广东省普宁市2020-2021学年高二上学期期中素质监测数学试题
广东省普宁市高二上学期期中考试理科数学试题 有答案
第一学期期中考试 高二级数学（理科）试题一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合{2,0,1,4}A =，集合{04,R}=<≤∈B x x x ，集合C AB =．则集合C 可表示为A ．{2,0,1,4}B ． {1,2,3,4}C ．{1,2,4}D ． {04,R}x x x <≤∈2.复数z 满足(1i)1z -=（其中i 为虚数单位），则z =A ．11i22- B ．11i 22+ C ．11i 22-+ D ．11i 22-- 3．下列函数中，为奇函数的是A ．122x xy =+B ．{},0,1y x x =∈C ．sin y x x =⋅D ．1,00,01,0x y x x <⎧⎪==⎨⎪->⎩4．下面几种推理中是演绎．．推理．．的为A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电；B ．猜想数列111,,,122334⋅⋅⋅⨯⨯⨯的通项公式为1(1)n a n n =+()n N +∈； C ．半径为r 圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=；D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=5．已知()()32213af x x a x=+-+,若()18f '-=,则()1f -= A ．4 B ．5 C ．2- D ．3- 6．“1ω=”是“ 函数()cos f x x ω=在区间[]0,π上单调递减”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．如图1，在矩形OABC 内：记抛物线21y x =+ 与直线1y x =+围成的区域为M （图中阴影部分）． 则区域M 面积与矩形OABC 面积之比为 A ．118 B ．112C ．16 D ．138. 已知可导函数()f x ()x ÎR 满足()()f x f x ¢>，则当0a >时，()f a 和e (0)a f 大小关系为11+A. ()<e (0)a f a fB. ()>e (0)a f a fC. ()=e (0)a f a fD. ()e (0)a f a f ≤ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9．函数f x =()的定义域为 ．10．某几何体的三视图如图3所示，其正视图是边长为2 的正方形，侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则此几 何体的体积是 ．11.已知双曲线2222:1x y C a b -=与椭圆22194x y +=有相同的焦点， 且双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，则双曲线C 的方程为 ．12. 设实数,x y 满足,102,1,x y y x x ≤⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩向量2,x y m =-()a ，1,1=-()b ．若// a b ，则实数m 的最大值为 ．13.在数列{}n a 中，已知24a =， 315a =，且数列{}n a n +是等比数列，则n a = ． 14. 已知111()1()23f n n n+=+++鬃??N ，且27)32(,3)16(,25)8(,2)4(,23)2(>>>>=f f f f f ，推测当2n ≥时，有__________________________.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15.（本小题满分12分）已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像经过点π(,1)12． （1）求ϕ的值；（2）在ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，若222a b c ab +-=，且π()2122A f +=．求sinB ．16.（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：2222n n n na a S a -+=，且0,.n a n +>∈N（1）求123,,;a a a（2）猜想}{n a 的通项公式，并用数学归纳法证明17．（本小题满分14分）如图3所示，平面ABCD⊥平面BCEF ，且四边形ABCD 为矩形，四边形BCEF 为直角梯形，//BF CE ，BC CE ⊥， 4DC CE ==，2BC BF ==．（1）求证：//AF 平面CDE ；（2）求平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的余弦值； （3）求直线EF 与平面ADE 所成角的余弦值．18.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24(1)(1)(2)(N )n n n S n a n *++=+∈．（1）求1a ，2a 的值； （2）求n a ； （3）设1n n n b a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：34n T <．19.（本小题满分14分）设双曲线C ：12222=-by a x （a >0，b >0）的一个焦点坐标为（3，0），离心率e = A 、B 是双曲线上的两点，AB 的中点M （1，2）.（1）求双曲线C 的方程； （2）求直线AB 方程；（3）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？20．（本小题满分14分）设函数3211()(0)32a f x x x ax a a -=+-->. （1）若函数)(x f 在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a 的取值范围； （2）当a =1时，求函数)(x f 在区间[t ，t +3]上的最大值.ADBC FE图3参考答案一、选择题：本大题每小题5分，满分40分．9． {2}x x ≥； 10． 83； 11．2214y x -=； 12．6； 13．123n n -⋅-； 14．2(2)2nn f +>；三、解答题15．解：（1）由题意可得π()112f =，即πsin()16ϕ+=． ……………………………2分 0πϕ<<，ππ7π666ϕ∴<+<，ππ62ϕ∴+=， π3ϕ∴=． ……………5分 （2）222a b c ab+-=，2221cos 22a b c C ab +-∴==， ……………………………………………………7分sin 2C ∴==． …………………………………………8分由（1）知π()sin(2)3f x x =+，π(+)sin()cos 21222A f A A π∴=+==()0,A π∈， sin 2A ∴==， ……………………………10分 又sin sin(π())sin()B A C A C =-+=+，1sin sin cos cos sin 2B A C A C ∴=+=+=． (12)分 16． （1）1111112a a S a ==+-，所以，11a =-?∵0n a>，所以11a =.221221=12a S a a a +=+-， 所以 2a =, 3312331=12a S a a a a ++=+- 所以3a =（2）猜想n a =证明： 1o 当1n =时，由（1）知11a =成立．2o 假设()n k k +=?N时，k a =1+11111=(1)(1)22k k k k k k ka a a S S a a +++-=+--+-1112k k a a ++=+-所以21120k k a +++-=1k a +=所以当1n k =+时猜想也成立．综上可知，猜想对一切n +ÎN 都成立．17．解：（法一）（1）取CE 中点为G ，连接DG 、FG ，//BF CG 且BF CG =，∴ 四边形BFGC 为平行四边形，则//BC FG 且BC FG =． ∴ …………2分四边形ABCD 为矩形， //BC AD ∴且BC AD =，//FG AD ∴且FG AD =，∴四边形AFGD 为平行四边形，则//AF DG ．DG ⊂平面CDE ，AF ⊄平面CDE ，//AF ∴平面CDE ． ……………………………………………………4分（2）过点E 作CB 的平行线交BF 的延长线于P ，连接FP ，EP ，AP ，////EP BC AD ，∴A ，P ，E ，D 四点共面．四边形BCEF 为直角梯形，四边形ABCD 为矩形，∴EP CD ⊥，EP CE ⊥，又CD CE C =，EP ∴⊥平面CDE ，∴EP DE ⊥，又平面ADE平面BCEF EP =，∴DEC ∠为平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的平面角．……………………7分4DC CE ==，∴cos 2CE DEC DE ∠==． 即平面ADE 与平面BCEF所成锐二面角的余弦值为2． ……………………9分 （3）过点F 作FH AP ⊥于H ，连接EH ，AD BC F EP根据（2）知A ，P ，E ，D 四点共面，////EP BC AD ，∴BC BF ⊥，BC AB ⊥，又AB BF B =， BC ∴⊥平面ABP ，∴B C F H ⊥，则FH EP ⊥． 又FH AP ⊥， FH ∴⊥平面ADE ． ∴直线EF 与平面ADE 所成角为HEF ∠． ……………………………11分4DC CE ==，2BC BF ==，∴0sin 45FH FP ==EF ==HE =∴cos 2HE HEF EF ∠===． 即直线EF 与平面ADE所成角的余弦值为2． ……………………………14分 （法二）（1）四边形BCEF 为直角梯形，四边形∴BC CE ⊥，BC CD ⊥， 又平面ABCD ⊥平面BCEF ，且平面ABCD平面BCEF BC =，DC ∴⊥平面BCEF ．以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CE 所在直线为y CD 所在直线为z 轴建立如图所示空间直角坐标系．根据题意我们可得以下点的坐标：(2,0,4)A ，(2,0,0)B ，(0,0,0)C ，(0,0,4)D ，(0,4,0)E ，(2,2,0)F ，则(0,2,4)AF =-，(2,0,0)CB =． ………………2分BC CD ⊥，BC CE ⊥， CB ∴为平面CDE 的一个法向量．又0220(4)00AF CB ⋅=⨯+⨯+-⨯=，//AF ∴平面CDE ． …………………………………………………………4分（2）设平面ADE 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，则110,0.AD n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩(2,0,0)AD =-，(0,4,4)DE =-，∴11120440x y z -=⎧⎨-=⎩， 取11z =，得1(0,1,1)n =． ……………………………6分 DC ⊥平面BCEF ，∴平面BCEF 一个法向量为(0,0,4)CD =，设平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小为α，则11cos 24CD n CD n α⋅===⨯⋅． 因此，平面ADE 与平面BCEF ． …………………9分 （3）根据（2）知平面ADE 一个法向量为1(0,1,1)n =，(2,2,0)EF =-， 1111cos ,222EF n EF n EF n ⋅∴<>===-⋅，………12分设直线EF 与平面ADE 所成角为θ，则1cos sin ,2EF n θ=<>=． 因此，直线EF 与平面ADE ． ………………………14分 【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角及三角函数及空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力．18． 解：（1）当=1n 时，有2114(11)(+1=1+2a a ⨯+）（），解得1=8a ． 当=2n 时，有21224(21)(1)(22)a a a ⨯+++=+，解得2=27a ．……………2分（2）（法一）当2n ≥时，有2(2)4(1)1nn n a S n ++=+, ……………①211(1)4(1)n n n a S n--++=． …………………②①—②得：221(2)(1)41n n n n a n a a n n -++=-+，即：331(1)=n n a n a n -+．…………5分 ∴1223333===1(1)(1)3n n n a a a a n n n --==+-…．∴ 3=(1)n a n + (2)n ≥． ………………………………………8分另解：33333121333121(1)42(1)(1)3n n n n n a a a n n a a n a a a n n ---+=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=+-． 又当=1n 时，有1=8a ， ∴3=(1)n a n +． …………………………8分（法二）根据1=8a ，2=27a ，猜想：3=(1)na n +． ………………………………3分 用数学归纳法证明如下：（Ⅰ）当1n =时，有318(11)a ==+，猜想成立． （Ⅱ）假设当n k =时，猜想也成立，即：3=(1)k a k +那么当1n k =+时，有2114(11)(1)(12)k k k S k a +++++=++，即：211(12)4(1)11k k k a S k +++++=++，………………………①又 2(2)4(1)1kk k a S k ++=+， …………………………②①-②得：22223111(3)(2)(3)(2)(1)4=2121k k k k k a k a k a k k a k k k k ++++++++=--++++，解，得33+1(2)(11)k a k k =+=++． ∴当1n k =+时，猜想也成立． 因此，由数学归纳法证得3=(1)n a n +成立．………………………………………8分（3）211111=(1(11n n n b a n n n n n +=<=-+++))， .................................10分 ∴1231=n n n T b b b b b -+++++ (22222)11111=234(1)n n ++++++…211111<22323(1)(1)n n n n +++++⨯⨯-+… 111111111=()()()()4233411n n n n +-+-++-+--+… 1113=4214n +-<+．………………………………………14分19．解：（1）依题意得⎪⎩⎪⎨⎧===33a ce c ，解得a =1. （1分） 所以222312b c a =-=-=， （2分）故双曲线C 的方程为2212y x -=. （3分） （2）设1122(,),(,)A x y B x y ，则有221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩. 两式相减得：121212121()()()()2x x x x y y y y -+=-+ ， （4分） 由题意得12x x ≠，221=+x x ，421=+y y ， （5分） 所以1)(221212121=++=--y y x x x x y y ，即1=AB k . （6分）故直线AB 的方程为1y x =+. （7分）（3）假设A 、B 、C 、D 四点共圆，且圆心为P . 因为AB 为圆P 的弦，所以圆心P 在AB 垂直平分线CD 上；又CD 为圆P 的弦且垂直平分AB ，故圆心P 为CD 中点M . （8分） 下面只需证CD 的中点M 满足|MA |=|MB |=|MC |=|MD |即可.由22112y x y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得：A （-1，0），B （3，4）. （9分） 由（1）得直线CD 方程：3y x =-+， （10分）由22312y x y x =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩得：C （-3+52，6-52），D （-3-52，6+52）， （11分） 所以CD 的中点M （-3，6）. （12分） 因为102364||=+=MA ，102436||=+=MB ，1022020||=+=MC ，1022020||=+=MD ， （13分）所以||||||||MD MC MB MA ===，即 A 、B 、C 、D 四点在以点M （-3，6）为圆心，102为半径的圆上. （14分） 20．解：（1）∵3211()(0)32a f x x x ax a a -=+--> ∴()2()1(1)()f x x a x a x x a '=+--=+-， （1分） 令()0f x '=，解得121,0x x a =-=> （2分） 当x 变化时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下表：故函数)(x f 的单调递增区间为（-∞，-1），（a ，+∞）；单调递减区间为（-1，a ）；（4分） 因此)(x f 在区间（-2，-1）内单调递增，在区间（-1，0）内单调递减，要使函数)(x f 在区间(2,0)-内恰有两个零点，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧<>-<-0)0(0)1(0)2(f f f ， （5分）解得103a <<， 所以a 的取值范围是（0，31）. （6分）（2）当a =1时，131)(3--=x x x f . 由（1）可知，函数)(x f 的单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞）；单调递减区间为（-1，1）；31)1()(-=-=f x f 极大值. （7分）①当t +3<-1，即t <-4时，因为)(x f 在区间[t ，t +3]上单调递增，所以)(x f 在区间[t ，t +3]上的最大值为583311)3()3(31)3()(233max +++=-+-+=+=t t t t t t f x f ； （9分）②当231≤+≤-t ，即14-≤≤-t 时，因为)(x f 在区间(]1,-∞-上单调递增，在区间[-1，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，且31)1()2(-=-=f f ，所以)(x f 在区间(]2,∞-上的最大值为31)1()2(-=-=f f .（10分）由231≤+≤-t ，即14-≤≤-t 时，且-1∈[t ，t +3]，所以)(x f 在[,3]t t +上的最大值为31)1()(m a x -=-=f x f ； （11分）③当t +3>2，即t >-1时，由②得)(x f 在区间(]2,∞-上的最大值为31)1()2(-=-=f f . 因为)(x f 在区间（1，+∞）上单调递增，所以)2()3(f t f >+，故)(x f 在[],3t t +上的最大值为58331)3()(23max +++=+=t t t t f x f . （13分）综上所述，当a =1时，)(x f 在[t ，t +3]上的最大值⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤≤--->-<+++=)14(31)14(58331)(23maxt t t t t t x f 或. （14分）。
学2020-2021学年高二数学上学期期中联考试题理
