第4章_贪心算法_作业

课后练习
练习4：单源最短路径问题。求下面连通图中从源 顶点v0到其它各顶点的最短路径。 ① 列出源顶点到其它顶点的最短路径长度和路径中 顶点序列。 ② 证明该算法的正确性。
迭代
S
u
dist[1]
dist[2]
dist[3]
dist[4]
初始
1
{0}
{0,1}
1
10
10
maxint
60
30
30
100
j j
• 证明I：贪心算法在每一天到达的停止点j比在其它解下到 达的停止点更远，即： 对每个j = 1, 2, …, m，有xp ≥xq
j j
• 证：j = 1的情况直接从贪心算法的定义得出：旅行者第1天 在停止之前走得尽可能远。
• 现在令j > 1并且假设这个断言对所有的i < j为真，那么 xq – xq ≤ d • 因为S是停止点的有效集合，且根据归纳假设，由xp ≥xq j-1 j-1 有： x –x ≤x –x
• 则a, b, c, d, e, f, g, h这 8个字符出现的次数依 次为：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21次。
0 33 0
54
1
21
20
0 8 0 5 0 3 1 12
1
13
• 以此构造一颗 Huffman树（不唯一） 如右：
• 对应的Huffman编码 为： a: 0011100 b:0011101 c: 001111 d: 00110
活动序号
起始时间 结束时间
1
2 5
2
1 5
3
2 8
4
5 10
5
7 11
6
4 13
7
6 15
8
8 22
9
15 24
• 根据贪心算法，第1个被安排的活动为1号活动，因为它的 结束时间（时刻5）最早。（贪心选择性质） • 然后每次都选取起始时间最接近于上一次活动的结束时间 的活动，所以分别依次选择4号活动（时刻10结束）、9号 活动（时刻24结束），则最优解为：( 1, 4, 9 )。 • 显然，最优解不唯一，比如： ( 2, 4, 9 )。但显然，用贪心 策略求出的可行解是最优的。
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• 问题1：假设两地距离为100公里，潜在的宿营地 点为{ 6, 14, 30, 37, 48, 65, 73, 76, 88, 90,94 }。旅行 者每天最多走18公里。给出最优（最少）的有效 宿营地组合（最少几天能走完）。 • 解答：根据贪心算法，潜在的宿营地点的选取应 该遵循每天尽量多走（但不多于18公里）的原则， 以期用最短的时间走完100公里的行程。
源点 14 30 48 65 76 94
目的点
B地
A地
需要7天才能走完，这与[100/18]+1 = 6结果符合！
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• 问题2：证明该算法的正确性（解的最优）。 • 解答：这个策略有可能是无效的么？ • 一个想法：该算法能否保证某一天提早停止就使 后面一些天的宿营地点同步提前。有没有可能真 存在一个解，它故意落在贪心解的后面，然后突 然加速并且越过贪心解？在给出贪心解每天旅行 尽可能远的条件下，它怎样越过贪心解？
V2
3
5
5
4
V4
2
6
V5 3
V6
课后练习
• Kruskal算法： V1 V2 1 V3 V4 V2
6
5 6 V5
V1
5 5 V4
1
V3
3
4
3 V1 1 1 V3 3 V6 5 5 4 3 V6
2
3
V5
4
3 V6
2
V2 V 2
6
5 6 V5
V V44
3
• Prim算法：
2
• 练习6：一队徒步旅行者要从A地到B地，两地间距离为L公 里。他们每天最多可以走d公里（与地形、天气条件等无 关），中间需要就地宿营。 • 假定这些潜在的宿营地点位于起点A地的距离为x1, x2, ……, xn的地方，显然它们之间的距离小于等于d，称这些地点（停 止点）是有效的。 • 于是，一组停止点是有效的，如果人们只能在这些地方宿营 并且仍旧能顺利完成旅行。则必须假设n个停止点所组成的 集合都是有效的；否则就没法走完整个路程。 • 问题1：假设两地距离为100公里，潜在的宿营地点为{ 6, 14, 30, 37, 48, 65, 73, 76, 88, 90,94 }。旅行者每天最多走18公里。 给出最优（最少）的有效宿营地组合（最少几天能走完）。 • 问题2：证明该算法的正确性（解的最优）。
q j p j-1 q j q j-1 j j-1
• 由此可以推得： xq – xp ≤ d，即旅行者能够选择在1天之 j j-1 内走完从xp 到xq 的所有路程；因此他们最后停留的宿营地 j-1 j xp 只能比xq 更远。命题得证!
j j
• 设R = { xp , …, xp }表示由贪心算法选择的停止点的集合， 1 k 根据反证法，假设存在一个更小的停止点的有效集合：把 这个较小的集合称为S = { xq , …, xq }，显然此时m＜k。
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• 设R = { xp , …, xp }表示由贪心算法选择的停止点的集合， 1 k 根据反证法，假设存在一个更小的停止点的有效集合： 把这个较小的集合称为S = { xq , …, xq }，显然此时m＜ 1 m k。
• 证明I：贪心算法在每一天到达的停止点j比在其它解下 到达的停止点更远，即： 对每个j = 1, 2, …, m，有xp ≥xq
• 从而，不可能有m < k，即存在一个更小的停止点的有效集 合（较小的集合）S = { xq , …, xq }的假设是不成立的！
1 m
• 所以贪心算法产生一个最小的有效停止点集合得证！
End
1 7 1 4 0 2 0 1 1 1 1 2
e: 0010
g: 01
f: 000
h: 1
课后练习
• 练习2：假设有25分、10分、5分和1分四种硬币， 需要找给顾客2元5角钱，请问用贪心算法可以求 出何种找零方案？该方案是最优的么？为什么？ • 解答： – 2元5角 = 250分，按照贪心算法（尽量用面值大 的硬币找零），则需要25分硬币10个即可。 – 该算法是最优的，因为五种硬币的面值中5分是 25分和10分的约数（因数）。
课后练习
• 练习3：活动安排问题。假设有9个活动申请使用1 个会议室，每个活动的开始时间和终止时间如下。 用贪心算法设计一个活动安排表，要求要尽可能 的多安排活动。会议室不允许被多个活动同时占 用。
活动序号 起始时间 结束时间 1 2 5 2 1 5 3 2 8 4 5 10 5 7 11 6 4 13 7 6 15 8 8 22 9 15 24
1 m
对每个j = 1, 2, …, m，有xp ≥xq
j m m
j
• 由上述命题（已证明），推出xp ≥ xq 式①。 • 现在m < k，那么一定有： xp < L – d 式② ，否则旅行者不 m 必停在xp 。
m+1
• 把两式组合可得： xq < L – d ；但这与假设S是一个有效的 m 停止点集合相矛盾。
100
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2
3
{0,1,3}
{0,1,3,2}
3
2
10
10
50
50
30
30
90
60
4
{0,1,3,2,4}
4
10
50
30
60
• 算法正确性证明：教材114页-115页
课后练习
练习5：最小生成树问题。
① 用Prim或者Kruskal算法求出下图中的最小生成树。
② 证明该算法的正确性。（教材116页） 6 V1 1 V3 5
课后练习：算法分析题
• 算法分析题4-6（教材第128页）：字符a~h出现 的频率恰好是前8个Fibonacci数，它们的哈夫曼 编码是什么？ • 解答： Fibonacci数列
1 n0 F n 1 n1 F n 1 F n 2 n 1
前8个Fibonacci数为： 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ……