在勾股定理的教学中渗透数学思想方法
正确理解教材,有意识渗透数学思想方法——以勾股定理教学为例
Ｎ ｏ ． Ｏ ９ ． ２ Ｏ １ ３
Ｙ ｕ Ｓ ｈ ｕ ｒ ａ ｉ Ｘ ｕ ｅ Ｘ ｉ
２ ０ １ ３年第 ９期
正确理解教材 ， 有 意识 渗 透 数 学 思想 方 法
以 勾股 定理 教 学为例
唐 静
（ 南京市第三十九 中学， 江苏 南京 ２ １ ０ ０ １ ５ ）
直接 的应 用。
二、 教学建议 与思 考
（ 一） 教学建 议 活动一： 观察邮票上的图案和图案上的小方格的个数。数一数 小方格的个数， 算一算每个正方形的面积， 看一看三角形的边长 ， 找 找三 角形的边长 和相 应正 方形 面积 的关 系 。每 个步 骤学 生都 能 完成 ， 在 活动过程 中积 累感 性经验 ， 为下一步 的探索指 明方 向 。 活动 二 ： 观 察图 ２ ， 计算以 Ａ 口为 一 边 的 正方 形 的面 积 。你 准 备 如何求 这 个 正 方 形 的 面 积？ 直 接 数 方 格 还 可 行 吗 ？ 为什 么？ 有 什么好 办法 吗？试 试 看 ！小 组讨 论 交 流 计 算 这个 正 方 形 面 积 的方法 。总结 出“ 割” 和“ 补” 的方法 ， 渗透 化 归思想 。 活动三： 数学实验 ， 让学生 自由发挥画直角三角形。可 以因 势利导 ， 画一个 等腰直 角三 角形 ， 画直 角边分 别为 ２ 、 ３和 ３ 、 ４的直 角三角 形 ， 进 而 发 现 规 律 。注 意 不 能 从 加 法 计 算 的 结 果 中找 规 律， 那样 就变成 了小学 数学 。这里 恰恰 应 该 点拨 的是 正 方 形 的面 积与边 长建立 联 系， 体验 归纳 的思想 、 数形结 合 。 活动 四： 勾 股定理 的 简单运 用 。认识 勾 股 定理 ， 从 文 字叙 述 、 图形语 言和 和符号语 言 三方面 相互 转 换 ， 全 面 认 识 。安 排 例题 教 学， 已知直角 三角 形 中任 意 两 边 的 长度 ， 求 未 知 边 的 长度 。在 讲 解时 特别注 意书写格 式 和指 出其 中蕴含 的方程 的思想 。
勾股定理与数学思想方法
勾股定理与数学思想方法勾股定理是数学中的一个重要定理，在利用勾股定理解题时，常常把有关的已知量与未知量在图形中表示出来，这就是说，利用勾股定理解决问题时要用到“数形结合思想”，即在研究问题时把数和形结合考虑或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化。
因此，勾股定理体现了数形结合的思想。
除此之外，勾股定理还常常体现出以下三种数学思想，下面结合近年的中考试题举例说明：1. 方程思想方程思想是指对所求问题通过列方程（组）求解的一种思维方法，中考中用方程思 想求解的题目随处可见。
例1. （河北省2005）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图1所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图1（单位：cm ）。
将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有图1所示的A 、B 、E 三个接触点，该球的大小就符合要求。
图2是过球心O 及A 、B 、E 三点的截面示意图。
已知⊙O 的直径就是铁球的直径，AB 是⊙O 的弦，CD 切⊙O 于点E ，CD AC ⊥，CD BD ⊥。
请结合图1中的数据，计算这种铁球的直径。
图2解：连结OA 、OE ，设OE 与AB 交于点P ，如图3。
∴⊥⊥=,CD BD ,CD AC ,BD AC 四边形ACDB 是矩形。
CD 与⊙O 切于点E ，OE 为⊙O 的半径，4PE ,4BD AC 8PA ,16CD AB AC PE ,PB PA ABOE ,CD OE =∴===∴===∴=⊥∴⊥∴ 在OAP Rt ∆中，由勾股定理得22PA OA =2OP +，即222)4OA (8OA -+=，解得10OA =。
所以这种铁球的直径为20cm 。
2. 分类思想数学中的分类讨论就是把所研究的对象按可能出现的情况不重复、无遗漏地分别加以讨论，从而获得对问题完整的解答。
