分A ﹐B ﹐C 三题﹒结果答对A 题者有15人﹐答对B 题者有19人﹐答对C 题者有20人﹐其中A ﹐B 两题都答对者有10人﹐B ﹐C 两题都答对者有12人﹐C ﹐A 两题都答对者有8人﹐三题都答对者有3人﹒试问A ﹐B ﹐C 三题中至少答对一题者有多少人？43. 在1到600的正整数中﹐是4﹐5和6中某一个数的倍数者共有几个？44.用黑白兩種顏色的正方形地磚依照如右的規律拼圖形： 設n a 是第n 圖需用到的白色地磚塊數﹒ (1)寫下數列n a 的遞迴關係式﹒ (2)求一般項n a ﹒(3)拼第95圖需用到幾塊白色地磚﹒45. 欲将8位转学生分发到甲﹐乙﹐丙﹐丁四班﹒(1)若平均每班支配2人﹐共有几种分法？(2)若甲乙两班各支配3人﹐丙丁两班各支配1人﹐共有几种分法？46. 求满意12320003000n nn nn C C C C <++++<的正整数n ﹒47. (1)方程式9x y z ++=有多少组非负整数解﹖(2)方程式9x y z ++=有多少组正整数解﹖48. 旅行社支配两天一夜的渡假行程﹐其中来回渡假地点的交通工具有飞机﹑火车及汽车3种选择﹐而住宿有套房与小木屋2种选择﹒试问全部渡假行程﹐交通工具与住宿共有几种支配法﹖49. 老师想从10位干部中选出3人分别担当班会主席﹑司仪及纪录﹒试问有几种选法﹖50. 假如某人周末时﹐都从上网﹑打牌﹑游泳﹑慢跑与打篮球等5种活动选一种作休闲﹐那么这个月4个周末共有多少种不同的休闲支配呢﹖一、填充题 (65格 每格0分 共0分)1. (1)1-;(2)22. (1)112;(2)0;(3)403. (1)4480;(2)90-4. 485. 36. 4687. 568. 609. 9903 10. 44 11.(1)48;(2)384 12. 228 13. 6 14. 90 15. 12- 16. 6 17. {}4,4- 18. 8 19. (1)314;(2)686;(3)172 20. 35 21. 26622. (1)37;(2)18 23. 10098x - 24. (1)45;(2)560 25. 9 26. 84 27. (1)555;(2)277;(3)1111;(4)1111 28. 160 29.2102011x x -+ 30. 780 31. (1)26;(2)120 32. 20349 33. 462- 34. 16 35. 144 36. 12n n -⋅ 37. 192 38. 21 39. (1)27;(2)81 40. 63 41. 8 42. 64 43. (1)56;(2)20 44. (1)369;(2)76 45. 129 46. 3756 47. 8640 48. 80 49. 54 50. 240二、计算题 (75小题 每小题0分 共0分)1. (1)2112a =﹐37a =﹐4172a =﹐510a =;(2)3522n +;(3)1330 2. 600 3. 见解析 4. 见解析 5. 18 6.(1)48;(2)48;(3)96 7. 150 8. 4x =﹐12y =﹐8n = 9. (1)3;(2)18 10. 28 11. 见解析 12. 1219,190a a =-= 13. (2) 14. (1)32;(2)64 15. 27 16. 0.986084 17. 101,4949,a b ==1c =- 18. (1)见解析;(2)4 19. (1)28;(2)14;(3)57 20. 52 21.101,4949,a b ==156550c = 22. (A)(B)(C)(E)(F)(G) 23. 76 24. (1)24a =﹐35a =﹐48a =﹐513a =;(2)248n n -+;(3)328 25. 66 26. (1)63;(2)25299 27. 5980 28. 45 29. 13 30. (1)72;(2)864 31. (1)420;(2)3660 32. (1)12a =﹐24a =﹐38a =﹐414a =;(2)12n n a a n +=+⨯;(3)22n n -+ 33. (1)260;(2)3380;(3)43940 34. (1)72;(2)72 35. 18000 36.(1)1680;(2)280;(3)378 37. 23 38. 6 39. 9 40. 20 41. 8 42. 27 43. 280 44. (1)15,2n n a a n -=+≥;(2)53n +;(3)478 45. (1)2520;(2)1120 46. 11 47. (1)55;(2)28 48. 18 49. 720 50. 625一、填充题 (65格 每格0分 共0分)1. (1)3631x x +=⇒=-﹒(2)()()2320120x x x x -+=⇒--=1,2x ⇒=﹐∴2a =﹒ 2. (1)设第1r +项为10x 项﹐则()()882816222rrr r r rr Cx C x x x ---⎛⎫-=- ⎪⎝⎭163102r r ⇒-=⇒=﹐∴10x 项之系数为()2822112C -=﹒ (2)设第1r +项为3x 项﹐则()55255102112233r rrr r r rr Cx C x x x ----⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭710333r r ⇒-=⇒=（不合）﹐∴3x 项之系数为0﹒ (3)设第1r +项为常数项﹐则()5535515322122rrr r rrr Cx C xx x ----⎛⎫= ⎪⎝⎭15503r r ⇒-=⇒=﹐∴常数项为523240C =﹒3. (1)()()()()332238!22144803!3!2!x y z -⇒⨯⨯-=﹒4. 所求为1161412148⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=﹒ [另解]34!2484⨯=﹒ 5. {}1,2,3,4﹐{}1,2,3,5﹐{}1,2,4,5﹐共3个﹒6. 2000~3000中3的倍数有3000200033433⎡⎤⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦个﹐ 2000~3000中5的倍数有30002000120155⎡⎤⎡⎤-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦个﹐ 2000~3000中15的倍数有30002000671515⎡⎤⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦个﹐ ∴所求为33420167468+-=﹒7. 83563!P =﹒8. ()542160⨯⨯+=﹒ 9. ∵12n n a a n +=+﹐ ∴2121a a =+⨯ 3222a a =+⨯()1)21n n a a n -+=+⨯-()()21121213232n n n a a n n n -⋅=+⎡++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⎤=+⨯=-+⎣⎦﹐∴210010010039903a =-+=﹒ 10. ∵T A T B ⊂⋃⊂﹐∴T 的个数为4522221632444+-=+-=﹒ 11. (1)5!2485⨯=﹒ (2)A a B b C c D d E e 1181614121384⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=﹒ [另解]55!1238452⨯⨯=﹒ 12. 全部－（恰有一空箱）－（恰有二空箱）()()333223114514524511H H C H H C H H ⨯-⨯---⨯()67564545323228C C C C =⨯-⨯--=﹒13. 3216⨯⨯=﹒15. 绽开后各实数项和为24681086421010101010024681111122222C C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭10101012C ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭512110242=-=-﹒ [另解]原式()()10cos 60sin 60i =⎡-︒+-︒⎤⎣⎦()()cos 600sin 600i =-︒+-︒12=-+﹐∴实数项和为12-﹒16. ∵1213n n a a +=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴1213n n a a -=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅-()1123n n n n a a a a +-⇒-=- 而11a =﹐2125133a a =+=﹐2123a a -=﹐表示数列1n n a a +-为首项23﹐公比23的等比数列﹐()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-111221332211213223313n n n ---⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+=+-=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-﹐∴()111223262313n n n n a -∞∞==⎛⎫-=== ⎪⎝⎭-∑∑﹒17. ∵{}2,5A B ⋂=﹐∴154a a +=⇒=﹐∴{}2,4,5A =﹐{}4,2,5B =-﹐{}4,2,4,5A B ⋃=-﹐ ∴()(){}4,4A B A B ⋃-⋂=-﹒ 18. 1234 3214 2134 3241 2314 3421 2341 4321 共8种﹒19. 设1到1000的自然数所成的集合为基集U ﹐1到1000的自然數中﹐5的倍數者所成的集合為A ﹐ 而7的倍數者所成的集合為B ﹐ 則A B ⋂表示35的倍數者所成的集合﹐(1)即求()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂100010001000200142283145735⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-=+-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦﹒(2)即求()()()()1000314686⎡⎤'''⋂=⋃=-⋃=-=⎢⎥⎣⎦n A B n A B n U n A B ﹒(3)即求()()()20028172n A B n A n A B -=-⋂=-=﹒ 20.7!354!3!=﹒ 21. 若一整数不能被2整除﹐则必不能被4﹑6整除﹐故本题即求1到1000正整数中﹐不能被2﹑3﹑5之一整除者的个数﹒设1到1000之正整数中﹐可被2﹑3﹑5整除者之集合分别为A ﹑B ﹑C ﹐则()10005002n A ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦﹐()10003333n B ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦﹐()10002005n C ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦﹐ ()10001666n A B ⎡⎤⋂==⎢⎥⎣⎦﹐()100010010n A C ⎡⎤⋂==⎢⎥⎣⎦﹐()10006615n B C ⎡⎤⋂==⎢⎥⎣⎦﹐()10003330n A B C ⎡⎤⋂⋂==⎢⎥⎣⎦﹐ ()()()()()()()()n A B C n A n B n C n A B n A C n B C n A B C ⋃⋃=++-⋂-⋂-⋂+⋂⋂5003332001661006633734=++---+=﹐故所求为()()'''10001000734266n A B C n A B C ⋂⋂=-⋃⋃=-=（个）﹒22. (1)①一个50⇒设10元x 个﹐5元y 个﹐1元z 个﹐则10550x y z ++=﹐共119753136+++++=种﹒②二个50⇒1种﹒ ∴所求为36137+=种﹒(2)设50元x 个﹐10元y 个﹐5元z 个﹐则50105100x y z ++= 10220x y z ⇒++=﹐23. ()()()1002100100100121111111x x C x C x +=⎡+-⎤+=+-+-+⎣⎦……()10010010011C x +-+﹐∴1001x +除以()21x -的余式为()11001110098x x +-+=-﹒24. (1)3101088245H C C ===﹒(2)8!560.3!2!3!= 25. 先考虑5不在千位﹐1不在百位﹐6不在十位﹐8不在个位的方法﹐ 14!43!62!41!10!9⨯-⨯+⨯-⨯+⨯=﹐∴最多再猜9次﹒26. {}{}2222,1100001,2,3,,100,=≤≤=正整數S x x ∴()100n S =﹐{}|12,,110000T x x k k x ==≤≤為正整數﹐令()222212232336x k k ==⨯⨯=⨯⨯=﹐则()()(){}22261,62,,616,⋂=⨯⨯⨯S T∴()16n S T ⋂=﹐故()1001684n S T -=-=﹒27. (1)所求为999955518⎡⎤=⎢⎥⎣⎦﹒ (2)所求为999927736⎡⎤=⎢⎥⎣⎦﹒(3)()()()()n A B C n A B n C n A B C ⎡⋂⋃⎤=⋂+-⎡⋂⋂⎤⎣⎦⎣⎦ 5558332771111=+-=﹒ (4)()()()n A B C n A B A C ⎡⋂⋃⎤=⎡⋂⋃⋂⎤⎣⎦⎣⎦()()()()n A B n A C n A B A C =⋂+⋂-⎡⋂⋂⋂⎤⎣⎦ ()555833n A B C =+-⋂⋂ 5558332771111=+-=﹒ 28.