湘教版九年级下册数学：26弧长与扇形面积(2)
九年级数学下册第2章圆26弧长与扇形面积第2课时扇形面积课件湘教版
H
C O1 H1
B.C. ?
D4. ? ? 3
3
A
O
B
C1
4．一个扇形的弧长为 20πcm，面积是 240πcm2，则该 扇形的圆心角为多少度 ?
解：设扇形半径为 R，圆心角为 n0,由扇形
公式
S扇形
?
1 lR
2
可得:
R?
2S扇形 l
?
2? 240? 20?
?
24（cm）
由l ? n? R 得 :
有水部分的面积：
S＝S扇形OAB - S ΔOAB
? 120π ? 0.62 ? 1 AB? OD
360
2
? 0.12π ? 1 ? 0.6 3 ? 0.3 2
? 0.22(m2 )
O AD B
C (3)
知识拓展 弓形面积公式
O
O
? 左图： S弓形=S扇形-S三角形 ? 右图：S弓形=S扇形+S三角形
180 2
1 ?n? r ?r ?
2 180
1 lr 2
想一想 扇形的面积公式与什么公式类似？
例2 如图，某数学兴趣小组将边长为 5的正方形铁丝框 ABCD变形为以 A为圆心， AB为半径的扇形（忽略铁 丝的粗细），则所得的扇形 ABD的面积为 ___2_5___． 解：由题意，弧 DB=CD+BC=10 ，
弓形的面积 =扇形的面积±三角形的面积
当堂练习
1.一个扇形的圆心角为 120°，半径为 3，则这个扇形的 面积为___3_π____( 结果保留π)．
2.如图，半径为 1cm、圆心角为 90°的扇形OAB中，
分别以 OA 、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面
湘教版九年级下册数学教学课件 第2章圆 弧长与扇形面积
（2）求图中阴影部分的面积.
解 (1)∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°. ∵BC=6 cm，AC=8 cm，
∴AB=10 cm，∴OB=5 cm. 连接OD. ∵OD=OB， ∴∠ODB=∠ABD=45°， ∴∠BOD=90°，
∴BD2=OB2+OD2， BD= 5 2 cm.
(2)S阴影=S扇形-S△OBD
O R
半径为R的圆,面积是 S=πR2
圆的面积可以看作是_3_6_0_°_的圆心 角所对的扇形面积.
课程讲授
2 扇形面积公式及应用
问题1.2：1°的圆心角所对的扇形面积是多少？n°的 圆心角所对的扇形面积是多少？
O
90°
90 1 360 4
O
180°
180 1 360 2
O
270°
270 3 360 4
6 D. π
3
课程讲授
2 扇形面积公式及应用
定义：由圆的一条弧和经过这条弧
的端点的两条半径所围成的图形叫
O
作扇形.
可以发现：扇形的面积除了与圆的半径有关还与 组成扇形的_圆__心__角__的大小有关.
课程讲授
2 扇形面积公式及应用
问题1.1：如何计算圆的面积？圆的面积可以看作是多 少度的圆心角所对扇形的面积？
课程讲授
2 扇形面积公式及应用
O n° R
πR2 归纳：1°的圆心角所对的扇形面积是_3_6_0__.
公式：n°的圆心角所对的扇形面积S扇形=
对比弧长公式可以得到
nπR2 360
S扇形=
1 lR 2
课程讲授
2 扇形面积公式及应用
例 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m， 其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积.（结果保留小 数点后两位）
数学九年级 下湘教版3.4.1弧长和扇形的面积2课件
360
360
A
58°
·Bຫໍສະໝຸດ O练习如图,圆O中, ∠AOB=120°,弦AB的长为2.6cm, 求扇形OAB的面积(精确到0.1cm2)
解：由点O做AB的垂线段，垂足为D
则 AD 1 AB 1 2.6 1.3 22
又得∠OAD=30°
COSOAD AD
OA
A
D
B
O·
OA AD 1.3 2.6 3
1 从而圆心角为1 °的扇形的面积等于圆面积的_____3_6_0_____,
1 即____3__6_0____
πr 2
A 1°B
O·
2.从第1小题的结论可以得出,在半径为r的圆中,
圆心角为n°的扇形的面积是（
n 1 πr2
360
）
根据以上的探究，我们得出：
半径为r 的圆中，圆心角为n°扇形的面积S为
S nπr 2 nπr r 1 lr, 360 180 2 2
A 1°B
O · n°
C
其中l是n°的圆心角所对的弧长．
如图，圆O的半径为1.5cm,圆心角∠AOB=58°, 求扇形OAB的面积（精确到０.1cm2)
解 因为r=1.5cm,n=58,所以扇形OAB的面积为
S 58 π 1.52 58 3.141.52 1.1 cm2 .
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湖南教育出版社
圆的一条弧和经过这条弧的端点的两 条半径所围成的图形叫作扇形.
如图，阴影部分是一个扇形，
记作扇形OAB．
A
O· B
探究
如何求扇形的面积？
1.设圆O的半径为r,你能求出圆心角为1°的扇形的面积吗?
