全国卷一专用2019年高考理科数学总复习 解三角形
2019年高考试题：正余弦定理解三角形
2019年高考试题训练一：2019年高考理科数学新课标Ⅰ卷第17题：ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。
设C B A C B sin sin sin )sin (sin 22-=-。
（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若c b a 22=+，求C sin 。
本题解析：（Ⅰ）本题目是边角转化和余弦定理四项式综合的经典题型。
半角转化：方程中每一项都有内角的正弦，每一项中正弦次数相加相等，可以把每一项中的正弦全部转化为对边，保持次数不变。
CC B B C B A C B 2222sin sin sin 2sin sin sin sin )sin (sin +-⇒-=-CB AC B C B A sin sin sin sin sin sin sin sin 2222=-+⇒-=bc a c b =-+⇒222。
根据余弦定理得到：32122cos 222π=⇒==-+=A bc bc bc a c b A 。
（Ⅱ）本题目是边角转化和一个角的正弦等于另外两个角和的正弦综合的经典题型。
边角转化：方程中每一项都有边，每一项中的边次数相加相等，可以把每一项中的边全部转化为对角的正弦，保持次数不变。
C B A c b a sin 2sin sin 222=+⇒=+。
C C A C C A C A B sin 21cos 23cos sin cos sin )sin(sin +=+=+=C C C C C sin 23cos 2326sin 2sin 21cos 23232=+⇒=++⨯⇒6sin 3cos 3sin 3cos 36-=⇒=+⇒C C C C 2sin 3cos -=⇒C C 2cos sin 3=-⇒C C 2)6sin(22)cos 6sin sin 6(cos 2=-⇒=-⇒πππC C C 4622)6sin(πππ=-⇒=-⇒C C 或125436πππ=⇒=-C C 或1211π=C 。
2019年高考理科数学(全国1卷)答案详解(附试卷)
P 20 5 64 16
PS：其实可以对题目进行抽象：即有 A、B 两种字母，填 6 个位置，求恰有 3 个 A 的概率.这样更
容易求解.
【答案】A
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7．（平面向量）已知非零向量 a，b 满足 | a | 2 | b | ，且 (a b) b ，则 a 与 b 的夹角为
头顶至肚脐的长度小于 68.07cm，所以身高小于 68.07+68.07÷0.618=178.21cm. 所以选答案 B.
【答案】B
5．（函数）函数
f
(x)
sin x x cos x x2
在[, ] 的图像大致为
A．
B．
C．
D．
【解析】∵
f (x)
sin x x cos x x2
A． (x+1)2 y 2 1 B． (x 1)2 y2 1 C． x2 ( y 1)2 1 D． x2 ( y+1)2 1
【解析】由题意得 z i x ( y 1)i ，∵ z i =1 ，∴ x2 ( y 1)2 1 ，即 x2 ( y 1)2 1
【答案】D
6．（概率统计）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻 组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦 恰有 3 个阳爻的概率是
5
A．
16
11
B．
32
21
C．
32
11
D．
16
【解析】所有重卦的个数为 26 64 ，恰有 3 个阳爻的个数为 C36C33 20 ，因此恰有 3 个阳爻的概率为
2019版 第1部分 专题1 第2讲 解三角形
第2讲解三角形高考统计·定方向(对应学生用书第13页)■核心知识储备·1．正弦定理及其变形在△中，A)＝B)＝C)＝2R(R为△外接圆的半径)．变形：a＝2 A，A＝，a∶b∶c ＝A∶B∶C等．2．余弦定理及其变形在△中，a2＝b2＋c2－2 A；变形：b2＋c2－a2＝2 A，A＝，a2＝(b＋c)2－2(1＋A)．3．三角形面积公式S△＝C＝A＝B．■高考考法示例·【例1】(1)(2019·全国卷Ⅱ)在△中，＝，＝1，＝5，则＝()A．4B．C．D．2(2)在△中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝2a，B－A＝C，则B＝()A．B．C．D．(3)(2019·全国卷Ⅰ)△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2 C( B＋A)＝c.①求C；②若c＝，△的面积为，求△的周长．(1)A(2)A[(1)因为C＝22－1＝2×－1＝－，所以由余弦定理，得2＝2＋2－2·C＝25＋1－2×5×1×＝32，所以＝4，故选A．(2)由B－A＝C及正弦定理可得b2－a2＝，即b2＝a2＋，∵c＝2a，∴a2＋c2－b2＝a2＋4a2－a2－a×2a＝3a2，故B＝＝＝，又∵0＜B＜π，∴B＝B)＝＝.故选A．](3)[解]①2 C( B＋A)＝c，由正弦定理得：2 C( A B＋B A)＝C，即2 C (A＋B)＝C，∵A＋B＋C＝π，A，B，C∈(0，π)，∴(A＋B)＝C＞0，∴2 C＝1，C＝，∵C∈(0，π)，∴C＝.②由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2·C，7＝a2＋b2－2·，(a＋b)2－3＝7，S＝·C＝＝，∴＝6，∴(a＋b)2－18＝7，a＋b＝5.∴△周长为a＋b＋c＝5＋.1．在△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝B，则△为() A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形D[由题得A＝B，∴2A＝2B，∴ 2A＝2B，∵0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，2A＝2B，∴2A＝2B或2A＋2B＝π，∴A＝B，或A＋B＝，∴△是等腰三角形或直角三角形. 故选D．] 2．(2019·全国卷Ⅰ)在平面四边形中，∠＝90°，∠A＝45°，＝2，＝5.(1)求∠；(2)若＝2，求．[解](1)在△中，由正弦定理得＝.由题设知，45°)＝，所以∠＝.由题设知，∠＜90°，所以∠＝＝.(2)由题设及(1)知，∠＝∠＝.在△中，由余弦定理得2＝2＋2－2···∠＝25＋8－2×5×2×＝25.所以＝5.题型2与三角形有关的最值(范围)问题(对应学生用书第14页)■核心知识储备·1．△中的常见的不等关系(1)内角A，B，C满足：A＋B＋C＝π，0＜A，B，C＜π；(2)三边a，b，c满足：b－c＜a＜b＋c；(3)三角形中大边对大角等．2．函数y＝x(或y＝x)的有界性、单调性、在区间[a，b]上的值域的求法等．3．不等式：a2＋b2≥2，≤等．■高考考法示例·►角度一长度的最值(范围)问题【例2－1】(2019·石家庄一模)在△中，＝2，C＝，则＋的最大值为()A．B．2 C．3 D．4D[由正弦定理，得C)＝B)＝A)＝π6)＝4，又∵A＋B＝，∴＋＝4 B＋4 A＝4 B＋4＝4 B＋4B＋32B))＝2 B＋10 B＝4φ＝3 5)).故当B＋φ＝时，＋的最大值为4.故选D．]【教师备选】(2019·安庆二模)在锐角△中，A＝2B，则的取值范围是()A．(－1,3)B．(1,3)C．(，) D．(1,2)D[＝B)＝B)＝3 B)＝3－42B，因为△是锐角三角形，所以错误!得＜B＜⇒2B∈.所以＝3－42B∈(1,2)．故选D．]►角度二面积的最值(范围)问题【例2－2】在△中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝C ＋B．(1)求B；(2)若b＝2，求△面积的最大值．[解](1)由题意及正弦定理得A＝C＋B①，又A＝π－(B＋C)，故A ＝(B＋C)＝C＋C②，由①，②和C∈(0，π)得B＝B，又B∈(0，π)，所以B＝.(2)△的面积S＝B＝.由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2 .又a2＋c2≥2，故≤，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△面积的最大值为＋1.【教师备选】在△中，＝，D为中点，＝1，则△面积的最大值为．[在△中，由余弦定理得A＝＝－，则A＝)，所以△的面积为S＝b2A＝b2·)＝＋2569)≤，所以△的面积的最大值为.]1．在锐角△中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－b)( A＋B)＝(c－b)·C．若a＝，则b2＋c2的取值范围是()A．(3,6] B．(3,5)C．(5,6] D．[5,6]C[由(a－b)( A＋B)＝(c－b) C及正弦定理可得，(a－b)·(a＋b)＝(c－b)·c，即b2＋c2－a2＝，∴A＝＝，又A∈，∴A＝，∵B)＝C)＝π3)＝2，∴b2＋c2＝4(2B＋2C)＝4[2B＋2(A＋B)]＝42B,2)＋1－[2(A＋B)]2))＝2B－2B＋4＝2＋4.∵△是锐角三角形，∴B∈，∴2B－∈，∴＜≤1，∴5＜b2＋c2≤6.故选C．]2．在△中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，点D满足＝2，若B＝，＝3，则2a＋c的最大值为．6[在△中，如图所示，由点D满足＝2，∴点D在的延长线上且|＝2|，由余弦定理得c2＋(2a)2－2×2×＝32，∴(2a＋c)2－9＝3×2.∵2≤，∴(2a＋c)2－9≤(2a＋c)2，即(2a＋c)2≤36，∴2a＋c≤6，当且仅当2a＝c，即a＝，c＝3时，2a＋c取得最大值，最大值为6.]题型3与解三角形有关的交汇问题(对应学生用书第15页)■核心知识储备·解三角形的问题常以平面几何图形、平面向量等知识为载体，体现知识交汇命题的特点，题设条件常涉及有关的几何元素：如角平分线、中线、高、三角形的内切圆等．其中角平分线问题的求解要注意三个方面：(1)对称性，(2)角平分线定理，(3)三角形的面积；中线问题的求解，注意邻角的互补关系．■高考考法示例·【例3】(1)在△中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，若－|＝3，·＝6，则△面积的最大值为．(2)如图2-1-5，在四边形中，∠＝，∶＝2∶3，＝，⊥．图2-1-5①求∠的值；②若∠＝，求的长．(1)[因为－|＝3，所以＝3，又因为·＝6，所以C＝6，∴C＝由余弦定理得9＝a2＋b2－2 C＝a2＋b2－12≥2－12.∴≤.所以S＝C＝C)＝＝＝≤－36)＝.故面积的最大值为.](2)[解]①∵∶＝2∶3，∴可设＝2k，＝3k.又＝，∠＝.∴由余弦定理，得()2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2 ，解得k＝1，∴＝2，＝3，∠＝＝＝.②∵⊥，∴∠＝∠＝，∴∠＝，∵＝，∴＝＝.【教师备选】(1)在△中，·＝－|＝3，则△面积的最大值为()A．B．C．D．3(2)(2019·湖北八校联考)如图2-1-6，在平面四边形中，⊥，＝1，＝，∠＝，∠＝.图2-1-6①求∠；②求的长．(1)B[设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵·＝－|＝3，∴A＝a＝3.又A＝≥1－＝1－A,2)，∴A≥，∴0< A≤，∴△的面积S＝A＝A≤×＝，故△面积的最大值为.](2)[解]①在△中，由余弦定理得：2＝2＋2－2·B，即2＋－6＝0，解得＝2或＝－3(舍)，由正弦定理得：＝B)⇒∠＝)＝.②由①有：∠＝∠＝，∠＝＝，所以D＝＝×＋×＝.由正弦定理得：＝D)⇒＝D)＝＝.1．(2019·大连双基测试)如图2-1-7所示，在圆内接四边形中，＝6，＝3，＝4，＝5，则四边形的面积为．图2-1-76[如图所示，连接，因为为圆内接四边形，所以A＋C＝180°，则A＝－C，利用余弦定理得A＝，C＝，解得2＝，所以C＝－.由2C＋2C＝1，得C＝，因为A＋C＝180°，所以A＝C＝，S四边形＝S△＋S△＝×5×6×＋×3×4×＝6.]2．(2019·濮阳二模)如图2-1-8，在△中，点D在边上，＝3，A＝，∠＝，＝13.图2-1-8(1)求B的值；(2)求的长．[解](1)在△中，A＝，A∈(0，π)，所以A＝A)＝)＝.同理可得，∠＝.所以B＝[π－(A＋∠)]＝－(A＋∠)＝∠－∠＝×－×＝.(2)在△中，由正弦定理得＝A)∠＝×＝20.又＝3，所以＝＝5.在△中，由余弦定理得，＝B)＝＝9.[高考真题]1.(2019·全国卷Ⅲ)△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△的面积为，则C＝()A．B．C．D．C[根据题意及三角形的面积公式知C＝，所以C＝＝C，所以在△中，C＝.]2.(2019·全国卷Ⅲ)在△中，B＝，边上的高等于，则A＝()A．B．C．－D．－C[如图，设＝3，则边上的高＝1，又B＝，∴＝1，＝；同理＝2，＝.在△中，由余弦定理得A＝＝＝－.]3.(2019·全国卷Ⅲ)△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＋A＝0，a＝2，b＝2.(1)求c；(2)设D为边上一点，且⊥，求△的面积．[解](1)由已知可得A＝－，所以A＝.在△中，由余弦定理得28＝4＋c2－4，即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)，c＝4.(2)由题设可得∠＝，所以∠＝∠－∠＝.故△面积与△面积的比值为＝1.又△的面积为×4×2∠＝2，所以△的面积为.[最新模拟]4．(2019·烟台诊断性测试)已知△的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝1，c＝，且C＋A＝，则a＝()A．1或B．1或C．1或2 D．或C[由C＋A＝，B( C＋A)＝B＝，又b＝1，所以B＝，又c>b，所以B角一定是锐角，所以B＝.再由π6)＝C)，C＝，C＝或C＝，当C＝，A＝，a＝2，当C＝，为等腰三角形，所以a ＝1，选C．]5．(2019·甘肃诊断性考试)设△的面积为S，若·＝1，A＝2，则S＝() A．1 B．2C．D．A[若·＝1，即A＝1，A＝2⇒A＝⇒＝，A＝.故S＝××A＝1.]6．(2019·四平市高三质量检测)在△中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边且∠A＝60°，若S△＝且2 B＝3 C，则△的周长等于()A．5＋B．12C．10＋D．5＋2A[在△中，∠A＝60°，∵2 B＝3 C，故由正弦定理得2b＝3c，再由S△＝＝·A，得＝6，∴b＝3，c＝2.再由余弦定理得a2＝b2＋c2－2·A＝7，所以a＝，故△的周长为a＋b＋c＝5＋，故选A．]。
2019年高考数学一轮复习 第3单元 三角函数、解三角形 第21讲 二倍角公式与简单的三角恒等变换 理
,
sin������sin������
=
-
1 15
,
所以 tan αtan
β=csoins
������sin ������ ������cos ������
=-14.