()()()()()()236151030n n n n n n +---+15010050203010160=+---+=﹒29. ()()1010222211x x x ⎡⎤-+=-+⎣⎦()()10922101010911C x C x ⎡⎤⎡⎤=-+-+⎣⎦⎣⎦……()()22210101021011C x C x C ⎡⎤+-+-+⎣⎦故余式为()()210102210110211102011C x C x x x x -+=-++=-+﹒30.①B ﹑D 同﹐54143240,A B D C E ⨯⨯⨯⨯=②B ﹑D 異﹐54333540,A B D C E ⨯⨯⨯⨯=由①②可得﹐共有240540780+=种﹒ 31.(1)走捷徑等於是走向只許向右與向上兩種﹒如圖﹐ 由A 開始朝任何方向走都有1種走法﹐走至交叉 點P 後﹐將會合箭頭的方法數全部加起來﹐即為走到該點的走法數（累加法）﹒如圖﹐走法有26種﹒(2)走向可以↑﹑→或↓﹐但不可以←又不可重複走﹒ 如圖﹐由P 出發﹐依所規定的走法﹐走到隔鄰的鉛垂路線上立即停止﹐再決定走向﹒如此相鄰的兩鉛垂路線間的走法數相乘﹐即為所求的走法數﹒∴走法有120種﹒32. ()()23311x x ++++……()()()()()()203321332033311111111x x x x x x x ⎡⎤++-+-+⎢⎥⎣⎦++==+-﹐ 所求即分子()2131x +绽开式中15x 项系数∴所求为21521201918172034954321C ⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯﹒33.()()()()10121111kk x x x x =-=-+-+-+∑……()101x +-()()()11111111111x x x x⎡⎤----⎣⎦==--﹐绽开式中5x 系数即为()1111x --绽开式中6x 系数﹐ ∴所求为()61161462C --=-﹒ 34. ()()20200.9910.01=⎡+-⎤⎣⎦()()()2320202012310.010.010.01C C C =+-+-+-+……()2020200.01C +-10.20.0190.00114=-+-+……0.81786≈﹐ ∴81716a b c ++=++=﹒35. 设一步一阶走x 次﹐一步二阶走y 次﹐则211x y +=﹐36. 令12323n n n n n S C C C nC =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅则()0111n n n n S nC n C C -=+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+()0122n n n nn S n C C C n ⇒=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=⋅﹐∴12n S n -=⋅﹒ 37.()1142!4!192.⨯⨯⨯⨯=選位A aBb38. 设白色x 块﹐黑色y 块﹐则27x y +=﹐⇒6!5!4!116104215!2!3!3!+++=+++=﹒ 39. (1)33311127C C C =﹒ (2)33333333321121121181C C C C C C C C C ++=﹒40. 62163-=41. 20202020123202320S C C C C =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 20202001192019S C C C =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅()202020200120220202S C C C +⇒=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=⨯﹐∴20102S =⨯﹐∵20log 220log 2200.3010 6.02==⨯=﹐∴202为7位数﹐∴S 为8位数﹒ 42. ①选一面4⇒﹐ ②选二面4312⇒⨯=﹐ ③选三面43224⇒⨯⨯=﹐ ④选四面⇒432124⨯⨯⨯=﹐由①②③④可得﹐共可作成412242464+++=种﹒ 43. (1)8!565!3!=﹒ (2)所求=全部()n C D -⋃()()()56A C B A D B A C D B =-⎡→→+→→-→→→⎤⎣⎦3!5!4!4!3!4!5612!3!2!3!2!2!2!2!2!⎛⎫=-⨯+⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭()5630241820=-+-=﹒44. (1)含中空:3342111172,C C C C ⨯⨯⨯= 左 上 右 下不含中空:37934792334342222222222222223C C C C C C C C C C C C C C +++----左 上 右 下 左上 右上 左下 右下 631081263691836297=+++----= ∴所求为72297369.+=左 上 右 下 左上 右上 左下 右下 ∴所求为146276+=个﹒ 45. ①只用一色:3种﹐②只用二色:()()()()()()6,1,5,2,4,3,3,42,5,1,6∴()322!636,C ⋅⨯=上下色交換③用三色:红+白+黄=7 1 1 1 剩4∴36443!690,⨯=⨯=H C 紅白黃排列∴共33690129++=种﹒46. 444333222111234234234234146410H H H H H H H H H H H H ⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯700049006604103756=-⨯+⨯-⨯+=﹒ 47. 6A a Bb →→→坐法其他人坐法 1162!6!8640⨯⨯⨯⨯=﹒48. ()A B A P B A Q B A P Q B →-→→+→→-→→→10!4!6!5!5!4!5!16!4!2!2!4!2!3!2!3!2!2!2!3!2!⎛⎫⇒-⨯+⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭()210901006080=-+-=﹒ 49. aa 不相邻且llll不相邻﹐可先排pmaa ﹐再安插llll ﹐ ①aa 排在一起时：3!6=种﹐再安插4个l ：p m a a △△△△△方法有434C =种﹒ ↑ l②aa 不排在一起时：p m △△△排法有322!6C ⨯=种﹐ 再支配4个l ：p a m a △△△△△方法有545C =种﹒ 由①②可知﹐排法有646554⨯+⨯=种﹒ [另解]llll 不相邻llll -不相邻且aa 相邻54444!3!606542!4!4!P P =⨯-⨯=-=﹒ 50. 6!35!2!34!2!2!13!2!2!2!240-⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=﹒二、计算题 (75小题 每小题0分 共0分)1. ∵132n n a a +=+﹐∴132n n a a +-=﹐ 表示n a 为首项4﹐公差32的等差数列﹐(1)2133114222a a =+=+=﹐ 3231137222a a =+=+=﹐ 4333177222a a =+=+=﹐ 54317310222a a =+=+=﹒ (2)()()1335141222n a a n d n n =+-=+-⨯=+﹒ (3)()401240134024401213302k k a a a a =⎡⎤⨯+-⨯⎢⎥⎣⎦=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+==∑﹒ 2. 从8名老师中选出4名老师去4个城市研习的方式可分为甲去和甲不去两种情形： (1)若是甲去研习﹐则丙也会去﹐而乙不去﹐因此需从剩下的5名老师中选出2人去参与研习﹐故选法有52C 种﹒ (2)若是甲不去研习﹐则丙也不会去﹐而乙可去也可不去﹐因此需从剩下的6名老师中选出4名老师去参与研习﹐故选法有64C 种﹒综合这两种情形﹐从8名老师中选派4名老师的选法共有562425C C +=种﹒而选出4名老师后﹐分别支配到4个城市去研习﹐则支配的方式有4!种﹐ 因此总共有254!600⨯=种选派方法﹒3. ()()()()()()()()()()6651423324666660123432332323232x y C x C x y C x y C x y C x y -=+-+-+-+-()()()566656322C x y C y +-+-6542332456729291648604320216057664.x x y x y x y x y xy y =-+-+-+4. ()()()()()()()()()44312213444444012342122121211x C x C x C x C x C -=+-+-+-+-43216322481x x x x =-+-+﹒5. SENSE 的5个字母中取3种字母﹐其中任取3个字母可能取出「三个字母皆不相同」或「两个字母同另一不同」两种情形：(1)选出三个字母皆不相同的选法有331C =种﹐排列的方法有3!种﹐ 因此排法有333!6C ⨯=种﹒(2)选出两个字母同另一不同的选法有2211C C ⨯种﹐排列的方法有3!2!1!种﹐ 因此排法有22113!122!1!C C ⨯⨯=种﹒ 综合这两种情形﹐共有18种排法﹒6. (1)先走任一瓣都可以﹐故将3瓣视为3条路随意排列﹐方法3!种﹐又每一瓣走法有2种（两个方向）﹐故所求为323!⨯48=种﹒ (2)323!48⨯=﹒ (3)423!96⨯=﹒7. ()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂253343422332111111111111C C C C C C C C C C C C =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯909636150.=+-=8. 555112n n C x y -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6667n n C x y -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅77714n n C x y -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅6165xn y⇒⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅- 7286xn y ⇒⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅- ()()66167528n n -⇒=-﹐∴8n =﹐ 代入⇒8x y =﹐由⇒()877184C y y =8812y ⎛⎫⇒= ⎪⎝⎭﹐即得12y =±﹐4x =±﹐∴14,,82x y n ===（取正值）﹒9. (1)红+白=41 1 剩223223H C ⇒==﹒[另解] 红 白1322313.⇒共種(2)利用第(1)题的结果42318C ⇒⨯=﹒10. 用8步走完10级楼梯﹐假设一级走了x 步﹐两级走了y 步﹐ 可列得8210x y x y +=⎧⎨+=⎩解得6x =﹐2y =﹐因此用这样的走法共有8!286!2!=（种）﹒ 11.(1){}1,2,4,5,7,8,9A B ⋃=﹒ (2){}1,2,5A B ⋂=﹒ (3){}4,8A B -=﹒(4){}7,9B A -=﹒(5){}3,6,7,9,10'=-=A U A ﹒ (6){}3,4,6,8,10'=-=B U B ﹒(7)(){}3,6,10'⋃=A B ﹒(8){}3,6,10''⋂=A B ﹒(9)(){}3,4,6,7,8,9,10'⋂=A B ﹒(10){}3,4,6,7,8,9,10''⋃=A B ﹒12. ()()()()191919182219192011111x x x x C x C x x ⎡⎤-+=-+=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎣⎦﹐∴()1919101119,a C C =-=-1919192021190.a C C C =+=13. 可看作第一位男生有4位女生舞伴可选择﹐其次位男生有3位女生舞伴可选择﹐以此类推得舞会配对方法数共有44432124P =⨯⨯⨯=种﹒故选(2)﹒ 14. (1)5232=﹒(2)①先往右42232⨯=﹐ ②先往左42232⨯=﹐ 共有323264+=﹒ 15.如图﹐共有27种方法﹒16. ()()()()()77237777712370.99810.00210.0020.0020.0020.002C C C C =-=-⨯+⨯-⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⨯10.0140.0000840.0000002800.9860837200.986084.