学2020-2021学年高二数学上学期期中联考试题理考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：人教版必修2，选修2-1第一章、第二章．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．若方程表示圆，则实数a的取值范围为A．B．C．D．3．下列说法中不正确的是A．将圆柱的侧面沿一条母线剪开，展开图是一个矩形B．直角三角形绕它的一条边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥C．棱锥的侧面均为三角形D．棱台的上下底面是平行且相似的多边形4．下列说法正确的是A．命题“若，则”的否命题为“若，则”B．若命题，，则，C．命题“若，则”的逆否命题为真命题D．“”是“”的必要不充分条件5．某双曲线的一条渐近方程为，且上焦点为，则该双曲线的方程是A．B．C．D．6．方程表示椭圆的充要条件是A．B．C．D．7．已知m，n为两条不同的直线，为平面，则下列结论正确的是A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则8．某四棱台的三视图如图所示，则该棱台的体积为（）（棱台体积公式：）A．B．C．10 D．9．已知抛物线的焦点为，准线为，且过点，在抛物线上，若点，则的最小值为A．B．C．D．10．已知，分别是椭圆的左，右焦点，若P为椭圆上一点，且的内切圆周长为，则满足条件的点P有A．4个B．1个C．2个D．3个11．一束光线从点射出，经x轴上一点C反射后到达圆上一点B，则的最小值为A．B．C．D．12．已知双曲线的左，右焦点分别为，，双曲线的左支上有A，B两点使得．若的周长与的周长之比是，则双曲线的离心率是A．B．C．2 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“，”的否定为__________．14．已知直线与直线平行，则直线，之间的距离为__________．15．已知椭圆，双曲线．若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆和双曲线的离心率之和为_______．16．如图，已知一个八面体的各条棱长均为2，四边形ABCD 为正方形，给出下列说法：①该八面体的体积为；②该八面体的外接球的表面积为8π；③E到平面ADF的距离为④EC与BF所成角为60°．其中正确的说法为__________．（填序号）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知p：对任意实数x都有恒成立，q：关于x的方程有实数根．若“”为真，“”为假，求实数a的取值范围．18．（本小题满分12分）（1）求过点且与直线垂直的直线l的方程；（2）求过点且在x轴和y轴上的截距相等的直线l的方程．19．（本小题满分12分）如图，在长方体中，，，点P为棱的中点．（1）证明：平面PAC；（2）求异面直线与AP所成角的大小．20．（本小题满分12分）已知椭圆的焦距为4，短半轴长为2.（1）求椭圆的方程；（2）若直线l与椭圆相交于A，B两点，点是线段AB 的中点，求直线l的方程.21．（本小题满分12分）如图，在正三棱柱（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，，M是棱的中点.（1）求证：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值.22．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，已知一动圆经过点，且在y轴上截得的弦长为6，设动圆圆心的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）过点作相互垂直的两条直线，，直线与曲线C相交于A，B两点，直线与曲线C相交于E，F两点，线段AB，EF的中点分别为M、N，求证：直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标.2020～2021学年高二第一学期期中联考•数学试题（文科）参考答案、提示及评分细则1．A 记“”的解集为集合B，则，所以“”是“”的充分不必要条件．故选A．2．B 方程化为标准方程为，有．故选B3．B 由旋转体的概念可知，直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥，当以斜边所在直线旋转一周时所形成的曲面围成的几何体是两个圆锥的组合体．故选B．4．C 命题“若，则”的否命题为“若，则”，A 错误；若命题，，则，，B错误；C选项原命题是真命题，所以它的逆否命题也是真命题；“”是“”的充分不必要条件，D错误．故选C．5．D 设该双曲线的方程为，则，，所以该双曲线方程为．故选D．6．B 方程表示椭圆的充要条件是，解得：．故选B7．D 对于A，m与的关系不确定；对于B，n与的关系不确定；对于C，m与n的关系不确定，只有D选项正确．故选D．8．B 由三视图可知该几何体为正四棱台，上底面积，下底面积，所以棱台体积，故选B．9．D 由题可得，准线的方程为.由抛物线的定义可知，，．故选D．10．C 因为的内切圆的周长为所以，，又因为所以，所以符合条件的点P有两个，分别为椭圆的上下顶点．故选C．11．C 圆的圆心关于x轴的对称点为，则．故选C．12．D 设，则由得．由于，，所以，，则的周长为，的周长．根据题意得，得．又因为，所以，代入，可得．故选D．13．，因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定为“，”．14．易得，所以直线，之间的距离．15．法—：设，则由正六边形性质可得椭圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为点，由点Ⅰ在椭圆上可得，结合可得，∴椭圆离心率为，点在双曲线的渐近线上可得即∴双曲线的离心率为，所以.法二：由图可知双曲线N的渐近线方程为，易得，所以双曲线N的离心率，连结，，则，，易得，由椭圆M的定义可得，所以椭圆M的离心，所以.16．②④①八面体的体积为；②八面体的外接球球心为正方形ABCD对角线交点，易得外接球半径为表面积为；③取AD的中点G，连接EG，FG，EF，易得，平面EGF，过E作，交FG的延长线于H，又，，故平面ADF，解得，所以E到平面ADF的距离为；④因为，所以EC与BF所成角为，正确的说法为②④．17．解：若为真，则或，解得；若q为真，则，即．因为“”为真，“”为假，所以p与q一真一假．若为真，q为假，则；若q为真，p为假，则，综上可知，实数a的取值范围为18．解：（1）设l的方程为，代入得．∴直线l的方程为，（2）当直线l过原点时，直线l的方程是，即；当直线l不过原点时，设直线l的方程是，将点A坐标代入，得，解得，此时直线l的方程是．综上所述，所求直线l的方程是或．19．（1）证明：设AC和BD交于点O，则O为BD的中点．连结PO，又因为P是的中点，所以．又因为平面PAC，平面PAC所以直线平面PAC．（2）解：由（1）知，，所以即为异面直线与AP所成的角．因为，且，所以．又，所以故异面直线与AP所成角的大小为．20．解：（1）由题意可知，所以，，所以椭圆的方程为.（2）设，，由题意得两式相减，得，即，所以直线的斜率.因为点是线段的中点，所以，，所以所以直线的方程为，即．21．（1）证明：连接交于O，连接MO，易得O为，的中点.∵平面ABC，平面ABC，∴.又M为中点，，∴.同理可得.∴.连接MB，同理可得，\.又，，平面.∴平面ABB_1A_1，又平面，∴平面平面.（2）解：易得又由（1）平面平面，平面平面，平面.∴平面.∴即为与平面所成的角.在中，在中，.故与平面所成角的正弦值为.22．解：（1）设圆心，由题意，得，即，所以曲线C的方程为.（2）由题意可知，直线的斜率均存在，设直线的方程为，，联立方程组得，所以，因为点M是线段AB的中点，所以同理.将k换成得，当，即时所以直线MN的方程为即，所以直线MN恒过定点.当时，直线MN的方程为，也过点所以直线MN恒过定点.学2020-2021学年高二数学上学期期中联考试题理考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：人教版必修2，选修2-1第一章、第二章．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．若方程表示圆，则实数a的取值范围为A．B．C．D．3．下列说法中不正确的是A．将圆柱的侧面沿一条母线剪开，展开图是一个矩形B．直角三角形绕它的一条边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥C．棱锥的侧面均为三角形D．棱台的上下底面是平行且相似的多边形4．下列说法正确的是A．命题“若，则”的否命题为“若，则”B．若命题，，则，C．命题“若，则”的逆否命题为真命题D．“”是“”的必要不充分条件5．某双曲线的一条渐近方程为，且上焦点为，则该双曲线的方程是A．B．C．D．6．方程表示椭圆的充要条件是A．B．C．D．7．已知m，n为两条不同的直线，为平面，则下列结论正确的是A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则8．某四棱台的三视图如图所示，则该棱台的体积为（）（棱台体积公式：）A．B．C．10 D．9．已知抛物线的焦点为，准线为，且过点，在抛物线上，若点，则的最小值为A．B．C．D．10．已知，分别是椭圆的左，右焦点，若P为椭圆上一点，且的内切圆周长为，则满足条件的点P有A．4个B．1个C．2个D．3个11．一束光线从点射出，经x轴上一点C反射后到达圆上一点B，则的最小值为A．B．C．D．12．已知双曲线的左，右焦点分别为，，双曲线的左支上有A，B两点使得．若的周长与的周长之比是，则双曲线的离心率是A．B．C．2 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“，”的否定为__________．14．已知直线与直线平行，则直线，之间的距离为__________．15．已知椭圆，双曲线．若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆和双曲线的离心率之和为_______．16．如图，已知一个八面体的各条棱长均为2，四边形ABCD为正方形，给出下列说法：①该八面体的体积为；②该八面体的外接球的表面积为8π；③E到平面ADF的距离为④EC与BF所成角为60°．其中正确的说法为__________．（填序号）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知p：对任意实数x都有恒成立，q：关于x的方程有实数根．若“”为真，“”为假，求实数a的取值范围．18．（本小题满分12分）（1）求过点且与直线垂直的直线l的方程；（2）求过点且在x轴和y轴上的截距相等的直线l的方程．19．（本小题满分12分）如图，在长方体中，，，点P为棱的中点．（1）证明：平面PAC；（2）求异面直线与AP所成角的大小．20．（本小题满分12分）已知椭圆的焦距为4，短半轴长为2.（1）求椭圆的方程；（2）若直线l与椭圆相交于A，B两点，点是线段AB的中点，求直线l的方程. 21．（本小题满分12分）如图，在正三棱柱（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，，M是棱的中点.（1）求证：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值.22．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，已知一动圆经过点，且在y轴上截得的弦长为6，设动圆圆心的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）过点作相互垂直的两条直线，，直线与曲线C相交于A，B两点，直线与曲线C相交于E，F两点，线段AB，EF的中点分别为M、N，求证：直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标.2020～2021学年高二第一学期期中联考•数学试题（文科）参考答案、提示及评分细则1．A 记“”的解集为集合B，则，所以“”是“”的充分不必要条件．故选A．2．B 方程化为标准方程为，有．故选B3．B 由旋转体的概念可知，直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥，当以斜边所在直线旋转一周时所形成的曲面围成的几何体是两个圆锥的组合体．故选B．4．C 命题“若，则”的否命题为“若，则”，A错误；若命题，，则，，B错误；C选项原命题是真命题，所以它的逆否命题也是真命题；“”是“”的充分不必要条件，D错误．故选C．5．D 设该双曲线的方程为，则，，所以该双曲线方程为．故选D．6．B 方程表示椭圆的充要条件是，解得：．故选B7．D 对于A，m与的关系不确定；对于B，n与的关系不确定；对于C，m与n的关系不确定，只有D选项正确．故选D．8．B 由三视图可知该几何体为正四棱台，上底面积，下底面积，所以棱台体积，故选B．9．D 由题可得，准线的方程为.由抛物线的定义可知，，．故选D．10．C 因为的内切圆的周长为所以，，又因为所以，所以符合条件的点P有两个，分别为椭圆的上下顶点．故选C．11．C 圆的圆心关于x轴的对称点为，则．故选C．12．D 设，则由得．由于，，所以，，则的周长为，的周长．根据题意得，得．又因为，所以，代入，可得．故选D．13．，因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定为“，”．14．易得，所以直线，之间的距离．15．法—：设，则由正六边形性质可得椭圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为点，由点Ⅰ在椭圆上可得，结合可得，∴椭圆离心率为，点在双曲线的渐近线上可得即∴双曲线的离心率为，所以.法二：由图可知双曲线N的渐近线方程为，易得，所以双曲线N的离心率，连结，，则，，易得，由椭圆M的定义可得，所以椭圆M的离心，所以.16．②④①八面体的体积为；②八面体的外接球球心为正方形ABCD对角线交点，易得外接球半径为表面积为；③取AD的中点G，连接EG，FG，EF，易得，平面EGF，过E作，交FG的延长线于H，又，，故平面ADF，解得，所以E到平面ADF的距离为；④因为，所以EC与BF所成角为，正确的说法为②④．17．解：若为真，则或，解得；若q为真，则，即．因为“”为真，“”为假，所以p与q一真一假．若为真，q为假，则；若q为真，p为假，则，综上可知，实数a的取值范围为18．解：（1）设l的方程为，代入得．∴直线l的方程为，（2）当直线l过原点时，直线l的方程是，即；当直线l不过原点时，设直线l的方程是，将点A坐标代入，得，解得，此时直线l的方程是．综上所述，所求直线l的方程是或．19．（1）证明：设AC和BD交于点O，则O为BD的中点．连结PO，又因为P是的中点，所以．又因为平面PAC，平面PAC所以直线平面PAC．（2）解：由（1）知，，所以即为异面直线与AP所成的角．因为，且，所以．又，所以故异面直线与AP所成角的大小为．20．解：（1）由题意可知，所以，，所以椭圆的方程为.（2）设，，由题意得两式相减，得，即，所以直线的斜率.因为点是线段的中点，所以，，所以所以直线的方程为，即．21．（1）证明：连接交于O，连接MO，易得O为，的中点.∵平面ABC，平面ABC，∴.又M为中点，，∴.同理可得.∴.连接MB，同理可得，\.又，，平面.∴平面ABB_1A_1，又平面，∴平面平面.（2）解：易得又由（1）平面平面，平面平面，平面.∴平面.∴即为与平面所成的角.在中，在中，.故与平面所成角的正弦值为.22．解：（1）设圆心，由题意，得，即，所以曲线C的方程为.（2）由题意可知，直线的斜率均存在，设直线的方程为，，联立方程组得，所以，因为点M是线段AB的中点，所以同理.将k换成得，当，即时所以直线MN的方程为即，所以直线MN恒过定点.当时，直线MN的方程为，也过点所以直线MN恒过定点.。
2020~2021学年度第一学期高二期中测试数学试题
2020~2021学年度第一学期高二级期中测试数学试题注意事项：1.本试题共4页，四大题，22小题，满分120分，考试时间120分钟，答案必须填写在答题卡上，在试题上作答无效，考试结束后，只交答题卡。
2.作答前，认真浏览试卷，请务必规范、完整填写答题卡的卷头。
3.考生作答时，请使用0.5mm黑色签字笔在答题卡对应题号的答题区域内作答。
第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.在△ABC中，B=135°，C=15°，a=4，则此三角形的最大边长为()A. 5√2B. 5√3C. 4√2D. 4√32.在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2−b2−c2=−√2bc，则角A的数为()A. 30°B. 45°C. 120°D. 135°3.在△ABC中，c=√3，b=1，B=30∘，则△ABC的面积为()A. √32或√3 B. √34或√32C. √34或√3 D. √34.已知正数组成的等比数列{a n}，若a3⋅a18=100，那么a7+a14的最小值为()A. 20B. 25C. 50D. 不存在5.已知1、a1、a2、3成等差数列，1、b、4成等比数列，则a1+a2b=()A. 54B. −2C. 2D. ±26.在递增的等比数列{a n}中，a4，a6是方程x2−10x+16=0的两个根，则数列{a n}的公比q=()A. 2B. ±2C. 12D. 12或27.已知a>0，那么a−2+4a的最小值是()A. 1B. 2C. 4D. 58.设a>b，c>d则下列不等式中一定成立的是()A. a+c>b+dB. ac>bdC. a−c>b−dD. a+d>b+c9. 设p ：2x 2−3x +1≤0，q ：x 2−(2a +1)x +a(a +1)≤0，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A. [0,12]B. (0,12)C. (−∞,0]∪[12,+∞)D. (−∞,0)∪(12,+∞)10. 命题“∃x 0>0，x 02−4x 0+3<0”的否定是( )A. ∀x ≤0，x 2−4x +3<0B. ∃x 0≤0，x 02−4x 0+3<0 C. ∀x >0，x 2−4x +3≥0D. ∃x 0>0，x 02−4x 0+3≥011. 若平面α的一个法向量为(1,2，0)，平面β的一个法向量为(2,−1,0)，则平面α和平面β的位置关系是( )A. 平行B. 相交但不垂直C. 垂直D. 重合12. 在空间直角坐标系中，点P(3,4，5)关于yOz 平面对称的点的坐标为( )A. (−3,4，5)B. (−3,−4,5)C. (3,−4,−5)D. (−3,4,−5)第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 已知空间向量m ⃗⃗⃗ =(1,−2x +1,2),n ⃗ =(y,3,x +z )，且m ⃗⃗⃗ =n ⃗ ，则x +2y +3z =__． 14. 在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)与点B(1,−3,1)，则|AB |=________，若在z轴上有一点M 满足|MA |=|MB |，则点M 的坐标为_________． 15. 记S n 为数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，a n =2a n−1+1，则S 6= 16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若sinAsinB =ba+c ，a =2c ，则cos A =________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m⃗⃗⃗ =(cosA,a −2b)，n ⃗ =(2c,1)且m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ． (1)求角C ；(2)若c =2，△ABC 的面积为√3，求△ABC 的周长．18.设向量a⃗=(sinx,cosx)，b⃗ =(cosx,√3cosx)，x∈R，函数f(x)=a⃗•(a⃗+b⃗ ).(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)ΔABC中边a，b，c所对的角为A，B，C，若acosB+bcosA=2ccosC，c=√3，)取最大值时，求△ABC的面积．当f(B219.已知数列{a n}满足：21⋅a1+22⋅a2+23⋅a3+⋯+2n⋅a n=(n−1)⋅2n+1+2对一切n∈N∗成立．(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和S n．(2)求数列{1a n⋅a n+2(3n+S n)对一切正整数n都成立，20.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n=12(1)证明：数列{a n+3}是等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；(a n+3)，求数列{b n}的前n项和B n．(2)设b n=n321.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E为棱AB的中点．(1)证明：A1B//平面D1CE；(2)求平面A1BC1与平面CED1所成二面角的正弦值．22.已知四棱锥P−ABCD中PA⊥平面ABCD，且PA=4PQ=4，底面为直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，AB=2,CD=1,AD=√2，M，N分别是PD，PB的中点．(1)求证：MQ//平面PCB；(2)求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小；(3)求点A到平面MCN的距离．答案和解析1. 解：∵B =135°，∴b 为最大边，A =180°−135°−15°=30°， 由正弦定理得b =asinB sinA=4×√2212=4√2．故选：C ．