专题06 抛物线上的点到定点与焦点(或准线)距离之差的最值定稿-高中数学破题致胜微方法(抛物线上的点到定点
高中数学解析几何中的焦点与准线问
高中数学解析几何中的焦点与准线问高中数学解析几何中的焦点与准线问题在高中数学的解析几何领域，焦点与准线是两个极为重要的概念。
它们不仅是圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的核心要素，也是解决众多相关问题的关键所在。
首先，让我们来了解一下什么是焦点和准线。
焦点，简单来说，就是圆锥曲线上一个特殊的点，它具有特定的几何性质。
对于椭圆，两个焦点的位置决定了椭圆的形状和大小；对于双曲线，两个焦点的距离与双曲线的形态密切相关；而对于抛物线，焦点则位于对称轴上。
准线，则是与焦点相对应的一条直线。
在圆锥曲线中，动点到焦点的距离与动点到准线的距离之比是一个定值，这个定值就是离心率。
以椭圆为例，假设椭圆的标准方程为\（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\）（＼（a ＞b ＞0\）），其焦点在\（x\）轴上，焦点坐标为\（（＼pm c, 0)＼），其中\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。
准线方程为\（x ＝＼pm ＼frac{a^2}｛c}＼）。
在解决椭圆相关的问题时，焦点和准线常常能发挥重要作用。
比如，已知椭圆上一点到焦点的距离，求该点到准线的距离，就可以利用上述的距离比例关系。
再来看双曲线。
双曲线的标准方程分为两种情况：焦点在\（x\）轴上时，方程为\（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）；焦点在\（y\）轴上时，方程为\（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝1\）。
同样地，双曲线也有焦点和准线，并且通过焦点和准线的性质，可以解决很多与双曲线相关的距离、最值等问题。
抛物线是一种特殊的圆锥曲线，其标准方程有多种形式。
例如，当抛物线开口向右时，方程为\（y^2 ＝ 2px\）（＼（p ＞ 0\）），焦点坐标为\（（＼frac{p}｛2}， 0)＼），准线方程为\（x ＝＼frac{p}｛2}＼）。
在实际解题过程中，焦点和准线的应用非常广泛。
高中数学抛物线最值问题精品
抛物线求最值问题（第一类）1.已知抛物线和一条直线，求抛物线上的一点到直线与（y 轴、准线、焦点）距离之和的最小值问题。
此类题常用方法转化为求焦点到直线的距离。
例题已知抛物线方程为x y 42=,直线l 的方程为04=+-y x ,在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d1到直线l 的距离为d2,则d12的最小值为多少？ 分析：如图点P 到y 轴的距离等于点P 到焦点F 的距离减1，过焦点F 作直线4=0的垂线，此时d12最小，依据抛物线方程求得F ，进而利用点到直线的距离公式求得d12的最小值．解：如图点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，从而P 到y 轴的距离等于点P 到焦点F 的距离减1．过焦点F 作直线4=0的垂线，此时d122-1最小，∵F （1，0），则2，则d12的最小值为．抛物线求最值问题（其次类）2.已知抛物线和一个定点，①：定点在抛物线“内”，求抛物线上的一点到定点与（焦点、准线）距离之和的最值问题；②定点在抛物线“外”，求抛物线上的一点到定点与（焦点、准线）距离之差肯定值的最值问题。
此类题常用方法转化为三点共线或者顶点到直线问题。
例题已知点P在抛物线y2=4x上，则点P到点Q（2，-1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A.⎪⎭⎫⎝⎛-1,41B．⎪⎭⎫⎝⎛1,41C．（1，2）D．（1，-2）分析：先推断点Q与抛物线的位置，即点Q在抛物线内，再由点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，依据图象知最小值在M，P，Q三点共线时取得，可得到答案．解：点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图，故最小值在M，P，Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是-1，抛物线求最值问题（第三类）3.已知抛物线和一条直线，求抛物线上的一点到直线距离最小值问题。
此类题常用方法：①设点转化成二次函数问题；②求导数，让抛物线上点的切线斜率等于直线斜率。
高三抛物线知识点归类
高三抛物线知识点归类抛物线是数学中的一个重要概念，也是高中数学课程中的重点内容之一。
在高三阶段，学生需要全面掌握抛物线的相关知识，因此本文将对高三抛物线知识点进行归类，以帮助学生更好地理解和应用。
一、基本概念1. 定义：抛物线是平面上到一个定点（焦点）距离等于到一条定直线（准线）距离的点的轨迹。
2. 轴线：抛物线的对称轴，垂直于准线并通过焦点。
3. 焦点：与抛物线上的任意一点距离相等的定点。
4. 准线：与抛物线上的任意一点距离相等的定直线，其中准线和抛物线的焦点不重合。
二、方程与图像1. 一般形式方程：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
2. 顶点坐标：抛物线的最高（或最低）点，坐标为（h, k），其中h为顶点的横坐标，k为顶点的纵坐标。
3. 对称轴方程：x = h，是抛物线的对称轴，与抛物线相交于顶点。
4. 开口方向：由二次系数a决定，若a > 0，则抛物线开口朝上；若a < 0，则抛物线开口朝下。
5. 图像特征：抛物线关于对称轴对称，图像左右对称。
三、性质与特点1. 焦点与准线距离的关系：抛物线上任意一点P与焦点F的距离等于P到准线的距离。
2. 焦准焦定性质：过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于对称点P'，且P'也在这条直线上的垂线上，则P'为抛物线上该点P的对称点。
3. 切线与法线关系：抛物线上任意一点P处的切线与过该点的法线垂直。
4. 焦点坐标与相关系数的关系：焦点坐标为（-b/2a, 1-Δ/4a），其中Δ为方程的判别式。
5. 最值点：抛物线的最高（或最低）点即为顶点，最值点的纵坐标等于抛物线函数的值域的下（或上）界。
四、应用1. 抛物线的平移与旋转：通过对抛物线的平移和旋转操作，可以得到不同位置和形状的抛物线函数。
2. 抛物线的最优问题：在一定约束条件下，求解抛物线上的最值点，可以用于解决最小二乘法、优化问题等。
3. 物理应用：抛物线在物理学中有广泛的应用，如炮弹的抛物线轨迹、摆锤的运动、光的反射等。
抛物线知识点汇总及考点例题
抛物线姓名：___________ 班级：________________ 得分：________________知识点回顾：1、定义：把平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹叫做 ，点F 叫做抛物线的 ,直线l 叫做抛物线的 。
2、椭圆的简单几何性质3、抛物线焦点弦性质直线过抛物线px y 22=的焦点与抛物线交于()()2211,,,y x B y x A 两点（1）221221,4p y y p x x -== （2）)(sin 2221的倾斜角为直线AB p p x x AB αα=++= （3）PFB FA 211=+ （4）以弦AB 为直径的圆与准线相切 考点一: 定义和标准方程[例1]设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点．(1) 求点P 到点A (－1,1) 的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2) 若B (3,2)，求 |PB |＋|PF | 的最小值．练习1：已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M （－3，m ）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值．归纳:运用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”。
考点二: 抛物线性质[例2] (2013·四川高考)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是_____________.练习1：抛物线214y x =-的焦点坐标是（ ）． A 1016⎛⎫ ⎪⎝⎭， B 1016⎛⎫-⎪⎝⎭， C (01)-，D (10)-， 练习2：抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是 （ ）A （1，1）B ．（） C ． D ．（2，4）归纳（1）关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．（2）技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解． 考点三: 抛物线与直线[例3] (2012·福建高考)如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py ( p >0)上． (1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q .证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．2x y =042=--y x 41,21)49,23(练习1：已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B ，C 两点．当直线l 的斜率是12时， ＝4 . (1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．课后练习：一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1、如果抛物线y 2=ax 的准线是直线x =-1，那么它的焦点坐标为（ ）A ．（1, 0）B ．（2, 0）C ．（3, 0）D ．（－1, 0）2、圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 （ ）A ．x 2+ y 2-x -2 y -=0 B ．x 2+ y 2+x -2 y +1=0 C ．x 2+ y 2-x -2 y +1=0D ．x 2+ y 2-x -2 y +=0 3、一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m ，则水面宽为（ ）A ．mB ． 2mC ．4.5mD ．9m4、平面内过点A （-2，0），且与直线x =2相切的动圆圆心的轨迹方程是（ ）A ． y 2=－2xB ． y 2=－4xC ．y 2=－8xD ．