课前双基巩固
4.[教材改编] 已知 sin θ=35,θ 为第二象限角,则 sin 2θ 的值
为
.
[答案] -2245
[解析] ∵sin θ=35,θ 为第二象限角,
1 + sin6 + 1-sin6 + 2 (1 + sin6)(1-sin6)= 2 + 2cos6= 2 + 2(2cos23-1)= 4cos23
=-2cos 3.
(2)f(x)=1-sin2(x+α)+cos(x+α)sin(x+α)=1-1-cos
2(������ 2
+������)+12sin
5
教学参考
■ [2017-2016]其他省份类似高考真题
1.[2017·山东卷] 已知 cos x=3,则 cos
4
2x= ( )
A.-1
B.1
4
4
C.-18
D.18
[答案] D [解析] 由二倍角公式得 cos 2x=2cos2x-1=2×196-1=18,故选 D.
教学参考
2.[2016·浙江卷] 已知 2cos2x+sin
课前双基巩固
知识聚焦
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式 S2α:sin 2α= 2sin αcos α
.
(2)公式 C2α:cos 2α=
cos2α-sin2α
2019年高考理数考前核心考点解读冲刺攻略专题8： 解三角形 Word版含答案【7页】
核心考点解读——解三角形正弦定理及其应用（II ） 余弦定理及其应用（II ） 三角形面积公式的应用（II ） 解三角形的实际应用（II ）1.涉及本单元的选择题、填空题一般利用正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，考查三角形边、角、面积等的相关计算，同时注重与三角函数的图象与性质、基本不等式等的综合.2.从考查难度来看，本单元试题的难度中等，主要考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用，高考中主要以三角形的方式来呈现，解决三角形中相关边、角的问题.3.从考查热点来看，正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用是高考命题的热点，要能够熟练应用公式进行三角形的边、角求值，三角形形状的判断及面积的相关计算等.注意三角形本身具有的性质的应用.1.正弦定理及其应用(1)2sin sin sin a b cR A B C===表示三角形中对边与对角正弦值的比值关系及与其外接圆的直径之间的等量关系.(2)能够利用正弦定理进行边、角计算：已知两角和一边求其他的边、角；已知两边和一对角求其他的边、角等，此时要根据“大边对大角”的性质注意三角形解的问题.(3)注意利用正弦定理实现边、角的互化，如“a b =”可转化为“sin sin A B =”等，转化过程中要注意平衡，如“22a b =”不可转化为“2sin 2sin A B =”. 2.余弦定理及其应用(1)2222cos a b c bc A =+-表示三角形中三边与任意角之间的等量关系. (2)能够利用余弦定理进行边、角计算：已知三边求角；已知两边和一夹角求对边；已知两边和一对角求其他的边、角等.此时利用余弦定理可以通过解方程清楚了解三角形的解的问题. 3.三角形的面积公式及其应用 (1)三角形的面积公式：111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===，利用三角形的两边及一夹角求面积.(2)注意三角形的面积公式与正弦定理、余弦定理之间的联系 4.解三角形的应用通过正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式所建立起来的边、角的等量关系，不仅要能够求解三角形的边与角，还要能够求解三角形的面积问题，考查三角形的形状问题，利用公式、定理转化，建立等边三角形、等腰三角形、直角三角形等的判定条件，确定三角形的形状. 5.解三角形的实际应用解三角形的实际应用主要是实际问题中的测量问题，如测量角度问题，仰角、俯角、方位角、视角等；测量距离问题；测量高度问题等.此类问题的关键在于通过构造三角形，应用正弦定理、余弦定理进行求解测量. 6.解三角形与其他知识的综合(1)解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“22,,a b ab a b ++”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题.(2)注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等.1．（2017高考新课标Ⅰ，理17）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A. （1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求ABC △的周长.2．（2017高考新课标Ⅱ，理17）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2BA C +=． （1）求cosB ；（2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b ．3.（2017新课标III ，理17）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，C ．已知sin 30A A =，a 7,b =2. （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC,求△ABD 的面积.4.（2016高考新课标II ，理13）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b = .5.（2016高考新课标III ，理8）在ABC △中，π4B ，BC 边上的高等于13BC ,则cos AA 310B 10C ．10D ．3106.(2016高考新课标I ，理17)错误!未找到引用源。
2019高考数学真题(理)分类汇编三角函数及解三角形含答案解析
三角函数及解三角形专题1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ． 【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】tan255°=A ．−2B ．−C ．2D ．【答案】D【解析】tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)︒=︒+︒=︒=︒+︒=tan 45tan 301tan 45tan 30︒+︒-︒︒12+==+故选D. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式2sin cos ++x xx x计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．3．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A −b sin B =4c sin C ，cos A =−14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【解析】由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得2222214131cos ,,,422424b c a c c c A bc bc b +---==∴=-∴=3462b c ∴=⨯=，故选A ． 【名师点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．先利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，再结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 4．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若x 1=4π，x 2=43π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．32C ．1D ．12【答案】A【解析】由题意知，()sin f x x ω=的周期232()44T ωπππ==-=π，解得2ω=．故选A ． 【名师点睛】本题考查三角函数的极值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．利用周期公式，通过方程思想解题．5．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15BCD 【答案】B 【解析】2sin 2cos21αα=+，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，sin 5α∴=，故选B ．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．6．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．5【答案】B【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=， 得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2πx ∈，0π2πx ∴=、或．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3，故选B ．【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．令()0f x =，得sin 0x =或cos 1x =，再根据x 的取值范围可求得零点.7．【2019年高考北京卷文数】设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】0b =时，()cos sin cos f x x b x x =+=，()f x 为偶函数；()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，即()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-，cos sin cos sin x b x x b x +=-，得sin 0b x =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.【名师点睛】本题较易，注重基础知识、逻辑推理能力的考查.根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -恒成立进行判断.8．【2019年高考北京卷文数】如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A ．4β+4cos βB ．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β【答案】B【解析】设圆心为O ，如图1，连接OA ，OB ，AB ，OP ，则22AOB APB ∠=∠=β，所以22242OABS ⨯==扇形ββ，因为ABP AOB OAB S S S S =+-△△阴影扇形，且AOB OAB S S △扇形，都已确定， 所以当ABP S △最大时，阴影部分面积最大.观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时（如图2），阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π−β，面积S 的最大值为ABP AOB OAB S S S S =+-△△阴影扇形=4β+S △POB + S △POA =4β+12|OP ||OB |sin （π−β）+12|OP ||OA |sin （π−β）=4β+2sin β+2sin β=4β+4 sin β，故选B. 【名师点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键是观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.9．【2019年高考天津卷文数】已知函数()sin()(0,0,||π)f x A x A ωϕωϕ=+>><是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x .若π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．−2B ．C D ．2【答案】C【解析】∵()f x 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=； ∵()f x 的最小正周期为π，2ππ,T ∴==ω∴2ω=，∴1()sin sin ,2g x A x A x ==ω又π()4g =2A =，∴()2sin 2f x x =，3π()8f = 故选C.【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数()g x ，结合函数性质逐步得出,,A ωϕ的值即可.10．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________． 【答案】4-【解析】23π()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x =+-=--=--+ 23172(cos )48x =-++，1cos 1x -≤≤，∴当cos 1x =时，min ()4f x =-，故函数()f x 的最小值为4-．【名师点睛】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于cos x 的二次函数，从而得解.注意解答本题的过程中，部分考生易忽视1cos 1x -≤≤的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误．11．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 【答案】3π4【解析】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠∴sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=【名师点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．本题容易忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在(0,π)范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．12．【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ .【答案】10【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-. πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭222tan 1tan =2tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式222212==22110⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式=22112()1()33[]=1210()13⨯-+--⨯-+综上，πsin 2410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.13．【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=,5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以BD =.ππcos cos()cos cos sin sin 44ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在ABD △中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征. 14．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．【答案】（1）B =60°；（2）. 【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=．因为sin A ≠0，所以sinsin 2A CB +=． 由180A BC ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=． 因为cos02B ≠，故1sin 22B =，因此B =60°． （2）由题设及（1）知△ABC的面积ABC S =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2tan 2C c A a C C C ︒-===+．由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，从而82ABC S <<△． 因此，△ABC面积的取值范围是⎝⎭．【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查V ABC 是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题. 15．【2019年高考北京卷文数】在△ABC 中，a =3，–2b c =，cos B =12-． （1）求b ，c 的值； （2）求sin （B +C ）的值． 【答案】（1）7b =，5c =；（2【解析】（1）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2221323()2b c c =+-⨯⨯⨯-．因为2b c =+，所以2221(2)323()2c c c +=+-⨯⨯⨯-． 解得5c =．所以7b =． （2）由1cos 2B =-得sin 2B =．由正弦定理得sin sin 14a A Bb ==． 在ABC △中，B C A +=π-．所以sin()sin B C A +==【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．【2019年高考天津卷文数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（1）求cos B 的值； （2）求sin 26πB ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）14-；（2）716+-. 【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =， 又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =． 由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅．（2）由（1）可得sin B ==，从而sin 22sin cos B B B ==，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B πππ⎛⎫+=+=⨯= ⎪⎝⎭． 【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．17．【2019年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．【答案】（1）c =（2.【解析】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =.所以c =（2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos B =.因此πsin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.18．【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）． （1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+.【解析】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.'因为PB ⊥AB ， 所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知10AD ==， 从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置. 由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，1CQ =此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3.因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34.因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-， 直线PB 的方程为42533y x =--.所以P （−13，9），15PB ==.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3），所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-剟.在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =<=， 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.【名师点睛】本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.19．【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）[1-+． 【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+，故2sin cos 0x θ=，所以cos 0θ=．又[0,2π)θ∈，因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y f x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭π123x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因此，函数的值域是[1+． 【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力.20．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，则cos2=αAB ．13C ．13- D．3-【答案】B【解析】因为角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，所以cos3==-α， 因此21cos 22cos 13=-=αα.故选B. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于常考题型.解答本题时，先由角α的终边过点(1)P ，求出cos α，再由二倍角公式，即可得出结果.。