2.解：因为a 2−b 2−c 2=−√2bc ，由余弦定理可得，cosA =b2+c 2−a 22bc=√22， 因为A 为三角形的内角，故A =45°．故选：B ．3.解：中，B =30∘，b =1，c =√3，，∴sinC =√32，∴C =60∘或120∘，∴A =90∘或30∘，∴△ABC 的面积为12bcsinA =√32或√34．故选B ．4.解：∵正数组成的等比数列{a n }，a 3⋅a 18=100，∴a 14⋅a 7=a 3⋅a 18=100，a 7>0，a 14>0，∴a 7+a 14≥2√a 14⋅a 7=2√100=20， 当且仅当a 7=a 14时取等号，∴a 7+a 14的最小值为20．故选：A ．5.解：由1、a 1、a 2、3成等差数列，可得a 1+a 2=1+3=4，又1、b 、4成等比数列，可得b 2=4，解得b =±2，则a 1+a 2b=42=2或a 1+a 2b=4−2=−2，故选：D ．6.解：根据题意，a 4，a 6是方程x 2−10x +16=0的两个根，则有{a 4+a 6=10a 4a 6=16，解可得：{a 4=8a 6=2或{a 4=2a 6=8，又由等比数列{a n }是递增的，必有{a 4=2a 6=8，则有q 2=a6a 4=4，即q =2；故选：A ．7.解：根据题意，a −2+4a =a +4a −2，又由a >0，则a −2+4a =a +4a −2≥2√a ×4a −2=2，当且仅当a =2时等号成立，即a −2+4a 的最小值是2；故选：B ．8.解：∵b <a ，d <c ，∴设b =−1，a =−2，d =2，c =3选项B ，(−2)×3>(−1)×2，不成立选项C ，−2−3>−1−2，不成立 选项D ，−2+2>−1+3，不成立故选：A ．9.解：p ：2x 2−3x +1≤0，解得：12≤x ≤1，q ：x 2−(2a +1)x +a(a +1)≤0，解得：a ≤x ≤a +1．若q 是p 的必要不充分条件，则{a ≤121≤a +1，解得：0≤a ≤12．故选：A ．10.解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x 0>0，x 02−4x 0+3<0”的否定是∀x >0，x 2−4x +3≥0．故选：C ．11.解：由题意可得(1,2，0)⋅(2，−1，0)=1×2−2×1+0×0=0，故两个平面的法向量垂直，故平面α和平面β的位置关系为垂直，故选C ．12.解：在空间直角坐标系中，关于yOz 平面对称，y ，z 不变．点P(3,4，5)关于yOz 平面对称的点的坐标为(−3,4，5)， 故选A ． 13.解：因为空间向量m⃗⃗⃗ =(1,−2x +1,2),n ⃗ =(y,3,x +z )，且m ⃗⃗⃗ =n ⃗ ， 所以{1=y−2x +1=32=x +z ，所以x =−1，y =1，z =3，所以x +2y +3z =−1+2+9=10;故答案为10．14.解：∵点A(1,0，2)与点B(1,−3,1)，∴|AB|=√(1−1)2+(−3−0)2+(1−2)2=√10， ∵在z 轴上有一点M 满足|MA|=|MB|，∴设M(0,0，c)，则√(1−0)2+(0−0)2+(2−c)2=√(1−0)2+(−3−0)2+(1−c)2， 解得c =−3，∴点M 坐标为(0,0，−3)．故答案为：(0,0，−3)．15.解：∵a n =2a n−1+1， ∴a n +1=2(a n−1+1)，故数列{a n +1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n +1=2n ， 则a n =2n −1，∴S n =2×(1−2n )1−2−n =2n+1−n −2，则S 6=27−8=120．16.解：由题意，sin Asin B =ba+c ，由正弦定理可得ab =ba+c ，因为a =2c ，所以a b =ba+a 2，即b 2=3a 22，所以b =√32a ，所以在△ABC 中由余弦定理得cosA =b 2+c 2−a 22bc=32a 2+14a 2−a 22×√2a×2=√64．故答案为√64．17.解：(1)由m⃗⃗⃗ =(cosA,a −2b)，n ⃗ =(2c,1)且m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ． 所以2ccosA =2b −a ．由正弦定理得：2sinCcosA =2sinB −sinA ． 2sinCcosA =2sin(A +C)−sinA =2sinAcosC +2cosAsinC −sinA ，整理得2sinAcosC =sinA ，由sinA >0，可得cosC =12，由于0<C <π，所以C =π3． (2)由于，△ABC 的面积为√3，所以12absinC =√3，整理得ab =4，由余弦定理，c 2=a 2+b 2−2abcosC =4，整理得(a +b)2−4=3ab ，解得a +b =4． 所以三角形的周长为a +b +c =4+2=6．18.解：(1)由已知f(x)=a →⋅(a →+b →)=sinx(sinx +cosx)+cosx(cosx +√3cosx)=12sin2x +√32cos2x +1+√32=sin(2x +π3)+1+√32，所以的最小正周期是T =2π2=π;(2)由正弦定理得sinAcosB +sinBbcosA =2sinCcosC ， 即sin(A +B)=sinC =2sinCcosC ， 因为sinC ≠0，所以cosC =12，又0<C <π，所以C =π3，又f(B 2)=sin(B +π3)+1+√32，因为B ∈(0,2π3)，所以 B =π6时f(B2)取到最大值， 此时A =π2，又c =√3,所以b =1，得S ΔABC =12bcsinA =√32．19.解：(1)由题意，当n =1时，21⋅a 1=2，解得a 1=1，当n ≥2时，由21⋅a 1+22⋅a 2+23⋅a 3+⋯+2n ⋅a n =(n −1)⋅2n+1+2，可得 21⋅a 1+22⋅a 2+23⋅a 3+⋯+2n−1⋅a n−1=(n −2)⋅2n +2， 两式相减，可得2n ⋅a n =(n −1)⋅2n+1+2−(n −2)⋅2n −2=[2(n −1)−(n −2)]⋅2n =n ⋅2n ， ∴a n =n ，当n =1时，a 1=1也符合上式，∴a n =n ，n ∈N ∗． (2)由(1)知，1a n ⋅a n+2=1n(n+2)=12(1n−1n+2)，∴S n =1a 1⋅a 2+1a 2⋅a 3+1a 3⋅a 4+1a 4⋅a 5+⋯+1a n−1⋅a n+1+1a n ⋅a n+2=12(1−13)+12(12−14)+12(13−15)+12(14−16)+⋯+12(1n −1−1n +1)+12(1n −1n +2) =12(1−13+12−14+13−15+14−16+⋯+1n −1−1n +1+1n −1n +2) =12(1+12−1n+1−1n+2)=n(3n+5)4(n+1)(n+2)．20.解：(1)数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n =12(3n +S n )，由已知得S n =2a n −3n ①，所以S n+1=2a n+1−3(n +1)② 由②−①得：a n+1=2a n +3，即a n+1+3=2(a n +3)，所以a n+1+3a n +3=2(常数)，又a 1=2a 1−3，解得 a 1=3．所以数列{a n +3}是以6为首项，2为公比的等比数列． 故a n +3=6⋅2n−1，即a n =3(2n −1)．(2)由于b n =n3(a n +3)，所以b n =n3⋅(3×2n −3+3)=n ⋅2n ．设B n =1⋅2+2⋅22+⋯+n ⋅2n ③2B n =1⋅22+2⋅23+⋯+n ⋅2n+1 ④ ④−③得：B n =−(2+22+23+⋯+2n )+n ⋅2n+1=−2n+1−22−1+n ⋅2n+1．整理得B n =2+(n −1)⋅2n+1．21.(1)证明：在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，A 1D 1= //BC ，∴四边形ABCD 为平行四边边形，∴A 1B//CD 1，∵CD 1⊂平面D 1CE ，A 1B ⊄平面D 1CE ，∴A 1B 平行平面D 1CE ， (2)解：如图：以点D 为坐标原点，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系D −xyz ：设AB =2，则D(0,0，0)，A(2,0，0)，B(2,2，0)，E(2,1，0)，C 1(0,2，2)，A 1(2,0，2)，D 1(0,0，2)，C(0,2，0)，设平面A 1BC 1的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)， 由A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−2)，A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，0)，则{A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗ =2y −2z =0,A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗ =−2x +2y =0,取x =1，y =1，z =1，则n ⃗ =(1,1，1) 设平面CED 1的法向量为m ⃗⃗⃗ =(a,b ，c)，由D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−2)，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1，0)， 则{D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m ⃗⃗⃗ =2b −2c =0,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m ⃗⃗⃗ =−2a +b =0,取a =1，b =2，z =2，则m⃗⃗⃗ =(1,2，2)， 可得m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ =3，|m ⃗⃗⃗ |=3，|n ⃗ |=√3，cos <m⃗⃗⃗ ·n ⃗ >=53√3=5√39， ∴平面A 1BC 1与平面CED 1所成二面角的正弦值为√1−(5√39)2=√69．22.解：以A 为原点，以AD ，AB ，AP 分别为x ，y ，z 建立空间直角坐标系O −xyz ，由AB =2,CD =1,AD =√2，PA =4PQ =4，M ，N 分别是PD ，PB 的中点， 可得：A(0,0,0),B(0,2,0),C(√2,1,0),D(√2,0,0),P(0,0,4),Q(0,0,3),M(√22,0,2),N(0,1,2)，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,−1,0),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−4)，MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,0,1) 设平面的PBC 的法向量为n 0⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则有：{n 0⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒(x,y,z)⋅(√2,−1,0)=0⇒√2x −y =0n 0⃗⃗⃗⃗ ⊥PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒(x,y,z)⋅(0,2,−4)=0⇒2y −4z =0令z =1，则x =√2,y =2⇒n 0⃗⃗⃗⃗ =(√2,2,1)，(3分) ∴MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 0⃗⃗⃗⃗ =(−√22,0,1)⋅(√2,2,1)=0，又MQ ⊄平面PCB ，∴MQ//平面PCB ；(2)设平面的MCN 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，又CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,−1,2),CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,0,2) 则有：{n ⃗ ⊥CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒(x,y,z)⋅(−√22,−1,2)=0⇒−√22x −y +2z =0n ⃗ ⊥CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒(x,y,z)⋅(−√2,0,2)=0⇒−√2x +2z =0令z =1，则x =√2,y =1⇒n ⃗ =(√2,1,1)， 又AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,4)为平面ABCD 的法向量， ∴cos〈n ⃗ ,AP⃗⃗⃗⃗⃗ >=n⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=42×4=12，又截面MCN 与底面ABCD 所成二面角为锐二面角，∴截面MCN 与底面ABCD 所成二面角的大小为π3，(3)∵CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,−1,0)，∴所求的距离d =|n ⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗||n ⃗⃗ |=|−√2×√2−1×1+1×0|2=32；。
2020-2021学年高二上学期期中考试数学(文)试卷
2020—2021学年度上学期期中考试高二数学(文)试卷一、选择题 (每小题5分,共60分)1．经过点()1,4A -且在x 轴上的截距为3的直线方程是( ) A ．3y x =--B ．3y xC ．3y x =-+D ．5y x =-+2．已知()2,0A ，()1,2B -，则以AB 为直径的圆的方程为（ ）A ．()2233124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ B ．()2233124x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭C ．()2235124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ D ．()2235124x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭3．两条平行直线3450x y +-=与6890x y +-=间的距离等于（ ）A ．110B ．15C ．45D ．4104．已知点，点Q 是直线l ：上的动点，则的最小值为 A ．2B ．C ．D ．5．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的实轴长为4，左焦点F 到C 的一条渐近线的距离为3，则C 的方程为（ ）A ．22123x y -=B ．22143x y -=C ．22149x y -=D ．221169x y -= 6．已知圆()22:22440C x y x my m m R ++---=∈，则当圆C 的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（ ） A ．5 B ．6C ．51-D ．51+7．若直线2244mx ny x y +=+=和圆没有交点，则过点(,)m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为（ ） A ．2个B ．至多一个C ．1个D ．0个8．与圆221x y +=及圆22870x y x +-+=都外切的圆的圆心在（ ）． A ．一个圆上 B ．一个椭圆上 C ．双曲线的一支上 D ．抛物线上 9．过点作圆（x+1）2+（y-2）2=169的弦，其中弦长为整数的弦共有（ ） A ．16条 B ．17条 C ．32条 D ．34条10．已知斜率为k (0)k >的直线l 过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F ，与抛物线C 交于A ，B 两点，又直线l 与圆222304x y py p +--=交于C ，D 两点．若||3||AB CD =，则k 的值为( ) A ．2B ．22C ．4D ．811．点P 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>右支上的一点，其左、右焦点分别为12,F F ，若12PF F ∆的内切圆I 与x 轴相切于点A ，过2F 作PI 的垂线，垂足为,B O 为坐标原点，那么OAOB的值为（ ） A ．1B ．2C ．b aD ．a b12．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行.已知椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的中心与F 在同一直线上，设椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长半轴长分别为1a ，2a ，半焦距分别为1c ，2c ，则以下四个关系①1122a c a c ->-，②1212c c a a >，③a 1+c 2=a 2+c 1，④1212c ca a <中正确的是( ) A.①②B.①④C.②③D.③④二、填空题(每小题5分,共20分)13．直线()2120mx m y ++-=和直线310x my ++=垂直，则实数m 的值为_______.14．若圆()2244x y -+=与双曲线C ：()222210,0y x a b a b-=>>的渐近线相切，则双曲线C 的离心率为_______.15．若过点(01)-，的直线l 与抛物线22y x =有且只有一个交点，则这样的直线l 共有_____条. 16．已知直线y=-x+1与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 相交于A ，B 两点，且OA OB ⊥（O 为坐标原点），若椭圆的离心率13,22e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则a 的最大值为___________．三、解答题(共70分)17．(10分)设直线的方程为(1)20,a x y a a R +++-=∈.（1）若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； （2）若与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求a 的值.18.(12分)在平面直角坐标系xoy 中，已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线C 的离心率为2，且双曲线C 与斜率为2的直线l 相交，且其中一个交点为P （﹣3，0）．（1）求双曲线C 的方程及它的渐近线方程；（2）求以直线l 与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程．19．(12分)已知抛物线E ：x 2=2py （p ＞0）的焦点为F ，直线x=2与x 轴的交点为M ，与抛物线E 的交点为N ，且4|FN|=5|MN|．（1）求p 的值；（2）若直线y=kx+2与E 交于A ，B 两点，C （0，-2），记直线CA ，CB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 12+k 22-2k 2为定值． 20．(12分)已知直线:(1)2530()l k x y k k R --+-=∈恒过定点P ，圆C 经过点(4,0)A 和点P ，且圆心在直线-2 10x y +=上.（1）求定点P 的坐标与圆C 的标准方程；（2）已知点P 为圆C 直径的一个端点，若另一个端点为点Q ，问：在y 轴上是否存在一点(0, )M m ，使得PMQ ∆为直角三角形，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.21．(12分)已知椭圆的中心在原点，焦点在轴，焦距为2，且长轴长是短轴长的倍．（1）求椭圆的标准方程； （2）设，过椭圆左焦点的直线交于、两点，若对满足条件的任意直线，不等式（）恒成立，求的最小值．22．(12分)已知F 为抛物线()21:201C y px p =<<的焦点，E 为圆()222:41C x y -+=上任意点，且EF 最大值为194. （1）求抛物线1C 的方程；（2）若()()000,24M x y y ≤≤在抛物线1C 上，过M 作圆2C 的两条切线交抛物线1C 于A 、B (A 、B 异于点M ），求AB 中点D 的纵坐标的取值范围.