湘教版初中数学九年级下册2.6 第2课时 扇形面积
8． 如 图 ， 将 △ABC 绕 点 B 逆 时 针 旋 转 到 △ABC 使 A、 B、 C’在 同 一 直 线 上 ， 若
BCA 90° ， BAC 30°，AB 4cm ，则图中阴影部分面积为
cm2．
9. 如图，已知点 A、B、C、D 均在已知圆上，AD∥BC，BD 平分∠ABC，∠BAD=120 ，四边
′
第 4 题图
第 7 题图
第 8 题图
5.已知扇形的弧长为 6πcm，圆心角为 60°，则扇形的面积为_________．
6.如图，扇形的弧长是 20π，面积是 240π，则此扇形的圆心角的度数是
7.如图，已知点 A、B、C、D 均在以 BC 为直径的圆上，AD∥BC，AC 平分∠BCD，
∠ADC=120°，四边形 ABCD 的周长为 10，则图中阴影部分的面积为___________.
可以让他们更理性地看待人生
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形 ABCD 的周长为 15.（1）求此圆的半径；（2）求图中阴影部分的面积。
10.如图，在⊙O 中，弦 BC 垂直于半径 OA，垂足为 E，D 是优弧B⌒C上一点，连接 BD，
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圆圆圆
AD，OC，∠ ADB＝30°. （1）求∠AOC 的度数； （2）若弦 BC＝6cm，求图中阴影部分的面积.
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扇形的半径为 3cm，则这个扇形的面积是（ ）cm2． A．π B．3π C．9π D．6π 2.若扇形的弧长是 16cm，面积是 56cm2，则它的半径是（ ） A．2.8cm B．3.5cm C．7cm D．14cm 3.已知圆心角为 120°的扇形面积为 12π，那么扇形的弧长为（ ） A．4 B．2 C．4π D．2π 4.一个商标图案如图中阴影部分，在长方形 ABCD 中，AB=8cm，BC=4cm，以点 A 为圆 心，AD 为半径作圆与 BA 的延长线相交于点 F，则商标图案的面积是（ ） A．（4π+8）cm2 B．（4π+16）cm2 C．（3π+8）cm2 D．（3π+16）cm2
湘教版初中数学九年级下册2.6弧长与扇形面积word教案
弧长与扇形面积第1课时 弧长及其相关量的计算 教学目标： 【知识与技能】理解并掌握弧长公式的推导过程，会运用弧长公式进行计算. 【过程与方法】经历弧长公式的推导过程,进一步培养学生探究问题的能力. 【情感态度】调动学生的积极性,在组织学生自主探究,相互交流合作的学习中培养学生的钻研精神. 【教学重点】弧长公式及其运用. 【教学难点】运用弧长公式解决实际问题. 教学过程：一、情境导入，初步认识如图是某城市摩天轮的示意图,点O 是圆心，半径r 为15m,点A 、B 是圆上的两点，圆心角∠AOB=120°.你能想办法求出AB 的长度吗？【教学说明】学生根据AB 是120°是13周长可直接求出AB 的长，为下面推导出弧长公式打好基础.二、思考探究，获取新知问题1在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它们所对的弧长_______.【教学说明】在前面学习的圆心角定理知识,同圆或等圆中若圆心角、弦、弧三者有一组量相等,则另外两组量也分别相等,结论自然不难得出. 问题2 1度的圆心角所对的弧长l=_____.问题3 半径为R 的圆中，n 度的圆心角所对的弧长l=______.【分析】在解答(1)的基础上，教师引导分析，让学生自主得出结论，这样对公式的推导，学生就不容易质疑了.结论:半径为r 的圆中，n°的圆心角所对的弧长l 为·2360180n n rl r ππ==注：已知公式中l 、r 、n 的其中任意两个量，可求出第三个量. 三、典例精析，掌握新知例1已知圆O 的半径为30cm,求40度的圆心角所对的弧长.(精确到0.1cm) 解：()40302020.91801803n R l cm πππ⨯⨯===≈. 答：40度的圆心角所对的弧长约为20.9cm.【教学说明】此题是直接导用公式.例2如图,在△ABC中，∠ACB=90°,∠B=15°,以C为圆心，CA为半径的圆交点D，若AC=6，求弧»AD的长.【分析】要求弧长,必须知道半径和该弧所对的圆心角的度数,即只需求出∠ACD的度数即可.解:连接CD.因为∠B=15°,∠BCA=90°,所以∠A=90°-∠B=90°-15°=75°.又因为CA=CD,所以∠CDA=∠A=75°.所以∠DCA=180°-2∠A=30°.所以»AD的长=306180π⨯=π.【教学说明】在求弧长的有关计算时,常作出该弧所对应的圆心角.例3如图为一个边长为10cm的等边三角形，木板ABC在水平桌面绕顶点C沿顺时针方向旋转到△A′B′C的位置.求顶点A从开始到结束所经过的路程为多少？解：由题可知∠A′CB′=60°.∴∠ACA′=120°.A点经过的路程即为AA′的长.等边三角形的边长为10cm.即AA′的半径为10cm.∴AA′的长=12010201803ππ⨯= (cm).答：点A从开始到结束经过的路程为203πcm.【教学说明】弧长公式在生活中的应用是难点，关键是找出所在的圆心角的度数和所在圆的半径，问题就容易解决了.四、运用新知，深化理解1.一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为（）A.6cmB.12cmC.362.如图，五个半圆中邻近的半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从点A到点B，甲虫沿着¼1ADA、¼12A EA、¼23A FA、¼3A GB的路线爬行，乙虫沿着路线¼ACB爬行，则下列结论正确的是（）A.