在这里充分体现了分类讨论的思想。
浅谈数学思想在勾股定理教学中的运用
一
１ ６ ｘ ＝４ ８， ‘ ＝３ ．
利用方程 和勾股定 理相结合 的方式 ， 就很 顺利 地求 出了肼韵 长度。这样 的解题思路不仅是初 中数 学教学 中最常见 的一种解题思路 ，而且还是初 中中 考 中必然会出现的一种解题方法。在面对这类题的 时候可 以先找到一个直角三角形 ，然后找 出折叠前 后相等 的量 ， 利用 已知条件和未知条件 ， 求 出三个边 然后利用勾股定理列 出相对应的方程并且求 出所应 得 的答 案 。
和１ ． ６ 米 进 行 比较 。
‘
从图 １ 中可 以先 求 出 底 部矩 形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ中直 角 ＡＡＢ Ｄ， 利用勾股定理就可以求 出Ｂ Ｄ的长度。
Ｄ Ｃ
Ｃ
Ｄ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｃ
Ｄ，
（ ２ ）
图３
。
图 １
解： ・ ． ＂ Ａ Ｂ ＝ Ａ Ｄ ＝ １ ， 根据勾股定理如果 直角 三角形 的两直角边长分别 为。 ， ｂ ， 斜边长为ｃ ， 那么ａ ２ ＋ ｂ ： ＝ ｃ ， 求 出Ｂ Ｄ ＝ 、 ／ 。 在 直 角 ＡＤ Ｄ＇ Ｂ中 Ｂ Ｄ ＝ 、 ／ ， Ｄ Ｄ 、 ＝ １
０
技 法 点 拨
数 学 思 想 在 勾 股 定 理 教 学 中 的
■ 徐
在初中数学 当中， 勾股定理是非常重要的 ， 在以 后 的高中学习过程 中也会经常性地应用到数学解题 过程 中。但是如果在初中没能掌握好勾股定理 的概 念和应用 ，那 么对学生以后 的学习和发展都是没有 定意义的。所 以说 ， 在初 中数学教学过程中 ， 一定 要让学生掌握好勾股定理的概念 以及应用 ，从而使 学生能够更好地学习。本文将数学思想和勾股定理 的应 用 结 合在 一 起 ，希 望 能够 更 好 地 帮 助学 生 学 习 勾股定理。
勾股定理教学中体现的数学思想
勾股定理教学中体现的数学思想丹阳市华南实验学校 夏青梅随着新课程标准的逐步实行与推广，数学教学在培养学生基础知识和基本技能的同时，应更加注重培养学生的思维能力。
本文以勾股定理的教学为例，谈谈新课程中体现的数学思想，与广大同仁共同探讨。
勾股定理是数学中的至宝，在古今中外数学发展史上，是一个最基本最重要的定理。
在运用勾股定理解决实际问题时，常会遇到一些疑难问题，若能结合运用一些数学思想方法，转换思维角度，便可使思路开阔，方法简捷。
现举例说明：一、化归思想所谓化归思想是把一个实际问题通过某种转化、归结为一个数学问题，把一个较复杂的问题转化、归结为一个简单的问题，这种化归思想不同于一般所讲的“转化”、“转换”，它具有不可逆转的单向性。
例1、 已知△ABC 中∠B=60°，∠C=45°，AB=4，求BC 的值。
评析：△ABC 为斜三角形，利用化归思想可通过化斜三角形为直角三角形，从而利用勾股定理得以解决。
过A 点作BC 边上的高AE ，将△ABC 分成两个特殊的直角三角形ABE 与ACE ，根据勾股定理由AB=4，∠B=60°，先分别求出BE=2，AE=22，再由∠C=45°得AE=CE ，求出CE=22，从而得到BC 的值为22+2。
本题将一个较复杂的问题转化归结为一个简单的基本的问题，从而得到解决。
例2、八（1）小刚同学代表学校在北京参加航模比赛，这天小刚与老师、同学兴冲冲来到机场，却遇到了一个大问题：机场规定旅客随机携带的物品的长、宽、高不得超过一米，而小刚的飞机模型却有1.6米长，飞机模型不能折断、拆卸，托运又来不及，怎么办呢？正当老师与同学们发愁的时候，小刚灵机一动，利用课堂上学到的知识将飞机模型完整地带上了飞机。
同样聪明的你，想到什么办法吗？并请你讲出其中的道理。
评析：这是一个生活实际问题，我们可以将它转化归结为一个数学问题。
先在底面ABCD 的直角三角形ABD 中利用勾股定理由AB=AD=1，求出对角线BD=2；再在对角平面D ’DBB ’的直角三角形DBD ’中，由DD ’=1, BD=2，求出BD ’=3，又因为3≈1.7＞1.6 ，因而便可判断能将飞机模型完整地带上了飞机。
如何在初中数学教学中渗透数学思想和方法