2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)(解析版)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A. }{43x x -<<B. }{42x x -<<-C. }{22x x -<<D.}{23x x <<【答案】C 【解析】 【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2.设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A. 22+11()x y +=B. 22(1)1x y -+=C. 22(1)1x y +-=D.22(+1)1y x +=【答案】C 【解析】 【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x ，y ）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C ．【详解】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-1,z i -则22(1)1x y +-=．故选C ． 【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．3.已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D.b c a <<【答案】B 【解析】 【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c 【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.300.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．4.（12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190cm【答案】B 【解析】 【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．【详解】设人体脖子下端至腿根的长为x cm ，肚脐至腿根的长为y cm ，则26261105x x y +==+，得42.07, 5.15x cmy cm ≈≈．又其腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm ．故选B ． 【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．5.函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A.B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．【详解】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f πππππ++==>2()01f πππ=>-+．故选D ． 【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A.516B.1132C.2132D.1116【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2中情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．7.已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查利用平面向量数量积数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥得出向量,a b 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以c o s θ=22||12||2a b b a b b ⋅==⋅，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ． 【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．8.如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A. A =12A+ B. A =12A+C. A =112A+D.A =112A+【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择．【详解】执行第1次，1,122A k ==≤是，因为第一次应该计算1122+=12A +，1k k =+=2，循环，执行第2次，22k =≤，是，因为第二次应该计算112122++=12A +，1k k =+=3，循环，执行第3次，22k =≤，否，输出，故循环体为12A A=+，故选A ．【点睛】秒杀速解 认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为12A A=+．9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A. 25n a n =-B. 310n a n =-C. 228n S n n =-D.2122n S n n =- 【答案】A 【解析】 【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ．【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ． 【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．10.已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A. 2212x y +=B. 22132x y +=C. 22143x y +=D.22154x y += 【答案】B 【解析】 【分析】可以运用下面方法求解：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n=+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得2n =．22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ． 【详解】如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1A F B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得2n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．11.关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]ππ-有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A. ①②④ B. ②④C. ①④D. ①③【答案】C 【解析】 【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2s i n fx x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()s i n s i n 2s i nfx xx x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N 时，()2s i n fx x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()s i n s i n 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．12.已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，PB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A. B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】先证得PB ⊥平面PAC ，再求得PA PB PC ===从而得P ABC -为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】解法一:,PA PB PC ABC ==∆为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点， //EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，PAB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，2R == 3442338R V R =∴=π=⨯=π，故选D ．解法二:设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆为边长为2的等边三角形，CF ∴=又90CEF ∠=︒1,2CE AE PA x ∴===AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D Q 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x +-+∴=，22121222x x x ∴+=∴==，PA PB PC ∴======2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，2R ∴==R ∴=，344338V R ∴=π=π⨯=，故选D .【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高考理科数学复习总结解三角形大题
1. （2020 全国Ⅱ理 18）AB C 中，s in 2A －s in 2B －s in 2C=s inBs inC.（1）求 A ；（2）若 BC=3，求 AB C 周长的最大值. 2【答案】（1） ；（2）3 2 3 .3 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出 cos A 的形式，进而求得 A ； 2（2）利用余弦定理可得到A C AB AC AB 9 ，利用基本不等式可求得 AC AB 的最大值，进而得到结果.【详解】（1）由正弦定理可得： BC 2 AC 2 AB 2 A C AB ，AC 2 AB 2 BC 2 1cos A ，2AC AB 22A0,A，3（2）由余弦定理得： BC 2 AC 2 AB 2 2A C AB cos A AC 2 AB 2 AC AB 9 ， 2即AC ABAC AB 9 .2AC ABAC AB （当且仅当 AC AB 时取等号），22AC AB3 2229 AC AB AC A B AC ABAC AB ，2 4解得： AC AB 2 3 （当且仅当 AC AB 时取等号），ABC 周长 L AC AB BC 3 2 3 ，ABC 周长的最大值为3 2 3 .【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、 三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中， 结合基本不等式构造不等关系求得最值.2. (2019 全 国 Ⅰ 理 17) △ABC 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 设(s in B s inC)2 s in 2 A s in Bs inC ．（1）求 A ；2a b 2c （2）若 ，求 s inC ．解：（1）由已知得s in2B s in 2C s in 2 A s in Bs inC ，故由正弦定理得b 2 c 2a bc ．2 b 2 c a 2 21由余弦定理得 cos A ．2bc 2因为 0A 180 ，所以 A 60．（2）由（1）知 B 120C ，由题设及正弦定理得 2 s in As in 120 C2sinC， 6 3 12cosC s inC 2s inC ，可得 cos C 6． 即2 2 222由于 0C 120 ，所以 s in C 60，故 2s inC s in C 6060s in C 6c o s 6c os C 6s i n 66 2． 43. （2019 全国Ⅲ理 18）△AB C 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，已知A Cas inbs in A ． 2（1）求 B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且 c=1，求△ABC 面积的取值范围． AC解析（1）由题设及正弦定理得s in As ins in Bs in A ． 2AC因为s in A 0 ，所以s ins in B ． AC 2 B B B B由 A B C 180 ，可得s inc os ，故 cos 2s in cos ． 2 2 2 2 2B B 1因为 cos0，故s in ，因此 B 60． 2 2 23（2）由题设及（1）知△ABC 的面积 S △ABCa ． 4s in 120 Ccs in A s inC 3 1由正弦定理得a．s inC2tanC 2由于△AB C 为锐角三角形，故 0 A 90，0 C 90 ，由（1）知 A C 120 ，13 3所以30 C 90，故a 2 ，从而 ． S △ABC 2 8 23 3 因此，△AB C 面积的取值范围是 , ． 8 24. （2018 全国卷Ⅰ）在平面四边形 ABC D 中 ，A D C 90 ，A 45AB 2 BD 5，，．(1)求 cos ADB ； (2)若 D C 2 2 ，求 BC ． B D AB【解析】(1)在△AB D 中，由正弦定理得． ． s in A s in ADB5 2 2由题设知，，所以s in ADBs in 45 s in ADB 52 23由题设知， ADB 90，所以cos ADB 1． 25 52(2)由题设及(1)知， cos BD C s in ADB 在△BC D 中，由余弦定理得． 5B C 2 BD 2 DC 2 2 BD D C c os BD C2258 252 2所以 BC 5．25． 55. （2017 新课标Ⅰ） ABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，已知 ABC 的a2 面积为3sin A(1)求s in Bs inC ；(2)若 6 c os BcosC 1， a 3，求 ABC 的周长．1 a 21 a【解析】（1）由题设得 acs in B ，即 cs in B2 3sin A 2 3s in A1 s in A由正弦定理得 s inC sin B．2 3sin A2故s in Bs inC ．31 2 （2）由题设及（1）得 cos (B C) cos B cosC s i n Bs inC6 3 122π π 所以 B C，故 A ． 3 31 a2由题设得 bcs in A，即bc 8． 2 3sin A由余弦定理得b2c 2b c 9 ，即(b c ) 2 3bc 9，得b c 33 ． 故△ABC 的周长为3 33 ．6. （2017 新课标Ⅲ） AB C 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，已知s in A 3 c os A 0， a 2 7 ，b 2 ． (1)求 c ；(2)设 D 为 BC 边上一点，且 A DAC ，求 ABD 的面积．2【解析】（1）由已知得 tan A 3 ，所以 A． 3 2 在 ABC 中，由余弦定理得 解得 c 6 （舍去）， c 4 28 4 c 24ccos ，即 c 2 +2c 24=0 ．3（2）有题设可得 CA D，所以BA D BAC CA D ． 2 61 2AB AD s in6 故 ABD 面积与 AC D 面积的比值为 1． 1A C AD 21又 ABC 的面积为 42 s in BAC 2 3 ，所以 ABD 的面积为 3 ．27. （2017 新课标Ⅱ） AB C 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，B已知sin(A C) 8s in (1)求 cos B2 ．2(2)若 a c 6 ， ABC 面积为 2，求b ．B【解析】由题设及 AB C得s in B 8sin 2，故s in B 4(1 c os B) ． 2上式两边平方，整理得17cos 2B 32 c os B 15 0 ，15解得 cos B 1（舍去）， cos B． 1715 17 81 4（2）由 cos B 得s in B ，故 SABCac s inB ac ． 17172 172又 S ABC 2，则 ac ．由余弦定理及 ac 6得b 2 a 2c 2 2accos B (a c ) 2ac(1cos B)217 15) 4 ．36 2 (12 17所以b 2 ．8. （2016 年全国 I ）△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知2cosC(acos B +bcos A) c .（I ）求 C ；3 3（I I ）若 c 7,△ABC 的面积为 ，求△ABC 的周长． 2【解析】(1) 2cosC acosB b cos Ac由正弦定理得： 2cosC s i n A cos B s in B c o s A s inC2cosC s i n A Bs inC∵ A B C π ， A 、B 、C 0，π∴ s in A Bs inC 01∴ 2cosC 1， cosC 2∵ C0，ππ∴C ．3⑵ 由余弦定理得： c 2 a 2b 2abc osC 2 127 a 2b 2ab2 2a b 3ab 71 3 3 32 S ab s inC ab2 4 ∴ ab 6 2∴ a b 18 7a b 5∴△ABC 周长为 a b c 5 7。