y 2=－16x5、抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上点（-5，m ）到焦点距离是6，则抛物线的方程是 （ ） A ． y 2=-2x B ． y 2=-4x C ． y 2=2x D ． y 2=-4x 或y 2=-36x6、过抛物线y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果x 1+ x 2=6，那么|AB|=（ ） A ．8B ．10C ．6D ．47、把与抛物线y 2=4x 关于原点对称的曲线按向量a 平移，所得的曲线的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．8、过点M （2，4）作与抛物线y 2=8x 只有一个公共点的直线l 有 （ ） A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条9、过抛物线y =ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则等于（ ） A ．2aB ．C ．4aD ．414166)3,2(-=)2(4)3(2--=-x y )2(4)3(2+-=-x y )2(4)3(2--=+x y )2(4)3(2+-=+x y qp 11+a21a4二、解答题10、过抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不同直线l 1，l 2，且k 1＋k 2＝2，l 1与E 相交于点A ，B ，l 2与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N (M ，N 为圆心)的公共弦所在直线记为l .(1)若k 1>0，k 2>0，证明： ·<2p 2； (2)若点M 到直线l 的距离的最小值为755，求抛物线E 的方程．11、(2013·广东高考)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值．12、已知直线y ＝－2上有一个动点Q ，过点Q 作直线l 1垂直于x 轴，动点P 在l 1上，且满足OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为C .(1)求曲线C 的方程；(2)若直线l 2是曲线C 的一条切线，当点(0,2)到直线l 2的距离最短时，求直线l 2的方程．。
抛物线上一点到两定点距离和最小值问题
抛物线上一点到两定点距离和最小值问题GAO KAO DAO JI SHI中考倒计时11天毕业季GRADUATION SEASON《怎样解题》一书的作者匈牙利数学家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。
做题不在多而在精，题要解得精彩；对待解题的思想方法要对头，要通过做题，深刻理解概念，扎实掌握基本知识，学会运筹帷幄，纵横捭阖，使自己的思维水平不断提升，高屋建瓴；只有这样，面对千变万化、形式各异的题目时，才能应对自如，使一道道难题迎刃而解。
也就是说，我们在解题时应力求做到一题多解，多解归一，多题归一，用“动”的观点分析问题，尽可能地拓宽思路，训练自己敏锐的思维，做到“八方联系，浑然一体”，最终达到“漫江碧透，鱼翔浅底”的境界。
原题呈现NO.1（1）将点D(0,4)，代入y=a(x-1)2+3a，求得a=1，所以抛物线的解析式为y=x2-2x+4.NO.2第（2）问中求∠ABD-∠DBE的度数，在直角坐标系背景下求两角的差，自然会联想到特殊角，结合题中相关点的坐标，易∠DBA=45°，故过点B作BF⊥y轴，则△BFD为等腰直角三角形，易证△DBE∽△ABF，则∠DBE=∠ABF，由∠ABD-∠ABF=45°，所以∠ABD-∠DBE=45°。
NO.3第（3）问求△KAF周长的最小值，顶点A、F为定点，所以AF定长，故周长最小只需求KA+KF的最小值，两定一动，线段和最值是不是将军饮马模型呢？显然不是，因为动点K是抛物线上的动点，而不是直线上的动点，故不能用将军饮马模型处理，又该如何破解呢？为什么是点F这个点，F（1,13/4）这个点有何特殊性，请看下面动图。
抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线（来自百度）显然定点F是抛物线的焦点，如何求出抛物线的准线，将动点K 到F的距离转化成K到准线距离是关键。
高三数学抛物线知识点总结
高三数学抛物线知识点总结在高中数学中，抛物线是一个重要的几何概念。
它被广泛用于解决与运动、轨迹、最值等问题相关的数学计算。
为了帮助大家更好地掌握和理解高三数学中的抛物线知识点，本文将对抛物线的定义、性质以及应用进行总结。
1. 抛物线的定义抛物线是指平面上到一个定点距离与到一条固定直线距离相等的点的轨迹。
这个定点称为焦点，固定直线称为准线。
抛物线的形状呈现出对称性，以焦点为中心对称。
抛物线有开口方向，开口向上时准线在抛物线的上方，开口向下时准线在抛物线的下方。
2. 抛物线的标准方程一般情况下，我们可以使用标准方程来表示抛物线。
对于开口向上的抛物线，其标准方程为 y = ax^2 + bx + c，其中 a > 0；对于开口向下的抛物线，其标准方程为 y = ax^2 + bx + c，其中 a < 0。
3. 抛物线的顶点和对称轴抛物线的顶点是抛物线的最值点，是抛物线开口方向的转折点。
对于标准方程 y = ax^2 + bx + c，如果 a > 0，顶点坐标为 (-b/2a, -Δ/4a)，其中Δ = b^2 - 4ac；如果 a < 0，顶点坐标为 (-b/2a, Δ/4a)。
抛物线的对称轴是通过焦点和顶点的直线，是抛物线的中心轴线。
4. 抛物线的焦点和准线对于标准方程 y = ax^2 + bx + c，焦点的纵坐标为 (-Δ/4a)，焦点的横坐标为 (-b/2a)，其中Δ = b^2 - 4ac。
准线与抛物线的距离等于焦点到抛物线上任意一点的距离，准线的方程为 x = -b/2a。
5. 抛物线的形状和方向抛物线的形状与参数 a 的值相关。
当 a 的绝对值越大时，抛物线越“尖”，开口越窄；当 a 的绝对值越小时，抛物线越“平”，开口越宽。
当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
6. 抛物线的焦距焦距是指焦点到准线的距离，记为 f。
专题06椭圆双曲线与抛物线方程的图像与基本性质(理)(知识点串讲)原卷版
专题06 椭圆、双曲线与抛物线方程的图像与基本性质知识网络重难点突破知识点一 椭圆的方程与性质 1、椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于||F 1F 2)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝{M |||MF 1＋||MF 2＝2a }，||F 1F 2＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数．(1)若a ＞c ，则集合P 为椭圆； (2)若a ＝c ，则集合P 为线段； (3)若a ＜c ，则集合P 为空集． 2、椭圆的标准方程和几何性质 标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)x 2b 2＋y 2a 2＝1(a ＞b ＞0)图形性质范围－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b－b ≤x ≤b ， －a ≤y ≤a对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0) 顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )，B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴长轴A 1A 2的长为2a ，短轴B 1B 2的长为2b焦距||F1F2＝2c离心率e＝ca，e∈(0,1) a，b，c的关系c2＝a2－b2例1、（1）(2020·河南洛阳一模)已知椭圆x211－m＋y2m－3＝1的长轴在y轴上，且焦距为4，则m等于() A．5B．6C．9 D．10（2）．已知m是两个数2,8的等比中项，则圆锥曲线221yxm+=的离心率为（）A．32或52B．32或5C．32D．5【变式训练11】、已知圆F1：(x＋1)2＋y2＝16，定点F2(1，0)，动圆M过点F2，且与圆F1相内切，那么点M的轨迹C的方程为____．【变式训练12】、如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是____．知识点二 直线与椭圆的位置关系1．焦半径：椭圆上的点P (x 0，y 0)与左(下)焦点F 1与右(上)焦点F 2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|.(1)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，r 1＝a ＋ex 0，r 2＝a －ex 0； (2)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，r 1＝a ＋ey 0，r 2＝a －ey 0；(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．2．焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中 (1)当P 为短轴端点时，θ最大．(2)S ＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc . (3)焦点三角形的周长为2(a ＋c )．3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长l min ＝2b 2a . 4．AB 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则 (1)弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1k 2|y 1－y 2|； (2)直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.例2、已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b +=>> 4.（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）直线l 与椭圆Γ交于A ，B 两点，AB 的中点M 在圆221x y +=上，求AOB ∆（O 为坐标原点）面积的最大值.【变式训练21】、已知A 、B 分别是椭圆2222x y C 1(a b 0)a b+=>>：的左、右顶点，P 为椭圆C 的下顶点，F为其右焦点.点M 是椭圆C 上异于A 、B 的任一动点，过点A 作直线l x ⊥轴.以线段AF 为直径的圆交直线AM 于点A 、N ，连接FN 交直线l 于点H.点G 的坐标为()b,0-，且PF PG ⋅=，椭圆C 的离心率为12． ()1求椭圆C 的方程；()2试问在x 轴上是否存在一个定点T ，使得直线MH 必过该定点T ？若存在，求出点T 的坐标，若不存在，说明理由．