高二期中考试数学(文)试卷参考★答案★1．经过点()1,4A -且在x 轴上的截距为3的直线方程是( ) A ．3y x =-- B ．3yx C ．3y x =-+ D ．5y x =-+【★答案★】C 【详解】根据题意，所求直线过点()1,4A -，故可设为()41y k x -=+，0k ≠ ，令0y =，得134kx =--=，即1k =-，即所求直线的方程为3y x =-+.故选C.2．已知()2,0A ，()1,2B -，则以AB 为直径的圆的方程为（ ）A ．()2233124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ B ．()2233124x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭ C ．()2235124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ D ．()2235124x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭ 【★答案★】D【详解】由()2,0A ，()1,2B -，且AB 为直径， 所以圆的圆心为,A B 的中点，即为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭， 又()()2221025AB =-++=，所以522AB r ==， 所以以AB 为直径的圆的标准方程为()2235124x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，故选：D3．两条平行直线3450x y +-=与6890x y +-=间的距离等于（ ） A ．110B ．15C ．45D ．410【★答案★】A 【详解】直线6890x y +-=方程可化为：93402x y +-=， 由平行直线间距离公式可知所求距离2295211034d ⎛⎫--- ⎪⎝⎭==+.故选：A . 4．已知点，点Q 是直线l ：上的动点，则的最小值为 A ．2B ．C ．D ．【★答案★】B 解：点，点Q 是直线l ：上的动点， 的最小值为点Q 到直线l 的距离， 的最小值为．故选：B ．5．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的实轴长为4，左焦点F 到C 的一条渐近线的距离为3，则C 的方程为（ ）A ．22123x y -=B ．22143x y -=C ．22149x y -=D ．221169x y -=【★答案★】C 【详解】因为实轴长24a =，所以2a =，(),0F c -，由对称性，双曲线的一个焦点到两条渐近线的距离相等，不妨取渐近线为by x a=，即0bx ay -=， 点(),0F c -到渐近线的距离()220b c bcd b c a b⋅--===+，所以3b =，所以C 的方程为22149x y -=，故选：C.6．已知圆()22:22440C x y x my m m R ++---=∈，则当圆C 的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（ ） A ．5 B ．6 C ．51- D ．51+【★答案★】D 【详解】由2222440x y x my m ++---=得()()222145x y m m m ++-=++，因此圆心为()1,C m -，半径为()2245211r m m m =++=++≥，当且仅当2m =-时，半径最小，则面积也最小；此时圆心为()1,2C --，半径为1r =， 因此圆心到坐标原点的距离为()()22125d r =-+-=>，即原点在圆C 外，根据圆的性质，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为51d r +=+.故选：D.7．若直线2244mx ny x y +=+=和圆没有交点，则过点(,)m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为（ ）A ．2个B ．至多一个C ．1个D ．0个【★答案★】A 【详解】直线2244mx ny x y +=+=和圆没有交点，故40242222<+<∴>+n m n m ,点P(m,n)在以原点为圆心，半径为2的圆内，故圆22m n +=2内切于椭圆，故点P(m,n)在椭圆内，则过点(,)m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为2个8．与圆221x y +=及圆22870x y x +-+=都外切的圆的圆心在（ ）．A ．一个圆上B ．一个椭圆上C ．双曲线的一支上D ．抛物线上【★答案★】C 【详解】设动圆的圆心为P ，半径为r ，而圆221x y +=的圆心为(0,0)O ，半径为1；圆22870x y x +-+=的圆心为(4,0)F ，半径为3．依题意得3,1PF r PO r =+=+，则()()312PF PO r r FO -=+-+=<， 所以点P 的轨迹是双曲线的一支（除（1,0））． 故选C ． 9．过点作圆（x+1）2+（y-2）2=169的弦，其中弦长为整数的弦共有（ ） A ．条 B ．条 C ．条 D ．条 【★答案★】C 【解析】试题分析：圆的标准方程是：，圆心，半径，过点的最短的弦长为10，最长的弦长为26,（分别只有一条）还有长度为的各2条，所以共有弦长为整数的条.选C ．10．已知斜率为k (0)k >的直线l 过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F ，与抛物线C 交于A ，B两点，又直线l 与圆222304x y py p +--=交于C ，D 两点．若||3||AB CD =，则k 的值为( ) A ．2B ．22C ．4D ．8【★答案★】A 【详解】设直线l 的方程为2p y kx =+代入抛物线2:2(0)C x py p =>消去x ， 整理得：222(2)04p y p pk y -++=，则2122y y p pk +=+，所以2212||222AB y y p p pk p p pk =++=++=+，圆22222230()42px y py p x y p +--=⇒+-=， 圆心为(0,)2p，半径为p ， 因为直线过圆心，所以||2CD p =，因为||3||AB CD =，所以22262p pk p k +=⇒=.故选：A.11．点P 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>右支上的一点，其左、右焦点分别为12,F F ，若12PF F ∆的内切圆I 与x 轴相切于点A ，过2F 作PI 的垂线，垂足为,B O 为坐标原点，那么OAOB的值为（ ） A ．1B ．2C ．b aD ．a b【★答案★】A 【解析】F 1(−c ,0)、F 2(c ,0)，内切圆与x 轴的切点是点A ∵|PF 1|−|PF 2|=2a ，及圆的切线长定理知， |AF 1|−|AF 2|=2a ，设内切圆的圆心横坐标为x ， 则|(x +c )−(c −x )|=2a ∴x =a ； 即|OA |=a ，在三角形PCF 2中,由题意得,它是一个等腰三角形,PC =PF 2， ∴在三角形F 1CF 2中，有：OB =12CF 1=12 (PF 1−PC )=1 2 (PF 1−PF 2)=1 2×2a =a ， ∴|OB |=|OA |，所以1OAOB=，故选A.12．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行.已知椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的中心与F 在同一直线上，设椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长半轴长分别为1a ，2a ，半焦距分别为1c ，2c ，则以下四个关系①1122a c a c ->-，②1212c c a a >，③a 1+c 2=a 2+c 1，④1212c ca a <中正确的是( )A.①②B.①④C.②③D.③④【★答案★】C【详解】由图可知,11a c PF -=,22a c PF -=,故①不正确； 由①可得1122a c a c -=-,则1221a c a c +=+,故③正确；由③可得()()221221a c a c +=+,则22221212212122a c a c a c a c ++=++,即22221112222122a c a c a c a c -+=-+,所以2211222122b a c b a c +=+,因为12b b >,所以1221a c a c <,则1212a a c c <,所以1212c c a a >,故②正确,④错误. 故★答案★为:C13．直线()2120mx m y ++-=和直线310x my ++=垂直，则实数m 的值为_______. 【★答案★】-2或0【详解】因为直线()2120mx m y ++-=和直线310x my ++=垂直，所以()3210m m m ++=， 即()240m m +=，解得0m =或2-.14．若圆()2244x y -+=与双曲线C ：()222210,0y x a b a b-=>>的渐近线相切，则双曲线C 的离心率为_______. 【★答案★】2 【详解】设双曲线的一条渐近线为ay x b=，即0ax by -= 因为其与圆()2244x y -+=相切，故2242a a b=+ 整理可得223b a =，故离心率为2212?b e a=+=.15．若过点(01)-，的直线l 与抛物线22y x =有且只有一个交点，则这样的直线l 共有_______条. 【★答案★】3解：（1）当过点(01)-，的直线斜率不存在时，显然0x =与抛物线22y x =有且只有一个交点， （2）①当过点(01)-，且直线抛物线22y x =的对称轴平行，即斜率为0时，显然1y =-与抛物线22y x =有且只有一个交点，②当直线过点(01)-，且斜率存在，且与抛物线相切时，直线与抛物线只有一个交点，设直线方程为1y kx =-，代入到抛物线方程 22y x =，消y 得：222(1)10k x k x -++=，由已知有0k ≠，则224(1)40k k ∆=+-= ，解得：12k =-，即直线线方程为112y x =--，综上可得：过点(01)-，的直线l 与抛物线22y x =有且只有一个交点的直线l 共有3条， 16．已知直线1y x =-+与椭圆)0(12222>>=+b a b ya x 相交于A ，B 两点，且OA OB ⊥（O 为坐标原点），若椭圆的离心率13,22e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则a 的最大值为___________．【★答案★】102解：设()()1122,,,A x y B x y ，由222211y x x y ab =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得()()222222210a b x a x a b +-+-=， ∴则()2221212222212,a b a x x x x a b a b-+==++， 由()()()2222222410a a a b b ∆=--+->，整理得221a b +>.()()()12121212111y y x x x x x x ∴=-+-+=-++.OA OB ⊥（其中O 为坐标原点），可得0OA OB ⋅=， 12120x x y y ∴+=，即()()1212110x x x x +-+-+=，化简得()1212210x x x x -++=.()222222212210a b a a b a b -∴⋅-+=++.整理得222220a b a b +-=. 222222b a c a a e =-=-，∴代入上式，化简得221211a e=+-， 2211121a e ⎛⎫∴=+ ⎪-⎝⎭. 13,22e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，平方得21344e ≤≤， 213144e ∴≤-≤，可得 241431e≤≤-， 因此2227175215,3162a a e ≤=+≤≤≤-，可得2a 的最大值为52， 满足条件221a b +>，∴当椭圆的离心率32e =时，a 的最大值为102. 故★答案★为：102. 17．设直线的方程为(1)20,a x y a a R +++-=∈.（1）若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； （2）若与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求a 的值. 【★答案★】（1）30x y +=或20x y ++=（2）37a =± 【详解】（1）由题意知，当直线过原点时，该直线在两条坐标轴上的截距都为0， 此时2a =，直线的方程为30x y +=； 当直线不过原点时，由截距相等，得221a a a --=+，则0a =， 直线的方程为20x y ++=，综上所述，所求直线的方程为30x y +=或20x y ++=. （2）由题意知，直线在x 轴，y 轴上的截距分别为21a a -+、2a -， ()122121a a a -⨯-=+，解得37a =±.18.在平面直角坐标系xoy 中，已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线C 的离心率为2，且双曲线C 与斜率为2的直线l 相交，且其中一个交点为P （﹣3，0）． （1）求双曲线C 的方程及它的渐近线方程；（2）求以直线l 与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程．【★答案★】（1）22199x y -=，y x =±；（2）y 2=﹣12x ，x 2=24y. 试题解析：（1）由题意，设双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，∵点P （﹣3，0）在双曲线上，∴a=3．∵双曲线C 的离心率为：2，∴32c =，∵c 2=a 2+b 2，∴b=3，∴双曲线的方程为：22199x y -=，其渐近线方程为：y=±x ． （2）由题意，直线l 的方程为y=2（x+3），即y=2x+6，直线l 与坐标轴交点分别为 F 1（﹣3，0），F 2（0,6），∴以F 1为焦点的抛物线的标准方程为y 2=﹣12x ； 以F 2为焦点的抛物线的标准方程为x 2=24y.19．已知抛物线E ：x 2=2py （p ＞0）的焦点为F ，直线x=2与x 轴的交点为M ，与抛物线E 的交点为N ，且4|FN|=5|MN|． （1）求p 的值；（2）若直线y=kx+2与E 交于A ，B 两点，C （0，-2），记直线CA ，CB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 12+k 22-2k 2为定值． 【★答案★】（1）P=1；（2）见解析 【详解】（1）设N （2，y 0），代入x 2=2py ，得02y p =，而M （2，0），则2MN p =．又p F 02⎛⎫⎪⎝⎭，，0p 2p NF y 2p 2=+=+，由4|FN|=5|MN|，得8102p p p+=，则p=1，（2）设点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），由2x 2yy kx 2⎧=⎨=+⎩，得x 2-2kx-4=0．由韦达定理可得x 1+x 2=2k ，x 1x 2=-4．△=4k 2+16＞0，2222121212y 2y 2k k ()()x x +++=+=22122212(kx 4)(kx 4)x x +++=222211222212k x 8kx 16k x 8kx 16x x +++++ =222121211112k 8k 16x x x x ⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()212212122212128k x x (x x )2x x 2k 16x x x x ++-++⋅ =2k 2-4k 2+4k 2+8=2k 2+8，因此，22212k k 2k 8+-=．20．已知直线:(1)2530()l k x y k k R --+-=∈恒过定点P ，圆C 经过点(4,0)A 和点P ，且圆心在直线-2 10x y +=上.（1）求定点P 的坐标与圆C 的标准方程；（2）已知点P 为圆C 直径的一个端点，若另一个端点为点Q ，问：在y 轴上是否存在一点(0, )M m ，使得PMQ ∆为直角三角形，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由. 【★答案★】（1）(3,1)，22(7)(4)25x y -+-=；（2）存在，5m =或653. 【详解】（1）由(1)2530k x y k --+-=得，(3)(25)0k x x y --+-=， 令30250x x y -=⎧⎨+-=⎩，得31x y =⎧⎨=⎩，即定点P 的坐标为(3,1). 设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，由条件得1640913021022D F D E F D E ⎧⎪++=⎪⎪++++=⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎪---+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得14840D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩.所以圆C 的方程为22148400x y x y +--+=,所以化为标准方程为22(7)(4)25x y -+-=.（2）设点(3,1)P 关于圆心(7,4)的对称点为()00,x y ，则有0031418x y +=⎧⎨+=⎩，解得011x =，07y =，故点Q 的坐标为(11,7).因为M 在圆外，所以点M 不能作为直角三角形的顶点，若点P 为直角三角形的顶点，因为413734CP k -==-则有131,5034m m -⋅=-=-， 若点Q 是直角三角形的顶点，则有73651,01143m m -⋅=-=-， 综上，5m =或653. 21．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴，焦距为2，且长轴长是短轴长的倍．（1）求椭圆的标准方程； （2）设，过椭圆左焦点的直线交于、两点，若对满足条件的任意直线，不等式（）恒成立，求的最小值．【★答案★】（1）（2）的最小值为（）恒成立，只需，即的最小值为．试题解析：（1）依题意，，，解得，，∴椭圆的标准方程为．（2）设，，所以，当直线垂直于轴时，，且，此时，，所以．当直线不垂直于轴时，设直线：， 由整理得，所以，，所以． 要使不等式（）恒成立，只需 ，即的最小值为．22．已知F 为抛物线()21:201C y px p =<<的焦点，E 为圆()222:41C x y -+=上任意点，且EF 最大值为194. （1）求抛物线1C 的方程；（2）若()()000,24M x y y ≤≤在抛物线1C 上，过M 作圆2C 的两条切线交抛物线1C 于A 、B (A 、B 异于点M ），求AB 中点D 的纵坐标的取值范围. 【★答案★】（1）2y x =；（2）42,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【详解】（1）抛物线1C 的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，圆2C 的圆心为()24,0C ，半径为1， 所以，2max1914124p EF FC =+=-+=，01p <<，解得12p =， 因此，抛物线1C 的方程为2y x =；[]，即在时当两条切线的斜率都存；得，的方程：，得由）即（的方程：设），，（的斜率不存在，则不妨设），（时，则，另一条切线斜率存在当一条切线斜率不存在5y ,453-y 25-y 5-x 552y 5-x 552y 552k 11554d ,0555-x k 5-y 5-55516,4)2(022200≠=⇒=⎪⎩⎪⎨⎧===∴==++-==+--=∈=DB xy MB k k k k y kx MB A MA M y x设点()11,A x y 、()22,B x y ，设过点M 的圆2C 的切线方程为()200y y k x y-=-，则()22411y k y k-+=+，整理得()()42222000008152410y y k y y k y -++-+-=，设两切线的斜率分别为1k 、()212k k k ≠，则1k 、2k 是上述方程的两根，由韦达定理得()()20012420024815y y k k y y -+=-+，201242001815y k k y y -=-+， 将方程()200y y k x y -=-代入抛物线2C 的方程得()2200y y k y y -=-， 整理得()()0010y y ky ky -+-=，所以，1011y y k =-，2021y y k =-， 线段AB 中点D 的纵坐标为012121202120001123312221y y y y k k k k y y k k y y y +-++===-=-=---)5(0≠y ，函数()1f x x x=-在区间[][]4,55,2⋃上为增函数，.54)(453453)(2,415)(554554)(23-≤<--<≤-∴≤<<≤x f x f x f x f 或或因此，线段AB 的中点D 的纵坐标的取值范围是42,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
