圆锥曲线典型例题讲解1

圆锥曲线解答题专题1

例1：设1F 、2F 分别是椭圆14

22

=+y x 的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ⋅的最大值和最小值; （Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围

解：（Ⅰ）易知2,1,a b c ===

所以(

))

12,F F ，设(),P x y ，则

(

))

22

12,,,3PF PF x y x y x y ⋅=---=+-()22

21

133844

x x x =+--=-

因为[]2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ⋅有最小值2-

当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ⋅有最大值1

(4)

（Ⅱ）显然直线0x =不满足题设条件，可设直线()()1222:2,,,,l y kx A x y B x y =-，

联立22

2

1

4

y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得：22

14304k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭

∴121222

43

,1144k x x x x k k +=-⋅=

++

由()22

14434304k k k ⎛⎫∆=-+⨯=-> ⎪⎝⎭得：2k <或2k >-

(6)

又0

0090cos 000A B A B OA OB <∠<⇔∠>⇔⋅> ∴12120

OA OB x x y y ⋅=+>

(8)

又()()()2

121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++2

2223841144

k k k k -=++++

2211

4k k -+=

+ ∵

22231

01

144

k k k -++>++

，即24k < ∴22k -<< ......+10分 故由①、②得22k -<<-或

22k <<

(12)

练习1:椭圆方程为)0(122

22>>=+b a b

y a x 的一个顶点为)2,0(A ，离心率36=e 。

（1）求椭圆的方程；

（2）直线l ：2-=kx y (0)k ≠与椭圆相交于不同的两点N M ,满足

0,=⋅=，求k 。

例2：已知椭圆22

22b

y a x +（a ＞b ＞0）的离心率36=e ，过点A （0，-b ）和B （a ，0）的直

线与原点的距离为2

3

．

（1）求椭圆的方程．

（2）已知定点E （-1，0），若直线y ＝kx ＋2（k ≠0）与椭圆交于C 、D 两点．问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点?请说明理由． 解析：（1）直线AB 方程为：bx -ay -ab ＝0．

依题意⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=

+=233622b

a a

b a

c ， 解得 ⎩⎨⎧==13b a ，

∴ 椭圆方程为 1322

=+y x ．

......+5分 （2）假若存在这样的k 值，由⎩⎨⎧=-++=0

3322

2y x kx y ，得)31(2k +09122

=++kx x ． ∴ 10)31(36)12(2

22>>+-=∆k k k ，即． ① 设1(x C ,)1y 、2(x D ，)2y ，

则2

2

1221319

3112k x x k k x x +=+-=+⋅， ② 而4)(2)2)(2(21212

2121+++=++=⋅x x k x x k kx kx y y ． (7)

要使以CD 为直径的圆过点E （-1，0），当且仅当CE ⊥DE 时，即0=•→

→

DE CE ， 即0)1)(1(2121=+++x x y y

∴ 05))(1(2)1(21212

=+++++x x k x x k ③ (9)

将②式代入③整理解得67=k ．经验证，67

=k ，使①成立． (11)

综上可知，存在6

7

=

k ，使得以CD 为直径的圆过点E (12)

练习2：设椭圆)0(12222>>=+b a b x a y 的离心率为2

1

，F 1

为上焦点，且过点），（3621

（1）求椭圆的方程.

（2）设过椭圆的上顶点A 的直线L 与椭圆交于点B(B 不在y 轴上），垂直于L 的直线与L

交于点M ，与x 轴交于点H ，若||||,011MA OM H

F B F ==•→

→

且,求直线L 的方程。

例3：设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB

相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点． （Ⅰ）若6ED DF =，求k 的值；

（Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值．

解：（Ⅰ）依题设得椭圆的方程为

2

214

x

y +=， 直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>．

2分 如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <，

且12x x ，满足方程22

(14)4k x +=，故21x x =-=． ①

由6ED DF =知01206()x x x x -=-，得021215(6)77x x x x =+==；

由D 在AB 上知0022x kx +=，得02

12x k =+．所以212k =+，

化简得2

242560k k -+=，解得23k =或38

k =． ··············· 6分

（Ⅱ）根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB 的距离分别为

1h ==2h ==..7分

又AB =

=，所以四边形AEBF 的面积为:

121()2S AB h h =+1

5

2

5(14k =

+==≤..10分 当21k =，即当1

2

k =

时，上式取等号．所以S 的最大值为． ······· 12分

练习3：已知动点A 、B 分别在x 轴、y 轴上，且满足|AB|=2，点P 在线段AB 上，且 ).(是不为零的常数t PB t AP =设点P 的轨迹方程为c 。

（1）若t=1,求点P 的轨迹方程C ；

（2）若t=2，点M 、N 是C 上关于原点对称的两个动点（M 、N 不在坐标轴上），点Q

坐标为),3,2

3(求△QMN 的面积S 的最大值。

练习4：已知椭圆C 中心在原点，焦点在坐标轴上，直线3

2

y x =与椭圆C 在第一象限内的交点是M ，点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆C 的右焦点2F ，另一个焦点是1F ，且

129

4

MF MF ⋅=。

（1）求椭圆C 的方程；

（2）直线l 过点(1,0)-，且与椭圆C 交于,P Q 两点，求2F PQ ∆的内切圆面积的最大值