知识点三 双曲线的方程与性质 1、 双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于||F 1F 2)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合P ＝{M||| ||MF 1－||MF 2＝2a }，||F 1F 2＝2c ，其中a ，c 为常数，且a >0，c >0.(1)当a ＜c 时，点P 的轨迹是双曲线； (2)当a ＝c 时，点P 的轨迹是两条射线； (3)当a ＞c 时，点P 不存在． 2、双曲线的标准方程和几何性质 标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)图形性质范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Ry ≤－a 或y ≥a ，x ∈R对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线 y ＝±b a x y ＝±a b x离心率e ＝ ca ，e ∈(1，＋∞) a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2实虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长||A 1A 2＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长||B 1B 2＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长例3、(1)．已知一个双曲线的方程为：22132x y m m -=-+，则m 的取值范围是__.(2)设双曲线x 24－y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交双曲线左支于A ，B 两点，则|BF 2|＋|AF 2|的最小值为__________．【变式训练31】、设双曲线22221(0,0)y x C a b a b-=>>：的一个焦点为F ，过F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，且与另一条渐近线交于点B ，若32OF OB OA =+，则双曲线C 的离心率为( ) A ．2 B ．2C ．233D ．143知识点四 直线与双曲线位置关系例4、设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C的方程为（ ）A ．22144x y -=B ．2214y x -= C ．2214x y -= D ．221x y -=【变式训练41】、（2019年全国Ⅱ卷）设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为（ ）A 2B 3C ．2D 5知识点五 抛物线的方程与性质 1、抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2、抛物线的标准方程与几何性质标准方程y 2＝2px(p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0)x 2＝－2py (p ＞0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0) 对称轴 x 轴y 轴焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0F ⎝⎛⎭⎫－p 2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2离心率 e ＝1 准线 x ＝－p2 x ＝p 2 y ＝－p2 y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 开口方向 向右向左向上向下焦半径(其中P (x 0，y 0))||PF ＝x 0＋p 2||PF ＝－x 0＋p2||PF ＝y 0＋p 2||PF ＝－y 0＋p2例5、已知点()0,2A ，抛物线1:C 2y ax =()0a >的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N .若:5FM MN =a 的值为（ ） A ．14B ．12C ．1D ．4【变式训练51】、已知点F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a >0)的左、右焦点，点P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若||PF 1＋||PF 2＝12，则抛物线的准线方程为__________．知识点六 直线与抛物线位置关系 1、 与焦点弦有关的常用结论设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)． (3)1|AF |＋1|BF |为定值2p .(4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．2、设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(2)|AF |＝p 1－cos α，|BF |＝p 1＋cos α，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)； (3)1|F A |＋1|FB |＝2p ；(4)以弦AB 为直径的圆与准线相切； (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．例6、已知F 是抛物线C ：22y px =(0)p >的焦点，点A 在C 上，A 到y 轴的距离比||AF 小1.（1）求C 的方程；（2）设直线AF 与C 交于另一点B ，M 为AB 的中点，点D 在x 轴上，||||DA DB =.若||6DM =直线AF 的斜率.【变式训练61】、已知直线()20y x m m =+≠与抛物线24y x =交于B 、A 两点， （1）若OA OB ⊥，求m 的值；（2）以AB 为边作矩形ABCD ，若矩形ABCD 的外接圆圆心为1,22⎛⎫⎪⎝⎭，求矩形ABCD 的面积.知识点七 直线与圆锥曲线方程的综合应用 1、 直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点、仅有一个公共点以及有两个相异的公共点．(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线方程为f (x ，y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，f x ，y ＝0，消元(如消去y )，得ax 2＋bx ＋c ＝0. ①若a ＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行(或重合)． ②若a ≠0，设Δ＝b 2－4ac .当Δ＞0时，直线和圆锥曲线相交于不同的两点； 当Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点； 当Δ＜0时，直线和圆锥曲线没有公共点． 2、 直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长：||P 1P 2＝1＋k 2||x 1－x 2＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[y 1＋y 22－4y 1y 2]＝1＋1k 2||y 1－y 2 .(2)斜率不存在时，可求出交点坐标，直接求解(利用坐标轴上两点间距离公式)． 3、 圆锥曲线的中点弦问题遇到弦中点问题常用“点差法”或“根与系数的关系”求解．在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝ －b 2x 0a 2y 0 ；在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝ b 2x 0a 2y 0 ；在抛物线y 2＝2px (p >0)中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率 k ＝py 0 .在使用根与系数的关系时，要注意使用条件是Δ≥0.例7、已知直线l ：y ＝kx ＋2，椭圆C ：x 24＋y 2＝1.试问当k 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1) 有两个不重合的公共点； (2) 有且只有一个公共点； (3) 没有公共点．【变式训练71】、（安徽蚌埠二中2019届模拟）已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．。
高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案
uuur uuur 设 M(x,y) 是以线段 AB 为直径的圆上的任意一点 ,则 MA MB 0 ，
即 ( x x1)( x x2 ) ( y y1)( y y2) 0 ，整理得 : x2 y2 (x1 x2 )x ( y1 y2 ) y 0 ，
故线段 AB 是圆 C 的直径。 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
证明 2: Q OA OB OA OB , (OA OB )2 (OA OB) 2 ，
uuur 2 uuur uuur uuur 2 uuur 2 uuur uuur uuur 2
uuur uuur
OA 2OA OB OB OA 2OA OB OB ，整理得 : OA OB 0 ，
x1 x2 y1 y2 0 …… ..(1)
设 (x,y) 是以线段 AB 为直径的圆上则即 y y2 y y1 x x2 x x1
1(x x1, x x2) ，
去分母得 : ( x x1 )( x x2 ) ( y y1 )( y y2 ) 0 ，
点 ( x1, y1),( x1, y2),( x2 , y1)( x2, y2) 满足上方程 ,展开并将 (1) 代入得 :
x1 x2 ， y0 2
y1 y2 2
设交点坐标为 A( x1, y1) ， B(x2 , y2) ，代入抛物线方程，得
2
y1 2 px1
2
y 2 2 px2
将两式相减，可得
( y1 y2 )( y1 y2 ) 2 p(x1 x2 )
y1 y2 x1 x2
2p y1 y2
a. 在涉及斜率问题时， kAB
5
4 p2
4(2 p2
高三抛物线知识点归纳总结
高三抛物线知识点归纳总结抛物线是数学中的一种曲线，它在高三数学课程中占据着重要的地位。
掌握抛物线的相关知识，对于高三学生来说至关重要。
本文将对高三抛物线的知识点进行归纳总结，以帮助学生更好地理解和应用这一概念。
一、抛物线的基本定义和性质抛物线是一条平面曲线，其定义为到一个定点距离与到一条直线距离相等的点的轨迹。
抛物线具有以下基本性质：1. 对称性：抛物线关于其对称轴对称。
2. 定点和定线：抛物线上的每个点到焦点的距离与到直线（准线）的距离相等。
3. 焦距和准线：焦距是定点到准线的距离，准线是焦点垂直平分切线的直线。
4. 弧长和面积：抛物线的弧长和面积计算可以通过积分得到。
