天津市高一上学期数学期末考试试卷

合集下载

2022-2023学年天津市河东区高一上学期期末数学试题(解析版)

2022-2023学年天津市河东区高一上学期期末数学试题一、单选题1．cos120︒的值是（）A ．12-B ．12C D ．【答案】A【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．【详解】()1cos120cos 18060cos602︒=-︒=-︒=-，故选：A ．2．已知扇形的面积为9，半径为3，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为（） A ．1 B ．π3C ．2D ．2π3【答案】C【分析】利用扇形面积公式即可求解.【详解】设扇形的圆心角的弧度数为()0αα>，由题意得21392α⋅=，得2α=.故选：C.3．若角α终边经过点()2,1-，则cos α=A ．B ．CD 【答案】B【详解】分析：利用三角函数的定义，即可求出.详解：角α终边经过点()2,1-，则r ==由余弦函数的定义可得cos x r α== 故选B.点睛：本题考查三角函数的定义，属基础题. 4．函数241xy x =+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误. 故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．5．设0.40.580.5,log 0.3,log 0.4a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c<a<bD ．b<c<a【答案】C【分析】由题意利用指数函数的性质和对数函数的性质确定a ,b ,c 的范围即可比较其大小关系.【详解】由题意可知：()0.40.580.5log 0.31,log 0.01,40,a b c ==>=<∈，则：c<a<b .故选C .【点睛】本题主要考查对数函数的性质，指数函数的性质，实数比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，可以将函数sin2y x ＝的图象（）A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度【答案】A【分析】先将函数变形，再利用三角函数的图象的平移方法，即可得到结论．【详解】∵函数ππsin(2)sin[2()]36y x x =-=-，∴为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，可以将函数y =sin2x 的图象向右平移π6个单位长度．故选A ．7．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V ，满足5lg L V =+.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）()1.259A ．0.8B ．1C ．1.3D ．1.5【答案】A【分析】将 4.9L =代入5lg L V =+中直接求解即可【详解】由题意得 4.9L =，所以4.95lg V =+，lg 0.1V =-，所以0.110.110111100.810 1.25910V -===≈≈，故选：A8．函数()()1sin f x x x π=--在区间3722ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的所有零点之和为（）A ．0B ．2πC ．4πD ．6π【答案】C【分析】把方程()0f x =变形，把零点个数转化为正弦函数图象与另一函数1y x π=-图象的交点个数，根据函数的对称性计算可得．【详解】解：因为()()1sin f x x x π=--，令()0f x =，即()1sin x x π=-，当x π=时显然不成立，当x π≠时1sin x x π=-，作出sin y x =和1y x π=-的图象，如图，它们关于点(,0)π对称，由图象可知它们在3722ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上有4个交点，且关于点(,0)π对称，每对称的两个点的横坐标和为2π，所以4个点的横坐标之和为4π．故选：C ．二、填空题 9．计算：22log sin log cos1212ππ+=______．【答案】2-【分析】根据给定条件利用对数运算法则，二倍角的正弦公式、特殊角的三角函数值计算作答. 【详解】222222log sin log coslog sincos)log sin )log 12121211222((26πππππ-+====-. 故答案为：2-10．cos66cos84sin66sin84︒︒︒︒-的值是_____. 【答案】3##132【分析】利用余弦的和差公式、诱导公式及特殊角的三角函数值可解.【详解】()cos66cos84sin66sin8cos 6684co 104s 5︒︒︒︒=︒+︒=-︒()3cos 18030cos30=︒-︒=-︒=故答案为：3. 11．函数()y f x =是定义在R 上周期为2的奇函数，若()0.51f -=-，则()2.5f =______．【答案】1【分析】根据给定条件利用周期性、奇偶性计算作答.【详解】因函数()y f x =是R 上周期为2的奇函数，()0.51f -=-，所以()2.5(0.5)(0.5)1f f f ==--=.故答案为：1【点睛】易错点睛：函数f (x )是周期为T 的周期函数，T 是与x 无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期.12．已知()tan 2πα+=，α是第三象限角，则()()sin sin 23cos 2cos 2παπαπαπα⎛⎫++- ⎪⎝⎭=⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭____________.（请用数字作答）【答案】34##0.75【分析】利用诱导公式即可化简求解. 【详解】()tan 2πα+=，∴()tan tan 2παα+==.由()()sin sin 23cos 2cos 2παπαπαπα⎛⎫++- ⎪⎝⎭⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭cos sin sin 2cos αααα+=+cos sin cos cos sin 2cos cos cos αααααααα+=+1tan tan 2αα+=+1222+=+ 34=. 故答案为：34.13．已知函数()1232e ,2log 1,2x x f x x x -⎧<=⎨-≥⎩，则()()1f f =____________. 【答案】34log 3【分析】首先计算()12f =，再计算()()()12f f f =即可.【详解】()012e 2f ==，()()()33412log 41log 3f f f ==-=. 故答案为：34log 3三、双空题14．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用. 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图2，将筒车抽象为一个几何图形（圆），以筒车转轮的中心O 为原点，过点O 的水平直线为x 轴建立如图直角坐标系xOy . 已知一个半径为1.6m 的筒车按逆时针方向每30s 匀速旋转一周，O 到水面的距离为0.8m.规定：盛水筒M 对应的点P 从水中浮现（0P 时的位置）时开始计算时间，且设盛水筒M 从点0P 运动到点P 时所经过的时间为t （单位：s ），且此时点P 距离水面的高度为d （单位：m ）（在水面下则d 为负数），则d 关于t 的函数关系式为___________，在水轮转动的任意一圈内，点P 距水面的高度不低于1.6m 的时长为___________s.【答案】 151.6sin()0.8(0)6d t t ππ=-+≥ 10【分析】根据给定信息，求出以Ox 为始边，OP 为终边的角，求出点P 的纵坐标即可列出函数关系，再解不等式作答.【详解】依题意，点0P 到x 轴距离为0.8m ，而0|| 1.6m OP =，则06xOP π∠=，从点0P 经t s 运动到点P 所转过的角为23015t t ππ=，因此，以Ox 为始边，OP 为终边的角为156t ππ-，点P 的纵坐标为1.6sin()156t ππ-，于是得点P 距离水面的高度151.6sin()0.8(0)6d t t ππ=-+≥，由 1.6d ≥得：1sin()1562t ππ-≥，而0t ≥，即522,N 61566k t k k ππππππ+≤-≤+∈，解得3053015,N k t k k +≤≤+∈，对于k 的每个取值，3015(305)10k k +-+=，所以d 关于t 的函数关系式为151.6sin()0.8(0)6d t t ππ=-+≥，水轮转动的任意一圈内，点P 距水面的高度不低于1.6m 的时长为10s.故答案为：151.6sin()0.8(0)6d t t ππ=-+≥；10【点睛】关键点睛：涉及三角函数实际应用问题，探求动点坐标，找出该点所在射线为终边对应的角是关键，特别注意，始边是x 轴非负半轴.四、解答题 15．求值()1233031sin13864-⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)7log 2log lg125lg87++. 【答案】(1)16 (2)6.5【分析】（1）根据指数幂的运算性质，求解即可；（2）根据对数的运算性质和运算律，求解即可.【详解】（1）原式112233223353153111224224--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦531161622=--+= （2）原式3233log 3lg(1258)2lg100022=+⨯+=++ 3322=++ 6.5= 16．已知4sin 5α，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． (1)求cos α，tan α的值；(2)求sin 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】(1)35；43-.(2).【分析】（1）利用给定条件结合同角公式计算作答.（2）由（1）结合二倍角公式求出sin 2,cos 2αα，再利用和角的正弦公式计算作答.【详解】（1）因4sin 5α，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则5c os 3α==-=，sin tan s 43co ααα==-，所以cos α，tan α的值分别是35和43-.（2）由（1）知，24sin 22sin cos 25ααα==-，27cos 212sin 25αα=-=-，所以247sin(2)sin 2cos cos 2sin 4442525πππααα+=+=-=17．已知函数()()lg 4f x x =-. (1)求()3f 的值； (2)求()f x 的定义域.【答案】(2)[)0,4【分析】（1）将3代入函数解析式即可求答案.（2）根据根式的意义以及对数真数大于0，列出不等式组，可求答案.【详解】（1）()()lg 433f =-（2）由31040x x ⎧-≥⎨->⎩，解得()f x 的定义域为[)0,4.18．已知函数()sin(2)sin(2)cos 2166f x x x x ππ=++-+-(1)求()f x 的最小正周期；(2)当[0,]4x π∈时，求()f x 的单调区间；(3)在（2）的件下，求()f x 的最小值，以及取得最小值时相应自变量x 的取值. 【答案】(1)T π=(2)()f x 的单调递增区间为[0,]6π，单调递减区间为[,]64ππ(3)当0x =时，()f x 的最小值为0【分析】（1）根据周期公式计算即可.（2）求出()f x 单调区间，然后与所给的范围取交集即可.（3）根据（2）的结论，对()0f 与4f π⎛⎫⎪⎝⎭进行比较即可.【详解】（1）()sin 2coscos 2sinsin 2coscos 2sincos 216666f x x x x x x ππππ=++-+-2cos212sin 216x x x π⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，222T πππω===，故()f x 的最小正周期为π.（2）先求出增区间，即：令()222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈解得(),36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈所以在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上，当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递增，当,64x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递减；所以()f x 的单调递增区间为[0,]6π，单调递减区间为[,]64ππ（3）由（2）所得到的单调性可得()02sin 106f π=-=，2sin 11426f πππ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在0x =时取得最小值0.19．已知函数()22e 1f x x x m =-++-，()2e g x x x=+()0x >．(1)若()g x m =有零点，求m 的取值范围；(2)试确定m 的取值范围，使得()()0g x f x -=有两个相异实根．【答案】(1){}|2e m m ≥； (2)2e 2e 1m >-++.【分析】（1）利用函数单调性的定义判断函数()2e g x x x=+在()0,∞+上的单调性，作出函数()g x 的图象，数形结合即可求解；（2）由（1）知()g x 的最小值，根据二次函数的性质可求出()f x 的最大值，由题意可知()g x 与()f x 的图象有两个不同的交点，结合图象可知()()max min f x g x >解不等式即可求解.【详解】（1）任取()120,x x <∈+∞，则()()()()222121212121212e e e x x x x g x g x x x x x x x ---=+--=，当12e x x <<时，120x x -<，212e x x <，可得()()120g x g x ->即()()12g x g x >，当21e x x >>时，120x x -<，212>e x x ，可得()()120g x g x -<即()()12g x g x <，所以()2e g x x x =+在()0,e 上单调递减，在()e,+∞上单调递增，()()min e 2e g x g ==，作出函数()2e g x x x=+图象如图：若()g x m =有零点，则有函数()y g x =与y m =图象有交点，由图知：2e m ≥，故实数m 的取值范围为{}|2e m m ≥．（2）若()()0g x f x -=有两个相异实根，即()g x 与()f x 的图象有两个不同的交点．因为()()2222e 1e 1e f x x x m x m =-++-=--+-+，对称轴为e x =，开口向下，最大值为21e m -+，由（1）知：()()min e 2e g x g ==，在同一平面直角坐标系中，作出()2e g x x x=+()0x >和()f x 的图象，如图．由图知当21e 2e m -+>即2e 2e+1m >-+时，()g x 与()f x 的图象有两个不同的交点，即()()0g x f x -=有两个相异实根，所以实数m的取值范围是2e2e+1m>-+.第 11 页共 11 页。

天津市高一上学期期末数学试题(解析版)

