高中数学选修2-2教案_学案
数学教案 北师大版选修2-2 同步备课-第1章 推理与证明学案第1节归纳与类比
§1归纳与类比1.1 归纳推理学习目标核心素养1．了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理．(重点)2．了解归纳推理在数学发展中的作用．(难点) 1．通过归纳推理概念的学习，体现了数学抽象的核心素养．2．通过归纳推理的应用的学习，体现了逻辑推理的核心素养.1．归纳推理的定义根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，这种推理方式称为归纳推理．2．归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．思考：由归纳推理得到的结论一定是正确的吗？[提示]不一定正确．因为归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，其结论还需要证明其正确性．1．下列关于归纳推理的说法错误的是( )①归纳推理是由一般到一般的推理过程；②归纳推理是一种由特殊到特殊的推理；③归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确；④归纳推理具有由具体到抽象的认识功能．A．①②B．②③C．①③ D．③④A[归纳推理是由特殊到一般的推理，故①②不正确，易知③④均正确，故选A.]2．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值( )A．至多等于3 B．至多等于4C．等于5 D．大于5B [n ＝2时，可以；n ＝3时，为正三角形，可以；n ＝4时，为正四面体，可以；n ＝5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长相等，不可能．]3．由集合{a 1}，{a 1，a 2}，{a 1，a 2，a 3}，……的子集个数归纳出集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的子集个数为________．2n[集合{a 1}有两个子集和{a 1}，集合{a 1，a 2}的子集有，{a 1}，{a 2}，{a 1，a 2}共4个子集，集合{a 1，a 2，a 3}有8个子集，由此可归纳出集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的子集个数为2n个．]数式中的归纳推理＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199(2)已知f(x)＝x1－x ，设f 1(x)＝f(x)，f n (x)＝f n －1(f n －1(x))(n>1，且n∈N ＋)，则f 3(x)的表达式为________，猜想f n (x)(n∈N ＋)的表达式为________．思路探究：(1)记a n＋b n＝f(n)，观察f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)之间的关系，再归纳得出结论． (2)写出前几项发现规律，归纳猜想结果．(1)C (2)f 3(x)＝x 1－4x f n (x)＝x 1－2n －1x [(1)记a n ＋b n ＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11．通过观察不难发现f(n)＝f(n －1)＋f(n －2)(n∈N＋，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a 10＋b 10＝123. (2)f 1(x)＝f(x)＝x1－x，f 2(x)＝f 1(f 1(x))＝x 1－x 1－x 1－x ＝x1－2x ，f 3(x)＝f 2(f 2(x))＝x 1－2x 1－2·x 1－2x＝x1－4x，由f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)的表达式，归纳f n (x)＝x1－2n －1x.]已知等式或不等式进行归纳推理的方法1．要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律； 2．要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征； 3．提炼出等式(或不等式)的综合特点； 4．运用归纳推理得出一般结论．1．经计算发现下列不等式：2＋18<210， 4.5＋15.5<210，3＋2＋17－2<210，……根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a ，b 都成立的条件不等式：________.当a ＋b ＝20时，有a ＋b<210，a ，b∈R ＋ [从上面几个不等式可知，左边被开方数的和均为20，故可以归纳为a ＋b ＝20时，a ＋b<210.]数列中的归纳推理【例2】 (1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝－1a n ＋1，则a 2 019等于( )A ．2B ．－12C ．－2D ．1(2)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图：由于图中1,3,6,10这些数能够表示成三角形，故被称为三角形数，试结合组成三角形数的特点，归纳第n 个三角形数的石子个数．思路探究：(1)写出数列的前几项，再利用数列的周期性解答．(2)可根据图中点的分布规律归纳出三角形数的形成规律，如1＝1,3＝1＋2,6＝1＋2＋3；也可以直接分析三角形数与n 的对应关系，进而归纳出第n 个三角形数．C [(1)a 1＝1，a 2＝－12，a 3＝－2，a 4＝1，…，数列{a n }是周期为3的数列，2 019＝673×3，∴a 2 019＝a 3＝－2．](2)[解] 法一：由1＝1， 3＝1＋2， 6＝1＋2＋3， 10＝1＋2＋3＋4，可归纳出第n 个三角形数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.法二：观察项数与对应项的关系特点如下：项数 1 2 3 4 对应项1×222×323×424×52分析：各项的分母均为2，分子分别为相应项数与相应项数加1的积． 归纳：第n 个三角形数的石子数应为n (n ＋1)2.数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和． (1)通过已知条件求出数列的前几项或前几项和；(2)根据数列中的前几项或前几项和与对应序号之间的关系求解； (3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式．2．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ＝1,2,3，…)． (1)求a 2，a 3，a 4，a 5； (2)归纳猜想通项公式a n . [解] (1)当n ＝1时，知a 1＝1， 由a n ＋1＝2a n ＋1， 得a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，a 5＝31．(2)由a 1＝1＝21－1，a 2＝3＝22－1，a 3＝7＝23－1，a 4＝15＝24－1，a 5＝31＝25－1， 可归纳猜想出a n ＝2n－1(n∈N ＋)．几何图形中的归纳推理1．某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按如图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n 堆的乒乓球总数，试求f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的值．[提示] 观察图形可知，f(1)＝1，f(2)＝4，f(3)＝10，f(4)＝20. 2．上述问题中，试用n 表示出f(n)的表达式．[提示] 由题意可得：下一堆的个数是上一堆个数加下一堆第一层的个数，即f(2)＝f(1)＋3；f(3)＝f(2)＋6；f(4)＝f(3)＋10；…；f(n)＝f(n －1)＋n (n ＋1)2.将以上(n －1)个式子相加可得 f(n)＝f(1)＋3＋6＋10＋…＋n (n ＋1)2＝12[(12＋22＋…＋n 2)＋(1＋2＋3＋…＋n)] ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤16n (n ＋1)(2n ＋1)＋n (n ＋1)2＝n (n ＋1)(n ＋2)6.【例3】 有两种花色的正六边形地面砖，按如图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )A ．26B ．31C ．32D ．36思路探究：解答本题可先通过观察、分析找到规律，再利用归纳得到结论． B [法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案 123 … 个数6 1116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31．法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31．]在题干不变的条件下，第6个图案中周围的边有多少条？ [解] 各个图形周围的边的条数如下表：图案123…边条数18 26 34 …由表可知，周围边的条数依次组成一个以18为首项，8为公差的等差数列，解得第6个图形周围的边的条数为18＋8×(6－1)＝58条．归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：3．根据图中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________．509 [分别求出前4个图形中线段的数目，发现规律，得出猜想．图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为28＋1－3＝509.]1．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(1)由归纳推理得到的结论带有猜测的性质，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的，结论是否正确，需要经过理论证明或实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具．(2)一般地，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题就越可能为真．(3)归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是科学发现的重要手段．通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．2．归纳推理的思维过程大致是：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论．该过程包括两个步骤： (1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理． (2)由个别到一般的推理称为归纳推理． ( ) (3)由归纳推理所得到的结论一定是正确的． ( )[答案] (1)√ (2)√ (3)× 2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2D ．8n ＋2C [a 1＝8，a 2＝14，a 3＝20，猜想a n ＝6n ＋2．]3．已知12＝16×1×2×3,12＋22＝16×2×3×5,12＋22＋32＝16×3×4×7,12＋22＋34＋42＝16×4×5×9，则12＋22＋…＋n 2＝________.(其中n∈N *)．16n(n ＋1)(2n ＋1) [根据题意归纳出12＋22＋…＋n 2＝16n(n ＋1)(2n ＋1)，下面给出证明：(k ＋1)3－k 3＝3k 2＋3k ＋1，则23－13＝3×12＋3×1＋1,33－23＝3×22＋3×2＋1，……，(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1，累加得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋…＋n)＋n ，整理得12＋22＋…＋n 2＝16n(n ＋1)(2n ＋1)．]4．有以下三个不等式：(12＋42)(92＋52)≥(1×9＋4×5)2， (62＋82)(22＋122)≥(6×2＋8×12)2， (202＋102)(1022＋72)≥(20×102＋10×7)2．请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性的结论，并证明你的结论． [解] 结论为：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac＋bd)2．证明：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)－(ac ＋bd)2＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2－(a 2c 2＋b 2d 2＋2abcd) ＝a 2d 2＋b 2c 2－2abcd ＝(ad －bc)2≥0.所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2．1.2 类比推理学 习 目 标核 心 素 养1．通过具体实例理解类比推理的意义．(重点) 2．会用类比推理对具体问题作出判断．(难点)1．通过类比推理的意义的学习，体现了数学抽象的核心素养．2．通过应用类比推理对具体问题判断的学习，体现了逻辑推理的核心素养.1．类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．类比推理是两类事物特征之间的推理． 2．合情推理合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．合情推理的结果不一定正确．思考：合情推理的结果为什么不一定正确？[提示] 合情推理是由特殊到一般的推理，简单地说就是直接看出来的，没有通过证明，只归纳了一部分，属于不完全归纳，所以不一定正确．1．下面使用类比推理恰当的是( )A ．“若a·3＝b·3，则a ＝b ”类比推出“若a·0＝b·0，则a ＝b”B ．“(a＋b)c ＝ac ＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”C ．“(a＋b)c ＝ac ＋bc”类比推出“a ＋b c ＝a c ＋bc (c≠0)”D ．“(ab)n＝a n b n”类比推出“(a＋b)n＝a n＋b n” C [由实数运算的知识易得C 项正确．] 2．下列推理是合情推理的是( ) (1)由圆的性质类比出球的有关性质；(2)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°； (3)a≥b，b≥c，则a≥c；(4)三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n 边形内角和是(n －2)×180°.A ．(1)(2)B ．(1)(3)(4)C ．(1)(2)(4)D ．(2)(4)C [(1)为类比推理，(2)(4)为归纳推理，(3)不是合情推理，故选C.]3．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是________．(填序号)①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．①②③ [正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．]类比推理在数列中的应用【例1】 在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为4100.类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和．试写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明．思路探究：结合已知等比数列的特征可类比等差数列每隔10项和的有关性质．[解] 数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的．证明如下： ∵等差数列{a n }的公差d ＝3， ∴(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20)同理可得：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，所以数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列，且公差为300.1．本例是由等比类比等差，你能由等差类比出等比结论吗？完成下题：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n (T n ≠0)，则T 4，_______，_______，T 16T 12成等比数列．T 8T 4 T 12T 8[等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．]2．在本例条件不变的情况下，你能写出一个更为一般的结论吗？(不用论证)[解] 对于任意k∈N ＋，都有数列S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，S 4k －S 3k 是等差数列，且公差为k 2d.1．在等比数列与等差数列的类比推理中，要注意等差与等比、加与乘、减与除、乘法与乘方的类比特点．2．类比推理的思维过程观察、比较→联想、类推→猜测新的结论．即在两类不同事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处后，推测这两类事物在其他方面的相同或相似之处．1．在等差数列{a n }中，如果m ，n ，p ，r∈N ＋，且m ＋n ＋p ＝3r ，那么必有a m ＋a n ＋a p ＝3a r ，类比该结论，写出在等比数列{b n }中类似的结论，并用数列知识加以证明．[解] 类似结论如下：在等比数列{b n }中，如果m ，n ，p ，r∈N ＋，且m ＋n ＋p ＝3r ，那么必有b m b n b p＝b 3r .证明如下：设等比数列{b n }的公比为q ，则b m ＝b 1q m －1，b n ＝b 1q n －1，b p ＝b 1qp －1，b r ＝b 1qr －1，于是b m b n b p ＝b 1qm －1·b 1qn －1·b 1q p －1＝b 31qm ＋n ＋p －3＝b 31q3r －3＝(b 1qr －1)3＝b 3r ，故结论成立．类比推理在几何中的应用【例2】 如图所示，在平面上，设h a ，h b ，h c 分别是△ABC 三条边上的高，P 为△ABC 内任意一点，P 到相应三边的距离分别为p a ，p b ，p c ，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p ch c＝1．证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明．思路探究：三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高．[解] p a h a ＝12BC·p a12BC·h a ＝S △PBCS △ABC，同理，p b h b ＝S △P AC S △ABC ，p c h c ＝S △PABS △ABC .∵S △PBC ＋S △PAC ＋S △PAB ＝S △ABC ，∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＝S △PBC ＋S △PAC ＋S △PAB S △ABC＝1． 类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD 中，设h a ，h b ，h c ，h d 分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P 为该四面体内任意一点，P 到相应四个面的距离分别为p a ，p b ，p c ，p d ，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p dh d＝1．证明：p a h a ＝13S △BCD ·p a13S △BCD ·h a ＝V PBCDV ABCD，同理，p b h b ＝V PACD V ABCD ，p c h c ＝V PABD V ABCD ，p d h d ＝V PABCV ABCD .∵V PBCD ＋V PACD ＋V PABD ＋V PABC ＝V ABCD ， ∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p d h d ＝V PBCD ＋V PACD ＋V PABD ＋V PABCV ABCD＝1．1．在本例中，若△ABC 的边长分别为a ，b ，c ，其对角分别为A ，B ，C ，那么由a ＝b·cos C＋c·cos B 可类比四面体的什么性质？[解] 在如图所示的四面体中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示平面PAB ，平面PBC ，平面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．猜想S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.2．在本例中，若r 为三角形的内切圆半径，则S △＝12(a ＋b ＋c)r ，请类比出四面体的有关相似性质．[解] 四面体的体积为V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r(r 为四面体内切球的半径，S 1，S 2，S 3，S 4为四面体的四个面的面积．1．平面图形与空间图形类比平面图形 点 线 边长 面积 线线角 三角形 空间图形线面面积体积二面角四面体2．类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．类比推理在其他问题中的应用1．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．你认为该过程为归纳推理还是类比推理？[提示] 类比推理．2．已知以下过程可以求1＋2＋3＋…＋n 的和．因为(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1， n 2－(n －1)2＝2(n －1)＋1， ……22－12＝2×1＋1，有(n ＋1)2－1＝2(1＋2＋…＋n)＋n ， 所以1＋2＋3＋…＋n ＝n 2＋2n －n 2＝n (n ＋1)2.类比以上过程试求12＋22＋32＋…＋n 2的和． [提示] 因为(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1， n 3－(n －1)3＝3(n －1)2＋3(n －1)＋1， ……23－13＝3×12＋3×1＋1，有(n ＋1)3－1＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n ， 所以12＋22＋…＋n 2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3＋3n 2＋3n －3n 2＋5n 2＝2n 3＋3n 2＋n 6＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.【例3】 已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值，试写出双曲线x2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)具有类似特征的性质，并加以证明． 思路探究：双曲线与椭圆类比→椭圆中的结论 →双曲线中的相应结论→理论证明[解] 类似性质：若M ，N 为双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明如下：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n)，(x ，y)，则 N(－m ，－n)．因为点M(m ，n)是双曲线上的点， 所以n 2＝b 2a 2m 2－b 2．同理y 2＝b 2a2x 2－b 2，则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b2a2(定值)．1．两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征．2．进行类比推理时，首先，找出两类对象之间可以确切表达的相似特征．然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想．2．我们知道： 12＝1，22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1， 32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1， 42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1， ……n 2＝(n －1)2＋2(n －1)＋1，将以上各式的左右两边分别相加，整理得n 2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋n ， 所以1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n (n －1)2.类比上述推理方法写出求12＋22＋32＋…＋n 2的表达式的过程． [解] 已知： 13＝1，23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1， 33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1， 43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1， ……n 3＝(n －1)3＋3(n －1)2＋3(n －1)＋1， 将以上各式的左右两边分别相加，得(13＋23＋…＋n 3)＝[13＋23＋…＋(n －1)3]＋3[12＋22＋…＋(n －1)2]＋3[1＋2＋…＋(n －1)]＋n ， 整理得n 3＝3(12＋22＋…＋n 2)－3n 2＋3[1＋2＋…＋(n －1)]＋n ， 将1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n (n －1)2代入整理可得12＋22＋…＋n 2＝2n 3＋3n 2＋n 6，即12＋22＋…＋n 2＝n (2n ＋1)(n ＋1)6.1．类比推理的特点(1)类比推理是从人们已经掌握的事物的特征，推测被研究的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．(2)类比推理以旧的知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能，因此类比在数学发现中具有重要作用，但必须明确，类比并不等于论证．2．类比推理与归纳推理的比较 归纳推理类比类推相同点 根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，提出猜想，都属于归纳推理不 同 点特点 由部分到整体，由个别到一般 由特殊到特殊推理过程 从一类事物中的部分事物具有的属性，猜测该类事物都具有这种属性两类对象具有类似的特征，根据其中一类对象的特征猜测另一类对象具有相应的类似特征1．下列说法正确的是( )A ．由合情推理得出的结论一定是正确的B ．合情推理必须有前提有结论C ．合情推理不能猜想D ．合情推理得出的结论不能判断正误B [根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论．]2．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可知扇形面积公式为( )A.r22 B.l 22 C.lr 2D ．无法确定C [扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S ＝lr2.]3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．1∶8 [由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.]4．在计算“1×2＋2×3＋…＋n(n ＋1)”时，有如下方法：先改写第k 项：k(k ＋1)＝13[k(k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k·(k＋1)]，由此得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，……n(n ＋1)＝13[n(n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n(n ＋1)]，相加得1×2＋2×3＋…＋n(n ＋1)＝13n(n ＋1)(n ＋2)．类比上述方法，请你计算“1×3＋2×4＋…＋n(n ＋2)”，将其结果写成关于n 的一次因式的积的形式．[解] 1×3＝16×(1×2×9－0×1×7)，2×4＝16×(2×3×11－1×2×9)，3×5＝16×(3×4×13－2×3×11)，……n(n ＋2)＝16[n(n ＋1)(2n ＋7)－(n －1)n(2n ＋5)]，各式相加，得1×3＋2×4＋3×5＋…＋n(n ＋2)＝16n(n ＋1)(2n ＋7)．。
数学选修2-2教案
数学选修2-2教案【篇一：北师大版数学选修2-2全套教案】第一章推理与证明课题：合情推理（一）——归纳推理课时安排：一课时课型：新授课教学目标：1、通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识归纳推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。
2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。
教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。
教学难点：用归纳进行推理，做出猜想。
教学过程：一、课堂引入：从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。
见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理二、新课讲解：1、蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。
蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。
2、三角形的内角和是180?，凸四边形的内角和是360?，凸五边形的内角和是540?由此我们猜想：凸边形的内角和是(n?2)?180?3、22?122?222?1?,?,?,33?133?233?3，由此我们猜想：aa?m?（a,b,m均为正实数） bb?m这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称：归纳)归纳推理的一般步骤：⑴对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；⑵提出带有规律性的结论，即猜想；⑶检验猜想。
三、例题讲解：例1已知数列?an?的通项公式an?1(n?n?)，f(n)?(1?a1)(1?a2)???(1?an)，试通过计算2(n?1)f(1),f(2),f(3)的值，推测出f(n)的值。
【学生讨论：】（学生讨论结果预测如下）（1）f(1)?1?a1?1?13? 4413824f(2)?(1?a1)(1?a2)?f(1)?(1?)????)9493612155f(3)?(1?a1)(1?a2)(1?a3)?f(2)?(1?)???1631681由此猜想，f(n)?n?2 2(n?1)学生讨论：1）哥德巴赫猜想：任何大于2的偶数可以表示为两个素数的之和。
2020年人教版A版数学选修2-2全册完整讲义学案(教师用书)