二、抛物线的标准方程和一般方程抛物线的标准方程是 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，a ≠ 0。
通过标准方程我们可以了解抛物线的开口方向、顶点坐标以及对称轴的方程。
一般方程是经过对标准方程的平移、旋转、伸缩等变换得到的，形式为 Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0。
通过一般方程可以确定抛物线的具体形状和位置。
三、抛物线的性质和应用1. 高考重点：掌握抛物线的性质对于应对高考数学考试非常重要。
在高考中，抛物线相关的题目通常包括求焦点、顶点、对称轴、切线等问题，也可能涉及到与其他图形的求交点等问题。
2. 物理应用：抛物线在物理学中有广泛的应用，描述了自由落体、抛体运动等过程。
理解抛物线的性质和应用可以帮助我们更好地理解和解决与自由落体和抛体运动相关的物理问题。
3. 工程应用：抛物线的形状具有美学上的优点，因此在建筑和设计中经常被应用。
例如，拱桥的形状和抛物线非常相似，这是因为抛物线形状具有均匀分散应力的特点，是一种力学上最优的形状。
四、抛物线的图像绘制和计算1. 使用计算机软件绘制抛物线的图像可以辅助我们更好地理解抛物线的形式和变化规律。
常用软件如Geogebra、MATLAB等都可以绘制抛物线的图像。
高中抛物线知识点归纳总结与练习题(含答案)
则 AFK 的面积为
。
7、已知双曲线 x2 y2 1，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程 45
为
。
8、在平面直角坐标系 xoy 中，有一定点 A(2,1) ,若线段 OA 的垂直平分线过抛物线
y2 2 px( p 0) 焦点，则该抛物线的方程是
高中抛物线知识点归纳总结与练习题
y 2 2 px ( p 0)
抛
y l
物
线
OF x
y 2 2 px ( p 0)
y l
FO x
x 2 2 py ( p 0)
y
F
O
x
l
x 2 2 py ( p 0)
y l
O x
F
定义 范围
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫 做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。
二． 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法
直线 l ： y kx b 抛物线
1 联立方程法：
y kx b
y
2
2
px
k 2x22源自kbp)x
b2
0
， ( p 0)
设交点坐标为 A(x1, y1) , B(x2, y2 ) ，则有 0 ,以及 x1 x2, x1x2 ，还可进一步求出
距离之和的最小值为
。
3、直线 y x 3 与抛物线 y2 4x 交于 A, B 两点，过 A, B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分
别为 P,Q ，则梯形 APQB 的面积为
。
4、设 O 是坐标原点， F 是抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点， A 是抛物线上的一点， FA 与 x 轴正
圆锥曲线解题技巧如何利用抛物线的焦点和准线求解问题
圆锥曲线解题技巧如何利用抛物线的焦点和准线求解问题圆锥曲线是数学中的一个重要概念，包括椭圆、双曲线和抛物线。
在解题过程中，利用抛物线的焦点和准线可以帮助我们更好地解决与圆锥曲线相关的问题。
本文将介绍圆锥曲线解题技巧，重点讨论如何使用抛物线的焦点和准线来求解问题。
1. 抛物线的焦点和准线抛物线是一种特殊的圆锥曲线，它具有以下性质：焦点F到抛物线上任意一点P的距离等于该点到抛物线的准线的距离。
准线是过焦点垂直于对称轴所得的直线。
2. 求解抛物线的焦点和准线求解焦点和准线可以通过以下步骤进行：Step 1: 确定抛物线的方程抛物线的方程一般形式为y = ax^2 + bx + c或x = ay^2 + by + c。
根据题目给出的限定条件，我们可以确定抛物线的具体方程。
Step 2: 求解焦点坐标根据焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到准线的距离，我们可以得到以下等式：PF = PL，其中P为抛物线上任意一点，F为焦点，L为准线上的点。
根据抛物线的方程，将P(x, y)代入等式，然后解方程组，即可求解焦点坐标。
Step 3: 求解准线方程通过焦点的对称性，我们知道准线与抛物线对称，且焦点在准线上的中垂线上。
利用这一性质，我们可以求解准线的方程。
首先，求解焦点对称的点，然后通过这两点求解中垂线的斜率，最后根据中垂线上一点求解直线方程，即可得到准线的方程。
3. 利用焦点和准线求解问题在解题过程中，我们可以利用焦点和准线的性质来求解与抛物线相关的问题。
以下是一些具体应用：应用一：求解顶点和焦距通过焦点和准线，可以求解抛物线的顶点和焦距。
顶点的坐标可以通过焦点和准线的交点求得，焦距可以通过焦点到准线的距离求得。
应用二：求解切线和法线利用焦点和准线的性质，我们可以求解抛物线上任意一点处的切线和法线方程。
首先，求解该点关于焦点的对称点，然后利用对称点和该点求解对称轴，最后通过求导和求解斜率，可以得到切线和法线的方程。
专题04 抛物线上的点到定点与焦点(或准线)之和的最值高中数学破题致胜微方法(抛物线上的点到定点或定
专题04 抛物线上的点到定点与焦点(或准线)之和的最值 本内容主要研究抛物线上的点到定点与焦点(或准线)之和的最值.根据三角形两边之和不小于第三边，即AF PF PA ≥+，当且仅当点P 在线段AF 上时PF PA +的最小值是AF .利用抛物线的定义将动点（在抛物线上）到焦点与到准线的距离进行互化，定点所在位置是抛物线的内部还是外部，求抛物线上的点到定点与焦点(或准线)之和的最值时方法有差异.先看例题：例：抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B (4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点Q 的坐标为 .分析：B 在抛物线内，如图，作QR ⊥l 交于R ，则当B 、Q 、R 三点共线时，距离和最小. 归纳整理：求抛物线上的点到定点与焦点(或准线)之和的最值：利用抛物线的定义将动点（在抛物线上）到焦点与到准线的距离进行互化；定点所在位置是抛物线的内部还是外部；根据三角形两边之和大于第三边，共线时取得最值.再看一个例题，加深印象：例：抛物线C :y 2=4x 上一点P 到点A (3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________分析：A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =，因而易发现，当A 、P 、F 三点共线时，距离和最小.总结：1. 利用抛物线的定义将动点（在抛物线上）到焦点与到准线的距离进行互化；2. 判断定点所在位置是抛物线的内部还是外部；3. 根据三角形两边之和大于第三边，共线时取得最值.练习：1. 已知抛物线x y 42=，P 是抛物线上一点. 设F 是焦点，一个定点为()3,6A ，求PF PA +的最小值，并指出此时点P 的坐标.2. 已知点F 是抛物线2:4C y x =的焦点，点B 在抛物线C 上，(5,4)A ，当ABF ∆周长最小时，该三角形的面积为 .3. 已知点P 在抛物线y 2=4x 上, 那么点P 到点Q (2,－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时, 点P 的坐标为( )A.1(1,)4- B.1(,1)4 C.(1,2) D.(1,－2)4. 已知点P 是抛物线y 2=2x 上的一个动点,则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )17 B.3 5 D. 92答案：1.2.【答案】2【解析】过点B 作抛物线C 的准线1x =-的垂线，垂足为点B 1，因为周长L AF AB BF =++142AB BB =+，所以当A ，B ，B 1三点共线时ABF ∆的周长最小，此时点B 的坐标为(4,4)，ABF ∆的面积11422S =⨯⨯=． 3. 4.。
高中数学破题致胜微方法(抛物线的几何性质及相关结论)：四、抛物线焦半径倒数和的定值性质
本内容主要研究抛物线焦点弦的一个性质.过抛物线的焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，则11FA FB +为定值．例：已知AB 是过抛物线px y 22=)0(>p 焦点F 的动弦.求证： p FB FA 211=+.图111||||||AA A M MA =+||cos p AF θ=+,11||||||BB B N NB =-||cos p BF θ=-因此||||cos AF p AF θ=+，||||cos BF p BF θ=-所以焦半径||1cos p AF θ=-，焦半径||1cos p BF θ=+. 11cos AF p -θ∴= 11cos BF p +θ= ∴pFB FA 211=+整理：过抛物线的焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，则pFB FA 211=+，p 是焦准距（焦点到对应准线的距离）．再看一个例题：例：过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点，若||3AF =，则||BF =▲【解析】方法一：抛物线24y x =的准线:1l x =-.设(0)AFx θθπ∠=<<，BF m =.∵||3AF =，∴根据抛物线的定义，点A 到准线:1l x =-的距离为3.∴323cos θ=+，即1cos 3θ=.又由BF m =，得2cos()m m πθ=+-，即231cos 2m θ==+ 方法二：根据p FB FA 211=+=1，又||3AF =，则||BF =32. 显然方法二计算量小.总结：1.过抛物线的焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，则pFB FA 211=+，p 是焦准距（焦点到对应准线的距离）．2.掌握抛物线焦点弦的这个定值性质，处理相关焦半径问题时非常简捷.练习：1.过抛物线m ：2y ax =（a ＞0）的焦点F 作直线l 交抛物线于,P Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别为,p q ，则11p q --+的值必等于（ ）．A ．2aB ．12aC ．4aD ．4a2.过抛物线y 2=2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ,B 两点,若25||12AB =,|AF |<|BF |,则|AF |=________.答案：1.解：2y ax =，21=x y a ，得112=412--+=p q a a ，选C. 2.2222(2)04k k x k x -++=,因为|AF |<|BF |,即x 1<x 2,所以解方程得113x =,所以 115||26AF x =+=. 方法二：由抛物线方程可知焦点F 的坐标为(12,0),设A (x 1,y 1),B(x 2,y 2),则 1225||112AB x x =++=,所以121312x x +=, 根据2124p x x ==14， 因为|AF |<|BF |,即x 1<x 2,所以解方程组得113x =,234=x 所以 115||26AF x =+=. 方法三：根据p FB FA 211=+=2，又|AF |+|BF |=25||12AB =,|AF |<|BF |，解得5||6=AF .显然方法三计算量小.。