数学试卷一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知，那么是（） cos tan 0θθ⋅>θA. 第一、二象限角B. 第二、三象限角C. 第三、四象限角D. 第一、四象限角【答案】A【解析】【分析】化简代数式，根据正弦值为正，得出终边所在象限.cos tan =sin θθθ⋅【详解】由可知同号，即，cos tan 0θθ⋅>cos ,tan θθcos tan =sin 0θθθ⋅>从而为第一、二象限角，故选A .θ故选：A【点睛】此题考查根据三角函数符号判断角的终边所在象限，关键在于熟记各个象限三角函数值的符号进行辨析.2.（） 253364a a a ÷=A .B. C. D. 43a 127a 712a 34a 【答案】C 【解析】【分析】根据指数幂的运算性质计算即可.【详解】. 235734612253364a aa a a +-==÷故选：C.3. 函数的零点是（） ()sin 1f x x =+A.B. ()π2πZ 2k k +∈()3π2πZ 2k k +∈C. D.()ππZ 2k k +∈()πZ k k ∈【答案】B【解析】【分析】令，再根据正弦函数的性质即可得解.()sin 10f x x =+=【详解】令，则，()sin 10f x x =+=sin 1x =-所以， ()3π2πZ 2x k k =+∈所以函数的零点是. ()sin 1f x x =+()3π2πZ 2k k +∈故选：B.4. 已知半径为的圆上，有一条弧的长是，则该弧所对的圆心角的弧度数为（）120mm 144mm A. 12B. 1.2C. 16D. 1.6【答案】B【解析】【分析】根据弧长公式即可得解.【详解】设该弧所对的圆心角的弧度数为，α则，解得.120144α= 1.2α=故选：B . 5. 设，，，则（）． 13log 2a =121log 3b =0.312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭A.B. C. D. a b c <<b<c<a a c b <<b a c <<【答案】C 【解析】【分析】利用对数指数函数的单调性求出a,b,c 的范围即得解. 【详解】由题得， 1133log 2log 10a =<=， 112211log log 132b =>=， 0.30110122c ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以.a cb <<故选：C【点睛】本题主要考查指数对数函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（）()sin 21y x =+()sin 21y x =-A. 向左平移2个单位长度B. 向右平移2个单位长度C. 向左平移1个单位长度D. 向右平移1个单位长度【答案】C【解析】【分析】根据平移变换的原则即可得解.【详解】为了得到函数的图象，()()sin 21=sin 211y x x ⎡⎤=++-⎣⎦只需将函数的图象上所有的点向左平移1个单位长度即可.()sin 21y x =-故选：C .7. 设，，都是正数，且，那么（）a b c 346a b c ==A. B. C. D. 111c a b =+221c a b =+122c a b =+212c a b=+【答案】B【解析】【分析】令，根据指数与对数的关系将指数式化为对数式，再由换底公式及对数的运算346a b c M ===法则计算可得.【详解】解：由，，都是正数，令，则，，a b c 346a b c M ===()1M >3log a M =4log b M =，6log c M =所以，，， 1log 3M a =1log 4M b =1log 6M c=对于A ：，故A 错误； 111log 4log 3log 12log 6M M M M a b c+=+=>=对于B ：，22log 6log 36M M c ==()22212log 3log 4log 3log 4log 34log 36M M M M M M a b +=+=+=⨯=，所以，故B 正确； 221c a b=+对于C ：， ()222222log 32log 4log 3log 4log 34log 1442M M M M M M a b+=+=+=⨯=所以，故C 错误； 122c a b≠+对于D ：， ()221log 32log 4log 3log 4log 3824log 4M M M M M M a b +=+=+=⨯=所以，故D 错误； 212c a b≠+故选：B ．8. 函数的图象大致为 2sin ()1||x f x x =-A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据奇偶性排除B ，D ，取特殊值排除C ，即可得到答案.【详解】的定义域为关于原点对称 2sin ()1||x f x x =-(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞ ()()2sin 2sin ()()1||1||x x f x f x x x --==-=----所以函数是奇函数，故排除B ，D()f x 因为，所以排除C 2sin 4(041||4f πππ==>-故选：A【点睛】本题主要考查了函数图像的识别，属于中等题.9. 下述四条性质：①最小正周期是，②图象关于直线对称，③图象关于点对称，④在ππ3x =π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数.下列函数同时具有上述性质的一个函数是（） ππ-,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦A. B. πsin +26x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. D. πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】【分析】根据条件判断选项中函数的周期性，单调性以及图像的对称性，从而得到结论.【详解】条件① ：的周期为，排除A ； πsin 26x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2π4π12=条件② ：当代入B ，函数取得最大值，满足关于对称；代入C ，函数取得最小值，满足关于π3x =π3x =对称；代入D ，函数值不是最大值也不是最小值，排除D ； π3x =条件③ ：代入B ，函数值为0，满足；代入C ，函数值为0，满足； π12x =条件④ ：在上，代入B ，是增函数；代入C ，单调ππ-,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦πππ2622x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，ππ-,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]π20π3x +∈，递减，不满足，排除C ；故选：B二､填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.10. 若对数函数且）的图象经过点，则实数______.log (0a y x a =>1a ≠(4,2)=a 【答案】2【解析】【分析】直接将点代入计算即可.【详解】将点代入得，解得 (4,2)log ay=2log 4a =2a =故答案为：2.11. 已知角的终边经过点那么的值是_______.θ1(2tan θ【答案】【解析】【分析】直接利用三角函数的定义求解即可.【详解】因为角的终边经过点 θ1(),2所以为第二象限角，，θtan 0θ∴<由三角函数的定义可得，故答案为tan θ==【点睛】本题主要考查任意角的正切函数值,意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题. 12. 函数的定义域为_________.y =【答案】 3{|1}4x x <≤【解析】【分析】根据根式、对数的性质有求解集，即为函数的定义域. 0.5430log (43)0x x ->⎧⎨-≥⎩【详解】由函数解析式知：，解得， 0.5430log (43)0x x ->⎧⎨-≥⎩314x <≤故答案为：. 3{|1}4x x <≤13. 已知函数的部分图象如图所示，则___________. ()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭ϕ=【答案】π6【解析】【分析】根据图象可求得，再利用待定系数法求解即可.,A ωϕ【详解】由图可知， 3,π2T A ==所以，所以，2π2πT ω==1ω=所以，()()3sin f x x ϕ=+则，即， ππ3sin 066f ϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin 06ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭所以，即， π2π,Z 6k k ϕ-+=∈π2π,Z 6k k ϕ=+∈又因，所以. π2ϕ<π6ϕ=故答案为：. π614. 函数在的值域是___________. π2cos 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π5π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【答案】[]2,1-【解析】【分析】根据余弦函数的性质结合整体思想即可得解. 【详解】因为，所以， π5π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ4π2,333x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦所以， π1cos 21,32x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以函数在的值域是. π2cos 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π5π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[]2,1-故答案为：.[]2,1-15. 已知函数的零点个数为___________. ()4223,0274ln ,0x x f x x x x x +⎧-≤=⎨-+->⎩【答案】3【解析】【分析】分和两种情况讨论，时，函数零点的个数，即为函数0x ≤0x >0x >()2274ln f x x x x =-+-图象交点的个数，作出函数的图象，根据函数图象即2274,ln y x x y x =-+=2274,ln y x x y x =-+=可得解.【详解】当时，由，得， 0x ≤()4023x f x +=-=2log 34x =-当时，由，得，0x >()2274ln 0f x x x x =-+-=2274ln x x x -+=则时，函数零点的个数， 0x >()2274ln f x x x x =-+-即为函数图象交点的个数，2274,ln y x x y x =-+=如图，作出函数的图象，2274,ln y x x y x =-+=由图可知，两函数的图象有个交点，2即当时，函数有个零点， 0x >()2274ln f x x x x =-+-2综上所述，函数有个零点.()f x 3故答案为：.3三､解答题：本大题共3小题，共34分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 计算：（1）已知，求的值； 1sin 3α=-()()πcos 2sin 2πcos 2π5πsin 2αααα⎛⎫- ⎪⎝⎭--⎛⎫+⎪⎝⎭（2）求的值. 5551log 35log log 1450+--【答案】（1）19（2）2【解析】【分析】（1）根据诱导公式计算即可；（2）根据对数的运算性质计算即可.【小问1详解】 ()()πcos 2sin 2πcos 2π5πsin 2αααα⎛⎫- ⎪⎝⎭--⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 2sin 1sin cos sin cos 9ααααα=⋅⋅==【小问2详解】5551log 35log log 1450+-. 51log 3550131214⎛⎫=⨯⨯-=-= ⎪⎝⎭17. 已知为第二象限角，为第一象限角，. α3sin ,5αβ=5cos 13β=（1）求的值；()sin αβ+（2）求的值.()tan 2αβ-【答案】（1） 3365-（2） 204253【解析】【分析】（1）先利用平方关系求出，再利用两角和的正弦公式即可得解； cos ,sin αβ（2）先利用二倍角的正切公式求出，再根据两角差的正切公式即可得解.tan 2α【小问1详解】因为为第二象限角，为第一象限角，， α3sin ,5αβ=5cos 13β=所以， 412cos ,sin 513αβ=-=所以. ()3541233sin 51351365αβ⎛⎫+=⨯+-⨯=- ⎪⎝⎭【小问2详解】， sin 3sin 12tan ,tan cos 4cos 5αβαβαβ==-==所以， 232tan 242tan 291tan 7116ααα-===---所以. ()241220475tan 22412253175αβ---==⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭18. 已知函数 ()()2πcos 2cos2R 3f x x x x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭（1）求的最小正周期；()f x （2）求的单调递增区间.()f x 【答案】（1） πT =（2） π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）先利用两角差的余弦公式和辅助角公式化简，再根据正弦函数的周期性即可得解；（2）根据正弦函数的单调性结合整体思想即可得解.【小问1详解】()2πcos 2cos23f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，13πcos 22cos 22cos 22223x x x x x x ⎛⎫=-+-=-=- ⎪⎝⎭所以；πT =【小问2详解】令， πππ2π22π232k x k -+≤-≤+得， π5πππ1212k x k -+≤≤+所以的单调递增区间为.()f x π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦。

2024届天津市部分区高一数学第一学期期末考试模拟试题含解析

为10
2520
20
16920
25
31920
30
52920
35
85920
7 960000,
45
181920
（1）小王在某高新技术企业工作，全年税前收入为 180000 元.执行新税法后，小王比原来每年少交多少个人所得税？
（2）有一种速算个税的办法：个税税额=应纳税所得额×税率-速算扣除数. ①请计算表 1 中的数 X； ②假若某人 2021 年税后所得为 200000 元时，请按照这一算法计算他的税前全年应纳税所得额.
【题目详解】对 A，令，
，此时满足，但
，故 A 错；
对 B，令，
，此时满足，但，故 B 错；
对 C，若，，则
，故 C 错；
对 D，
，故 D 正确.
故选：D.
3、D
【解题分析】注意到两函数图象与 x 轴的交点，由排除法可得.
【题目详解】令 ax2 bx 0 ，得 x 0 或 x b ，则函数 y ax2 bx 过原点，排除 A； a
7 960000,
45
162060
表 2 个人所得税税率表（2019 年 1 月 1 日起执行）
全年应纳税所得额所在区间级数
（对应免征额 60000）
税率（%）
速算扣除数
1 0,36000
3
0
2 3 4 5 6
36000,144000 144000,300000 300000, 420000 420000, 660000 660000,960000
21．在①
f
log2
3
10 3
；②函数
f
x 为偶函数：③0 是函数

2021-2022学年天津市部分区高一(上)期末数学试卷(附答案详解)

