专题06 抛物线上的点到定点与焦点(或准线)距离之差的最值定稿-高中数学破题致胜微方法(抛物线上的点到定点

专题06 抛物线上的点到定点与焦点(或准线)距离之差的最值 本内容主要研究抛物线上的点到定点与焦点(或准线)距离之差的最值.根据三角形两边之和不小于第三边，即||PA PF AF -≤，当且仅当A 、P 、F 三点共线时,||PA PF -的最大值是AF .利用抛物线的定义将动点（在抛物线上）到焦点与到准线的距离进行互化，定点所在位置是抛物线的内部还是外部，求抛物线上的点到定点与焦点(或准线)之和的最值时方法有差异.

先看例题：

例：抛物线C: y 2=8x 上一点P 到点A (4,-2)与到其准线的距离之差的绝对值最大,求点P 的坐

标.

归纳整理：

求抛物线上的点到定点与焦点(或准线)之差的最值：

利用抛物线的定义将动点（在抛物线上）到焦点与到准线的距离进行互化； 定点所在位置是抛物线的内部还是外部； 根据三角形两边之差小于第三边，共线时取得最值.

再看一个例题，加深印象

例：已知点M (－3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线

上的一动点，则|MQ |－|QF |的最小值是( )

A.72

B ．3 C.52

D ．2 总结：

1. 利用抛物线的定义将动点（在抛物线上）到焦点与到准线的距离进行互化；

2. 判断定点所在位置是抛物线的内部还是外部；

3. 根据三角形两边之和大于第三边，共线时取得最值.

练习：

1. 已知抛物线22y x =，P 是抛物线上一点.设F 是焦点，一个定点为()2,3A ，当PF PA -取得最大值，则点P 的坐标是（ ）.

2. 设抛物线C : y 2=4x 上，F 是焦点，P 是抛物线上的动点，A (5,4)，求P A P F -的最大值.

答案：

1.

解析：作PM垂直于准线，其中M为垂足，则|PF|=|PM|，

所以PF PA PM PA

-=-，可知，当AP垂直准线时三点A，P，M共线，

PF PA

-取得最大值，此时

9

,3

2

P

⎛⎫ ⎪⎝⎭