2020-2021学年高二数学上学期期中测试试题
2020-2021学年高二数学上学期期中测试试题注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1、 本试卷共4页，包含填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)两部分。
本试卷满分160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将答题纸上交。
2、 答题前，请务必将自己的姓名、考试证号、座位号用0.5毫米黑色签字笔填写在试卷及答题纸上。
3、 作答时必须用0.5毫米黑色签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
4、 如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
1. 命题“∀0x ∈R ，02x>0”的否定是 ▲ .2. 经过点()2,1P 且与直线0943=++y x 垂直的直线方程是 ▲ .3. 已知正四棱柱的底面边长为2cm ，高为1cm ，则正四棱柱的侧面积是 ▲ 2cm .4. 圆心是（-1，0）且过原点的圆的方程是 ▲ .5. 已知m 为实数，直线1:30l mx y ++=，2:(32)20l m x my -++=， 则“1m =”是“12//l l ”的 ▲ 条件.（请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要” 中选择一个）6. 设直线x y =与圆C ：0222=-+ay y x 相交于A ，B 两点，若32=AB ，则圆C 的半径为 ▲ .7. 已知圆柱M 的底面半径为3，高为2，圆锥N 的底面直径和高相等，若圆柱M 和圆锥N 的体积相同，则圆锥N 的高为 ▲ . 8. 已知平面α，β，直线n m ,，给出下列命题：①若βα⊥， ,m n αβ⊥⊥，则m n ⊥.②若//m α，//,n m n β⊥，则βα⊥， ③若//αβ，//,//m n αβ，则||m n ，④若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥， 其中是真命题的是 ▲ .（填写所有真命题的序号）9. 圆221:4450C x y x y ++--=与圆222:8470C x y x y +-++=的公切线有 ▲ 条. 10. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，O 为1BD 的中点，三棱锥O ABD -的体积为1V ，四棱锥11O ADD A -的体积为2V ，则12V V 的值为 ▲ .11. 已知命题12:≤-x p ，命题0)4)((:≤+--a x a x q ，若q p 是成立的充分非必要 条件，则实数a 的取值范围是 ▲ .12. 关于x 的方程222+=-kx x x 有两个不同的实数根，则k 的范围为 ▲ . 13. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2240x y x +-=．若直线)2(+=x k y 上存在一点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取值范围为 ▲ .14. 已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a )2＋(y －a －4)2＝1．若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则实数a 的取值范围为 ▲ . 二、解答题：(本大题共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)设命题p ：032,2>--∈a a R a ；命题q ：不等式x 2＋ax ＋1>0∀x ∈R 恒成立，若p 且q为假，p 或q 为真，求a 的取值范围．16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥ABC P -中，D ，E ，F 分别为棱AB AC PC ,, 的中点.已知 AC PA ⊥,,6=PA .5,8==DF BC 求证: (1)直线//PA 平面DEF ；(2) 平面⊥BDE 平面ABC .17.(本小题满分14分)矩形ABCD 的两条对角线相交于点M(2，0),AB 边所在直线的方程为,063=--y x 点()1,1-T 在AD 边所在直线上.(1)求AD 边所在的直线方程及A 的坐标. （2）求矩形ABCD 外接圆方程.18.(本小题满分16分)在三棱锥P - ABC 中，已知平面PBC ⊥平面ABC ． (1)若AB ⊥BC ，CP ⊥PB ，求证：CP ⊥PA ：(2)若过点A 作直线⊥l 平面ABC ，求证：l //平面PBC ．19. (本小题满分16分)已知圆O :122=+y x 和A (4，2)(1)过点A 向圆O 引切线l ,求切线l 的方程.(2)设P 为圆A ：9)2-()4-(22=+y x 上的任意一点，过点P 向圆O 引切线，切点为B.试探究：平面内是否存在一定点C,使得PCPB为定值，若存在，求出此定值，若不存在，说明理由.20. (本小题满分16分)已知圆M 的方程为062222=---+y x y x ，以坐标原点为圆心的圆N 与圆M 相切.(1)求圆N 的方程；(2)圆N 与x 轴交于E ，F 两点，圆N 内的动点D 使得DE ，DO ，DF 成等比数列，求DEDF •的取值范围；(3)过点M 作两条直线分别与圆N 相交于A ，B 两点，且直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，试判断直线MN 和AB 是否平行?并说明理由.xx 第一学期期中测试高二数学试题参考答案一、填空 1、02,00≤∈∃x R x 2、0234=+-y x 3、8 4、()1122=++y x5、充分不必要6、67、 68、①④9、3 10、21 11、[]5,312、⎪⎭⎫⎢⎣⎡--43,1 13、[]1,1-14、⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---222,222 二、解答 15.解：由题知 q p ,一真一假。
广东省高二上学期期中数学试卷含答案(共5套)
21．（本小题满分 12 分）
设函数
在点
处的切线方程为
.
（1）求 的值，并求
的单调区间；
（2）证明：当
时，
.
22．（本小题满分 12 分）
已知椭圆 的标准方程为 （1）求椭圆的标准方程；
，该椭圆经过点
，且离心率为 ．
（2）过椭圆
长轴上一点
，证明：直线
恒过定点．
作两条互相垂直的弦
．若弦
的中点分别为
深圳市高级中学第一学期期中考试 高二数学参考答案
的最小值是
C． 恒过定点 A ．若直线
D． 过点 A ，其中 是正实
A．
B．
C．
D． 5
11．若
，
，则
的最小值为
A．
B．
C．
D．
12．设 是定义在 上的奇函数 ,且
,当
时，有 f (x) xf ( x) 恒成立，则不等式
的
解集为
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
当 n≤9 时， an＜ 0， 当 n＝10 时， an＝ 0，
当 n≥11 时， an＞ 0． 所以当 n＝ 9 或 n＝ 10 时，由 Sn＝－ 18n＋ n( n－1) ＝ n2－19n 得 Sn 取得最小值为 S9＝ S10＝－ 90．
(3) 记数列 { bn} 的前 n 项和为 Tn，由题意可知
联立
，消去 x，得 ky2+y–k=0．
如图，设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2），则 x1≠０， x2≠０，
2 A.
3
2 B. -
3
2023-2024学年广东省揭阳市普宁市兴文中学高二上学期期中数学试题
2023-2024学年广东省揭阳市普宁市兴文中学高二上学期期中数学试题1. 已知集合A ={(x,y)|x 2+y 2=1}，B ={(x,y)|y =x}，则A ∩B 中元素的个数为（ ）A ． 3B ． 2C ． 1D ． 02. 已知向量a ⃗=(−3,2,5)，b ⃗⃗=(1,x,−1)且a ⃗⟂b⃗⃗，则x 的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．3 D ．13. 在直角坐标系中，直线x +√3y −3=0的倾斜角是（ ）A ． 30∘B ． 60∘C ． 150∘D ． 120∘4. 两条平行直线3x +4y -10=0与ax +8y +11=0之间的距离为（ ）A ． 315B ． 3110C ． 235D ． 2310 5. 如图，在四面体ABCD 中，点E 为棱CD 的中点，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗，AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=c ⃗，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=（ ）A ． −a ⃗+12b ⃗⃗+12c ⃗B ． −a ⃗+32b ⃗⃗−12c ⃗C ． −2a ⃗+b ⃗⃗+c ⃗D ． a ⃗+32b ⃗⃗+12c ⃗ 6. 直三棱柱ABC —A′B′C′中，AC ＝BC ＝AA′，∠ACB ＝90°，E 为BB′的中点，异面直线CE 与C ′A 所成角的余弦值是（ ）A ． √55B ． −√55C ．- √1010D ． √10107. 设点A(4,−3)，B(−2,−2)，直线l 过点P(1,1)且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ． k ≥1 或 k ≤−4B ． k ≥1 或 k ≤−43C ． −4≤k ≤1D ． −43≤k ≤1 8. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(−1,−4)，若将军从点A(−1,2)处出发，河岸线所在直线方程为x +y =3.则“将军饮马“的最短总路程为（ ）A ． √13B ． √17C ． 2√17D ． 109. 下列说法中，正确的有（ ）A ．直线 y =3x −2 在 y 轴上的截距是2B ．直线 2x −y +5=0 经过第一、二、三象限C ．过点 (5,0) ，且倾斜角为90°的直线方程为 x −5=0D ．过点 P(1,2) 且在 x 轴， y 轴上的截距相等的直线方程为 x +y −3=010. 已知空间中三点A （0，1，0），B （1，2，0），C （－1，3，1），则正确的有（ ）A ． AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是共线向量 B ．平面 ABC 的一个法向量是（1，－1，3）C ． AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的余弦值是 −√36D ．与 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同的单位向量是（1，1，0）11. 以下四个命题表述正确的是（ ）A ．直线 mx +4y −12=0(m ∈R) 恒过定点 (0,3)B ．圆C 1 ： x 2+y 2+2x =0 与圆 C 2 ： x 2+y 2−4x −8y +4=0 恰有三条公切线 C ．两圆 x 2+y 2+4x −4y =0 与 x 2+y 2+2x −12=0 的公共弦所在的直线方程为 x +2y +6=0D ．已知圆 C ： x 2+y 2=2 ， P 为直线 x +y +2√3=0 上一动点，过点 P 向圆 C 引条切线 PA ，其中 A 为切点，则 PA 的最小值为 √212. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy 中，已知A(−4,2)，B(2,2)，点P 满足|PA||PB|=2，设点P 的轨迹为圆C ，下列结论正确的是（ ）A ．圆 C 的方程是 (x −4)2+(y −2)2=16B ．过点 A 向圆C 引切线，两条切线的夹角为 π3C ．过点 A 作直线 l ，若圆 C 上恰有三个点到直线 l 距离为2，该直线斜率为 ±√155D ．在直线 y =2 上存在异于 A ， B 的两点 D ，E ，使得 |PD||PE|=213. 已知空间中非零向量a ⃗,b ⃗⃗，且|a ⃗|=2，|b ⃗⃗|=3，⟨a ⃗,b ⃗⃗⟩=60∘，则|2a ⃗−3b⃗⃗|= _________ 14. 已知直线l 1:ax +2y +3=0与直线l 2:2x +ay +a +1=0平行，则a =___________. 15. 已知⊙C 1的圆心在x 轴上，半径为1，且过点(2,−1)，⊙C 2:(x −4)2+(y −2)2=10，则⊙C 1与⊙C 2的公共弦长为___________.16. 已知P(a,b)为圆C:x 2+y 2−2x −4y +4=0上任意一点，则b−1a+1的最大值是______.17. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，且 2cosC(acosB +bcosA)=c.(1)求C;(2)若c=√7，△ABC的面积为3√3,求△ABC的周长.218.直线l经过两直线l1:3x+4y−2=0和l2:2x+y+2=0的交点．(1)若直线l与直线3x+y−1=0平行，求直线l的方程；(2)若点A(3,1)到直线l的距离为5，求直线l的方程．19.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=AD=2，AA1=5，E，F分别为DD1，BB1上的点，且DE=B1F=1．(1)求证：BE⟂平面ACF：(2)求点B到平面ACF的距离．20.已知ΔABC的三个顶点坐标分别是A(0,5)，B(1,−2)，C(−3,−4).求：(1)ΔABC外接圆的方程；(2)若点P是ΔABC外接圆上的一动点，点M(3,−1)为平面内一定点，求线段MP的中点N的轨迹方程.21. 如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB =√2，AF =t ，M 是线段EF 的中点．(1)求证：AM//平面BDE ；(2)若t =1，求二面角A −DF −B 的大小；(3)若线段AC 上总存在一点P ，使得PF⟂BE ，求t 的最大值．22. 已知过点A （0，4），且斜率为k 的直线与圆C ：(x −2)2+(y −3)2=1，相交于不同两点M 、N.（1）求实数k 的取值范围；（2）求证：AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗为定值； （3）若O 为坐标原点，问是否存在以MN 为直径的圆恰过点O ，若存在则求k 的值，若不存在，说明理由．。
广东省普宁市2020-2021学年高二上学期期中素质监测数学试题 答案
时，等号成立。……………………………………………
9分
x 2
∴ xy 4 xy 5 0 …………………………………………… 11 分
∴ xy 1
∴xy 的最大值为 1 …………………………………………… 12 分
2
20 解：由题意知 AB = 5 3 3 海里，
DBA 90 60 30,DAB 45, …………………………………… 1 分
2020－2021 学年度第一学期期中高中二年级质量测试
数学科试题参考答案
一、填空题：
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
答案 A
DB
A
C
D
A
B
二、多选题 9 10 11 12 ABC BC ACD ABD
三、填空题
（13）
x
2
x
1 2
．
四、解答题:
17（本小题满分 10 分）
（14）0.（15）6 .（16） 2n 1 , 2n1 (n 1) 2 4
∴ n Sn 2an ，即 n ， an ， Sn 成等差数列.………………………………… 12 分
19. （本小题满分 12 分）
解：(1)已知 x＜2，∴x-2＜0. …………………………………………… 1 分
∴4 x 1 4(x 2) 1 8 …………………………………………… 2 分
（2）由（1） an 1 2n ，…………………………………………… 6 分
∴ an 2n 1. ……………………………………… 7 分
∴
Sn
2 2n1 1 2
n
2………………………………
9分
广东省普宁市2020-2021学年高二上学期期中质量测试数学试题
广东省普宁市2020-2021学年高二上学期期中质量测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}2340M x x x =--<，{}1N x x =≤，则M N ⋂等于（ ） A ．(]1,1-B ．[)1,1-C ．[)0,1D ．(]0,12．已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则公比q =（ ） A ．12-B ．-2C ．2D ．123．设0a b <<，则下列不等式中不成立的是（ ） A ．11a b> B ．11a b a>- C ．||a b >-D>4．在等腰ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若56A π=，2b =，则ABC 面积为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．若数列{}n a 满足12a =，23a =，12n n n a a a --=（3n ≥且*N n ∈），则2018a 等于（ ） A ．12B ．2C ．3D ．236．设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，且22sin sin B C =，则ABC （ ） A ．等腰三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形7．已知不等式210ax bx --≥的解集是11[,]23--，则不等式20x bx a --<的解集是（ ） A ．(2,3) B ．(,2)(3,)-∞⋃+∞ C ．11(,)32D ．11(,)(,)32-∞⋃+∞8．已知函数()()()22,,n n f n n n ⎧⎪=⎨-⎪⎩当为奇数时当为偶数时且()(1)n a f n f n =++，则121100a a a a ++++等于（ ）A ．0B ．100C ．-100D ．10200二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．在ABC 中，若sin sin AB >，则A B >． B ．在ABC 中，sin sin sin sin a a b cA AB C+-=+-． C ．在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．D ．在ABC 中，已知40b =，20c =，60C =︒，则此三角形有一解． 10．下列结论不正确的是（ ）A ．若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是同一个常数，则这个数列是等差数列B ．等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．C ．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 、2n n S S -、32n n S S -仍成等比数列D ．如果数列{}n a 的前n 项和为n S ，则对*N n ∀∈，都有11n n n a S S ++=- 11．若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式中恒成立的是（ ）A ．1ab ≤B ≤C ．222a b +≥D ．112a b+≥ 12．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且56678,S S S S S <=>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d < B ．70a =C ．95S S >D ．