抛物线定义及性质常考5种题型(解析版)--2024高考数学常考题型精华版
抛物线定义及性质常考5种题型【考点分析】考点一：抛物线定义平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．考点二：抛物线焦点弦焦半径公式图1-3-1图1-3-2焦半径：21p x AF +=，22p x BF +=，||||1cos 1cos p p AF BF αα==-+；．焦点弦：1222||sin pAB x x p a=++=．三角形面积：22sin AOB p S △α=．【题型目录】题型一：抛物线的定义及方程题型二：抛物线的性质题型三：抛物线焦点弦焦半径题型四：有关三角形面积问题题型五：抛物线中的最值问题【典型例题】题型一：抛物线的定义及方程【例1】已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上一点)0M y 满足3||2MF p =，则p =（）A ．1B ．2C ．12D ．32【例2】抛物线218y x =-的准线方程是（）A ．132x =B ．2y =C ．132y =D ．2y =-【例3】在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若OFM△的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆面积为81π，则p =（）A ．6B ．8C ．10D ．12【例4】数学与建筑的结合造就建筑艺术，如图，吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，若将校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线2y ax =的一部分，其焦点坐标为()0,2-，校门最高点到地面距离约为18米，则校门位于地面宽度最大约为（）A ．18米B ．21米C ．24米D ．27米【例5】过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，分别过A 、B 两点作准线的垂线，垂足分别为11,A B 两点，以线段11A B 为直径的圆C 过点(2,3)-，则圆C 的方程为（）A ．22(1)(2)2x y ++-=B ．22(1)(1)5x y ++-=C ．22(1)(1)17x y +++=D ．22(1)(2)26x y +++=而圆心C 是线段11A B 的中点，又1AA ⊥显然直线AB 不垂直于y 轴，设直线AB 则4,4y y t y y +==-，||(y y -=过点【题型专练】1.已知抛物线24y x =，其焦点为F ，准线为l ，则下列说法正确的是（）A ．焦点F 到准线l 的距离为1B ．焦点F 的坐标为(1,0)C ．准线l 的方程为116y =-D ．对称轴为x 轴2.抛物线2:16C y x =的焦点为F ，点M 在C 上，12MF =，则M 到y 轴的距离是（）A ．4B ．8C ．10D ．123.已知抛物线2:2C y x =的焦点为,(,)F A m n 是抛物线C 上的一点，若52AF =，则OAF △(O 为坐标原点)的面积是（）A ．12B ．1C ．2D ．44．（2022·广东广州·高二期末）已知圆()2214x y -+=与抛物线()220x py p =>的准线相切，则p =（）A ．1B ．2C ．4D ．85.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5m ，跨径为12m ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为______m ．【答案】185##3.6【分析】首先建立直角坐标系，再根据抛物线所过的点求标准方程，进而得到抛物线的焦点到准线的距离.【详解】以抛物线的最高点O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的解析式为22x py =-，因为抛物线过点()6,5-，所以36所以抛物线的焦点到准线的距离为题型二：抛物线的性质【例1】抛物线()220x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线22133y x -=相交于A ，B 两点，若ABF 为等边三角形，则p =（）A ．2B ．12C ．6D ．16【例2】已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 在抛物线C 上，PQ 垂直l 于点Q ，QF 与y 轴交于点T ，O 为坐标原点，且1OT =，则PF =（）A ．1B ．2C ．3D ．4【例3】已知P ，Q 是抛物线2:4C x y =上位于不同象限的两点，分别过P ，Q 作C 的切线，两条切线相交于点T ，F 为C 的焦点，若2=FP ，5FQ =，则F T =（）A ．5B C ．D ．4【答案】BQ 根据抛物线的定义，可知1P FP y =+=所以P 的纵坐标为1，Q 的纵坐标为4，则由24x y =得24x y =，得2x y '=，所以抛物线在得到两条切线方程并联立124y x y x =--⎧⎨=-⎩，解得所以()2212110FT =+--=．故选：B【例4】已知点A 是抛物线C ：22x y =上一点，F 为焦点，O 为坐标原点，若以点O 为圆心，以OA 的长为半径的圆与抛物线C 的另一个交点为B ，且π3AOB ∠=，则AF 的值是（）A ．112B ．6C ．132D ．7【例5】（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（）A ．直线AB 的斜率为B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒【题型专练】1．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线与抛物线交于点A 、B ，与直线l 交于点D ，若3AF FB =，4BD = ，则p =（）A ．1B ．3C ．2D ．4【答案】B【分析】作出辅助线，由抛物线定义得到则11BB FK AA ∥∥．根据抛物线定义知又3AF FB = ，4BD = ，所以设1DBB θ∠=，因为1BB ∥则11cos BB AA DBDAAB θ===2.已知抛物线()2:20C y px p =>过点()1,2B ，过点()1,0A -的直线交抛物线于M ，N 两点，点N 在点M 右侧，若F 为焦点，直线NF ，MF 分别交抛物线于P ，Q 两点，则（）A ．4MF NF ⋅>B ．2OM ON OB ⋅=C ．A ，P ，Q 三点共线D ．4AMP π∠≤3.已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在抛物线C 上，O 为原点，若OAF △为等腰三角形，则点A 的横坐标可能为（）A ．2B 1C 2D ．24.设抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，FA 为半径的圆交l 于B ，D 两点，若90ABD ∠=︒，且ABF 的面积为）A ．3BF =B ．ABF 是等边三角形C ．点F 到准线的距离为3D ．抛物线C 的方程为212y x=因为以F 为圆心，|FA |为半径的圆交l 由抛物线的定义可得|AB |＝|AF |＝|BF |所以ABF 是等边三角形，故B 正确；所以∠FBD ＝30°.因为ABF 的面积为34|BF |2＝93，所以|BF |＝6.故A 错误；5.已知C ：()220y px p =>的焦点为FF 的直线l 与抛物线C 交于点A ，B 两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若4AF =，则（）A ．2p =B ．F 为线段AD 的中点C ．2BD BF =D ．2BF =6.已知点F 是抛物线2:8E y x =的焦点，A ，B ，C 为E 上三点，且0FA FB FC ++=，则||||||FA FB FC ++=___________．【答案】12【分析】根据题意可得F 为△ABC 的重心，根据重心坐标公式再结合抛物线定义1||2FA x =+代入整理计算．题型三：抛物线焦点弦焦半径【例1】过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于点A ，B ，若2,AF FB =若直线l 的斜率为k ，则k =（）A ．B ．-C ．-D 或【例2】已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线与E 交于,A B 两点，,C D 分别为,A B 在l 上的射影，则下列结论正确的是（）A ．若直线AB 的倾斜角为45 ，则8AB =B ．若2AF FB =，则直线AB 的斜率为±C ．若O 为坐标原点，则,,B O C 三点共线^ D．CF DF消x 可得222440,Δ(4)1616160,y m y m m --==-+=+>121244y y m y y +=⎧⎨⋅=-⎩，()()122,,2,FC y FD y =-=-，所以()()12122,2,40FC FD y y y y ⋅=-⋅-=+=，即CF DF ^，故D 正确.故选：ACD.【例3】已知抛物线24y x =，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则||||AC BD +的最小值为（）A ．32B ．2C ．3D ．5【题型专练】1.（2022·全国·高考真题（文））设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（）A ．2B ．C ．3D ．【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A 的横坐标，进而求得点A 坐标，即可得到答案.【详解】由题意得，()1,0F ，则2AF BF ==，即点A 到准线1x =-的距离为2，所以点A 的横坐标为121-+=，不妨设点A 在x 轴上方，代入得，()1,2A ，所以AB ==故选：B2.设F 为抛物线2:6C y x =的焦点，过F 且倾斜角为60°的直线交C 于A ，B 两点，则AB =（）A ．3B ．8C ．12D ．3．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（）A ．C 的准线为1y =-B ．直线AB 与C 相切C ．2|OP OQ OA ⋅>D ．2||||||BP BQ BA ⋅>4.已知抛物线2:4C y x =的焦点F ，过F 分别作直线1l 与C 交于A ，B 两点，作直线2l 与C 交于D ，E 两点，若直线1l 与2l 的斜率的平方和为1，则AB DE +的最小值为_________=题型四：有关三角形面积问题【例1】经过抛物线C ：24y x =的焦点F 的直线l 与抛物线交于不同的两点A ，B ，若AOB S =△O 为坐标原点），则直线l 的斜率为______．