≈-+-=≈ 17. ()()1011012211x x x x ⎡⎤+-=+-⎣⎦()()()()()21011011009910121012101212101111x C x x C x x C x =+-+++-⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-()10111c =-=-﹐∵()1011x +绽开式中才有x 项﹐∴1011101,a C == ∵()1011x +及()100101211C x x -+绽开式中均有2x 项﹐∴101101214949.b C C =-=18. (1)∵()()()()()()111!!11!1!1!1!1n n k k n C n C k n k k k n n k k n +++===+-+⋅+⋅-++﹐∴左式()()1111121011121.111nn n n n n k n k C C C C k n n +++++==⨯=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-+++∑ (2)承(1)知﹐()1113121213111n n n n ++-=⇒-=++﹐得4n =﹒ 19. (1)□□：4728⨯=﹒ ↓ 6﹑7﹑8﹑9(2)45﹑48﹑54﹑57﹑60﹑66﹑69﹑75﹑78﹑84﹑87﹑90﹑96﹑99﹐共14个﹒ (3)4□7⇒个﹐ 5□7⇒个﹐∴1459a =﹐1358a =﹐1257a =﹐∴平均为57分﹒ 20.上午 下午 1 2 3 4 5 6 7數 數 國 國 ╳ 體 體 2228⇒⨯⨯= 數 數 體 ╳ 國 國 體 2228⇒⨯⨯=數 數 體 ╳ ╳ 國 國 2124⇒⨯⨯= 體 數 數 ╳ 國 國 體 2228⇒⨯⨯= 體 數 數 ╳ ╳ 國 國 2124⇒⨯⨯=體 體數數國國 體 23212⇒⨯⨯=體體 數 數 ╳國國 2228⇒⨯⨯=∴共有8848412852++++++=種﹒21. ()()()()1011012211x xx x+-=++-()()()()()()21011011009910121012101212101111x C x x C x x C x =+++-++-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-()()()1011002411011x x x x f x =+-++⋅﹐其中()f x 为一多项式﹐∴x 项的系数1011101,a C == 2x 项的系数10121014949,b C =-=3x 项的系数10110031101156550.c C C =-⨯=23.∴共有441212218396676+++++++++=种走法﹒ 24. (1)∵()123n n a a n +=+-且15a =﹐∴()21213514a a =+⨯-=-=﹐ ()32223415a a =+⨯-=+=﹐ ()43233538a a =+⨯-=+=﹐ ()542438513a a =+⨯-=+=﹒ (2)∵()123n n a a n +=+-﹐ ∴()21213a a =+⨯- ()32223a a =+⨯-()()121223)213n n n n a a n a a n ---=+⎡⨯--⎤⎣⎦+=+⎡⨯--⎤⎣⎦()()()2112121315233482n n n a a n n n n n -⋅=+⨯⎡++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⎤--=+⨯-+=-+⎣⎦﹒(3)20a =2204208328-⨯+=﹒25. x ﹐y ﹐z 的非负整数解共有331011212101010266H C C C +-====（组）﹒→有363⨯⨯个→有123⨯⨯个→有113⨯⨯个∴共有()()36323363⨯⨯+⨯+=个大于230的三位数奇数﹒(2)①个位数字为1者有()()()36121121⨯+⨯+⨯=个﹐为3﹑5者也各有21个﹐ 故个位数字的和为()21135189⨯++=﹒②十位数字为1﹑2者各有339⨯=个﹐为3者有()33312⨯+=个﹐为4﹑5者各有 ()331312⨯+⨯=个﹐故十位数字和为()()()9121231245171⨯++⨯+⨯+=﹒③百位数字为3﹑4﹑5者各有6318⨯=个﹐为2者有()()23139⨯+⨯=个﹐ 故百位数字和为()()1834592234⨯++⨯⨯=﹒由①②③可知﹐总和为()()1891711023410025299+⨯+⨯=﹒27. 由于515C =且565622125C C C C =-=-﹐于是利用帕斯卡尔定理111n n n m m m C C C ---=+﹐得原式()66781920234516175C C C C C C =++++++-778192034516175C C C C C =+++++-8819204516175C C C C =++++-21175C =- 5980=﹒28. 设桌球俱乐部拟购买刀板﹐直拍与大陆拍各1x ﹐2x ﹐3x 把﹐ 依据题意得1238x x x ++=﹒其非负整数解有33811010888245H C C C +-====（组）﹐故共有45种不同的购买方式﹒29. 直线0ax by +=是恒过原点﹐且斜率为a b -的直线﹒因为斜率ab-为正值﹐所以,a b 必需异号﹐且,a b 皆不等于0﹒我们以a 的正负情形探讨如下﹕(1)当0a >时﹐a 有3种选法﹐而此时0b <亦有3种选法﹐ 因此有339⨯=种选法﹒(2)当0a <时﹐a 有3种选法﹐而此时0b >亦有3种选法﹐ 因此有339⨯=种选法﹒ 但是①当()()()(),2,1,4,2,6,3a b =---时﹐均表示同一条直线20x y -=﹒ ②当()()()(),3,6,2,4,1,2a b =---时﹐均表示同一条直线20x y -+=﹒ ③当()(),2,2a b =-﹐()2,2-时﹐均表示同一条直线0x y -=﹒ 因此需扣除重复计算的2215++=条直线﹒ 故共可表出99513+-=条相异的直线﹒ 30.(1)從A 走到P 後 ﹐方法有2種﹐完成A 到P 的各路線﹐方法有3!種﹐ 完成P 到B 的各路線﹐方法有3!種﹐ ∴共有()223!3!23!⨯⨯=⨯72=種﹒(2)A 到P 後 ﹐方法2種﹐P 到Q 後 ﹐方法2種﹐∴共有()32223!3!3!23!⨯⨯⨯⨯=⨯864=種﹒ABA Q P B31. (1)B ﹑D 同色﹐A BD C E →→→ 5433180⨯⨯⨯=﹐ B ﹑D 异色﹐A B D C E →→→→ 54322240⨯⨯⨯⨯=﹐ ∴共有180240420+=种涂法﹒(2)B ﹑D ﹑F 同色﹐A BDF C E G →→→→ 54333540⨯⨯⨯⨯=﹐ B ﹑D ﹑F 异色﹐A B D F C E G →→→→→→ 5432222960⨯⨯⨯⨯⨯⨯=﹐ B ﹑D 同色﹐F 异色﹐A BD F C E G →→→→→ 543322720⨯⨯⨯⨯⨯=﹐同理B ﹑F 同色﹐D 异色；D ﹑F 同色﹐B 异色涂法也各有720种﹐ ∴共有54096072033660++⨯=种﹒ 32.(1)12a =24a = 38a = 414a =1n = 2n = 3n = 4n =(2)12a =﹐212a a =+﹐3222a a =+⨯﹐4323a a =+⨯﹐∴12n n a a n +=+⨯﹒ (3)∵12n n a a n +=+⨯且12a =﹐ ∴2121a a =+⨯ 3222a a =+⨯()1222n n a a n --=+⨯- ()1)21n n a a n -+=+⨯-()()21121212222n n n a a n n n -⨯=+⨯⎡++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⎤=+⨯=-+⎣⎦∴22n a n n =-+﹒ 33. (1)①A ﹑C 同色﹐541480,A B C D ⨯⨯⨯=②A ﹑C 异色﹐5433180,A B C D⨯⨯⨯=由①②可得﹐共有80180260+=种﹒(2)由(1)可知[]541433⨯⨯⨯+⨯﹐推得[]25414333380⨯⨯⨯+⨯=﹒(3)[]354143343940⨯⨯⨯+⨯=﹒34.(1)休旅車及跑車相間排列的情形﹐可分為兩種情形﹐如圖所示：3輛休旅車排成一列共有3!6=種方法﹐同樣地﹐3輛跑車排成一列共有3!6=種方法﹐ 因此根據乘法原理﹐共有26672⋅⋅=種排法﹒ (2)因為休旅車及跑車要各自排在一起﹐如圖所示：所以可以將3輛休旅車看成「1」輛﹐3輛跑車看成「1」輛﹐變成2輛的排列問題﹐有2!2=種方法﹒又3輛休旅車之間有3!6=種排列方法﹐3輛跑車之間有3!6=種排列方法﹒故共有2!3!3!26672⋅⋅=⋅⋅=種排法﹒35. 选出2本英文书3本中文书的方法有6523150C C ⋅=（种）﹐将此5本书作直线排列﹐有5!种排法﹐故所求排法为65235!18000C C ⋅⋅=（种）﹒36.(1)從9本中取出3本給甲﹐取法有93C 種；再從其餘的6本取出3本給乙﹐取法有63C 種；剩下的3本給丙﹐即33C 種﹒因此﹐全部分配方式共有9633331680C C C ⋅⋅=（種）﹒(2)先假設袋子上依序標示有甲﹐乙﹐ 丙的記號﹐則有963333C C C ⋅⋅種分 法﹐但事實上袋子是相同的﹐因此每3!種只能算1種﹐如圖所示﹒故分配方式共有96333316802803!6C C C ⋅⋅==（種）﹒ (3)仿上述作法﹐先假設袋子依序有甲﹐乙﹐丙的記號﹐甲得5本﹐乙丙各得2本的分法有942522C C C ⋅⋅種﹒因袋子是無記號的﹐所以如圖的2!種其實是同1種﹒故分配方式共有9425223782!C C C ⋅⋅=（種）﹒37.設集合A 表示參加象棋比賽的同學﹐ 集合B 表示參加圍棋比賽的同學﹐ 集合A B ⋃表示參加棋藝活動的同學﹐集合A B ⋂表示參加兩種棋藝活動的同學﹒由題意知()34n B =﹐()42n A B ⋃=﹐()15n A B ⋂=﹒ 利用()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂﹐得()423415n A =+-﹐即()23n A =﹒ 故這個班級中共有23位同學參加象棋比賽﹒38. 因为()()()332211x x x x ++=++﹐所以利用二项式定理将乘积绽开﹐得()()()()()3321232320111A x x C x C x x ++=++部分+()()()1233232311B C x x C x +++部分﹒由于上式中A 部分的各项次数均超过2次﹐因此全部绽开式中2x 的系数﹐就是B 部分的绽开式中的2x 系数﹒ 又B 部分的绽开式为()()223243232133137631x x x x x x x x x x ++++++=++++﹐ 故全部绽开式中2x 的系数为6﹒ 39. 因为()()()332222x x x x -+=-+﹐所以利用二项式定理将乘积绽开得()()()()()()()()()()3321123232323232012322222A B xx C x x C x x C x x C x x -+=-+-+-+-部分部分上述()()322x x -+绽开式中B 部分各项次数低于4次﹐因此要计算绽开式中4x 的系数只要计算A 部分各项绽开式即可﹐又A 部分绽开式为()()()()32132320122C x x C x x -+-()()654343233322x x x x x x x =-+-+-+⨯6543239136x x x x x =-+-+故4x 的系数为9﹒40. 将240作质因子分解﹐得411240235=⨯⨯﹒因为240的正因子必为235a b c ⨯⨯的形式﹐其中{}0,1,2,3,4a ∈﹐{}0,1b ∈﹐{}0,1c ∈﹐ 所以a 有5种选择﹐b 有2种选择﹐c 有2种选择﹒ 利用乘法原理﹐得240的正因子个数有52220⨯⨯=个﹒ 41. 依题意图示如下：其中实线表电车路途﹐虚线表公交车路途﹒因为电车与公交车路途各选一次﹐所以路途支配可分成以下二类： (1)先电车再公交车：利用乘法原理﹐得有122⨯=种路途﹒ (2)先公交车再电车：利用乘法原理﹐得有326⨯=种路途﹒ 由加法原理得知﹐共有268+=种路途支配﹒42. 设A ﹐B ﹐C 分别表示答对A ﹐B ﹐C 题的人组成的集合﹒由题意知()15n A =﹐()19n B =﹐()20n C =﹐()10n A B ⋂=﹐()12n B C ⋂=﹐()8n C A ⋂=﹐()3n A B C ⋂⋂=﹒ 利用排容原理﹐得()()()()()()()n A B C n A n B n C n A B n B C n C A ⋃⋃=++-⋂-⋂-⋂()n A B C +⋂⋂151920101283=++---+27=﹒ 故三题中至少答对一题者有27人﹒ 43.設集合A ﹐B ﹐C 分別表示從1到600的自然數當中的4﹐5,6倍數所形成的集合﹐即()150n A =﹐()120n B =﹐()100n C =﹐()30n A B ⋂=﹐()20n B C ⋂=﹐()50n C A ⋂=﹐()10n A B C ⋂⋂=利用排容原理()()()()()()()n A B C n A n B n C n A B n B C n C A ⋃⋃=++-⋂-⋂-⋂ ()n A B C +⋂⋂﹐得()15012010030205010280n A B C ⋃⋃=++---+=﹒故1到600的自然數中﹐是4﹐5﹐6中某一個數的倍數﹐共有280個﹒44. (1)n a 代表「第n 个图需用到白色地砖的块数」﹐我们可以发觉图形每次均增 加1个黑色地砖与5个白色地砖﹐因此15n n a a -=+﹐2n ≥﹒(2)而上述这些图形中﹐白色地砖的个数可视为一个首项为8﹐公差为5的等 差数列﹐故()81553n a n n =+-⨯=+﹒(3)拼第95图所需用到白色地砖数955953478a =⨯+=﹒ 45. (1)先将这8位转学生分成四堆﹐每堆2人﹐ 再将这四堆分发到甲﹐乙﹐丙﹐丁四班﹐故总共有86428642222222224!25204!C C C C C C C C ⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅=种分法﹒(2)先将这8位转学生分成四堆﹐两堆3人﹐两堆1人﹐再将3人的两堆分发到甲乙两班﹐1人的两堆分发到丙丁两班﹐故总共有85218521331133112!2!11202!2!C C C C C C C C ⋅⋅⋅⨯⨯=⋅⋅⋅=⋅种分法﹒ 46. 因为01232n n n n n n n C C C C C +++++=﹐ 所以1230221n n n nn n n n C C C C C ++++=-=-﹒即原式可改写为2000213000n <-<﹐即200123001n <<﹐得11n =﹒ 47. (1)3119911!559!2!H C ===组﹒ (2)338936628H H C -===组﹒48. 因为去程有3个交通工具可以选择﹐住宿则有2个方式可供选择﹐而回程亦有3个交通工具可以选择﹒因此由乘法原理得共有32318⨯⨯=种支配法﹒ 49. 10310!10987207!P ==⨯⨯=种选法﹒ 50. 由题意知每个周末都有5种休闲活动可以选择﹒利用乘法原理﹐得4个周末共有5555625⨯⨯⨯=种休闲支配﹒。