2019年全国统一高考数学试卷(理科)真题解析(解析版)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B =A. (-∞，1)B. (-2，1)C. (-3，-1)D. (3，+∞)【答案】A 【解析】 【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，{}{}2,3,1A x x x B x x ==<或，则{}1A B x x ⋂=<．故选A ．【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目，难度偏易．不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2.设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C 【解析】 【分析】本题考查复数的共轭复数和复数在复平面内的对应点位置，渗透了直观想象和数学运算素养．采取定义法，利用数形结合思想解题．【详解】由32,z i =-+得32,z i =--则32,z i =--对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ．【点睛】本题考点为共轭复数，为基础题目，难度偏易．忽视共轭复数的定义致错，复数与共轭复数间的关系为实部同而虚部异，它的实部和虚部分别对应复平面上点的横纵坐标．3.已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅= A. -3 B. -2 C. 2 D. 3【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面向量数量积的坐标运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法，利用转化与化归思想解题．【详解】由(1,3)BC AC AB t =-=-，211BC ==，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．学生易在处理向量的法则运算和坐标运算处出错，借助向量的模的公式得到向量的坐标，然后计算向量数量积．4.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设r Rα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立α的方程，解方程、近似计算．题目所处位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，注重了阅读理解、数学式子的变形及运算求解能力的考查． 【详解】由rRα=，得r R α= 因为121223()()M M M R r R r r R +=++，所以12122222(1)(1)M M M R R R ααα+=++，即543232221133[(1)]3(1)(1)M M αααααααα++=+-=≈++，解得3α=所以3.r R α==【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错．5.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差【答案】A 【解析】 【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案． 【详解】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x <<<<<．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x ，后剩余2348x x x x <<<，中位数仍为5x ，∴A 正确． ②原始平均数1234891()9x x x x x x x =<<<<<，后来平均数234817x x x x x '=<<<（）平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确③()()()22221119q S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦ ()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣⎦由②易知，C 不正确．④原极差91=x -x ，后来极差82=x -x 显然极差变小，D 不正确． 【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.6.若a >b ，则 A. ln(a −b )>0B. 3a <3bC. a 3−b 3>0D. │a │>│b │【答案】C 【解析】 【分析】本题也可用直接法，因为a b >，所以0a b ->，当1a b -=时，ln()0a b -=，知A 错，因为3xy =是增函数，所以33a b >，故B 错；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，知C 正确；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错．【详解】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ．【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．7.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行 C. α，β平行于同一条直线 D. α，β垂直于同一平面 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．【详解】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是//αβ的充分条件，由面面平行性质定理知，若//αβ，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是//αβ的必要条件，故选B ．【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ”此类的错误．8.若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，即可解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，故选D ．【详解】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2pp p -=，解得8p =，故选D ．【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．9.下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是 A. f (x )=│cos 2x │ B. f (x )=│sin 2x │ C. f (x )=cos│x │ D. f (x )= sin│x │【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择．【详解】因为sin ||y x =图象如下图，知其不是周期函数，排除D ；因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ，作出cos2y x =图象，由图象知，其周期为2π，在区间单调递增，A 正确；作出sin 2y x =的图象，由图象知，其周期为2π，在区间单调递减，排除B ，故选A ．【点睛】利用二级结论：①函数()y f x =的周期是函数()y f x =周期的一半；②sin y x ω=不是周期函数；10.已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A.15B.5C. D.【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 【详解】2sin 2cos21α=α+，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭．sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，sin α∴=B ．【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．11.设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 A.B. C. 2 D.【答案】A 【解析】 【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2cOA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．e ∴=A ．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．12.设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A. 9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C. 5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D. 8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】(0,1]x ∈时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________. 【答案】0．98. 【解析】 【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=． 【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．14.已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________.【答案】-3【解析】 【分析】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案． 【详解】因为()f x 是奇函数，且当0x <时，()ax f x e -=-．又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 28a e --=-，两边取以e 为底的对数得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3π． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．15.V ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则V ABC 的面积为__________.【答案】【解析】 【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查． 【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=， 即212c =解得c c ==-所以2a c ==11sin 222ABC S ac B ∆==⨯= 【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．【答案】 (1). 共26个面. (2). 1. 【解析】 【分析】第一问可按题目数出来，第二问需在正方体中简单还原出物体位置，利用对称性，平面几何解决． 【详解】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18826+=个面．如图，设该半正多面体的棱长为x ，则A B B E x ==，延长BC 与FE 交于点G ，延长BC 交正方体棱于H ，由半正多面体对称性可知，BGE ∆为等腰直角三角形，,21)122BG GE CH x GH x x x ∴===∴=⨯+==，1x ∴==．【点睛】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键．立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形．三、解答题：共70分。
近几年高考数学卷“解三角形”专题分析
＝槡２３犮，而根据题目条件知犪＝２犮，结合图形可得犆犇 ＝
犅犆－犅犇＝３ ２犮，那么由题目条件有犫＝６．在Ｒｔ△犃犇犆
（ ） （ ） 中，利用勾股定理可得
２
槡２３犮 ＋
３ ２犮
２＝３６，化简解Fra bibliotek得犮２
＝１２，则
△犃犅犆
的面积犛
＝
１ ２
·犪·犃犇
＝
１ ２
·
２犮·槡２３犮＝槡２３犮２ ＝６槡３．故填答案：６槡３． 点评：解决本题的常规思维是借助余弦定理加以
教学
２０２０年４月 新颖试题
参谋
犫 ２
＝犮，则有
犅犇
＝槡２２犪．在
Ｒｔ△犆犇犅
中，可得ｃｏｓ犅
＝
角三角形来直观处理其中的边与角的关系问题，易于 操作，直观形象．
槡２，则 ２
犅
＝４５°，即
∠犅犆犇
＝４５°，所 以
ｓｉｎ犆
＝
ｓｉｎ（∠犃犆犇 ＋∠犅犆犇）＝ｓｉｎ（３０°＋４５°）＝ｓｉｎ３０°ｃｏｓ４５°
＋ｃｏｓ３０°ｓｉｎ４５°＝
１ ２
×
槡２ ２
槡３ ＋２
×
槡２ ２
＝槡２４＋槡６．
点评：解决本 题 第 （２）问 的 常 规 思 维 是 借 助 条 件
的转化与 正 弦 定 理 的 应 用，利 用 整 体 思 维，并 结 合 三
角恒等变换公式来求解对应角的正弦值，学生处理起
来要有比较高的逻辑推理能力与思维习惯．而利用题 目条件对具体的三角形作高，把一般性的三角形问题 转化为直 角 三 角 形，利 用 平 面 几 何 知 识 来 处 理，思 维 简单易操作，破解过程直观形象，处理起来方向性高， 目的性强．
2019年三年高考数学(理)真题分类解析：专题11解三角形
高考数学精品复习资料2019.5专题11解三角形考纲解读明方向考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题掌握20xx山东,9;20xx浙江,14;20xx天津,15;20xx北京,15;20xx课标全国Ⅱ,13;20xx天津,3;20xx天津,13选择题填空题★★★2.正、余弦定理的应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题掌握20xx课标全国Ⅱ,17;20xx课标全国Ⅲ,17;20xx江苏,18;20xx课标全国Ⅲ,8;20xx山东,16;20xx浙江,16;20xx湖北,13解答题★★★分析解读1.利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面几何图形中有关量的问题,需要综合应用两个定理及三角形有关知识.2.正弦定理和余弦定理的应用比较广泛,也比较灵活,在高考中常与面积或取值范围结合进行考查.3.会利用数学建模思想,结合三角形的知识,解决生产实践中的相关问题.高考全景展示1．【理数全国卷II】在中，，，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.详解：因为所以，选 A.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.2．【浙江卷】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sin B=___________，c=___________．【答案】3点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.3．【全国卷Ⅲ理】的内角的对边分别为，，，若的面积为，则A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得。
专题 三角函数及解三角形(解析版)
2，π）单调递增5B．3D．专题三角函数及解三角形1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=sinx+x在[-π,π]的图像大致为cosx+x2A．B．C．D．2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间（π③f(x)在[-π,π]有4个零点其中所有正确结论的编号是A．①②④C．①④3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以④f(x)的最大值为2B．②④D．①③π2为周期且在区间(π4，π2)单调递增的是A．f(x)=|cos2x|C．f(x)=cos|x|4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，B．f(x)=|sin2x|D．f(x)=sin|x|π2)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=5A．15C．3255 5．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数f(x)=sin（ωx+个零点，下述四个结论：①f(x)在（0,2π）有且仅有3个极大值点②f(x)在（0,2π）有且仅有2个极小值点π5）(ω＞0)，已知f(x)在[0,2π]有且仅有5④ ω 的取值范围是[ ， )【2π ，且 g ⎛ ⎫⎪= 2 ，则 f ⎛ ⎪= = - ，则 sin 2α + ⎪ 的值是 ▲ . ⎛ αtan + ⎪【 B b c③ f (x )在（ 0, π 10）单调递增12 295 10其中所有正确结论的编号是A ．①④C ．①②③B ．②③D ．①③④6． 2019 年高考天津卷理数】已知函数 f ( x ) = A s in(ω x + ϕ )( A > 0, ω > 0,| ϕ |< π) 是奇函数，将 y = f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g (x )．若 g (x )的最小正周期为A ． -2C ． 2⎝ 4 ⎭ ⎝ 8 ⎭π 3π ⎫ B ． - 2D ． 27．【2019 年高考北京卷理数】函数 f （x ）=sin 22x 的最小正周期是__________．8．【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】 △ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b , c .若 b = 6, a = 2c, B = π3△ABC 的面积为_________．，则9．【2019 年高考江苏卷】已知tan α 2 ⎛ π ⎫π ⎫ 3 ⎝ 4 ⎭⎝ 4 ⎭10．【2019 年高考浙江卷】在△ABC 中， ∠ABC = 90︒ ， AB = 4 ， BC = 3，点 D 在线段 AC 上，若∠BDC = 45︒ ，则 BD = ___________， cos ∠ABD = ___________．11．【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，设(sin B - sin C )2 = sin 2 A - sin B sin C ．（1）求 A ；（2）若 2a + b = 2c ，求 sinC ．12． 2019 年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC 的内角 A ， ，C 的对边分别为 a ， ， ，已知 a sin（1）求 B ； A + C2b sin A．（2）求 sin2B + ⎪ 的值．（△2）若 ABC 为锐角三角形，且 c △=1，求 ABC 面积的取值范围．13．【2019 年高考北京卷理数】在△ABC 中，a =3，b −c =2，cosB = -（1）求 b ，c 的值；（2）求 sin （B –C ）的值．1 2 ．14．【2019 年高考天津卷理数】在 △ABC 中，内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b , c ．已知 b + c = 2a ，3c s in B = 4a sin C ．（1）求 cos B 的值；⎛ ⎝π⎫ 6⎭15．【2019 年高考江苏卷】在△ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．（1）若 a =3c ，b = 2 ，cosB = 2 3，求 c 的值；（2）若sin A要求：线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分)]2+[f(x+)]2的值域．【cos Bπ=，求sin(B+)的值．a2b216．【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划．．．．别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．17．【2019年高考浙江卷】设函数f(x)=sinx,x∈R.（1）已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数，求θ的值；（2）求函数y=[f(x+ππ12418．重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点P(-2，1)，则cos2α=3B．C．-1tan α-⎪=20．【广东省韶关市2019届高考模拟测试（4月）数学文试题】已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的相，将函数图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象，则g(x)= C的对边，若△ABC的面积为S，且43S=(a+b)2-c2，则sin C+⎪=A．22133D．-22319．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学试题】已知c osα=-4，α∈(-π,0)，则5⎛π⎫⎝4⎭1A．B．77C．-17D．-7π6邻对称轴之间的距离为ππ26A．sin(x+C．cos2xπ3)πB．sin(2x+)3πD．cos(2x+)321．【河南省郑州市2019届高三第三次质量检测数学试题】已知函数f(x)=A s in(ωx+ϕ)，A>0,ω>0,ϕ<π的部分图象如图所示，则使f(a+x)-f(a-x)=0成立的a的最小正值为2A．C．π12π4B．D．π6π322．【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试数学试题】在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，⎛π⎫⎝4⎭4D ．【（2）当 x ∈ [0, ] 时，不等式 c < f ( x ) < c + 2 恒成立，求实数 c 的取值范围．【 =A ．1B ．22C ． 6 - 26 + 2423．【山东省烟台市 2019 届高三 3 月诊断性测试（一模）数学试题】在△ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 a = 1 ， 3 sin A cos C + ( 3 sin C + b ) cos A = 0 ，则角 A =A ．C ．2π3 π 6B ．D ．π 3 5π 624． 广东省韶关市 2019 届高考模拟测试（4 月）数学试题】在 △ABC 中，a 、b 、c 分别是内角 A 、 B 、C 的对边，且 3b cos A = sin A(a cos C + c cos A) .（1）求角 A 的大小；（2）若 a = 2 3 ， △ABC 的面积为5 3 4，求 △ABC 的周长．25． 北京市昌平区 2019 届高三 5 月综合练习（二模）数学试题】已知函数 f ( x ） cosx( 3 sin x - cos x)+π（1）求 f ( ) 的值；3π21 2.【解析】由 f (- x ) = sin(- x) + (- x) 2 1 + 2 = 4 + 2π > 1, f (π) = 排除 A ．又 f ( ) = ( )2π 2 -1 + π2 ， π ）单调递增答 案1．