甲先到B点B.乙先到B点C.甲乙同时到达D.无法确定3.如果一条弧长等于l,它所在圆的半径等于R，这条弧所对的圆心角增加1°，则它的弧长增加（）A.1nB.180RπC.180lRπD.13604.(山东泰安中考）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连结BC，若∠ABC=120°,OC=3,则»BC的长为（）A.πB.2πC.3πD.5π第4题图 第5题图5.一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线无滑动翻滚（如图），那么B 点从开始到结束时所走过的路径长度是______. 【教学说明】在弧长公式及其运用的题目中,多是一些基础题,关键是理解公式的推导过程后,在l 、n 、r 中只知道其中任意两个量，就可求出第三个量了. 【答案】1.A 2.C3.B4.B5.43π五、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾本小节的知识点.2.通过本节课的学习,你掌握了那些新知识,还有哪些疑问?请与同伴交流. 【教学说明】1.n°的圆心角所对的弧长180n Rl π=. 2.学生大胆尝试公式的变化运用. 课堂作业：教材P 81页第1、2题 课外作业：完成《学法》中本课时的练习. 教学反思：本节课是从如何计算摩天轮的弧长引入,到学生自己推导出弧长公式,并运用公式解决问题,培养学生动手、动脑的习惯,加深了对公式的理解,并用所学知识解决实际问题.体验了推导出公式的成就感.激发了学生学习数学的兴趣. 第2课时 扇形面积 教学目标： 【知识与技能】 1.掌握扇形的定义.2.掌握扇形面积公式的推导过程,会运用扇形的面积进行有关计算. 【过程与方法】经过扇形面积公式的推导,培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力. 【情感态度】经历扇形面积公式的推导过程及利用公式解决实际问题,加强合作交流,集思广益. 【教学重点】扇形面积公式的推导过程及用公式进行有关计算. 【教学难点】用公式求组合图形的面积来解决实际问题. 教学过程：一、情境导入，初步认识如图所示是一把圆弧形状的扇子的示意图,你能求出做这把扇子用了多少纸吗?要想解决以上问题,需知道求扇形的面积的计算公式.今天我们就来学习扇形的面积.二、思考探究，获取新知1.扇形的定义圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径围成的图形叫做扇形.【教学说明】1.强调它是一个封闭的图形;2.扇形包括两半径和弧内部的平面部分.2.扇形的面积公式同学们结合圆的面积S=πR2，完成下列各题：（1）该圆的面积可看作是_______的圆心角所在的扇形面积.(2)设圆的半径为R,1°的圆心角所在的扇形面积为______，2°的圆心角所在的扇形面积为，3°的圆心角所在的扇形面积为______，…,n°的圆心角所在的扇形面积为___.学生解答【教学说明】(1)360°(2)2360Rπ22360Rπ23360Rπ2360n Rπ因此，在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形的面积为S扇形=2360n Rπ,还可推导出S扇形=12lR,其中l为扇形的弧长.例1（教材例3）如图，⊙O的半径为1.5cm,圆心角∠AOB=58°,求扇形OAB的面积（精确到0.1cm2).解：∵r=1.5cm,n=58,∴22258 1.558 3.14 1.51.1360360() S cm π⨯⨯⨯⨯==≈例2已知半径为2的扇形，其弧长为43π,则这个扇形的面积为多少？【分析】已知扇形弧长为l,所在圆的半径为R时，可直接利用扇形的面积公式：S扇形=12 lR求解.解: S扇形=12lR=1442233ππ⨯⨯=.【教学说明】扇形有两个面积公式，随着已知条件的不同，学生要有不同的公式选择，这样计算更简便.3.组合图形的面积计算.例3如图,把两个扇形OAB与扇形OCD的圆心重合叠放在一起,且∠AOB=∠COD,连接AC.(1)求证:△AOC≌△BOD;(2)若OA=3cm,OC=2cm,AB的长为32π,CD的长为π,求阴影部分的面积.【教学说明】利用“边角边”证明△AOC≌△BOD，阴影部分是不规则图形，可先将其转化为规则图形，再计算.(1)证明:∵∠AOB=∠COD,∴∠BOD=∠AOC.又∵OA=OB,OC=OD, ∴△AOC ≌△BOD.(2)延长CD,交OB 于点F,设AO 交CD 于点E. ∵S △AOC =S △BOD , S 扇形EOC =S 扇形DOF ， ∴S 图形AEC =S 图形BFD . ∴S 阴影=S 扇形OAB -S 扇形OCD1315322224πππ=⨯⨯-⨯⨯=. 【教学说明】扇形面积的学习，主要是求组合图形中的特殊部分的面积，如阴影部分等，关键是找出规则图形之间面积存在怎样的和、差、倍、分关系. 三、运用新知，合作学习，深化理解 1.如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为2的“等边扇形”的面积为（） A.πB.1C.2D.23π2.如图所示，一张半径为1的圆心纸片在边长为a(a≥3)的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（） A.a 2-π B.(4-π)a 2 C.π D.4-π3.如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是»AB 的三等分点.