高三数学排列组合综合应用试题
高三数学排列组合综合应用试题1. 7个人排成一排，按下列要求各有多少种排法？(1)其中甲不站排头，乙不站排尾；(2)其中甲、乙、丙3人必须相邻；(3)其中甲、乙、丙3人两两不相邻；(4)其中甲、乙中间有且只有1人；(5)其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列．【答案】（1）3720种（2）720种（3）1440种（4）1200种（5）840种【解析】(1)方法一(直接法)：如果甲站排尾，其余6人有种排法，如果甲站中间5个位置中的一个，而乙不站排尾，则有种排法，故共有排法＋＝3720种．方法二(间接法)：7个人排成一排有种排法，其中甲在排头有种排法，乙在排尾有种排法，甲在排头且乙在排尾共有种排法，故共有排法－－＋＝3720种．(2)(捆绑法)将甲、乙、丙捆在一起作为一个元素与其他4个元素作全排列有种，然后甲、乙、丙内部再作全排列有种，故有不同的排法＝720种．(3)(插空法)先排甲、乙、丙外的4人有种排法，这四人之间及两端留出五个空位，然后把甲、乙、丙插入到五个空位中有种排法，故共有＝1440种排法．(4)甲、乙两人有种排法，现从剩下的五人中选一个插入甲、乙中间，有种排法，然后再将这三人看作一个元素，和其他四个元素作全排列，有种排法，故共有＝1200种排法．(5)七个人的全排列为，其中若只看甲、乙、丙不同顺序的排法有种排法，但只有一种顺序符合要求，故符合要求的不同排法有＝840种．2.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有A．60种B．70种C．75种D．150种【答案】C．【解析】由已知可得不同的选法共有，故选C．【考点】排列组合．3.把5件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻，且产品与产品不相邻，则不同的摆法有种.【答案】36【解析】先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有种方法，而A、B可交换位置，所以有种摆法，又当A、B相邻又满足A、C相邻，有种摆法，故满足条件的摆法有种.【考点】排列组合，容易题.4.甲乙两人从4门课程中各选修两门，则甲乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( )种A．30B．36C．60D．72【答案】A【解析】甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可以分为两类：（1）甲、乙所选的课程中2门均不相同，甲先从4门中任选2门，乙选取剩下的2门，有种．（2）甲、乙所选的课程中有且只有1门相同，分为2步：①从4门中先任选一门作为相同的课程，有种选法；②甲从剩余的3门中任选1门乙从最后剩余的2门中任选1门有种选法，由分步计数原理此时共有种．综上，由分类计数原理，甲、所选的课程中至少有1门不相同的选法共有6+24=30种．【考点】计数原理，排列组合.5.设是的一个全排列,把排在左边且小于的数的个数称为的顺序数(),例如在排列6,4,5,3,2,1中,5的顺序数是1而3的顺序数是0.在的全排列中,8的顺序数为2,7的顺序数为3,5的顺序数为3的不同排列的种数是( )A．48B．96C．144D．192【答案】C【解析】据题意，在8的左边有2个比8小的数，在7的左边有3个比7小的数，在5的左边有3个比5小的数.由于8是最大的数，故8必排在第3位，而7必须排在第5位：.若6在5的右边，则：，共有种；若6在5的左边，则5必在倒数第二位，，共有.所以总共有种.【考点】排列组合.6.一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种 .【答案】186【解析】设取红球个，白球个，则，取法为.【考点】古典概型.7.用0，1，2，3，4这五个数字组成没有重复数字的五位数中，奇数的个数是（）A．24B．36C．48D．72【答案】B【解析】第一步排个位，有2种排法；第二步排万位，有3种排法；第三步排中间3位，有种排法.所以共有种排法.【考点】计数原理与排列.8.将名教师，名学生分成个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种D．8种【答案】A【解析】先安排老师有=2种方法，再安排学生有=6，所以共有12种安排方案，选A．9. 8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】8名学生共有种排法，把2位老师插入到9个空中有种排法，故共有种排法．10.在“学雷锋，我是志愿者”活动中，有名志愿者要分配到个不同的社区参加服务，每个社区分配名志愿者，其中甲、乙两人分到同一社区，则不同的分配方案共有（）A．种B．种C．种D．种【答案】B【解析】由题意，将问题分成2步.第1步，甲乙分到3个社区中的1个社区，有种方法；第2步，将余下4个人分配到另外2个社区，有种方法，则最终不同的分配方案共有种.故选B.【考点】1.分步计数原理的应用；2.人员分配问题.11.某搬运工不慎将4件次品与6件正品混在一起，由于产品外观一样，需要用仪器对产品一一检测，直至找到所有次品为止，若至多检测6次就能找到所有次品，则不同的检测方法共有（）种.A．1950B．2130C．7800D．8520【答案】D【解析】若恰好检测4次就能找到所有次品，不同的检测方法共有种；若恰好检测5次就能找到所有次品，不同的检测方法共有种；若恰好检测6次就能找到所有次品货所有正品，不同的检测方法共有.故满足条件的不同检测方法有种.【考点】排列组合.12.编号为1,2,3,4,5,6的六个同学排成一排，3、4号两位同学相邻，不同的排法（）A．60种B．120种C．240种D．480种【答案】C【解析】将34看一个整体，连同1、2、5、6共5个元素进行全排列，共有5！种排法.由于3、4还要进行排列，故共有种排法.【考点】排列.13.科技活动后，名辅导教师和他们所指导的名获奖学生合影留念（每名教师只指导一名学生），要求人排成一排，且学生要与其指导教师相邻，那么不同的站法种数是______.（用数字作答）【答案】.【解析】由于学生与其指导老师相邻，先将学生与其指导教师进行捆绑，形成三个整体，考虑每个整体中教师与学生的顺序，以及三个整体的排列，因此共有种不同的站法种数.【考点】排列组合14.从0，1，2，3，4，5这6个数字中任意取4个数字组成一个没有重复数字且能被3整除的四位数，这样的四位数有个．【答案】【解析】依题意，只需组成的四位数各位数字的和能被整除．将这六个数字按照被除的余数分类，共分为类：，，，若四位数含，则另外个数字为、之一、之一，此时有种；若四位数不含，则个数字为，此时有种，由分类计数原理，这样的四位数有个．【考点】排列和组合.15.用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个(用数字作答).【答案】324【解析】∵个位、十位和百位上的数字之和为偶数,∴这三个数或者都是偶数,或者有两个奇数一个偶数.当个位、十位和百位上的都为偶数时,则①此三位中有0,则有·4=3×6×4=72(个);②此三位中没有0,则有·3=6×3=18(个).当个位、十位和百位上有两个奇数一个偶数时,则①此三位中有0,则有·4=3×6×4=72(个);②此三位中没有0,则有·3=162(个),∴总共有72+18+72+162=324(个).【方法技巧】1.解决排列组合综合问题,应遵循三大原则:先特殊后一般、先取后排、先分类后分步的原则.2.解决排列组合综合问题的基本类型基本类型主要包括:排列中的“在与不在”、组合中的“有与没有”,还有“相邻与不相邻”“至少与至多”“分配与分组”等.3.解决排列组合综合问题中的转化思想转化思想就是把一些排列组合问题与基本类型相联系,从而把问题转化为基本类型,然后加以解决.16.已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为()A．33B．34C．35D．36【答案】A【解析】从集合A,B,C中各取一个数有1×2×3=6种取法.其中1,1,5三数可确定空间不同点的个数为3个,另5种每种可确定空间不同点的个数都是6.所以可确定空间不同点的个数为3+5×6=33.17.将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有()A．12种B．18种C．24种D．36种【答案】A【解析】【思路点拨】先排第一列三个位置,再排第二列第一行上的元素,则其余元素就可以确定了.解:先排第一列,由于每列的字母互不相同,因此共有3×2×1种不同的方法;再排第二列,其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法,第二列第二、三行的字母只有1种排法,因此共有3×2×1×2=12(种)不同的方法.18.某化工厂生产中需要依次投放2种化工原料,现已知有5种原料可用,但甲、乙两种原料不能同时使用,且依次投料时,若使用甲原料,则甲先投放,则不同的投放方案有()A．10种B．12种C．15种D．16种【答案】C【解析】分类完成此事,一类是使用甲原料,则不同的投放方案有1×3=3(种);一类是不使用甲原料,不同的投放方案有4×3=12(种);由分类加法计数原理可知,不同的投放方案有3+12=15(种).19.用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数的个数为()A．11B．12C．13D．14【答案】D【解析】数字2出现一次的四位数有4个,数字2出现2次的四位数有6个,数字2出现3次的四位数有4个,故总共有4+6+4=14个.20.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()A．4种B．10种C．18种D．20种【答案】B2＝6种方法；②选1本画【解析】分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友，有C41＝4种方法．所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)．册，3本集邮册送给4位朋友，有C421.将甲、乙、丙、丁、戊共五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，且甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有多少种()．A．150B．114C．100D．72【答案】C【解析】先将五人分成三组，因为要求每组至少一人，所以可选择的只有2,2,1，或者3,1,1，所以共有＝25种分组方法．因为甲不能去北大，所以有甲的那组只有交大和浙大两个选择，剩下的两组无约束，一共4种排列，所以不同的保送方案共有25×4＝100种．22.某班有38人，现需要随机抽取5人参加一次问卷调查，抽到甲同学而未抽到乙同学的可能抽取情况有种. （结果用数值表示）【答案】【解析】甲乙是两个特殊的元素，甲抽到了，而乙未抽到，因此还要从余下的36人中抽4人，共有种抽法．【考点】组合．23.某高校从5名男大学生志愿者和4名女大学生志愿者中选出3名派到3所学校支教(每所学校一名志愿者)，要求这3名志愿者中男、女大学生都有，则不同的选派方案共有 ()．A．210种B．420种C．630种D．840种【答案】B【解析】从这9名大学生志愿者中任选3名派到3所学校支教，则有种选派方案，3名志愿者全是男生或全是女生的选派方案有＋种，故符合条件的选派方案有－(＋)＝420种．24.数列共有12项，其中，，，且，则满足这种条件的不同数列的个数为（）A．84B．168C．76D．152【答案】A【解析】∵，∴前一项总比后一项大一或小一，到中4个变化必然有3升1减，到中必然有5升2减，是排列组合的问题，∴.【考点】1.数列的递推公式；2.排列组合问题.25.桌面上有形状大小相同的白球、红球、黄球各3个，相同颜色的球不加以区分，将此9个球排成一排共有种不同的排法.（用数字作答）【答案】1680【解析】可以考虑将此9个球同色加以区分的排成一排，然后再加以区分，除以相同颜色的球的排列数即可.所以满足题意的排列种数共有.【考点】排列组合26.高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（）A．1800B．3600C．4320D．5040【答案】B【解析】先排除了舞蹈节目以外的5个节目，共种，把2个舞蹈节目插在6个空位中，有种，所以共有种.【考点】排列组合.27.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】先安排2，4，因为2，4不在个位和万位，所以2，4只能在十、百、千三个位置，①若2，4均为在百位，即2，4只占十位和千位，则数字5只能从个位和万位选择一个位置，这样共有个五位数；②若2，4某一个数字占据了百位，另一数字占据十位或千位，共有种可能，此时剩下的三个数字安排到余下的三个位置即可，这样的五位数就有个．由①②可知，这样的五位数一共有32个，故选A．【考点】排列组合综合．28. 2011年西安世园会组委会要派五名志愿者从事翻译、导游、礼仪三项工作，要求每项工作至少有一人从事，则不同的派给方案共有（）A．25种B．150种C．240种D．360种【答案】B【解析】5个人全部参加工作，可以分先分组为2人、2人、1人或3人、1人、1人，故5个人全部工作共有安排方案种。