【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】函数 f(x)= sinx + xcosx + x 2在 [-π, π] 的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D- sin x - x== - f ( x ) ，得 f ( x ) 是奇函数，其图象关于原点对称， cos(- x ) + (- x ) cos x + x 2π π 2 π22π> 0 ，排除 B ，C ，故选 D ．【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得f ( x ) 是奇函数，排除 A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．2．【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数 f ( x ) = sin | x | + | sin x | 有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间（π③f(x)在 [-π, π] 有 4 个零点 其中所有正确结论的编号是A ．①②④C ．①④④f(x)的最大值为 2B ．②④D ．①③【答案】C【解析】Q f (- x ) = sin - x + sin (- x ) = sin x + sin x = f (x ) , ∴ f (x )为偶函数，故①正确．当π⎛π<x<π时，f(x)=2sin x，它在区间 ,π⎪单调递减，故②错误．作出y=sin2x的图象如图3，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递减，排除B，⎫2⎝2⎭当0≤x≤π时，f(x)=2sin x，它有两个零点：0,π；当-π≤x<0时，f(x)=sin(-x)-sin x =-2sin x，它有一个零点：-π，故f(x)在[-π,π]有3个零点：-π,0,π，故③错误．当x∈[2kπ,2kπ+π](k∈N*)时，f(x)=2sin x；当x∈[2kπ+π,2kπ+2π](k∈N*)时，f(x)=sin x-sin x=0，又f(x)为偶函数，∴f(x)的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选C．【名师点睛】本题也可画出函数f(x)=sin x+sin x的图象（如下图），由图象可得①④正确．3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以A．f(x)=|cos2x|C．f(x)=cos|x|π2为周期且在区间(B．f(x)=|sin2x|D．f(x)=sin|x|π4，π2)单调递增的是【答案】A【解析】作出因为y=sin|x|的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D；因为y=cos x=cos x，周期为2π，排除C；作出y=cos2x图象如图2，由图象知，其周期为πππ，在区间(，)单调递增，A正确；242πππ242故选A．图12 )，2sin2α=cos2α+1，则 sin α=5B ．3D ． 【 解 析 】 Q 2sin 2α = cos2 α +1 ， ∴ 4sin α ⋅ cos α = 2cos 2 α .Q α ∈ 0, ⎪ ,∴ cos α > 0 ， sin α > 0,∴2sin α = cos α ，又sin 2α + cos 2α = 1 ，∴ 5sin 2 α = 1,sin 2α = ，又sin α > 0 ，∴ s in α =图 2图 3【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养，画出各函数图象，即可作出选择．本题也可利用二级结论：①函数 y = f ( x ) 的周期是函数 y = f ( x ) 周期的一半；② y = sin ω x 不是周期函数.4．【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】已知 α∈(0，πA ．1C ．3【答案】B552 55⎛ ⎝ π⎫ 2 ⎭15 5 5，故选 B ．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为 1 关系得出答案．④ω的取值范围是[，)ππkπ-④当f(x)=sin（ωx+）=0时，ωx+=kπ（k∈Z），所以5，所以当k=5时，5π-12296π-5≤2π，当k=6时，x=5105>2π，解得5．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数f(x)=sin（ωx+个零点，下述四个结论：①f(x)在（0,2π）有且仅有3个极大值点②f(x)在（0,2π）有且仅有2个极小值点π5）(ω＞0)，已知f(x)在[0,2π]有且仅有5③f (x)在（0,π10）单调递增1229510其中所有正确结论的编号是A．①④C．①②③B．②③D．①③④【答案】D【解析】①若f(x)在[0,2π]上有5个零点，可画出大致图象，由图1可知，f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点.故①正确；②由图1、2可知，f(x)在(0,2π)有且仅有2个或3个极小值点.故②错误；π55x=ω因为f(x)在[0,2π]上有5个零点，x=ωππω≤ω<，③函数f(x)=sin（ωx+）的增区间为：-+2kπ<ωx+<+2kπ，2k-π+2k⎪π10⎭10<x<⎝⎭.7⎫综上可得，f(x)在 0,⎝10⎭【最小正周期为2π，且g ⎪=2，则f ⎪=又g(x)=A s inωx,∴T=42，∴A=2，故④正确.ππππ5252⎛⎛3⎫⎪⎝ωω取k=0，当ω=1271时，单调递增区间为-π<x<π，52482973当ω=时，单调递增区间为-π<x<π，102929⎛π⎫⎪单调递增.故③正确.所以结论正确的有①③④.故本题正确答案为D.【名师点睛】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，可数形结合，分析得出答案，要求高，理解深度高，考查数形结合思想．注意本题中极小值点个数是动态的，易错，正确性考查需认真计算，易出错．6．2019年高考天津卷理数】已知函数f(x)=A s in(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ|<π)是奇函数，将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g(x)．若g(x)的A．-2 C．2⎛π⎫⎝4⎭⎛3π⎫⎝8⎭B．-2D．2【答案】C【解析】∵f(x)为奇函数，∴f(0)=A s inϕ=0,∴ϕ=kπ,k∈Z,∴k=0,ϕ=0；又g(π)=12π21ω2=2π,∴ω=2，∴f(x)=2sin2x，f(3π8)= 2.故选C.【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数g(x)，再根据函数性【解析】函数 f (x ) = sin 2 2x = 1 - cos 4 x .=1= - ，则 sin 2α + ⎪ 的值是 ▲ .⎛ α tan + ⎪= = = - ，得 3tan 2 α - 5tan α - 2 = 0 ，tan α + ⎪ tan α (1 - tan α )sin 2α + ⎪ = sin 2α cos + cos 2α sin质逐步得出 A, ω,ϕ 的值即可.7．【2019 年高考北京卷理数】函数 f （x ）=sin 22x 的最小正周期是__________．【答案】π2π，周期为 .2 2【名师点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式 三角函数的最小正周期公式，属于基础题.将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可8．【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】 △ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b , c .若 b = 6, a = 2c, B =π3△ABC 的面积为_________．【答案】 6 3，则【解析】由余弦定理得 b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B ，所以 (2c)2 + c 2 - 2 ⨯ 2c ⨯ c ⨯解得 c = 2 3, c = -2 3 （舍去），1 3所以 a = 2c = 4 3 ， Sac sin B = ⨯ 4 3 ⨯ 2 3 ⨯= 6 3.22 2 12 = 62 ，即 c 2 = 12 ，【名师点睛】本题易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．本题首先应用余弦定理，建立关于 c 的方程，应用 a, c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．9．【2019 年高考江苏卷】已知【答案】210tanα 2 ⎛ π ⎫ π ⎫ 3 ⎝ 4 ⎭ ⎝ 4 ⎭【解析】由 tan α tan α 2⎛ π ⎫ tan α + 1 tan α + 1 3⎝ 4 ⎭ 1 - tan α解得 tan α = 2 ，或 tan α = -13.⎛π ⎫ π π ⎝4 ⎭ 4 42 (sin 2α + cos 2α )=22 ⎝sin 2 α + cos 2 α ⎭ 2 ⎝ tan 2 α + 1 ⎭= ； 当 tan α = 2 时，上式 = ⎪ ⎝ 2 2 + 1 ⎭10 13 3 ]= 2 .⨯ [2 ⨯ (- ) + 1 - (- )2 当 tan α = - 时，上式=1π ⎫ 2 = .4 ⎭ 10⎛【答案】 12 2 . .【解析】如图，在△ABD 中，由正弦定理有：AB= ,cos ∠BAC = = ，所以 BD ===2 ⎛ 2sin α cos α + cos 2 α - sin 2 α ⎫ ⎪2 ⎛ 2 tan α + 1 - tan 2 α ⎫⎪ ，2 ⎛ 2 ⨯ 2 + 1 - 22 ⎫ 2 21 123 210(- )2 + 13综上， sin 2α + ⎝⎪【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养采取转化法，利用分类讨 论和转化与化归思想解题.由题意首先求得 tan α 的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可 10．【2019 年高考浙江卷】在 △ABC 中， ∠ABC = 90︒ ， AB = 4 ， BC = 3 ，点 D 在线段 AC 上，若∠BDC = 45︒ ，则 BD = ___________， cos ∠ABD = ___________．7 2 ，5 10BD 3π= ，而 AB = 4, ∠ADB =sin ∠ADB sin ∠BAC 4,AC = AB 2 + BC 2 = 5 ， sin ∠BAC =BC 3 AB 4 12 2 AC 5 AC 5 5.π π 7 2cos ∠ABD = cos(∠BDC - ∠BAC ) = cos cos ∠BAC + sin sin ∠BAC =4 4 10.【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思( )cos C + sin C = 2sin C ，可得 cos (C + 60︒ )= - 【 B b c想.在 △ABD 中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.11．【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，设(sin B - sin C )2 = sin 2 A - sin B sin C ．（1）求 A ；（2）若 2a + b = 2c ，求 sinC ．【答案】（1） A = 60︒ ；（2） sin C =6 + 2 4.【解析】（1）由已知得 s in 2 B + sin 2 C - sin 2 A = sin B s in C ，故由正弦定理得 b 2 + c 2 - a 2 = bc ．b 2 +c 2 - a 2 1 由余弦定理得 cos A = = ．2bc 2因为 0︒ < A < 180︒ ，所以 A = 60︒ ．（2）由（1）知 B = 120︒ - C ，由题设及正弦定理得 2 sin A + sin 120︒ - C = 2sin C ，即 6 3 1 2 +2 2 2 2．由于 0︒< C < 120︒，所以 sin(C + 60︒)=2 2，故sin C = sin (C + 60︒ - 60︒ )= sin (C + 60︒ )cos60 ︒ - cos (C + 60︒ )sin 60︒= 6 + 2 4．【名师点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.12． 2019 年高考全国Ⅲ卷理数】△ ABC 的内角 A ， ，C 的对边分别为 a ， ， ，已知 a sin（1）求 B ；（2△）若 ABC 为锐角三角形，且 c =1△，求 ABC 面积的取值范围．A + C 2= b sin A ．【答案】（1）B =60°；（2） ( 3因为 cos B 从而3△ABC<．因此，△ ABC 面积的取值范围是 8 , 2 ⎪⎭ .b 2 = 32 +c 2 - 2 ⨯ 3 ⨯ c ⨯ - ⎪.3, ) . 8 2【解析】（1）由题设及正弦定理得 s in A s in A + C= sin B sin A ．2因为sinA ≠ 0，所以 sin A + C= sin B ．2由 A + B + C = 180︒ ，可得 sin A + C B B B B= cos ，故 cos = 2sin cos ．2 2 2 2 2B 1≠ 0 ，故 sin = ，因此B =60°．2 2 2（2）由题设及（1△）知 ABC 的面积 S△ABC = 3 4a ．c sin A sin (120︒ - C )3 1由正弦定理得 a = = = + ．sin C sin C 2 tan C 2△由于 ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故 1< a < 2 ，23< S82⎛ 3 3 ⎫ ⎪ ．⎝【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查 V ABC 是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题13．【2019 年高考北京卷理数】在△ ABC 中，a =3，b −c =2，cosB = -（1）求 b ，c 的值；（2）求 sin （B –C ）的值．1 2 ．【答案】（1） b = 7 ， c = 5 ；（2）4 73 .【解析】（1）由余弦定理 b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B ，得⎛ 1 ⎫ ⎝ 2 ⎭所以 (c + 2)2 = 32 + c 2 - 2 ⨯ 3 ⨯ c ⨯ - ⎪ . （2）由 cos B = - 得 sin B = ⎪ 的值．⎛ （ 得 3b s in C = 4a sin C ，即 3b = 4a ．又因为 b + c = 2a ，得到 b = a ， c = a ．由余弦定理可得a 2 + c 2 -b 2 a 2 + a 2 - a 21 cos B = = =- ．2因为 b = c + 2 ，⎛ 1 ⎫ ⎝ 2 ⎭解得 c = 5 .所以 b = 7 .1 32 2.由正弦定理得 s in C = c 5 3 sin B = b 14.在 △ABC 中，∠B 是钝角，所以∠C 为锐角.所以 cos C = 1 - sin 2 C = 11 14.所以 sin( B - C ) = sin B cos C - cos B sin C = 4 3 7.【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14．【2019 年高考天津卷理数】在 △ABC 中，内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b , c ．已知 b + c = 2a ，3c s in B = 4a sin C ．（1）求 cos B 的值；（2）求 sin 2B + ⎝π⎫6⎭【答案】（1） - 1 4 3 5 + 7；（2） - .16【解析】 1）在 △ABC 中，由正弦定理 b c=sin B sin C，得 b s in C = c s in B ，又由 3c sin B = 4a sin C ，4 23 34 169 92ac 42 ⋅ a ⋅ a3sin 2B + ⎪ = sin 2B cos + cos 2B sin =- ⨯ - ⨯ =- （2）若 sin A 3 2 ⨯ 3c ⨯ c ，得 ( ) π⎫ 2 5= cos B = 2 ⎭ 5⎛（ 2 ） 由 （ 1 ） 可 得 sin B = 1 - cos 2 B =7cos 2B = cos 2 B - sin 2 B = - ，故815 15， 从 而 sin 2 B = 2sin B cos B = - ， 4 8⎛ π⎫ π π 15 3 7 1 3 5 + 7 ⎝6 ⎭ 6 6 8 2 8 2 16．【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．15．【2019 年高考江苏卷】在△ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．（1）若 a =3c ，b = 2 ，cosB = 23，求 c 的值；cos B π= ，求 sin(B + ) 的值．a 2b 2【答案】（1） c =3 2 5；（2） . 3 5【解析】（1）因为 a = 3c, b =2,cos B = 23，a 2 + c 2 -b 2 2 (3c)2 +c 2 - ( 2) 2 1由余弦定理 cos B = ，得 = ，即 c 2 = .2ac 3所以 c =3 3.（2）因为 sin A cos B =a 2b， 由正弦定理 a b cos B sin B= =sin A sin B 2b b，所以 cos B = 2sin B .4从而 cos 2 B = (2sin B)2 ，即 cos 2 B = 4 1 - cos 2 B ，故 cos 2 B = .5因为 sin B > 0 ，所以 cos B = 2sin B > 0 ，从而 cos B = 2 55.因此 sin B + ⎝⎪ .【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.要求：线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分16．【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划．．．．别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+321（百米）.【解析】解法一：（1）过A作AE⊥BD，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE为矩形，DE=BE=AC=6,AE=CD=8.'因为PB⊥AB，所以cos∠PBD=sin∠ABE=84=.105所以PB=BD12==15.cos∠PBD45因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.5②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知 AD = AE 2 + ED 2 = 10 ，从而 cos ∠BAD = AD 2 + AB 2 - BD 2 7= > 0 ，所以∠BAD 为锐角.2 A D ⋅ AB 25所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设 P 为l 上一点，且 PB ⊥ AB ，由（1）知， P B =15，1 1 1此时 PD = PB sin ∠PBD = PB cos ∠EBA = 15 ⨯ 3 = 9 ；1111当∠OBP >90°时，在 △PPB 中， PB > PB = 15 .1 1由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由 （ 2 ） 知 ， 要 使 得 QA ≥15 ， 点 Q 只 有 位 于 点 C 的 右 侧 ， 才 能 符 合 规 划 要 求 . 当 QA =15 时 ，CQ = QA 2 - AC 2 = 152 - 62 = 3 21 .此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综 上 ， 当 PB ⊥AB ， 点 Q 位 于 点 C 右 侧 ， 且 CQ = 3 21 时 ， d 最 小 ， 此 时 P ， Q 两 点 间 的 距 离PQ =PD +CD +CQ =17+ 3 21 .因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+ 3 21 （百米）.解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.在线段AD 上取点M （3， ），因为 OM = 32 + ⎪ < 32 + 42 = 5 ，因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3.因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为 3 4.因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为 -4 25直线PB 的方程为 y =- x -.334 3，所以P （−13，9）， PB =(-13 + 4)2 + (9 + 3)2 = 15 .