2021-2022学年天津市部分区高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.设全集U={1,2,3,4,5,6}，集合S={1,3,5}，T={2,3,4,5}，则(∁U S)∪T=()A. {3,5}B. {2,4}C. {1,2,3,4,5}D. {2,3,4,5,6}2.命题“∀>0，x2+x+2≥0”的否定是()A. ∃x>0，x2+x+2<0B. ∀x>0，x2+x+2<0C. ∃x≤0，x2+x+2<0D. ∀x≤0，x2+x+2<03.函数f(x)=e x−3x的零点所在的区间为()A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)4.已知扇形的周长为15cm，圆心角为3rad，则此扇形的弧长为()A. 3cmB. 6cmC. 9cmD. 12cm5.“α=π3是“sinα=√32”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知a=log312，b=log2√3，c=0.3−0.5，则a，b，c的大小关系为()A. a<c<bB. a<b<cC. c<a<bD. b<c<a7.下列说法中，正确的是()A. 若a>b，则1a <1bB. 函数f(x)=x2与函数g(x)=(√x)4是同一个函数C. 设点P(−3,4)是角α终边上的一点，则cosα=45D. 幂函数f(x)的图象过点(√2,2)，则f(3)=98.函数f(x)=2x⋅tanx(−1≤x≤1)的图象大致是()A. B.C. D.9.下列运算中，正确的是()A. 3log32=9B. a2⋅√a3=a3(a>0)C. √(−3)33+823=1 D. (23)−2+lg1100=−22910. 已知函数f(x)=4cos(π2−ωx 2)⋅cos(ωx 2−π6)−1(ω>0)在区间[−π3,3π4]上单调递增，且在区间[0,π]上只取得一次最大值，则ω的取值范围是( )A. [0,34]B. (0,89]C. [23,89] D. [34,89]二、填空题（本大题共5小题，共20.0分） 11. cos510°=______．12. 已知tan(α−π4)=−7，则tanα=______．13. 将函数y =sin(2x +π12)图象上的所有点向右平行移动π12个单位长度，则所得图象的函数解析式为______．14. 函数y =log a (x −1)+1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，则点A 的坐标为______；若点A 在函数y =mx +n −1的图象上，其中m >0，n >0，则mn 的最大值为______． 15. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个几何图形(圆)，以筒车转轮的中心O 为原点，过点O 的水平直线为x 轴建立如图直角坐标系xOy.已知一个半径为1.6m 的筒车按逆时针方向每30s 匀速旋转一周，O 到水面的距离为0.8m.规定：盛水筒M 对应的点P 从水中浮现(P.时的位置)时开始计算时间，且设盛水筒M 从点P 0运动到点P 时所经过的时间为t(单位：s)，且此时点P 距离水面的高度为d(单位：m)(在水面下则d 为负数)，则d 关于t 的函数关系式为______，在水轮转动的任意一圈内，点P 距水面的高度不低于1.6m 的时长为______s.三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）16. 已知sinα=√55，α∈(π2,π)(Ⅰ)求tanα，sin2α的值； (Ⅱ)求cos(α−π3)的值．17.已知函数{−x2−2x,x≤0 (12)x,x>0．(Ⅰ)求f(2)，f(f(−1))的值；(Ⅱ)在给定的坐标系中，画出f(x)的图象(不必列表)；(Ⅲ)若关于x的方程f(x)=k恰有3个不相等的实数解，求实数k的取值范围．18.已知函数f(x)=log2(3x2+ax−1)，a∈R，且f(1)=2．(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)求f(x)的定义域；(Ⅲ)求不等式f(x)<2的解集．19.已知函数f(x)=x−2x．(Ⅰ)判断f(x)的奇偶性并证明；(Ⅱ)用函数单调性的定义证明f(x)在区间(0,+∞)上单调递增；(Ⅲ)若对∀∈(−∞,0)，不等式f(2x)≤m⋅2x−5恒成立，求实数m的取值范围．，x∈R．已知函数f(x)=sinxcosx+√3cos2x−√32(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；]时，求：(Ⅱ)当x∈[0,π2(ⅰ)f(x)的单调递减区间；(ⅰ)f(x)的最大值、最小值，并分别求出使该函数取得最大值、最小值时的自变量x的值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：全集U={1,2,3,4,5,6}，集合S={1,3,5}，T={2,3,4,5}，∴∁U S={2,4,6}，∴(∁U S)∪T={2,3,4,5,6}．故选：D．先求出∁U S，由此能求出(∁U S)∪T．本题考查集合的运算，考查并集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：根据题意，命题“∀>0，x2+x+2≥0”是全称命题，其否定为∃x>0，x2+x+2<0，故选：A．根据题意，由全称命题和特称命题的关系，分析可得答案．本题考查命题的否定，注意全称命题和特称命题的关系，属于基础题．3.【答案】B是连续增函数，【解析】解：函数f(x)=e x−3x>0，∵f(1)=e−3<0，f(2)=e2−32可得f(1)f(2)<0，∴函数f(x)的其中一个零点所在的区间是(1,2)，故选：B．根据函数零点的判定定理进行判断即可．本题考查了函数零点的判定定理，是一道基础题．4.【答案】C【解析】解：设扇形的弧长为l，半径为r，扇形的圆心角的弧度数是α，则由题意，可得2r+l=15，l=rα=3r，则2r+3r=15，解得r=3，l=9．故选：C．根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与弧长公式，即可求出扇形的弧长与半径．本题主要考查扇形的弧长公式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：当α=π3时，则sinα=√32当sinα=√32时，α=π3+2kπ或2π3+2kπ，k∈Z，故α=π3⇒sinα=√32，反之sinα=√32不能推出α=π3所以前者是后者的充分不必要条件故选：A．根据所给的角和角的正弦值，看两者能不能互相推出，根据特殊角的三角函数，得到前者可以推出后者，而后者不能推出前者，得到结论．本题考查必要条件、充分条件和充要条件的判断，解题的关键是对于三角函数中给值求角和给角求值的问题能够熟练掌握，本题是一个基础题．6.【答案】B【解析】解：∵0=log21<log2√3<log22=1，即0<b<1，又∵a=log312<log31=0，c=0.3−0.5>0.30=1，∴a<b<c，故选：B．利用对数函数与指数函数的单调性判断大小即可．本题考查了对数函数与指数函数的单调性应用，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：A选项，当a=1，b=−2时，满足a>b，而1a >1b，故A错误；B选项，f(x)=x2定义域为R，g(x)=(√x)4定义域为[0,+∞)，两者不是同一个函数，B错误；C选项，cosα=−35，C错误；D选项，设f(x)=xα，将(√2,2)代入得：(√2)α=2，解得：α=2，所以f(3)=9，D 正确．故选：D．A 选项，举出反例；B 选项，两函数定义域不同；C 选项，利用三角函数定义求解；D 选项，待定系数法求出解析式，从而得到答案．本题考查了不等式的性质、函数的三要素、三角函数的定义及幂函数的解析式，属于易做题．8.【答案】B【解析】解：根据题意，f(x)=2x ⋅tanx(−1<x <1)，有f(−x)=2x ⋅tanx =f(x)，为偶函数，排除AC ，在区间(0,1)上，x >0，tanx >0，则有f(x)>0，排除D ，故选：B ．根据题意，先分析函数的奇偶性，排除AC ，再判断函数在(0,1)上的符号，排除D ，即可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性和函数值符号的分析，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：因为3log 32=2，所以A 错；因为a 2⋅√a 3=a 2+32=a 72，所以B 错；因为√(−3)33+823=−3+4=1，所以C 对；因为(23)−2+lg 1100=94−2=14，所以D 错．故选：C ．根据对数运算性质可判断AD ；根据幂指数运算性质可判断BCD ．本题考查指对运算性质，考查数学运算能力，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：f(x)=4sinωx 2(√32cos ωx2+12sinωx 2)−1=2√3sin ωx 2cos ωx 2+2sin 2ωx 2−1=√3sinωx −cosωx =2sin(ωx −π6)，∵f(x)在区间[−π3,3π4]上单调递增，∴T =2πω≥2(3π4+π3)=13π6，则ω≤1312，由2kπ−π2≤ωx −π6≤2kπ+π2，k ∈Z ，得2kπ−π3ω≤x ≤2kπ+2π3ω，即函数的递增区间为[2kπ−π3ω,2kπ+2π3ω]，k ∈Z ，则{2kπ−π3ω≤−π32kπ+2π3ω≥3π4，得{ω≤1−6kω≤8k 3+89，k ∈Z ，当k =0时，{ω≤1ω≤89，此时0<ω≤89，当k ≥1时，不等式不满足条件，当0≤x ≤π时，0≤ωx ≤ωπ，−π6≤ωx −π6≤ωπ−π6， ∵f(x)在区间[0,π]上只取得一次最大值， ∴π2≤ωπ−π6<5π2，得23≤ω<83，综上23≤ω≤89，即实数ω的取值范围是[23,89]，故选：C ．根据三角函数的单调性，最大值取值情况建立不等式进行求解即可．本题主要考查三角函数的图像和性质，根据三角函数的单调性最值性质进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．11.【答案】−√32【解析】解：cos510°=cos(360°+150°)=cos150°=cos(180°−30°)=−cos30°=−√32．故答案为：−√32．利用诱导公式及特殊角的三角函数值化简，即可求出值．此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握公式，灵活变换角度是解本题的关键．12.【答案】−34【解析】解：∵tan(α−π4)=−7=tanα−11+tanα×1，则tanα=−34，故答案为：−34．由题意，利用两角差的正切公式，求得tanα的值．本题主要考查两角差的正切公式，属于基础题．13.【答案】y =sin(2x −π12)【解析】解：函数y =sin(2x +π12)图象上的所有点向右平行移动π12个单位长度，则所得图象的函数解析式为y =sin(2x −π12)．故答案为：y =sin(2x −π12)．直接利用函数的关系式的平移变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：函数的关系式的平移变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．14.【答案】(2,1) 12【解析】解：∵函数y =log a (x −1)+1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ， ∴{x −1=10+1=y ，解得x =2，y =1；故点A 的坐标为(2,1)；∵点A 在函数y =mx +n −1的图象上， ∴1=2m +n −1，即2m +n =2， mn =12⋅2m ⋅n ≤12⋅(2m+n 2)2=12，当且仅当m =12，n =1时，等号成立，故mn 的最大值为12．故答案为：(2,1)；12．由题意得方程组{x −1=10+1=y ，从而解点A 的坐标；代入点A 的坐标，利用基本不等式求最值．本题考查了对数函数的图象和性质及基本不等式的应用，属于基础题．15.【答案】d =1.6sin(π15t −π6)+0.8 10【解析】解：由题意可知，点P 0到x 轴距离为0.8m ，而|OP 0|=1.6m ，则∠xOP 0=π6，从点P 0经ts 运动到点P 所转过的角为2π30t =π15t ，以Ox 为始边，OP 为终边的角为π15t −π6，点P 的纵坐标为1.6sin(π15t −π6)，则点P 距离水面的高度为d =1.6sin(π15t −π6)+0.8t(t ≥0)， ∵d ≥1.6，∴sin(π15t −π6)≥12，而t ≥0，即2kπ+π6≤π15t −π6≤2kπ+5π6，k ∈N ，解得30k +5≤t ≤30k +15，k ∈N ，对于k 的每个取值30k +15−(30k +5)=10，∴的关于t 的函数解析式为d =1.6sin(π15t −π6)+0.8t(t ≥0)，在水轮转动的任意一圈内，点P 距水面的高度不低于1.6m 的时长为10s ．故答案为：d =1.6sin(π15t −π6)+0.8t(t ≥0)；10．根据给定信息，求出以Ox 为始边，OP 为终边的角，求出点P 的纵坐标即可列出函数关系，再解不等式，即可作答．本题主要考查函数的实际应用，考查计算能力，属于中档题．16.【答案】解：(Ⅰ)∵sinα=√55，且α∈(π2,π)， ∴cosα=−√1−sin 2α=−2√55， ∴tanα=sinαcosα=−12， sin2α=2sinαcosα=2×√55×(−2√55)=−45．(Ⅱ)cos(α−π3)=cosαcos π3+sinαsin π3 =−2√55×12+√55×√32=−2√5+√1510．【解析】(Ⅰ)由已知利用同角三角函数基本关系式以及二倍角的正弦公式即可求解tanα，sin2α的值；(Ⅱ)利用两角差的余弦公式即可求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式以及二倍角的正弦公式，两角差的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)由解析可得：f(2)=(12)2=14，因为f(−1)=−1+2=1，所以f(f(−1))=f(1)=12； (Ⅱ)函数f(x)的图象如下：(Ⅲ)方程f(x)=k 有3个不相等的实数解等价于函数y =f(x)的图象与y =k 的图象有三个交点，结合(Ⅱ)中的图象可得k的取值范围为(0,1)．【解析】(Ⅰ)由函数解析式直接代入求解；(Ⅱ)根据函数解析式及函数的性质画出图象；(Ⅲ)利用数形结合的方法可求解．本题考查了函数零点有方程根的关系，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)f(1)=log2(a+2)，因为f(1)=2，即log2(a+2)=2，所以a=2．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=log2(3x2+2x−1)，若使f(x)有意义，只需3x2+2x−1>0，解得x<−1或x>13，所以函数f(x)的定义域为{x|x<−1,或x>13}．(Ⅲ)f(x)<2⇒0<3x2+2x−1<4，由3x2+2x−1>0，解得x<−1或x>13，由3x2+2x−1<4，解得−53<x<1，∴−53<x<−1或13<x<1，∴不等式f(x)<2的解集为{x|−53<x<−1,或13<x<1}．【解析】(Ⅰ)代入点的坐标，求出a的值即可；(Ⅱ)求出函数f(x)的解析式，根据对数函数的性质求出函数的定义域即可；(Ⅲ)解不等式，求出不等式的解集即可．本题考查了对数函数的性质，解不等式问题，是基础题．19.【答案】(本小题满分12分)解：(Ⅰ)f(x)为奇函数，...............................(1分)证明：函数f(x)=x −2x 的定义域为{x|x ≠0}，因为∀x ∈{x|x ≠0}，都有−x ∈{x|x ≠0}，且f(−x)=−x −2−x =−(x −2x )=−f(x)，……………………………………(2分)所以f(x)为奇函数． ……………………………………(3分)(Ⅱ)证明：∀x 1，x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2，……………………………………(4分) 则f(x 1)−f(x 2)=(x 1−2x 1)−(x 2−2x 2)，……………………………………(5分)=(x 1−x 2)+(2x 2−2x 1)=(x 1−x 2)+2(x 1−x 2)x 1x 2=(x 1−x 2)(1+2x1x 2)，……………………………………(6分) 由x 1，x 2∈(0,+∞)，得x 1⋅x 2>0,1+2x 1x 2>0，……………………………………(7分)又由x 1<x 2，得x 1−x 2<0，于是f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，..............................(8分) 所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递增； ……………………………………(9分) (Ⅲ)不等式f(2x )≤m ⋅2x −5在x ∈(−∞,0)上恒成立．等价于−2(2x )2+52x +1≤m 在x ∈(−∞,0)上恒成立 ………………………………(10分) 令t =12x ，因为x ∈(−∞,0)，所以t ∈(1,+∞)，则有m ≥−2t 2+5t +1在t ∈(1,+∞)恒成立，令s(t)=−2t 2+5t +1，t ∈(1,+∞)，则s(t)max =s(54)=338……………………(11分)所以m ≥338，所以实数m 的取值范围为[338,+∞).…………………………………(12分)【解析】(Ⅰ)利用奇函数的定义f(−x)=−f(x)可判断f(x)的奇偶性； (Ⅱ)利用函数单调性的定义可证明f(x)在区间(0,+∞)上单调递增；(Ⅲ)不等式f(2x )≤m ⋅2x −5在x ∈(−∞,0)上恒成立⇔−2(2x )2+52x +1≤m 在x ∈(−∞,0)上恒成立，令t =12x ，通过分离参数m ，构造函数s(t)=−2t 2+5t +1，t ∈(1,+∞)，利用二次函数的单调性质可求得实数m 的取值范围．本题考查了函数恒成立问题，考查了转化与化归思想和函数与不等式思想的应用，考查运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=sinxcosx +√3cos 2x −√32=12sin2x +√32(1+cos2x)−√32=sin(2x +π3)， ∵T =2π2=π，∴f(x)的最小正周期为π，(Ⅱ)(ⅰ)∵x ∈[0,π2]， ∴2x ∈[0,π]，2x +π3∈[π3,4π3]，设t =2x +π3，t ∈[π3,4π3]，∵y=sint，t∈[π3,4π3]上的单调递减区间是[π2,4π3]，且由π2≤2x+π3≤4π3，得π12≤x≤π2，所以函数f(x)的单调递减区间为[π12,π2 ].(ⅱ)由(i)知，2x+π3∈[π3,4π3]，则当2x+π3=π2时，f(x)取得最大值1，此时x=π12，当2x+π3=4π3时，f(x)取得最小值−√32，此时x=π2，所以，当x=π12时，f(x)取最大值为1；当x=π2时，f(x)取最小值为−√32．【解析】(Ⅰ)利用辅助角公式进行化简，根据周期公式进行求解即可．(Ⅱ)根据三角函数的单调性，最值性质进行求解即可．本题主要考查三角函数的恒等变换，利用辅助角公式进行化简，利用三角函数的周期性，单调性以及最值性质进行求解是解决本题的关键，是中档题．。