67n S S S 与均为的最大值三、填空题 13．不等式1121x x -≥+的解集为______． 14．等比数列{}()1n a q ≠的前n 项和为122n n S A B +=+⋅，则A B +=______．15．ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin cos 0a B A =，bc =，内切圆半径为1，则ABC 的周长为______．四、双空题16．已知1n a =，()()*1N n n n a n a a n +=-∈，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+，则数列{}n b 的通项公式n b =______，令114n nn nn a c b +=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则数列{}n c 的前n 项和为______．五、解答题17．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若222b c a +=+， （1）求sin A ；（2）若ABC 外接圆的面积为16π，求边长a ．18．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，121n n a a +=+. （1）证明{}1n a +为等比数列；（2）判断n ，n a ，n S 是否成等差数列？并说明理由. 19．（1）已知2x <，求142x x +-的最大值 （2）已知x ，y 均为正实数，若45x y xy ++=，求xy 的最大值20．如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距()533+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*112n n a S n N =+∈ （1）求数列{}n a 的通项公式 （2）若2log n n b a =，21n n n c b b +=且{}n c 的前n 项和为n T ，求使得132424n k k T +<<对*n N ∈都成立的所有正整数k 的值．22．求不等式2(1)10ax a x -++<的解集．参考答案1．A 【分析】先分别解不等式，化简两集合，再求交集，即可得出结果. 【详解】因为{}()(){}{}234041014M x x x x x x x x =--<=-+<=-<<，{}{}111N x x x x =≤=-≤≤，所以(]1,1M N ⋂=-. 故选：A. 2．D 【分析】 由题意可得35218a q a ==，开方可得答案． 【详解】解：由题意可得35218a q a ==， 故可得12q =故选：D ． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，涉及公比的求解，属于基础题． 3．B 【分析】对于A ，C ，D 利用不等式的性质分析即可，对于B 举反例即可 【详解】对于A ，因为0a b <<，所以0ab >，所以0a bab ab<<，即11a b >，所以A 成立；对于B ，若2a =-，1b =-，则11a b =--，112a =-，此时11a a b>-，所以B 不成立； 对于C ，因为0a b <<，所以||||a b b >=-，所以C 成立；对于D ，因为0a b <<，所以0a b ->->>D 成立，故选：B. 【点睛】本题考查不等式的性质的应用，属于基础题. 4．A 【分析】先确定2b c ==，再求三角形的面积得解. 【详解】因为三角形是等腰三角形，56A π=， 所以2b c ==， 所以ABC 面积为1522sin 126π⨯⨯⨯=. 故选：A 5．C 【分析】先由题设求得数列{}n a 的前几项，然后得到数列{}n a 的周期，进而求得结果. 【详解】因为12a =，23a =，12n n n a a a --=（3n ≥且*N n ∈）， 所以23132a a a ==，34231232a a a ===， 453112332a a a ===， 564123132a a a ===，67523213a a a ===，7862323a a a ===，， 所以数列{}n a 是周期为6的周期数列， 所以20183366223a a a ⨯+===， 故选：C. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题方法如下：（1）根据题中所给的前两项以及递推公式，逐项写出数列的前几项； （2）根据规律判断出数列的周期；（3）根据所求的数列的周期，求得20182a a =，进而求得结果. 6．D 【分析】先由正弦定理，得到2sin cos sin cos sin B C C B A +=，求出角A 为直角；再由22sin sin B C =，得到b c =，即可得出结果.【详解】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以2sin cos sin cos sin B C C B A +=， 即2sin()sin B C A +=，即2sin sin A A =，所以sin 1A =，因此角A 为直角； 又22sin sin B C =，所以22b c =，所以b c =； 因此，ABC 是等腰直角三角形. 故选：D. 【点睛】本题主要考查判断三角形的形状，熟记正弦定理即可，属于常考题型. 7．A 【分析】根据不等式的解集可得不等式对应的方程的解，从而可求出,a b 的值，故不等式20x bx a --<即为2560x x -+<，从而可求其解，从而得到正确的选项．【详解】∵不等式210ax bx --≥的解集是1123⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，， ∴1123x x =-=-，是方程210ax bx --=的两根，∴1152361111236b a a⎧⎛⎫=-+-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-=-⨯-=⎪⎪⎝⎭⎩，解得65a b =-⎧⎨=⎩.∴不等式20x bx a --<为2560x x -+<， 解得23x <<， ∴不等式的解集为()2,3. 故选：A . 【点睛】本题考查一元二次不等式的解、三个二次的关系，这个关系是：不等式对应的解的端点是对应方程的根，是二次函数的图像与x 轴交点的横坐标.本题属于基础题． 8．B 【分析】先求出通项公式n a ，然后两项一组，即可求解数列的前100项的和 【详解】()(1)n a f n f n =++∴由已知条件知，2222(1),(1),n n n n a n n n ⎧-+=⎨-++⎩为奇数为偶数 即()21,21,n n n a n n ⎧-+=⎨+⎩为奇数为偶数(1)(21)n n a n ∴=-+ 12(n n a a n +∴+=是奇数）123100123499100()()()2222100a a a a a a a a a a ∴+++⋯+=++++⋯++=+++⋯+=故选：B ． 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是求出数列{}n a 的通项(1)(21)n n a n =-+，即得到12(n n a a n ++=是奇数）. 9．ABC【分析】根据正弦定理和余弦定理，逐项判定，即可得出结果. 【详解】A 选项，因为sin sin AB >，根据正弦定理，可得a b >，由三角形的性质，大边对大角，所以A B >，故A 正确；B 选项，在ABC 中，由正弦定理可得2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC 外接圆半径），所以2sin 2sin 2sin 2sin sin sin sin sin sin sin a b c R A R B R C aR A B C A B C A+-+-===+-+-，故B 正确；C 选项，在三角形中，若已知两边与两边夹角，可直接根据三角形面积公式求三角形面积；若已知两边一邻角，可根据余弦定理，先求出第三边，再根据三角形面积公式即可求出三角形面积；即在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．故C 正确；D 选项，在ABC 中，已知40b =，20c =，60C =︒，由正弦定理可得：40sin 2sin 120b C B c===>，显然不成立，所以此三角形不存在，故D 错.故选：ABC. 10．BC 【分析】根据等差数列的定义可判断A 选项的正误；取1n a =可判断B 选项的正误；取1q =-，n 为偶数可判断C 选项的正误；利用n a 与n S 的关系可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，根据等差数列的定义可知A 选项正确；对于B 选项，对任意n *∈N ，1n a =，则数列{}n a 为等差数列，且该数列的前n 项和n S n =，B 选项错误；对于C 选项，若等比数列{}n a 的公比1q =-，且当n 为正偶数时，则()1101n n a q S q-==-，所以，2320n n n n n S S S S S ==-=-，此时，n S 、2n n S S -、32n n S S -不成等比数列，C 选项错误；对于D 选项，对任意的n *∈N ，()11211n n n n n S a a a a S a +++=++++=+，可得11n n n a S S ++=-，D 选项正确.故选：BC. 11．ACD 【分析】利用基本不等式逐一分析四个结论的正误，可得答案． 【详解】 解：0a >，0b >，2a b +=，22a b ab ∴+=，1，即1ab ，故A 正确；22()4a b a b =+++=，2，故B 错误；222()2422a b a b ab +=+--=，故C 正确；1111111()()1()122222b a a b a b a b a b +=++=+++⨯=，故D 正确； 故选：ACD. 12．ABD 【分析】由1n n n S S a --=()2n ≥，判断6780,0,0a a a >=<，再依次判断选项. 【详解】因为5665600S S S S a <⇒->⇒>，677670S S S S a =⇒-==，788780S S S S a >⇒-=<，所以数列{}n a 是递减数列，故0d <，AB 正确；()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确；由以上可知数列{}n a 是单调递减数列，因为6780,0,0a a a >=<可知，67n S S S 与均为的最大值，故D 正确. 故选：ABD本题考查等差数列的前n 项和的最值，重点考查等差数列的性质，属于基础题型. 13．122x x ⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩⎭【分析】根据分式不等式的解法，逐步计算，即可得出结果. 【详解】 由1121x x -≥+得121021x x x ---≥+，即2021x x --≥+，则2021x x +≤+， 解得122x -≤<-， 即原不等式的解集为122x x ⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩⎭.故答案为：122x x ⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩⎭.14．0 【分析】利用n a 与n S 关系可确定n a ，结合等比数列定义可构造等量关系求得结果. 【详解】当1n =时，1124a S A B ==+；当2n ≥且n *∈N 时，1122222n n nn n n a S S A B A B B +-=-=+⋅--⋅=⋅；{}n a 为等比数列，1a ∴满足2n n a B =⋅，即242A B B +=，220A B ∴+=，即0A B +=.故答案为：0. 15．6 【分析】利用正弦定理将sin cos 0a B A =中的边化为角，从而求得3A π=，再由ABC 的面积11()sin 22S a b c r bc A =++=，即可得解．解：由正弦定理知，sin sin sin a b cA B C==，sin cos 0a B A =，sin sin cos 0A B B A ∴=，sin 0B ≠，sin 0A A ∴=，即tan A =(0,)A π∈， 3A π∴=，设ABC 的内切圆半径为r ，则1r =，ABC 的面积11()sin 22S a b c r bc A =++=，()143sin3a b c π∴++=⨯，6a b c ∴++=，即ABC 的周长为6．故答案为：6． 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 16．214n - ()1122n n +-⋅+ 【分析】根据题中条件，由累乘法先求出n a n =，再设等差数列{}n b 的公差为d ，根据题中条件，列出方程组求解，得出首项和公差，即可求出n b ；再利用错位相减法，即可求出数列{}n c 的前n 项和. 【详解】因为()1+=-n n n a n a a ，所以()11n n n a na ++=，则11n n a n a n++=，因此2121a a =，3232a a =，…，11n n a na n -=-，以上各式相乘可得：123 (121)n a a nn n =⨯⨯⨯=-， 又1n a =，所以n a n =；设等差数列{}n b 的公差为d ，因为1n n n a b b +=+，所以12123212b b a b b a +==⎧⎨+==⎩， 则1121232b d b d +=⎧⎨+=⎩，解得11412b d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以()11211424n n b n -=+-=；因此112142n n nnn nnn a n c n n b ++===⋅⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，记数列{}n c 的前n 项和为n T ，则23123...122232...2n n nT c c c c n ++++=⋅+⋅+⋅++⋅=①所以23412122232 (2)n n T n +=⋅+⋅+⋅++⋅②①-②得()23111121222 (222222122)n n n n nn n n n T n ++++-+++-⋅=-⋅=--⋅-=+-()1122n n +=-⋅-，所以()1122n n T n +=-⋅+.故答案为：214n -；()1122n n +-⋅+. 【点睛】 思路点睛：错位相减法求数列{}n n a b （其中{}n a 为等差数列，{}n b 为公比为q 的等比数列）前n 项和n S 的一般步骤：（1）先根据条件，得到1122...n n n S a b a b a b =+++；（2）再上式的基础上，等式两边同乘以公比q ，得到12231...n n n qS a b a b a b +=+++， （3）以上两式作差，结合等比数列的求和公式进行整理，即可得出结果.（作差时，要注意错位相减）. 17．（1）1sin 2A =；（2）4a =． 【分析】（1）由题中条件，根据余弦定理，求出cos A ，进而可求出sin A ； （2）根据题中条件，先求出外接圆半径，再由正弦定理，即可求出结果. 【详解】（1）由余弦定理得2222cos ,a b c bc A =+-又222b c a +=+，∴2cos bc A =，∴cos A =，又A 为三角形ABC的内角，所以sin 12A ==；（2）∵ABC 外接圆的面积为16π，设该圆半径为R ， 则216R ππ=，∴4R =， 由正弦定理得：28sin aR A==，所以8sin 4a A ==. 18．（1）证明见解析 （2）成等差数列，理由见解析 【分析】（1）由递推关系求得1a ，通过计算1121n n a a ++=+，证得数列{}1n a +为等比数列. （2）由（1）求得数列{}n a 的通项公式，由分组求和法求得n S ，证得2n n n S a +=，所以n ，n a ，n S 成等差数列.【详解】（1）证明：∵23a =，2121a a =+，∴11a =， 由题意得10n a +≠，1122211n n n n a a a a +++==++，∴{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）12nn a +=，∴21n n a =-.∴11222212n n n S n n ++-=-=---，∴()12222210n n n n n S a n n ++-=+----=，∴2n n n S a +=，即n ，n a ，n S 成等差数列. 【点睛】本小题主要考查根据递推关系证明等比数列，考查分组求和法，考查等差数列的证明，属于基础题.19．（1）4；（2）1． 【分析】（1）由题意可得114[4(2)]822x x x x+=--++--，再根据基本不等式即可求出；（2）54xy x y -=+根据基本不等式可得50xy +，解得即可求出xy 的最大值． 【详解】解：（1）已知2x <，∴20x -<． ∴142x x +-14(2)82x x =-++-∴14(2)42x x ---≥-， 当且仅当14(2)2x x --=--，即32x =时等号成立．∴14(2)42x x -+≤-- ∴142x x +-14(2)842x x =-++≤-∴32x =时，142x x +-取得最大值为4 （2）解：∵45x y xy ++=，0x >，0y >∴54xy x y -=+≥=当且仅当4x y =，45x y xy ++=即122y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩时，等号成立，∴50xy +≤∴01<≤∴xy 的最大值为1 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 20．救援船到达D 点需要1小时． 【详解】5(3906030,45,105sin sin •sin 5(3?sin 455(3?sin 45sin sin105sin 45?cos 60sin 60?cos 45AB DBA DAB ADB DB AB DAB DAB ADB AB DAB DB ADB =+∠=︒-︒=︒∠=︒∴∠=︒∆=∠∠∠+︒︒∴===∠︒︒︒+︒︒解：由题意知海里，在中，由正弦定理得海里又海里中，由余弦定理得,海里，则需要的时间答：救援船到达D 点需要1小时21．（1）2nn a =；（2）{5,6,7}k ∈．【分析】（1）根据,n n a S 的关系，结合递推式可得12(2)n n a a n -=≥且12a =，写出{}n a 的通项公式；（2）由（1）中{}n a 的通项公式，结合已知有1(2)n c n n =+，应用裂项求和法可知31114212n T n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭，进而有1334n T ≤<，即可知条件成立的k 值． 【详解】（1）由题意知：112n n a S =+①，111()122n n a S n --=+≥②， ①-②得：12(2)n n a a n -=≥，又易得12a =，∴{}n a 是首项和公比都为2的等比数列，所以2nn a =；（2）由（1）知：n b n =，即1(2)n c n n =+11122n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，∴由裂项相消，得111112212n T n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭31114212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭，∵134n T T ≤<，即1334n T ≤<，所以132424n k k T +<<对n ∈N *都成立， 可得1243133244k k ⎧<⎪⎪⎨+⎪≥⎪⎩，得5k ≤<8，又k 正整数，∴{5,6,7}k ∈. 【点睛】 关键点点睛：（1）应用1n n n a S S -=-得到1,n n a a -的关系，即可写出{}n a 的通项公式； （2）结合（1）结论及已知，得到1(2)n c n n =+，应用列项求和求n T ，即可知n T 的范围，结合不等式成立条件求k 值． 22．分类讨论，答案见解析． 【分析】当0a =时，得到一个一元一次不等式，求出不等式的解集即为原不等式的解集；当0a ≠时，把原不等式的左边分解因式，然后分4种情况考虑：a 小于0，a 大于0小于1，a 大于1和a 等于1时，分别利用求不等式解集的方法求出原不等式的解集即可．【详解】解：若0a =，原不等式等价于10x -+<，解得1x >． 若0a <，原不等式等价于()110x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭， 解得1x a<或1x >． 若0a >，原不等式等价于()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭．①当1a =时，11a =，()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭无解；②当1a >时，11a <，解()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，得11x a <<；③当01a <<时，11a >，解()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，得11x a <<．综上所述，当0a <时，解集为1{|x x a<或1}x >； 当0a =时，解集为{}1x x >； 当01a <<时，解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭； 当1a =时，解集为∅； 当1a >时，解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭． 【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．。