因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3）， 所以线段AD ： y = - 3x + 6(-4剟x 4) .415 ⎛ 15 ⎫24⎝ 4 ⎭所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设 P 为l 上一点，且 PB ⊥ AB ，由（1）知， P B =15，此时 P （−13，9）；1111当∠OBP >90°时，在 △PPB 中， PB > PB = 15 .1 1由上可知，d ≥15.（2）求函数 y = [ f ( x + π )]2 + [ f ( x + )]2的值域． 又 θ ∈ [0, 2π) ，因此θ =π（2） y = ⎢ f x + + ⎢ f x + ⎪⎥ = sin 2 x + 12 ⎭⎥⎦ 4 ⎭⎦ ⎝ + sin 2 x + ⎪ 12 ⎭ ⎝ 4 ⎭ 1 - cos 2 x + ⎪ 1 - cos 2 x + ⎪= + = 1 - cos 2 x - sin 2 x ⎪π ⎫ 6 ⎭ cos 2 x + ⎪ ．再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由 AQ = (a - 4)2 + (9 - 3)2 = 15(a > 4) ，得a = 4 + 3 21 ，所以Q （ 4 + 3 21 ，9），此时，线段QA上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （ 13，9），Q （ 4 + 3 21 ，9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ = 4 + 3 21 - (-13) = 17 + 3 21 .因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17 + 3 21 （百米）.【名师点睛】本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.17．【2019 年高考浙江卷】设函数 f ( x ) = sinx, x ∈ R .（1）已知θ ∈ [0,2 π), 函数 f ( x + θ ) 是偶函数，求θ 的值；π 12 4【答案】（1）θ = π 3π或 ；（2） [1-2 23 3 ,1 + ] ． 2 2【解析】（1）因为 f ( x + θ ) = sin( x + θ ) 是偶函数，所以，对任意实数x 都有 sin( x + θ ) = sin( - x + θ ) ，即 sin x cos θ + cos x sin θ = - s in x cos θ + cos x sin θ ，故 2sin x cos θ = 0 ，所以 cos θ = 0 ．3π或 ． 2 2⎡ ⎣ ⎛ π ⎫⎤ 2 ⎡ ⎛ π ⎫⎤ 2 ⎛ ⎪ ⎝ ⎣ ⎝ π ⎫ ⎛ π ⎫ ⎪⎛ ⎛ π ⎫ ⎝ ⎝2 ⎭ 1 ⎛3 3 ⎫ 2 2 2 ⎝ 2 2⎭= 1 - 3 2⎛ π ⎫⎝ 3 ⎭因此，函数的值域是[1-3.【3B．tan α-⎪=【解析】Q cosα=-,a∈(-π,0)，∴α∈⎛-π,-π⎫⎪，3,1+]．22【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力18．重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点P(-2，1)，则cos2α=A．2213C．-13D．-223【答案】B【解析】因为角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点P(-2，1)，所以cosα=-22+1=-63，因此cos2α=2cos2α-1=13.故选B.【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于常考题型.解答本题时，先由角α的终边过点P(-2，1)，求出cosα，再由二倍角公式，即可得出结果.19．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学试题】已知c osα=-4，α∈(-π,0)，则5⎛π⎫⎝4⎭A．17B．7C．-17D．-7【答案】C45⎝2⎭33∴s inα=-,tanα=，54π ⎫ tan α - 1 4 1 则 tan α - ⎪ == = - .故选 C ． 4 ⎭ 1 + tan α 7 3 1 +20．【广东省韶关市 2019 届高考模拟测试（4 月）数学文试题】已知函数 f ( x ) = sin(ω x + ) (ω > 0) 的相，将函数图象向左平移 个单位得到函数 g ( x ) 的图象，则 g ( x ) =) + ] = sin 2 x + + ⎪ = cos 2 x 的图象，故选 C ．3- 1 ⎛⎝4【名师点睛】本题主要考查了同角三角函数关系式及两角差的正切公式的简单应用，属于基础题．解答本题时，根据已知 c os α 的值，结合同角三角函数关系式可求 tan α，然后根据两角差的正切公式即可求解．π6邻对称轴之间的距离为 π π2 6A ． sin( x +C ． cos2 x π 3 ) πB ． sin(2 x + )3πD ． cos(2 x + )3【答案】C【解析】由函数 f ( x ) = sin(ω x +π π T π)(ω > 0) 的相邻对称轴之间的距离为 ，得 = ，即 T = π ，所6 2 2 2以 π =2πω ，解得 ω = 2 ，π π将函数 f ( x ) = sin(2 x + ) 的图象向左平移 个单位，6 6得到 g ( x ) = sin[2( x + π 6 π ⎛ 6 ⎝ π π ⎫ 3 6 ⎭【名师点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．解答本题时，首先利用函数的图象求出函数的关系式，进一步利用图象的平移变换的应用求出结果．21．【河南省郑州市 2019 届高三第三次质量检测数学试题】已知函数 f (x ) = A s in (ωx + ϕ )，A > 0,ω > 0, ϕ < π的部分图象如图所示，则使 f (a + x )- f (a - x ) = 0 成立的 a 的最小正值为 2⇒>,∴ω<所以a的最小正值为.C的对边，若△ABC的面积为S，且43S=(a+b)2-c2，则sin C+⎪=4D．A．C．π12π4B．D．π6π3【答案】B【解析】由图象易知，A=2，f(0)=1，即2sinϕ=1，且ϕ<ππ，即ϕ=，26由图可知，f(11π11ππ11ππ12k-2 )=0,所以sin(⋅ω+)=0,∴⋅ω+=kπ,k∈Z，即ω=,k∈Z，1212612611 11π2π11π24又由图可知，周期T>，且ω>0，12ω1211所以由五点作图法可知k=2,ω=2，π所以函数f(x)=2sin(2x+)，6因为f(a+x)-f(a-x)=0，所以函数f(x)关于x=a对称，即有2a+ππkππ=kπ+,k∈Z，所以可得a=+,k∈Z，6226π6故选B.【名师点睛】本题考查了三角函数的图象和性质，熟练运用三角函数的图象和周期对称性是解题的关键，属于中档题.解答本题时，先由图象，求出A,ϕ,ω，可得函数f(x)的解析式，再由f(a+x)-f(a-x)=0易知f(x)的图象关于x=a对称，即可求得a的值.22．【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试数学试题】在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，⎛π⎫⎝4⎭A．1B．C．6-2【答案】D 226+2 4【解析】由43S=(a+b )2-c2，得43⨯12ab sin C=a2+b2-c2+2ab，∵a2+b2-c2=2ab cos C，∴23ab sin C=2ab cos C+2ab，即 3 sin C - cos C = 1 ，即 2sin C - 6 ⎭ = 1 ，则 sin C - ⎪ = ，+ = sin cos + cos sin = 3 ⨯ 2 + ⨯ 2 = 6 + 2 sin C + = sin ⎝ ⎝ 3 4 ⎭ 2 2 2 2 44 ⎭ 3 4 3 4 π ⎫⎛⎝ π ⎫ ⎪ ⎛ ⎝π ⎫ 1 6 ⎭ 2∵ 0 < C < π ，∴ - π π 5π π π π< C - < ， ∴ C - = ，即 C = ，6 6 6 6 6 3则 ⎛ ⎛ π π ⎫ π π π π 1 ⎪ ⎪，故选 D ．【名师点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出C 的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．解答本题时，根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出 C 的值，然后利用两角和的正弦公式进行求解即可．23．【山东省烟台市 2019 届高三 3 月诊断性测试（一模）数学试题】在△ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 a = 1 ， 3 sin A cos C + ( 3 sin C + b ) cos A = 0 ，则角 A =A ．C ．2π 3 π 6B ．D ．π 3 5π 6【答案】D【解析】∵ a = 1 ， 3 sin A cos C + ( 3 sin C + b ) cos A = 0 ，∴ 3 sin A cos C + 3 sin C cos A = -b cos A ，∴ 3 sin( A + C ) = 3 sin B = -b cos A ，∴ 3a sin B = -b cos A ，由正弦定理可得： 3 sin A s in B = - sin B cos A ，∵ sin B > 0 ，∴ 3 sin A = - cos A ，即 tan A = - 3 3，∵ A ∈ (0, π) ，∴ A = 5π 6.故选 D ．【名师点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理，两角和的正弦公式即可，属于基础题．解答本题时，由 3 sin A cos C + ( 3 sin C + b ) cos A = 0 ，可得 3a sin B = -b cos A ，再由正弦定理得到tan A = -3 ，结合 A ∈ (0, π) ，即可求得 A 的值．3【， a = 2 3 ， △ABC 的面积为，24． 广东省韶关市 2019 届高考模拟测试（4 月）数学试题】在 △ABC 中，a 、b 、c 分别是内角 A 、 B 、C 的对边，且 3b cos A = sin A(a cos C + c cos A) .（1）求角 A 的大小；（2）若 a = 2 3 ， △ABC 的面积为5 3 4，求 △ABC 的周长．【答案】（1） A =π 3；（2） 5 3 .【解析】（1）∵ 3b cos A = sin A(a cos C + c cos A) ，∴由正弦定理可得：3 sin B cos A = sin A(sin A cos C + sin C cos A) = sin A s in( A + C ) = sin A s in B ，即 3 sin B cos A = sin A s in B ，∵ sin B ≠ 0 ，∴ tan A = 3 ，∵ A ∈ (0, π) ，∴ A = π3．（2）∵ A = π 5 33 41 3 5 3∴ bc sin A = bc =2 4 4，∴ bc = 5 ，∴由余弦定理可得： a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A ，即12 = b 2 + c 2 - bc = (b + c)2 - 3bc = (b + c)2 - 15 ，解得： b + c = 3 3 ，∴ △ABC 的周长为 a + b + c = 2 3 + 3 3 = 5 3 .【名师点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得 3 sin B cos A = sin A s in B ，由 sin B ≠ 0 ，（2）当 x ∈ [0, ] 时，不等式 c < f ( x ) < c + 2 恒成立，求实数 c 的取值范围．【 = = sin 2 x - 所以 - ≤ sin （2 x - ）≤ 1 .⎪⎩c + 2 > 1 所以实数 c 的取值范围为 (-1,- ) .（2）首先求得函数 f (x )在区间 ⎢0, ⎥ 上的值域，然后结合恒成立的结论得到关于 c 的不等式组，求可求 tan A = 3 ，结合 A ∈ (0, π) ，可求 A =π3．（2）利用三角形的面积公式可求bc = 5 ，进而根据余弦定理可得b + c = 3 3 ，即可计算△ABC 的周长的值．25． 北京市昌平区 2019 届高三 5 月综合练习（二模）数学试题】已知函数 f ( x ） cos x( 3 sin x - cos x)+π（1）求 f ( ) 的值；3π21【答案】（1）1；（2） (-1,- ) .21【解析】（1） f ( x ）3 sin x cos x - cos 2 x + 2= 31cos 2 x2 2π=sin(2 x - ) ，6 π所以 f ( ) = 1 .31 2.（2）因为 0 ≤ x ≤ π 2，π π 5π所以 - ≤ 2 x - ≤ ，6 6 6 1 π2 6⎧1 ⎪ c <- 1由不等式 c < f ( x ) < c + 2 恒成立，得 ⎨2 ，解得 -1 < c < - . 212【名师点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.（1）首先整理函数的解析式，然后结合函数的解析式求解函数值即可；⎡ π ⎤ ⎣ 2 ⎦解不等式组可得 c 的取值范围.。
2019年全国1卷理科数学高考真题与答案解析,详细答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =−<<=−−<，，则MN =A ．}{43x x −<<B ．}42{x x −<<−C ．}{22x x −<<D ．}{23x x <<2．设复数z 满足=1i z −，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y +=B ．221(1)x y +=−C ．22(1)1y x +−=D ．22(+1)1y x +=3．已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512−（512−≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512−．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm5．函数f (x )=2sin cos ++x xx x 在[,]−ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．11167．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()−a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+D ．A =112A+9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则A ．25n a n =−B ． 310n a n =−C ．228n S n n =−D ．2122n S n n =− 10．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F −()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=11．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]−ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．68πB ．64πC ．62πD ．6π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
三角函数与解三角形-2019年新课标全国卷理科数学备考 ---精校解析Word版
9．三角函数与解三角形
一、2018年考试大纲
二、新课标全国卷命题分析
三、典型高考试题讲评
2011—2018年新课标全国（1卷、2卷、3卷）理科数学分类汇编——9．三角函数与解三角形
一、考试大纲
1．任意角的概念、弧度制
(1)了解任意角的概念.
(2)了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化.
例3（2015·新课标Ⅰ，2） （）
A． B． C． D．
解析： ，选D．.
题型3三角恒等变换与三角函数的值域
例4 (2018·新课标Ⅰ，理16)已知函数 ，则 的最小值是.
【答案】 解析：方法一： ，
所以
，
所以函数 的值域为 ，所以 的最小值为
方法二：
，
.Hale Waihona Puke 方法三：，函数 在 单调递增；
，函数 在 单调递减；
根据“左加右减”原则，“ ”到“ ”需加上 ，即再向左平移 ．故选D.
【解题技巧】关于y＝Asin(ωx+φ)函数图像由y＝sinx的图像的变换，先将y＝sinx的图像向左(或右)平移|φ|个单位，再将其上的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的 倍，再将其纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍，也可先进行伸缩变换，再进行平移变换，此时平移不再是|φ|个单位，而是| |个单位，原则是保证x的系数为1，同时注意变换的方法不能出错．
三、典型高考试题讲评
题型1三角函数的定义、同角三角函数的基本关系
例1（2016·新课标Ⅲ，理5）若 ，则 （）
A. B. C.1D.
解析： ，故选A.
2019年全国Ⅰ卷高考理科数学试题及答案详细解析
17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 ．
（1）求A；
（2）若 ，求sinC．
解：（1）
即：
由正弦定理可得：
（2） ，由正弦定理得：
又 ，
整理可得：
解得： 或
因为 所以 ，故 .
（2）法二： ，由正弦定理得：
又 ，
整理可得： ，即
或
且
考点：正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.
解：
由 知 是 的中点， ，又 是 的中点，所以 为中位线且 ，所以 ，因此 ，又根据两渐近线对称， ，所以 ， .
考点： ，双曲线及其渐近线的对称性.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
A. B.
C. D.
解：由 ，得 是奇函数，其图象关于原点对称．又 ．故选D．
考点：本题考查函数的性质与图象，利用函数奇偶性和特殊点即可解决这类问题．
6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 ，则 =
A. B. C. D.
解： ， ．故选C．
考点：一元二次不等式解法，集合的交集.
高考理科数学一轮复习专题训练：解三角形(含详细答案解析)