第一章导数及其应用§1.1变化率与导数§1.1.1变化率问题§1.1.2导数的概念§1.1.3导数的几何意义§1.2导数的计算§1.2.1几个常用函数的导数§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一) §1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二) §1.3导数在研究函数中的应用§1.3.1函数的单调性与导数§1.3.2函数的极值与导数§1.3.3函数的最大(小)值与导数§1.4生活中的优化问题举例§1.5定积分的概念§1.5.1曲边梯形的面积§1.5.2汽车行驶的路程§1.5.3定积分的概念§1.6微积分基本定理§1.7定积分的简单应用§1.7.1定积分在几何中的应用§1.7.2定积分在物理中的应用章末整合提升章末达标测试第二章推理与证明§2.1合情推理与演绎推理§2.1.1合情推理§2.1.2演绎推理§2.2直接证明与间接证明§2.2.1综合法和分析法§2.2.2反证法§2.3数学归纳法章末整合提升章末达标测试第三章数系的扩充与复数的引入§3.1数系的扩充和复数的概念§3.1.1数系的扩充和复数的概念§3.1.2复数的几何意义§3.2复数代数形式的四则运算§3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义§3.2.2复数代数形式的乘除运算章末整合提升章末达标测试模块综合检测§1.1 变化率与导数§1.1.1 变化率问题 §1.1.2 导数的概念[课标要求]1．通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景．(难点) 2．会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点)一、函数平均变化率如果函数关系用y ＝f (x )表示，那么变化率可用式子f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1表示，我们把这个式子称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率．习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1，可把Δx 看作是相对于x 1的一个“增量”，可用x 1＋Δx 代替x 2；类似地，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)．于是平均变化率可以表示为Δy Δx． 二、导数的有关概念 1．瞬时变化率函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝ΔyΔx． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作，即f ′(x 0)＝ΔyΔx＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx．知识点一 平均变化率 【问题1】 气球的膨胀率 阅读教材，思考下面的问题．吹一只气球，观察一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？答案 气球的半径r (单位：dm)与体积V (单位：L)之间的函数关系是r (V )＝33V4π， (1)当空气容量V 从0增加到1 L 时，气球半径增加了r (1)－r (0)≈0.62(dm)， 气球的平均膨胀率为r （1）－r （0）1－0≈0.62(dm/L)．(2)当空气容量V 从1 L 增加到2 L 时，气球半径增加了r (2)－r (1)≈0.16(dm)， 气球的平均膨胀率为r （2）－r （1）2－1≈0.16(dm/L)．可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 【问题2】 高台跳水人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)存在函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10.计算运动员在时间段①0≤t ≤0.5，②1≤t ≤2内的平均速度v ，并思考平均速度有什么作用？ 答案 (1)在0≤t ≤0.5这段时间里，v ＝h （0.5）－h （0）0.5－0＝4.05(m/s)；(2)在1≤t ≤2这段时间里，v ＝h （2）－h （1）2－1＝－8.2(m/s)．由以上计算体会到平均速度可以描述运动员在某段时间内运动的快慢． 【问题3】 结合问题1和问题2说出你对平均变化率的理解．答案 (1)如果上述两个问题中的函数关系用y ＝f (x )表示，那么问题1中的变化率可用式子f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1表示，我们把这个式子称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢．问题1中的平均变化率表示在空气容量从V 1增加到V 2时，气球半径的平均增长率．问题2中的平均变化率表示在时间从t 1增加到t 2时，高度h 的平均增长率．(2)平均变化率的几何意义就是函数y ＝f (x )图象上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))所在直线的斜率． (3)平均变化率的取值①平均变化率可以表现函数的变化趋势，平均变化率为0，并不一定说明函数f (x )没有发生变化．②自变量的改变量Δx 取值越小，越能准确体现函数的变化规律． (4)平均变化率的物理意义平均变化率的物理意义是把位移s 看成时间t 的函数s ＝s (t )，在时间段[t 1，t 2]上的平均速度，即v ＝s （t 2）－s （t 1）t 2－t 1.知识点二 函数在某点处的导数【问题1】 (1)物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？ (2)什么叫做瞬时速度？ (3)它与平均速度有什么关系？答案 (1)物体的平均速度不能精确地反映物体的运动状态，如高台跳水运动员相对于水面的高度h 与起跳时间t 的函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，易知h (6549)＝h (0)，v ＝h （6549）－h （0）6546－0＝0，而运动员依然是运动状态．(2)设物体运动的路程与时间的关系是s ＝f (t )，当Δt 趋近于0时，函数f (t )在t 0到t 0＋Δt 之间的平均变化率f （t 0＋Δt ）－f （t 0）Δt趋近于常数，我们把这个常数称为t 0时刻的瞬时速度．(3)平均速度只能粗略地描述物体的运动状态，并不能反映物体在某一时刻的瞬时速度．当时间间隔|Δt |趋近于0时，平均速度v 就无限趋近于t 0时的瞬时速度．【问题2】 平均变化率与瞬时变化率有什么关系？答案 (1)区别：平均变化率不是瞬时变化率．平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x 0点处变化的快慢．(2)联系：当Δx 趋近于0时，平均变化率ΔyΔx 趋近于一个常数，这个常数即为函数在x 0处的瞬时变化率，它是一个固定值．【问题3】 导数与瞬时变化率有什么关系？ 答案 导数与瞬时变化率的关系导数是函数在x 0及其附近函数的改变量Δy 与自变量的改变量Δx 之比在Δx 趋近于0时所趋近的数，它是一个局部性的概念，若ΔyΔx存在，则函数y ＝f (x )在x 0处有导数，否则不存在导数．可以说导数就是函数在某点处的导数，例如，位移s 关于时间t 的导数就是运动物体在某时刻的瞬时速度．题型一 求函数的平均变化率求函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率． 【解析】 函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 的平均变化率为 f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝（x 0＋Δx ）2－x 20Δx＝x 20＋2x 0Δx ＋（Δx ）2－x 2Δx＝2x 0·Δx ＋（Δx ）2Δx ＝2x 0＋Δx .●规律方法求函数y ＝f (x )平均变化率的步骤(1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1.[特别提醒](1)求函数平均变化率时注意Δx ，Δy ，两者都可正、可负，但Δx 的值不能为零，Δy 的值可以为零． (2)求点x 0附近的平均变化率，可用f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx的形式．1．若本例中，Δx ＝13，x 0＝1，2，3，比较函数f (x )＝x 2在哪一点附近的平均变化率最大？解析 x 0＝1到x ＝1＋13＝43的平均变化率k 1＝f ⎝⎛⎭⎫43－f （1）13＝⎝⎛⎭⎫432－1213＝73， x 0＝2到x ＝73的平均变化率k 2＝f ⎝⎛⎭⎫73－f （2）13＝⎝⎛⎭⎫732－2213＝133，x 0＝3到x ＝103的平均变化率k 3＝f ⎝⎛⎭⎫103－f （3）13＝⎝⎛⎭⎫1032－3213＝193，由于k 1＜k 2＜k 3，∴函数f (x )＝x 2在x 0＝3附近的平均变化率最大． 题型二 物体运动的瞬时速度物体自由落体的运动方程是s ＝12gt 2(g ＝9.8 m/s 2)，求物体在t ＝3 s 这一时刻的速度．【解析】 平均速度Δs Δt ＝12g （3＋Δt ）2－12g ×32Δt＝12g (6＋Δt )． 当Δt 趋于0时，Δs Δt ＝12g (6＋Δt )趋于3g ，所以v ＝3g ＝29.4(m/s)，即物体在t ＝3 s 时的速度为29.4 m/s.●规律方法求运动物体瞬时速度的步骤(1)求时间改变量Δt 和位置改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)． (2)求平均速度v ＝ΔsΔt.(3)求瞬时速度：当Δt 无限趋近于0，ΔsΔt 无限趋近于的常数v 即为瞬时速度．提示 求ΔyΔx (当Δx 无限趋近于0时)的极限的方法(1)在极限表达式中，可把Δx 作为一个变量来参与运算．(2)求出ΔyΔx的表达式后，Δx 无限趋近于0就是令Δx ＝0，求出结果即可．2．一辆汽车按规律s ＝2t 2＋3做直线运动，求这辆车在t ＝2时的瞬时速度(时间单位：s ，位移单位：m)． 解析 设这辆车在t ＝2附近的时间变化量为Δt ，则位移的增量Δs ＝[2(2＋Δt )2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt ＋2(Δt)2，ΔsΔt＝8＋2Δt，ΔsΔt＝(8＋2Δt)＝8.所以，这辆车在t＝2时的瞬时速度为8 m/s.题型三求函数在某点处的导数(6分)求函数y＝x－1x在x＝1处的导数．【规范解答】因为Δy＝(1＋Δx)－11＋Δx－(1－11)＝Δx＋Δx1＋Δx，(2分)所以ΔyΔx＝Δx＋Δx1＋ΔxΔx＝1＋11＋Δx.(4分)当Δx→0时，f′(1)＝ΔyΔx＝(1＋11＋Δx)＝2，即函数y＝x－1x在x＝1处的导数为2.(6分)●规律方法求函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤(1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率ΔyΔx＝f（x0＋Δx）－f（x0）Δx；(3)取极限，得导数f′(x0)＝ΔyΔx.3．利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．解析由导数的定义知，函数在x＝2处的导数f′(2)＝f（2＋Δx）－f（2）Δx，而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)＝－(Δx)2－Δx，于是f′(2)＝－（Δx）2－ΔxΔx＝(－Δx－1)＝－1.易错误区(一) 对导数的概念理解不清致误若函数f (x )在x ＝a 的导数为m ，那么 f （a ＋2Δx ）－f （a －2Δx ）Δx 的值为________．【解析】f （a ＋2Δx ）－f （a －2Δx ）Δx＝f （a ＋2Δx ）－f （a ）＋f （a ）－f （a －2Δx ）Δx＝f （a ＋2Δx ）－f （a ）Δx ＋f （a ）－f （a －2Δx ）Δx ①＝2f （a ＋2Δx ）－f （a ）2Δx＋2f （a －2Δx ）－f （a ）－2Δx＝2m ＋2m ＝4m . 【答案】 4m [易错防范]1．误认为①处两极限值均为m ，即运算结果为2m .2．对平均变化率中自变量的增加量“Δx ”理解不当．在平均变化率f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx 中，分子中的“Δx ”与分母中的“Δx ”应取相同值，且可正可负．3．熟记瞬时变化率(即导数)的几种变形形式f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝f （x 0－Δx ）－f （x 0）－Δx＝f （x 0＋n Δx ）－f （x 0）n Δx＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0－Δx ）2Δx＝f ′(x 0)．若f ′(1)＝2 016，则f （1＋Δx ）－f （1）－2Δx＝________．解析f （1＋Δx ）－f （1）－2Δx＝－12f （1＋Δx ）－f （1）Δx＝－12f ′(1)＝－12×2 016＝－1 008.答案 －1 008[限时50分钟，满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．质点运动规律s ＝2t 2＋5，则在时间(2，2＋Δt )中，相应的平均速度等于 A ．8＋2Δt B ．8＋2Δt ＋4ΔtC ．4＋ΔtD ．8＋Δt解析 Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝2(2＋Δt )2＋5－(2×22＋5)＝2(Δt )2＋8Δt . ∴Δs Δt ＝2（Δt ）2＋8Δt Δt ＝8＋2Δt . 答案 A2．函数y ＝x 2－2x 在x ＝2附近的平均变化率是 A ．2B ．ΔxC ．Δx ＋2D ．1解析 Δy ＝f (2＋Δx )－f (2) ＝(2＋Δx )2－2(2＋Δx )－(4－4) ＝(Δx )2＋2Δx ，∴Δy Δx ＝（Δx ）2＋2Δx Δx＝Δx ＋2.答案 C3．设函数y ＝f (x )可导，则f （1＋3Δx ）－f （1）Δx 等于 A ．f ′(1)B ．3f ′(1) C.13f ′(1) D ．以上都不对 解析 f （1＋3Δx ）－f （1）Δx＝3f （1＋3Δx ）－f （1）3Δx ＝3f ′(1)． 答案 B4．一个物体的运动方程为s ＝(2t ＋1)2，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么该物体在1秒末的瞬时速度是A ．10米/秒B ．8米/秒C ．12米/秒D ．6米/秒解析 ∵s ＝4t 2＋4t ＋1，Δs ＝[4(1＋Δt )2＋4(1＋Δt )＋1]－(4×12＋4×1＋1)＝4(Δt )2＋12Δt ，Δs Δt ＝4（Δt ）2＋12Δt Δt＝4Δt ＋12， ∴v ＝Δs Δt ＝(4Δt ＋12)＝12(米/秒)． 答案 C5．如果函数y ＝f (x )＝x 在点x ＝x 0处的瞬时变化率是33，那么x 0的值是 A.34B.12 C ．1D ．3解析 函数f (x )＝x 在x ＝x 0处的瞬时变化率，f ′(x 0)＝x 0＋Δx －x 0Δx ＝Δx Δx （x 0＋Δx ＋x 0）＝12x 0＝33，答案 A 6．某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋16t(t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它的瞬时速度为0米/秒的时刻为A ．8秒末B ．6秒末C ．4秒末D ．2秒末解析 设当t ＝t 0时该物体瞬时速度为0米/秒，∵Δs Δt ＝（t 0＋Δt ）2＋16t 0＋Δt －⎝⎛⎭⎫t 20＋16t 0Δt ＝2t 0＋Δt －16（t 0＋Δt ）t 0， ∴Δs Δt＝2t 0－16t 20， 由2t 0－16t 20＝0得t 0＝2. 答案 D二、填空题(每小题5分，共15分)7．函数y ＝－3x 2＋6在区间[1，1＋Δx ]内的平均变化率是________．解析 Δy Δx ＝[－3（1＋Δx ）2＋6]－（－3×12＋6）Δx＝－6Δx －3（Δx ）2Δx＝－6－3Δx . 答案 －6－3Δx8．一质点的运动方程为s ＝1t，则t ＝3时的瞬时速度为________． 解析 由导数定义及导数的物理意义知s ′＝1t ＋Δt －1t Δt＝－Δt （t ＋Δt ）·t ·Δt ＝－1t 2＋t ·Δt ＝－1t 2， ∴s ′ |t ＝3＝－19，即t ＝3时的瞬时速度为－19.9．已知曲线y ＝1x －1上两点A ⎝⎛⎭⎫2，－12、B ⎝⎛⎭⎫2＋Δx ，－12＋Δy ，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率为________． 解析 Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋Δx －1－⎝⎛⎭⎫12－1 ＝12＋Δx －12＝2－（2＋Δx ）2（2＋Δx ）＝－Δx 2（2＋Δx ）. ∴Δy Δx ＝－Δx2（2＋Δx ）Δx ＝－12（2＋Δx ）， 即k ＝Δy Δx ＝－12（2＋Δx ）. ∴当Δx ＝1时，k ＝－12×（2＋1）＝－16. 答案 －16三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2.(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度；(3)求t ＝0到t ＝2的平均速度．解析 (1)v 0＝s （Δt ）－s （0）Δt＝3Δt －（Δt ）2Δt＝(3－Δt )＝3. (2)v 2＝s （2＋Δt ）－s （2）Δt ＝(－Δt －1)＝－1.(3)v －＝s （2）－s （0）2＝6－4－02＝1. 11．(12分)已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求适合f ′(x 0)＋2＝g ′(x 0)的x 0值．解析 由导数的定义知，f ′(x 0)＝Δf Δx ＝（x 0＋Δx ）2－x 20Δx ＝2x 0，g ′(x 0)＝Δg Δx ＝（x 0＋Δx ）3－x 30Δx＝3x 20. 因为f ′(x 0)＋2＝g ′(x 0)，所以2x 0＋2＝3x 20，即3x 20－2x 0－2＝0，解得x 0＝1－73或x 0＝1＋73.12．(13分)节日期间燃放烟花是中国的传统习惯之一，制造时通常希望它在达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h (m)与时间t (s)之间的关系式为h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18，求烟花在t ＝2 s 时的瞬时速度，并解释烟花升空后的运动状况．解析 因为Δh Δt ＝h （t ＋Δt ）－h （t ）Δt＝－9.8t －4.9Δt ＋14.7， 所以h ′(t )＝Δh Δt ＝(－9.8t －4.9Δt ＋14.7)＝－9.8t ＋14.7，所以h ′(2)＝－4.9，即在t ＝2 s 时烟花正以4.9 m/s 的速度下降．由h ′(t )＝0得t ＝1.5，所以在t ＝1.5 s 附近，烟花运动的瞬时速度几乎为0，此时达到最高点并爆裂，在1.5 s 之前，导数大于0且递减，所以烟花以越来越小的速度上升，在1.5 s 之后，导数小于0且绝对值越来越大，所以烟花以越来越大的速度下降，直至落地．§1.1.3 导数的几何意义[课标要求]1．了解导函数的概念；理解导数的几何意义．(难点)2．会求导函数．(重点)3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(重点、易错点)一、导数的几何意义1．切线：如图，当点P n (x n ，f (x n ))(n ＝1，2，3，4…)沿着曲线f (x )趋近于点P (x 0，f (x 0))时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为点P 处的切线．显然割线PP n 的斜率是k n ＝f （x n ）－f （x 0）x n －x 0，当点P n 无限趋近于点P 时，k n 无限趋近于切线PT 的斜率．2．几何意义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线斜率k ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝f ′(x 0)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．二、函数y ＝f (x )的导函数从求函数f (x )在x ＝x 0处导数的过程可以看到，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数．这样，当x 变化时， f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数)．y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx．知识点一 导数的几何意义【问题1】 曲线的切线是不是一定和曲线只有一个公共点？答案 不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个公共点，和曲线只有一个公共点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．【问题2】 曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与曲线过某点(x 0，y 0)的切线有何不同？答案 曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线，点(x 0，f (x 0))一定是切点，只要求出k ＝f ′(x 0)，利用点斜式写出切线即可；而曲线f (x )过某点(x 0，y 0)的切线，给出的点(x 0，y 0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．知识点二 导数与函数的单调性【问题1】 观察下面两个图形，在曲线的切点附近(Δx →0时)曲线与那一小段线段有何关系？答案 能在曲线的切点附近，曲线与切线贴合在一起，可用切线近似代替曲线．【问题2】 按照切线近似代替曲线的思想，切线的单调性能否表示曲线的变化趋势？如上左图，若在某一区间上曲线上各点的切线斜率均为负，则可判定在该区间上曲线的单调性如何？答案 在连续区间上切线斜率的正负，对应了曲线的单调性．【问题3】 如问题1中右图，当t 在(t 0，t 2)上变化时，其对应各点的导数值变化吗？会怎样变化？ 答案 会．当t 变化时h ′(t )便是t 的一个函数，我们称它为h (t )的导函数．知识点三 函数y ＝f (x )的导函数【问题】 函数在某点处的导数与导函数有什么关系？答案 区别：(1)f ′(x )是函数f (x )的导函数，简称导数，是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x 0，Δx 无关；(2)f ′(x 0)表示的是函数f (x )在x ＝x 0处的导数，是对一个点而言的，它是一个确定的值，与给定的函数及x 0的位置有关，而与Δx 无关．联系：在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这点的函数值.题型一 求曲线的切线方程已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝⎛⎭⎫2，83，如图，求：(1)点P 处的切线的斜率；(2)点P 处的切线方程．【解析】 (1)∵y ＝13x 3， ∴y ′＝Δy Δx ＝13（x ＋Δx ）3－13x 3Δx ＝133x 2Δx ＋3x （Δx ）2＋（Δx ）3Δx ＝13[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2]＝x 2， y ′|x ＝2＝22＝4.∴点P 处的切线的斜率等于4.(2)在点P 处的切线方程是y －83＝4(x －2)， 即12x －3y －16＝0.●规律方法求曲线上某点处的切线方程的步骤(1)求出该点的坐标．(2)求出函数在该点处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率．(3)利用点斜式写出切线方程．1．例1中的P 点换为坐标原点(0，0)，其他不变，如何解答？解析 由例1知y ＝13x 3的导函数为y ′＝x 2. (1)点P 处的切线斜率k ＝0.(2)在点P 处的切线方程是y －0＝0×(x －0)即y ＝0.(注意：原点处的切线即x 轴，结合图象理解切线的定义)题型二 求切点坐标过曲线y ＝x 2上哪一点的切线满足下列条件？(1)平行于直线y ＝4x －5；(2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0；(3)倾斜角为135°.【解析】 f ′(x )＝f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx＝（x ＋Δx ）2－x 2Δx＝2x ， 设P (x 0，y 0)是满足条件的点．(1)∵切线与直线y ＝4x －5平行，∴2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4，即P (2，4)是满足条件的点．(2)∵切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，∴2x 0·13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝94， 即P ⎝⎛⎭⎫－32，94是满足条件的点． (3)∵切线的倾斜角为135°，∴其斜率为－1，即2x 0＝－1，得x 0＝－12，y 0＝14， 即P ⎝⎛⎭⎫－12，14是满足条件的点． ●规律方法求切点坐标的一般步骤(1)先设切点坐标(x 0，y 0)．(2)求导函数f ′(x )．(3)求切线的斜率f ′(x 0)．(4)由已知条件求出切线的斜率k .由此得到方程f ′(x 0)＝k ，解此方程求出x 0.(5)由于点(x 0，y 0)在曲线y ＝f (x )上，故将x 0代入曲线方程可得y 0，即可写出切点坐标．2．(1)曲线y ＝x 2－3x 在点P 处的切线平行于x 轴，则点P 的坐标为________．(2)已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________． 解析 (1)根据题意可设切点为P (x 0，y 0)，因为Δy ＝(x ＋Δx )2－3(x ＋Δx )－(x 2－3x )＝2x Δx ＋(Δx )2－3Δx ， Δy Δx ＝2x ＋Δx －3， 所以f ′(x )＝Δy Δx ＝(2x ＋Δx －3)＝2x －3.由f ′(x 0)＝0，即2x 0－3＝0，得x 0＝32， 代入曲线方程得y 0＝－94， 所以P ⎝⎛⎭⎫32，－94. (2)由导数的几何意义得f ′(1)＝12， 由切线方程得f (1)＝12×1＋2＝52， 所以f (1)＋f ′(1)＝3.答案 (1)⎝⎛⎭⎫32，－94 (2)3 题型三 导数几何意义的综合应用已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1，0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1，l 2的方程；(2)求由直线l 1、l 2和x 轴所围成的三角形的面积．【解析】 (1)f ′(1)＝Δy Δx ＝f （1＋Δx ）－f （1）Δx＝[（1＋Δx ）2＋（1＋Δx ）－2]－（1＋1－2）Δx＝(Δx ＋3)＝3， 所以直线l 1的方程为y ＝3x －3.设直线l 2与曲线y ＝x 2＋x －2相切于点B (b ，b 2＋b －2)，则可求得切线l 2的斜率为2b ＋1.因为l 1⊥l 2，则有2b ＋1＝－13，b ＝－23. 所以直线l 2的方程为y ＝－13x －229. (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧x ＝16，y ＝－52.所以直线l 1和l 2的交点坐标为⎝⎛⎭⎫16，－52. l 1、l 2与x 轴交点的坐标分别为(1，0)、⎝⎛⎭⎫－223，0. 所以所求三角形的面积S ＝12×253×⎪⎪⎪⎪－52＝12512. ●规律方法与导数几何意义相关题目的解题策略(1)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，切点的坐标是常设的未知量．(2)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．3．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a ＜0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值． 解析 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3， ∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2.当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx 无限趋近于3x 20＋2ax 0－9，即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9. ∴f ′(x 0)＝3⎝⎛⎭⎫x 0＋a 32－9－a23. 当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23.∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， ∴该切线斜率为－12. ∴－9－a 23＝－12.解得a ＝±3.又a ＜0，∴a ＝－3.规范解答(一) 求曲线过点P (x 1，y 1)的切线方程(12分)已知函数y ＝f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，求过点P 与曲线y ＝f (x )相切的直线l的方程．[审题指导]【规范解答】 (1)y ′＝（x ＋Δx ）3－3（x ＋Δx ）－x 3＋3xΔx＝3x 2－3.(2分)设切点坐标为(x 0，x 30－3x 0)， 则直线l 的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3，所以直线l 的方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)．又因为直线l 过点P (1，－2)，所以－2－(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(1－x 0)， 所以2x 30－3x 20＋1＝0，即(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，解得x 0＝1或x 0＝－12.(6分)故所求直线斜率为k ＝3x 20－3＝0或k ＝3x 20－3＝－94， 于是y －(－2)＝0·(x －1)或y －(－2)＝－94(x －1)，即y ＝－2或y ＝－94x ＋14.(10分)故过点P (1，－2)的切线方程为 y ＝－2或y ＝－94x ＋14.(12分)[题后悟道]1．求过点P (x 1，y 1)的切线方程的步骤： (1)设切点(x 0，f (x 0))．(2)利用所设切点求斜率k ＝Δy Δx. (3)用(x 0，f (x 0))，P (x 1，y 1)表示斜率(或利用切点和斜率写出切线方程)．(4)根据斜率相等求得x 0，然后求得斜率k (或利用已写出的切线过点P (x ，y )，求出x 0，然后求得斜率k )． (5)根据点斜式写出切线方程． 2．注意事项：(1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异．过点P 的切线，点P 不一定是切点，也不一定在曲线上；在点P 处的切线，点P 必为切点，且在曲线上．(2)若曲线y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)不存在，则切线与y 轴平行或不存在；若f ′(x 0)＝0，则切线与x 轴平行．已知曲线y ＝2x 2－7，求曲线过点P (3，9)的切线方程． 解析 y ′＝Δy Δx＝[2（x ＋Δx ）2－7]－（2x 2－7）Δx＝(4x ＋2Δx )＝4x .由于2×32－7＝11≠9，故点P (3，9)不在曲线上．设切点为A (x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝4x 0， 故所求切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0)． 将P (3，9)及y 0＝2x 20－7代入上式，得 9－(2x 20－7)＝4x 0(3－x 0)．解得x 0＝2或x 0＝4，所以切点为(2，1)或(4，25)． 从而所求切线方程为8x －y －15＝0或16x －y －39＝0.[限时50分钟，满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是A ．f ′(x A )＞f ′(xB ) B ．f ′(x A )＜f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析 由图可知，曲线在点A 处的切线的斜率比曲线在点B 处的切线的斜率小， 结合导数的几何意义知f ′(x A )＜f ′(x B )，选B. 答案 B2．曲线y ＝12x 2－2在点⎝⎛⎭⎫1，－32处的切线的倾斜角为 A ．1 B.π4 C.5π4D ．－π4解析 f ′(1)＝12（1＋Δx ）2－2＋32Δx＝12＋Δx ＋12（Δx ）2－2＋32Δx＝(1＋12Δx )＝1，即切线的斜率为1，故切线的倾斜角为π4.答案 B3．若曲线y ＝2x 2－4x ＋a 与直线y ＝1相切，则a 等于 A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析 设切点坐标为(x 0，1)， 则f ′(x 0)＝[2（x 0＋Δx ）2－4（x 0＋Δx ）＋a ]－（2x 20－4x 0＋a ）Δx＝(4x 0＋2Δx －4)＝4x 0－4＝0，∴x 0＝1，即切点坐标为(1，1)． ∴2－4＋a ＝1，即a ＝3. 答案 C4．设曲线y ＝x 2＋x －2在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 A ．(0，－2) B ．(1，0) C ．(0，0)D ．(1，1)解析 设点M (x 0，y 0)， ∴k ＝（x 0＋Δx ）2＋（x 0＋Δx ）－2－（x 20＋x 0－2）Δx＝2x 0＋1， 令2x 0＋1＝3，∴x 0＝1，则y 0＝0.故选B. 答案 B5．曲线y ＝x 2在点(1，1)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 A.14B.12 C ．1D ．2 解析 f ′(1)＝Δy Δx＝（1＋Δx ）2－1Δx＝(2＋Δx )＝2.则曲线在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)， 即y ＝2x －1.则三角形的面积为S ＝12×1×12＝14.答案 A6．已知点P 在曲线F ：y ＝x 3－x 上，且曲线F 在点P 处的切线与直线x ＋2y ＝0垂直，则点P 的坐标为 A ．(1，1)B ．(－1，0)C ．(－1，0)或(1，0)D ．