【例2】抛物线22(0)y px p =>的焦点为F，直线20l y --=与抛物线分别交于A B ，两点（点A 在第一象限），则AOF AOBS S 的值等于________.【答案】34【题型专练】1.2:4C y x =的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则三角形AOB 的面积是（O 为坐标原点）（）A B C ．3D ．1632.已知斜率为()0k k >的直线过抛物线C ：24y x =的焦点F 且与抛物线C 相交于,A B 两点，过,A B 分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为1A ，1B ，若1ABB △与1ABA △的面积之比为2，则k 的值为（）A B ．12C ．2D ．由抛物线C ：24y x =，得(1,0F题型五：抛物线中的最值问题【例1】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22y x =上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（）A ．1B ．12C ．2D 【例2】已知P 为抛物线24y x =上任意一点，F 为抛物线的焦点，()4,2M 为平面内一定点，则PF PM+的最小值为__________．当,,P M A 共线时，和最小；过点最小值为5.故答案为：5.【例3】已知F 是抛物线24y x =的焦点，P 是抛物线24y x =上一动点，Q 是()()22:411C x y -+-= 上一动点，则下列说法正确的有（）A ．PF 的最小值为1B ．QFC ．PF PQ +的最小值为4D ．PF PQ +1【答案】AC【分析】根据抛物线的性质判断A ，根据圆的性质判断B ，结合抛物线的定义判断C ，D.【详解】抛物线焦点为()1,0F ，准线为1x =-，作出图象，【例4】已知抛物线2:8C y x =及圆22():21M x y -+=，过()2,0的直线l 与抛物线C 和圆M 从上到下依次交于A ，P ，Q ，B 四点，则4AP BQ +的最小值为___________.圆心()2,0M 即为抛物线C 的焦点F .所以()(414AP BQ AF BF +=-+-【题型专练】1.已知点P 为抛物线24y x =-上的动点，设点P 到2:1l x=的距离为1d ，到直线40x y +-=的距离为2d ，则12d d +的最小值是（）A ．52B ．2C ．2D ()1,0F - ，则1210452d d --==++故选：B ．【点睛】抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点距离．牢记它对解题非常有益．2.已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，且33AF BF ==，则p =________；设点M 是抛物线C 上的任意一点，点N 是C 的对称轴与准线的交点，则MNMF的最大值为________.3.（2021·甘肃·民勤县第一中学高二开学考试（文））已知P 为抛物线24y x =上的一个动点，Q 为圆()2241x y +-=上的一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和的最小值是______.14．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，且F 与圆()22:41M x y ++=上的点的距离的最小值4．(1)求p ；(2)若点P 在圆M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB △面积的最大值．）()11,A x y ，()22,B x y ，00(,)P x y ，由于点P 在圆y。
专题06三点共线 高考数学多题一解篇(文理通用)(解析版)
高考数学二轮复习微专题（文理通用）多题一解之三点共线篇【知识储备】 1、共线向量定理：向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa 。
2、A ，B ，C 三点共线，O 为A ，B ，C 所在直线外一点，则OA →＝λOB →＋μOC →且λ＋μ＝1。
特别，当A 为线段BC 中点时，OA →＝12OB →＋12OC →。
3．向量共线的坐标表示：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0。
提示：a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0。
【走进高考】【例】【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =u u u r u u u r ，120FB F B ⋅=u u ur u u u u r ，则C 的离心率为____．【答案】2【解析】法一：由1F A AB =u u u r u u u r可得1，，F A B 三点共线且A 为线段1F B 的中点，由题意知F 1，F 2的坐标分别为(,0),(,0)-c c ，设A 点的坐标为(,）-b x x a ，B 点的坐标为11(,）x y ，由1F A AB =u u u r u u u r 可得11(,(,）=）+--+b bx c x x x y x a a， 解得B 点的坐标为2(2,）+-b x c x a ，所以1222=(22,),2,（）+-=-u u u r u u u u r b bF B x c x F B x x a a，又120FB F B ⋅=u u u r u u u u r ，则有22242(22)0++=b x x c x a （1），又2=(2)-⨯+b b x x c a a 可得4=-cx ，代入（1）式得223=b a ，∴该双曲线的离心率为2c e a ====． 法二：如图，由1,F A AB =u u u r u u u r得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线， 即22,2.BF OA BF OA =∥由120F B F B ⋅=u u u r u u u u r，得121,,F B F B OA F A ⊥∴⊥ ∴1OB OF =，1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21πBOF AOB AOF ∠+∠+∠=，∴2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=o又渐近线OB的斜率为tan 60ba=︒=∴该双曲线的离心率为2c e a ====．【名师点睛】本题结合平面向量考查双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取几何法，利用数形结合思想解题．解答本题时，通过向量关系得到1F A AB =和1OA F A ⊥，从而可以得到1AOB AOF ∠=∠，再结合双曲线的渐近线可得21,BOF AOF ∠=∠进而得到2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=o从而由tan 60ba=︒=. 【例】【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若，求|AB |．【答案】（1）3728y x =-；（2）3. 【解析】设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y =+． （1）由题设得3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-． 从而12(1)592t --=，得78t =-．所以l 的方程为3728y x =-． （2）法一：由题意设P 点的坐标为(,0）x ，则1122=(,),,（）--=-u u u r u u u rAP x x y PB x x y ，323AP PB =u u u r u u u r由3AP PB =u u u r u u u r可得123y y =-．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=． 所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=． 代入C 的方程得1213,3x x ==．故||3AB =．法二：过A 点、B 点分别向x 轴作垂线，垂足分别为M ，N ，易知AMP BNP ∆≈∆，由3AP PB =u u u r u u u r可得123y y =-．下同法一。
高中数学抛物线经典考点及例题讲解
抛物线考纲解读 1.利用抛物线的定义及简单性质求抛物线的标准方程；2.根据抛物线标准方程求其几何性质；3.利用抛物线几何性质研究与直线有关的综合问题．[基础梳理]1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内．(2)与一个定点F 和一条定直线l 距离相等． (3)l 不经过点F .2．抛物线的标准方程与几何性质O (0,0)[三基自测]1．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716 B.1516 C.78 D ．0 答案：B2．以x 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P (1，m )到焦点的距离为3，则其方程是( )A ．y ＝4x 2B ．y ＝8x 2C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x答案：D3．抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点P 有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．4个 答案：C4．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________．答案：y 2＝－8x 或x 2＝－y5．(2017·高考全国卷Ⅱ改编)过y 2＝8x 的焦点F 垂直于x 轴的直线交抛物线于M 、N 两点，求|MN |.答案：8考点一 抛物线的定义及应用|方法突破[例1] (1)(2018·河北三市联考)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A 、B 两点，且|P A |＝12|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为( )A.53 B.75 C.97D ．2(2)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( )A ．25－1B ．