2022-2023学年天津市南开中学高一上学期期末数学试题(解析版)

2022-2023学年天津市南开中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,2,3A =，{}1,4B =，则()UA B =（）A ．{}2,3B ．{}1C ．{}3,5D ．{}2,3,5【答案】A【分析】根据交集和补集的概念，直接求解即可. 【详解】因为{}1,2,3,4,5U =，{}1,4B =，所以{}2,3,5UB =，又{}1,2,3A =，所以(){}2,3U A B ⋂=. 故选：A2．函数()()2πsin R 33f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的最小正周期为（）A ．2πB ．4π3C ．3πD ．π【答案】C【分析】根据周期公式直接求解即可.【详解】()()2πsin R 33f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的最小正周期为2π3π23=，故选：C3．命题“1,()x ∃∈+∞，213x x +”的否定是（） A ．(,1]x ∀∈-∞，213x x +> B ．(1,)x ∀∈+∞，213x x +≤ C ．(,1]x ∃∈-∞，213x x + D ．(1,)x ∀∈+∞，213x x +>【答案】D【解析】特称量词的否定是全称量词，据此得到答案. 【详解】特称量词的否定是全称量词：命题“1,()x ∃∈+∞，213x x +”的否定是(1,)x ∀∈+∞，213x x +> 故选：D【点睛】本题考查了特称量词的否定，意在考查学生的推断能力. 4．已知x 、y 都是实数，那么“x y >”的充分必要条件是（）． A ．lg lg x y > B ．22x y >C ．11x y> D ．22x y >【答案】B【解析】根据不等式的性质，结合充分条件与必要条件的概念，逐项判断，即可得出结果.【详解】对于A ，lg lg 0x y x y >⇔>>，故“lg lg x y >”是“x y >”的充分不必要条件，不符合题意；对于B ，22⇔>>x y x y ，即“22x y >”是“x y >”的充要条件，符合题意；对于C ，由11x y >得，0x y <<或0x y >>，0x y <<，不能推出x y >，由x y >也不能推出11x y>，所以“11x y>”是“x y >”的既不充分也不必要条件，不符合题意；对于D ，由22x y x y >⇔>，不能推出x y >，由x y >也不能推出22x y >，故“22x y >”是“x y >”的既不充分也不必要条件，不符合题意；故选：B.【点睛】方法点睛：本题主要考查判定命题的充要条件，及不等式的性质，充分条件、必要条件的三种判定方法：（1）定义法：根据p q ⇒，q p ⇒进行判断，适用于定义、定理判断性问题．（2）集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．（3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题． 5．已知()1,3P 为角α终边上一点，则2sin cos sin 2cos αααα-=+（）A ．-7B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】先根据三角函数的定义求出tan 3α=，再利用齐次化将弦化切进行求解. 【详解】()1,3P 为角α终边上一点，故tan 3α=，故2sin cos 2tan 151sin 2cos tan 25αααααα--===++.故选：B6．设函数()2+5x f x x =-，则函数()f x 的零点所在区间是（） A ．(-1,0) B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】C【解析】根据零点存在性定理分析可得结果. 【详解】因为函数()2+5x f x x =-的图象连续不断，且111(1)21502f --=--=-<，(0)10540f =+-=-<, (1)21520f =+-=-<,2(2)22510f =+-=>，3(3)23560f =+-=>，所以函数()f x 的零点所在区间是(1,2). 故选：C7．已知函数()221()1m m f x m m x +-=--是幂函数，且在(0,)+∞上是减函数，则实数m 的值是（）．A ．1-或2B ．2C ．1-D ．1【答案】C【解析】由函数是幂函数可得211m m --=，解得1m =-或2，再讨论单调性即可得出. 【详解】()f x 是幂函数，211m m ∴--=，解得1m =-或2，当1m =-时，1()f x x -=在(0,)+∞上是减函数，符合题意，当2m =时，5()f x x =在(0,)+∞上是增函数，不符合题意，1m ∴=-. 故选：C.8．已知2log 7a =，0.3log 8b =，0.20.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．b ＜c ＜a B ．a ＜b ＜c C ．c ＜b ＜a D ．c ＜a ＜b【答案】A【分析】分别将,,a b c 与0,1,2比较确定它们的大小关系．【详解】0.2000.30.31c <=<=； 22log 7log 42a =>=； 0.30.3log 8log 10b =<=．故b<c<a ．故选：A ．9．若π02α<<，π02β-<<，1cos 3α=，cos β=，则()cos αβ+=（）A B ．C ．D 【答案】D【分析】根据题意求得sin α和sin β的值，结合两角和的余弦公式，即可求解. 【详解】由π02α<<，π02β-<<，可得sin α=sin β=，则()cos cos cos sin sin a αβαββ+=-13==. 故选：D.10．已知命题p ：函数()()2xf x a =-是R 上的减函数，命题q ：23202x ax a ++->对x ∀∈R 都成立.若命题p 和命题q 中有且只有一个真命题，则实数a 的取值范围（） A ．（2，3） B ．[)3,4C ．（2，4）D ．（3，4）【答案】B【分析】分别求出命题,p q 成立的等价条件，结合复合命题之间的关系进行求解即可. 【详解】函数()(2)x f x a =-是R 上的减函数021a ∴<-<，解得：23a <<23202x ax a ++->对x ∀∈R 都成立0∴∆<,则234(2)02a a --<，解得：24a <<，当命题p 成立命题q 不成立时：(2,3)(,2][4,)a a ∞∞∈⎧⎨∈-⋃+⎩，解得：a 不存在当命题q 成立命题p 不成立时，(2,4)(,2][3,)a a ∞∞∈⎧⎨∈-⋃+⎩，解得：34a ≤<∴实数a 取值范围为： 34a ≤<故选：B11．已知函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若函数()()g x f x m =+有两个零点，则m 的取值范围是（）A ．[)1,0-B ．[)1,-+∞C ．(),0∞-D ．(],1-∞【答案】A【分析】()g x 存在两个零点，等价于y m =-与()f x 的图象有两个交点，数形结合求解. 【详解】()()0()g x f x m f x m =+=⇔=-()g x ∴存在两个零点，等价于y m =-与()f x 的图象有两个交点，在同一直角坐标系中绘制两个函数的图象：由图可知，保证两函数图象有两个交点，满足01m <-≤，解得：[)1,0m ∈- 故选：A.12．函数()sin ln ||f x x x =⋅的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】先根据函数的奇偶性，可排除A ，C ，根据当01x <<时，()0f x <即可排除B ．得出答案. 【详解】因为()sin ln ||(0)f x x x x =⋅≠，所以()sin()ln ||sin ln ||()f x x x x x f x -=-⋅-=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除A ，C ．当01x <<时，sin 0x >，ln ||0x <，则()0f x <，故排除B ，故选:D ．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.13．已知函数()f x 是定义在区间[1,2]a a --上的偶函数，且在区间[0,2]a 上单调递增，则不等式(1)()f x f a -<的解集为（） A ．[1,3]- B ．(0,2)C ．(0,1)(2,3]⋃D ．[1,0)(1,2)-⋃【答案】B【解析】根据偶函数的定义域关于原点对称可得1a =，根据(1)(|1|)f x f x -=-以及函数()f x 的单调性可解得结果.【详解】因为函数()f x 是定义在区间[1,2]a a --上的偶函数，所以120a a --+=，解得1a =，(1)()f x f a -<可化为(1)(1)f x f -<，因为()f x 在区间[0,2]a 上单调递增，所以11x -<，解得02x <<. 故选：B【点睛】关键点点睛：根据(1)(|1|)f x f x -=-以及函数()f x 的单调性解不等式是解题关键.14．已知函数()32,032,0x x x f x x -⎧-+<=⎨+≥⎩，()()620g x kx k k =+->，若对任意的[]11,1x ∈-，总存在[]21,1x ∈-使得()()12f x g x ≤成立，则实数k 的取值范围为（）A ．(]0,2B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]0,3D ．(]1,2【答案】C【分析】根据函数的单调性求出两函数的最大值，然后由题意可知max max ()()f x g x ≤，再解关于k 的不等式可求得结果.【详解】当10x -≤<时，3()2x f x =-+单调递减，则2()3f x <≤，当01x ≤≤时，()32x f x -=+单调递减，则7()33f x ≤≤，所以当[1,1]x ∈-时，()[2,3]f x ∈，所以()max 3f x =，因为()()620g x kx k k =+->在[1,1]x ∈-上单调递增，所以()max 626g x k k k =+-=-，因为对任意的[]11,1x ∈-，总存在[]21,1x ∈-使得()()12f x g x ≤成立，所以max max ()()f x g x ≤，所以36k ≤-，解得03k <≤，故选：C二、填空题15．已知函数()()log 160,1a y x a a =-+>≠的图象恒过点A ，则点A 的坐标为______.【答案】()2,6【分析】由log 10a =，令真数为1，即2x =代入求值，可得定点坐标．【详解】∵log 10a =，∴当2x =时，log 166a y =+=，∴函数的图象恒过定点()2,6 故答案为：()2,616．已知扇形的圆心角为23π，扇形的面积为3π，则该扇形的弧长为____________.【答案】2π【解析】利用扇形的面积求出扇形的半径r ，再带入弧长计算公式即可得出结果．【详解】解：由于扇形的圆心角为23απ=，扇形的面积为3π，则扇形的面积221123223S r r παπ==⨯⨯=，解得：3r =，此扇形所含的弧长2323l r παπ==⨯=. 故答案为：2π.17．已知0x >，0y >且191x y+=，求x y +的最小值为______.【答案】16【分析】根据()19x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式可求得最小值.【详解】0x，0y >且191x y+=， ()199101016x y x y x y x y y x ⎛⎫∴+=++=++≥+ ⎪⎝⎭（当且仅当9x y y x =，即3y x =时取等号）， ()min 16x y ∴+=. 故答案为：16.【点睛】关键点点睛：本题考查利用基本不等式求最值的问题，解题关键是能够灵活利用已知条件中“1”的等式，将所求项配凑成符合基本不等式的形式.18．若函数(),142,12x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-+< ⎪⎪⎝⎭⎩在区间(),-∞+∞单调递增函数，则实数a 的取值范围是______. 【答案】[4,8)【分析】根据分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，函数(),142,12x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-+< ⎪⎪⎝⎭⎩是(),-∞+∞上的单调递增函数，则满足114024122a aa a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪⎛⎫-⨯+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得48a ≤<，所以实数a 的取值范围[4,8). 故答案为：[4,8)19．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ，π0,0,2A ωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是______.①函数()y f x =的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称； ②函数()y f x =的图象关于直线5π12x =-对称；③函数()y f x =在2ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减； ④()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数；⑤()y f x =可改写为π2cos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【答案】①②⑤【分析】根据函数的图象，可求出()f x 的解析式，进而对选项逐个分析，可得出答案.【详解】解：由函数图象可得2A =，最小正周期ππ4π312T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以2π2π2πT ω===，故④错误；当π12x =时，函数取得最大值，即ππ2sin 221212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ22π122k ϕ⨯+=+()k ∈Z ，则π2π3k ϕ=+()k ∈Z ，又π2ϕ<，得π3ϕ=，故函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.对于①，当π6x =-时，πππ2sin 22sin 00663f ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心，故①正确；对于②，当5π12x =-时，5π5πππ2sin 22sin 2121232⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f ，即直线5π12x =-是函数()f x 的一条对称轴，故②正确；对于③，令ππ3π2π22π232k x k +≤+≤+()k ∈Z ，解得π7πππ1212k x k +≤≤+()k ∈Z ，则函数()f x 的单调递减区间为7ππ,π1212πk k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ，故③错误；对于⑤，()ππππ2sin 22sin 22cos 23626f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故⑤正确.故答案为：①②⑤.三、双空题 20．（1）1ln 223e 27tanlg104π--+-+=______；（2______.【答案】 23- 1【分析】（1）根据指数幂以及对数运算性质，以及特殊角对应三角函数值，直接化简求解即可；（2）根据诱导公式，以及同角三角函数基本关系，直接化简求解即可. 【详解】（1）1ln 2213π2e 27tanlg10231243---+-+=+--=-；（2cos 20sin 201cos 20sin 20︒+︒==︒+︒.故答案为：23-；1.21．已知3sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 2α=______；（2）tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.【答案】 2425-17【分析】根据同角三角函数基本关系，求出cos α，tan α，再由二倍角公式以及两角和的正切公式求解即可.【详解】因为3sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4cos 5α==-，则3tan 4α=-，所以3424sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭；3tan tan1144tan 3471tan tan 144παπαπα+-+⎛⎫+=== ⎪⎝⎭-+.故答案为：2425-；17.四、解答题22．已知函数()ππsin 2sin 2233f x x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)求函数()f x 的最小正周期和函数()f x 的单调递减区间；(2)当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值、最小值，并分别求出使该函数取得最大值、最小值时的自变量x 的值.【答案】(1)=πT ，函数()f x 的单调递减区间为π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；(2)当π=12x 时，()f x 取最大值为2；当π2x =时，()f x取最小值为【分析】（1）利用两角和差正弦公式公式和辅助角公式化简()f x ，根据正弦型函数的周期公式和正弦函数单调性结论求解即可；（2）根据函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性确定其最大值、最小值及相应的自变量x 的值..【详解】（1）由已知πππ()=sin 2+sin 22=sin 22=2sin 2+333f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2π==π2T ，所以()f x 的最小正周期为π.由ππ3π2π2+2π,Z 232k x k k +≤≤+∈化简可得π7πππ,Z 1212k x k k +≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递减区间为π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）由(1) 可得函数()f x 的单调递减区间为π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，同理可得函数()f x 的单调递增区间为5πππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以函数在π[0,]12上单调递增，在ππ[,]122上单调递减，且π(0)=2sin 3f =ππ()=2sin 2122f =，π4π()=2sin 23f = 所以，当π=12x 时，()f x 取最大值为2；当π2x =时，()f x取最小值为23．已知函数()221x a g x x bx +=++是定义域为[]1,1-上的奇函数. (1)求()g x 的解析式；(2)判断并证明()g x 在[]1,1-上的单调性；(3)解不等式()()10g t g t --<.【答案】(1)()221x g x x =+ (2)()g x 在[]1,1-上单调递增 (3)10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得()()()1100g g g ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，求出,a b ，得到函数解析式，再验证即可；（2）任取[]12,1,1x x ∈-，且12x x <，作差比较()1g x 与()2g x ，进而可根据单调性定义判断出结果；（3）根据函数单调性，结合题中条件列出不等式组求解，即可得出结果.【详解】（1）因为()221x a g x x bx +=++是定义域为[]1,1-上的奇函数，所以()()()1100g g g ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，即22220a ab b a -+⎧=-⎪-+⎨⎪=⎩，解得00b a =⎧⎨=⎩，所以()221x g x x =+，又()()221x g x g x x --==-+，所以()221x g x x =+是奇函数，符合题意；（2）任取[]12,1,1x x ∈-，且12x x <，则()()()()()()()()221212121212121222222212121221222222111111x x x x x x x x x x x x g x g x x x x x x x --+---=-==++++++，因为1211x x ，所以121x x <，12x x <，因此()()()()()()121212221221011x x x x g x g x x x ---=<++，即()()12g x g x <，所以()g x 在[]1,1-上单调递增；（3）由()()10g t g t --<得()()1<-g t g t ，因为()g x 在[]1,1-上单调递增；所以111111t t t t -≤≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪<-⎩，解得102t ≤<. 故原不等式的解集为10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 24．已知函数2()(3)3f x kx k x =+++，其中k 为常数.（1）若不等式()0f x >的解集是{}13x x -<<,求此时()f x 的解析式；（2）在（1）的条件下，设函数()()g x f x mx =-，若()g x 在区间[]22-,上是单调递增函数，求实数m 的取值范围；（3）是否存在实数k 使得函数()f x 在[1,4]-上的最大值是4？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2()23f x x x =-++（2）2m ≤-（3）存在，1k =-或9k =-【解析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，利用韦达定理，即可求解；（2）根据二次函数图像确定对称轴和区间的关系，即可求解；（3）由二次函数图像，求出函数可能取到的最大值，建立方程，求出参数，回代验证；或由对称轴，分类讨论，确定二次函数图象开口方向，函数在[1,4]-上的单调性，求出最大值且等于4，建立方程，即可求得结论.【详解】解：(1)由题意得：1,3-是2(3)30kx k x +++=的根 ∵313313k k k ⎧-⨯=⎪⎪⎨+⎪-+=-⎪⎩，解得1k =- ∴2()23f x x x =-++(2)由（1）可得 2()23g x x x mx =-++-2(2)3x m x =-+-+，其对称轴方程为 22m x -= 若()g x 在[2,2]-上为增函数，则222m -≥，解得2m ≤- 综上可知，m 的取值范围为2m ≤-(3)当0k =时，()33f x x =+，函数()f x 在[1,4]-上的最大值是15，不满足条件当0k ≠时，假设存在满足条件的k ，则()f x 的最大值只可能在1,4,-对称轴处取得，其中对称轴032k x k+=- ① 若max ()(1)4f x f =-=，则有334k k --+= ，k 的值不存在，② 若max ()(4)4f x f ==，则1612434k k +++=，解得1120k =-，此时，对称轴049[1,4]22x =∈-，则最大值应在0x 处取得，与条件矛盾，舍去③ 若max 0()()4f x f x ==，则：0k <，且243(3)44k k k⨯-+=，化简得21090k k ++=，解得1k =-或9k =- ，满足0k <综上可知，当1k =-或9k =-时，函数()f x 在[1,4]-上的最大值是4.(3)另解：当0k =时，()33f x x =+，函数()f x 在[1,4]-上的最大值是15，不满足条件所以0k ≠，此时2()(3)3f x kx k x =+++的对称轴为32k x k+=-若0k >，302k x k +=-<，此时2()(3)3f x kx k x =+++ 在[1,4]-上最大值为(4)1612434f k k =+++=，解得1120k =-，与假设矛盾，舍去；若0k <①当342k k +-≥，即103k -≤<，函数()f x 在[1,4]-为增， 2()(3)3f x kx k x =+++在[1,4]-上最大值为(4)1612434f k k =+++=，解得1120k =-，矛盾舍去 ②当312k k+-≤-，即3k ≥，矛盾舍… ③当3142k k +-≤-<.即13k <-， 2()(3)3f x kx k x =+++在[1,4]-上最大值为3()42k f k +-=，则 243(3)44k k k⨯-+=，化简得21090k k ++=，解得1k =-或9k =- ，满足 0k <…综上可知，当1k =-或9k =-时，函数()f x 在[1,4]-上的最大值是4【点睛】本题考查求二次函数的解析式，以及单调性和最值，要熟练掌握二次函数的图像和性质，考查分类讨论数学思想，属于中档题.。