排列组合练习题及问题详解
排列组合习题精选一、纯排列与组合问题：1.从9人中选派2人参加某一活动，有多少种不同选法？2.从9人中选派2人参加文艺活动，1人下乡演出，1人在本地演出，有多少种不同选派方法？3. 现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男、女同学的人数是（ ）A.男同学2人，女同学6人B.男同学3人，女同学5人C. 男同学5人，女同学3人D. 男同学6人，女同学2人4.一条铁路原有m 个车站，为了适应客运需要新增加n 个车站（n>1），则客运车票增加了58种（从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票），那么原有的车站有 （ ）A.12个B.13个C.14个D.15个答案：1、2936C = 2、2972A = 3、选 B. 设男生n 人，则有2138390n n C C A -=。
4、2258m nm A A +-= 选C.二、相邻问题：1. A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站成一列，若A 、B 必相邻，则有多少种不同排法？2. 有8本不同的书， 其中3本不同的科技书，2本不同的文艺书，3本不同的体育书，将这些书竖排在书架上，则科技书连在一起，文艺书也连在一起的不同排法种数为( ) A.720 B.1440 C.2880 D.3600 答案：1.242448A A = (2) 选B 3253251440A A A = 三、不相邻问题：1.要排一个有4个歌唱节目和3个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目都不相邻，有多少种不同排法？2、1到7七个自然数组成一个没有重复数字的七位数，其中奇数不相邻的有多少个？ 3.4名男生和4名女生站成一排，若要求男女相间，则不同的排法数有（ ）A.2880B.1152C.48D.1444.排成一排的8个空位上，坐3人，使每人两边都有空位，有多少种不同坐法？5.8椅子放成一排，4人就坐，恰有连续三个空位的坐法有多少种？6. 排成一排的9个空位上，坐3人，使三处有连续二个空位，有多少种不同坐法？7. 排成一排的9个空位上，坐3人，使三处空位中有一处一个空位、有一处连续二个空位、有一处连续三个空位，有多少种不同坐法？8. 在一次文艺演出中，需给舞台上方安装一排彩灯共15只，以不同的点灯方式增加舞台效果，要求设计者按照每次点亮时，必须有6只灯是熄灭的，且相邻的灯不能同时熄灭，两端的灯必须点亮的要求进行设计，那么不同的点亮方式是 （ ）A.28种B.84种C.180种D.360种答案：1.43451440A A = （2）3434144A A = （3）选B 444421152A A = （4）3424A = （5）4245480A A =（6）333424A C = （7）3334144A A = （8）选A 6828C = 四、定序问题：1. 有4名男生，3名女生。
高中数学排列组合题目专项训练卷
高中数学排列组合题目专项训练卷一、选择题1、从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人参加辩论比赛，如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，有（）种选法。
A 35B 21C 120D 60【解析】除甲、乙之外，从剩下 7 人中选 2 人，有 C(7, 2) ＝ 21 种选法。
答案：B2、用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（）A 648B 720C 810D 900【解析】百位不能为 0，有 9 种选择；十位有 9 种选择；个位有 8 种选择。
所以共有 9×9×8 ＝ 648 个。
答案：A3、 5 个人排成一排，其中甲不在排头且乙不在排尾的排法有（）A 120 种B 78 种C 72 种D 36 种【解析】5 个人全排列有 A(5, 5) ＝ 120 种排法。
甲在排头有 A(4, 4) ＝ 24 种排法，乙在排尾有 A(4, 4) ＝ 24 种排法，甲在排头且乙在排尾有 A(3, 3) ＝ 6 种排法。
所以甲不在排头且乙不在排尾的排法有 120 24 24 ＋ 6 ＝ 78 种。
答案：B4、从 6 名志愿者中选出 4 人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有（）A 280 种B 240 种C 180 种D 96 种【解析】从除甲、乙外的 4 人中选 1 人从事翻译工作，有 4 种选法；然后从剩下 5 人中选 3 人安排其余 3 项工作，有 A(5, 3) ＝ 60 种安排方法。
所以共有 4×60 ＝ 240 种选派方案。
答案：B5、某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。
如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（）A 42B 30C 20D 12【解析】分两步，第一步先插入第一个节目，有 6 个位置可选；第二步插入第二个节目，有 7 个位置可选。
高考数学专题《排列与组合》习题含答案解析
专题11.2 排列与组合1．（2021·福建宁德·高三期中）三名学生报名参加校园文化活动，活动共有三个项目，每人限报其中一项，则恰有两名学生报同一项目的报名方法种数有（ ）A ．6种B ．9种C ．18种D ．36种【答案】C 【分析】根据题意首先从三名学生中选2名选报同一项目，再从三个项目中选2项项目，全排即可.【详解】由题意可得22233233218C C A ⋅⋅=⨯⨯=，故选：C2．（2021·山东潍坊·高三月考）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说:“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说:“你不会是最差的”，从这两个回答分析，这5人的名次排列所有可能的情况共有（ ）A ．18种B ．36种C ．54种D ．72种【答案】C 【分析】甲、乙不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有可能是第二、三、四名3种情况；再排甲，也有3种情况；余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理即可得到结果．【详解】由题意得：甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有可能是第二、三、四名3种情况；再排甲，也有3种情况；余下3人有33A 种排法．故共有33333332154A ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=种不同的情况．故选：C.3．（2021·全国·高三月考（理））某地计划在10月18日至11月18日举办“菊花花会”，如图是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择摆放，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（）练基础A ．240种B ．300种C ．360种D ．420种【答案】D 【分析】先放A ，分B 、D 选则同一种花和不同种花两种情况，再考虑C 、E ，由分步乘法和分类加法原理可得答案.【详解】先放A ，共有5种选择，若B 、D 选则同一种花，有四种选择，剩下的C 、E 均有三种选择，共5433180⨯⨯⨯=种，若B 、D 选则不同种花，有24A 种选择，剩下的C 、E 均有两种选择，共245A 22240⨯⨯⨯=种，故共有180+240=420种.故选：D.4．（2021·全国·高二课时练习）某工程队有卡车､挖掘机､吊车､混凝土搅拌车各一辆，将它们全部派往3个工地进行作业，每个工地至少派一辆，则不同的派法种数是（ ）A ．18B ．9C ．27D ．36【答案】D 【分析】利用捆绑法，先把4辆车分成3组，再把分好的3组分别派给3个工地，即可得到答案；【详解】先把4辆车分成3组，再把分好的3组分别派给3个工地，则不同的派法共有2343C A 36=（种）.故选：D5．（2021·浙江·模拟预测）若从1,2,3,9, 这个9个整数中取出4个不同的数排成一排，依次记为a b c d ,,,，则使得a b c d ⨯⨯+为偶数的不同排列方法有（ ）A ．1224B ．1200C ．1080D ．840【答案】A 【分析】考虑d 为偶数和d 为奇数两种情况，判断a b c ⨯⨯的奇偶性，根据,,a b c 中偶数的个数计算得到答案.【详解】d 为偶数，则a b c ⨯⨯为偶数，有11221334353533()1104C C C C C C A ++=；d 为奇数，则a b c ⨯⨯为奇数，四个数均为奇数，有45120A =.故共有1224种．故选：A.6．（2021·福建省漳州第一中学高二月考）将7个相同的球放入4个不同的盒子中，则每个盒子都有球的放法种数为（ ）A ．22B ．25C ．20D ．48【答案】C 【分析】将7个相同的球放入4个不同的盒子中，即把7个相同的球分成4组，不妨将7个球摆成一排，中间形成6个空，只需在这6个空插入3个隔板将它们隔开，即分成4组，据此即可的解.【详解】解：将7个相同的球放入4个不同的盒子中，即把7个相同的球分成4组，因为每个盒子都有球，所以每个盒子至少又一个球，不妨将7个球摆成一排，中间形成6个空，只需在这6个空插入3个隔板将它们隔开，即分成4组，不同插入方法共有3620C =种，所以每个盒子都有球的放法种数为20.故选：C.7.【多选题】（2021·福建省漳州第一中学高二月考）男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有（ ）A ．1人B ．2人C ．3人D ．4人【答案】BC 【分析】设女生有n 人，则男生有8-n 人，由21830n n C C -⋅=求解.设女生有n 人，则男生有8-n 人，由题意得：21830n n C C -⋅=，即()()87302n n n --⋅=，解得2n =或3n =，故选：BC8．（2021·上海·闵行中学高三期中）从4男2女六名航天员中选出三名作为神舟十四号乘组，则恰好有一名女航天员被选中的选法有______种．（用数字作答）【答案】12【分析】利用组合数来计算出选法数.【详解】依题意可知，选法有214212C C =种.故答案为：129．（2020·新疆·克拉玛依市教育研究所三模（理））新型冠状肺炎疫情发生后，新疆某医院有2名医生，4名护士自愿报名参加援助武汉医疗队，现要将这6名医护人员分成2个小组，分别安排到武汉市的两所方舱医院参加医疗救助活动，每个小组由1名医生和2名护士组成，不同的安排方案共有_________种．（用数字作答）【答案】12【分析】先从2名医生中选1名去一所方舱医院，再从4名护士选2名护士去同一所方舱医院，利用分步乘法计数原理即可求出.【详解】先从2名医生中选1名去一所方舱医院，有122C =种，再从4名护士选2名护士去同一所方舱医院，有246C =种，剩下的1名医生2名护士去另一所方舱医院，则不同的安排方案共有2612⨯=种.故答案为：12.10．（2021·全国·高二课时练习）求下列各式中的正整数n ：（1）33210n n A A =；（2）101098765nA =⨯⨯⨯⨯⨯．【答案】（1）8n =（2）6（1）根据排列数公式列出方程即可求解；（2）根据排列数公式列出方程即可求解；（1）解：因为33210n n A A =，所以()()()()221221012n n n n n n ⨯-⨯-=⨯⨯-⨯-，解得8n =；（2）解：因为101098765nA =⨯⨯⨯⨯⨯，又()10109101n A n =⨯⨯⨯-+ ，所以1015n -+=，解得6n =.1．（2020·上海市沪新中学高三月考）某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为________(结果用数值表示)【答案】180【分析】利用组合和排列的含义分别求出从6名学生中选出四名且甲必须参赛和甲不担任四辩的情况种数，然后按照分步乘法原理计算即可.【详解】首先从6名学生中选出四名且甲必须参赛共有35C 种情况，甲不担任四辩的情况共有333A 种，故不同的安排方法种数为33533180C A ⋅=.故答案为：180.2．（2018·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心高三学业考试）为宣传地方特色，某电视台派出3名男记者和2名女记者到民间进行采访.