(1，0)或(1，1)解析 设点P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝ΔyΔx＝[（x 0＋Δx ）3－（x 0＋Δx ）]－（x 30－x 0）Δx＝3x 20－1＝2⇒x 0＝±1. 答案 C二、填空题(每小题5分，共15分)7．如果函数f (x )在x ＝x 0处的切线的倾斜角是钝角，那么函数f (x )在x ＝x 0附近的变化情况是________(填“逐渐上升”或“逐渐下降”)．解析 由题意知f ′(x 0)<0，根据导数的几何意义知，f (x )在x ＝x 0附近的变化情况是“逐渐下降”． 答案 逐渐下降8．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1，3)处的切线斜率为2，则ab ＝________．解析a （1＋Δx ）2＋b －（a ＋b ）Δx＝(a Δx ＋2a )＝2a ＝2，∴a ＝1，又3＝a ×12＋b ，∴b ＝2， 即a b ＝12. 答案 129．已知曲线y ＝x 24的一条切线的斜率为12，则切点的坐标为________．解析 设切点的坐标为(x 0，y 0)， 因为Δy Δx ＝（x 0＋Δx ）24－x 204Δx ＝12x 0＋14Δx ，当Δx →0时，Δy Δx →12x 0，而切线的斜率为12，所以12x 0＝12，所以x 0＝1，y 0＝14.故切点坐标为⎝⎛⎭⎫1，14. 答案 ⎝⎛⎭⎫1，14 三、解答题(本大题共3小题，共35分) 10．(10分)已知曲线C ：y ＝x 3.求：(1)曲线C 上横坐标为1的点处的切线的方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？ 解析 (1)将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1， ∴切点为P (1，1)． ∵y ′＝ΔyΔx＝（x ＋Δx ）3－x 3Δx＝3x 2Δx ＋3x （Δx ）2＋（Δx ）3Δx＝[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2]＝3x 2，∴y ′|x ＝1＝3.∴点P 处的切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2＝0，y ＝x 3，可得(x －1)(x 2＋x －2)＝0，解得x 1＝1，x 2＝－2.从而求得公共点为P (1，1)或P (－2，－8)． 故第(1)小题中的切线与曲线C 还有其他的公共点．11．(12分)已知一物体的运动方程是s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2，0≤t <3，29＋3（t －3）2，t ≥3.求此物体在t ＝1和t ＝4时的瞬时速度． 解析 当t ＝1时，Δs Δt ＝3（1＋Δt ）2＋2－（3×12＋2）Δt ＝6＋3Δt ， 所以s ′(1)＝ΔsΔt＝(6＋3Δt )＝6.故当t ＝1时的瞬时速度为6. 当t ＝4时，Δs Δt ＝29＋3（4＋Δt －3）2－[29＋3×（4－3）2]Δt ＝6＋3Δt ， 所以s ′(4)＝ΔsΔt＝(6＋3Δt )＝6，故当t ＝4时的瞬时速度为6.12．(13分)已知曲线f (x )＝x 2的一条在点P (x 0，y 0)处的切线，求： (1)切线平行于直线y ＝－x ＋2时切点P 的坐标及切线方程； (2)切线垂直于直线12x －4y ＋5＝0时切点P 的坐标及切线方程；(3)切线的倾斜角为60°时切点P 的坐标及切线方程． 解析 f ′(x 0)＝（x 0＋Δx ）2－x 20Δx＝2x 0.(1)因为切线与直线y ＝－x ＋2平行， 所以2x 0＝－1，x 0＝－12，即P ⎝⎛⎭⎫－12，14， 所以切线方程为y －14＝－⎝⎛⎭⎫x ＋12， 即4x ＋4y ＋1＝0.(2)因为切线与直线12x －4y ＋5＝0垂直，所以2x 0·18＝－1，x 0＝－4，即P (－4，16)．所以切线方程为y －16＝－8(x ＋4)， 即8x ＋y ＋16＝0.(3)因为切线的倾斜角为60°，所以切线的斜率为3，即2x 0＝3，x 0＝32， 所以P ⎝⎛⎭⎫32，34，所以切线方程为y －34＝3⎝⎛⎭⎫x －32， 即43x －4y －3＝0.§1.2 导数的计算§1.2.1 几个常用函数的导数§1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)[课标要求]1．能根据导数的定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x ，y ＝1x 的导数．(难点)2．掌握基本初等函数的导数公式并能进行简单的应用．(重点、难点)一、常用函数的导数原函数导函数f (x )＝c f ′(x )＝0 f (x )＝x f ′(x )＝1 f (x )＝x 2 f ′(x )＝2x f (x )＝1xf ′(x )＝－1x 2f (x )＝xf ′(x )＝12x二、基本初等函数的导数公式原函数导函数①f (x )＝c f ′(x )＝0 ②f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 ③f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x ④f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x ⑤f (x )＝a x (a ＞0) f ′(x )＝a x ln_a ⑥f (x )＝e xf ′(x )＝e x ⑦f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1) f ′(x )＝1x ln a⑧f (x )＝ln xf ′(x )＝1x知识点一 几个常用函数的导数【问题1】 用定义求下列常用函数的导数： ①y ＝c ；②y ＝x ；③y ＝x 2；④y ＝1x ；⑤y ＝x .答案 ①y ′＝0；②y ′＝1；③y ′＝2x ；④y ′＝Δy Δx＝1x ＋Δx －1xΔx＝－1x （x ＋Δx ）＝－1x 2(其他类似)；⑤y ′＝12x.【问题2】 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率．物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度． (1)函数y ＝f (x )＝c (常数)的导数的物理意义是什么？ (2)函数y ＝f (x )＝x 的导数的物理意义呢？答案 (1)若y ＝c 表示路程关于时间的函数，则y ′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态．(2)若y ＝x 表示路程关于时间的函数，则y ′＝1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动． 【问题3】 由正比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象及导数可知；|k |越大函数增加(k >0)或减少(k <0)的速度越 快．画出函数y ＝x 2的图象，结合图象及导数说明函数y ＝x 2的变化情况．答案 图象如图从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，y ′＝2x 表明：当x <0时，随着x 的增加，y ＝x 2减少得越来越慢；当x >0时，随着x 的增加，y ＝x 2增加得越来越快．若y ＝x 2表示路程关于时间的函数，则y ′＝2x 可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x .知识点二 基本初等函数的导数公式【问题】 你能说出基本初等函数的导数公式的特点吗？ 答案 (1)常数函数的导数为零．(2)有理数幂函数f (x )＝x α的导数依然为幂函数，且系数为原函数的次数，幂指数是原函数的幂指数减去1. (3)正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为正弦函数的相反数． (4)指数函数的导数依然为指数函数，且系数为原函数底数的自然对数． (5)公式⑥是公式⑤的特例，公式⑧是公式⑦的特例．题型一 利用公式求导数求下列函数的导数：(1)y ＝x 7；(2)y ＝1x 2；(3)y ＝3x ；(4)y ＝2sin x 2cos x2；(5)y ＝log 12x 2－log 12x .【解析】 (1)y ′＝7x 7－1＝7x 6. (2)∵y ＝x －2，∴y ′＝－2x －2－1＝－2x －3. (3)∵y ＝x 13，∴y ′＝13x －23.(4)∵y ＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y ′＝cos x .(5)∵y ＝log 12x 2－log 12x ＝log 12x ，∴y ′＝(log 12x )′＝1x ln 12.●规律方法用公式求函数导数的方法(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．(2)对于不能直接利用公式的类型，关键是将其合理转化为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y ＝1x 2可以写成y ＝x －2，y ＝ 3x ＝x 13等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．1．求下列函数的导数：(1)y ＝lg 4；(2)y ＝2x；(3)y ＝x 2x ；(4)y ＝2cos 2x 2－1. 解析 (1)y ′＝(lg 4)′＝0；(2)y ′＝(2x )′＝2x ln 2；(3)∵y ＝x 2x＝x 2－12＝x 32，∴y ′＝(x 32)′＝32x 12； (4)∵y ＝2cos 2x 2－1＝cos x ， ∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .题型二 导数公式在解决切线问题中的应用(6分)已知点P (－1，1)，点Q (2，4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．【规范解答】 y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)，则y ′0|x x =＝2x 0.(2分)∵PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ， ∴k ＝2x 0＝1，即x 0＝12，所以切点为M ⎝⎛⎭⎫12，14.(4分) ∴所求的切线方程为y －14＝x －12，(5分) 即4x －4y －1＝0.(6分)●规律方法利用导数解决求曲线的切线方程问题的策略求曲线的切线方程主要有两种类型．(1)已知切点型，其步骤为： 求导函数―→求切点处导数，即切线斜率―→写出切线方程 (2)未知切点型，其步骤为：设切点―→求导函数―→求切线斜率k ＝f ′（x 0） 写出切线的点斜式方程―→列出关于x 0的方程（组）―→求切点―→写出切线方程2．求曲线y ＝x 过点(3，2)的切线方程．解析 ∵点(3，2)不在曲线y ＝x 上，∴设过(3，2)与曲线y ＝x 相切的直线在曲线的切点为(x 0，y 0)，则y 0＝x 0. ∵y ＝x ，∴y ′＝(x 12)′＝12x 12－1＝12x. ∴根据导数的几何意义，曲线在点(x 0，y 0)处的切线斜率k ＝12x 0. ∵切线过点(3，2)，∴2－y 03－x 0＝12x 0，2－x 03－x 0＝12x 0， 整理得(x 0)2－4x 0＋3＝0，解得x 0＝1，x 0＝9，∴切点坐标为(1，1)或(9，3)．(1)当切点坐标为(1，1)时，切线斜率k ＝12， ∴切线方程为y －2＝12(x －3)，即x －2y ＋1＝0. (2)当切点坐标为(9，3)时，切线斜率k ＝16，∴切线方程为y －2＝16(x －3)，即x －6y ＋9＝0. 综上可知：曲线y ＝x 过点(3，2)的切线方程为：x －2y ＋1＝0或x －6y ＋9＝0.易错误区(二) 正确使用求导公式已知直线y ＝kx 是曲线f (x )＝e x 的切线，则k 的值等于________．【解析】 设切点的坐标为(x 0，y 0)，由f (x )＝e x ，可得y ′＝f ′(x )＝e x ，又k ＝y 0x 0，f ′(x 0)＝0e x ， 所以0e x ＝y 0x 0且y 0＝0e x ①. 解得x 0＝1，y 0＝e.k ＝y 0x 0＝e. 【答案】 e[易错防范]1．①处一要注意导数0e x ，即切线斜率y 0x 0，二要注意切点在曲线上，即y 0＝0e x . 2．导数几何意义的应用本例实质是求过点(0，0)且与曲线y ＝e x 相切的直线方程的斜率．要把切线的斜率与导数联系起来，要注意切点的坐标既满足切线方程又满足曲线方程．3．牢记导数公式导数公式是函数导数计算的关键，解题时要注意使用．例如，在本例中，要正确应用公式(e x )′＝e x .已知曲线y ＝1x3在点P (－1，－1)处的切线与直线m 平行且距离等于10，求直线m 的方程．解析 因为y ′＝－3x 4， 所以曲线在点P (－1，－1)处的切线斜率为k ＝－3，则切线方程为y ＋1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋4＝0.由题意设直线m 的方程为3x ＋y ＋b ＝0(b ≠4)，所以|b －4|32＋12＝10，所以|b －4|＝10， 所以b ＝14或b ＝－6，所以直线m 的方程为3x ＋y ＋14＝0或3x ＋y －6＝0.[限时50分钟，满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．下列结论不正确的是A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若y ＝1x ，则y ′＝－x 2C ．若y ＝x ，则y ′＝12x D ．若y ＝x ，则y ′＝1解析 对于A ，常数的导数为零，故A 正确；对于B ，y ′＝(x -12)′＝－12x -32＝－12x 3，故B 错误； 对于C ，y ′＝(x 12)′＝12x -12＝12x，故C 正确； 对于D ，y ′＝x ′＝1，故D 正确．答案 B2．已知曲线f (x )＝x 3的切线的斜率等于3，则切线有A ．1条B ．2条C ．3条D ．不确定 解析 ∵f ′(x )＝3x 2＝3，解得x ＝±1，切点有两个，即可得切线有两条．。
苏教版高二数学选修2-2 1.2.3 简单复合函数的导数 学案
1．2.3简单复合函数的导数学习目标 1.理解掌握复合函数的求导法则.2.能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导．知识点复合函数的概念及求导法则已知函数y＝2x＋5＋ln x，y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)．思考1这三个函数都是复合函数吗？思考2试说明函数y＝ln(2x＋5)是如何复合的？思考3试求函数y＝ln(2x＋5)的导数．类型一 复合函数的概念例1 下列函数是否为复合函数，若是，说明是怎样复合而成的？(1)y ＝(2－x 2)3；(2)y ＝sin x 2；(3)y ＝cos(π4－x )； (4)y ＝ln sin(3x －1)．反思与感悟 根据复合函数的定义，若是一个复合函数，分清哪个是里层函数，哪个是外层函数，引入中间变量，将复合函数分解成较为简单的函数．跟踪训练1 写出由下列函数复合而成的函数．(1)y ＝cos u ，u ＝1＋x 2；(2)y ＝ln u ，u ＝ln x .类型二 求复合函数的导数例2 求下列函数的导数：(1)y ＝32x －1；(2)y ＝1(2x ＋1)4； (3)y ＝5log 3(1－x )；(4)y ＝x 2cos(2x －π3)．跟踪训练2 (1)若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝ .(2)已知y ＝ln 3x e x ，则y ′|x ＝1＝ . (3)已知y ＝sin 3x ＋cos 3x ，则y ′＝ . 类型三 复合函数导数的综合应用例3 求曲线y ＝1x 2－3x 在点⎝⎛⎭⎫4，12处的切线方程．反思与感悟 (1)复合函数的导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．(2)先求出复合函数的导数，若已知切点，则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．跟踪训练3 设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R 且为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在点(0,0)相切．求a ，b 的值．1．函数y ＝sin 3x 是由函数 复合而成的．2．设f (x )＝e －x 则f ′(x )＝ .3．函数y ＝(1－2x )4在x ＝12处的导数为 ． 4．过曲线y ＝11＋x 2上一点，使曲线在该点的切线平行于x 轴，求切线方程．1．复合函数求导的步骤2．求复合函数的导数的注意点：(1)分解的函数通常为基本初等函数；(2)求导时分清是对哪个变量求导；(3)计算结果尽量简洁．提醒：完成作业 1.2.3答案精析问题导学知识点思考1 函数y ＝ln(2x ＋5)，y ＝sin(x ＋2)是复合函数，函数y ＝2x ＋5＋ln x 不是复合函数． 思考2 设u ＝2x ＋5，则y ＝ln u ，从而y ＝ln(2x ＋5)可以看作是由y ＝ln u 和u ＝2x ＋5，经过“复合”得到的，即y 可以通过中间变量u 表示为自变量x 的函数．思考3 y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5. x 的函数 f (g (x )) y ′u ·u ′x y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积题型探究例1 解 (1)y ＝(2－x 2)3是由y ＝u 3及u ＝2－x 2复合而成．(2)y ＝sin x 2是由y ＝sin t 及t ＝x 2复合而成．(3)y ＝cos(π4－x )是由y ＝cos u 及u ＝π4－x 复合而成． (4)y ＝ln sin(3x －1)是由y ＝ln u ，u ＝sin t 及t ＝3x －1复合而成．跟踪训练1 解 (1)y ＝cos(1＋x 2)．(2)y ＝ln(ln x )．例2 解 (1)函数y ＝32x －1看作函数y ＝3u 与函数u ＝2x －1的复合，∴y ′＝y ′u ·u ′x ＝(3u )′·(2x －1)′＝(2ln 3)·3u ＝2·32x －1·ln 3.(2)y ＝1(2x ＋1)4＝(2x ＋1)－4，函数y ＝1(2x ＋1)4看作函数y ＝u －4与u ＝2x ＋1的复合． y ′＝y ′u ·u ′x ＝(u －4)′·(2x ＋1)′＝－4u －5×2＝－8(2x ＋1)－5＝－8(2x ＋1)5. (3)函数y ＝5log 3(1－x )看作函数y ＝5log 3u 与函数u ＝1－x 的复合．y ′＝y ′u ·u x ′＝(5log 3u )′(1－x )′＝5u ln 3×(－1)＝5(ln 3)(x －1). (4)函数t ＝cos(2x －π3)看作函数t ＝cos u 与u ＝2x －π3的复合． ∴[cos(2x －π3)]′＝(cos u )′(2x －π3)′ ＝－2sin u ＝－2sin(2x －π3)，∴y ′＝(x 2)′cos(2x －π3)＋x 2[cos(2x －π3)]′ ＝2x cos(2x －π3)－2x 2sin(2x －π3)． 跟踪训练2 (1)1 (2)1－ln 3e(3)3sin 2x cos x －3sin 3x例3 解 y ′＝[(x 2－3x )－12]′＝－12(x 2－3x )－32·(2x －3)， ∴y ＝1x 2－3x 在点⎝⎛⎭⎫4，12处的切线斜率为k ＝y ′| x ＝4＝－12×(42－3×4)－32×(2×4－3)＝－516， ∴切线方程为y －12＝－516(x －4)，即5x ＋16y －28＝0. 跟踪训练3 解 由y ＝f (x )过点(0,0)得b ＝－1，∴f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax －1，∴f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ， 又∵曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在点(0,0)相切，即曲线y ＝f (x )在点(0,0)处切线的斜率为32，∴f ′(0)＝32，即1＋12＋a ＝32，∴a ＝0. 达标检测1．y ＝u 3及u ＝sin x 2.－e －x 3.04．解 设切点的坐标为(x 0，y 0)，因为过点(x 0，y 0)的切线平行于x 轴，于是k ＝0，由导数几何意义知k ＝f ′(x 0)＝－2x 0(1＋x 20)2＝0，所以x 0＝0.又因为点(x 0，y 0)在曲线y ＝11＋x 2上，将x 0＝0代入得y 0＝1.故切点坐标为(0,1)，切线方程为y －1＝0.。
高中数学 教案定积分及其应用学案 新人教A版选修2-2 学案
某某省某某市肥城市第三中学高中数学教案定积分及其应用学案新人教A版选修2-2yy记作f(x)dx 。
即f(x)dx ＝)(1lim i ni n f n ab ξ∑=∞→-。
其中)(x f 称为被积函数，dx x f )(称为被积式，x 称为积分变量，],[b a 称为积分区间，b a ,分别称为 积分上限和积分下限。
2定积分的几何意义：①若0)(≥x f ，则积分⎰badxx f )(表示如图所示的曲边梯形的面积，即S dx x f ba=⎰)(②若0)(≤x f ，则积分⎰ba dx x f )(表示如图所示的曲边梯形面积的负值，即S dx x f ba-=⎰)(③一般情况下，定积分⎰b adxx f )(表示介于x 轴、曲线()f x及b x a x ==,之间的曲边梯形面积的代数和，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值的相反数， 3定积分的性质。
（１）⎰badx x kf )(＝k ⎰ba dxx f )(。
（２）[]dx x fx f ba)()(21±⎰＝。
（３）dx x f ba⎰)(＝ 。
4微积分基本定理：一般地，若f(x)为在][b a ,上的连续函数，且有)()(x f x F ='，那么⎰=badx x f )(，这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式，可记作⎰=badx x f )(= 。
常见求定积分的公式新知得到知识1n B.1n C.1n D.3lim n n →∞由落体的速，则落体从到0t t =所走路程为B.gtC.2012gtD.2014gt答案： 234-125+2l 4n四．精讲点拨： 例1：计算下列定积分：（1）dx x ⎰402sin π（2）。
dx x e x⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+2121（3）dx x ⎰-2123答案：（1）418-π（2）21e 4+ln2-21e 2 (3)21例2利用定积分求图形的面积：求由抛物线,12-=x y 直线x=2，y=0围成的图形的面积。
新人教版数学选修2-2全册导学案精品(全品学案)
1.1. 3 │ 考点类析
1.1. 3 │ 考点类析
1.1. 3 │ 考点类析
1.1. 3 │ 考点类析
► 考点二 利用图像理解导数的几何意义
1.1. 3 │ 考点类析
y轴 x轴 锐角 钝角
1.1. 3 │ 考点类析
1.1. 3 │ 考点类析
1.1. 3 │ 考点类析
1.1. 3 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
► 考点二导数的运算法则在求导中的应用 可导
f1′(x)±f2′(x)±…±fn′(x) af′(x)＋bg′(x)
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
► 考点三 导数公式及运算法则在切线方程中的应用
切线
导数值 曲线
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
► 考点三 复合函数求导
1. 2.2 │ 考点类析
1.1.2 │ 三维目标
三维目标
【知识与技能】 (1)感受平均变化率的实际背景，理解函数的平均变化率的概 念，会求函数的平均变化率． (2)通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变 化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是 导数． 【过程与方法】 (1)经历由实例抽象出平均变化率的过程，体会平均变化率的 思想及内涵，培养学生观察、归纳、类比、猜想、验证的数学 思想，体验由特殊到一般的逻辑思维过程．
高中数学人教A版选修2-2学案：第一章 1.7 定积分的简单应用含解析
定积分的简单应用预习课本P56～59，思考并完成下列问题(1)利用定积分求平面图形的面积时，需要知道哪些条件？(2)两条曲线相交围成的平面图形能否用定积分求其面积？[新知初探]1．定积分与平面图形面积的关系(1)已知函数f (x )在[a ，b ]上是连续函数，由直线y ＝0，x ＝a ，x ＝b 与曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积为S .f (x )的符号 平面图形的面积与定积分的关系f (x )≥0 S ＝⎠⎛a bf (x )d x f (x )<0S ＝－⎠⎛a b f (x )d x(2)一般地，如图，如果在公共的积分区间[a ，b ]上有f (x )>g (x )，那么直线x ＝a ，x ＝b 与曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )围成的平面图形的面积为S ＝⎠⎛a b[f (x )－g (x )]d x .[点睛] 对于不规则平面图形面积的处理原则定积分只能用于求曲边梯形的面积，对于非规则的曲边梯形，一般要将其分割或补形为规则的曲边梯形，再利用定积分的和与差求面积．对于分割或补形中的多边形的面积，可直接利用相关面积公式求解．2．变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即s ＝⎠⎛a bv (t )d t .3．力做功(1)恒力做功：一物体在恒力F (单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s ，则力F 所做的功为W ＝Fs .(2)变力做功：如果物体在变力F (x )的作用下做直线运动，并且物体沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b (a <b )，那么变力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛a bF (x )d x .[点睛] 变速直线运动物体的路程、位移与定积分的关系如果做变速直线运动物体的速度－时间函数为v ＝v (t )，则物体在区间[a ，b ]上的位移为定积分⎠⎛a bv (t )d t ；物体在区间[a ，b ]上的路程为⎠⎛a b|v (t )|d t .[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)曲线y ＝x 3与直线x ＋y ＝2，y ＝0围成的图形面积为⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12(2－x )d x .( ) (2)曲线y ＝3－x 2与直线y ＝－1围成的图形面积为⎠⎛－2 2(4－x 2)d x .( )(3)速度是路程与时间的函数关系的导数．( )(4)一个物体在2≤t ≤4时，运动速度为v (t )＝t 2－4t ，则它在这段时间内行驶的路程为⎠⎛24(t 2－4t )d t .( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．曲线y ＝cos x ⎝⎛⎭⎫0≤x ≤3π2与坐标轴所围成的图形面积是( ) A ．2 B ．3 C.52 D ．4答案：B3．已知做自由落体运动的物体的速度为v ＝gt ，则物体从t ＝0到t ＝t 0所走过的路程为( )A.13gt 20B. gt 20C. 12gt 20D.14gt 20答案：C4．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v (t )＝27－0.9t ，则列车从刹车到停车所前进的路程为________．答案：405利用定积分求平面图形的面积[典例] 求抛物线y 2＝2x 和直线y ＝－x ＋4所围成的图形的面积．[解] 先求抛物线和直线的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝－x ＋4，求出交点坐标为A (2,2)和B (8，－4)．法一：选x 为积分变量，变化区间为[0,8]，将图形分割成两部分(如图)，则面积为S ＝S 1＋S 2＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28()2x －x ＋4d x ＝423x 3220＋⎝⎛⎭⎫223x 32－12x 2＋4x 82＝18.法二：选y 作积分变量，则y 的变化区间为[－4,2]，如图得所求的面积为 S ＝⎠⎛2－4⎝⎛⎭⎫4－y －y22d y ＝⎝⎛⎭⎫4y －y 22－y362－4＝18.利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 (1)画出图形．(2)确定图形范围，通过方程组求出交点的横坐标，确定积分上限和积分下限． (3)确定被积函数及积分变量，确定时可以综合考察下列因素：①被积函数的原函数易求；②较少的分割区域；③积分上限和积分下限比较简单． (4)写出平面图形的面积的定积分表达式．(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积． [活学活用]求曲线y ＝e x ，y ＝e －x 及直线x ＝1所围成的图形的面积．解： 如图，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝e x ，y ＝e －x ，解得交点为(0,1)， 所求面积为S ＝⎠⎛01(e x －e －x )d x ＝(e x ＋e －x )10＝e ＋1e －2.求变速直线运动的路程、位移[典例] 有一动点P 从原点出发沿x 轴运动，在时刻为t 时的速度为v (t )＝8t －2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致)．求(1)t ＝6时，点P 离开原点后运动的路程和点P 的位移； (2)经过时间t 后又返回原点时的t 值． [解] (1)由v (t )＝8t －2t 2≥0得0≤t ≤4， 即当0≤t ≤4时，P 点沿x 轴正方向运动， 当t >4时，P 点向x 轴负方向运动． 故t ＝6时，点P 离开原点后运动的路程 s 1＝⎠⎛04(8t －2t 2)d t －⎠⎛46(8t －2t 2)d t ＝⎝⎛⎭⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪ 40－⎝⎛⎭⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪64＝1283. 当t ＝6时，点P 的位移为⎠⎛06(8t －2t 2)d t ＝⎝⎛⎭⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪60＝0.(2)依题意，⎠⎛0t(8t －2t 2)d t ＝0， 即4t 2－23t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6，因为t ＝0对应于点P 刚开始从原点出发的情况，所以t ＝6为所求，(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误．[活学活用]一质点在直线上从时刻t ＝0(s)开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(m/s)运动，求点在t ＝4 s 时的位置及经过的路程．解：在t ＝4 s 时该点的位移为 ⎠⎛04(t 2－4t ＋3)d t ＝⎝⎛⎭⎫13t 3－2t 2＋3t ⎪⎪⎪4＝43(m)． 即在t ＝4 s 时该点距出发点43m.又因为v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)， 所以在区间[0,1]及[3,4]上的v (t )≥0， 在区间[1,3]上，v (t )≤0.所以在t ＝4 s 时的路程为s ＝⎠⎛01(t 2－4t ＋3)d t －⎠⎛13(t 2－4t ＋3)d t ＋⎠⎛34(t 2－4t ＋3)d t ＝⎝⎛⎭⎫t 33－2t 2＋3t ⎪⎪⎪1－⎝⎛⎭⎫t 33－2t 2＋3t ⎪⎪⎪31＋⎝⎛⎭⎫t 33－2t 2＋3t ⎪⎪⎪ 43＝4(m).求变力做功[典例] 一物体在变力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，0≤x ≤2，x 2＋2x ，2≤x ≤5，(x 的单位：m ，F 的单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向从x ＝0运动到x ＝5处，求变力所做的功．[解] 变力F (x )所做的功为 W ＝⎠⎛02(2x ＋4)d x ＋⎠⎛25(x 2＋2x )d x＝(x 2＋4x ) ⎪⎪⎪2＋⎝⎛⎭⎫13x 3＋x 2⎪⎪⎪52＝12＋60＝72(J)．求变力做功的方法步骤(1)要明确变力的函数式F (x )，确定物体在力的方向上的位移． (2)利用变力做功的公式W ＝⎠⎛ab F (x )d x 计算．(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳． [活学活用]在弹性限度内，用力把弹簧从平衡位置拉长10 cm 所用的力是200 N ，求变力F 做的功． 解：设弹簧所受到的拉力与弹簧伸长的函数关系式为F (x )＝kx (k >0)，当x ＝10 cm ＝0.1 m 时，F (x )＝200 N ，即0.1k ＝200，得k ＝2 000，故F (x )＝2 000x ， 所以力F 把弹簧从平衡位置拉长10 cm 所做的功是W ＝⎠⎛0 0.12 000x d x ＝1 000x 2⎪⎪⎪1＝10(J)．