如果⊙O 的半径为1，P 是线段AB 上的任意一点，则阴影部分的面积为_____.4.如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°,BC=3A 与BC 相切于点D ，且交AB 、AC 于M 、N 两点，则图中阴影部分的面积是______（保留π).5.如图，⊙O 的半径为R ，直径AB ⊥CD ，以B 为圆心，以BC 为半径作弧»CD，求图中阴影部分的面积. 【教学说明】扇形的面积公式是基础，但关键在解决一些实际问题时，它都不是单一的扇形，而是其组合图形，分解组合图形向基本可求出面积的图形转化方可求出组合图形的面积.【答案】1.C 2. D3.3π 33π 5.解：S 阴=S 半圆OCAD +S △BCD -S 扇形BCED =22221122R R R R ππ+-=四、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?2.教师强调：①扇形的概念.②圆心角为n°的扇形面积S 扇=213602n R lR π= (l 为扇形的弧长）.③组合图形的面积. 课堂作业：教材P 81 练习第3题，习题2.5A 组3题 课外作业：完成《学法》中本课时的练习.教学反思：本节课从基本的生活用品扇子引入,到学生自主推导出扇形的两种面积公式,并运用公式解决了组合图形的面积.由简单到复杂,由特殊到一般的解题过程，使学生掌握由浅入深，由简单到复杂的解题技能,而复杂图形又是由简单图形组成,培养学生对数学产生浓厚的兴趣.湘教版九年级数学第二章 圆§2.6 弧长与扇形面积同步测试一．选择题（共8小题）1．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 的半径为2，∠B=135°，则的长（ ）A ．2πB ．πC ．2π D ．3π2．在半径为6的⊙O 中，60°圆心角所对的弧长是（ ） A ．π B ．2π C ．4π D ．6π3．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，⊙O 的半径为3，∠A=45°，则的长是（ ）A ．34π B ．32π C ．452π D ．94π4．如图，已知▱ABCD 的对角线BD=4cm ，将▱ABCD 绕其对称中心O 旋转180°，则点D 所转过的路径长为（ ）A．4π cm B．3π cm C．2π cm D．π cm5．如图，扇形AOB中，∠AOB=150°，AC=AO=6，D为AC的中点，当弦AC沿扇形运动时，点D所经过的路程为（）A．3πB．3πC．332πD．4π6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=23，则阴影部分图形的面积为（）A．4πB．2πC．πD．2 3π7．如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，以AB的中点D为圆心，作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在EF上，设∠BDF=α（0°＜α＜90°），当α由小到大变化时，图中阴影部分的面积（）A．由小到大 B．由大到小C．不变 D．先由小到大，后由大到小8．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形DAB的面积为（）A．6 B．7 C．8 D．9二．填空题（共8小题）9．如图，在▱ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB 于点E，连接CE，则阴影部分的面积是（结果保留π）．10．圆心角为120°，半径长为6cm的扇形面积是cm2．11．圆心角为120°的扇形的半径为3，则这个扇形的面积为（结果保留π）．12．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=42．以A为圆心，AC长为半径作弧，交AB于点D，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）13．已知扇形的圆心角为120°，所对的弧长为83，则此扇形的面积是．14．圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长是cm．15．已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则它的半径为．16．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，以点A为圆心，AB长为半径画圆弧交边DC于点E，则的长度为．三．解答题（共2小题）17．如图，在△ABC中，AB=AC．分别以B、C为圆心，BC长为半径，BC下方画弧，设两弧交于点D，与AB、AC的延长线分别交于点E、F，连接AD、BD、CD．若BC=6，∠BAC=50，求弧ED，弧FD的长度之和（结果保留π）．18．如图所示，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．（1）把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的△A1B1C1；（2）把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的△A1B2C2；（3）如果网格中小正方形的边长为1，求点B经过（1）、（2）变换的路径总长．参考答案一．选择题（共8小题）1．B 2．B 3．B 4．C 5．C 6．D 7．C 8．D 二．填空题（共8小题）9．3-13π10．12π11．3π 12．8-2π13．163π14．4π 15．3 16．23π三．解答题（共2小题）17．18．。