期间工作的任务有A ，B ，C ，D 四项，每项任务至少一人参加，但两名女记者不参加A 任务，则不同的安排方案数共有_______.【答案】126【分析】采用分类计数原理，排列组合进行计算可得.【详解】两名女记者不参加A 任务，由题意分两类情况：①1男参加A 任务；②2男参加A 任务,其余人员再排列;即:①1男参加A 任务，将3男选1排在A 任务，再将剩下4人选两人打捆,再排在其它3项任务，即11233143108C A C A =种.②2男参加A 任务，将3男选2人排在A 任务,再将剩下的人排在其它3项任务,练提升即233318C A =种,所以选出符合条件参加活动的人员共有: 108+18= 126种，故答案为: 126种3．（2021·全国·高三月考）某学校安排甲，乙等5位中层干部深入4个班级进行班级课堂教学调研，每班至少安排一位中层干部，若甲、乙不能安排到同一个班级，则不同的安排方法共有______________________种(用数字作答)．【答案】216【分析】先将5位中层干部分成4组，有1组2人其他3组各1人，除去甲、乙分在一起的情况，所以分组结果有25C 19-=种，再分配到4个班级，由分步乘法计数原理即可求解.【详解】首先把5位中层干部分成4组，有1组2人其他3组各1人．又甲、乙不能分在一起，因此有25C 19-=种，再对分好的4组分配到4个班级有44A 24=种，根据分步乘法原理得：924216⨯=种，故答案为：216.4．利用组合数公式证明111m m m n n n C C C ++++=．【答案】证明见解析【分析】利用组合数公式分别计算等式左右两边即可证明.【详解】证明：因为()11(1)!1!()!m n n C m n m +++=+-，()()()1!11!!!(1)!(1)!!()!(1)!()!(1)!()!m mn n n n m m n n n C C n m m m n m m n m m n m +⎡⎤-+++⎣⎦++==--+-+--=+，所以111m m m nn n C C C ++++=．5．（2021·全国·高二课时练习） 把分别标有1，2，3，4号的4个不同的小球放入3个分别标有1号、2号、3号的盒子中，不许有空盒子且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的放法共有多少种？【答案】12【分析】由于4号球没有限制，所以以4号球分两类讨论：一类是4号球与1，2，3号球中的一个在一个盒子，另一类是4号球单独放在一个盒子，其他3个球放入两个盒子.【详解】由于4号球没有限制，所以以4号球分类：当4号球与1，2，3号球中的一个在一个盒子时，它们有2个盒子可选，其他两个球只有1种放法，共有11326C C =种放法；当4号球单独放在一个盒子，其他3个球放入两个盒子时，首先在1，2，3号球中先选出两个球占一个盒子有23C 种，再分配剩下那个球与4号球，满足条件的放法种数为22326C A =种，所以共有6612+=种不同放法.6．（2021·福建省漳州第一中学高二月考）为配合国家精准扶贫战略，某省示范性高中安排6名高级教师（不同姓）到基础教育薄弱的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人，因工作需要，其中李老师不去甲校，则分配方案种数为多少种？（请写出分类过程）【答案】360【分析】根据题意，按甲校安排的人数分4种情况讨论，求出每种情况下安排方案的数目，由加法原理计算可得答案.【详解】分四种情况讨论：甲校安排1名老师，分配方案种数有()11422325542532150C C C A C C A +=，甲校安排2名老师，分配方案种数有()213222543242140C C C A C C +=，甲校安排3名老师，分配方案种数有3122532260C C C A =，甲校安排4名老师，分配方案种数有41152110C C C =所以分配方案共有150+140+60+10=360种.7．（2021·全国·高二课时练习）现有编号分别为A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 的7个不同的小球，将这些小球排成一排（1）若要求A ，B ，C 相邻，则有多少种不同的排法？（2）若要求A 排在正中间，且B ，C ，D 各不相邻，则有多少种不同的排法？【答案】（1）720；（2）216.【分析】（1）利用“捆绑法”可求；（2）分B ，C ，D 中有1个在A 的左侧和有2个在A 的左侧讨论求解.【详解】（1）把A ，B ，C 看成一个整体与剩余的4个球全排列，则不同的排法有3535A A 720=（种）．（2）A 在正中间，所以A 的排法只有1种．因为B ，C ，D 互不相邻，所以B ，C ，D 不可能同时在A 的左侧或右侧．若B ，C ，D 中有1个在A 的左侧，2个在A 的右侧且不相邻，则不同的排法有22133233C A C A 108=（种），若B ，C ，D 中有2个在A 的左侧且不相邻，1个在A 的右侧，则不同的排法有22133233C A C A 108=（种）．故所求的不同排法有108108216+=（种）．8．（2021·河北·藁城新冀明中学高二月考）从1到6的六个数字中取两个偶数和两个奇数组成没有重复数字的四位数.试问：（1）能组成多少个不同的四位数？（2）四位数中，两个偶数排在一起的有几个？（3）两个偶数不相邻的四位数有几个？（所有结果均用数值表示）【答案】（1）216（2）108（3）108【分析】（1）分三步完成：第一步，取两个偶数，第二步，取两个奇数，第三步，将取出的四个数全排列，最后利用分步计数原理求解；（2）分三步完成：第一步，取两个偶数，第二步，取两个奇数，第三步，将两个偶数看作一个整体与两个奇数排列，最后利用分步计数原理求解；（3分三步完成：第一步，取两个偶数，第二步，取两个奇数，第三步，先将两个奇数排列，再从三个空中选两个空，将两个偶数排列上，最后利用分步计数原理求解.（1）解：分三步完成：第一步，取两个偶数，有23C 种方法，第二步，取两个奇数，有23C 种方法，第三步，将取出的四个数全排列，有44A 种方法，由分步计数原理得：共能组成423422163A C C ⋅=⋅个不同的四位数；（2）解：分三步完成：第一步，取两个偶数，有23C 种方法，第二步，取两个奇数，有23C种方法，第三步，将两个偶数看作一个整体与两个奇数排列，有2323A A⋅种方法，由分步计数原理得：共能组成22232333108C C A A⋅⋅⋅=个不同的四位数；（3）解：分三步完成：第一步，取两个偶数，有23C种方法，第二步，取两个奇数，有23C种方法，第三步，先将两个奇数排列，再从三个空中选两个空，将两个偶数排列上，有2223A A⋅种方法，由分步计数原理得：共能组成22222333108C C A A⋅⋅⋅=个不同的四位数；9．（2021·全国·高二课时练习）甲、乙、丙、丁、戌五名同学参加某项竞赛，决出了第一名到第五名的5个名次．甲、乙两人去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从组织者的回答分析，这五名同学的名次排列共有多少种不同的情况．【答案】54【分析】安排方案可分3步完成，第一步先安排乙，再安排甲，最后安排其他同学完成，由分步乘法原理求满足条件的方案数.【详解】满足要求的方案可分3步完成，第一步先安排乙，乙可以排在第2,3,4位，有3种安排方法，第二步安排甲，有3种安排方法，第三步再安排其他同学，有33A种安排方法，由分步乘法原理满足条件的安排方法有54种.39．（2021·全国·高二课时练习）在3000—7000之间有多少个没有重复数字的5的倍数？【答案】392【分析】分各位数字是0和5两种情况进行讨论即可.【详解】第一类，个位是5时，首位从3，4，6中选，中间两位从0到9的数中，去掉5与首位的数中选2个排列，所以共有1238168C A=个；第二类，个位是0时，首位从3，4，5，6中选，中间两位从0到9的数中，去掉0与首位的数中选2个排列，所以共有1248224C A=个；所以共有168224392+=个.10．（2021·江西·横峰中学高二期中（理））1.如图，已知图形ABCDEF ，内部连有线段.（用数字作答）（1）由点A 沿着图中的线段到达点E 的最近路线有多少条？（2）由点A 沿着图中的线段到达点C 的最近路线有多少条？（3）求出图中总计有多少个矩形？【答案】（1）20（2）175（3）102【分析】（1）由题意转化条件为点A 需向右移动3次、向上移动3次，结合组合的知识即可得解；（2）设出直线DE 上其它格点为G 、H 、P ，按照A E C →→、A G C →→、A H C →→、A P C →→分类，结合分步乘法、组合的知识即可得解；（3）由题意转化条件为从竖线中选出两条、横线中选出两条组成图形，按照矩形的边在不在CD 上分类，利用分步乘法、组合的知识即可得解.（1）由题意点A 沿着图中的线段到达点E 的最近路线需要移动6次：向右移动3次，向上移动3次，故点A 到达点E 的最近路线的条数为336320C C ⋅=；（2）设点G 、H 、P 的位置如图所示：则点A 沿着图中的线段到达点C 的最近路线可分为4种情况：①沿着A E C →→，共有33263360C C C ⋅⋅=条最近路线；②沿着A G C →→，共有3222524260C C C C ⋅⋅⋅=条最近路线；③沿着A H C →→，共有32345340C C C ⋅⋅=条最近路线；④沿着A P C →→，共有246415C C ⋅=条最近路线；故由点A 沿着图中的线段到达点C 的最近路线有60604015175+++=条；（3）由题意，要组成矩形则应从竖线中选出两条、横线中选出两条，可分为两种情况：①矩形的边不在CD 上，共有224690C C ⋅=个矩形；②矩形的一条边在CD 上，共有124312C C ⋅=个矩形；故图中共有9012102+=个矩形.1．（2020·海南省高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种【答案】C【解析】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C ；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C ；最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有126561060C C ⋅=⨯=种.故选：C2.（2021·全国·高考真题（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A ．60种B ．120种C ．240种D ．480种【答案】C【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志练真题愿者中任选2人，组成一个小组，有25C 种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有254!240C ⨯=种不同的分配方案，故选：C.3．（2018·浙江高考真题）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)【答案】1260.【解析】若不取零，则排列数为224534C C A ,若取零，则排列数为21135333C C A A ,因此一共有22421135345333C C A C C A A 1260+=个没有重复数字的四位数.4．（2017·天津高考真题（理））用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）【答案】1080【解析】41345454A C C A 1080+= 5.（2015·上海高考真题（理））在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）．【答案】120【解析】①1男4女，1436C C 45=种；②2男3女，2336C C 60=种；③3男2女，3236C C 15=种；∴一共有456015120++=种．故答案为：120.6.（2020·全国高考真题（理））4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.【答案】36【解析】 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学∴先取2名同学看作一组，选法有：246C =现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：336A =⨯=种根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636故答案为：36.。
高考数学排列组合试题