第五单元 解三角形（基础篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，且，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】，，，由正弦定理sin sin a b A B =，可得sin 6sin12036sin sin45a B b A ⋅⨯︒===︒D ．2．若△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若222a b c ab +-=，则C =（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，故得到2221cos 222b ac ab C ab ab +-===， 故角π3C =，故答案为B ．3．在ABC V 中，若7a =，3b =，8c =，则其面积等于（ ） A ．63 B ．212C ．28D ．12【答案】A【解析】方法一：由余弦定理，得2222227381cos 22737a b c C ab +-+-===-⨯⨯， 所以243sin 1sin C A -，所以1143sin 736322S ab C ==⨯⨯=． 故选A ．方法二：海伦-秦九韶公式()()()S p p a p b p c =---92a b cp ++==， 所以9(97)(93)(98)=63S =⨯-⨯-⨯-，故选A ．4．在ABC V 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC V 的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形【答案】B【解析】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以2sin cos sin cos sin B C C B A +=，所以()2sin sin B C A +=，即2sin sin A A =，因为()0,πA ∈，故sin 0A >，故sin 1A =，所以π2A =，ABC V 为直角三角形， 故选B ．5．已知锐角三角形的三边长分别为1，2，a ，则a 的取值范围是（ ） A．B ．(3，5) C．)D．)【答案】A【解析】锐角三角形的三边长分别为1，2，a ，则保证2所对应的角和a 所对应的角均为锐角即可，即2222140214040a a aa a ⎧+->⎪⎪⎪+-⎪>⇒<<⎨⎪>⎪⎪⎪⎩A ． 6．在ABC V 中，45B =︒，D 是BC边上一点，AD =4AC =，3DC =，则AB 的长为（ ） A．2BC．D．【答案】D【解析】由题意，在△ADC 中，由余弦定理可得916131cos 2342C +-==⨯⨯，则sin C ，在ABC V 中，由正弦定理可得sin sin AB ACC B==，据此可得AB =D ．7．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．现测得15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，m CD =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30︒，则塔高AB 为（ ）A ．302mB ．203mC ．60 mD ．20 m【答案】D【解析】15BCD ∠=︒Q ，45BDC ∠=︒，120CBD \??， 由正弦定理得302sin 45BC =，302sin 45203BC °\==， 3tan3020320AB BC 状=\=?，故选D ．8．在ABC △中，1AB =，3AC =，2BC =，D 为ABC △所在平面内一点，且2BD AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则ABC △的面积为（ ） A ．23 B ．3C ．3 D ．33【答案】D【解析】由题可作如图所示的矩形，则易知π6BCA ∠=，则π3BCD ∠=，则3sin BCD ∠=， 所以113si 3n 23223BCD S BC DC BCD =⨯⨯⨯∠⨯⨯==⨯△，故选D ．9．若满足sin cos cos A B Ca b c==，则ABC △为（ ） A ．等边三角形B ．有一个内角为30︒的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个内角为30︒的等腰三角形【答案】C【解析】由正弦定理可知sin cos cos A B Ca b c==，又sin cos cos A B Ca b c==，所以cos sin B B =，cos sin C C =，有tan tan 1B C ==． 所以45B C ==︒．所以180454590A =︒-︒-︒=︒． 所以ABC △为等腰直角三角形．故选C ．10．在ABC △中，已知a x =，2b =，60B =︒，如果ABC △有两组解，则x 的取值范围是（ ） A ．432,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．432,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．432,3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ D ．432,3⎛⎤⎥ ⎥⎝⎦【答案】A【解析】由已知可得sin a B b a <<，则sin602x x ︒<<，解得4323x <<．故选A ． 11．在ABC △中，3AC =，向量AB u u u r在AC u u u r 上的投影的数量为2-，3ABC S =△，则BC =（ ）A ．5B ．27C ．29D ．42【答案】C【解析】∵向量AB u u u r 在AC u u u r 上的投影的数量为2-，∴cos 2AB A =-u u u r．①∵3ABCS =△，∴13||||sin ||sin 322AB AC A AB A ==u u u r u u u r u u ur ，∴||sin 2AB A =u u u r ．②由①②得tan 1A =-，∵A 为ABC △的内角，∴3π4A =，∴2223πsin 4AB ==u u u r ． 在ABC △中，由余弦定理得 222223π22cos(22)322232942BC AB AC AB AC ⎛⎫=+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴29BC =．故选C ． 12．锐角中，角，，的对边分别为，，，且满足，函数()ππcos 22sin sin 344πf x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,1⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．13,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】，，，，，，三角形为锐角三角形，，，，ππ02230π2202πB B B ⎧<<⎪⎪⎪∴<-<⎨⎪⎪<<⎪⎩，π,32πB ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，()ππcos 22sin sin 344πf x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππcos 22sin cos cos 2sin 243π342x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭πsin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()sin 2π6f B B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为2π2π3B <<，6π5π226πB ∴<-<，所以()112f B <<．故选A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知60B =︒，3b =，6c =A =________． 【答案】75︒ 【解析】由正弦定理sin sin b c B C =，得sin 6sin 602sin c B C b ︒=== 又c b <，则C B <，45C ∴=︒，18075A B C ∴=︒--=︒， 本题正确结果75︒．14．已知ABC △的边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，若a b >且sin cos A Ca b=，则角A 的大小为_____． 【答案】π2【解析】由正弦定理得sin cos 1sin sin A C A B ==，即cos sin C B =，cos 0C ∴>，π0,2C ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，又a b >，A B ∴>，π0,2B ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，由cos sin C B =，得πsin sin 2C B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π2C B ∴-=，即2πB C +=，()ππ2A B C ∴=-+=，本题正确结果π2．15．如图，一栋建筑物AB 高()30103-m ，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD ．在它们之间的地面M 点（B 、M 、D 三点共线）测得对楼顶A 、塔顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得对塔顶C 的仰角为30°，则通信塔CD 的高为______m ．【答案】60【解析】由题意可知：45CAM ∠=︒，105AMC ∠=︒，由三角形内角和定理可知30ACM ∠=︒． 在ABM Rt △中，sin sin15AB ABAMB AM AM ∠=⇒=︒． 在ACM △中，由正弦定理可知：sin 45sin 45sin sin sin30sin15sin30AM CM AM AB CM ACM CAM ⋅︒⋅︒=⇒==∠∠︒︒⋅︒，在DCM Rt △中，sin 45sin sin60sin6060sin15sin30CD AB CMD CD CM CM ⋅︒∠=⇒=⋅︒=⋅︒=︒⋅︒． 16．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin (2)tan b C a b B =+，23c = 则ABC △面积的最大值为______． 【答案】3【解析】()()sin 2sin 2tan 2sin sin 2sin sin cos Bb C a b B B C A B B=+⇒=+⋅()2cos sin 2sin sin 2sin sin 2sin cos 2cos sin sin B C A B B C B B C B C B ⇒=+=++=++1cos 22π3C C ⇒==⇒-，由余弦定理可知222222cos 12c a b ab C a b ab =+-=++=， 222a b ab +≥Q ，1223ab ab ab ∴≥+=4ab ⇒≤，当且仅当a b =时取等号，max 113sin 43222S ab C ∴==⨯⨯=，本题正确结果3． 三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3cos 5A =，π4B =，2b =，（1）求a 的值； （2）求sin C ．【答案】（1）85a =；（2）7210．【解析】（1）因为3cos 5A =，π4B =，2b =，所以4sin 5A =，2sin 2B =，由正弦定理可得24sin sin 252a b a A B =⇒=，85a ∴=． （2）[]sin sin π()sin()sin cos cos sin C A B A B A B A B =-+=+=+ 423272525210=⋅+⋅=． 18．（12分）在中，分别是角，，的对边，且．（1）求的值； （2）若，且，求的面积．【答案】（1）52；（2）3257． 【解析】（1）由正弦定理及，有，所以，又因为，，所以，因为，所以2cos 3B =， 又，所以25sin 1cos 3B B =-=，sin 5tan cos 2B B B ==． （2）在中，由余弦定理可得2224323b ac ac =+-=，又，所以有2967c =，所以的面积为21965325sin sin 27S ac B c B ===⨯=． 19．（12分）如图：在平面四边形ABCD 中，已知πB D ∠+∠=，且7AD CD ==，5AB =，3BC =．（1）求D ∠；（2）求四边形ABCD 的面积．【答案】（1）π3D =；（2） 【解析】（1）在ACD △中，由余弦定理得222222cos 77277cos AC AD CD AD CD D D =+-⨯⋅=+-⨯⨯9898cos D =-．在ABC △中，由余弦定理得：222222cos 53253cos AC AB BC AB BC B B =+-⨯⋅=+-⨯⨯=3430cos B -． ∴9898cos 3430cos D B -=-，∵πB D +=，∴cos cos(π)cos B D D =-=-， ∴9898cos 3430cos D D -=+，∴1cos 2D =，∴π3D =． （2）由（1）得2ππ3π3B =-=， ∴11sin sin 22ABCD ACD ABCS S S AD CD D AB BC B =+=⋅+⋅11775322=⨯⨯+⨯⨯=20．（12分）已知向量()sin ,cos x x =a ，),cosx x =b ，()f x =⋅a b ．（1）求函数()f x =⋅a b 的最小正周期；（2）在ABC △中，BC sin 3sin B C =，若()1f A =，求ABC △的周长．【答案】（1）π；（2）4+【解析】（1）()211cos cos cos222f x x x x x x =+=++， ()1sin 262πf x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==． （2）由题意可得1sin 22π6A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又0πA <<，所以ππ13π2666A <+<，所以π5π266A +=，故π3A =． 设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则2222cos a b c bc A =+-， 所以2227a b c bc =+-=，又sin 3sin B C =，所以3b c =，故222793c c c =+-，解得1c =． 所以3b =，ABC △的周长为47+．21．（12分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，2(62)CD =+，22BC =，BF BC <，梯形ABCD 的高为31+，E 是CD 的中点，分别以C ，D 为圆心，CE ，DE 为半径作两条圆弧，交AB 于F ，G 两点．（1）求∠BFC 的度数；（2）设图中阴影部分为区域Ω，求区域Ω的面积． 【答案】（1）45BFC ∠=︒；（2）2(31)S Ω=． 【解析】（1）设梯形ABCD 的高为h ， 因为3162sin 22h BCD BC ++∠===，180BCD CBF ∠+∠=︒， 所以()62sin sin 180sin CBF BCD BCD +∠=︒-∠=∠= 在CBF △中，由正弦定理，得sin sin CF BCCBF BFC =∠∠622262++ 解得2sin BFC ∠=又()0,180BFC ∠∈︒︒，且CF BC >，所以45BFC ∠=︒．（2）由（1）得45ECF BFC ∠=∠=︒．在BCF △中，由余弦定理推论，得222cos 2BF FC BC BFC BF FC +-∠=⨯，即22(31)430BF BF -+，解得2BF =，23BF =（舍去）． 因为112sin 2(62)3122CBF DAG S S BF FC BFC ==⨯⨯∠=⨯⨯=△△， 所以2(31)CBF DAG S S S Ω=+=△△．22．（12分）如图，在平面四边形中，14AB =，3cos 5A =，5cos 13ABD ∠=．（1）求对角线BD 的长；（2）若四边形ABCD 是圆的内接四边形，求BCD △面积的最大值． 【答案】（1）13BD =；（2）1698． 【解析】（1）在ABD △中，56sin sin(π())sin()sin cos cos sin 65ADB A ABD A ABD A ABD A ABD ∠=-+∠=+∠=∠+∠=， 由正弦定理得sin sin BD AB A ADB =∠，即sin 13sin AB ABD ADB⋅==∠． （2）由已知得，πC A =-，所以3cos 5C =-，在BCD △中，由余弦定理可得2222cos 169BC DC BC DC C BD +-⋅⋅==，则2261616955BC DC BC DC BC DC =++⋅⋅≥⋅⋅，即516916BC DC ⋅≤⨯，所以1154169sin 169221658BCD S BC CD C ⎛⎫=⋅⋅⋅≤⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭△，当且仅当135BC DC ==第五单元 解三角形（提高篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在ABC △中，若2BC =，2AC =，45B =︒，则角A 等于（ ） A ．30︒ B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】A【解析】由正弦定理可得sin sin BC AC A B ==1sin 2A =， 因BC AC <，所以45AB <=︒，故A 为锐角，所以30A =︒，故选A ．2．若△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a =2，b =3，c =4，则cos C =（ ） A ．14-B ．14 C ．23-D ．23【答案】A【解析】a =2，b =3，c =4，根据余弦定理得到22294161cos 2124b ac C ab +-+-===-， 故答案为A ．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =，4b =，120A =︒， 则△ABC 的面积为（ ）A ．2BC ．4D ．【答案】D【解析】因为a =，4b =，120A =︒，所以由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得2c =，所以△ABC 的面积为1sin 2bc A =．故选D ．4．△ABC 中，60B =︒，2b ac =，则△ABC 一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形【答案】D【解析】△ABC 中，60B =︒，2b ac =，()2222221cos 20022a cb B ac ac a c ac +-==⇒+-=⇒-=，故得到a c =，故得到角A 等于角C ，三角形为等边三角形．故答案为D ．5．钝角△ABC 中，若1a =，2b =，则最大边c 的取值范围是（ ）A ．)B ．()2,3C ．)D ．【答案】A【解析】因为钝角△ABC ，所以222cos 02a b c C ab +-=<，2140c \+-<，c >，又因为3c a b <+=，3c <<，故选A ．6．如图，在△ABC 中，45B =︒，D 是BC 边上一点，AD =6AC =，4DC =，则AB 的长为（ ）A．2 B ．36 C ．33 D ．32【答案】B【解析】由余弦定理可得22246(27)1cos 2C +-==，60C \=?，sin sin AB AC C BQ =，得到36sin 236sin 2C AC AB B ××===，故选B ． 7．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75︒，30︒，此时气球的高度是60m ，则河流的宽度是（ ）A ．()24031m B ．()18021m C ．()3031mD ．)12031m【答案】D【解析】由题意可知：105ABC ∠=︒，45BAC ∠=︒，),2(m A ，6060120sin sin30AC C ∴===︒，由正弦定理sin sin BC ACBAC ABC =∠∠，得()sin 120sin 4560212031sin sin105AC BAC BC ABC ∠︒===∠︒，即河流的宽度)12031m ，本题正确选项D ．8．已知ABC △的面积为3AC ⋅u ur u u u r ，则角A 的大小为（ ） A ．60︒ B ．120︒ C ．30︒ D ．150︒【答案】D【解析】cos AB AC c b A ⋅=⋅u u u r u u u r Q ，又ABC △的面积为3AC ⋅u ur u u u r ，13sin cos 2S bc A b c A ∴==⋅，则3tan A =，又(0,π)A ∈，150A ∴=︒，故选D ．9．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设ABC △的三个内角,,A B C所对的边分别为,,a b c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S =若2sin 2sin a C A =，22()6a c b +=+，则用“三斜求积”公式求得ABC △的面积为（ ）A B C ．12D ．1【答案】A【解析】2sin 2sin a C A =Q ，22a c a ∴=，2ac =，因为22()6a c b +=+，所以22226a c ac b ++=+，22262642a c b ac +-=-=-=，从而ABC △=，故选A ．10．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AD 为角A 的角平分线，交BC 于D ，π4B =，AD =2BD =，则b =（ ）A ．BC ．3D 【答案】A【解析】因为AD =2BD =，π4B =，由正弦定理得sin sin AD BDB BAD=∠，2sin sin 4BAD =∠，解得1sin 2BAD ∠=， 又由π0,2BAD ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以π6BAD ∠=，则π3BAC ∠=，所以ππ5ππ3412C =--=，又因为5π12ADC B BAD ∠=+∠=，所以ADC △为等腰三角形，所以b AD ==，故选A ． 11．已知在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，60A ∠=︒，2a =，则ABC △周长的取值范围是（ ）A ．(0,6)B ．(2⎤⎦C ．(4,6]D ．2⎡⎤⎣⎦【答案】C【解析】根据三角形正弦定理得到sin sin sin a b c A B C ===变形得到sin ,sin ,2sin sin 3333b Bc C l B C ===++，因为2π3B C +=， 2π2sin sin π223sin 2cos 24sin 3633l B B B B B ⎛⎫⎛⎫∴=++-=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2ππ5ππ10,π,,sin ,1366662B B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎤∈+∈∴+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎦，(]4,6l ∴∈，故答案为C ．12．在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=︒，2BC =，则AB 的取值范围是（ ） A ．()2,6B ．()22,62++C ．()2,62+D ．()62,62-+【答案】D 【解析】由题意，平面四边形ABCD 中，延长BA 、CD 交于点E ， ∵∠B ＝∠C ＝75°，∴△EBC 为等腰三角形，∠E ＝30°， 若点A 与点E 重合或在点E 右方，则不存在四边形ABCD ， 当点A 与点E 重合时，根据正弦定理sin sin AB BCECB BEC=∠∠，算得62AB =，∴62AB <，若点D 与点C 重合或在点C 下方，则不存在四边形ABCD ， 当点D 与点C 重合时∠ACB ＝30°， 根据正弦定理sin sin AB BCACB BAC=∠∠，算得62AB =，∴62AB >，综上所述，AB 6262AB <．