【精】 《弧长和扇形面积(第2课时)》精品教案
《弧长和扇形面积（第2课时）》精品教案课题24.4弧长和扇形面积（2）单元第二十四章学科数学年级九年级上学习目标情感态度和价值观目标培养学生的观察、想象、实践能力，获得数学学习经验，懂的数学与生活的密切联系。
能力目标通过设置情景和复习扇形面积的计算方法探索圆锥侧面积和全面积的计算公式以及应用它解决现实生活中的一些实际问题。
知识目标 1.了解圆锥母线的概念.2.理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，并会应用。
重点圆锥侧面积和全面积的计算公式的探索与运用。
难点探索圆锥侧面积计算公式。
学法自主探索、合作交流、启发引导教法情景教学法、活动探究法；教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课一、复习引入回忆n°的圆心角所对的弧长公式和扇形面积公式，并讲讲它们的区别与联系．这节课主要探究圆锥的侧面积计算方法. 通过回顾上节课的主要知识，引导学生巩固重点，引出课题。
通过知识回顾，巩固重点，提出问题，激发学生的学习兴趣。
讲授新课二、探究新知活动1：圆锥的有关概念1.圆锥的形成①一个底面和一个侧面围成的；②一个直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周得到的.引导学生思考圆锥的形成，学生按教师要求操作，观察，思考，通过探索圆锥的概念，将学生的思维从生活中走进2.把连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线．3圆锥的高：连接底面圆圆心和圆锥顶点的线段.4圆锥的侧面（曲面）和底面（圆）活动2：圆锥的侧面积问题：圆锥的侧面是一个曲面，无法直接求其面积.圆柱的侧面也是一个曲面，因为展开图是一个长方形，所以求圆柱的侧面积就是求其展开图的面积.类似的，利用圆锥的侧面展开图求其侧面的面积可以吗？圆锥的侧面展开图是什么图形？沿圆锥一条母线将圆锥侧面剪开并展平，圆锥的侧面展开图是一个以圆锥的顶点为圆心，母线为半径的扇形.如图所示，设圆锥的母线长为l，•底面圆的半径为r，•那么这个扇形的半径为_____，扇形的弧长为______,因此圆锥的侧面积为_______.扇形的弧长：2πr,圆锥的侧面积:注意：计算时需搞清圆锥与侧面展开扇形之间几个量的对应关系：交流，教师给出圆锥的母线、圆锥的高等定义。
湘教版九年级数学下册第二章《弧长与扇形面积》课件
解：(1)∵ME＝1，AE＝ 3，AM＝2，∴ME2＋ AE2＝AM2，∴∠AEM＝90°，∵MN∥BC，∴∠ABC ＝∠AEM＝90°，即 OB⊥BC，∴BC 是⊙O 的切线 (2)连接 ON，在 Rt△AME 中，sinA＝AMME＝12，∴∠A ＝30°，∵AB⊥MN，∴B︵N＝B︵M，EN＝EM＝1，∴ ∠BON＝2∠A＝60°，在 Rt△ONE 中，sin∠EON＝ OENN，∴ON＝sin∠ENEON＝233，∴B︵N的长＝6108π0 ·23 3
谢谢观赏
You made my day!
A．π B．2π C．3π D．5π
5．(4 分)如图，在 4×4 的方格纸中(共有 16 个小 方格)，每个小方格都是边长为 1 的正方形，O，A，B 分别是小正方形的顶点，则A︵B的长度等于__ 2π__．(结 果保留根号及π)
6．(4 分)在半径为π4 的圆中，45°圆心角所对弧 长等于__1__．
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月13日星期三2022/4/132022/4/132022/4/13 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/132022/4/132022/4/134/13/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/132022/4/13April 13, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
【综合运用】 16．(14 分)(2015·福州)如图，在 Rt△ABC 中，∠ C＝90°，AC＝ 5，tanB＝12，半径为 2 的⊙C，分别 交 AC，BC 于点 D，E，得到D︵E. (1)求证：AB 为⊙C 的切线； (2)求图中阴影部分的面积．
湘教版九年级数学下册《弧长与扇形面积》第2课时精品课件
（3）当弓形的弧是半圆时，弓形面积是圆面积的一半.
S弓形
=
1 2
S圆
巩固提升
1.下列各图中，哪些图形是扇形？
巩固提升
2.如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条和AC的夹 角为120°，长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸 扇两面贴纸，则贴纸的面积为（ ） A.175πcm2 B.350πcm2 C.280πcm2 D.150πcm2 分析：贴纸部分的面积等于扇形ABC减 去小扇形的面积，已知圆心角的度数为 120°，扇形的半径为25cm和10cm，可 根据扇形的面积公式求出贴纸部分的求阴影部分面积的问题常用方法：
(1)公式法：所求面积的图形是一个规则图形， 如三角形、特殊四边形、扇形等，这时可直接 利用相关面积计算公式进行求解；如例1.
(2)和差法： ①S总体-S空白=S阴 ②所求面积的图形是一个不规则图形， 可将其通过转化变成多个规则图形面积 的和或差，进行求解；如例2.