天津市部分重点中学高一上学期期末考试数学试卷及答案(共四套)

8.如图是某条公共汽车线路收支差额与乘客量的图象（收支差额车票收入支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员将图变为图与图，从而提出了扭亏为盈的两种建议．下面有种说法：
（1）图建议是：减少支出，提高票价；
（2）图的建议是：减少支出，票价不变；
（3）图的建议是1）；
（2）已知，，求的值．
17.已知是定义在上的奇函数，且时， .
（1）求，的值；
（2）若，求的值．
18.如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆相交于、两点，已知、的横坐标分别为、．
（1）求值；
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一．选择题（共10小题）
1.设全集，集合，，则等于（）
A. B. C. D.
2.命题“ ， ”的否定是（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.下列函数中为偶函数，且在上单调递增的是（）
A. B. C. D.
4.“ ”是“ ” （）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 等于（）
A. B. C. D.
6.设，，，则、、的大小顺序是（）
A. B. C. D.
7.为了得到函数图象，只需把函数的图象（）
A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
6.设，，，则、、的大小顺序是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与和的大小关系，可得出这三个数的大小关系.

天津市六校2024届数学高一上期末学业水平测试试题含解析

2πx
π 6
的最小正周期是（
）
A.1
B.2
C. π
D. 2π
3．已知偶函数 f x 在0, 上单调递增，则对实数 a 、 b ，“ a b ”是“ f a f b ”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4．已知函数 y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为 R，则 k 的取值范围是( )
14．某学校在校学生有 2000 人，为了增强学生的体质，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只参加其中一项比
赛，高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为 a，b，c，且 a : b : c 2 : 5: 3 ，全校参加登山的人数占总人数的 1 . 4
为了了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为 200 的样本进行调查，则应从高三年级参加跑步的学生中抽取人数为______.
【题目详解】由 9x 1 2 2 9x 1 2 6 2 4 ,当且仅当 9x 1 ，即 x 1 时等号成立.
x
x
x
3
当 x 时，函数 y 9x 1 2 的函数值趋于 x
所以函数 y 9x 1 2 无最大值，有最小值 4 x
故选：B
7、D
【解题分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出大小关系
解不等式得 k≤0 或 k≥1 所以选 C 【题目点拨】本题考查了对数函数的性质，注意定义域为 R 与值域为 R 是不同的解题方法，属于中档题 5、C
【解题分析】设 c a1 a2 ，
∵ a1 a2 0 ，且 ai 1i 1, 2 ，
∴ c a1 a2 2
∵ a1 a2 a3 c a3 c a3 2 1，当且仅当 c 与 a3 共线同向时等号成立，

精品解析：天津市部分区2019-2020学年高一上学期期末数学试题(解析版)

【详细详细解析】由任意角三角函数定义得: .
故选:D.
【点睛】本题主要考查了任意角三角函数的定义,属于基础题.
5.已知 , , ,则三者的大小关系是()
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详细解析】
, , ;所以 ,故选A.
6.为了得到函数的图象,只需将函数的图象上所有的点（）
A.向左平移个单位B.向左平移个单位
18.已知函数 .
(1)判断的单调性,并用函数单调性的定义证明;
(2)判断的奇偶性,并说明理由.
【正确答案】(1)见详细解析;(2)见详细解析.
【详细解析】
详细分析】
(1)直接利用单调性的定义 ,且 , 与0比较大小及即可;
(2)通过证明可得函数为偶函数.
【详细详细解析】(1) 在上单调递增.
7.已知函数是定义在R上的偶函数,且在区间上单调递增,若 ,则不等式的解集为（）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详细解析】
【详细分析】
利用奇偶性可得 ,结合单调性可得 ,从而得解.
【详细详细解析】由函数是定义在R上的偶函数,可得: .
且在区间上单调递增,
所以 ,解得: .
故选:A.
,且 ,则
由 ,得 ,
所以 ,
又由 ,得 ,
所以,
于是 ,即
所以在上单调递增.
(2)函数的定义域为 ,
因为都有且
所以为奇函数.
【点睛】本题主要考查了利用定义证明函数的单调性及判断函数的奇偶性,属于基础题.
19.已知函数 .
(1)求最小正周期;
(2)求在区间上的最大值和最小值;
(3)若关于x的不等式在R上恒成立,求实数m的取值范围.

