高一数学必修5等比数列知识点总结

高一数学必修5等比数列知识点总结

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

等差数列与等比数列

一、基本概念与公式：

1、等差（比）数列的定义；

2、等差（比）数列的通项公式：

等差数列d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】 等比数列(1)11-=n n q a a ; (2)m n m n q a a -=

.(其中1a 为首项、m a 为第m 项，0≠n a ;),*∈N n m

3、等差数列的前n 项和公式：2)(1n n a a n S +=

或2

)1(1d

n n na S n -+= 等比数列的前n 项和公式：当q=1时，S n =n a 1 (是关于n 的正比例式)；

当q≠1时，S n =q q a n --1)

1(1=,K q K n -⋅ S n =q

q a a n --11

二、有关等差 、比数列的几个特殊结论

等差数列、① d=n a －1-n a ② d =

11--n a a n ③ d =m

n a a m

n --

等比数列{}n a 中，若),,,(*∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a •=• 注意：由n S 求n a 时应注意什么？

1n =时，11a S =；

2n ≥时，1n n n a S S -=-.

2、等比数列{}n a 中的任意“等距离”的项构成的数列仍为等比数列．

3、公比为q 的等比数列{}n a 中的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、

S 4m - S 3m 、……（S m ≠0）仍为等比数列，公比为m q .

4、若{}n a 与{}n b 为两等比数列，则数列{}n ka 、{}

k

n a 、{}n n b a •、⎭

⎬⎫⎩⎨⎧n n b a

（0≠k ，k 为常数）仍成等比数列． 5、若{}n a 为等差数列，则{}

n a c (c>0)是等比数列．

6、若{}n b ()0>n b 为等比数列，则{}n c b log (c>0且c ≠1) 是等差数列．

7、在等比数列{}n a 中： （1）若项数为n 2，则

q S S =奇

偶 （2）若项数为12+n ，则

q S a S =-偶

奇1

8、数列{}n a 是公比不为1的等比数列⇔数列{}n a 前n 项和S n =,(1,0)n A q A q A ⋅-≠≠ 9、等比数列的判定方法

（1）、a n =a n －1·q（n≥2），q 是不为零的常数，a n －1≠0{a n }是等比数列.

（2）、a n 2

=a n －1·a n ＋1（n≥2, a n －1,a n ,a n ＋1≠0）{a n }是等比数列.（3）、a n =c·q n

（c ，q 均是不为零的常数）{a n }是等比数列.

10、等比数列的前n 项和的性质

（1）、若某数列前n 项和公式为Sn=a

n －1

(a≠0,±1)，则{a n }成等比数列.

等差数列

等比数列

定义 d a a n n =-+1

)0(1

≠=+q q a a n

n 递推公式 d a a n n +=-1；md a a n m n +=- q a a n n 1-=；m n m n q a a -=

通项公式 d n a a n )1(1-+=

11-=n n q a a （0,1≠q a ） 中项

2

k

n k n a a A +-+=

（0,,* k n N k n ∈） )

0( k n k n k n k n a a a a G +-+-±=（0,,* k n N k n ∈）

前n 项

和

)(2

1n n a a n

S +=

d

n n na S n 2

)

1(1-+=

()

⎪

⎩⎪

⎨⎧≥--=--==)2(111)1(111q q q

a a q

q a q na S n n n 重要性质

)

,,,,(*q p n m N q p n m a a a a q p n m +=+∈+=+)

,,,,(*q p n m N q p n m a a a a q p n m +=+∈⋅=⋅

（2）、若数列{a n}是公比为q的等比数列，则S n＋m=S n＋q n·S m. （3）、在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)，则

（4）、S n,S2n－S n,S3n－S2n成等比数列.