层级一 学业水平达标1．在下面所给图形的面积S 及相应的表达式中，正确的有( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．③④解析：选D ①应是S ＝⎠⎛a b[f (x )－g (x )]d x ，②应是S ＝⎠⎛0822x d x －⎠⎛48(2x －8)d x ，③和④正确．故选D.2．一物体以速度v ＝(3t 2＋2t )m/s 做直线运动，则它在t ＝0 s 到t ＝3 s 时间段内的位移是( )A ．31 mB ．36 mC ．38 mD ．40 m解析：选B S ＝⎠⎛03(3t 2＋2t )d t ＝(t 3＋t 2)30＝33＋32＝36(m)，故应选B. 3.如图所示，阴影部分的面积是( ) A ．2 3 B ．2－ 3 C.323D.353解析：选C S ＝⎠⎛-3 1(3－x 2－2x )d x ，即F (x )＝3x －13x 3－x 2，则F (1)＝3－13－1＝53，F (－3)＝－9＋9－9＝－9.∴S ＝F (1)－F (－3)＝53＋9＝323.故应选C.4．由y ＝x 2，y ＝14x 2及x ＝1围成的图形的面积S ＝( )A.14B.12C.13D ．1解：选A 图形如图所示，S ＝⎠⎛01x 2d x －⎠⎛0114x 2d x＝⎠⎛0134x 2d x＝14x 310＝14. 5．曲线y ＝x 3－3x 和y ＝x 围成的图形面积为( ) A ．4 B ．8 C ．10D ．9解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 3－3x ，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2.∵两函数y ＝x 3－3x 与y ＝x 均为奇函数，∴S ＝2⎠⎛02[x －(x 3－3x )]d x ＝2·⎠⎛02(4x －x 3)d x＝2⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4⎪⎪⎪20＝8，故选B.6．若某质点的初速度v (0)＝1，其加速度a (t )＝6t ，做直线运动，则质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为________．解析：v (2)－v (0)＝⎠⎛02a (t )d t ＝⎠⎛026t d t ＝3t 2⎪⎪⎪2＝12，所以v (2)＝v (0)＋3×22＝1＋12＝13. 答案：137．一物体沿直线以速度v ＝1＋t m/s 运动，该物体运动开始后10 s 内所经过的路程是______．解析：S ＝⎠⎛0101＋t d t ＝23(1＋t )32 ⎪⎪⎪10＝23⎝⎛⎭⎫1132－1. 答案： 23⎝⎛⎭⎫1132－1 8．由y ＝1x，x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积为________．解析：画出曲线y ＝1x (x >0)及直线x ＝1，x ＝2，y ＝0，则所求面积S 为如图所示的阴影部分面积．∴S ＝⎠⎛121x d x ＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2－ln 1＝ln 2.答案：ln 29．计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围图形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x 2－2x ＋3，解得x ＝0及x ＝3.从而所求图形的面积S ＝⎠⎛03[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)]d x ＝⎠⎛03(－x 2＋3x )d x ＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋32x 2⎪⎪⎪30＝92. 10. 设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2. (1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积． 解：(1)∵y ＝f (x )是二次函数且f ′(x )＝2x ＋2， ∴设f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又f (x )＝0有两个等根，∴4－4c ＝0，∴c ＝1，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)y ＝f (x )的图象与两坐标所围成的图形的面积S ＝⎠⎛-10(x 2＋2x ＋1)d x ＝13x 3＋x 2＋x ⎪⎪⎪-1＝13. 层级二 应试能力达标1．一物体在力F (x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x ＝1运动到x ＝3处(单位：m)，则力F (x )所做的功为( )A ．8 JB ．10 JC ．12 JD ．14 J解析：选D 由变力做功公式有：W ＝⎠⎛13(4x －1)d x ＝(2x 2－x ) ⎪⎪⎪31＝14(J)，故应选D.2．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t 的函数，若已知产量的变化率为a ＝36t，那么从3小时到6小时期间内的产量为( )A.12B ．3－322 C ．6＋3 2D ．6－3 2解析：选D ⎠⎛3636t d t ＝6t ⎪⎪⎪63＝6－32，故应选D.3．以初速40 m/s 竖直向上抛一物体，t s 时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )A.1603 m B.803 m C.403m D.203m 解析：选A 由v ＝40－10t 2＝0，得t 2＝4，t ＝2. ∴h ＝⎠⎛02(40－10t 2)d t ＝⎝⎛⎭⎫40t －103t 3⎪⎪⎪2＝80－803＝1603(m)．故选A. 4．(山东高考)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2D ．4解析：选D 由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛02(4x －x 3)d x＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4⎪⎪⎪2＝4.5．椭圆x 216＋y 29＝1所围区域的面积为________．解析：由x 216＋y 29＝1，得y ＝±3416－x 2.又由椭圆的对称性知，椭圆的面积为S ＝4⎠⎛043416－x 2d x ＝3⎠⎛0416－x 2d x. 由y ＝16－x 2，得x 2＋y 2＝16(y ≥0)．由定积分的几何意义知⎠⎛0416－x 2d x 表示由直线x ＝0，x ＝4和曲线x 2＋y 2＝16(y ≥0)及x 轴所围成图形的面积，∴⎠⎛0416－x 2d x ＝14×π×16＝4π，∴S ＝3×4π＝12π.答案：12π6.如图，在边长为e (e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为____________．解析：∵S 阴＝2⎠⎛01(e －e x )d x ＝2(e x －e x ) ⎪⎪⎪1＝2，S 正方形＝e 2，∴P ＝2e 2.答案：2e27．求由曲线xy ＝1及直线x ＝y ，y ＝3所围成平面图形的面积．解：作出曲线xy ＝1，直线x ＝y ，y ＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．求交点坐标：由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝3，故A ⎝⎛⎭⎫13，3；由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝x ， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1(舍去)， 故B(1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，故C(3,3)，8．函数f(x)＝ax 3＋bx 2－3x ，若f(x)为实数集R 上的单调函数，且a ≥－1，设点P 的坐标为(b ，a )，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S .解：当a ＝0时，由f (x )在R 上单调，知b ＝0.当a ≠0时，f (x )在R 上单调⇔f ′(x )≥0恒成立或f ′(x )≤0恒成立．∵f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4b 2＋36a ≤0，a ≥－1.∴a ≤－19b 2且a ≥－1.因此满足条件的点P (b ，a )在直角坐标平面xOy 的轨迹所围成的图形是由曲线y ＝－19x 2与直线y ＝－1所围成的封闭图形．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－19x 2，y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，如图，其面积S ＝⎠⎛3－3⎝⎛⎭⎫1－19x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫x －x 327⎪⎪⎪3-3＝(3－1)－(－3＋1)＝4.(时间： 120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若f (x )＝sin α－cos x ，则f ′(x )等于( ) A ．sin x B ．cos x C ．cos α＋sin xD ．2sin α＋cos x解析：选A 函数是关于x 的函数，因此sin α是一个常数．2．以正弦曲线y ＝sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π B ．[0，π) C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4 解析：选A y ′＝cos x ，∵cos x ∈[－1,1]，∴切线的斜率范围是[－1,1]，∴倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 3．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选A 设极值点依次为x 1，x 2，x 3且a ＜x 1＜x 2＜x 3＜b ，则f (x )在(a ，x 1)，(x 2，x 3)上递增，在(x 1，x 2)，(x 3，b )上递减，因此，x 1，x 3是极大值点，只有x 2是极小值点．4．函数f (x )＝x 2－ln x 的单调递减区间是( ) A. ⎝⎛⎦⎤0， 22 B.⎣⎡⎭⎫22，＋∞ C. ⎝⎛⎦⎤－∞，－22，⎝⎛⎭⎫0， 22 D.⎣⎡⎭⎫－22， 0，⎝⎛⎦⎤0， 22 解析：选A ∵f ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x ，当0＜x ≤22时，f ′(x )≤0，故f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎦⎤0，22. 5．函数f (x )＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是( ) A ．1 B.12 C ．0D ．－1解析：选A f ′(x )＝3－12x 2，令f ′(x )＝0， 则x ＝－12(舍去)或x ＝12，f (0)＝0，f (1)＝－1，f ⎝⎛⎭⎫12＝32－12＝1，∴f (x )在[0,1]上的最大值为1.6．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3处取得极值，则a ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选D f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，∵f ′(－3)＝0. ∴3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，∴a ＝5.7．函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－310，67 B.⎝⎛⎭⎫－85，－316 C.⎝⎛⎭⎫－83，－116 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－310∪⎝⎛⎭⎫67，＋∞ 解析：选D f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x ＋2)(x －1)，要使函数f (x )的图象经过四个象限，则f (－2)f (1)<0，即⎝⎛⎭⎫103a ＋1⎝⎛⎭⎫－76a ＋1<0，解得a <－310或a >67. 故选D.8.已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )解析：选D 由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A 、B ；当0<x <x 1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，故选D.9．定义域为R 的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )>12，则满足2f (x )<x ＋1的x 的集合为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}解析：选B 令g (x )＝2f (x )－x －1，∵f ′(x )>12，∴g ′(x )＝2f ′(x )－1>0，∴g (x )为单调增函数， ∵f (1)＝1，∴g (1)＝2f (1)－1－1＝0，∴当x <1时， g (x )<0，即2f (x )<x ＋1，故选B.10．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2，生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，应生产( )A ．6千台B ．7千台C ．8千台D ．9千台解析：选A 设利润为y ，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝18x 2－2x 3，y ′＝36x －6x 2，令y ′＝0得x ＝6或x ＝0(舍)，f (x )在(0,6)上是增函数，在(6，＋∞)上是减函数，∴x ＝6时y 取得最大值．11．已知定义在R 上的函数f (x )，f (x )＋x ·f ′(x )＜0，若a ＜b ，则一定有( ) A ．af (a )＜bf (b ) B ．af (b )＜bf (a ) C ．af (a )＞bf (b )D ．af (b )＞bf (a )解析：选C [x ·f (x )]′＝x ′f (x )＋x ·f ′(x )＝f (x )＋x ·f ′(x )＜0， ∴函数x ·f (x )是R 上的减函数， ∵a ＜b ，∴af (a )＞bf (b )．12．若函数f (x )＝sin x x ，且0<x 1<x 2<1，设a ＝sin x 1x 1，b ＝sin x 2x 2，则a ，b 的大小关系是( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a ，b 的大小不能确定解析：选A f ′(x )＝x cos x －sin xx 2，令g (x )＝x cos x －sin x ，则g ′(x )＝－x sin x ＋cos x－cos x ＝－x sin x .∵0<x <1，∴g ′(x )<0，即函数g (x )在(0,1)上是减函数，得g (x )<g (0)＝0，故f ′(x )<0，函数f (x )在(0,1)上是减函数，得a >b ，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上) 13．若f (x )＝13x 3－f ′(1)x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________.解析：f ′(x )＝x 2－2f ′(1)x ＋1，令x ＝1，得f ′(1)＝23.答案：2314．设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝__________.解析：S ＝⎠⎛0ax d x ＝23x 32a0＝23a 32＝a 2，∴a ＝49. 答案：4915．已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，f (x )＝x ＋sin x ，设a ＝f (1)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)， 因为f ′(x )＝1＋cos x ≥0， 故f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数， ∵π2>π－2>1>π－3>0， ∴f (π－2)>f (1)>f (π－3)，即c <a <b . 答案：c <a <b 16．若函数f (x )＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________．解析：f ′(x )＝4－4x 2(x 2＋1)2，令f ′(x )＞0，得－1＜x ＜1，即函数f (x )的增区间为(－1,1)． 又f (x )在(m,2m ＋1)上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，m ＜2m ＋1，2m ＋1≤1.解得－1＜m ≤0.答案：(－1,0]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f (x )的极值点．已知a ，b 是实数，1和－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点．(1)求a 和b 的值；(2)设函数g (x )的导函数g ′(x )＝f (x )＋2，求g (x )的极值点． 解：(1)由题设知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，且f ′(－1)＝3－2a ＋b ＝0，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0， 解得a ＝0，b ＝－3. (2)由(1)知f (x )＝x 3－3x . 因为f (x )＋2＝(x －1)2(x ＋2)，所以g ′(x )＝0的根为x 1＝x 2＝1，x 3＝－2， 于是函数g (x )的极值点只可能是1或－2. 当x ＜－2时，g ′(x )＜0；当－2＜x ＜1时， g ′(x )＞0，故－2是g (x )的极值点． 当－2＜x ＜1或x ＞1时，g ′(x )＞0， 故1不是g (x )的极值点． 所以g (x )的极值点为－2.18. (本小题满分12分)(北京高考)设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间． 解：(1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ， 所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设有⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝2e ＋2，f ′(2)＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f(x)＝x e2－x＋e x.由f′(x)＝e2－x(1－x＋e x－1)及e2－x>0知，f′(x)与1－x＋e x－1同号．令g(x)＝1－x＋e x－1，则g′(x)＝－1＋e x－1.所以当x∈(－∞，1)时，g′(x)<0，g(x)在区间(－∞，1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．故g(1)＝1是g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g(x)>0，x∈(－∞，＋∞)．综上可知，f′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)，故f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．19．(本小题满分12分)某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x≥0)万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln(x＋b)(a＞0，b＞0)．已知投资额为零时收益为零．(1)求a，b的值；(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．解：(1)由投资额为零时收益为零，可知f(0)＝－a＋2＝0，g(0)＝6ln b＝0，解得a＝2，b＝1.(2)由(1)可得f(x)＝2x，g(x)＝6ln(x＋1)．设投入经销B商品的资金为x万元(0＜x≤5)，则投入经销A商品的资金为(5－x)万元，设所获得的收益为S(x)万元，则S(x)＝2(5－x)＋6ln(x＋1)＝6ln(x＋1)－2x＋10(0＜x≤5)．S′(x)＝6x＋1－2，令S′(x)＝0，得x＝2.当0＜x＜2时，S′(x)＞0，函数S(x)单调递增；当2＜x≤5时，S′(x)＜0，函数S(x)单调递减．所以当x＝2时，函数S(x)取得最大值，S(x)max＝S(2)＝6ln 3＋6≈12.6万元．所以，当投入经销A商品3万元，B商品2万元时，他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋2ln(1－x )(a 为常数)．(1)若f (x )在x ＝－1处有极值，求a 的值并判断x ＝－1是极大值点还是极小值点； (2)若f (x )在[－3，－2]上是增函数，求a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝2ax －21－x，x ∈(－∞，1)， f ′(－1)＝－2a －1＝0， 所以a ＝－12.f ′(x )＝－x －21－x ＝(x ＋1)(x －2)1－x. ∵x <1，∴1－x >0，x －2<0， 因此，当x <－1时f ′(x )>0， 当－1<x <1时f ′(x )<0， ∴x ＝－1是f (x )的极大值点．(2)由题意f ′(x )≥0在x ∈[－3，－2]上恒成立， 即2ax －21－x≥0在x ∈[－3，－2]上恒成立 ∴a ≤1－x 2＋x 在x ∈[－3，－2]上恒成立，∵－x 2＋x ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14 ∈[－12，－6]， ∴1－x 2＋x ∈⎣⎡⎦⎤－16，－112， ∴⎝⎛⎭⎫1－x 2＋ x min ＝－16，a ≤－16.即a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－16. 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－m ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a . (1)当a ＝0时，f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(2)当m ＝2时，若函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．解：(1)由f (x )≥h (x )， 得m ≤xln x在(1，＋∞)上恒成立． 令g (x )＝xln x ，则g ′(x )＝ln x －1(ln x )2， 当x ∈(1，e)时，g ′(x )＜0；当x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x )＞0，所以g (x )在(1，e)上递减，在(e ，＋∞)上递增． 故当x ＝e 时，g (x )的最小值为g (e)＝e. 所以m ≤e.即m 的取值范围是(－∞，e]． (2)由已知可得k (x )＝x －2ln x －a . 函数k (x )在(1,3)上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x )＝x －2ln x 与直线y ＝a 有两个不同的交点． φ′(x )＝1－2x ＝x －2x，当x ∈(1,2)时，φ′(x )＜0，φ(x )递减， 当x ∈(2,3)时，φ′(x )＞0，φ(x )递增． 又φ(1)＝1，φ(2)＝2－2ln 2，φ(3)＝3－2ln 3， 要使直线y ＝a 与函数φ(x )＝x －2ln x 有两个交点， 则2－2ln 2＜a ＜3－2ln 3.即实数a 的取值范围是(2－2ln 2,3－2ln 3)．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(x －2)e x ＋a (x －1)2有两个零点． (1)求a 的取值范围；(2)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：x 1＋x 2<2. 解：(1)f ′(x )＝(x －1)e x ＋2a (x －1)＝(x －1)(e x ＋2a )． ①设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x ，f (x )只有一个零点． ②设a >0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增． 又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b <0且b <ln a2，则f (b )>a2(b －2)＋a (b －1)2＝a ⎝⎛⎭⎫b 2－32b >0， 故f (x )存在两个零点．③设a <0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )． 若a ≥－e2，则l n(－2a )≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，因此f (x )在(1，＋∞)内单调递增． 又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点． 若a <－e2，则ln(－2a )>1，故当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)<0；当x∈(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)>0.因此f(x)在(1，ln(－2a))内单调递减，在(ln(－2a)，＋∞)内单调递增．又当x≤1时，f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点．综上，a的取值范围为(0，＋∞)．(2)证明：不妨设x1<x2，由(1)知，x1∈(－∞，1)，x2∈(1，＋∞)，2－x2∈(－∞，1)，又f(x)在(－∞，1)内单调递减，所以x1＋x2<2等价于f(x1)>f(2－x2)，即f(2－x2)<0.由于f(2－x2)＝－x2e2－x2＋a(x2－1)2，而f(x2)＝(x2－2)e x2＋a(x2－1)2＝0，所以f(2－x2)＝－x2e2－x2－(x2－2)e x2.设g(x)＝－x e2－x－(x－2)e x，则g′(x)＝(x－1)(e2－x－e x)．所以当x>1时，g′(x)<0，而g(1)＝0，故当x>1时，g(x)<0.从而g(x2)＝f(2－x2)<0，故x1＋x2<2.。
高中数学选修2-2全套教案(84页)
高中数学教案选修全套【选修2-2教案｜全套】目录目录 (I)第一章导数及其应用 (1)§1.1.1变化率问题 (1)导数与导函数的概念 (4)§1.1.2导数的概念 (6)§1.1.3导数的几何意义 (9)§1.2.1几个常用函数的导数 (13)§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 (16)§1.2.2复合函数的求导法则 (20)§1.3.1函数的单调性与导数（2课时） (23)§1.3.2函数的极值与导数（2课时） (28)§1.3.3函数的最大（小）值与导数（2课时） (32)§1.4生活中的优化问题举例（2课时） (35)§1.5.3定积分的概念 (39)第二章推理与证明 (43)合情推理 (43)类比推理 (46)演绎推理 (49)推理案例赏识 (51)直接证明--综合法与分析法 (53)间接证明--反证法 (55)数学归纳法 (57)第3章数系的扩充与复数的引入 (68)§3.1数系的扩充和复数的概念 (68)§3.1.1数系的扩充和复数的概念 (68)§3.1.2复数的几何意义 (71)§3.2复数代数形式的四则运算 (74)§3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义 (74)§3.2.2复数代数形式的乘除运算 (78)第一章 导数及其应用§1.1.1变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。
【人教B版】高中数学选修2-2学案全集(全册 共65页 附答案)