故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，角C 等于60︒，若4,2a b ==，则c 的长为_______． 【答案】23【解析】因为角C 等于60︒，4,2a b ==，所以由余弦定理可得22212cos60164242122c a b ab =+-︒=+-⨯⨯⨯=， 所以23c =，故答案为23． 14．在ABC △中，π3A =，1b =，3a =，则ABC △的面积为______． 【答案】3 【解析】π3A =Q ，1b =，3a =， ∴由正弦定理可得31sin 3B =，解得1sin 2B =，b a <Q ，B A ∴<，π6B ∴=，可得ππ2C A B =--=， 11π3sin 31sin 222ABC S ab C ∴==⨯⨯⨯=△，本题正确结果3． 15．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则，两点的距离为______．【答案】【解析】由已知，△ACD 中，∠ACD ＝15°，∠ADC ＝150°，∴∠DAC =15°， 由正弦定理得(80sin1504062sin1562AC ︒==︒-，△BCD 中，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝135°，∴∠DBC =30°， 由正弦定理，sin sin CD BCCBD BDC=∠∠， 所以()sin 80sin15160sin1540621sin 2CD BDC BC CBD⋅∠⨯︒===︒=-∠，△ABC 中，由余弦定理，2222cos AB AC BC AC BC ACB +=∠-⋅⋅()()()()1160084316008432160062622=++-+⨯+⨯-⨯16001616004160020=⨯+⨯=⨯，解得805AB =， 则两目标A ，B 间的距离为，故答案为．16．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin cos cos sin sin sin ab Ca Bb A a A b Bc C+=+-，且3a b +=，则c 的取值范围为_______． 【答案】3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， 所以由正弦定理可得cos cos a B b A c +=， 又因为sin cos cos sin sin sin ab Ca Bb A a A b Bc C +=+-，所以由正弦定理可得222abcc a b c =+-，即222a b c ab +-=，所以2222()3c a b ab a b ab =+-=+-， 因为3a b +=，所以293c ab =-，因为2924a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当32a b ==时取等号，所以27304ab -≤-<，所以99394ab ≤-<，即2994c ≤<，所以332c ≤<，故c 的取值范围为3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在ABC V 中，45,10B AC ∠=︒=25cos C =． （1）求BC 边长；（2）求AB 边上中线CD 的长． 【答案】（1）32；（2）13．【解析】（1）(0,π)C ∈Q ，25sin 1cos C C ∴=-=， 310sin sin(π)sin cos cos sin A B C B C B C =--=⋅+⋅=， 由正弦定理可知中：sin 32sin sin sin BC AC AC ABC A B B⋅=⇒==． （2）由余弦定理可知： 22252cos 10182103225AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，D 是AB 的中点， 故1BD =，在CBD △中，由余弦定理可知：2222cos 1812321132CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=． 18．（12分）已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2sin 2sin sin B A C =． （1）若2a b ==，求cos B ；（2）若90B ∠=︒且2a =，求ABC V 的面积． 【答案】（1）14；（2）2． 【解析】2sin 2sin sin B A C =Q ，由正弦定理可得22b ac =，（1）21a b c ==∴=Q ，，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，可得1cos 4B =．（2）90B ∠=︒Q ，由勾股定理可得22222()02b a c ac a c a c =+=⇒-=⇒==，1122222ABC S ac ∴==⋅⋅=△．19．（12分）如图，在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90ABC ∠=︒．已知3AD =，6BD =．（1）求sin ABD ∠的值；（2）若2CD =，且CD BC >，求BC 的长． 【答案】（1）6；（2）1BC =． 【解析】（1）在ABD △中，由正弦定理，得sin sin AD BDABD A=∠∠．因为60,3,6A AD BD ∠=︒==，所以36sin sin sin 606AD ABD A BD ∠=⨯∠=⨯︒=． （2）由（1）可知，6sin ABD ∠=， 因为90ABC ∠=︒，所以()6cos cos 90sin CBD ABD ABD ∠=︒-∠=∠=． 在BCD △中，由余弦定理得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠． 因为2,6CD BD ==，所以264626BC BC =+-⨯⨯， 即2320BC BC -+=，解得1BC =或2BC =． 又CD BC >，则1BC =．20．（12分）已知a ，b ，c 分别是ABC V 内角A ，B ，C 的对边．角A ，B ，C 成等差数列，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列．（1）求sin sin A C 的值；（2）若2a =，求ABC V 的周长． 【答案】（1）3sin sin 4A C?；（2）ABC V 的周长为32． 【解析】（1）角A ，B ，C 成等差数列，2B A C ∴=+，即60B =︒，sin ,sin sin A B C Q ，成等比数列，2233sin sin sin 4A CB 骣琪\?==琪桫． （2）由（1）可知2sin sin sin A C B ?，即2ac b =， 由余弦定理可得2222cos60b a c ac =+-?， 化简得2()0a c -=，即2a c ==，2b ac ==， 32a b c \++=，因此ABC V 的周长为32．21．（12分）某市欲建一个圆形公园，规划设立，，，四个出入口（在圆周上），并以直路顺次连通，其中，，的位置已确定，，（单位：百米），记，且已知圆的内接四边形对角互补，如图所示．请你为规划部门解决以下问题：（1）如果，求四边形的区域面积；（2）如果圆形公园的面积为28π3万平方米，求的值．【答案】（1）；（2）12或17． 【解析】（1）∵πcos cos ADC ABC ADC θ∠+∠=∠=-，， 在和中分别使用余弦定理得：，得1cos 7θ=， ∴43sin sin 7ADC θ∠==， ∴四边形的面积()1sin 2ABC ADC S S S BA BC DA DC θ=+=⋅+⋅△△ ()14326448327=⨯+⨯⨯=． （2）∵圆形广场的面积为28π3，∴圆形广场的半径2213R =，在中由正弦定理知：4212sin sin 3AC R θθ==， 在中由余弦定理知：，∴2421sin 4024cos θθ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，化简得，解得1cos 2θ=或1cos 7θ=． 22．（12分）已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π02B <<，3b ，22ac +-1sin sin tan 12A CB =． （1）求内角B 的大小；（2）求(2)(2)a c b a c b +++-的最大值．【答案】（1）π6B =（2【解析】（1）b =Q 221sin sin tan 12a c A C B +-=，222sin sin tan a c A C B b ∴+-=，即222sin sin tan a c b A C B +-=，由余弦定理得2cos sin sin tan ac B A C B =，2tan sin sin cos ac B A C B∴=，由正弦定理得222tan cos sin b BBB =，即222cos sin tan b B B B =，231cos sin 6B B ∴=，231sin 6sin B B ∴-=，即326sin sin 10B B +-=， 变形得2(2sin 1)(3sin 2sin 1)0B B B -++=，解得1sin 2B =， π02B <<Q ，∴π6B =．（2）b =Q π6B =，∴由余弦定理得22π12cos 612a c ac +-=，化简得22112a c +=，21()(212a c ac ∴+-+=，2()4a c ac +≤Q ，(2ac ∴-≥，2()(2a c ac ∴+-，112≤，2()a c ∴+，22(2)(2)()4a c b a c b a c b ∴+++-=+-≤a c =时等号成立，∴(2)(2)a c b a c b +++-。
全国卷一专用2019年高考理科数学总复习解三角形
全国卷一专用2019年高考理科数学总复习解三角形一、基础巩固组1. △ ABC的内角ABC 的对边分别为a, b, c.已知a= , b=2, A=60° ,则c=( ) 1A.B. 1C. ■D. 22. 在厶ABC中,已知a cos A=b cos B,则厶ABC的形状是()A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形3. 已知△ ABC的三个内角AB, C依次成等差数列，BC边上的中线AD= , AB=2,则S A ABC=( )A. 3B. 2 .C. 3D. 6■TT14. 在厶ABC中,B=,BC边上的高等于七C则cos A= ( )a ><io viaA. 炕B. qvlO 3V10C.- X：D.- i?'|-5.在厶ABC中,ABC所对的边分别为a, b, c,若b cos A+as os B=d, a=b=2,则厶ABC的周长为()A. 7.5B. 7C. 6D. 56. 已知△ ABC的三个内角AB, C的对边分别为a, b,c,且满足=sin A-s in B,则C= ________ .7. _______________ 在厶ABC中,角A, B,C的对边分别为a, b, c,且2c- cos B=2a+b,若厶ABC的面积为S= c,则ab的最小值为.&如图所示,长为3. 5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上，另一端B在离堤足C处2. 8 m的石堤上，石堤的倾斜角为a ,则坡度值tan a = .9. (2017全国川,理17) △ ABC的内角ABC的对边分别为a, b, c.已知sin A^cos A=0, a=2 , b=2.(1)求c;⑵设D为BC边上一点，且ADL AC求厶ABD的面积.10. 已知岛A 南偏西38。
方向,距岛A 3 n mile 的B 处有一艘缉私艇.岛A 处的一艘走私船正以 10 n mile/h 的速度向岛北偏西 22。
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全国卷一专用2019年高考理科数学总复习解三角形一、基础巩固组1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,b=2,A=60°,则c=()A.B.1C.D.22.在△ABC中,已知a cos A=b cos B,则△ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形3.已知△ABC的三个内角A,B,C依次成等差数列,BC边上的中线AD=,AB=2,则S△ABC=()A.3B.2C.3D.64.在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A=()A. B.C.-D.-5.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b cos A+a cos B=c2,a=b=2,则△ABC的周长为()A.7.5B.7C.6D.56.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足=sin A-sin B,则C= .7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c·cos B=2a+b,若△ABC的面积为S=c,则ab的最小值为.8.如图所示,长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上,另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上,石堤的倾斜角为α,则坡度值tan α=.9.(2017全国Ⅲ,理17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+cosA=0,a=2,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.10.已知岛A南偏西38°方向,距岛A 3 n mile的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10 n mile/h的速度向岛北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5 h能截住该走私船?二、综合提升组11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,则C=()A.B.C.D.12.在△ABC中,D为BC边上的一点,AD=BD=5,DC=4,∠BAD=∠DAC,则AC=()A.9B.8C.7D.613.如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点,从点A测得点M的仰角∠MAN=60°,点C的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从点C测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,则山高MN= m.14.(2017河南郑州一中质检一,理17)已知△ABC外接圆直径为,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,C=60°.(1)求的值;(2)若a+b=ab,求△ABC的面积.三、创新应用组15.(2018福建泉州期末,理10)已知点P是函数f(x)=A sin(ωx+φ)(φ>0)图象上的一个最高点,B,C是与P相邻的两个最低点.若cos∠BPC=,则f(x)的图象的对称中心可以是()A.(0,0)B.(1,0)C.(2,0)D.(3,0)16.(2017宁夏银川九中二模,理17)已知函数f(x)=sin ωx-2sin2+m(ω>0)的最小正周期为3π,当x∈[0,π]时,函数f(x)的最小值为0.(1)求函数f(x)的表达式;(2)在△ABC中,若f(C)=1,且2sin2B=cos B+cos(A-C),求sin A的值.解三角形1.B由已知及余弦定理,得3=4+c2-2×2×c,整理,得c2-2c+1=0,解得c=1.故选B.2.D∵a cos A=b cos B,∴sin A cos A=sin B cos B,∴sin 2A=sin 2B,∴A=B,或2A+2B=180°,即A+B=90°,∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选D.3.C∵A,B,C成等差数列,∴B=60°.在△ABD中,由余弦定理,得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos B,即7=4+BD2-2BD,∴BD=3或-1(舍去),可得BC=6,∴S△ABC=AB·BC·sin B=2×6=34.C(方法一)设BC边上的高为AD,则BC=3AD.结合题意知BD=AD,DC=2AD,所以AC=AD,AB=AD.由余弦定理,得cos A===-,故选C.(方法二)如图,在△ABC中,AD为BC边上的高,由题意知∠BAD=设∠DAC=α,则∠BAC=α+∵BC=3AD,BD=AD.∴DC=2AD,AC=AD.∴sin α=,cos α=cos∠BAC=cos=cos αcos-sin αsin(cos α-sin α)==-,故选C.5.D∵b cos A+a cos B=c2,a=b=2,∴由余弦定理可得b+a=c2,整理可得2c2=2c3,解得c=1,则△ABC的周长为a+b+c=2+2+1=5.故选D.6在△ABC中,=sin A-sin B,=a-b,∴a2+b2-c2=ab,∴cos C=,∴C=7.12在△ABC中,由条件并结合正弦定理可得2sin C cos B=2sin A+sin B=2sin(B+C)+sin B,即2sin C cos B=2sin B cos C+2sin C cos B+sin B,∴2sin B cos C+sin B=0,∴cos C=-,C=由于△ABC的面积为S=ab·sin C=ab=c,∴c=ab.再由余弦定理可得c2=a2+b2-2ab·cos C,整理可得a2b2=a2+b2+ab≥3ab,当且仅当a=b时,取等号,∴ab≥12,故答案为12.8在△ABC中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且α+∠ACB=π.由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2·AC·BC·cos∠ACB,即3.52=1.42+2.82-2×1.4×2.8×cos(π-α),解得cos α=,则sin α=,所以tan α=9.解 (1)由已知可得tan A=-,所以A=在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4c cos,即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去),c=4.(2)由题设可得∠CAD=,所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=故△ABD面积与△ACD面积的比值为=1.又△ABC的面积为4×2sin∠BAC=2,所以△ABD的面积为10.解设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上的一点,缉私艇的速度为x n mile/h,则BC=0.5x n mile,AC=5 n mile,依题意,∠BAC=180°-38°-22°=120°,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·AC cos 120°,解得BC2=49,BC=0.5x=7,解得x=14.又由正弦定理得sin∠ABC=,所以∠ABC=38°.又∠BAD=38°,所以BC∥A D.故缉私艇以14 n mile/h的速度向正北方向行驶,恰好用0.5 h截住该走私船.11.B由题意结合三角形的内角和,可得sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,整理得sin A cosC+cos A sin C+sin A sin C-sin A cos C=0,则sin C(sin A+cos A)=0,因为sin C>0,所以sin A+cos A=0,即tan A=-1,因为A∈(0,π),所以A=由正弦定理,得,即sin C=,所以C=,故选B.12.D设∠B=θ,则∠ADC=2θ,在△ADC中,由,所以AC=8cos θ,在△ABC中,由,可得,所以16cos2θ=9,可得cos θ=,所以AC=8=6.故选D.13.150在Rt△ABC中,∠CAB=45°,BC=100 m,所以AC=100 m.在△AMC中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,从而∠AMC=45°,由正弦定理,得,因此AM=100 m.在Rt△MNA中,AM=100 m,∠MAN=60°,由=sin 60°,得MN=100=150(m).14.解 (1)由正弦定理可得=2R=,=2R=(2)由正弦定理可得,∴c=2.由余弦定理可得22=a2+b2-2ab cos 60°,化为a2+b2-ab=4.又a+b=ab,∴(a+b)2-3ab=a2b2-3ab=4,解得ab=4.∴△ABC的面积S=ab sin C=4×sin 60°=15.C如图,取BC的中点D,连接PD,则PD=4.设BD=x,则PB=P C=由余弦定理可得,(2x)2=()+()2-2()2cos∠BPC,解得x=3(负值舍去).则B-,-2,C,-2,故BP,CP的中点都是f(x)图象的对称中心.16.解 (1)f(x)=sin ωx-2sin2+m=sin ωx-1+cos ωx+m=2sin-1+m.依题意=3π,ω=,所以f(x)=2sin-1+m.当x∈[0,π]时,sin1,所以f(x)的最小值为m.依题意,m=0.所以f(x)=2sin-1.(2)因为f(C)=2sin-1=1,所以sin=1.而,所以解得C=在Rt△ABC中,因为A+B=,2sin2B=cos B+cos(A-C), 所以2c os2A-sin A-sin A=0,解得sin A=因为0<sin A<1,所以sin A=。