25－2 C.17－1D.17－2(3)与y 轴相切并与圆C ：x 2＋y 2－6x ＝0也相切的圆的圆心的轨迹方程为________． [解析] (1)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，分别过点A 、B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为点D 、E (图略)．∵|P A |＝12|AB |，∴⎩⎪⎨⎪⎧3(x 1＋2)＝x 2＋23y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53.(2)由题意得圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心A (0,4)，半径r ＝1，抛物线的焦点F (1,0)．由抛物线的几何性质可得：点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF |－r ＝1＋16－1＝17－1.选C.(3)当动圆在y 轴右侧时，如图，动圆圆心P 到(3,0)的距离等于P 到定直线x ＝－3的距离(3＋r )，所以P 点的轨迹是以(3,0)为焦点的抛物线． 其方程为y 2＝12x (x >0)．当动圆在y 轴左侧时，其圆心在x 轴的负半轴上，其方程为y ＝0(x <0)． [答案] (1)A (2)C (3)y 2＝12x (x >0)或y ＝0(x <0) [方法提升][母题变式]1．将本例(1)改为过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝10，则AB 的中点到y 轴的距离等于( )A ．1B ．2 C ．3D ．4解析：AB 的中点到抛物线准线的距离为|AB |2＝5，所以AB 的中点到y 轴的距离为5－1＝4.答案：D2．将本例(2)改为已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，求|MA |＋|MF |的最小值．解析：抛物线x 2＝4y 的焦点为F (0,1)，准线为y ＝－1，由抛物线的定义得|MF |等于M 到准线的距离d ，所以|MA |＋|MF |的最小值等于圆心C 到准线的距离减去圆的半径，即5＋1－1＝5.考点二 抛物线标准方程及性质|方法突破[例2] (1)(2018·沈阳模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为( )A ．(－1,0)B ．(1,0)C ．(0，－1)D ．(0,1)(2)(2018·保定模拟)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点A (0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x(3)经过抛物线C 的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，如果A 、B 在抛物线C 的准线上的射影分别为A 1、B 1，那么∠A 1FB 1等于( )A.π6B.π4C.π2D.2π3[解析] (1)抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p 2且过点(－1,1)，故－p2＝－1，解得p ＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．(2)由已知得抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设点M (x 0，y 0)，则AF →＝⎝⎛⎭⎫p 2，－2，AM →＝⎝⎛⎭⎫y 202p ，y 0－2.由已知得，AF →·AM →＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝⎛⎭⎫8p ，4.由|MF |＝5，得⎝⎛⎭⎫8p －p 22＋16＝5. 又p >0，解得p ＝2或p ＝8.(3)由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|，故∠BFB 1＝∠BB 1F ，∠AF A 1＝∠AA 1F .又∠OFB 1＝∠BB 1F ，∠OF A 1＝∠AA 1F ，故∠BFB 1＝∠OFB 1，∠AF A 1＝∠OF A 1，所以∠OF A 1＋∠OFB 1＝12×π＝π2，即∠A 1FB 1＝π2.[答案](1)B(2)C(3)C[方法提升]求抛物线方程的方法[跟踪训练]1．(2018·宜宾诊断)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是()A．y2＝－xB．x2＝－8yC．y2＝－8x或x2＝－yD．y2＝－x或x2＝－8y解析：若焦点在x轴上，设抛物线方程为y2＝ax，将点P(－4，－2)的坐标代入，得a ＝－1，所以抛物线的标准方程为y2＝－x；若焦点在y轴上，设方程为x2＝by，将点P(－4，－2)的坐标代入，得b ＝－8，所以抛物线的标准方程为x 2＝－8y .故所求抛物线的标准方程是y 2＝－x 或x 2＝－8y .答案：D2．(2018·重庆渝中区模拟)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，双曲线C 的渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)交于A ，B 两点，△OAB (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝43x解析：∵双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，∴双曲线C 为等轴双曲线，即a ＝b ，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±x .又∵双曲线C 的渐近线与抛物线y 2＝2px 交于A ，B 两点，如图所示，设点A (x ，y )，∴|OM |＝x ，|AM |＝y .又 ∵△OAB 的面积为xy ＝4，∴x ＝2，y ＝2.又∵点A 在抛物线上，∴22＝2p ·2.解得p ＝1，∴抛物线的方程为y 2＝2x .故选C.答案：C3．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )A.72B.52 C ．3D ．2 解析：∵FP →＝4FQ →，∴|FP →|＝4|FQ →|， ∴|PQ ||PF |＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4，∴|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF |＝34， ∴|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3，故选C. 答案：C考点三 直线与抛物线综合问题|方法突破[例3] (2016·高考浙江卷) 如图，设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1.(1)求p 的值．(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M ，求M 的横坐标的取值范围．[解析] (1)由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离， 由抛物线的定义得p2＝1，即p ＝2.(2)由(1)得，抛物线方程为y 2＝4x ，F (1,0)，可设A (t 2,2t )，t ≠0，t ≠±1. 因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝sy ＋1消去x 得y 2－4sy －4＝0， 故y 1y 2＝－4，所以B ⎝⎛⎭⎫1t 2，－2t . 又直线AB 的斜率为2tt 2－1，故直线FN 的斜率为－t 2－12t ，从而得直线FN ：y ＝－t 2－12t (x －1)，直线BN ：y ＝－2t ，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋3t 2－1，－2 t . 设M (m,0)，由A ，M ，N 三点共线得2tt 2－m ＝2t ＋2t t 2－t 2＋3t 2－1，于是m ＝2t 2t 2－1＝2＋2t 2－1，所以m <0或m >2.经检验，m <0或m >2满足题意．综上，点M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)． [方法提升][跟踪训练]如图，点O 为坐标原点，直线l 经过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，设点A 是直线l 与抛物线C 在第一象限的交点．以点F 为圆心，|F A |为半径的圆与x 轴负半轴的交点为点B ，与抛物线C 在第四象限的交点为点C .(1)若点O 到直线l 的距离为32，求直线l 的方程； (2)试判断直线AB 与抛物线C 的位置关系，并给出证明． 解析：(1)由题易知，抛物线C 的焦点为F (1,0)， 当直线l 的斜率不存在时，即x ＝1，不符合题意.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0. 所以|－k |1＋k 2＝32，解得k ＝± 3. 即直线l 的方程为y ＝±3(x －1)． (2)直线AB 与抛物线C 相切，证明如下： 设A (x 0，y 0)，则y 20＝4x 0.因为|BF |＝|AF |＝x 0＋1，所以B (－x 0,0)． 所以直线AB 的方程为：y ＝y 02x 0(x ＋x 0)， 整理得，x ＝2x 0y y 0－x 0，把上式代入y 2＝4x 得y 0y 2－8x 0y ＋4x 0y 0＝0，Δ＝64x 20－16x 0y 20＝64x 20－64x 20＝0，所以直线AB 与抛物线C 相切．1.[考点一](1)(2016·高考全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A (4p ，22)，D (－p 2，5)，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p 24＋5，得p ＝4，所以选B.答案：B2.[考点一、二](2016·高考全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx (k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：由题意得点P 的坐标为(1,2)．把点P 的坐标代入y ＝kx (k >0)得k ＝1×2＝2，故选D.答案：D3.[考点二、三](2017·高考全国卷Ⅰ)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10解析：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0.不妨设直线l 1的斜率为k ，则l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)，消去y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k 2，由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝2＋4k 2＋2＝4＋4k 2.