【人教B版】高中数学选修2-2学案全集（全册共65页附答案）目录1.2 导数的运算1.3.1 利用导数判断函数的单调性1.3.2 利用导数研究函数的极值1.3.3 导数的实际应用1.4.1 曲边梯形面积与定积分1.4.2 微积分基本定理2.1.1 合情推理2．1.2 演绎推理2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法2.3 数学归纳法3.1.2 复数的概念3.1.3 复数的几何意义3.2.1 复数的加法与减法3.2.2 复数的乘法3.2.3 复数的除法1.2 导数的运算1．掌握基本初等函数的导数公式，并能利用这些公式求基本初等函数的导数． 2．熟练运用导数的运算法则．3．正确地对复合函数进行求导，合理地选择中间变量，认清是哪个变量对哪个变量求导数．1．基本初等函数的导数公式表y ＝f (x ) y′＝f′(x )(1)求导公式在以后的求导数中可直接运用，不必利用导数的定义去求． (2)幂函数的求导规律：求导幂减1，原幂作系数．【做一做1－1】给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y′＝－3x 4；②若y ＝3x ，则y′＝133x ；③若y ＝1x2，则y′＝－2x －3；④若y ＝f (x )＝3x ，则f′(1)＝3；⑤若y ＝cos x ，则y′＝sin x ；⑥若y ＝sin x ，则y′＝cos x ．其中正确的个数是( )．A ．3B ．4C ．5D ．6【做一做1－2】下列结论中正确的是( )．A ．(log a x )′＝a xB ．(log a x )′＝ln 10xC ．(5x )′＝5xD ．(5x )′＝5xln 5 2．导数的四则运算法则(1)函数和(或差)的求导法则： 设f (x )，g (x )是可导的，则(f (x )±g (x ))′＝__________，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的____________．(2)函数积的求导法则：设f (x )，g (x )是可导的，则[f (x )g (x )]′＝____________，即两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数．由上述法则立即可以得出[Cf (x )]′＝Cf′(x )，即常数与函数之积的导数，等于常数乘以____________．(3)函数的商的求导法则：设f (x )，g (x )是可导的，g (x )≠0，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝________________.(1)比较：[f (x )g (x )]′＝f′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )，⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝g (x )f ′(x )－f (x )g ′(x )g 2(x )，注意差异，加以区分．(2)f (x )g (x )≠f ′(x )g ′(x )，且⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′≠g (x )f ′(x )＋f (x )g ′(x )g 2(x ).(3)两函数的和、差、积、商的求导法则，称为可导函数四则运算的求导法则．(4)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导． 若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．例如，设f (x )＝sin x ＋1x ，g (x )＝cos x －1x，则f (x )，g (x )在x ＝0处均不可导，但它们的和f (x )＋g (x )＝sin x ＋cos x 在x ＝0处可导． 【做一做2】下列求导运算正确的是( )．A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x·log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 3．复合函数的求导法则对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f [g (x )]．如函数y ＝(2x ＋3)2是由y ＝u 2和u ＝2x ＋3复合而成的．复合函数y ＝f [g (x )]的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为 y′x ＝y′u ·u ′x .即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．对于复合函数的求导应注意以下几点：(1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量．(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量进行求导的，而其中要特别注意的是中间变量的导数．如(sin 2x )′＝2cos 2x ，而(sin 2x )′≠cos 2x .(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数．如求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的导数，设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y′x ＝y′u ·u ′x ＝cos u ·2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (4)复合函数的求导熟练后，中间步骤可省略不写． 【做一做3】函数y ＝ln(2x ＋3)的导数为________．1．如何看待导数公式与用定义法求导数之间的关系？剖析：导数的定义本身给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限定义的，因此求导数总是归结到求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，利用导数公式就可以比较简捷地求出函数的导数．2．导数公式表中y′表示什么？剖析：y′是f′(x )的另一种写法，两者都表示函数y ＝f (x )的导数． 3．如何理解y ＝C (C 是常数)，y′＝0；y ＝x ，y′＝1?剖析：因为y ＝C 的图象是平行于x 轴的直线，其上任一点的切线即为本身，所以切线的斜率都是0；因为y ＝x 的图象是斜率为1的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率为1.题型一 利用公式求函数的导数 【例题1】求下列函数的导数：(1)y ＝x x ；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝log 2x 2－log 2x ；(5)y ＝－2sin x2(1－2cos 2x4)．分析：熟练掌握常用函数的求导公式．运用有关的性质或公式将问题转化为基本初等函数后再求导数．反思：通过恒等变形把函数先化为基本初等函数，再应用公式求导． 题型二 利用四则运算法则求导 【例题2】求下列函数的导数：(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6； (2)y ＝x ·tan x ；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(4)y ＝x －1x ＋1.分析：仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣求导运算法则，联系基本函数求导公式，不具备求导法则条件的可适当进行恒等变形，然后进行求导．反思：对于函数求导问题，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，必须注意变换的等价性，避免不必要的运算错误．题型三 求复合函数的导数 【例题3】求下列函数的导数：(1)y ＝(2x ＋1)n(x ∈N ＋)；(2)y ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 5；(3)y ＝sin 3(4x ＋3)；(4)y ＝x cos x 2.分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，其中还应特别注意中间变量的关系，求导后，要把中间变量转换成自变量的函数．反思：对于复合函数的求导，要注意分析问题的具体特征，灵活恰当地选择中间变量．易犯错误的地方是混淆变量，或忘记中间变量对自变量求导．复合函数的求导法则，通常称为链条法则，因为它像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环．题型四 易错辨析易错点：常见函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数的求导法则等，记忆不牢或不能够灵活运用，所以在求导时容易出错．牢记公式、灵活应用法则是避免求导出错的关键．【例题4】求函数y ＝12(e x ＋e －x)的导数．错解：y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(e x ＋e －x )′＝12(e x ＋e －x )′＝12[(e x )′＋(e －x )′]＝12(e x ＋e －x)．1下列各组函数中导数相同的是( )． A ．f (x )＝1与f (x )＝xB ．f (x )＝sin x 与f (x )＝cos xC ．f (x )＝1－cos x 与f (x )＝－sin xD ．f (x )＝x －1与f (x )＝x ＋12已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f′(－1)＝4，则a 的值为( )． A ．193 B ．103 C ．133 D ．1633函数y ＝cos xx的导数是( )．A ．－sin xx2 B ．－sin xC ．－x sin x ＋cos x x 2D ．－x cos x ＋cos xx 24设y ＝1＋a ＋1－x (a 是常数)，则y′等于( )．A ．121＋a ＋121－xB ．121－xC ．121＋a －121－xD ．－121－x5已知抛物线y ＝ax 2＋bx －5(a ≠0)，在点(2,1)处的切线方程为y ＝－3x ＋7，则a ＝________，b ＝________.答案：基础知识·梳理1．nxn －1a xln a1x ln acos x －sin x 【做一做1－1】B 由求导公式可知，①③④⑥正确． 【做一做1－2】D2．(1)f′(x )±g′(x ) 导数和(或差) (2)f′(x )g (x )＋f (x )g′(x ) 函数的导数 (3)fx g x －f x gxg 2x【做一做2】B 由求导公式知，B 选项正确.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x′＝x ′＋(x －1)′＝1－x －2＝1－1x2.(3x )′＝3x ln 3，(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x . 【做一做3】y′＝22x ＋3函数y ＝ln(2x ＋3)可看作函数y ＝ln u 和u ＝2x ＋3的复合函数，于是y′x ＝y′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x ＋3)′＝1u ×2＝22x ＋3.典型例题·领悟【例题1】解：(1)y′＝(x x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32′＝32x 32－1＝32x . (2)y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x5.(3)y′＝(5x 3)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 35′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2. (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y′＝(log 2x )′＝1x ln 2. (5)∵y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y′＝cos x .【例题2】解：(1)y′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′＝(x 4)′－3(x 2)′－5x ′－6′＝4x 3－6x －5.(2)y′＝(x ·tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·sin x cos x ′＝x ·sin x ′·cos x －x ·sin x cos x ′cos 2x＝sin x ＋x ·cos x ·cos x ＋x ·sin 2xcos 2x＝sin x ·cos x ＋x ·cos 2x ＋x ·sin 2x cos 2x ＝12sin 2x ＋x cos 2x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin 2x ＋2x 2cos 2x . (3)方法1：y′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(2x ＋3)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝3x 2＋12x ＋11.方法2：y ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， y′＝3x 2＋12x ＋11.(4)方法1：y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝x －1′x ＋1－x －1x ＋1′x ＋12＝x ＋1－x －1x ＋12＝2x ＋12.方法2：y ＝1－2x ＋1， y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ＋1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋1′＝－2′x ＋1－2x ＋1′x ＋12＝2x ＋12.【例题3】解：(1)y′＝[(2x ＋1)n]′＝n (2x ＋1)n －1·(2x ＋1)′＝2n (2x ＋1)n －1.(2)y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 5′＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 4·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x ′＝5x4x ＋16.(3)y′＝[sin 3(4x ＋3)]′＝3sin 2(4x ＋3)[sin(4x ＋3)]′＝3sin 2(4x ＋3)·cos(4x ＋3)·(4x ＋3)′＝12sin 2(4x ＋3)cos(4x ＋3)．(4)y′＝(x cos x 2)′＝x ′·cos x 2＋(cos x 2)′·x＝cos x 2－2x 2sin x 2.【例题4】错因分析：y ＝e －x 的求导错误，y ＝e －x 由y ＝e u与u ＝－x 复合而成，因此其导数应按复合函数的求导法则进行．正解：令y ＝e u ，u ＝－x ，则y′x ＝y′u ·u ′x ，所以(e －x )′＝(e u )′(－x )′＝e －x×(－1)＝－e －x，所以y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x ＋e －x ′＝12[(e x )′＋(e －x )′]＝12(e x －e －x )． 随堂练习·巩固1．D2．B f′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f′(－1)＝3a －6＝4，∴a ＝103.3．C y′＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝xx －cos x ·x ′x ＝－x sin x －cos xx ＝－x sin x ＋cos xx 2.4．D 由x 是自变量，a 是常数，可知(1＋a )′＝0，所以y′＝(1＋a )′＋(1－x )′＝[(1－x )12]′＝12(1－x )－12·(1－x )′＝－121－x .5．－3 9 ∵y′＝2ax ＋b ，∴y′|x ＝2＝4a ＋b ，∴方程y －1＝(4a ＋b )(x －2)与方程y ＝－3x ＋7相同，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝－3，1－a ＋b ＝7，即4a ＋b ＝－3，又点(2,1)在y ＝ax 2＋bx －5上， ∴4a ＋2b －5＝1.即4a ＋2b ＝6.由⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝－3，4a ＋2b ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝9.1.3.1 利用导数判断函数的单调性1．理解可导函数单调性与其导数的关系，会用导数确定函数的单调性． 2．通过比较体会用导数求函数单调区间的优越性．用函数的导数判定函数单调性的法则1．如果在(a ，b )内，f′(x )＞0，则f (x )在此区间是______，(a ，b )为f (x )的单调增区间；2．如果在(a ，b )内，f′(x )＜0，则f (x )在此区间是______，(a ，b )为f (x )的单调减区间．(1)在(a ，b )内，f′(x )＞0(＜0)只是f (x )在此区间是增(减)函数的充分条件而非必要条件．(2)函数f (x )在(a ，b )内是增(减)函数的充要条件是在(a ，b )内f′(x )≥0(≤0)，并且f′(x )＝0在区间(a ，b )上仅有有限个点使之成立．【做一做1－1】已知函数f (x )＝1＋x －sin x ，x ∈(0,2π)，则函数f (x )( )． A ．在(0,2π)上是增函数 B ．在(0,2π)上是减函数C ．在(0，π)上是增函数，在(π，2π)上是减函数D ．在(0，π)上是减函数，在(π，2π)上是增函数【做一做1－2】设f′(x )是函数f (x )的导数，f′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象最有可能是( )．1．函数的单调性与其导数有何关系？剖析：(1)求函数f(x)的单调增(或减)区间，只需求出其导函数f′(x)＞0(或f′(x)＜0)的区间．(2)若可导函数f(x)在(a，b)内是增函数(或减函数)，则可以得出函数f(x)在(a，b)内的导函数f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．2．利用导数判断函数单调性及单调区间应注意什么？剖析：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题时只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．(2)在对函数划分单调区间时，要注意定义域内的不连续点和不可导点．(3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．题型一求函数的单调区间【例题1】求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x－x3；(2)f(x)＝x ax－x2(a＞0)．分析：先求f′(x)，然后解不等式f′(x)＞0得单调增区间，f′(x)＜0得单调减区间．反思：运用导数讨论函数的单调性需注意如下几点：(1)确定函数的定义域，解决问题时，只能在函数的定义域内，通过讨论函数导数的符号，来判断函数的单调区间；(2)在对函数划分单调区间时，要注意定义域内的不连续点和不可导点；(3)在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件．题型二根据函数的单调性求参数的取值范围【例题2】已知函数f(x)＝2ax－1x2，x∈(0,1]，若f(x)在x∈(0,1]上是增函数，求a 的取值范围．分析：函数f(x)在(0,1]上是增函数，则f′(x)≥0在(0,1]上恒成立．反思：函数f(x)在区间M上是增(减)函数，即f′(x)≥0(≤0)在x∈M上恒成立．题型三证明不等式【例题3】已知x＞1，求证：x＞ln(1＋x)．分析：构造函数f(x)＝x－ln(1＋x)，只要证明在x∈(1，＋∞)上，f(x)＞0恒成立即可．反思：利用可导函数的单调性证明不等式，是不等式证明的一种重要方法，其关键在于构造一个合理的可导函数．此法的一般解题步骤为：令F(x)＝f(x)－g(x)，x≥a，其中F(a)＝f(a)－g(a)＝0，从而将要证明的不等式“当x＞a时，f(x)＞g(x)”转化为证明“当x＞a时，F(x)＞F(a)”．题型四易错辨析易错点：应用导数求函数的单调区间时，往往因忘记定义域的限制作用从而导致求解结果错误，因此在求函数的单调区间时需先求定义域．【例题4】求函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调减区间．错解：f′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x ，令4x 2－1x ＜0，得x ＜－12或0＜x ＜12，所以函数f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.1在区间(a ，b )内f′(x )＞0是f (x )在(a ，b )内为增函数的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( )． A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2 B ．(π，2π)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，5π2 D ．(2π，3π)3若f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 为增函数，则一定有( )．A ．b 2－4ac ≤0 B．b 2－3ac ≤0C ．b 2－4ac ≥0 D．b 2－3ac ≥04如果函数f (x )＝－x 3＋bx (b 为常数)在区间(0,1)上是增函数，则b 的取值范围是__________．5函数y ＝－13x 3＋x 2＋5的单调增区间为________，单调减区间为________．答案：基础知识·梳理 1．增函数 2．减函数 【做一做1－1】A f′(x )＝1－cos x ，当x (0,2π)时，f′(x )＞0恒成立，故f (x )在(0,2π)上是增函数．【做一做1－2】C 由f′(x )的图象知，x (－∞，0)或x (2，＋∞)时，f′(x )＞0，故f (x )的增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，同理可得f (x )的减区间为(0,2)．典型例题·领悟【例题1】解：(1)f (x )′＝1－3x 2.令1－3x 2＞0，解得－33＜x ＜33.因此函数f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33. 令1－3x 2＜0，解得x ＜－33或x ＞33.因此函数f (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－33和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞. (2)由ax －x 2≥0得0≤x ≤a ，即函数的定义域为[0，a ]．又f (x )′＝ax －x 2＋x ×12(ax －x 2)－12·(a －2x )＝－4x 2＋3ax 2ax －x2， 令f (x )′＞0，得0＜x ＜3a 4；令f (x )′＜0，得x ＜0或x ＞34a ，又x [0，a ]，∴函数f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3a 4，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 4，a .【例题2】解：由题意，得f′(x )＝2a ＋2x3.。
苏教版高中数学选修2-2第3章 3.1 数系的扩充 学案
学习目标 1.了解引进虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．知识点一 复数的概念及代数表示思考 为解决方程x 2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x 2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？答案 设想引入新数i ，使i 是方程x 2＋1＝0的根，即i·i ＝－1，方程x 2＋1＝0有解，同时得到一些新数．梳理 (1)虚数单位i引入一个新数i ，叫做虚数单位，并规定：①i 2＝－1.②实数可以与i 进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．(2)复数的概念形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数．全体复数所组成的集合叫做复数集，记作C .(3)复数的代数形式复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，其中a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部． 知识点二 复数的分类1．复数(a ＋b i ，a ，b ∈R )⎩⎨⎧ 实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧ 纯虚数(a ＝0)，非纯虚数(a ≠0).2．集合表示：知识点三 两个复数相等的充要条件思考1 由4>2能否推出4＋i>2＋i?答案 不能．当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小．思考2 两个复数能不能判断相等或不等呢？答案 能．梳理 在复数集C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i (a ，b ，c ，d ∈R )，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d .类型一 复数的概念例1 (1)给出下列三个命题：①若z ∈C ，则z 2≥0；②2i －1虚部是2i ；③2i 的实部是0；④若实数a 与a i 对应，则实数集与纯虚数集一一对应；⑤实数集的补集是虚数集．其中真命题的序号为________．(2)已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是________． 答案 (1)③⑤ (2)±2，5解析 (1)令z ＝i ∈C ，则i 2＝－1<0，故①不正确．②中2i －1的虚部应是2，故②不正确．④当a ＝0时，a i ＝0为实数，故④不正确，∴只有③⑤正确．(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b －2＝3，∴a ＝±2，b ＝5. 反思与感悟 (1)复数的代数形式：若z ＝a ＋b i ，只有当a ，b ∈R 时，a 才是z 的实部，b 才是z 的虚部，且注意虚部不是b i ，而是b .(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．跟踪训练1 下列命题：①1＋i 2＝0；②若a ∈R ，则(a ＋1)i 为纯虚数；③若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0；④两个虚数不能比较大小．是真命题的为________．(填序号)答案 ①④解析 ②当a ＝－1时，(a ＋1)i ＝0，所以②错．③当x ＝i ，y ＝1时，x 2＋y 2＝0，所以③错．所以①④正确．类型二 复数的分类例2 求当实数m 为何值时，z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i 分别是：(1)虚数；(2)纯虚数． 解 (1)复数z 是虚数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6≠0，m ＋3≠0⇔m ≠－3且m ≠－2. ∴当m ≠－3且m ≠－2时，复数z 是虚数．(2)复数z 是纯虚数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－m －6m ＋3＝0，m 2＋5m ＋6≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝3，m ≠－3且m ≠－2⇔m ＝3. ∴当m ＝3时，复数z 是纯虚数．引申探究1．若本例条件不变，m 为何值时，z 为实数．解 由已知得，复数z 的实部为m 2－m －6m ＋3， 虚部为m 2＋5m ＋6.复数z 是实数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋5m ＋6＝0，m ＋3≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝－3，m ≠－3⇔m ＝－2. ∴当m ＝－2时，复数z 是实数．2．已知i 是虚数单位，m ∈R ，复数z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2－2m －15)i ，则当m ＝________时，z 为纯虚数．答案 3或－2解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6m ＋3＝0，m 2－2m －15≠0，解得m ＝3或－2.反思与感悟 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．跟踪训练2 实数m 为何值时，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i 分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解 (1)要使z 是实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且m (m ＋2)m －1有意义，即m －1≠0，解得m ＝－3.(2)要使z 是虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且m (m ＋2)m －1有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 是纯虚数，m 需满足m (m ＋2)m －1＝0，m －1≠0， 且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.类型三 复数相等例3 (1)已知x 0是关于x 的方程x 2－(2i －1)x ＋3m －i ＝0(m ∈R )的实根，则m 的值(或取值范围)是________．答案 112 解析 由题意，得x 20－(2i －1)x 0＋3m －i ＝0，即(x 20＋x 0＋3m )＋(－2x 0－1)i ＝0， 由此得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋x 0＋3m ＝0，－2x 0－1＝0⇒m ＝112. (2)已知x i ＋2y －3x －y i ＝1－i ，求实数x ，y 的值．解 ∵x i ＋2y －3x －y i ＝1－i ，∴2y －3x ＋(x －y )i ＝1－i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2y －3x ＝1，x －y ＝－1，解得x ＝1，y ＝2.反思与感悟 两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．跟踪训练3 下列命题中正确的命题为________．(填序号)①若a ＋b i ＝0，则a ＝b ＝0；②x ＋y i ＝2＋2i ⇔x ＝y ＝2；③若y ∈R ，且(y 2－1)－(y －1)i ＝0，则y ＝1.答案 ③解析 ①，②所犯的错误是一样的，即a ，x 不一定是复数的实部，b ，y 不一定是复数的虚部；③正确，因为y ∈R ，所以y 2－1，－(y －1)是实数，所以由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 2－1＝0，－(y －1)＝0，解得y ＝1.1．在复数集中，满足方程x 2＋2＝0的解是________．答案 ±2i2．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝______________________________________. 答案 1解析 因为(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，所以x 2－1＝0且x 2＋3x ＋2≠0，解得x ＝1.3．下列几个命题：①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；③1－a i(a ∈R )是一个复数；④虚数的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一个，即为－i ；⑥i 是方程x 4－1＝0的一个根； ⑦2i 是一个无理数．其中真命题的序号为________．答案 ①②③⑥解析 命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误．4．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x 的值是________．答案 －2解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2－3x －2)>1，log 2(x 2＋2x ＋1)＝0，得x ＝－2. 5．复数z ＝(2a 2－a －1)＋(a －1)i ，a ∈R .(1)若z 为实数，求a 的值；(2)若z 为纯虚数，求a 的值；(3)若z ＝9－3i ，求a 的值．解 (1)若z 为实数，则a －1＝0，得a ＝1.(2)若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－a －1＝0，a －1≠0， 解得a ＝－12. (3)若z ＝9－3i ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2－a －1＝9，a －1＝－3， 解得a ＝－2.1．对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，可以限制a ，b 的值得到复数z 的不同情况．2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断．课时作业一、填空题1．设a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的________________条件．答案 必要不充分解析 因为a ，b ∈R ，当“a ＝0”时“复数a ＋b i 不一定是纯虚数，也可能b ＝0，即a ＋b i ＝0∈R ”．而当“复数a ＋b i 是纯虚数”，则“a ＝0”一定成立．所以a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要不充分条件．2．若实数x ，y 满足(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，则xy ＝_______________________________________. 答案 1解析 因为实数x ，y 满足(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，所以x ＋y ＋(x －y )i ＝2，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝0， 所以x ＝y ＝1，所以xy ＝1.3．以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是________．答案 2－2i解析 设所求新复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 由题意知复数－5＋2i 的虚部为2，复数5i ＋2i 2＝5i ＋2×(－1)＝－2＋5i 的实部为－2，则所求的z ＝2－2i.4．若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y ＝________.答案 1解析 由复数相等的充要条件知，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0，x －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1， ∴x ＋y ＝0.∴2x ＋y ＝20＝1.5．若复数z ＝(cos θ－45)＋(sin θ－35)i 是纯虚数(i 为虚数单位)，则tan(θ－π4)＝________. 答案 －7解析 ∵复数z ＝(cos θ－45)＋(sin θ－35)i 是纯虚数，∴cos θ－45＝0，sin θ－35≠0，∴sin θ＝－35，∴tan θ＝－34，则tan(θ－π4)＝tan θ－11＋tan θ＝－34－11－34＝－7. 6．已知集合M ＝{1，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{1,3}，M ∩N ＝{1,3}，则实数m ＝________.答案 －1解析 根据题意，M ∩N ＝{1,3}，故3∈M ，而M ＝{1，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，则有(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i ＝3，即m 2－3m －1＝3且m 2－5m －6＝0，解得m ＝－1.7．设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________. 答案 －2解析 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2＝0，m 2－1≠0⇒m ＝－2. 8．z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i.则m ＝1是z 1＝z 2的______________条件．答案 充分不必要解析 当z 1＝z 2时，必有m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1，显然m ＝1是z 1＝z 2的充分不必要条件．9．若复数z ＝m 2＋m －2＋(m 2－m －2)i 为实数，则实数m ＝________.答案 2或－1解析 ∵复数z ＝m 2＋m －2＋(m 2－m －2)i 为实数，∴m 2－m －2＝0，解得m ＝2或－1.10．复数z ＝(a 2－2a －3)＋(|a －2|－1)i 不是纯虚数，则实数a 的取值范围是________________． 答案 (－∞，－1)∪(－1，＋∞)解析 若复数z ＝(a 2－2a －3)＋(|a －2|－1)i 是纯虚数，则a 2－2a －3＝0，|a －2|－1≠0，解得a ＝－1，∴当a ≠－1时，复数z ＝(a 2－2a －3)＋(|a －2|－1)i 不是纯虚数．故答案为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．11．下列命题中，假命题的序号为________．①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1；②若a ，b ∈R 且a ＞b ，则a ＋i ＞b ＋i ；③若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0.答案 ①②③解析 ①由于x ，y ∈C ，所以x ＋y i 不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题．②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题．③当x ＝1，y ＝i 时，x 2＋y 2＝0成立，所以③是假命题．二、解答题12．已知复数z ＝a 2－1－(a 2－3a ＋2)i ，a ∈R .(1)若z 是纯虚数时，求a 的值；(2)若z 是虚数，且z 的实部比虚部大时，求a 的取值范围．解 复数z ＝a 2－1－(a 2－3a ＋2)i ，a ∈R .(1)若z 是纯虚数时，可得a 2－1＝0，a 2－3a ＋2≠0，解得a ＝－1.(2)若z 是虚数，且z 的实部比虚部大时，可得a 2－1>－a 2＋3a －2≠0，解得a >1或a <12且a ≠2. 所以a 的取值范围为(－∞，12)∪(1,2)∪(2，＋∞)． 13．(1)已知x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，求实数x ，y 的值．(2)关于x 的方程3x 2－a 2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实数根，求实数a 的值． 解 (1)∵x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 2＝0，2xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1. (2)设方程的实数根为x ＝m ，则原方程可变为3m 2－a 2m －1＝(10－m －2m 2)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，解得a ＝11或a ＝－715. 三、探究与拓展14．已知M ＝{2，m 2－2m ＋(m 2＋m －2)i}，N ＝{－1,2,4i}，若M ∪N ＝N ，则实数m ＝________. 答案 1或2解析 ∵M ∪N ＝N ，∴M ⊆N ，∴m 2－2m ＋(m 2＋m －2)i ＝－1或m 2－2m ＋(m 2＋m －2)i ＝4i.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4， 解得m ＝1或m ＝2.故实数m 的值是1或2.15．若m 为实数，z 1＝(m 2＋1)＋(m 3＋3m 2＋2m )i ，z 2＝(4m ＋2)＋(m 3－5m 2＋4m )i ，那么使z 1>z 2的m 值的集合是什么？使z 1<z 2的m 的值的集合又是什么？解 当z 1∈R 时，m 3＋3m 2＋2m ＝0，解得m ＝0或m ＝－1或m ＝－2，∴z 1＝1或z 1＝2或z 1＝5.当z 2∈R 时，m 3－5m 2＋4m ＝0，解得m ＝0或m ＝1或m ＝4，∴z 2＝2或z 2＝6或z 2＝18.上面m 的公共值为m ＝0，此时，z 1与z 2同时为实数，且z 1＝1，z 2＝2. ∴当z 1>z 2时，m 值的集合为空集；当z 1<z 2时，m 值的集合为{0}．。