2022-2023学年天津市天津一中数学高一上期末联考试题含解析

，，，
当时,即 ,函数取得最小值为 .
当时,即 ,函数取得最大值为1.
【点睛】本题考查三角函数部分图象求解析式，考查三角函数给定区间的最值，属于基础题.
20、（1）2；（2）证明见解析
【解析】（1）解方程即得解；
（2）利用三角函数的图象和性质，结合不等式逐步求出函数的最值即得证.
【小问1详解】
22．已知函数， .
（1）求方程的解集；
（2）定义： .已知定义在上的函数，求函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，画出函数的简图，并根据图象写出函数的单调区间和最小值.
参考答案
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
A. B.
C. D.
8．设点分别是空间四边形的边的中点，且，，，则异面直线与所成角的正弦值是（）
A. B.
C. D.
9．下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（）
A.y=sin2x+cos2x
B.y=sin2xcos2x
C.y=cos（4x+ ）
D.y=sin22x﹣cos22x
10．现对有如下观测数据
【详解】在上严格增，所以，不妨设，
因为对任意能构成三角形三边长的实数，均有，，
也能构成三角形三边长，所以，
因为，所以，
因为对任意都成立，所以，所以，所以，
所以，所以m的最大值为
故答案为： .
15、
【解析】根据题意，将问题转化为，，再根据单调性解不等式即可得答案.
【详解】解：因为函数对一切x，满足，

2023-2024学年天津市四校高一上学期期末联考数学试卷含详解

2023～2024学年度第一学期高一数学期末四校联考高一数学一、选择题（本愿共9小恩，每小题5分，共计45分、每小题有且仅有一项符合题目要求.）1.已知全集{}0,2,4,6,8,10U =，集合{}0,2,4A =，{}0,6,8B =，则()UA B ⋂=ð（）A.{}0 B.{}6,8 C.{}0,6,8 D.{}2,4,6,8 2.“π2π3x k =+，k ∈Z ”是3sin 2x =的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.命题“所有六边形得内角和都是720︒”的否定为（）A.存在一个六边形，它的内角和是720︒B.存在一个六边形，它的内角和不是720︒C.所有不是六边形的多边内角和都不是720︒D.所有六边形的内角和都不是720︒4.近年来，人们对健康环境、生态环境的关注越来越高，因此，低碳环保、城市可持续发展已经成为各方关注的热点话题.某市对居民计费方法如下表：若某户居民本月缴纳的电费为150元，则此户居民本月的用电量为（）生活用电实行分段计电价0~200度用电量0.3元/度201~400度用电量0.6元/度401度以上用电量0.9元/度A.250度B.350度C.450度D.500度5.设0.914a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.84b =，4πlog sin2c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c >>B.b a c >>C.a c b>> D.b c a>>6.已知函数()f x 是定义城为R 的奇函数，当0x ≤时，()2322f x x x =++，则32f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）.A.474B.474-C.234D.234-7.若将函数ππ()sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移13个单位，得到函数图象解析式是（）A.πsin 2y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭B.πsin 2y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.πcos 2y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.πcos 2y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭8.若不等式()232911221e e x x a x x --++⎛⎫> ⎪⎝⎭对任意的()1,4x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为（）A.(),5∞--B.(],5-∞-C.[)1,-+∞ D.(),1∞--9.音乐是用声音来表达人思想感情的一种艺术，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受.法国的数学家傅里叶说：“任何声乐都是形如‘()sin t A ωϕ+’的各项之和”，其中每一项都代表一种有适当频率和振幅的简单声音.某音乐的数学模型可以用函数()cos sin f x x x =⋅表示，则下列结论中正确的个数是（）①()f x 是周期为π的周期函数②,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数()f x 的一个单调递增区间③若()()1214f x f x =-，12x x ≠，则12x x -的最小值为2π④()f x 的对称中心为,02k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共计30分.）10.函数311x y a -=-（0a >且1a ≠）无论a 取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为________.11.15πlg 25lg 2sin 24++=______.12.tan 2x =，则3cos sin sin 5cos x xx x-=+________.13.若实数1a >，2b >，且满足250a b +-=，则1112a b +--的最小值为______.14.砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形OCD 截去同心扇形OAB 所得图形，已知0.1m OA =，0.4m AD =，125AOB ∠=︒，则该扇环形砖雕的面积为________2m .15.已知函数()2ln 1,022,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩若函数()()22m g x f x =-有三个零点，则实数m 的取值范围________.三、解答题（本题共5小题，共75分.解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤，只有结果的不给分.）16.已知集合{}121A x a x a =+≤≤+，函数()23log 310y x x =--的定义域为B .（1）若集合R B C =ð，求集合C ；（2）在(1)条件下，若3a =，求()R A C ð；（3）在(1)条件下，若“x A ∈”是“x C ∈”充分不必要条件，求实数a 的取值范围.17.已知函数()23sin cos 32f x x x x =-+.（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数()f x 在2π,123π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值；（3）若π243f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求4πcos 23α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.18.函数()22f x ax bx =++，,a b ∈R（1）若()0f x >的解集是{|1x x <或2}x >，求实数a ，b 的值；（2）当0a =时，若()()42ff x x =-，求实数b 的值；（3）a ∈R ，若()24f =，求()28f x x <-+的解集.19.已知函数()()21,mx f x m n x n+=∈+R 是奇函数，且()()2g x f x =-一个零点为1.（1）求m ，n 的值及()f x 解析式；（2）已知函数()f x 在()0,1单调递减，()t x 在()()1,00,1-U 满足()()t x t x -=，当0x >时，()()t x f x =，若不等式()1412t a t ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围；（3）已知函数()()()()233ln 1ln 1h x f x x x k x =--++-+⎡⎤⎣⎦的一个零点为2，求函数()h x 的其余零点.20.已知()f x ，()g x 分别为定义在上的偶函数和奇函数，且()()2xf xg x +=.（1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）利用函数单调性的定义证明()f x 在区间[)0,∞上是增函数；（3）已知()()()2449F x f x mf x =-+，其中m 是大于1的实数，当[]20,log x m ∈时，()0F x ≥，求实数m 的取值范围.2023～2024学年度第一学期高一数学期末四校联考高一数学一、选择题（本愿共9小恩，每小题5分，共计45分、每小题有且仅有一项符合题目要求.）1.已知全集{}0,2,4,6,8,10U =，集合{}0,2,4A =，{}0,6,8B =，则()UA B ⋂=ð（）A.{}0 B.{}6,8 C.{}0,6,8 D.{}2,4,6,8【答案】B【分析】根据集合的交集和补集的运算得到结果即可.【详解】因为{}0,2,4,6,8,10U =，{}0,2,4A =所以{}6,8,10U A =ð，又{}0,6,8B =所以(){}6,8U A B ⋂=ð，故选：B 2.“π2π3x k =+，k ∈Z ”是3sin 2x =的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件与必要条件的定义，结合三角函数的性质求解即可.【详解】若π2π3x k =+，k ∈Z ，则πsin sin 2π32x k ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，充分性成立；若sin 2x =，则π2π3x k =+或2π2π3x k =+，k ∈Z ，必要性不成立，所以“π2π3x k =+，k ∈Z ”是3sin 2x =的充分不必要条件.故选：A.3.命题“所有六边形得内角和都是720︒”的否定为（）A.存在一个六边形，它的内角和是720︒B.存在一个六边形，它的内角和不是720︒C.所有不是六边形的多边内角和都不是720︒D.所有六边形的内角和都不是720︒【答案】B【分析】根据全称量词命题的否定的知识：“改量词，否结论”即可确定正确选项.【详解】“所有六边形得内角和都是720︒”的否定为“存在一个六边形，它的内角和不是720︒”.故选：B4.近年来，人们对健康环境、生态环境的关注越来越高，因此，低碳环保、城市可持续发展已经成为各方关注的热点话题.某市对居民计费方法如下表：若某户居民本月缴纳的电费为150元，则此户居民本月的用电量为（）生活用电实行分段计电价0~200度用电量0.3元/度201~400度用电量0.6元/度401度以上用电量0.9元/度A.250度B.350度C.450度D.500度【答案】B【分析】根据题意，得到本月缴纳的电费和居民用电量的函数关系式，结合题意，列出方程，即可求解.【详解】由题意，设某户居民用电量为x 度，本月缴纳的电费为y ，可得0.3,(0,200]600.6(200),(200,400]1800.9(400),(400,)x x y x x x x ∞∈⎧⎪=+⨯-∈⎨⎪+⨯-∈+⎩，当某户居民本月缴纳的电费为150元时，可得600.6(200)150x +⨯-=，解得350x =，即居民本月的用电量为350度.故选：B.5.设0.914a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.84b =，4πlog sin2c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c >>B.b a c >>C.a c b >>D.b c a>>【答案】A【分析】利用指数指数函数的性质及特殊角的正弦值计算即可.【详解】易知00.9.9144a -⎛⎫= ⎪⎝⎭=，由于4x y =单调递增，所以041a b >>=，而πsin12=，所以4log 10c ==，综上c b a <<.故选：A6.已知函数()f x 是定义城为R 的奇函数，当0x ≤时，()2322f x x x =++，则32f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）.A.474B.474-C.234D.234-【答案】D 【分析】由3322f f ⎛⎫⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可求解.【详解】因为函数()f x 是定义城为R 的奇函数，233332332222224f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--+-+=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦故选：D7.若将函数ππ()sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移13个单位，得到函数图象解析式是（）A.πsin 2y x ⎛⎫=⎪⎝⎭ B.πsin 2y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.πcos 2y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.πcos 2y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C【分析】利用图象平移“左加右减”的原则，直接推出平移后的函数解析式即可．【详解】将函数ππ()sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移13个单位后所得到的函数图象对应的解析式为：1π1ππππ()sin ()sin cos 3233222f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭．故答案为：C ．8.若不等式()232911221e e x x a x x --++⎛⎫> ⎪⎝⎭对任意的()1,4x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为（）A.(),5∞--B.(],5-∞-C.[)1,-+∞ D.(),1∞--【答案】A【分析】化成同底数指数幂，然后参变分离，可知a 的取值范围.【详解】因为32219(1)221e()ex x x x a +--+>，所以32219(1)22e e x x x x a +++>，32219(1)22x x x x a ∴+>++，即324(1)x x x a ->+()1,4x ∈ ，241x x a ∴->+当2x =时，24x x -有最小值4-，145a a ∴+<-⇒<-，故选：A9.音乐是用声音来表达人思想感情的一种艺术，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受.法国的数学家傅里叶说：“任何声乐都是形如‘()sin t A ωϕ+’的各项之和”，其中每一项都代表一种有适当频率和振幅的简单声音.某音乐的数学模型可以用函数()cos sin f x x x =⋅表示，则下列结论中正确的个数是（）①()f x 是周期为π的周期函数②,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数()f x 的一个单调递增区间③若()()1214f x f x =-，12x x ≠，则12x x -的最小值为2π④()f x 的对称中心为,02k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z A.0个 B.1个C.2个D.3个【答案】C【分析】根据三角函数性质周期及对称中心判断①④，根据单调区间及值域分别判断②③.【详解】因为()()()()πcos πsin πcos sin f x x x x x f x +=++=-=-,所以周期不是π，①错误；πππ1πππ1cos sin cos -sin -444222444222f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯=-=⋅=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，ππ44f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦不是的单调递增区间，②错误；()1sin2,sin 021sin2,sin 02x x f x x x ⎧≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩,因为()()121,4f x f x =-设()()121122f x f x ==-，所以111222πππ,Z,π,Z 44x k k x k k ∈∈=+=-+,所以()121212ππ,Z 2x x k k k k ∈-=+--,所以12x x -的最小值为π2，③正确；()πππ22πcos 22πsin 22πcos sin 222f x k x k x k x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+=+⨯++⨯=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,④正确.故选：C.二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共计30分.）10.函数311x y a -=-（0a >且1a ≠）无论a 取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为________.【答案】1(,0)3【分析】根据题意，令310x -=，求得13x =和0y =，即可求解.【详解】由函数311x y a -=-（0a >且1a ≠），令310x -=，解得13x =，则0y =，所以函数恒经过定点1(,0)3.故答案为：1(,0)3.11.15πlg 25lg 2sin 24++=______.【答案】522-【分析】根据对数的运算性质和特殊角的三角函数值可求原式的值.【详解】原式13π32522lg 5lg 2ln e sin 1224222=⨯++-=+-=.故答案为：522-.12.tan 2x =，则3cos sin sin 5cos x xx x-=+________.【答案】17【分析】应用同角三角函数关系结合齐次式求解即可.【详解】因为tan 2x =所以3cos sin 3tan 321sin 5cos tan 5257x x x x x x ---===+++.故答案为：17.13.若实数1a >，2b >，且满足250a b +-=，则1112a b +--的最小值为______.【答案】3+##3【分析】将式子变形，利用常数代换，结合基本不等式即可求得最小值.【详解】因为250a b +-=，所以()()2121a b -+-=，又实数1a >，2b >，所以10,20a b ->->所以()()()211111221221121212a b a b a b a b a b --⎛⎫⎡⎤+=+-+-=+++ ⎪⎣⎦------⎝⎭()21233312a b a b --=++≥+=+--，当且仅当()21212250a b a b a b ⎧--=⎪⎨--⎪+-=⎩，即2221a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩时，等号成立，故答案为：3+14.砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形OCD 截去同心扇形OAB 所得图形，已知0.1m OA =，0.4m AD =，125AOB ∠=︒，则该扇环形砖雕的面积为________2m .【答案】π12【分析】根据题意，结合扇形的面积公式，准确计算，即可求解.【详解】因为扇形OAB 的院校为π25π12518036AOB ∠=⨯=，又因为0.1m OA =，0.4m AD =，所以，该扇环形砖雕的面积为()22125ππ0.50.123612S =⨯⨯-=.故答案为：π12.15.已知函数()2ln 1,022,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩若函数()()22m g x f x =-有三个零点，则实数m的取值范围________.【答案】()2,2-【分析】转化为=与22m y =的图象有3个交点，做出=的图象，结合图象可得答案.【详解】若函数()()22m g x f x =-有三个零点，则=与22m y =的图象有3个交点，()2ln 1,022,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，当0x ≤时，ln 10y x =-≥，当0x >时，()2222111y x x x =-+=-+≥，与y 轴的交点为0,2，()f x 的大致图象如下，要使=与22m y =的图象有3个交点，则2122m <<2m <<，或2m -<<.故答案为：()2,2-⋃.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是数形结合.三、解答题（本题共5小题，共75分.解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤，只有结果的不给分.）16.已知集合{}121A x a x a =+≤≤+，函数()23log 310y x x =--的定义域为B .（1）若集合R B C =ð，求集合C ；（2）在(1)条件下，若3a =，求()R A C ð；（3）在(1)条件下，若“x A ∈”是“x C ∈”充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}25x x -≤≤（2）4{|}2x x -≤<（3）(,2]-∞【分析】（1）由对数函数的性质，求得集合{2B x x =<-或5}x >，结合补集的运算，即可求解；（2）当3a =时，求得R {|4A x x =<ð或7}x >，结合集合交集的运算，即可求解；（3）根据题意，得到A 是C 的真子集，分类讨论，集合集合的包含关系，列出不等式组，即可求解.【小问1详解】解：由函数23log (310)y x x =--的定义域为B ，可得23100x x -->，即(2)(5)0x x +->，解得2x <-或5x >，所以集合{2B x x =<-或5}x >，所以{}R 25B C x x ==-≤≤ð.【小问2详解】解：当3a =时，集合{|47}A x x =≤≤，可得R {|4A x x =<ð或7}x >，因为{|25}C x x =-≤≤，所以()R {|24}A C x x ⋂=-≤<ð.【小问3详解】解：若“x A ∈”是“x C ∈”的充分不必要条件，所以A 是C 的真子集，当121a a +>+时，即0a <时，此时A =∅，满足A 是C 的真子集；当A ≠∅时，则满足21121512a a a a +≥+⎧⎪+≤⎨⎪+≥-⎩且不能同时取等号，解得02a ≤≤，综上，实数a 的取值范围为(,2]-∞.17.已知函数()23sin cos 2f x x x x =-+.（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数()f x 在2π,123π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值；（3）若π243f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求4πcos 23α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）π，单调减区间为()5π11ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.（2）min ()1f x =-，max ()1f x =（3）23-【分析】（1）化简函数为()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（2）由(1)得出函数()f x 的单调递增区间，结合π(12f -，5π()12f 和2π(3f 的值，即可求解；（3）根据题意，求得π3sin(2)62α+=，结合4ππ3πcos(2cos[(2)362αα-=+-，即可求解.【小问1详解】解：由函数()()22313sin cos 2sin cos 2cos 1222f x x x x x x x =-+=⨯--1πsin 22sin 223x x x ⎛⎫=-=- ⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，令ππ3π2π22π,Z 232k x k k +≤-≤+∈，可得5π11πππ,Z 1212k x k k +≤≤∈，所以()f x 的单调减区间为()5π11ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】解：由(1)知，函数的单调递增区间为π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，因为π2π,123x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在π5π,1212⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增，在5π2π,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且π()112f -=-，5π(112f =，2π(03f =，所以min ()1f x =-，max ()1f x =.【小问3详解】解：由函数()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得ππ2()sin(2463f αα+=+=，因为π4π3π(2(2632αα+--=，所以4ππ3ππ2cos(2)cos[(2]sin(2)36263ααα-=+-=-+=-.18.函数()22f x ax bx =++，,a b ∈R （1）若()0f x >的解集是{|1x x <或2}x >，求实数a ，b 的值；（2）当0a =时，若()()42f f x x =-，求实数b 的值；（3）a ∈R ，若()24f =，求()28f x x <-+的解集.【答案】（1）1a =，3b =-（2）2b =-（3）答案见解析【分析】（1）根据三个二次的关系可求参数的值.（2）先求出()()f f x ，再根据代数式恒相等可求b 的值.（3）原不等式即为2(32)60ax a x +--<，就a 不同情形分类讨论后可得不等式的解.【小问1详解】不等式220ax bx ++>的解集为{|1x x <或2}x >，0a ∴>，且220ax bx ++=的两根为11x =，22x =，3b a∴-=，22a =，1a =，3b =-.【小问2详解】()2()(2)(2)22242f f x f bx b bx b x b x =+=++=++=-，得24222b b ⎧=⎨+=-⎩，2b ∴=-.【小问3详解】(2)4220f a b =+-=，21a b ∴+=，12b a∴=-即2(32)60ax a x +--<，(3)(2)0ax x ∴+-<（1）当0a =时，2x <（2）当0a ≠时，则3(2)0a x x a +-<，①当0a >时，32x a -<<；②当0a <时，若32a -<，即32a <-时，3x a <-或2x >，若32a -=，即32a =-时，2x ≠；若32a ->，即302a -<<时，2x <或3x a >-；综上所述：当32a <-时，不等式的解集为3{|x x a <-或2}x >；当32a =-时，不等式的解集为{|2}x x ≠；当302a -<<时，不等式的解集为{|2x x <或3}x a>-；当0a =时，不等式的解集为{|2}x x <；当0a >时，不等式的解集为3{|2}x x a-<<.19.已知函数()()21,mx f x m n x n+=∈+R 是奇函数，且()()2g x f x =-一个零点为1.（1）求m ，n 的值及()f x 解析式；（2）已知函数()f x 在()0,1单调递减，()t x 在()()1,00,1-U 满足()()t x t x -=，当0x >时，()()t x f x =，若不等式()1412t a t ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围；（3）已知函数()()()()233ln 1ln 1h x f x x x k x =--++-+⎡⎤⎣⎦的一个零点为2，求函数()h x 的其余零点.【答案】（1）1m =，0n =，1()f x x x=+（2）3111[,(,]8448a ∈---- （3）0，4.【分析】（1）根据零点和奇函数的定义，联立方程组，解得,m n 的值，得到()f x 解析式，验证()f x 的奇偶性，即可得解；（2）依题意利用偶函数和单调性可得a 满足的条件，进而可求解a 的取值范围；（3）求出()h x 的解析式，依题意求出k ，进而可得ℎ的其他零点.【小问1详解】因为函数()g x 的一个零点是1，所以()10g =⇒(1)2f =，()f x 是奇函数，所以()12f -=-，所以，()()11211121m f n m f n +⎧==⎪⎪+⎨+⎪-==-⎪-+⎩，解得10m n =⎧⎨=⎩，()211x f x x x x+==+，定义域为()(),00,∞∞-⋃+.()(),00,x ∞∞∀∈-⋃+，都有()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，()f x 是奇函数，满足题意，故1m =，0n =，1()f x x x =+【小问2详解】函数()t x 满足()()t x t x -=，所以()t x 是偶函数且在(0,1)单调递减因为不等式()1412t a t ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭恒成立所以04111412a a ⎧<+<⎪⎨+≤⎪⎩，11102443188a a a ⎧-<<--<<⎪⎪⎨⎪-≤≤-⎪⎩或所以3111[,(,]8448a ∈---- 【小问3详解】()()21ln 1(3)h x k x x ⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭，因为函数ℎ的一个零点为2，所以210(23)k -=-，解得1k =.所以()()211ln 1(3)h x x x ⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭，令()0h x =，得2110(3)x -=-或ln(1)0x +=，解得0,2,4x =.所以函数()g x 的其余零点为0，4.20.已知()f x ，()g x 分别为定义在上的偶函数和奇函数，且()()2xf xg x +=.（1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）利用函数单调性的定义证明()f x 在区间[)0,∞上是增函数；（3）已知()()()2449F x fx mf x =-+，其中m 是大于1的实数，当[]20,log x m ∈时，()0F x ≥，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()()1222x x f x -=+，()()1222x x g x -=-（2）证明见解析（3）(]1,3【分析】（1）由函数奇偶性，构造方程组即可求解；（2）利用增函数的定义，结合指数函数单调性推理即得；（3）换元并求出新元的范围，转化为二次函数在闭区间上的最小值求解即可.【小问1详解】()f x ，()g x 分别为定义在上的偶函数和奇函数所以−=，()()g x g x -=-()()2x f x g x +=①，()()()()2x f x g x f x g x --+-=-=②，由①②可知，()()1222x x f x -=+，()()1222x x g x -=-【小问2详解】取120x x ∀>≥，()()()()11221211222222x x x x f x f x ---=+-+2112121212121222222222221212222x x x x x x x x x x x x x x --++--+-+--⎛⎫===- ⎪⎝⎭因为120x x >≥，所以12220x x ->，1221x x +>，121102x x +->，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，得证；【小问3详解】由已知()()()2449F x f x mf x =-+()2222244922x x x x F x m --⎛⎫⎛⎫++=⋅-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2222229x x x x m --=+-⋅++由(2)得()f x 在[]20,log m 上单调递增，1m ∴>，1()1,2m m f x ⎡⎤+⎢⎥∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦设122=2()2,x x t f x m m -⎡⎤=+∈+⎢⎥⎣⎦，令()2290G t t mt =-+≥0t > ，192m t t ⎛⎫∴≤+ ⎪⎝⎭，12,t m m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦而函数192y t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，在[]2,3t ∈上递减，在[]3,+t ∞∈递增①当13m m +≤时，35132m +<≤<，192t t ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，显然成立即312m +<≤②当13m m +>时，352m +>，min 193323y ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，3m ∴≤即353 2m+<≤综上所述，实数m的取值范围是(]1,3.。