角为1°的扇形能够相互重合，从而圆心角
为1°的扇形的面积等于圆面积的 1 ，
r2
360
即 360 .
因此，圆心角为n°的扇形面积为
r2
n
.
360
新知讲解
如果用字母 S 表示扇形的面积，n表示圆心角的度数，r
表示圆半径，那么扇形面积的计算公式是：
S扇形＝
n 360
S圆＝
n 360
r2
n r2
360
又因为扇形的弧长为
1 lr 2
1 9
2
12
54
（m2），
S弯道ACDB =S扇形OAB -S扇形OCD =150 -54 =96（m2）.
2019_2020学年九年级数学下册第2章圆2.6弧长与扇形面积教学课件(新版)湘教版
l nR
180
A
B
n°
（4）140°圆心角所对的弧长是多少？
O
l 140R 7R
180 9
例1：
已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°， 求此圆弧的长度。
解： l n R 60 • 50 = 50 (cm)
180 180
3
答：此圆弧的长度为 50 cm
3
例2制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再 下料，试计算图所示管道的展直长度L(单位：mm，精确到 1mm)
有水部分的面积 S S扇形OAB SVOAB
120 0.62 1 ABgOD
360
2
0
0.12 1 0.6 3 0.3
2
A
D
B
0.22(m2 ).
C
有水部分的面积 = S扇- S△ 0
A
D
B
C
解：如图，连接OA、OB，作弦AB的垂直平分线，垂足为D，
交弧AB于点C.
∵OC=0.6，DC=0.3 ∴OD=OC—DC=0.3
在Rt△OAD中，OA=0.6，利用勾股定理可得：AD=0.3√3
在Rt△ OAD中，∵OD=1/2OA
∴∠ OAD=30° ∴∠A OD=60°， ∠ AOB=120°
解：由弧长公式，可得弧AB 的长 L 100 900 500 1570（mm）
180
因此所要求的展直长度 L 2 700 1570 2970（mm） 答：管道的展直长度为2970 mm．
1.已知弧所对的圆心角为900，半径是4，则弧长为______
2. 已知一条弧的半径为9，弧长为8 ，那么这条弧所对的 圆心角为____。
3. 钟表的轴心到分针针端的长为5cm,那么经过40分钟,分
数学九年级 下湘教版3.4.1弧长和扇形的面积2课件
You made my day!
我们，还在路上……
义务教育课程标准实验教科书 SHUXUE 九年级下
湖南教育出版社
圆的一条弧和经过这条弧的端点的两 条半径所围成的图形叫作扇形.
如图，阴影部分是一个扇形，
记作扇形OAB．
A
O· B
探究
如何求扇形的面积？
1.设圆O的半径为r,你能求出圆心角为1°的扇形的面积吗?
由于圆是旋转对称图形,因此圆心角为1 °的扇形能够互相重合,
SnπR1203.142.63315.7cm 2
180
180
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月1日星期二2022/3/12022/3/12022/3/1 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/12022/3/12022/3/13/1/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/12022/3/1March 1, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/12022/3/12022/3/12022/3/1
Snπr2 nπrr1lr, 360 180 2 2
A 1°B
O · n°
C
其中l是n°的圆心角所对的弧长．
如图，圆O的半径为1.5cm,圆心角∠AOB=58°, 求扇形OAB的面积（精确到０.1cm2)
解 因为r=1.5cm,n=58,所以扇形OAB的面积为
S5 8 π 1 .5 25 8 3 .1 4 1 .5 2 1 .1c m 2.