高中数学选修2-2教案
高中数学选修2-2教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2选修2-2教案第一章 导数及其应用§1.1.1变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 分析: 343)(πV V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--3⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈-气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?1212)()(V V V r V r --问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =，所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念:41．上述问题中的变化率可用式子 1212)()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆) 3．则平均变化率为=∆∆=∆∆x fx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=∆∆xf1212)()(x x x f x f --表示什么?直线AB三．典例分析例1．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy． 解：)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，5∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2． 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。
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另外，在推证“n＝k＋1〞时，还可以用整除的定义，将归 纳假设表示出来，假设n＝k时成立，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2 ＋a＋1整除，那么ak＋1＋(a＋1)2k－1＝(a2＋a＋1)q(x)(q(x)为多 项式)，所以，(a＋1)2k－1＝(a2＋a＋1)q(x)－ak＋1，故当n＝k ＋1时，
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◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆ 用数学归纳法证明整除问题
求证：an＋1＋(a＋1)2n－1(n∈N*)能被a2＋a＋1整除．
分析：对于多项式A，B，如果A＝BC，C也是多项式，那 么A能被B整除．
证明：(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题 显然成立．
如果增加一个满足条件的任一个圆，那么这个圆必与前k 个圆相交于2k个点．这2k个点把圆分成2k段弧，每段弧把它所 在的原有平面分成两个局部．因此，这是平面被分割的总数在 原来的根底上又增加了2k局部，
即有f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)
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1)． 2．用数学归纳法证明：1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝12 n(3n－
证明：(1)当n＝1时，左边＝1， 右边＝12 ×1×(3－1)＝1，左边＝右边，等式成立．
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◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆
(2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式也成立， 即 1＋4＋7＋…＋(3k－2)＝12k(3k－1)，
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◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆ 用数学归纳法证明不等式
求证：n＋1 1＋n＋1 2＋…＋31n>56(n≥2，n∈N*)．
2020-2021学年高二数学人教A版选修2-2学案：2.3数学归纳法
2.3数学归纳法[目标] 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．[重点] 数学归纳法及其应用．[难点] 对数学归纳法原理的理解．知识点数学归纳法[填一填]1．数学归纳法的证题步骤一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立．(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k ＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．2．用框图表示数学归纳法的步骤[答一答]1．在数学归纳法的第一步归纳奠基中，第一个值n0是否一定为1?提示：不一定，n0还可以取其他值，如证明“2n>n2”中，n0＝5，而证明“凸n边形内角和为(n－2)·180°”中，n0＝3.2．所有与正整数有关的命题都可以用数学归纳法证明吗？提示：数学归纳法是证明与正整数有关的命题的有力工具，但并不是所有与正整数n有关的命题都能用数学归纳法证明，一般当从n ＝k过渡到n＝k＋1时，问题中存在可利用的递推关系时才能应用．3．用数学归纳法证明问题时，归纳假设是否一定要用上？提示：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程，必须把归纳假设“n＝k”作为条件来导出“n＝k＋1”时的命题，在推导过程中，要把归纳假设用上一次或几次．类型一用数学归纳法证明等式【例1】用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n (n ＋1)2(2n ＋1). 【证明】 (1)当n ＝1时121×3＝1×22×3成立．(2)假设当n ＝k 时等式成立，即有121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)，则当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)， 即当n ＝k ＋1时等式也成立．总之，由(1)(2)可得对于任意的n ∈N *等式都成立．应用数学归纳法时应注意的问题：(1)第一步的验证，对于有些问题验证的并不是n ＝1，有时需验证n ＝2，n ＝3，甚至需要验证n ＝10，如证明：对足够大的正整数n ，有2n >n 3，就需要验证n ＝10时不等式成立.(2)n ＝k ＋1时式子的项数，特别是寻找n ＝k 与n ＝k ＋1的关系时，项数发生什么变化容易被弄错.因此对n ＝k 与n ＝k ＋1这两个关系式的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障.(3)“假设n ＝k (k ≥1)时命题成立，利用这一假设证明n ＝k ＋1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，因此在第二步的证明过程中一定要用上归纳假设，否则这样的证明就不再是数学归纳法了.另外在推导过程中要把步骤写完整，注意证明过程中的严谨性、规范性.(1)用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1成立时，左边所得的项为( B )A ．1B ．1＋a ＋a 2C ．1＋aD ．1＋a ＋a 2＋a 3解析：左边应为1＋a ＋a 2.故选B.(2)设S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ，则S k ＋1为( B ) A ．S k ＋12k ＋2B ．S k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1C ．S k ＋12k ＋1＋12k ＋2D ．S k ＋12k ＋2－12k ＋1类型二 用数学归纳法证明不等式【例2】 已知{a n }为等比数列且a n ＝2n －1，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N ＋)，用数学归纳法证明对任意的n ∈N ＋，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立． 【证明】 由已知条件可得b n ＝2n (n ∈N ＋)，∴所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n >n ＋1.(1)当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，左边>右边，∴不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立．即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k >k ＋1，则当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32(k ＋1)>k ＋1·2k ＋32(k ＋1)＝2k ＋32k ＋1. 要证当n ＝k ＋1时，不等式成立，只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥(k ＋1)(k ＋2)，由基本不等式，得2k ＋32＝(k ＋1)＋(k ＋2)2≥(k ＋1)(k ＋2)成立，∴2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立， ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．由(1)(2)可知，对一切n ∈N ＋，原不等式均成立．运用数学归纳法证明不等式时，在利用了归纳假设后，要注意根据欲证目标，灵活地运用比较法、放缩法等技巧来进行证明，如本例就是利用了比较法.用数学归纳法证明：122＋132＋142＋…＋1n 2<1－1n(n ≥2，n ∈N *)． 证明：(1)当n ＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12，∵14<12，∴不等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立，即122＋132＋142＋…＋1k 2<1－1k ，则当n ＝k ＋1时，即122＋132＋142＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<1－1k ＋1(k ＋1)2 ＝1－(k ＋1)2－k k (k ＋1)2＝1－k 2＋k ＋1k (k ＋1)2<1－k (k ＋1)k (k ＋1)2＝1－1k ＋1， ∴当n ＝k ＋1时不等式也成立．综合(1)(2)得，对任意n ≥2的正整数，不等式均成立．类型三 用数学归纳法证明整除问题【例3】 用数学归纳法证明(3n ＋1)·7n －1(n ∈N *)能被9整除．【思路分析】 按照数学归纳法证明步骤：(1)先证n ＝1时命题成立；(2)假设n ＝k 时命题成立，证明n ＝k ＋1时命题也成立．【证明】(1)当n＝1时，4×7－1＝27能被9整除，命题成立．(2)假设n＝k(k∈N*)时命题成立，即(3k＋1)·7k－1能被9整除，那么当n＝k＋1时，[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1＝[(3k＋1)＋3]·7·7k－1＝7·(3k＋1)·7k－1＋21×7k＝[(3k＋1)·7k－1]＋6(3k＋1)·7k＋21×7k＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋27×7k＝[(3k＋1)·7k－1]＋(18k＋27)·7k.由假设知(3k＋1)·7k－1能被9整除，又因为(18k＋27)·7k能被9整除，所以[(3k＋1)·7k－1]＋(18k＋27)·7k能被9整除，即n＝k＋1时命题成立．综上由(1)(2)知，对所有正整数n，命题成立．当n＝1时，原式等于27被9整除，因此要研究(3k＋1)·7k－1与(3k ＋4)·7k＋1－1之间的关系，以便利用归纳假设(3k＋1)·7k－1能被9整除来推证(3k＋4)·7k＋1－1也能被9整除.利用数学归纳法证明：x2n－y2n(n∈N*)能被x＋y整除．证明：(1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)，能被x＋y整除，所以命题成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，即x 2k －y 2k 能被x ＋y 整除， 那么，当n ＝k ＋1时，x 2k ＋2－y 2k ＋2＝x 2·x 2k －y 2·y 2k －x 2·y 2k ＋x 2·y 2k＝x 2(x 2k －y 2k )＋y 2k (x 2－y 2)，因为x 2k －y 2k 与x 2－y 2都能被x ＋y 整除，所以x 2k ＋2－y 2k ＋2能被x ＋y 整除，即当n ＝k ＋1时命题也成立．根据(1)和(2)，可知命题对任意n ∈N *都成立．数学归纳法证明问题从n ＝k到n ＝k ＋1时弄错增加项【例4】 用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n >n ＋12(n ∈N *)．【错解】 ①当n ＝1时，左边＝1＋12，右边＝1＋12＝1，显然左边>右边，即n ＝1时不等式成立．②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时不等式成立，即1＋12＋13＋…＋12k >k ＋12.那么当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1>k ＋12＋12k ＋1>k ＋12＋12＝(k ＋1)＋12，即n ＝k ＋1时，不等式成立． 由①②得1＋12＋13＋…＋12n >n ＋12(n ∈N *)成立．【错因分析】 以上用数学归纳法证明的过程是错误的，因为在从n ＝k 到n ＝k ＋1时增加的不止一项，应是12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ，共有2k项，并且k ＋12＋12k ＋1>k ＋12＋12也是错误的． 【正解】 ①当n ＝1时，左边＝1＋12，右边＝1＋12＝1，所以左边>右边，即n ＝1时不等式成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时不等式成立，即1＋12＋13＋…＋12k >k ＋12，那么当n ＝k ＋1时，有1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k＝k ＋12＋2k2k ＋2k＝k ＋12＋12＝(k ＋1)＋12. 所以n ＝k ＋1时，不等式成立，由①②可知，n ∈N *时1＋12＋13＋…＋12n >n ＋12.用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n ＋n>1124(n ∈N *)． 证明：(1)当n ＝1时，左边＝12>1124，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，不等式成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1k ＋k>1124， 即当n ＝k ＋1时，1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>1124＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1.因为12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝2(k ＋1)＋(2k ＋1)－2(2k ＋1)2(k ＋1)(2k ＋1)＝12(k ＋1)(2k ＋1)>0， 所以1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>1124＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>1124， 所以当n ＝k ＋1时，不等式成立．由(1)(2)可知，对于任意正整数n ，不等式成立．1．用数学归纳法证明1＋2＋…＋2n ＋1＝(n ＋1)(2n ＋1)时，在验证n ＝1成立时，左边所得的代数式是( C )A ．1B ．1＋3C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4 2．满足1×2＋2×3＋3×4＋…＋n (n ＋1)＝3n 2－3n ＋2的自然数等于( C )A ．1B ．1或2C ．1,2,3D ．1,2,3,4解析：逐个代入验证．3．已知S n ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)，则S 1＝13，S 2＝25，S 3＝37，S 4＝49，猜想S n ＝n 2n ＋1. 解析：分别将1,2,3,4代入观察猜想S n ＝n 2n ＋1. 4．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，且n >1)，第二步证明从“k 到k ＋1”，左端增加的项数是2k .解析：当n ＝k 时左端为1＋12＋13＋…＋12k －1， 当n ＝k ＋1时左端为1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，故增加的项数为2k 项． 5．用数学归纳法证明⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2 ＝n ＋12n (n ≥2，n ∈N *)．证明：①当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，∴左边＝右边，∴n ＝2时等式成立．②假设n ＝k (k ≥2，n ∈N *)时等式成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2＝k ＋12k ， 那么n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1(k ＋1)2 ＝k ＋12k ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1(k ＋1)2 ＝k ＋12k ·k (k ＋2)(k ＋1)2＝k ＋22(k ＋1)＝(k ＋1)＋12(k ＋1)， 即n ＝k ＋1时等式成立．综合①②知，对任意n ≥2，n ∈N *等式恒成立．。
高中数学选修2-2优质学案：§2.3 数学归纳法
[学习目标] 1.了解数学归纳法原理.2.掌握数学归纳法的两个步骤，会用数学归纳法证明一些简单的数学命题．知识点一 归纳法及分类由一系列有限的特殊事例得出一般性结论的推理方法，通常叫归纳法，归纳法可以分为__________归纳法和__________归纳法，完全归纳法所得出的结论是完全可靠的，因为它考察了问题涉及的所有对象；不完全归纳法得出的结论不一定可靠，因为它只考察了某件事情的部分对象，但它是一种重要的思考问题的方法，是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段．用不完全归纳法发现规律，再用完全归纳法证明，是解决问题的一种重要途径．完全归纳法是一种在研究了解事物的所有(有限种)特殊情况后，得出一般结论的推理方法，又叫枚举法．与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的．通常在事物包括的特殊情况不多时，采用完全归纳法．思考 下面的各列数都依照一定规律排列，请在括号里填上适当的数． (1)1,5,9,13,17，( )；(2)23，1,1 12，2 14，3 38，( )； (3)34，58，12，922，1132，( )； (4)32,31,16,26，( )，( )，4,16,2,11. 知识点二 数学归纳法 1．数学归纳法证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；②(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 2．应用数学归纳法时注意几点：(1)用数学归纳法证明的对象是与________有关的命题． (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．(3)步骤②的证明必须以“假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立”为条件．思考 (1)对于数列{a n }，已知a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋a n (n ∈N *)，求出数列前4项，你能得到什么猜想？你的猜想一定是正确的吗？(2)多米诺骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件？题型一 用数学归纳法证明恒成立例1 求证：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)．反思与感悟 用数学归纳法证明与正整数有关的等式问题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式两边会增加多少项，增加怎样的项．跟踪训练1 用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋(2n －1)2＝13n (4n 2－1)(n ∈N *)．题型二 证明不等式问题例2 已知{a n }为等比数列且a n ＝2n －1，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)，用数学归纳法证明对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＞n ＋1成立．反思与感悟 用数学归纳法证明不等式问题时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标，在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都适用．跟踪训练2 用数学归纳法证明对一切n ∈N *,1＋122＋132＋… ＋1n 2≥3n2n ＋1.题型三 用数学归纳法证明整除问题 例3 求证n ∈N *时，a n ＋1＋(a ＋1)2n －1能被a 2＋a ＋1整除．反思与感悟 用数学归纳法证明数的整除性问题时，关键是从当n ＝k ＋1时的式子中拼凑出当n ＝k 时能被某数整除的式子，并将剩余式子转化为能被该数整除的式子． 跟踪训练3 用数学归纳法证明对于任意非负整数n ，A n ＝11n ＋2＋122n ＋1能被133整除．题型四 用数学归纳法解决平面几何问题例4 已知n 个平面都过同一点，但其中任何三个平面都不经过同一直线，求证：这n 个平面把空间分成f (n )＝n (n －1)＋2部分．反思与感悟 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k 增加到k ＋1时，所证的几何量增加多少，同时要善于利用几何图形的直观性，建立k 与k ＋1之间的递推关系．跟踪训练4 平面内有n (n ∈N *，n ≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求证交点的个数f (n )＝n (n －1)2.因弄错从n ＝k 到n ＝k ＋1的增加项致误例5 用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n ＞n ＋12(n ∈N *)．错解 ①当n ＝1时，左边＝1＋12，右边＝1＋12＝1，显然左边＞右边，即n ＝1时不等式成立．②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋12k ＞k ＋12.那么，当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＞k ＋12＋12k ＋1＞k ＋12＋12＝(k ＋1)＋12， 即n ＝k ＋1时，不等式成立．由①②得1＋12＋13＋…＋12n ＞n ＋12(n ∈N *)成立．错因分析 以上用数学归纳法证明的过程是错误的，因为在从n ＝k 到n ＝k ＋1时增加的不止一项，应是12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ，共有2k项，并且k ＋12＋12k ＋1＞k ＋12＋12也是错误的．正解 ①当n ＝1时， 左边＝1＋12，右边＝1＋12＝1，所以左边＞右边， 即n ＝1时不等式成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时不等式成立，即1＋12＋13＋…＋12k ＞k ＋12，那么，当n ＝k ＋1时，有1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ＞k ＋12＋12k ＋2k ＋12k ＋2k ＋…＋12k ＋2k＝k ＋12＋2k2k ＋2k ＝k ＋12＋12＝(k ＋1)＋12. 所以n ＝k ＋1时，不等式成立． 由①②可知，n ∈N *时1＋12＋13＋…＋12n ＞n ＋12. 防范措施 当n ＝k ＋1时，可以写出相应增加的项，然后再结合数学归纳法证明．1．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＝1－a n ＋11－a (a ≠1，n ∈N *)，在验证当n ＝1时，左边计算所得的式子是( ) A ．1 B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 4 2．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＞1324(n ≥2)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时，不等式的左边( ) A ．增加了一项12(k ＋1)B ．增加了两项12k ＋1，12(k ＋1)C ．增加了两项12k ＋1，12(k ＋1)，又减少了一项1k ＋1D ．增加了一项12(k ＋1)，又减少了一项1k ＋13．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，证明不等式f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)比f (2k )多的项数是__________．4．用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ≥3，n ∈N *)第一步应验证______________．5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)．依次计算出S 1，S 2，S 3，S 4后，可猜想S n 的表达式为______________．1.数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可．有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础． 2．归纳假设的作用．在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证n ＝k ＋1时，必须用上归纳假设． 3．利用归纳假设的技巧．在推证n ＝k ＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设．此时既要看准目标，又要掌握n ＝k 与n ＝k ＋1之间的关系．在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用． 4．数学归纳法的适用范围．数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、几何问题、探求数列的通项及前n 项和等问题中．提醒：完成作业 §2.3[答案]精析知识梳理 知识点一 完全 不完全思考 (1)21；(2)8116；(3)1344；(4)8 21.知识点二 2．(1)正整数n思考 (1)a 1＝1，a 2＝12，a 3＝13，a 4＝14.猜想数列的通项公式为a n ＝1n .不能保证猜想一定正确，需要严密的证明．(2)①第一块骨牌倒下；②任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．条件②事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第K 块倒下，则相邻的第K ＋1块也倒下． 