广东省普宁二中2020学年度第一学期高二数学期中测试(文科)
广东省普宁二中2020学年度第一学期高二数学期中测试(文科)一、选择题（每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若条件B A x p ⋂∈:，则p ⌝是（ ）A.A x ∉或B x ∉B.A x ∉且B x ∉C.B A x ⋃∈D.A x ∉或B x ∈ 2.抛物线)0(2≠=a ax y 的焦点坐标为（ ）A.)0,4(aB.)0,4(aC.)41,0(aD.)41,0(a3.在右图的电路中，闭合开关A 是电灯B 亮的（ ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件4.给出命题：①若b a >，则b c a c -<-； ②若非零实数b a ,满足b a >，则ba 11< ③R x ∈∃，使2cos sin =+x x ； ④对R x ∈∀，2sin 1sin ≥+xx 其中为真命题．．．的是（ ） A.①②③ B.②④ C.①④ D.①③5.如果双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则双曲线的离心率为（ ） A.215+ B.215- C.212+ D.212-6.在ABC ∆中，ο45,10,8===A b a ，则此三角形的解的情况为（ ） A.一解 B.两解 C.可能一解，可能两解 D.无解7.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若ab c b a c b a 3))((=++-+，则角=C （ ）A.π65B.π32C.3πD.6π 8.在正项等比数列}{n a 中，965=a a ，则=+++1032313log log log a a a Λ（ ） A.2 B.4 C.10 D.409.过抛物线的焦点的直线与抛物线交于B A ,两点，则以弦AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是（ ）A.相切B.相离C.相交D.位置关系视p 的值而定 10.离心率为35，且与双曲线4422=-y x 有公共焦点的椭圆的标准方程为（ ） A.1422=+y x B.14922=+y x C.1422=+y x D.19422=+y x 11.抛物线型拱桥，已知当水面离拱顶m 2时，测得水面宽m 4；那么当水面宽是m 62时，为安全通过桥底，航船在水面上的高度不得超过（ ） A.m 3 B.m 5.3 C.m 4 D.m 5.412.某公司租地建仓库，每月土地占用费1y （万元）与仓库到车站的距离成反比，而每月存货物的运费2y （万元）与仓库到车站的距离成正比；如果在距车站km 10处建仓库，则费用1y 与2y 分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站（ ）A.km 8处B.km 5处C.km 3处D.km 6处二、填空题（每小题4分，共16分；请把答案填在答题卡的相应横线上）13.数列}{n a 的前n 项和n S 满足)(,2)13(*1N n a S n n ∈-=，且544=a ，则=1a 。
广东省普宁市高二数学上学期期中考试试题新人教A版
普宁二中高二第一学期期中数学（理）试卷一、 选择题（每小题5分，共8小题，共40分）1、已知等差数列}{n a 中，21987=++a a a ，则8a 的值为（ ） A.6 B.7 C.8 D.92、在ABC ∆中，6=a ，ο30=B ，ο120=C ，则ABC ∆的面积是（ ）A ．9B ．18C ．39D ．3183、不等式0121≤+-x x 的解集为（ ）A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 C ．[)+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,121. D ．[)+∞⋃⎦⎤ ⎝⎛-∞-,121,4、三个数a ，b ，c 既是等差数列，又是等比数列，则a ，b ，c 间的关系为 （ ）A ．b c a b -=-B ．ac b =2C ．c b a ==D ．0≠==c b a5、△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若a 、b 、c 成等比数列，且c =2a ,则cos B 等于（ ）A.41 B.43C.42D.326、函数4(1)1y x x x =+>-的最小值是（ ） A ． 4 B. 5 C. 6 D. 7 7、右图给出一个“直角三角形数阵”：满足每一列成等差 数列；从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行 的公比相等，记第i 行第j 列的数为(,,)ij a i j i j N +≥∈， 则83a ＝（）A ．18 B ．14 C ．12D ． 1 8、数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列，且)(1*+∈-=N n a a b n n n ，若23-=b ，1210=b ，则=8a （ ）A ．0B ．3C ．8D ．11二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9、已知b a ,都是实数，那么“22b a >”是“b a >”的_________________条件. 10、等比数列{}n a 中,3127,14a a a =+=,则公比为 ____ .11、若0)2(22>--+k kx x 对一切R x ∈恒成立，则实数k 的取值范围是_____.12、设n S n n ⋅-+•••+-+-=-1)1(4321，则2012S = .13、设0>a ，0>b .若3是a 3与b3的等比中项，则ba 11+的最小值为________. 14、已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=L ，且25252(3)nn a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=L .三、解答题（共6小题，共80分）15、（本小题12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25cos25A =，3=•AC AB . （1）求ABC ∆的面积； （2）若1c =，求a 的值．16、（本小题12分）已知012=++mx x p 方程:有两个不等的负根；012442=+-+x m x q )(:方程无实根．若“q p 或”为真，“q p 且”为假，求m 的取值范围．17、(本小题14分)四棱锥ABCD P - 中，底面ABCD 是正方形，ABCD PA 面⊥，垂足为点A ，2==AB PA ，点N M ,分别是PB PD ,的中点. （1） 求证：ACM PB 平面//； （2） 求证：PAC MN 平面⊥； （3） 求四面体MBC A -的体积.18、（本小题14分）某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要 根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到 最大.已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查， 得到关于这两种产品的有关数据如下表：试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少?19、（本小题14分）在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C 的方程为228150x y x +-+=,直线l 的方程为2y kx =-.(1)若直线l 被圆C 所截得弦长为2，求直线l 的方程；(2)若直线l 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,求k 的最大值.20.（本小题14分）已知函数xx f )()(31=，等比数列}{n a 的前n 项和为c n f -)(，正项数列}{n b 的首项为c ，且前n 项和n S 满足n S －1-n S =n S +1-n S （2n ≥）. （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）证明数列是等差数列，并求nS；（3）若数列{}11+n n b b 前n 项和为n T ，问10002009n T >的最小正整数n 是多少? . （4）设,2nnn a b c =求数列{}n c 的前n 项和n P .普宁二中高二第一学期期中数学（理）试卷答案1---8：BCAD BBCB9、既不充分也不必要 10、121或- 11、)1,2(- 12、1006- 13、414、2n15、解：（1）∵531)552(212cos 2cos 22=-⨯=-=A A …………2分又),0(π∈A ， ∴54cos 1sin 2=-=A A ，…………3分 ∴3=bc A AC AB AC AB 53==•cos ||||， ∴5=bc ，…………5分 ∴ABC ∆的面积为：254521sin 21=⨯⨯=A bc …………6分 （2）由（Ⅰ）知5=bc ，又1=c ，∴5=b …………8分 ∴5232125cos 222=⨯-+=-+=A bc c b a …………12分16、解：若方程x 2＋mx ＋1=0有两不等的负根，则⎩⎨⎧>>-=∆042m m …………2分 解得m ＞2，即p ：m ＞2…………4分若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)＜0 …………6分 解得：1＜m ＜3，即q ：1＜m ＜3. …………8分 因“p 或q ”为真，所以p 、q 至少有一为真， 又“p 且q ”为假，所以p 、q 至少有一为假， 因此，p 、q 两命题应一真一假，即p 为真，q 为假或p 为假，q 为真. …………10分∴⎩⎨⎧<<≤⎩⎨⎧≥≤>312312m m m m m 或或解得：m ≥3或1＜m ≤2.…………12分17、证明：（1）连接AC ，BD ，记AC 与BD 的交点为O ，连接MO. ∵点O ，M 分别是BD ，PD 的中点 ∴MO//PB ，…………2分 又PB ⊄面ACM ，MO ⊂面ACM ∴PB//面ACM. …………4分 （2）∵PA ⊥面ABCD ∴PA ⊥BD …………5分 ∵底面ABCD 是正方形 ∴AC ⊥BD …………6分 又∵PA ∩AC=A∴BD ⊥面PAC …………7分在⊿PBD 中，点M ，N 分别是PD ，PB 的中点 ∴MN//BD …………8分 ∴MN ⊥面PAC …………9分 （3）∵h S V V ABC ABC M MBC A ••==--Δ31，且PA h 21= …………11分 ∴32)21()21(31=•••••=-PA AD AB V MBC A …………14分18、解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x 、y 台，总利润是P ，则P =6x +8y ，…………2分约束条件为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈≥≥≤+≤+Ny N x y x y x y x ,0,01101053002030…………6分可行域如图所示：y x P 86+=可化为P x y 8143+-=，可看作一组斜率为43-的直线，BCA POMN由图知直线y =－34x +18P 过点M 时，纵截距最大这时P 也取最大值，…10分 由⎩⎨⎧=+=+1101053002030y x y x 解得)9,4(M …………12分∴P max =6×4+8×9=96（百元）故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元…14分 19、解：（1）法一：（利用弦长公式L=2122122124)(1||1x x x x k x x k -+•+=-•+）设直线l 被圆C 所截得弦长为L ，直线l 与圆C 的两个交点分别为),(),,(2211y x y x由⎩⎨⎧=+-+-=0158222x y x kx y 消y ，得019)84()1(22=++-+x k x k …………2分 由韦达定理，得221221119,184k x x k k x x +=++=+ …………4分 由题意有L=22221194)184(1k k k k +•-++•+=2 …………6分化简得01442=+-k k 解得21=k …………8分 法二：（利用垂径定理L=222d r -）设直线l 被圆C 所截得弦长为L. 圆C 的方程可化为1)4(22=+-y x ，圆心为C )0,4(，半径为1=r ，…2分 设圆心C 到直线l 的距离为d ，则1|24|2+-=k k d ，…………4分由垂径定理可知，直线l 被圆C 所截得的弦长为L=222d r -故由题意，可得21|24|12222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--k k …………6分 化简得，21=k …………8分（2）∵圆C 的方程可化为:()2241x y -+=,∴圆C 的圆心为(4,0),半径为1.∵由题意,直线2y kx =-上至少存在一点00(,2)A x kx -,以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点;∴存在0x R ∈,使得11AC ≤+成立,即min 2AC ≤.…………10分 ∵min AC 即为点C 到直线2y kx =-,2≤,解得403k ≤≤.…………13分 ∴k 的最大值是43. …………14分 20解：（1）因为()1113a f c c =-=- ,()()221a f c f c =---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦29=-, ()()323227a f c f c =---=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ . 又数列{}n a 成等比数列，所以22134218123327a a c a ===-=-- 解得1c =；…………2分又公比2113a q a ==， 所以12112333n nn a -⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭*n N ∈；…………3分（2）11--+=-n n n n S S S S Θ ()2n ≥即111---+=+-n n n n n n S S S S S S ))(( ()2n ≥1=（2≥n ）…………5分又111===c b S∴数列构成一个首项为1，公差为1的等差数列，()111n n+-⨯=，∴2nS n=…………6分（3）由（2）已得2nS n=当2n≥时，()221121n n nb S S n n n-=-=--=-（*）又,111==Sb适合（*）式21nb n∴=-(*n N∈) …………8分)121121(21)12)(12(111+--=+-=+nnnnbbnnΘ∴14332211111+++++=nnn bbbbbbbbTΛ)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+--++-+-+-=nnΛ11122121nn n⎛⎫=-=⎪++⎝⎭；…………10分由1000212009nnTn=>+得10009n>，故满足10002009nT>的最小正整数为112. …………11分（4）.3)21(2nnnnnabc⋅-==…………12分∴nnnP3)21(3)5(3)3(3)1(32⨯-++⨯-+⨯-+⨯-=Λ①14323)21(3)23(3)5(3)3(3)1(3+⨯-+⨯-++⨯-+⨯-+⨯-=nnnnnPΛ②②—①得1323)21(32323232+⨯-+⨯++⨯+⨯+=nnnnPΛ.)()()(632232131313231112-⋅-=⨯-+--⨯+=++-nnnnn∴.33)1(1-⋅-=+nnnP…………14分。
【高二】2021年高二上册数学期中检测题(有答案)
【高二】2021年高二上册数学期中检测题（有答案）2021-2021学年度第一学期高二级数学科期中考试试卷本试卷分和非两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟.注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上.2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4、考生必须保持答题卡的整洁和平整.第一部分选择题(共 50 分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，则图中阴影部分表示的集合是A． B．C． D．2. “ ”是“ ”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件3. 下列对一组数据的分析，不正确的说法是A数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定.B.数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定C. 数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定D.数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定4. 已知向量满足，则实数值是A．或1 B. C. D. 或5.命题在上是增函数;命题若 ,则有:A. B. C. D.6.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为3的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为4、高为3的等腰三角形．则该儿何体的侧面积为A. B. C. 36 D.7. 执行右边的程序框图，若，则输出的A. B. C. D.8. 当，则的大小关系是A． B．C. D．9. 已知点，直线：，点是直线上的一点，若，则点的轨迹方程为A． B．C． D．10.若对任意实数 , 恒成立,则实数的取值范围是A. B. C. D.第二部分非选择题 (共 100 分)二．题：本大题共4小题, 每小题5分, 共20分. 把答案填在答卷的相应位置．11．已知椭圆，则椭圆的焦点坐标是＊12.数列是等差数列，，则前13项和 _*____13.设满足约束条件若目标函数的最大值为1,则正数满足的关系是___*_____, 的最小值是__*___14.定义在上的偶函数满足：，且在上是增函数，下面是关于的判断：（1）是周期函数；（2）在上是增函数；（3）在上是减函数；（4）的图象关于直线对称.则正确的命题序号是三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分12分）的面积是角的对边分别是 ,(1) 求的值；(2) 分别求的值.16．（本题满分12分）甲、乙、丙、丁四名广交会志愿者分在同一组.广交会期间，该组每天提供上午或下午共两个时间段的服务，每个时间段需且仅需一名志愿者.（1）如果每位志愿者每天仅提供一个时间段的服务，求甲、乙两人在同一天服务的概率；（2）如果每位志愿者每天可以提供上午或下午的服务，求甲、乙两人在同一天服务的概率.17.（本题满分14分）如图所示,四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是菱形，，为的中点，（1）求证：∥平面；（2）求证：；（3）(科)求三棱锥的体积.(3)(理科) 求直线与平面所成角的正切值.18. （本题满分14分）已知数列的前项和和通项满足 .(1)求数列的通项公式；(2)设 ,求数列的前项和 ,并证明 .19．