湘教版数学九年级下册2.6《弧长与扇形面积》教学设计1
湘教版数学九年级下册2.6《弧长与扇形面积》教学设计1一. 教材分析《弧长与扇形面积》是湘教版数学九年级下册第2.6节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了圆的性质、弧、半圆、圆心角等基本概念的基础上进行学习的。
本节课的主要内容是引导学生探究弧长和扇形面积的计算方法，让学生通过自主学习、合作交流的方式，掌握计算弧长和扇形面积的公式，并能够灵活运用。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和合作交流能力，他们对圆的性质和基本概念有一定的了解。
但是，对于弧长和扇形面积的计算方法，他们可能还比较陌生，需要通过实例和练习来进一步理解和掌握。
三. 教学目标1.让学生掌握弧长和扇形面积的计算公式。
2.培养学生的自主学习能力、合作交流能力和数学思维能力。
3.让学生能够灵活运用弧长和扇形面积的计算方法解决实际问题。
四. 教学重难点1.弧长和扇形面积的计算公式的理解和记忆。
2.灵活运用弧长和扇形面积的计算方法解决实际问题。
五. 教学方法1.自主学习：让学生通过教材和学案自主学习弧长和扇形面积的计算方法。
2.合作交流：引导学生分组讨论，共同探究弧长和扇形面积的计算方法。
3.实例讲解：通过具体的实例，讲解弧长和扇形面积的计算方法。
4.练习巩固：让学生通过练习题，巩固所学的内容。
5.拓展延伸：引导学生思考弧长和扇形面积在其他领域的应用。
六. 教学准备1.教材和学案。
2.课件和教学素材。
3.练习题。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过提问方式，引导学生回顾圆的性质和基本概念，为新课的学习做好铺垫。
呈现（10分钟）教师通过课件呈现弧长和扇形面积的计算公式，让学生初步了解本节课的内容。
操练（10分钟）教师给出具体的实例，让学生分组讨论，共同探究弧长和扇形面积的计算方法。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
巩固（10分钟）教师让学生完成练习题，巩固所学的内容。
教师及时批改学生的作业，给予反馈。
拓展（10分钟）教师引导学生思考弧长和扇形面积在其他领域的应用，如物理学、工程学等。
湘教版数学九年级下册教学设计：2.6 弧长与扇形面积
湘教版数学九年级下册教学设计：2.6 弧长与扇形面积一. 教材分析湘教版数学九年级下册第2.6节“弧长与扇形面积”是圆面积计算公式的延伸，通过本节课的学习，学生能够理解弧长和扇形面积的计算方法，并能运用这些方法解决实际问题。
教材通过丰富的例题和练习题，引导学生探究弧长和扇形面积的计算公式，培养学生的动手操作能力和数学思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基础知识，对圆的性质和公式有一定的了解。
但是，对于弧长和扇形面积的计算方法，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我将会以引导为主，让学生通过动手操作和思考，理解并掌握弧长和扇形面积的计算方法。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握弧长和扇形面积的计算方法，能够运用这些方法解决实际问题。
2.过程与方法：通过动手操作和思考，培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：弧长和扇形面积的计算方法。
2.难点：理解并掌握弧长和扇形面积的计算原理。
五. 教学方法1.引导法：通过问题引导，让学生思考并探索弧长和扇形面积的计算方法。
2.动手操作法：让学生亲自动手操作，观察和分析弧长和扇形面积的计算过程。
3.讨论法：让学生分组讨论，培养团队合作意识和交流能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示弧长和扇形面积的计算方法。
2.练习题：准备一些练习题，让学生在课堂上进行操练和巩固。
3.教学道具：准备一些实物模型，如圆规、量角器等，帮助学生直观地理解弧长和扇形面积的计算过程。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题：计算一个半径为5cm的圆的弧长和扇形面积。
让学生思考并尝试解答这个问题，引发学生对弧长和扇形面积计算方法的好奇心。
2.呈现（10分钟）利用课件呈现弧长和扇形面积的计算公式，并解释公式的推导过程。
通过动画演示和实物模型展示，让学生直观地理解弧长和扇形面积的计算方法。
2018-2019学年湘教版数学九年级2.6 弧长与扇形面积
2．6 弧长与扇形面积【教学目标】知识与技能掌握弧长和扇形面积公式的推导过程，会运用弧长及扇形面积公式进行计算． 过程与方法经历弧长及扇形面积公式的推导过程，进一步培养学生探究问题的能力． 情感态度与价值观调动学生的积极性，在组织学生自主探究、相互交流合作学习中培养学生的钻研精神． 教学重点：弧长及扇形面积公式．教学难点：正确理解弧长及扇形面积公式．【导学过程】【知识回顾】圆的周长公式及面积公式是什么？【情景导入】已知⊙O 的半径为R ，⊙O 的周长C ＝2πR ，由于生产、生活实际中常遇到有关弧的长度计算，那么怎样求一段弧的长度呢？【新知探究】探究一、设圆的半径为R ，则：1．圆的周长可以看作__360__度的圆心角所对的弧．2．1°的圆心角所对的弧长是__πR 180__． 3．2°的圆心角所对的弧长是__2πR 180__． 4．4°的圆心角所对的弧长是__4πR 180__． ……5．n °的圆心角所对的弧长是__n πR 180__． (老师点评)根据同学们的解题过程，我们可得到l ＝n 360·2πr ＝n πr 180半径为r 的圆中，n °的圆心角所对的弧长为l ＝n 360·2πr ＝n πr 180请同学们计算半径为3 cm ，圆心角分别为180°、90°、45°、1°、n °所对的弧长． 探究二、已知圆O 的半径为30 cm ，求40°的圆心角所对的弧长(精确到0.1 cm)探究三、扇形的面积公式如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形问：右图中扇形有几个？答：两个．同求弧长的思维一样，要求扇形的面积，应思考圆心角为1°的扇形面积是圆面积的几分之几？进而求出圆心角n 的扇形面积．我们可以把圆看作圆心角为360°的扇形，它的面积即圆的面积S ＝πr 2.因为圆绕圆心旋转任意角度，都能与自身重合，所以圆心角为1°的扇形能够互相重合，从而圆心角为1°的扇形面积等于圆面积的1360，即πr 2360. 如果设圆心角是n °的扇形面积为S ，圆的半径为r ，那么扇形的面积为S ＝__n πr 2360__． 因此扇形面积的计算公式为S ＝__n πR 2360__或S ＝__12lR __ 探究四、例1：已知扇形AOB 的半径1.5 cm ，∠AOB ＝58°，求扇形OAB 的面积(结果精确到0.1 cm 2)解：∵r ＝1.5 cm ，n ＝58，∴S 扇形OAB ＝58×π×1.52360≈1.1cm 2. 探究五、例2：这是中央电视台“曲苑杂谈”中的一副图案，它是一扇形图形，其中OA ＝20 cm ，OC 长为12 cm ，弧CD 长为9π cm ，求贴纸部分的面积解：∵OC ＝12 cm ，l CD ︵＝9π cm ，∴∠COD ＝9π·180°π·OC＝135°. S 贴纸＝S 扇形AOB －S 扇形COD＝135°360°π(AO 2－OC 2) ＝38π(202－122) ＝96π cm 2.【随堂练习】完成课本P 78练习．【课堂小结】本节课你学到了什么？有什么收获和体会？还有什么困惑？1．知识点：弧长、扇形面积的计算公式2．不规则图形的面积的求法：用规则的图形的面积来表示；3．数学思想转化的应用：①转化思想；②整体思想．【课后作业】完成该书本课时的对应练习．。
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解 因为r=1.5cm，n=58，
所以扇形OAB的面积为
S=
58×
π× 1.52 360
≈ 58× 3.14× 1.52 360
≈ 1.1(cm2).