第 1 页 共 1 页排列,组合练习题一、选择题1、在一个盒子里有6只不同的圆珠笔，从中任意抽取3枝，则有多少种不同的取法（ ）A 15B 20C 120D 6 2、现有4件不同款式的上衣与3件不同颜色的长裤，如果一条长裤和一件上衣配成一套，则不同选法是（ ）A 7B 64C 12D 81 3、集合{}2,1,0,1-=M 中任取两个不同元素构成点的坐标，则共有不同点的个数是（ ）A 4B 6C 9D 12 4、五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有( )A 1444C C 种B 1444C A 种 C 44C 种D 44A 种 5、某班有三个小组，分别有12人、10人和9人组成，现要选派不属于同一组的两人参加班际之间的活动，不同的选派方法共有 种.A 318B 465C 636D 930. 6、由0,1,2,3,4可以组成______________个小于300的三位数？A 24P B 25PC 242PD 252P7、从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（ ）A 35种B 70种C 105种D 140种8、从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有( ) A 140种 B 120种 C 35种 D 34种 二、填空题9、以正方体的顶点为顶点的等腰直角三角形的个数为_____________10、100件产品中恰好有98件合格产品,从中任意抽取2件,抽到次品的抽法有____________种11.由0,1,2,3,4这5个数字组成的无重复数字的四位数中,偶数有___________个 12、从集合{ P ，Q ，R ，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任限2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母Q 和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是________．(用数字作答)． 三、解答题13.一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ （3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？14（1）7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？ （2）7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？（3）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ （4）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？ （5）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？ （6）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？15、4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲．乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况有多少种？。
排列组合综合练习(含答案)
排列组合综合练习一、填空题1.从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作.若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作,则选派方案共有 240种2.设直线的方程是0=+By Ax ,从1,2,3,4,5这五个数中取两个不同的数作为A 、B 的值,则所得不同直线的条数是 183.三个人坐在八个座位上,若每个人的两边都要有空位,则不同的坐法总数为_________.244.今有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加以区分,将这9个球排成一列有______种不同的方法(用数字作答) 12605.从5名男生和3名女生中任选3男2女,分别参加不同的学科兴趣小组,则不同安排的总数是 ()552335A C C + 6.把4个不同的小球全部放入3个不同的盒子中,使每个盒子都不空的放法总数为 3324A C7.四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法有 种。
1444.8.在直角坐标系xOy 平面上,平行直线x=n(n=0,1,2,…,5)与平行直线y=n(n=0,1,2,…,5)组成的图形中,矩形共有 225个9.在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,不能被5整除的数共有____个.19210.从6名运动员中选出4个参加4×100m 接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有____种不同的参赛方法。
25211.甲、乙、丙、丁、戊5名同学手拉手站成一圈,有 种不同的站法。
245155=A 12.用0,1,2,3,4,5这六个数组成没有重复数字的四位偶数,将这些四位数从小到大排列起来,第71个数是 。
312013.将三种作物种植在如图所示的试验田里,每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物,不同的种植方法有 种。
42（提示：有乘法原理有3×2×2×2×2=48种不同的种法,但这样可能只种了2种作物不符合题意,若只种两种作物,则有611111223=⨯⨯⨯⨯C C 种不同的种法,所以满足题意的种法有48-6=42种不同的种植方法）.14.如图所示,在某个城市中,M,N 两地之间有整齐的道路网,若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进,则从M 到N不同的走法共有 种。
高三数学排列组合综合应用试题
高三数学排列组合综合应用试题1.在高三(1)班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为()A．24B．36C．48D．60【答案】D【解析】先排3个女生，三个女生之间有4个空，从四个空中选两个排男生，共有＝72(种)，若女生甲排在第一个，则三个女生之间有3个空，从3个空中选两个排男生，有＝12(种)，∴满足条件的出场顺序有72－12＝60(种)排法，选D．2.某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，不同的排法共有________种．【答案】24【解析】甲、乙排在一起，用捆绑法，先排甲、乙、戊，有2种排法，丙、丁不排在一起，用插空法，有种排法，所以共有2·＝24种．3.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是A．72B．120C．144D．168【答案】B【解析】将所有的安排方法分成两类，第一类：歌舞类节目中间不穿插相声节目，有(种)；第二类：歌舞类节目中间穿插相声节目，有(种)；根据分类加法计数原理，共有96+24=120种不同的排法.故选B.【考点】1、分类加法计数原理；2、排列.4.把5件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻，且产品与产品不相邻，则不同的摆法有种.【答案】36【解析】先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有种方法，而A、B可交换位置，所以有种摆法，又当A、B相邻又满足A、C相邻，有种摆法，故满足条件的摆法有种.【考点】排列组合，容易题.5.一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种 .【答案】186【解析】设取红球个，白球个，则，取法为.【考点】古典概型.6. 3个单位从4名大学毕业生中选聘工作人员，若每个单位至少选聘1人（4名大学毕业生不一定都能选聘上），则不同的选聘方法种数为________(用具体数字作答)【答案】60【解析】当4名大学毕业生全选时有，当3名大学毕业生全选时，即【考点】排列、组合及简单计数问题.7.某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为（用数字作答）．【答案】0.6【解析】6节课共有种排法．语文、数学、外语三门文化课中间隔1节艺术课有种排法，三门文化课中、都相邻有种排法，三门文化课中有两门相邻有，故所有的排法有2 +，所以相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为=8.如果某年年份的各位数字之和为7，我们称该年为“七巧年”.例如，今年年份2014的各位数字之和为7，所以今年恰为“七巧年”.那么从2000年到2999年中“七巧年”共有( ) A．24个B．21个C．19个D．18个【答案】B【解析】2000年到2999年中，每年的第一个数字都是2，则其余的数字之和是5的年份才是“七巧年”，三个数字之和是5的数字组合有：005，050，500；014，041，104，140，401，410；023，032，302，320，203，230；311，113，131；221，212，122.一共21种，所以从2000到2999年中的“七巧年”有21个.【考点】排列组合9.如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式有()A．11种B．20种C．21种D．12种【答案】C【解析】若前一个开关只接通一个,则后一个开关接通方法有++=7(种),此时有2×7=14种,若前一个开关接通两个,则后一个开关接通方法有++=7(种),所以总共有14+7=21(种).10.用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个(用数字作答).【答案】324【解析】∵个位、十位和百位上的数字之和为偶数,∴这三个数或者都是偶数,或者有两个奇数一个偶数.当个位、十位和百位上的都为偶数时,则①此三位中有0,则有·4=3×6×4=72(个);②此三位中没有0,则有·3=6×3=18(个).当个位、十位和百位上有两个奇数一个偶数时,则①此三位中有0,则有·4=3×6×4=72(个);②此三位中没有0,则有·3=162(个),∴总共有72+18+72+162=324(个).【方法技巧】1.解决排列组合综合问题,应遵循三大原则:先特殊后一般、先取后排、先分类后分步的原则.2.解决排列组合综合问题的基本类型基本类型主要包括:排列中的“在与不在”、组合中的“有与没有”,还有“相邻与不相邻”“至少与至多”“分配与分组”等.3.解决排列组合综合问题中的转化思想转化思想就是把一些排列组合问题与基本类型相联系,从而把问题转化为基本类型,然后加以解决.11.将a,b,c三个字母填写到3×3方格中,要求每行每列都不能出现重复字母,不同的填写方法有种(用数字作答).【答案】12【解析】先填第一行,则第一行有3×2×1=6种,第二行第一列有2种,其余两列有唯一1种,第三列唯一确定1种,共有6×2=12(种).12.用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数字夹在两个奇数字之间的四位数的个数为________．【答案】8【解析】A22·C21·A22＝8个．13.用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()．A．243B．252C．261D．279【答案】B【解析】不重复的三位数字有＋＝648(个)．则有重复数字的三位数有900－648＝252(个)．14.某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁四名应届大学毕业生安排到该市三所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，其中甲、乙因属同一学科，不能安排在同一所学校，则不同的安排方法种数为()．A．18B．24C．30D．36【答案】C【解析】四名学生中有两名分在一所学校的种数是，顺序有种，而甲、乙被分在同一所学校的有种，故不同的安排方法种数是－＝30.15.有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，且A生不去甲校，则不同的保送方案有()．A．24种B．30种C．36种D．48种【答案】A【解析】若A单独去一个学校，则有＝12(种)；若A不单独去一个学校，则有＝12(种)，所以不同的报送方案有24种．16.在5×5的棋盘中，放入3颗黑子和2颗白子，它们均不在同一行且不在同一列，则不同的排列方法种数为( )A．150B．200C．600D．1200【答案】D【解析】如图的棋盘中，首先放入三颗黑子，在的棋盘中，选出三行三列，共种方法，然后放入三颗黑子，每一行放一颗黑子，共种方法，然后在剩下的两行两列放两颗白子，共种方法，所以不同的方法种数为种方法.故选D.【考点】1.分步计数原理；2.排列组合的综合应用.17.甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是______.（用数字作答）【答案】24【解析】先选相同实习单位有，再甲、乙从剩余的三个实习单位依次选一个有，根据分布计数原理，完成这件事的方法种数有=24种.【考点】排列组合.18.一个五位数满足且(如37201,45412)，则称这个五位数符合“正弦规律”.那么，共有个五位数符合“正弦规律”.【答案】2892【解析】首先对五位数进行分析，可知它的特征是是五个数字中最大的一个，是一个数字中最小的一个，三个有大小不定但都与不相等，因此这个五位数中至少会出现3个不同数字，当做也可能有4个不同数字或者5个不同数字．下面我们就可以根据这三种情形分类讨论，五位数中只有3个不同数字：，五位数中只有4个不同数字：，五位数中只有5个不同数字：，共有个数．【考点】排列与组合．19.高三毕业时，甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲，乙相邻，则甲丙相邻的概率为 .