天津市天津一中2022高一数学上学期期末考试试题

天津一中2022—2022学年第一学期期末高一数学试卷一选择题每题3分,共30分,每题只有一个正确的选项1 75cos 15cos 15cos 75cos 22++=A 26 B 23 C 45 D 143+2若α满足0sin cos ,0cos sin <-<αααα,则α在A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 3下列函数中周期为1的函数是A 1cos 22-=x yB x x y ππcos sin +=C )32tan(ππ+=x y D x x y ππcos sin ⋅=4函数)32cos(3π-=x y 的单调递减区间是 A )62,32(ππππ+-k kZ k ∈B )322,62(ππππ++k k Z k ∈ C )6,3(ππππ+-k kZ k ∈ D )32,6(ππππ++k k Z k ∈5函数)32cos(3π+=x y 的图象A 关于点)0,6(π-对称 B 关于点)0,12(π对称C 关于直线6π=x 对称 D 关于直线12π=x 对称6要得到函数)42sin(π+=x y 的图象,只需将函数x y 2sin =的图象A 向左平移4π个长度单位B 向左平移8π个长度单位C 向右平移4π个长度单位D 向右平移8π个长度单位 7已知函数)2sin(2θ+=x y 是偶函数,则θ的一个值是 A π B 2π- C 4π D 8π-8如图,函数),0,0)(sin(πϕωϕω<>>+=A x A y 的部分图象, 则函数的一个解析式为 A )322sin(3π-=x yB )32sin(3π-=x yC )322sin(3π+=x yD )32sin(3π+=x y9 在ABC ∆中,满足1tan tan >⋅B A ,则这个三角形是A 正三角形B 等腰三角形C 锐角三角形D 钝角三角形 10已知)2,0(π∈y x 、,且)sin(sin 2y x x +=,则与的关系是>21tan =α52)tan(=-βα)2tan(βα-),0(,31cos sin π∈=+x x x 1tan -=x y )52sin(3π+=x y 10π)2,1(),1,3(-=-=b a )2(b a -)(b a λ-λa b 10,(1,2)a b b ⋅==a =παπα22,312cos <<=ααααcos sin 32cos 2sin 12+-+0的最大值为23,最小值为21-,求a,b 的值=)2(cos )cos sin (cos 2π-+-x x x a x ,满足f 3π-=f0,⑴求函数f 的最小正周期;⑵求函数f在24114ππ≤≤x 上的最大值和最小值21已知向量)cos ,(sin ),sin ,(cos x x b x x a ==,且]2,0[π∈x ,⑴求b a ⋅的取值范围;⑵求证)4sin(2π+=x ;⑶求函数b a x f +-⋅=)(参考答案：一．选择题1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．B8．A9．C10．B二．填空题 11．8912．917-13．)()2,4[Z k k k ∈++ππππ14．f=3in2 15．21 16．2, 4三．解答题 17．解：原式=ααααcos sin 3cos sin +-724533sin 36cos 43222332cos 311cos 2312cos 22+=∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∴<<∴<<∴=∴=-⇒=原式又ααπαππαπααα ββαββαββαβαβαtan )22tan(1tan )22tan(])22tan[()2tan(344111)(2tan :.18⋅--+-=+-=-∴=-=- 解1tan 2tan 1tan 2tan 43911322tan 31tan 21)71(tan 171tan )tan(1)71(3417134=⋅+-=∴=-=∴=∴=-++=-=-⋅--=βαβαααααβα原式 19．解：∵b>0⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+∴2121212232b a b a b a20．解：（1）∵f=ainco-co 2in 2x x a2cos 2sin 2-=（2‘）∴T=π （6’）max min 1111(2)242421sin(2)126()1(8')()(10')2x x x f x f x ππππ≤≤∴≤≤≤-≤∴==21．解：（1）∵b a ⋅=in ·coin ·co=2in ·co=in2 2’ ∈[0,2π] ∴2∈[0, π] ∴b a ⋅∈[0, 1] 4’ （2）证明：∵b a +=coin, inco||2(cos (6')2sin()(8')43(3)[0,][,]2444()2||sin 2)42sin cos 2(sin cos )(9')a b x x x f x a b a b x x x x x x ππππππ∴+===+∈∴+∈=⋅-+=-+=-+)'5()62sin(22cos 2sin 3)()'3(321)32cos()32sin(2)0()3(ππππ-=-=∴=∴-=---∴=-x x x x f a a f f22211sin cos sin cos (1212(10')(1)2[2,1(12')t t x x x x t y t t t y -=+∴⋅=≤≤∴=--=--∴∈--解法：令22()sin 2)(9')4cos[2(x )])442sin ())1(10')44f x x x x x x πππππ=-+=-+-+=+-+-解法：)'12(]221,2[)(1)4sin(22--∈∴≤+≤x f x π。