题型探究例1 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1＋1＝2，右边＝21×1＝2，左边＝右边，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )＝2k ·1·3·…·(2k －1)， 那么，当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )(k ＋k ＋1)(k ＋k ＋2) ＝(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )·(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2k ·1·3·…·(2k －1)(2k ＋1)·2＝2k ＋1·1·3·…·(2k －1)·[2(k ＋1)－1]＝右边． ∴当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对一切n ∈N *，原等式均成立．跟踪训练1 证明 (1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝13×1×(4×12－1)＝1，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，等式成立， 即12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＝13k (4k 2－1)，则当n ＝k ＋1时，12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＋(2k ＋1)2 ＝13k (4k 2－1)＋(2k ＋1)2 ＝13k (2k ＋1)(2k －1)＋(2k ＋1)2 ＝13(2k ＋1)[k (2k －1)＋3(2k ＋1)] ＝13(2k ＋1)(2k 2＋5k ＋3) ＝13(2k ＋1)(k ＋1)(2k ＋3) ＝13(k ＋1)(4k 2＋8k ＋3) ＝13(k ＋1)[4(k ＋1)2－1]， 即当n ＝k ＋1时，等式成立． 由(1)(2)知，对一切x ∈N *等式成立．例2 证明 由已知条件可得b n ＝2n (n ∈N *)， ∴所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n ＞n ＋1.(1)当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，左边＞右边，∴不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立． 即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k＞k ＋1，则当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32(k ＋1)＞k ＋1·2k ＋32(k ＋1)＝2k ＋32k ＋1.要证当n ＝k ＋1时，不等式成立，只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥(k ＋1)(k ＋2)，由基本不等式，得2k ＋32＝(k ＋1)＋(k ＋2)2≥(k ＋1)(k ＋2)成立，∴2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．由(1)(2)可知，对一切n ∈N *，原不等式均成立．跟踪训练2 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝3×12×1＋1＝1，不等式成立．(2)假设当n ＝k 时，不等式成立， 即1＋122＋132＋…＋1k 2≥3k 2k ＋1，则当n ＝k ＋1时，要证1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2(k ＋1)＋1，只需证3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2k ＋3.因为3(k ＋1)2k ＋3－⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2＝34(k ＋1)2－1－1(k ＋1)2＝1－(k ＋1)2(k ＋1)2[4(k ＋1)2－1]＝－k (k ＋2)(k ＋1)2(4k 2＋8k ＋3)≤0，所以3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2k ＋3，即1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时不等式成立．由(1)(2)知，不等式对一切n ∈N *都成立． 例3 证明 (1)当n ＝1时，a 1＋1＋(a ＋1)2×1－1＝a 2＋a ＋1，命题显然成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，a k ＋1＋(a ＋1)2k －1能被a 2＋a ＋1整除， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1＝a ·a k ＋1＋(a ＋1)2·(a ＋1)2k －1 ＝a [a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a ＋1)2(a ＋1)2k －1－a (a ＋1)2k －1 ＝a [a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1. 由归纳假设，上式中的两项均能被a 2＋a ＋1整除， 故当n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意n ∈N *，命题成立．跟踪训练3 证明 (1)当n ＝0时，A 0＝112＋12＝133，能被133整除． (2)假设当n ＝k (k ≥0)时，A k ＝11k ＋2＋122k ＋1能被133整除，那么当n ＝k ＋1时，A k ＋1＝11k ＋3＋122k ＋3＝11·11k ＋2＋122·122k ＋1＝11·11k ＋2＋11·122k ＋1＋(122－11)·122k ＋1＝11·(11k ＋2＋122k ＋1)＋133·122k ＋1，能被133整除． 由(1)(2)可知，对于任意非负整数n ，A n 都能被133整除．例4 证明 (1)当n ＝1时，1个平面把空间分成2部分，而f (1)＝1×(1－1)＋2＝2(部分)，所以命题正确．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，即k 个符合条件的平面把空间分为f (k )＝k (k －1)＋2(部分)，当n ＝k ＋1时，第k ＋1个平面和其他每一个平面相交，使其所分成的空间都增加2部分，所以共增加2k 部分，故f (k ＋1)＝f (k )＋2k ＝k (k －1)＋2＋2k ＝k (k －1＋2)＋2＝(k ＋1)[(k ＋1)－1]＋2(部分)， 即当n ＝k ＋1时，命题也成立．根据(1)(2)，知n 个符合条件的平面把空间分成f (n )＝n (n －1)＋2部分．跟踪训练4 证明 (1)当n ＝2时，两条直线的交点只有一个，又f (2)＝12×2×(2－1)＝1， ∴当n ＝2时，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥2)时命题成立，即平面内满足题设的任何k 条直线的交点个数f (k )＝12k (k －1)， 那么，当n ＝k ＋1时，任取一条直线l ，除l 以外其他k 条直线的交点个数为f (k )＝12k (k －1)， l 与其他k 条直线的交点个数为k ，从而k ＋1条直线共有f (k )＋k 个交点，即f (k ＋1)＝f (k )＋k ＝12k (k －1)＋k ＝12k (k －1＋2)＝12k (k ＋1)＝12(k ＋1)[(k ＋1)－1]， ∴当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，对任意n ∈N *(n ≥2)命题都成立．当堂检测1．B [当n ＝1时，左边的最高次数为1，即最后一项为a ，左边是1＋a ，故选B.]2．C [n ＝k 时，左边为1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，① n ＝k ＋1时，左边为1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12(k ＋1)，② 比较①②可知C 正确．]3．2k[解析] 观察f (n )的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f (2k )＝1＋12＋13＋…＋12k ，而f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k . 因此f (2k ＋1)比f (2k )多了2k 项．4．n ＝3时是否成立[解析] n 的最小值为3，所以第一步验证n ＝3时是否成立．5．S n ＝2n n ＋1[解析] S 1＝1，S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2n n ＋1.。
高中数学选修2-2学案11：1.6 微积分基本定理
1.6 微积分基本定理教材新知知识点微积分基本定理已知函数f(x)＝2x＋1，F(x)＝x2＋x.问题1：f(x) 和F′(x)有何关系？问题2：利用定积分的几何意义求⎠⎛2(2x＋1)d x的值．问题3：求F(2)－F(0)的值．问题4：⎠⎛2(2x＋1)d x与F(2)－F(0)有什么关系？1．微积分基本定理设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，在x轴下方的面积为S下．则(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图①，则⎠⎛ab f(x)d x＝．(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图②，则⎠⎛ab f(x)d x＝．(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图③，则⎠⎛ab f(x)d x＝；若S上＝S下，则⎠⎛ab f(x)d x＝.(1)微积分基本定理沟通了定积分与导数的关系，揭示了被积函数与函数的导函数之间的互逆运算关系，为计算定积分提供了一个简单有效的方法——转化为计算函数F (x )在积分区间上的增量．(2)用微积分基本定理求定积分的关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )，再计算F (b )－F (a )． (3)利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简被积函数，再求定积分． 常考题型题型一 求简单函数的定积分 例1 求下列定积分： (1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)d x ；(2) ⎠⎛－π0 (cos x －e x )d x ；(3)sin 2x2d x .名师点津由微积分基本定理求定积分的步骤当被积函数为两个函数的乘积时，一般要转化为和的形式，便于求得函数F (x )，再计算定积分，具体步骤如下．第一步：求被积函数f (x )的一个原函数F (x )； 第二步：计算函数的增量F (b )－F (a )． 跟踪训练π⎰21.计算下列定积分： (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫e x ＋1x d x ； (2)⎠⎛19x (1＋x )d x ；题型二 求分段函数的定积分例2 已知f (x )＝⎩⎨⎧4x －2π，0≤x ≤π2，cos x ，π2<x ≤π，计算⎠⎛0πf (x )d x .名师点津分段函数的定积分的求法(1)由于分段函数在各区间上的函数式不同，所以被积函数是分段函数时，常常利用定积分的性质，转化为各区间上定积分的和计算．(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算． 跟踪训练2.计算定积分⎠⎛0－4|x ＋3|d x .题型三 利用定积分求参数例3 设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，求x 0的值．名师点津利用定积分求参数应注意的问题利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算，其次要注意积分下限小于积分上限． 跟踪训练3.已知f (x )是二次函数，其图象过点(1,0)，且f ′(0)＝2，⎠⎛01f (x )d x ＝0，求f (x )的[解析]式．课堂验收1．下列值等于1的是( ) A.⎠⎛01x d xB.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d xD.⎠⎛0112d x 2．(sin x ＋cos x )d x 的值是( )A ．0 B. π4 C ．2D ．43．计算⎠⎛01x 2d x ＝________.4．已知2≤⎠⎛12(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为________．5．计算下列定积分．ππ⎰22－(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫2x 2－1x d x ； (2)⎠⎛23⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x .——★ 参 考 答 案 ★——问题1：[答案]F ′(x )＝f (x )． 问题2：[答案]⎠⎛02 (2x ＋1)d x ＝6.问题3：[答案]F (2)－F (0)＝6－0＝6. 问题4：[答案]⎠⎛02f (x )d x ＝F (2)－F (0)．1．连续 f (x ) F (b )－F (a ) F (b )－F (a ) 2. (1) S 上 (2)－S 下 (3)S 上－S 下 0例1 解：(1) ⎠⎛12 (x 2＋2x ＋3)d x＝⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛122x d x ＋⎠⎛123d x＝x 33＋x 2＋3x＝253. (2) ⎠⎛－π0 (cos x －e x )d x ＝⎠⎛－π0cos x d x －⎠⎛－π0e x d x＝sin x－e x＝1eπ－1. (3)sin 2x 2＝1－cos x 2，而⎝⎛⎭⎫12x －12sin x ′＝12－12cos x ， ∴sin 2x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫12－12cos x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x －12sin x ＝π4－12＝π－24. 跟踪训练1. 解：(1)因为(e x ＋ln x )′＝e x ＋1x ，所以⎠⎛12⎝⎛⎭⎫e x ＋1x dx ＝(e x ＋ln x )21＝e 2＋ln 2－e. (2)因为x (1＋x )＝x ＋x ，32212()23x x +′＝x ＋x ，所以⎠⎛19x (1＋x )d x ＝⎠⎛19(x ＋x )d x ＝9322112()23x x +＝1723.2121210－π－ππ⎰20π⎰2π20例2 解：⎠⎛0πf (x )d x ＝f (x )d x ＋f (x )d x ＝(4x －2π)d x ＋cos x d x .取F 1(x )＝2x 2－2πx ，则F 1′(x )＝4x －2π； 取F 2(x )＝sin x ，则F 2′(x )＝cos x .所以(4x －2π)d x ＋cos x d x ＝(2x 2－2πx )＋sin x＝－12π2－1，即⎠⎛0πf (x )d x ＝－12π2－1.跟踪训练2.解：因为f (x )＝|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x <－3，x ＋3，x ≥－3，所以⎠⎛－40|x ＋3|d x ＝⎠⎛－4－3(－x －3)d x ＋⎠⎛－30(x ＋3)d x＝⎝⎛⎭⎫－12x 2－3x |－3－4＋⎝⎛⎭⎫12x 2＋3x |0－3＝5.例3 解：因为f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，且⎝⎛⎭⎫a 3x 3＋cx ′＝ax 2＋c ， 所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛1(ax 2＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫a 3x 3＋cx ＝a 3＋c ＝ax 20＋c ， 解得x 0＝33或x 0＝－33(舍去)． 即x 0的值为33. 跟踪训练3.解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∴a ＋b ＋c ＝0.① ∵f ′(x )＝2ax ＋b ， ∴f ′(0)＝b ＝2.②⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋12bx 2＋cx 10 ＝13a ＋12b ＋c ＝0.③ π⎰20ππ⎰2π⎰2ππ⎰2π⎰2ππ⎰2π20ππ21由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝2，c ＝－12，∴f (x )＝－32x 2＋2x －12.课堂验收 1．[答案]C[解析]选项A ，因为⎝⎛⎭⎫x 22′＝x ，所以⎠⎛01x d x ＝x 22＝12；选项B ，因为⎝⎛⎭⎫x 22＋x ′＝x ＋1，所以⎠⎛01(x ＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 22＋x ＝32；选项C ，因为x ′＝1，所以⎠⎛011d x ＝x ＝1；选项D ，因为⎝⎛⎭⎫12x ′＝12，所以⎠⎛0112d x ＝12x ＝12. 2．[答案]C[解析](sin x ＋cos x )d x ＝sin x d x ＋cos x d x ＝(－cos x )＋sin x＝2.3．[答案]13[解析]由于⎝⎛⎭⎫13x 3′＝x 2，所以⎠⎛01x 2d x ＝13x 310＝13. 4．[答案]⎣⎡⎦⎤23，2[解析]⎠⎛12(kx ＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫12kx 2＋x 21＝(2k ＋2)－⎝⎛⎭⎫12k ＋1＝32k ＋1，所以2≤32k ＋1≤4，解得23≤k ≤2. 5．解：(1)∵⎝⎛⎭⎫23x 3－ln x ′＝2x 2－1x ， ∴⎠⎛12⎝⎛⎭⎫2x 2－1x d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 3－ln x 21＝⎝⎛⎭⎫23×23－ln 2－⎝⎛⎭⎫23×13－ln 1 ＝143－ln 2. (2)∵⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＝x ＋1x ＋2，11011ππ⎰22－ππ⎰22－ππ⎰22－ππ22－ππ22－且⎝⎛⎭⎫x 22＋ln x ＋2x ′＝x ＋1x＋2， ∴⎠⎛23⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫x 22＋ln x ＋2x |32 ＝⎝⎛⎭⎫322＋ln 3＋6－⎝⎛⎭⎫222＋ln 2＋4 ＝92＋ln 32.。
人教版高中数学选修2-2教案全集
人教版高中数学选修2-2教案全集第一章 导数及其应用§1.1.1变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 分析: 343)(πV V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．1212)()(V V V r V r --思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少? 问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t（单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念:1．上述问题中的变化率可用式子1212)()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)3． 则平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=∆∆xf1212)()(x x x f x f --直线AB 的斜率三．典例分析例1．已知函数f (x )=x +-2)2,y x ∆+-,则=∆∆xy．解：)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2． 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。
新课标人教A版高中数学选修2-2复习学案(考前复习专用,含答案)
选修2-2 复习学案一、导数及其应用1、求曲线的切线例1 （1）已知函数3()2f x x x =+- ①在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标 ； ②函数)(x f 在点．．（1，0）处的切线方程为 ； （2）曲线2y x =过点．．P(3,5)的切线方程 .变式1：若函数21()ln 2f x x ax x =-+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围2、利用导数研究函数的性质例2.已知时都取得极值与在132)(23=-=+++=x x c bx ax x x f(1) 求ａ、ｂ的值及函数)(x f 的单调区间．(2) 若对2)(],2,1[c x f x <-∈不等式恒成立，求ｃ的取值范围． (3) 若对[1,2],()=0x f x ∈-方程有三个零点，求ｃ的取值范围．变式2 已知函数1,13)(23=-=-+=x x x bx ax x f 在处取得极值（1）求函数)(x f 的解析式.（2）若过点)2)(,1(-≠m m A 可作曲线y=)(x f 的三条切线,求实数m 的取值范围.例3若函数32()23(1)68()f x x a x ax a R =-+++∈在(,0)-∞单增，求a 的取值范围变式3 （1）已知函数233)(x x x f +=在区间[2m-1,m+1]上递增,则m 的取值范围 . （2）已知函数233)(x x x f +=的单减区间为（a ，b ）,则a+b= . 例4 已知函数()ln a f x x x=-（1）若()f x 存在最小值且最小值为2，求a 的值；（2）设()ln g x x a =-，若2()g x x <在(0,]e 恒成立，求a 的取值范围3、定积分的计算例5计算下列定积分（1）⎰+5321dx xx =_______； （2）⎰--1121dx x =_______.；（3）22|2|x x dx +-⎰= ；（4）21(23)t dx +=⎰ ；（5）已知()f x 为偶函数且⎰6)(dx x f =8则⎰-66)(dx x f =________________；（6）由曲线12,3y y x y x ==-=-所围成的图形的面积为二、推理与证明与复数1.下面几种推理是合情推理的是：①由圆的性质类比推出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是1800，归纳出所有三角形的内角和都是1800；③某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是1800，四边形内角和是3600，五边形的内角和是5400，得出凸n 边形内角和是(n-2)·1800.( ) A.①②B.①③④C.①②④D.②④2.若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a ∈R ，结论是：a 2>0，那么这个演绎推理出错在( ) A.大前提B.小前提C.推理过程D.其他3．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．不是以上错误4. 用反证法证明命题“若a 2+b 2+c 2≠0，则a,b ,c 不全为零”反设正确的是( )A. a ,b ,c 全不为零B.a ,b ,c 全为零C.a ,b ,c 恰有一个为零D.a ,b ,c 至少有一个为零 5.用反证法证明“关于x 的方程ax=b （a ≠0）有且只有一个根”时，应该假设方程（ ） A.无解 B.两解 C.至少两解 D.无解或至少两解6.(2012江西)观察下列各式：221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+= 则1010a b += （ ） A ．28 B ．76 C ．123 D ．1997. 观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，则52011的末四位数字为( ) A ．3125 B ．5625 C ．0625 D ．8125 8.用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N *)时，验证n ＝1，左边应取的项是( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4 9.（2012全国卷理）下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p （C ）,p p 24()D ,p p 3410.（2011重庆理）复数2341i i ii++=-（ ）（A ）1122i -- (B) 1122i -+ (C)1122i - (D) 1122i +11.212.[2011·陕西卷] 观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n 个等式为_______________________________． 13.若数列{a n }，(n ∈N *)是等差数列,则有数列b n =na a a n +⋯++21(n ∈N *)也是等差数列，类比上述性质，相应地：若数列{c n }是等比数列,且c n ＞0(n ∈N *),则有d n =___ ___ __(n ∈N *)也是等比数列.14.由“三角形的两边之和大于第三边”可以类比推出三棱锥的类似属性是 . 15.下列两个方程：x 2+(a -1)x +a 2=0,x 2+2ax -2a=0中至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围.16.在数列{a n }中，)(22,111++∈+==N n a a a a nn n ，试猜想这个数列的通项公式，并用数学归纳法证明.选修2-2 复习学案参考答案一、导数及其应用例1 （1）① (1,0)或(1,4)-- ② 440x y --= （2）210x y --=或10250x y --= 变式1 2a ≥例2略解：(1)2,21-=-=b a'22222223(2).()32,3201(),(1)332721(1),(2)2,()[1,2](2)22212f x x x x x x x f c f cf c f c f x f c c c c c =----==-=-=+=-+-=+=+-=+>+<->由得或且所以在上的最大值为从而解得或（3）由（2）知，结合图像应满足(1)02212272()03f c f -≤⎧⎪-<≤-⎨->⎪⎩得 变式2略解(1)求得x x x f 3)(3-=(2)设切点为33)(),3,(2'0300-=-x x f x x x M 因为200'20300020300200302066)(332)(,0332)1)(33(3),1)(33(x x x g m x x x g x A m x x x x m x x M x x m y -=++-=**=++---=----=-则设有三个不同的实数根的方程所以关于可作曲线的三条切线因为过点即所以又切线过点所以切线方程为'00000000()001()(,0),(1,),(0,1),()0,1(0)032(1)0(3,2)g x x x g x g x x x x g m g m ===-∞+∞==*>⎧-<<-⎨<⎩--由得或所以在上单调递增在上单调递减故函数的极值点为所以关于的方程有三个不同实根的充要条件是 解得所求的实数的取值范围是例3 解： 方法１：)1)((66)1(66)(2'--=++-=x a x a x a x x f方法２： 方法３．变式3 （1）1(,3][,2)2-∞-（2）2-例4 （1）a e =（2）1(ln,)22-+∞（详解见导学案《阶段质量检测一》18题） 例5 （1）58ln3+ （2）2π （3）3 （4）23t + （5）16 （6）136 21,()(,1),(,),.1,()6(1)0,()(,).1,()(,),(1,),()(,0),01.0,()(,0).a f x a a f x x f x a f x a f x a a f x >-∞+∞==-≥-∞+∞<-∞+∞-∞≤<≥-∞当时在上递增符合条件当时恒成立在上递增当时在上递增要保证在上递增则综上所述时在上递增'()(,0)()0(,0)(1)(1)(,0)0,10f x f x x x x a x x x x x aa -∞≥∈-∞-≥-∈-∞<∴-<∴≤≥因为在上递增所以在上恒成立即在上恒成立从而'2'()66(1)6(,0]1100220(0)00f x x a x a a a f a =-++-∞++⎧⎧≥<⎪⎪⎨⎨⎪⎪∆≤≥⎩⎩≥保证在上最小值大于或等于零故有或可解得二、推理与证明与复数 1-5 CACBD 6-10 CDDCC 11.<12.n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)=(2n －1)213.n n c c c c (321)14.三棱锥任意三个面的面积和大于第四个面的面积15.若两个方程都没有实根，则⎩⎨⎧<∆<∆0021，解得-2<a <-1，所以a ≥1,或a ≤ 216解：在数列{a n }中，∵)(22,111++∈+==N n a a a a nnn,15222,14222,13222,12222,2214453342231121+=+=+=+=+=+=+=+===a a a a a a a a a a a a a ∴可以猜想，这个数列的通项公式是12+=n a n 。
数学教案 北师大版选修2-2 同步备课-第1章 推理与证明学案第2节综合法与分析法