【答案】【解析】依题意，甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念满足甲，乙相邻的排列种数为（种），其中若甲丙相邻，则甲、乙、丙三人的排列只有丙甲乙或者乙甲丙两种模式，因此上述排列中满足甲丙相邻的种数有（种）.故所求概率为.【考点】排列组合、古典概率20.现需编制一个八位的序号，规定如下：①序号由4个数字和2个x、1个y、1个z组成；②2个x不能连续出现，且y在z的前面；③数字在0、1、2、…、9之间任选，可重复，且四个数字之积为8．则符合条件的不同的序号种数有（）A．12600B．6300C．5040D．2520【答案】B【解析】因为四个数字之积为8，则这四个数字为：；；.当为时，可组成的不同序号为；当为或时，都是；故三数相加即可，故选B.【考点】排列组合.21.某铁路货运站对6列货运列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组，如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有．【答案】216【解析】将6列车分成两组种方法，甲组开出顺序种，乙组开出顺序种，所以不同的发车顺序共有种【考点】排列组合点评：求解本题首先要结合分步计数原理先分组，再安排顺序，分组时要注意平均分租的种数22.从,六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位奇数，有多少种取法A．B．C．D．【答案】B【解析】从0，2，4这3个偶数数字中任选2个，分为以下两类：一类：不含有0，即选取2，4时只有一种方法，再从1，3，5这3个数字中任取2个数字共有种方法，从选取的两个奇数中任取一个放在个位上有种方法，其余3个数字全排列有3! 种方法，由乘法原理可得：共有种方法；另一类：含有数字0，再从2，4两个数字中任选一个共有=2种选法，再从1，3，5这3个数字中任取2个数字共有种方法，从选取的两个奇数中任取一个放在个位上有种方法，数字0只能放在十位或百位上有种方法，剩下的两个数字有种方法，由乘法原理可得：共有种方法．由分类加法原理可得：满足题意的没有重复数字的四位奇数共有36+48=84种方法．选B.【考点】排列、组合及简单计数问题．点评：本题综合考查了对分类加法原理、分步乘法原理、排列及组合的意义理解及其计算公式的应用，并且注意特殊位置（个位）特殊元素（0）优先考虑的方法的应用．23.某校为全面实施素质教育，大力发展学生社团，2014级高一新生中的五名同学准备参加“文学社”、“戏剧社”、“动漫社”、“民乐社”四个社团，若每个社团至少有一名同学参加，每名同学必须参加且只能参加一个社团，若同学甲不参加“动漫社”，则不同的参加方法的种数为( )A．72B．108C．180D．216【答案】C【解析】解：根据题意，同学甲不参加“动漫社”，则甲只能参加“文学社”、“戏剧社”、“爱心社”，有3种参加方法，对于其他的四名同学，分两种情况讨论，①、若四个社团都有人参加，即四人对应4个社团，有=24种情况，②、若四人只参加三个社团，则必须参加“文学社”、“戏剧社”、“爱心社”，有=36种情况，则其他的四名同学的参加方法有36+24=60种，则五人不同的参加方法的种数为3×60=180；故选C24.将编号为1、2、3、4、5的五个球放入编号为1、2、3、4、5的五个盒子，每个盒内放一个球，若恰好有两个球的编号与盒子编号相同，则不同的投放方法的种数为A．40种B．30种C．20种D．10种【答案】C2=10种情况，【解析】先选出2个小球，放到对应序号的盒子里，有C5其余的3个球的编号与盒子的不同，其中第一个球有2种放法，第二个小球有1种放法，第三个小球也只有1种放法，则其余的3个球有2×1×1=2种不同的放法，故5个球共有10×2=20种不同的放法，故选C．25.若把英语单词“”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有种．【答案】11【解析】略26.现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数有（）A．6B．8C．12D．16【答案】C【解析】分三类：（1）间隔一天考试，安排方案有种；（2）间隔2天考试，安排方案有种；（3）间隔2天考试；安排方案有种；故不同的考试安排方案种数有6+4+2=12.故选C27.我们将日期“20111102”即2011年11月2日称为“世界完全对称日”，那么在新千年（20010101~20991231）内的“世界完全对称日”共有（）个（）A．24B．36C．720D．1000【答案】B【解析】根据题意，分析可得世界完全对称日就是日期中的数字左右对称的日期，则在20010101～29991231中的世界完全对称日有20011002、20100102、20111102、20200202、20211202、20300302、20400402、20500502、20600602、20700702、20800802、20900902、21011012、21100112、21111112、21200212、21211212、21300312、21400412、21500512、21600612、21700712、21800812、21900912、22011022、22100122、22111122、22200222、22211222、22300322、22400422、22500522、22600622、22700722、22800822、22900922，共36个，故选B28.男教师6名，女教师4名，其中男女队长各1人，选派5人到灾区支教，队长中至少有一人参加，则不同的选派方法有（）种。
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高考数学专题之排列组
合综合练习
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
1．从中选个不同数字，从中选个不同数字排成一个五位数，则这些五位数中偶数的个数为（）
A． B． C． D．
2．五个同学排成一排照相，其中甲、乙两人不排两端，则不同的排法种数为（）A．33 B．36 C．40 D．48
3．某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教（每地1名教师），其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有（）
A．900种 B．600种 C．300种 D．150种
4．要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有__________种（用数字作答）.
5．有五名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲不能站在最左端，而乙必须站在丙的左侧（不一定相邻），则不同的站法种数为__________．(用数字作答）
6．有个座位连成一排，现有人就坐，则恰有个空位相邻的不同坐法是
__________．
7．现有个大人，个小孩站一排进行合影.若每个小孩旁边不能没有大人，则不同的合影方法有__________种．（用数字作答）
8．（2018年浙江卷）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
9．由0，1，2，3，4，5这6个数字共可以组成______.个没有重复数字的四位偶数．
10．将四个编号为1,2,3,4的小球放入四个编号为1,2,3,4的盒子中.
(1)有多少种放法
(2)若每盒至多一球,则有多少种放法
(3)若恰好有一个空盒,则有多少种放法
(4)若每个盒内放一个球,并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同,则有多少种放法
参考答案
1．C
【解析】试题分析：第一步，先从3个奇数中选两个，第二步，从4个偶数中选择3个；第三步，从选出的偶数中选出一个放在个数；其余的数进行全排列即可，所以这些五位数中偶数的个数为,故选C. 考点：1.组合问题；2.排列问题；3.两个计数原理.
2．B
【解析】分析：现从剩余的三人中选取两人，排在队伍的两端，再排含有甲乙的三个人，即可得到答案．
详解：由题意，现从剩余的三人中选取两人，排在队伍的两端，
再排含有甲乙的三个人，共有种不同的排法，故选B．点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．
3．B
【解析】
【分析】
分两步进行，先从8名教师中选出4名，因为甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，所以可按选甲和不选甲分成两类，由分类计数原理可得这一步的情况数目，再把四名老师分配去4个边远地区支教，对四名教师进行全排列即可，最后，由分步计数原理，计算可得答案．
【详解】
第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，再从剩余的5名教师中选2名，有（种）不同选法，
第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，从6名教师中选4名，有（种）不同选法，
所以不同的选派方案共有(10+15)（种）.
故选B.
【点睛】
(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．
(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：
①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．
4．120
【解析】分析：先选一个插入甲乙之间（甲乙需排列），再选一个排列即可. 详解：先从除了甲乙以外的6人中选一人，安排在甲乙中间，有种，最后再选出一人和刚才的三人排列得：.
故答案为：120.
点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：
(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.
5．48
【解析】由题意可得：122
44246248
C C A=⨯⨯=则不同的站法种数为48
6．
【解析】分析：通过分类讨论两个相邻空位的分布不同情况解决问题：两个空位在两端，两个空位不在两端。
详解：当相邻两个空位在两端时，必有一个人坐在空位旁边，余下两个人坐三个空位，
则有
当相邻两个空位不在两端时，有三种情况，必有两人坐在空位旁边，余下一人坐两个空位中的一个，则有
所以共有+=72
所以不同做法共有72种。
点睛：本题考查了排列组合问题的综合应用，对问题分清条理，分类清晰，步骤明确是解决这类问题的关键，属于中档题。
7．
【解析】分析：根据题意可得可以小孩为对象进行分类讨论：第一类：2个小孩在一起，第二类小孩都不相邻.分别计算求和即可得出结论。
详解：根据题意可得可以小孩为对象进行分类讨论：第一类：2个小孩在一起:,第二类：小孩都不在一起：，故不同的合影方法有216+144=360种，故答案为360
点睛：考查计数原理和排列组合的综合，对于此类题首先要把题意分析清楚，分清楚所讨论的类别，再根据讨论情况逐一求解即可，注意计算的准确性. 8．1260.
【解析】分析:按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数.
详解：若不取零，则排列数为若取零，则排列数为
因此一共有个没有重复数字的四位数.
点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：
(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.
9．156
【解析】分析：可分当末位为和末位不为两种情况分类讨论，再根据分类计数原理求得结果．
详解：可分为两类：
（1）当末位为时，可以组成个；
（2）当末位是或时，则首位有四种选法，中间可以从剩余的个数字选取两个，
共可以组成种，
由分类计数原理可得，共可以组成个没有重复数字的四位偶数．点睛：本题主要考查了排列、组合及简单的计数原理的应用，着重考查了分类的数学思想方法，对于数字问题是排列中常见到的问题，条件变换多样，把排列问题包含数字问题时，解答的关键是看清题目的实质，注意数列字的双重限制，即可在最后一位构成偶数，由不能放在首位．
10．（1）256；（2）24；（3）144；（4）8
【解析】
【分析】
（1）1号小球可放进任意一个盒子里，故4种放法，2、3、4号小球也可任意放进一个盒子里，故各4种放法，根据分步计数原理，共44=256种放法；（2）每盒至多一球，即每个盒子中一个球，是全排列问题；
（3）四个球放三个盒子，即有两个球在一个盒子里，进而求解；
（4）首先任选一球放进编号相同的盒子，有C41种放法，其余球任放进一个盒子里，且使得编号不同，有2种放法，即可得解.
【详解】
(1)每个小球都可能放入四个盒子中的任何一个,将小球一个一个放入盒子,共有4×4×4×4=44=256(种)放法.
(2)这是全排列问题,共有A44=24(种)放法.
(3)先取四个球中的两个“捆”在一起,有C42种选法,把它与其他两个球共三个元素分别放入四个盒子中的三个盒子,有A43种投放方法,所以共有C42A43=144(种)放法.
(4)一个球的编号与盒子编号相同的选法有C41种,当一个球与一个盒子的编号相同时,用局部列举法可知其余三个球的投入方法有2种,故共有C41×2=8(种)放法.【点睛】
在计数过程中，首先要确定要完成一件什么事，并依事件特点确定是“分n 类”还是“分n步”，求每“类”或每“步”中不同方法的种数；再利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法总数.。