2022-2023学年天津市和平区高一上学期期末数学试题(解析版)

2022-2023学年天津市和平区高一上学期期末数学试题一、单选题1．设全集{0,1,2,3,4,5}U =，集合{0,1,2,3},{2,3,4,5}A B ==，则()UA B =（）A ．{0}B ．{0,1}C ．{0,1,2,3}D ．{0,1,2,3,4,5}【答案】C 【分析】先求UB ，再求并集即可.【详解】由题可知：{0,1}U B =，而{0,1,2,3}A =，所以(){0,1,2,3}UAB =.故选：C2．命题“30,31x x x ∃>≥+”的否定是（） A ．30,31x x x ∃><+ B ．30,31x x x ∀<≥+ C ．30,31x x x ∀><+ D ．30,31x x x ∃<<+【答案】C【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题得答案. 【详解】命题“30,31x x x ∃>≥+”的否定是30,31x x x ∀><+．故选：C.3．砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形OCD 截去同心扇形OAB 所得图形，已知0.2m OA =，0.3m AD =，120AOB ∠=︒，则该扇环形砖雕的面积为（）A ．2m 5π B ．2m 10πC ．2m 100πD ．27m 100π 【答案】D【分析】根据扇形的面积公式公式即可求解．【详解】由2π120=3︒以及扇形的面积公式可得：()222212π12π12π7π0.20.30.2232323100ABCD COD AOB S S S OD OA ⎡⎤=-=⨯-⨯=⨯+-=⎣⎦扇环扇扇故选：D4．设a ，b 为实数，则“a b <”是“22a b <”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】利用特殊值，从充分性和必要性进行判断即可.【详解】取2,1a b =-=，满足a b <，但2241a b =>=，故充分性不满足；取2,1b a =-=，满足22b a >，但不满足a b <，故必要性不满足；故“a b <”是“22a b <”的既不充分也不必要条件. 故选：D .5．()cos 300-︒=（）A ．12B ．12-C D ．【答案】A【分析】根据三角函数诱导公式以及特殊角的三角函数值，可得答案. 【详解】()()1cos 300cos 36060cos602-︒=-︒+︒=︒=, 故选:A6．若0.213a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，31log 2b =，0.26=c ，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．a c b >>【答案】B【分析】利用0,1分段法确定正确答案.【详解】()0.210,13a ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，331log log 102b =<=， 0.20661c =>=，所以c a b >>. 故选：B7．函数3()ln f x x x=-的零点所在的大致区间是（） A ．(1,2) B ．(2,e)C ．1(,1)eD ．(e,3)【答案】D【分析】首先判断函数的单调性，再利用零点存在定理判断即可. 【详解】解：因为ln y x =与3y x=-在()0,∞+上单调递增，所以3()ln f x x x=-在()0,∞+上单调递增，又()3e 10ef =-<，()3ln310f =->，由()()e 30f f <，所以()f x 在(e,3)上存在唯一零点. 故选：D8．设()f x 是定义在[]22-,上的偶函数，当0x ≥时，单调递增，若()()10f m f m --<，则实数m 的取值范围（） A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】利用偶函数的对称性和单调性列不等式组求解即可.【详解】因为()f x 是定义在[]22-,上的偶函数，且当0x ≥时单调递增，则由()()1f m f m -<可得1122m m m m ⎧-<⎪-≤⎨⎪≤⎩，由()221m m -<即21m >解得12m >，所以由不等式组可解得1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故选：D9．已知函数()()πcos 202f x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象的一个对称中心为π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭，则下列说法不正确的是（）A ．直线5π12x =是函数()f x 的图象的一条对称轴 B ．函数()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度可得到cos 2y x =的图象D ．函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1-【答案】C【分析】先求得ϕ的值，然后根据三角函数的对称性、单调性、图象变换、最值等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意ππcos 063f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于πππ5π0,2336ϕϕ<<<+<，所以πππ,326ϕϕ+==，所以()πcos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，5π5ππcos cos π11266f ⎛⎫⎛⎫=+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A 选项说法正确. ππππ0,26662x x ≤≤≤+≤，所以函数()πcos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，B 选项说法正确.函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度得到πππ6cos 2cos 266y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以C 选项说法错误.πππ7π0,22666x x ≤≤≤+≤，所以当π5π2π,612x x +==时， ()f x 取得最小值为1-，D 选项说法正确.故选：C二、填空题10．函数()f x =____________．【答案】()[),01,-∞⋃+∞【分析】根据被开方数是非负数，求解分式不等式即可求得结果. 【详解】要使得函数有意义，则110x -≥，即10x x-≥，()10x x -≥且0x ≠，解得()[),01,x ∈-∞⋃+∞，故()f x 的定义域为()[),01,-∞⋃+∞. 故答案为：()[),01,-∞⋃+∞.11．不等式2144x x -≥的解集为______. 【答案】72,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据一元二次不等式的解法求得正确答案.【详解】2144x x -≥，()()24142470x x x x +-=+-≤，解得724x -≤≤，所以不等式2144x x -≥的解集为72,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：72,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12．若tan 2α=，则cos sin 3cos sin αααα+=-______.【答案】3【分析】根据同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【详解】cos sin 1tan 1233cos sin 3tan 32αααααα+++===---.故答案为：313．已知0x >，0y >，且2x y +=，则14x y +的最小值_________.【答案】92【分析】()141142x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，后利用基本不等式可得答案.【详解】()1411414522y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又0x >，0y >.则44y x x y +≥=，当且仅当4y x x y =，即2433x y ==，时取等号.故14x y +的最小值为92. 故答案为:9214．已知π1cos 33α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则π2πsin cos 63αα⎛⎫⎛⎫+++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭______. 【答案】0【分析】根据诱导公式求得正确答案. 【详解】π2πsin cos 63αα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭πππsin cos π233αα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππcos cos 033αα⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：015．已知函数22,1,()(21),1x x ax f x xa x a x ⎧-+-<-⎪=⎨⎪-+≥-⎩满足12,R x x ∀∈，当12x x ≠时，不等式1212()[()()]0x x f x f x --<恒成立，则实数a 的取值范围为_________．【答案】1[1,)2-【分析】根据给定条件，可得函数()f x 在R 上递减，再结合分段函数分段求解作答.【详解】因12,R x x ∀∈，当12x x ≠时，不等式1212()[()()]0x x f x f x --<恒成立，则f (x )在R 上单调递减，由1,()(21)x f x a x a ≥-=-+知，210a -<，则12a <，当1x <-时，()2af x x x =--+，当0a ≤时，()f x 在(,1)-∞-上单调递减，此时31a a +≥-，解得1a ≥-，则10a -≤≤，当0a >时，因函数(0)ay x x x =--<在(,-∞上单调递减，在(上单调递增，而函数()2a f x x x =--+在(,1)-∞-上单调递减，必有311a a+≥-⎧⎪⎨≥-⎪⎩，解得01a ≤≤，则102a <<，所以实数a 的取值范围为1[1,)2-.故答案为：1[1,)2-三、解答题 16．已知1sin 3α=，α为第二象限角. (1)求cos α的值； (2)求πcos 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】(1)【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系式求得cos α. （2）利用两角和的余弦公式求得πcos 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【详解】（1）由于1sin 3α=，α为第二象限角，所以cos α=（2）πππcos cos cos sin sin 444ααα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭13⎛=-= ⎝⎭17．计算：(1)211511336622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（式中字母均为正数）； (2)()()48392log 3log 3log 2log 2++. 【答案】(1)4a (2)2【分析】（1）根据指数运算求得正确答案. （2）根据对数运算求得正确答案. 【详解】（1）原式()()211115032623626344abab a +-+-=⨯-÷-⨯==⎡⎤⎣⎦.（2）()()48392log 3log 3log 2log 2++2233231143log 3log 3log 2log 2log 3log 23232⎛⎫⎛⎫=++=⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()2343log 3log 2232=⨯⨯⨯=. 18．已知函数()1423x x f x +=-+.（1）当()11f x =时，求x 的值；（2）当[]2,1x ∈-时，求()f x 的最大值和最小值．【答案】（1）2；（2）()max 3f x =，()min 2f x =【分析】（1）由()11f x =化简可得()()24220x x -+=，结合220x +>，可得24x =，进而可得结果；（2）令2x t =，将原函数化简为关于t 它的二次函数，根据二次函数的图象与性质，从而可找出函数的最大值和最小值．【详解】（1）当()11f x =，即142311x x +-+=时，()222280x x -⋅-=，∴()()24220x x-+=∵220x +>，∴240x -=，24x =，故2x =.（2令12,24xt t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，，∴原函数即可化为()222312y t t t =-+=-+，当1t =，即0x =时，函数的最小值()2min f x =，当2t =，即1x =时，函数的最大值()3max f x =，即函数的最大值和最小值分别为3和2.【点睛】本题考查了指数型复合函数的性质和应用，属于基础题．抓住题中的基本量与单位元，灵活地运用二次函数的图象与性质解题，是本题的关键19．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()22f x x x =-+(1)求函数()f x 在R 上的解析式:(2)若()f x 在[2,)b -上有最大值，求实数b 的取值范围；(3)若函数()()[]()2112g x f x ax x =-+∈，，记函数()g x 的最大值()h a ，求 ()h a 的解析式. 【答案】(1)2220()20x x x f x x x x ⎧+<=⎨-+≥⎩，，；(2)()(20]1-⋃+∞，，； (3)()2220221041,1a a h a a a a a a -+≥⎧⎪=-+-<<⎨⎪-+≤-⎩，，.【分析】（1）根据函数的奇偶性求解析式即可得解；（2）根据解析式作出大致图象，由数形结合求解；（3）根据二次函数的对称轴与所给区间分类讨论求解即可得解. 【详解】（1）()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =，若0x <，则0x ->，则()()()2222f x x x x x -=--+-=--，又由()f x 为奇函数，则()()22f x f x x x =--=+，综合可得， ()222020x x x f x x x x ⎧+<=⎨-+≥⎩，，. （2）由（1）的结论，()222020x x x f x x x x ⎧+<=⎨-+≥⎩，，，作图如下:若()f x 在[2)b -，上有最大值，即函数图象在区间[2)b -，上有最高点，必有20b -<≤或1b >，故b 的取值范围为: ()(20]1-⋃+∞，，. （3）当[]12x ∈，时，()()()221221g x f x ax x a x =-+=-+-+，则函数()g x 开口向下，且对称轴的方程为1x a =-，当11a -≤即 0a ≥ 时，函数()g x 在区间[]12，单调递减，故当1x =时，函数()g x 取得最大值，最大值是()()122h a g a ==-+，当112a <-< 即10a -<<时，函数()g x 在 []11a -，单调递增，在 []11a --，单调递减，故当1x a =-时，函数()g x 取最大值，最大值是()()2122h a g a a a =-=-+，当12a -≥，即 1a ≤- 时，函数()g x 在区间[]12，单调递增，故当2x =时，函数()g x 取得最大值，最大值是()()214h a g a ==-，故函数()g x 的最大值 ()22202210.4 1.1a a h a a a a a a -+≥⎧⎪=-+-<<⎨⎪-+≤-⎩，，20．已知函数()π36cos sin 62f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)求()f x 的最小正周期和对称中心； (2)求()f x 的单调递增区间；(3)若函数()y f x a =-在π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦存在零点，求实数a 的取值范围.【答案】(1)最小正周期为π，对称中心为ππ,0122k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z(2)πππ,π63k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z(3)[]0,3【分析】（1）化简()f x 的解析式，由此求得()f x 的最小正周期和对称中心. （2）利用整体代入法求得()f x 的单调递增区间.（3）由()0f x a -=，转化为求三角函数的值域来求得a 的取值范围. 【详解】（1）()π3ππ36cos sin 6cos sin cos cos sin 62662f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2332cos sin 2cos 12cos 222x x x x x =-⨯-=-1π32cos 23sin 226x x x ⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2=，令π2π6x k -=，k ∈Z ，解得，ππ122k x =+，k ∈Z ，所以函数()f x 的对称中心为ππ,0122k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z .（2）令πππ2π22π262k x k -+≤-≤+，k ∈Z ，解得ππππ63k x k -+≤≤+，k ∈Z ，所以函数()f x 的单调递增区间为πππ,π63k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（3）因为函数()y f x a =-在π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦存在零点，即方程πsin 263a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，当π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π2π20,63x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故[]πsin 20,16x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以013a≤≤，即03a ≤≤，故实数a 的取值范围为[]0,3.。