（本题满分14分）已知圆（1）若直线 : 与圆有公共点，求直线的斜率的取值范围；（2）（科）若过的直线被圆C截得的弦长为，求直线的方程；（2）（理科）若斜率为1的直线被圆截得的弦满足（是坐标原点），求直线的方程.20．（本题满分14分）已知函数，（1）若函数满足，求实数的值；（2）若函数在区间上总是单调函数，求实数的取值范围；（3）若函数在区间上有零点，求实数的取值范围.2021-2021学年度第一学期高二级数学科期中试题答案一、选择题：CABA D AD C BB二、题：11. ; 12. 26 13. ；8 14.（1），（4）三、解答题15．（本题满分12分）15.解：（1）……3分……………… 6分（2）中，……… 8分代入解得…… 9分由余弦定理得：………11分………12分16．（本题满分12分）16.解（Ⅰ）从四个人中选出2个人去上午或下午服务（仅一段）是一个基本事件，……………1分，基本事件总数有：（画树状图（或列举法））（甲、乙），（甲、丙），（甲，丁），（乙、甲），（乙、丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丁），（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙）共12种情况，每种情况的发生都是等可能的，符合古典概型的条件……………………3分，其中甲乙在同一天服务有2种情况（乙、甲），（甲、乙），……………………4分，所以甲.乙两人在同一天服务的概率……………………6分.（未画树状图或列举的酌情扣1~2分，没有任何过程仅有答案者只记2分）（Ⅱ）从四个人中选出2个人(可以重复选同一个人)去上午或下午服务（一段或两段）是一个基本事件,…………1分，画树状图（或列举法）（甲、甲），（甲、乙），（甲、丙），（甲，丁），（乙、甲），（乙，乙），（乙、丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丙），（丙，丁），（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙），（丁，丁）共16种情况每种情况的发生都是等可能的，符合古典概型的条件……………………9分.“其中甲乙在同一天服务”有2种情况（甲、乙），（乙、甲），……………………10分.所以甲.乙两人在同一天服务的概率……………………12分.（未画树状图或列举的酌情扣1~2分，没有任何过程仅有答案者只记2分）17(本题满分14分)证明（1）连接AC交BD于为O，连接EO，∵E为PC的中点，O为AC的中点，在△PAC中，PA∥EO ，，PA∥平面BDE, ……………5分（2）则为的中点, 连接 ., . ……………6分是菱形， , 是等边三角形. ………7分………8分平面………9分. 平面, .……………10分（3）(科） ,是三棱锥的体高,……………14分（3）（理科） ,……………………………14分18．（本题满分14分）（1）当时，．…………3分当时，，………5分即,…………6分又所以数列是首项为公比为的等比数列, …………8分．…………9分（2）由（1）可知，所以．①① 3得．②………11分②-①得：…………12分…………13分．…………14分19.（本题满分14分）（1）直线与圆C有公共点，所以圆心到直线的距离（r=2），……2分………………5分两边平方，整理得………………7分（2）（科）设直线的斜率为k，则直线方程为y=k(x-2),即kx-y-2=0，………………8分由，………………9分两边平方，整理得：………………10分解得或均在上，………………12分直线方程为：或即：或…………14分(2)（理科）存在，解法1：设直线的方程：，设………………8分则，因为①………………10分把代入整理得（*）………………12分将上式代入①得即得满足（*）………………13分所以存在直线，方程是，………………14分解法2：设直线的方程：，………………8分设AB的中点为D，则又，………………9分则CD的方程是，即，………………10分联立与得………………11分圆心到直线的距离………………12分整理得得，满足………………13分所以存在直线，方程是，………………14分20. （本题满分14分）(1) 知函数关于直线对称……………1分……………………2分（2）① 在区间上单调递减……………………3分② 即时，在区间上单调递增……………………4分③ 即时，在区间上单调递减……………………5分④ 在区间上单调递减……………………6分综上所述，或，在区间上是单调函数…………………7分（3）解法1：当时，函数的零点是，在区间上没有零点当时，…………………8分①若在区间上有两个相等的实根，则且即当则，，………9分②若在区间上有一个实根，则，即得…………………10分③若在区间上有两个的不同实根，则有或解得或空集…………12分综上，检验的零点是0，2，其中2 ，符合；综上所述…………………14分解法2当时，函数在区间上有零点在区间上有解在区间上有解，问题转化为求函数在区间上的值域……8分设，，则……9分设，可以证明当递减，递增事实上，设则，由，得，，即．……10分所以在上单调递减．同理得在上单调递增，……11分又故……12分． 13分故实数的取值范围为．……14分感谢您的阅读，祝您生活愉快。
2020-2021学年广东省普宁市一中高二上期中文科数学试卷
2020-2021学年广东省普宁市一中高二上期中文科数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}22,0,2,{|20}A B x x x =-=--=,则A B ⋂=（ ） A ．∅ B ． C ．{}0 D ．{}2-2．“1-<x ”是“02>+x x ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．131i i+=-（ ） A 12i + B ．12i -+ C ．12i - D ．12i --4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,8374,2S a a ==-,则9a = （ ）A ．6-B ．4-C ．2-D ．25．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．108cm 3B ．100cm 3C ．92cm 3D ．84cm 36．若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+012y x y x ,则y x z +=2的最大值和最小值分别为 （ ）A ．4和3B ．4和2C ．3和2D ．2和07．若直线y kx k =-交抛物线24y x =于A ，B 两点，且线段AB 中点到y 轴的距离为3，则||AB =（ ）A ．12B ．10C ．8D ．68．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n 后，()10,20,S n ∈输出的那么的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．69．设函数()sin(2)6f x x π=+，则下列结论正确的是（ ）A 、()f x 的图象关于直线x 3π=对称 B 、()f x 的图象关于点(,0)6π对称C 、()f x 的最小正周期为π，且在[0,]12π上为增函数 D 、把()f x 的图象向右平移12π个单位，得到一个偶函数的图象 10．设()f x 与()g x 是定义在同一区间[],a b 上的两个函数，若函数()()y f x g x =-在[],x a b ∈上有两个不同的零点，则称()f x 和()g x 在[],a b 上是关联函数，[],a b 称为关联区间，若()234f x x x =-+与()2g x x m =+在[]0,3上是关联函数，则m 的取值范围是（ ）A ．9,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦C ．(],2-∞-D ．[]1,0-二、填空题11．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=，则λ=________．12．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，“若2x 的观测值为6．635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系”这句话的意思：①是指“在100个吸烟的人中，必有99个人患肺病②是指“有1%的可能性认为推理出现错误”；③是指“某人吸烟，那么他有99%的可能性患有肺病”；④是指“某人吸烟，如果他患有肺病，那么99%是因为吸烟”。
广东省普宁市建新中学2020至2021学年高二上学期期末考试数学真题
普宁市建新中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题学校 姓名 座位号 分数一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1. 若向量(12)λ=，，a 与(212)=-，，b 的夹角的余弦值为89，则λ=（ ）A ．2B ．2-C ．2-或255D ．2或255-2. 在ABC ∆中, 30,45, 2.A B BC ∠=︒∠=︒=则AC 边长为 ( )B.C.D. 3. 等比数列｛a n ｝的前3项的和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为（ ）A ．－2B ．1C ．－2或1D ．2或－14. 集合{}2|230A x x x =--<,{}2|B x x p =<,若A B ⊆则实数P 的取值范围是（ ）A. 13p p ≤-≥或B. 3p ≥C. 9p ≥D. 9p > 5. 一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b +的值是（ ）A. 10B. -10C. 14 D . -14 6. 在各项都为正数的等比数列{}n a 中，若569,a a =则3132310log log log a a a +++=（ ）.A 12B 10C 8D 32log 5+7. 二次不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数的条件是（ ）（A ）⎩⎨⎧>∆>00a (B) ⎩⎨⎧<∆>00a (C)⎩⎨⎧>∆<00a (D)⎩⎨⎧<∆<00a8. 有下列三个命题,其中真命题为（ ）①“若0x y += , 则,x y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1q ≤ ,则220x x q ++=有实根”的逆否命题； A ．①②B ．②③C ．①③D ．③9. 如图所示长方体ABCD —1111A B C D 中，12AA AB ==，AD=1，点E 、F 、G 分别是11DD AB CC 、、的中点，则异面直线1A E 和GF 所成的角为( )G1A. arccos5 B. 4π C. arccos 5 D. 2π 10. 已知椭圆2212x y +=，过动点P 的直线PA,PB 分别与椭圆有且只有一个交点，交点为A 、B ，且PA PB ⊥，则动点P 的轨迹是（ ）A.圆B.双曲线C.椭圆D.抛物线 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11.双曲线42x －2y ＋64＝0上一点P 到它的一个焦点的距离等于1，则点P 到另一个焦点的距离等于12.等比数列{}n a 中，696,9a a ==，那么3a =_______13.函数24(1)1x x y x x -+=>-的最小值是 14.若点A 的坐标是（3，2），F 是抛物线y 2=2x 的焦点，点P 在抛物线上移动，为使得|PA|+|PF|取得最小值，则P 点的坐标是三、解答题：本大题共5小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.已知在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c,4315,7,120==︒=∠∆ABC S a A ，求b ，c 及.B ∠（12分）16. 已知椭圆C ：)0( 12222>>=+b a b y a x 的离心率为23，过坐标原点O 且斜率为21的直线 l 与C 相交于A 、B ，102||=AB ． ⑴求a 、b 的值；⑵若动圆1)(22=+-y m x 与椭圆C 和直线 l 都没有公共点，试求m 的取值范围．（12分）17．2a ,5a 是方程2x 02712=+-x 的两根, 数列{}n a 是公差为正的等差数列，数列{}n b 的前n 项和为n T ,且n T 211-=n b ()*∈N n . (1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(2)记n c =n a n b ,求数列{}n c 的前n 项和n S .（14分）18. 某工厂生产A 、B 两种桌子，每张桌子需木工和油漆两道工序完成。
2020-2021学年广东省揭阳市普宁梅林中学高二数学理联考试题含解析
2020-2021学年广东省揭阳市普宁梅林中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知奇函数在区间[0，+∞)上单调递增，则满足以<0的菇的取值范围是A．(，+∞) B．(，+∞) C．(-∞，) D．(-∞，)参考答案：C2. 执行如右下图所示的程序框图，若输出的值为，则输入的最大值是( )参考答案：D略3. 下列四个命题中的真命题是()A．x∈N，x2≥1 B．x∈R，x2＋3<0C．x∈Q，x2＝3 D．x∈Z，使x5<1参考答案：D 4. 已知函数在区间上不是单调函数,则的范围为（）A． B． C．D．参考答案：D略5. P为双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左右焦点，且，直线PF2交y轴于点A，则△AF1P的内切圆半径为（）A．2 B．3 C．D．参考答案：A【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】本题先根据直角三角形内切圆半径得到边长的关系，结合双曲线定义和图形的对称性，得到本题结论．【解答】解：∵PF1⊥PF2，△APF1的内切圆半径为r，∴|PF1|+|PA|﹣|AF1|=2r，∴|PF2|+2a+|PA|﹣|AF1|=2r，∴|AF2|﹣|AF1|=2r﹣4，∵由图形的对称性知：|AF2|=|AF1|，∴r=2．故选：A．【点评】本题考查了双曲线的定义、图形的对称性，本题难度不大，属于基础题．6. 设命题p：?x∈R，x2+1＞0，则￢p为( )A．?x0∈R，x02+1＞0 B．?x0∈R，x02+1≤0C．?x0∈R，x02+1＜0 D．?x∈R，x2+1≤0参考答案：B【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】题设中的命题是一个特称命题，按命题否定的规则写出其否定即可找出正确选项【解答】解∵命题p：?x∈R，x2+1＞0，是一个特称命题．∴￢p：?x0∈R，x02+1≤0．故选B．【点评】本题考查特称命题的否定，掌握其中的规律是正确作答的关键．7. 如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H、则以下命题中，错误的命题是（）A．点H是△A1BD的垂心 B．AH=C．AH的延长线经过点C1 D．直线AH和BB1所成角为45参考答案：D8. 下列抛物线中，开口最小的是A． B． C． D．参考答案：A略9. 如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是（）A. EF与BB1垂直B. EF与BD垂直C. EF与CD异面D. EF与A1C1异面参考答案：D10. 若椭圆的离心率为，则实数m等于（）A、或B、C、D、或参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 五个数1，2，3，4，a的平均数是3，这五个数的标准差是s,则as=____ .参考答案：512. 若存在一个实数t，使得成立，则称t为函数的一个不动点，设函数（为自然对数的底数），定义在R上的连续函数满足，且当时，，若存在，且为函数一个不动点，则实数a的最小值为________。
广东省普宁市2020-2021学年高二上学期期末数学试题(wd无答案)
广东省普宁市2020-2021学年高二上学期期末数学试题(wd无答案)一、单选题(★★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★) 2. 命题“ ，”的否定是（）A．，B．，C．，D．，(★) 3. 下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是A．B．C．D．(★★) 4. 已知 a, ,则“ ”是“ ”的什么条件A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(★★) 5. 《九章算术》是我国古代的一本数学名著.全书为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题.在第六章“均输”中有这样一道题目：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“现有五个人分5钱，每人所得成等差数列，且较多的两份之和等于较少的三份之和，问五人各得多少？”在此题中，任意两人所得的最大差值为多少？（）A．B．C．D．(★★) 6. 若，则方程与所表示的曲线可能是图中的（）A．B．C．D．(★★) 7. 正四面体的棱长为，，分别为，中点，则的长为（）A．B．C．D．(★★) 8. 已知抛物线，过其焦点且斜率为的直交抛物线于､两点，若线段的中点的横坐标为，则该抛物线的准线方程为（）A．B．C．D．二、多选题(★★) 9. 已知，，下列不等式不成立的是（）A．B．C．D．(★★★) 10. 下列说法正确的是（）A．已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的倍，并且过点，则椭圆的方程为B．等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于，两点，，则的实轴长为C．平面内到点，距离之差的绝对值等于的点的轨迹是双曲线D．设是抛物线上的一个动点，是抛物线的焦点，若，则的最小值为(★★★) 11. 在中，下列说法正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则为钝角三角形D．存在满足三、单选题(★★★★) 12. 如图，棱长为的长方体中，为线段上动点(包括端点).则以下结论正确的为（）A．三棱锥中，点到面的距离为定值B．过点平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为C．直线与面所成角的正弦值的范围为D．当点和重合时，三棱锥的外接球体积为四、填空题(★★★) 13. 在中，，，，则的外接圆半径为___________.(★★★) 14. 正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）的底面边长为，侧棱长为，则与所成的角为___________.(★★★) 15. 已知数列的前项和，且满足，则___________ .(★★★) 16. 设、为椭圆的左、右顶点，若在椭圆上存在异于、的点，使得，其中为坐标原点，则椭圆的离心率的取值范围是_____. 五、解答题(★★) 17. 已知函数，当时，不等式的解集为.（1）求，的值；（2）若函数，求不等式的解集.(★★★) 18. 已知等差数列与正项等比数列满足，且，20，既是等差数列，又是等比数列.（1）求数列和的通项公式；（2）在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成求解.若______________，求数列的前项和.(★★★★★) 19. 某地需要修建一条大型输油管道通过240公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的工程费用为400万元，铺设距离为公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为万元．设余下工程的总费用为万元．(1)试将表示成的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使最小，其最小值为多少？(★★★) 20. 已知：如图所示的几何体中，正方形所在平面垂直于平面，四边形为平行四边形，为上一点，且平面，.（1）求证：平面平面；（2）当时，求平面与平面所成二面角的正弦值.(★★) 21. 在中，角，，所对的边分别为，，，，的面积．（1）求角；（2）求的取值范围．(★★★★) 22. 已知：椭圆的左右焦点为､，椭圆截直线所得线段的长为，三角形的周长为.（1）求的方程；（2）若，为上的两个动点，且.证明：直线过定点，并求定点的坐标.。