答：扇形OAB的面积为1.1平方厘米。.
注意：题目没有特殊要求，最后结果保留π
变式训练 如图,已知扇形的圆心角为150°,扇形OAB的面积
为 60πcm2,求扇形的半径.
（2）选做题：如图，三个同心扇形的圆心角∠AOB为
120°，半径OA为6cm，C、D是AB的三等分点，则阴影
部分的面积等于
cm2.
C
D
A
B
O谢 谢！ຫໍສະໝຸດ 解 设∠AOB=n°，∵
︵
A
OC=12m，CD 的长度为9πm，
C
O
∴
9π
=
nπ12 180
,
解得n=135°，即圆心角∠COD=135°.
B D
∴
S = 扇形OAB
135π202 360
=150π(m2).
又S扇形OCD=54π（m2）
∴ S S - S 弯道ACDB = 扇形OAB
扇形OCD
= 150π- 54π
1 S 三角形 lR
2
如果扇形的半径为R的圆中，圆心角为 no ，那么：
S扇形 1 lR 2
R
l
温馨提示
（1）当已知弧长L和半径R，
求扇形面积时，应选用S
1 LR
扇形 2
（2）当已知半径和圆心角的度
数，求扇形面积时，应选用 S扇形 nR2
360
例1 如图，圆O的半径为1.5cm，圆心角∠AOB=58° 求扇形OAB的面积.(精确到0.1cm2).
= 96π(m2).
A C
O
答：这条圆弧形弯道的面积为 96π m2 .
B D
3. 如图,一
根 3m长的绳子,
一端栓在柱子
1
上,另一端栓着
一只小羊,小羊
的活动的最大
区域面积是多
少？
课堂小结
知识：扇形面积公式
S扇形
nR 2
360
1 LR 2
方法能力：迁移能力，对比方法．
课后作业
（1）必做题 ：习题2.5第1，5题
A a
D
2.6弧长与扇形面积 ——扇形面积的计算
湘教版 九年级下
2.6 弧长与扇形面积
——扇形面积的计算
创设情景
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的 图形叫做扇形。
尝试练习
××
√
×
√
探究新知
？
思考：扇形 面积的大小 到底和哪些 因素有关呢？
探究新知
认真观察下列各图，你会发现什么？ 扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关， 在同一个圆中，圆心角越大，扇形面积也越大.
B
OA
︵
例2 （1）如图,已知 OC=12m，CD 的长度为9π m， 求扇形OCD的面积.
分析：已知L和R，求扇形的面积
S扇形
1 2
LR
C
D
O
S = 扇形OCD
1lr = 19π12=54π(m2). 22
例2 （2）如图,在（1）的基础上添加一段弧 A⌒B,
已知 OA=20m，求圆弧形弯道的面积.
不带单位的；
（2）公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.
l
弧
＝
n 180
πR
S扇形
＝
n 360
πR2
1 lR 2
在这两个公式中，弧长和扇形面积都与圆心角n°、 半径R有关系，因此l 和S之间也有一定的关系，你
能猜得出吗?
思考：扇形的面积公式与三角形的面积公式有 联系呢？
如果三角形的底为 L,高为R，则
1 个圆面积
2
360°
1 个圆面积
4
3 个圆面积
4
1个圆面积
1
圆心角是10的扇形面积是圆面积的 360
圆心角是n0的扇形面积是圆面积的3n60
S扇形＝
n 360
S圆
＝n
360
πr2
扇形面积公式
若设⊙O半径为R，圆心角为n°的扇形的面积
S扇形，则
nR 2
注意: S扇形 360
（1）公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是