§2 综合法与分析法2.1 综合法学习目标核心素养1．了解综合法的思考过程、特点．(重点) 2．会用综合法证明数学命题．(难点) 1．通过对综合法概念和思维过程的理解的学习，培养逻辑推理的核心素养．2．通过对综合法应用的学习，提升逻辑推理和数学建模的核心素养.1．综合法的定义从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这种思维方法称为综合法．2．综合法证明的思维过程用P表示已知条件、已知的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法的思维过程可用框图表示为：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q思考：综合法的证明过程属于什么思维方式？[提示]综合法是由因导果的顺推思维．1．综合法是从已知条件、定义、定理、公理出发，寻求命题成立的( )A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案] B2．在△ABC中，若sin Asin B<cos Acos B，则△ABC一定是( )A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形C[由条件可知cos Acos B－sin Asin B＝cos(A＋B)＝－cos C>0，即cos C<0，∴C为钝角，故△ABC 一定是钝角三角形．]3．命题“函数f(x)＝x－xln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xln x求导，得f′(x)＝－ln x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln x>0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”，应用了________的证明方法．综合法[证明过程符合综合法的证题特点，故为综合法．]用综合法证明三角问题【例1】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2asin A ＝(2b －c)sin B ＋(2c －b)sin C.(1)求证：A 的大小为60°；(2)若sin B ＋sin C ＝ 3.证明：△ABC 为等边三角形．思路探究：(1)利用正弦定理将角与边互化，然后利用余弦定理求A. (2)结合(1)中A 的大小利用三角恒等变形证明A ＝B ＝C ＝60°. [证明] (1)由2asin A ＝(2b －c)sin B ＋(2c －b)sin C ， 得2a 2＝(2b －c)b ＋(2c －b)c ， 即bc ＝b 2＋c 2－a 2， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝60°.(2)由A ＋B ＋C ＝180°，得B ＋C ＝120°，由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B)＝3， sin B ＋(sin 120°cos B－cos 120°sin B)＝3， 32sin B ＋32cos B ＝3， 即sin(B ＋30°)＝1． 因为0°<B<120°， 所以30°<B＋30°<150°， 所以B ＋30°＝90°，即B ＝60°， 所以A ＝B ＝C ＝60°， 即△ABC 为等边三角形．证明三角等式的主要依据1．三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式． 2．和、差、倍角的三角函数公式．3．三角形中的三角函数及三角形内角和定理． 4．正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式．1．若sin θ，sin α，cos θ成等差数列，sin θ，sin β，cos θ成等比数列，求证：2cos 2α＝cos 2β.[证明] ∵sin θ，sin α，cos θ成等差数列， ∴sin θ＋cos θ＝2sin α①又∵sin θ，sin β，cos θ成等比数列， ∴sin 2β＝sin θcos θ②将②代入①2，得1＋2sin 2β＝4sin 2α， 又sin 2 β＝1－cos 2β2，sin 2α＝1－cos 2α2，∴1＋1－cos 2β＝2－2cos 2α， 即2cos 2α＝cos 2β.用综合法证明几何问题【例2】 如图，在四面体BACD 中，CB ＝CD ，AD⊥BD，E ，F 分别是AB ，BD 的中点．求证： (1)直线EF∥平面ACD ； (2)平面EFC⊥平面BCD.思路探究：(1)依据线面平行的判定定理，欲证明直线EF∥平面ACD ，只需在平面ACD 内找出一条直线和直线EF 平行即可；(2)根据面面垂直的判定定理，欲证明平面EFC⊥平面BCD ，只需在其中一个平面内找出一条另一个面的垂线即可．[证明] (1)因为E ，F 分别是AB ，BD 的中点，所以EF 是△ABD 的中位线，所以EF∥AD，又EF 平面ACD ，AD平面ACD ，所以直线EF∥平面ACD.(2)因为AD⊥BD，EF∥AD，所以EF⊥BD.因为CB ＝CD ，F 是BD 的中点，所以CF⊥BD.又EF∩CF＝F ，所以BD⊥平面EFC. 因为BD平面BCD ，所以平面EFC⊥平面BCD.证明空间位置关系的一般模式本题是综合运用已知条件和相关的空间位置关系的判定定理来证明的，故证明空间位置关系问题，也是综合法的一个典型应用．在证明过程中，语言转化是主旋律，转化途径为把符号语言转化为图形语言或文字语言转化为符号语言．这也是证明空间位置关系问题的一般模式．2．如图，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝a ，AB ＝2a ，E ，F 分别为C 1D 1，A 1D 1的中点．(1)求证：DE⊥平面BCE ； (2)求证：AF∥平面BDE. [证明](1)∵BC⊥侧面CDD 1C 1，DE侧面CDD 1C 1，∴DE⊥BC.在△CDE 中，CD ＝2a ，CE ＝DE ＝2a ，则有CD 2＝DE 2＋CE 2，∴∠D EC ＝90°，∴DE⊥EC. 又∵BC∩EC＝C ，∴DE⊥平面BCE.(2)连接EF ，A 1C 1，设AC 交BD 于点O ，连接EO ， ∵EF 12A 1C 1，AO 12A 1C 1， ∴EFAO ，∴四边形AOEF 是平行四边形， ∴AF∥OE. 又∵OE平面BDE ，AF平面BDE ，∴AF∥平面BDE.用综合法证明不等式[探究问题]1．综合法证明不等式的主要依据有哪些？ [提示] (1)a 2≥0(a∈R)．(2)a 2＋b 2≥2ab，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab，a 2＋b 2≥(a ＋b )22.(3)a ，b∈(0，＋∞)，则a ＋b 2≥ab ，特别地，b a ＋ab ≥2．(4)a －b≥0⇔a≥b；a －b≤0⇔a≤b. (5)a 2＋b 2＋c 2≥ab＋bc ＋ca. (6)b a ＋ab≥2(a，b 同号，即ab>0)．(7)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|(a ，b∈R)．左边等号成立的条件是ab≤0，右边等号成立的条件是ab≥0. 2．使用基本不等式证明不等式时，应该注意什么？请举例说明．[提示] 使用基本不等式时，要注意①“一正、二定、三相等”；②不等式的方向性；③不等式的适度，如下例．[题] 已知，a ，b∈(0，＋∞)，求证：a b ＋b a≥a ＋ b.若直接使用基本不等式，a b ＋b a≥2ab ·b a＝24ab ，而a ＋b ≥24ab.从而达不到证明的目的，没掌握好“度”，正确的证法应该是这样的：[证明] ∵a>0，b>0， ∴ab ＋b ≥2a ，ba ＋a ≥2b ， ∴a b ＋b ＋ba ＋a ≥2a ＋2b ， 即ab ＋ba≥a ＋ b. 【例3】 已知x>0，y>0，x ＋y ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥9.思路探究：解答本题可由已知条件出发，结合基本不等式利用综合法证明． [证明] 法一：因为x>0，y>0,1＝x ＋y≥2xy ， 所以xy≤14.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ＝1＋1x ＋1y ＋1xy ＝1＋x ＋y xy ＋1xy ＝1＋2xy ≥1＋8＝9.法二：因为1＝x ＋y ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋y x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋y y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋y x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x y ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x . 又因为x>0，y>0，所以x y ＋yx ≥2，当且仅当x ＝y 时，取“＝”． 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥5＋2×2＝9.1．本例条件不变，求证：1x ＋1y≥4.[证明] 法一：因为x ，y∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝1， 所以x ＋y≥2xy ，当且仅当x ＝y 时，取“＝”， 所以xy ≤12，即xy≤14，所以1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝1xy ≥4.法二：因为x ，y∈(0，＋∞)，所以x ＋y≥2xy>0，当且仅当x ＝y 时，取“＝”， 1x ＋1y≥21xy>0， 当且仅当1x ＝1y时，取“＝”，所以(x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥4. 又x ＋y ＝1，所以1x ＋1y≥4.法三：因为x ，y∈(0，＋∞)，所以1x ＋1y ＝x ＋y x ＋x ＋yy＝1＋y x ＋xy＋1≥2＋2x y ·yx＝4， 当且仅当x ＝y 时，取“＝”．2．把本例条件改为“a>0，b>0，c>0”且a ＋b ＋c ＝1，求证：ab ＋bc ＋ac≤13.[证明] ∵a>0，b>0，c>0， ∴a 2＋b 2≥2ab， b 2＋c 2≥2bc， a 2＋c 2≥2ac.∴a 2＋b 2＋c 2≥ab＋bc ＋ca.∴(a＋b ＋c)2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ≥3(ab＋bc ＋ac)． 又∵a＋b ＋c ＝1， ∴ab＋bc ＋ac≤13.综合法的证明步骤1．分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等．2．转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程．1．综合法的基本思路综合法的基本思路是“由因导果”，由已知走向求证，即从数学命题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后得到待证结论．其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法．2．综合法的特点(1)从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，由因导果，逐步推理，寻找它的必要条件．(2)证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，易于表达推理的思维轨迹．(3)由综合法证明命题“若A，则D”的思考过程如图所示：1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法是由因导果的顺推证法．( )(2)综合法证明的依据是三段论．( )(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件．( )(1)√(2)√(3)√[(1)正确．由综合法的定义可知该说法正确．(2)正确．综合法的逻辑依据是三段论．(3)正确．综合法从“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．]2．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，mβ，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.其中正确的命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4B[若l⊥α，α∥β，则l⊥β，又mβ，所以l⊥m，①正确；若l⊥α，m β，l⊥m，α与β可能相交，②不正确； 若l⊥α，mβ，α⊥β，l 与m 可能平行，③不正确；若l⊥α，l∥m，则m⊥α，又m β，所以α⊥β，④正确．]3．已知p ＝a ＋1a －2(a>2)，q ＝2－a 2＋4a －2(a>2)，则p 与q 的大小关系是________． p>q [p ＝a －2＋1a －2＋2≥2(a －2)·1a －2＋2＝4，－a 2＋4a －2＝2－(a －2)2<2，∴q<22＝4≤p.]4．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ＝1,2,3，…)．求证：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .[证明] (1)∵a n ＋1＝n ＋2n S n ，而a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴n ＋2nS n ＝S n ＋1－S n ， ∴S n ＋1＝2(n ＋1)n S n ，∴S n ＋1n ＋1S n n ＝2，又∵a 1＝1， ∴S 1＝1，∴S 11＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为1，公比为2的等比数列．(2)由(1)知⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的公比为2，而a n ＝n ＋1n －1S n －1(n≥2)，∴S n ＋1n ＋1＝4S n －1n －1＝4n －1·a n (n －1)n ＋1， ∴S n ＋1＝4a n .2.2 分析法学 习 目 标核 心 素 养1．了解分析法的思考过程、特点．(重点) 2．会用分析法证明数学命题．(难点)1．通过对分析法概念和思维过程的理解的学习，培养逻辑推理的核心素养． 2．通过对分析法应用的学习，提升逻辑推理和数学建模的核心素养.1．分析法的定义从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这种思维方法称为分析法．2．分析法证明的思维过程用Q 表示要证明的结论，则分析法的思维过程可用框图表示为： Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件1．用分析法证明：要使①A>B，只需使②C<D.这里①是②的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [根据分析法的特点，寻找的是充分条件，∴②是①的充分条件，①是②的必要条件．] 2．欲证2－3<6－7，只需证( ) A ．(2＋7)2<(3＋6)2B ．(2－6)2<(3－7)2C ．(2－3)2<(6－7)2D ．(2－3－6)2<(－7)2A [欲证2－3<6－7，只需证2＋7<3＋6，只需证(2＋7)2<(3＋6)2．]3．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab，只需证a 2＋b 2≥2ab，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．[答案] a 2＋b 2－2ab≥0 (a －b)2≥0 (a －b)2≥0应用分析法证明不等式【例1】 已知a>b>0，求证：(a －b )28a <a ＋b 2－ab<(a －b )28b.思路探究：本题用综合法不易解决，由于变形后均为平方式，因此要先将式子两边同时开方，再找出使式子成立的充分条件．[证明] 要证(a －b )28a <a ＋b 2－ab<(a －b )28b ，只需证(a －b )28a <(a －b )22<(a －b )28b .∵a>b >0，∴同时除以(a －b )22，得(a ＋b )24a <1<(a ＋b )24b ，同时开方，得a ＋b 2a<1<a ＋b 2b，只需证a ＋b<2a ，且a ＋b>2b ， 即证b<a ，即证b<a. ∵a>b>0，∴原不等式成立， 即(a －b )28a <a ＋b 2－ab<(a －b )28b.分析法证题思维过程1．分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件为已知(或已证)的不等式．2．分析法证明数学命题的过程是逆向思维，即结论⇐…⇐…⇐…已知，因此，在叙述过程中，“要证”“只需证”“即证”等词语必不可少，否则会出现错误．1．已知a>0，求证：a 2＋1a 2－2≥a＋1a－2．[证明] 要证a 2＋1a 2－2≥a＋1a－2，只需证a 2＋1a 2＋2≥a＋1a ＋2，即证⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a＋22，即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋1a 2＋2 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋4，只需证2a 2＋1a 2≥ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，只需证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a2≥2．上述不等式显然成立，故原不等式成立．用分析法证明其他问题【例2】 设函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，若函数y ＝f(x ＋1)的图象与f(x)的图象关于y 轴对称，求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数． 思路探究：由于已知条件较为复杂，且不易与要证明的结论联系，故可从要证明的结论出发，利用分析法，从函数图象的对称轴找到证明的突破口．[证明] 要证函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数，只需证明其对称轴为直线x ＝0， 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝ax 2＋(a ＋b)x ＋14a ＋12b ＋c ，其对称轴为x ＝－a ＋b 2a ，因此只需证－a ＋b2a ＝0，即只需证a ＝－b ，又f(x ＋1)＝ax 2＋(2a ＋b)x ＋a ＋b ＋c ，其对称轴为x ＝－2a ＋b 2a ，f(x)的对称轴为x ＝－b 2a ，由已知得x ＝－2a ＋b 2a 与x ＝－b2a 关于y 轴对称，所以－2a ＋b 2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，得a ＝－b 成立，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数．分析法证题思路1．分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法．2．分析法的思路与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知，即已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等．2．已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．[证明] 要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)， 只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3，只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12.∵1－tan α2＋tan α＝1，∴1－tan α＝2＋tan α，即2tan α＝－1．∴tan α＝－12显然成立，∴结论得证．综合法与分析法的综合应用1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？[提示] 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．2．综合法与分析法有什么区别？[提示] 综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．【例3】 在某两个正数x ，y 之间，若插入一个数a ，则能使x ，a ，y 成等差数列；若插入两个数b ，c ，则能使x ，b ，c ，y 成等比数列，求证：(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)．思路探究：可用分析法找途径，用综合法由条件顺次推理，易于使条件与结论联系起来． [证明] 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝x ＋y ，b 2＝cx ，c 2＝by ，消去x ，y 得2a ＝b 2c ＋c2b ，且a>0，b>0，c>0.要证(a ＋1)2≥(b＋1)(c ＋1)， 只需证a ＋1≥(b ＋1)(c ＋1)， 因(b ＋1)(c ＋1)≤(b ＋1)＋(c ＋1)2，只需证a ＋1≥b ＋1＋c ＋12，即证2a≥b＋c.由于2a ＝b 2c ＋c2b ，故只需证b 2c ＋c2b≥b＋c ，只需证b 3＋c 3＝(b ＋c)(b 2＋c 2－bc)≥(b＋c)bc ， 即证b 2＋c 2－bc≥bc，即证(b －c)2≥0.因为上式显然成立，所以(a ＋1)2≥(b＋1)(c ＋1)．分析综合法特点综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证．3．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且三个内角A ，B ，C 构成等差数列．求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c.[证明] 要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ，即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，即证c a ＋b ＋a b ＋c＝1，只需证c(b ＋c)＋a(a ＋b)＝(a ＋b)(b ＋c)， 只需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2. ∵A，B ，C 成等差数列， ∴2B＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝180°，∴B＝60°. ∵c 2＋a 2－b 2＝2accos B ， ∴c 2＋a 2－b 2＝ac ， ∴c 2＋a 2＝ac ＋b 2， ∴1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c成立．1．综合法与分析法的区别与联系区别：综合法 分析法 推理方向 顺推，由因导果 逆推，执果索因 解题思路 探路较难，易生枝节 容易探路， 利于思考(优点) 表述形式 形式简洁，条理清晰(优点)叙述烦琐，易出错 思考的 侧重点侧重于已知条 件提供的信息侧重于结论 提供的信息联系：分析法便于我们去寻找证明思路，而综合法便于证明过程的叙述，两种方法各有所长，因而在解决问题时，常先用分析法寻找解题思路，再用综合法有条理地表达证明过程，将两种方法结合起来运用2．分析综合法常采用同时从已知和结论出发，用综合法拓展条件，用分析法转化结论，找出已知与结论的连结点，从而构建出证明的有效路径．上面的思维模式可概括为下图：1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分析法就是从结论推向已知．( )(2)分析法的推理过程要比综合法优越． ( ) (3)并不是所有证明的题目都可使用分析法证明．( )(1)× (2)× (3)√ [(1)错误．分析法又叫逆推证法，但不是从结论推向已知，而是寻找使结论成立的充分条件的过程．(2)错误．分析法和综合法各有优缺点．(3)正确．一般用综合法证明的题目均可用分析法证明，但并不是所有的证明题都可使用分析法证明．] 2．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a≥0)，则P ，Q 的大小关系是( ) A ．P>Q B ．P ＝QC ．P<QD ．由a 的取值决定C [当a ＝1时，P ＝1＋22，Q ＝2＋5，P<Q ，故猜想当a≥0时，P<Q.证明如下：要证P<Q ，只需证P 2<Q 2，只需证2a ＋7＋2a (a ＋7)<2a ＋7＋2(a ＋3)(a ＋4)，即证a 2＋7a<a 2＋7a ＋12，只需证0<12．∵0<12成立，∴P<Q 成立．]3．设a>0，b>0，c>0，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________．9 [因为a ＋b ＋c ＝1，且a>0，b>0，c>0，所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca ≥3＋2b a ·a b＋2c a ·a c＋2c b ·b c＝3＋6＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．]4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知2(tan A ＋tan B)＝tan A cos B ＋tan Bcos A .证明：a ＋b ＝2c. [证明] 由题意知2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos Acos B ＋sin B cos Acos B，化简得2(sin Acos B ＋sin Bcos A)＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B)＝sin A ＋sin B ， 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B)＝sin(π－C)＝sin C. 从而sin A ＋sin B ＝2sin C. 由正弦定理得a ＋b ＝2c. 命题得证．。
高中数学选修2-2教案(完整版)
第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理§2.1.1 合情推理与演绎推理（一）【内容分析】：归纳是重要的推理方法，在掌握一定的数学基础知识（如数列、立体几何、空间向量等等）后，对数学问题的探究方法加以总结，上升为思想方法。
【教学目标】：1、知识与技能：（1）结合数学实例，了解归纳推理的含义（2）能利用归纳方法进行简单的推理，2、过程与方法：通过课例，加深对归纳这种思想方法的认识。
3、情感态度与价值观：体验并认识归纳推理在数学发现中的作用。
【教学重点】：（1）体会并实践归纳推理的探索过程（2）归纳推理的局限【教学难点】：引导和训练学生从已知的线索中归纳出正确的结论)，试归纳出→如何证明：将递推公式变时命题成立，再证由这两步，可以归纳出什么结论？ （目的：渗【练习与测试】： （基础题）1）数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于（ ） A ．28 B ．32 C ．33 D ．272）从222576543,3432,11=++++=++=中得出的一般性结论是_____________。
3)定义,,,A B B C C D D A ****的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的（A ）、（B ）所对应的运算结果可能是（ ）.（1） 4） （A A.,B D A D ** B.,B D A C ** C.,B C A D ** D.,C D A D ** 4)有10个顶点的凸多面体，它的各面多边形内角总和是________．5)在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝， 第二件首饰是由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形， 第三件首饰如图2， 第四件首饰如图3， 第五件首饰如图4， 以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六变形，依此推断第6件首饰上应有_______________颗珠宝，第n 件首饰所用珠宝总数为_________________颗.6)已知n n a n na 11+=+（n=1.2. …）11=a 试归纳这个数列的通项公式答案：1）B 523,1156,20119,-=-=-=推出2012,32x x -==2）2*1...212...32(21),n n n n n n n N ++++-+++-=-∈ 注意左边共有21n -项 3）B4）（n-2）3605） 91,1+5+9+…4n+1=2n 2+3n+1 6） a 1=1,a 2=21 a 3=31… a n =n1（中等题）1）观察下列的图形中小正方形的个数，则第n 个图中有 个小正方形.2）-1 ．3 ．-7 ．15 ．( ) ，63 ， ， ， 括号中的数字应为（ ） A.33 B.-31 C.-27 D.-57 3)设平面内有n 条直线（n ≥ 3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用表示 n 条直线交点的个数，则 f （4 ）=( ) A.3 B.4 C.5 D.64)顺次计算数列:1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,的前4项,由此猜测123...)1()1(...321++++-++-++++=n n n a n 的结果. 答案：1）1+2+3+4+…+(n+1)=)2)(1(21++n n 2）B 正负相间，3＝1+2，7＝3+22，15＝7+23，15+24＝31，31+25＝63 3）C4）依次为，1，22，32，42，所以a n =n 2（难题）1)．迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。
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高中数学教案选修全套【选修2-2教案｜全套】目录目录 (I)第一章导数及其应用 (1)§1.1.1变化率问题 (1)导数与导函数的概念 (4)§1.1.2导数的概念 (6)§1.1.3导数的几何意义 (9)§1.2.1几个常用函数的导数 (13)§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 (16)§1.2.2复合函数的求导法则 (19)§1.3.1函数的单调性与导数（2课时） (22)§1.3.2函数的极值与导数（2课时） (27)§1.3.3函数的最大（小）值与导数（2课时） (31)§1.4生活中的优化问题举例（2课时） (34)§1.5.3定积分的概念 (38)第二章推理与证明 (42)合情推理 (42)类比推理 (45)演绎推理 (48)推理案例赏识 (50)直接证明--综合法与分析法 (52)间接证明--反证法 (54)数学归纳法 (56)第3章数系的扩充与复数的引入 (67)§3.1数系的扩充和复数的概念 (67)§3.1.1数系的扩充和复数的概念 (67)§3.1.2复数的几何意义 (70)§3.2复数代数形式的四则运算 (73)§3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义 (73)§3.2.2复数代数形式的乘除运算 (77)第一章 导数及其应用§1.1.1变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 分析: 343)(πV V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均 膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?1212)()(V V V r V r --问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念:1．上述问题中的变化率可用式子1212)()(x x x f x f --表示,称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆) 3． 则平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=∆∆x f 1212)()(x x x f x f --直线AB三．典例分析例1．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy． 解：)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2． 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。
解：2020)(x x x y -∆+=∆，所以xx x x x y ∆-∆+=∆∆2020)( x x xx x x x x ∆+=∆-∆+∆+=020202022所以2x y =在0x x =附近的平均变化率为x x ∆+02四．课堂练习1．质点运动规律为32+=t s ，则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 ．2.物体按照s (t )=3t 2+t +4的规律作直线运动,求在4s 附近的平均变化率. 3.过曲线y =f (x )=x 3上两点P （1，1）和Q (1+Δx ,1+Δy )作曲线的割线，求出当Δx =0.1时割线的斜率. 五．回顾总结1．平均变化率的概念2．函数在某点处附近的平均变化率 六．布置作业O x253t∆+导数与导函数的概念教学目标：1、知识与技能：理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法； 理解导数的几何意义； 理解导函数的概念和意义；2、过程与方法：先理解概念背景，培养解决问题的能力；再掌握定义和几何意义，培养转化问题的能力；最后求切线方程，培养转化问题的能力3、情感态度及价值观；让学生感受事物之间的联系，体会数学的美。
教学重点：1、导数的求解方法和过程；2、导数符号的灵活运用 教学难点：1、导数概念的理解；2、导函数的理解、认识和运用 教学过程： 一、情境引入在前面我们解决的问题： 1、求函数2)(x x f =在点（2，4）处的切线斜率。
x xx f x f x y ∆+=∆-∆+=∆∆4)()2(，故斜率为4 2、直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是12-=t V ，求o t t =时的瞬时速度。
t t tt v t t v t V o o o ∆+=∆-∆+=∆∆2)()(，故斜率为 o t 2 二、知识点讲解上述两个函数)(x f 和)(t V 中，当x ∆(t ∆)无限趋近于0时，t V ∆∆(xV∆∆)都无限趋近于一个常数。
归纳：一般的，定义在区间（a ，b ）上的函数)(x f ，)(b a x o ，∈，当x ∆无限趋近于0时，x x f x x f x y o o ∆-∆+=∆∆)()(无限趋近于一个固定的常数A ，则称)(x f 在o x x =处可导，并称A 为)(x f 在o x x =处的导数，记作)('o x f 或o x x x f =|)('，上述两个问题中：（1）4)2('=f ，（2）o o t t V 2)('= 三、几何意义：我们上述过程可以看出)(x f 在0x x =处的导数就是)(x f 在0x x =处的切线斜率。
四、例题选讲例1、求下列函数在相应位置的导数（1）1)(2+=x x f ，2=x （2）12)(-=x x f ，2=x （3）3)(=x f ，2=x例2、函数)(x f 满足2)1('=f ，则当x 无限趋近于0时，（1）=-+xf x f 2)1()1(（2）=-+xf x f )1()21(变式:设f(x)在x=x 0处可导，（3）x x f x x f ∆-∆+)()4(00无限趋近于1，则)(0x f '=___________（4）xx f x x f ∆-∆-)()4(00无限趋近于1，则)(0x f '=________________（5）当△x 无限趋近于0，xx x f x x f ∆∆--∆+)2()2(00所对应的常数与)(0x f '的关系。
总结：导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值。
例3、若2)1()(-=x x f ，求)2('f 和((2))'f 注意分析两者之间的区别。
例4：已知函数x x f =)(，求)(x f 在2=x 处的切线。
导函数的概念涉及：)(x f 的对于区间（a ,b ）上任意点处都可导，则)(x f 在各点的导数也随x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数被称为)(x f 的导函数，记作)('x f 。
五、小结与作业§1.1.2导数的概念教学目标：1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； 3．会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； 教学难点：导数的概念． 教学过程： 一．创设情景 （一）平均变化率（二）探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．二．新课讲授1．瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。