同理得|DE |＝4＋4k 2，∴|AB |＋|DE |＝4＋4k 2＋4＋4k 2＝8＋4⎝⎛⎭⎫1k 2＋k 2≥8＋8＝16，当且仅当1k 2＝k 2，即k ＝±1时取等号，故|AB |＋|DE |的最小值为16，故选A.答案：A4.[考点二、三](2017·高考全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.解析：如图，过M 、N 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M 1、N 1，设抛物线的准线与x 轴的交点为F 1，则|NN 1|＝|OF 1|＝2，|FF 1|＝4.因为M 为FN 的中点，所以|MM 1|＝3，由抛物线的定义知|FM |＝|MM 1|＝3，从而|FN |＝2|FM |＝6.答案：65.[考点二、三](2017·高考全国卷Ⅰ)设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率：(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．解析：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 224，x 1＋x 2＝4，于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1.(2)由y ＝x 24，得y ′＝x2.设M (x 3，y 3)，由题设知x 32＝1，解得x 3＝2，于是M (2,1)．设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (2,2＋m )，|MN |＝|m ＋1|. 将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24得x 2－4x －4m ＝0.当Δ＝16(m ＋1)>0，即m >－1时，x 1,2＝2±2m ＋1. 从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42(m ＋1).由题设知|AB |＝2|MN |，即42(m ＋1)＝2(m ＋1)，解得m ＝7. 所以直线AB 的方程为y ＝x ＋7.。
专题06 抛物线上的点到定点与焦点(或准线)距离之差的最值定稿高中数学破题致胜微方法(抛物线上的点到
专题06 抛物线上的点到定点与焦点(或准线)距离之差的最值本内容主要研究抛物线上的点到定点与焦点(或准线)距离之差的最值.根据三角形两边之和不小于第三边，即||PA PF AF -≤，当且仅当A 、P 、F 三点共线时,||PA PF -的最大值是AF .利用抛物线的定义将动点（在抛物线上）到焦点与到准线的距离进行互化，定点所在位置是抛物线的内部还是外部，求抛物线上的点到定点与焦点(或准线)之和的最值时方法有差异.先看例题： 例：抛物线C: y 2=8x 上一点P 到点A (4,-2)与到其准线的距离之差的绝对值最大,求点P 的坐标.归纳整理：求抛物线上的点到定点与焦点(或准线)之差的最值：利用抛物线的定义将动点（在抛物线上）到焦点与到准线的距离进行互化；定点所在位置是抛物线的内部还是外部；根据三角形两边之差小于第三边，共线时取得最值.再看一个例题，加深印象例：已知点M (－3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ |－|QF |的最小值是( )A.72B ．3 C.52D ．2 总结：1. 利用抛物线的定义将动点（在抛物线上）到焦点与到准线的距离进行互化；2. 判断定点所在位置是抛物线的内部还是外部；3. 根据三角形两边之和大于第三边，共线时取得最值.练习：1. 已知抛物线22y x =，P 是抛物线上一点.设F 是焦点，一个定点为()2,3A ，当PF PA -取得最大值，则点P 的坐标是（ ）.2. 设抛物线C : y 2=4x 上，F 是焦点，P 是抛物线上的动点，A (5,4)，求PA PF -的最大值.答案：1.解析：作PM垂直于准线，其中M为垂足，则|PF|=|PM|，所以PF PA PM PA-=-，可知，当AP垂直准线时三点A，P，M共线，PF PA-取得最大值，此时9,32P⎛⎫ ⎪⎝⎭。
专题06三点共线-2020年高考数学多题一解篇(文理通用)(解析版)
2020年高考数学二轮复习微专题（文理通用）多题一解之三点共线篇【知识储备】 1、共线向量定理：向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa 。
2、A ，B ，C 三点共线，O 为A ，B ，C 所在直线外一点，则OA →＝λOB →＋μOC →且λ＋μ＝1。
特别，当A 为线段BC 中点时，OA →＝12OB →＋12OC →。
3．向量共线的坐标表示：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0。
提示：a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0。
【走进高考】【例】【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =uuu r uuu r ，120F B F B ⋅=u u u r u u u u r，则C 的离心率为____．【答案】2【解析】法一：由1F A AB =uuu r uuu r可得1，，F A B 三点共线且A 为线段1F B 的中点，由题意知F 1，F 2的坐标分别为(,0),(,0)-c c ，设A 点的坐标为(,）-b x x a ，B 点的坐标为11(,）x y ，由1F A AB =uuu r uuu r 可得11(,(,）=）+--+b bx c x x x y x a a， 解得B 点的坐标为2(2,）+-b x c x a ，所以1222=(22,),2,（）+-=-u u u r u u u u r b bF B x c x F B x x a a，又120F B F B ⋅=u u u r u u u u r ， 则有22242(22)0++=b x x c x a（1），又2=(2)-⨯+b bx x c a a 可得4=-c x ，代入（1）式得223=b a ，∴该双曲线的离心率为2c e a ====． 法二：如图，由1,F A AB =u u u r u u u r得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22,2.BF OA BF OA =∥由120F B F B ⋅=u u u r u u u u r，得121,,F B F B OA F A ⊥∴⊥∴1OB OF =，1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21πBOF AOB AOF ∠+∠+∠=，∴2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=o又渐近线OB 的斜率为tan 60ba=︒=，∴该双曲线的离心率为221()1(3)2c bea a==+=+=．【名师点睛】本题结合平面向量考查双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取几何法，利用数形结合思想解题．解答本题时，通过向量关系得到1F A AB=和1OA F A⊥，从而可以得到1AOB AOF∠=∠，再结合双曲线的渐近线可得21,BOF AOF∠=∠进而得到2160,BOF AOF BOA∠=∠=∠=o从而由tan603ba=︒=可求离心率.【例】【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若3AP PB=u u u r u u u r，求|AB|．【答案】（1）3728y x=-；（2413【解析】设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y=+．（1）由题设得3,04F⎛⎫⎪⎝⎭，故123||||2AF BF x x+=++，由题设可得1252x x+=．由2323y x ty x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t+-+=，则1212(1)9tx x-+=-．从而12(1)592t--=，得78t=-．所以l的方程为3728y x=-．（2）法一：由题意设P点的坐标为(,0）x，则1122=(,),,（）--=-u u u r u u u rAP x x y PB x x y，由3AP PB=u u u r u u u r可得123y y=-．由2323y x ty x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t-+=．所以122y y+=．从而2232y y-+=，故211,3y y=-=．代入C 的方程得1213,3x x ==．故||AB =．法二：过A 点、B 点分别向x 轴作垂线，垂足分别为M ，N ，易知AMP BNP ∆≈∆，由3AP PB =u u u r u u u r可得123y y =-．下同法一。
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专题06 抛物线上的点到定点与焦点(或准线)距离之差的最值 本内容主要研究抛物线上的点到定点与焦点(或准线)距离之差的最值.根据三角形两边之和不小于第三边，即||PA PF AF -≤，当且仅当A 、P 、F 三点共线时,||PA PF -的最大值是AF .利用抛物线的定义将动点（在抛物线上）到焦点与到准线的距离进行互化，定点所在位置是抛物线的内部还是外部，求抛物线上的点到定点与焦点(或准线)之和的最值时方法有差异.
先看例题：
例：抛物线C: y 2=8x 上一点P 到点A (4,-2)与到其准线的距离之差的绝对值最大,求点P 的坐
标.
归纳整理：
求抛物线上的点到定点与焦点(或准线)之差的最值：
利用抛物线的定义将动点（在抛物线上）到焦点与到准线的距离进行互化； 定点所在位置是抛物线的内部还是外部； 根据三角形两边之差小于第三边，共线时取得最值.
再看一个例题，加深印象
例：已知点M (－3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线
上的一动点，则|MQ |－|QF |的最小值是( )
A.72
B ．3 C.52
D ．2 总结：
1. 利用抛物线的定义将动点（在抛物线上）到焦点与到准线的距离进行互化；
2. 判断定点所在位置是抛物线的内部还是外部；
3. 根据三角形两边之和大于第三边，共线时取得最值.
练习：
1. 已知抛物线22y x =，P 是抛物线上一点.设F 是焦点，一个定点为()2,3A ，当PF PA -取得最大值，则点P 的坐标是（ ）.
2. 设抛物线C : y 2=4x 上，F 是焦点，P 是抛物线上的动点，A (5,4)，求P A P F -的最大值.
答案：
1.
解析：作PM垂直于准线，其中M为垂足，则|PF|=|PM|，
所以PF PA PM PA
-=-，可知，当AP垂直准线时三点A，P，M共线，
PF PA
-取得最大值，此时
9
,3
2
P
⎛⎫ ⎪⎝⎭。