如何在初中数学教学中渗透数学思想和方法作者：陈卉来源：《中学课程辅导·教学研究》2020年第07期摘要：新课标指出初中数学教学中，要让学生获得必要的数学思想方法。
近些年来，各地的中考试题也越来越重视数学思想方法的考查，由此可以看出，在初中数学课堂中渗透数学思想和方法的重要性。
文章就如何在初中数学教学中渗透数学思想和方法进行了探究。
关键词：初中数学；数学思想和方法；渗透策略中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1992-7711（2020）04-0035一、在知识引入过程中渗透首先，可以借助“数学史”引入来渗透数学思想方法，数学史中包含了对数学内容、思想和方法演变的追溯，同时还对这些演变过程进行了探索，以及数学历史发展为人类所带来的影响等。
数学史不仅包含了数学内容，同时还涉及了历史、哲学等科学内容。
在实际教学中，适当的渗透数学史，不仅能激发学生对数学学习的兴趣，将数学思想方法潜移默化地融入到教学中，同时还能让学生知晓数学的历史，培养学生的民族自豪感和激发学生使命感。
比如在讲解《质数与合数》时，教师可以将陈景润与哥德巴赫猜想运用其中。
陈景润从沈元教授那里知道了哥德巴赫猜想，当时他就立志要取那颗数学皇冠上的明珠。
1966年，陈景润宣布证明了哥德巴赫猜想中的“1+2”，然后用了六年的时间对证明做了修改，这样坚持严谨的态度怎能不为之折服。
国外很多数学家证明“1+3”的时候，都用了大型的高速计算机，而陈景润却只是利用纸笔就完成了这一移动了群山的成就：陈氏定理——筛选法的光辉定点。
像这样励志的故事还有很多，比如祖冲之和圆周率，阿基米德与皇冠等等。
二、在知识形成过程中渗透数学知识的形成过程实际也是数学思想方法产生的过程，组织学生参与数学活动过程，不仅能帮助学生更好地掌握知识，同时还能培养学生的创造性思维与方法。
首先，要在概念讲授中进行渗透，教师要引导学生参與数学概念形成过程。
其次，在探求定理公式的过程中去发掘，数学定理、公式等有非常具体的论断，在学习过程中，教师要注重学生对这些结论进行探求和推导，找出其中的因果关系以及和其他相关知识的联系。
浅谈初中数学教学中数形结合思想的渗透――以勾股定理教学为例
浅谈初中数学教学中数形结合思想的渗透――以勾股定理教学为例摘要：数学是一门较难的课程，很多学生会因为自身的空间形象能力不足，逻辑思维不够而无法掌握其中的知识。
但是在新课改的影响下，在教学中教师越来越注重数学思想的渗透。
数形结合在教学中的应用尤为广泛，尤其在勾股定理教学中。
为此，教师从勾股定理这一部分的内容出发，对如何渗透该思想进行了分析。
关键词：初中数学；数形结合；勾股定理在本文中，笔者以勾股定理的教学为例，探讨数形结合思想在初中数学教学中的渗透途径与应用策略。
勾股定理是初等几何领域的重要定理，是数学家利用代数思想来表述和解决几何问题的伟大尝试。
一、以“课前导入”教学环节为平台渗透数形结合思想好的课前导入不仅活跃课堂氛围，还能引发学生思考。
在勾股定理教学中，教师采用故事导入与问题导入相结合的方式，实现数形结合思想的渗透。
具体教学设计如下：首先，教师在大屏幕上呈现著名的“毕达哥拉斯定理图片”，让学生观察图片中三个正方形的面积关系，以及三个正方形组成的三角形的三边关系。
到目前为止，无论是正方形的面积还是三角形的三边在学生的头脑中都只是直观的印象，学生的思维停留在“图”的阶段；其次，教师大概讲述毕达哥斯拉通过观察朋友家的地砖图案发现了直角三角形三边之间特殊的数量关系的故事。
在故事的启发下，学生的头脑中开始建立“图”与“数”的关系，萌生数形结合的想法；再次，教师要求学生再次观察图形，并尝试利用数量关系，论证三个正方形的面积关系。
于是，学生开始尝试通过“数数法”或者“割补法”来建立两个小正方形与一个大正方形之间的面积关系式，并得出“两个小正方形的面积和等于大正方形面积”的结论。
通过上述教学设计，教师引导学生在“形”中发现“数”的关系，再由“数”的关系判断“形”的类型，从而以课前导入环节为平台，实现数形结合思想的渗透与应用。
二、以“新知呈现”教学环节为平台渗透数形结合思想在勾股定理的新知呈现环节，教师可以进行以下教学设计：首先，在新情境中提出新问题。
初中数学教学中如何渗透数学思想与方法
初中数学教学中如何渗透数学思想与方法摘要：在学生知识学习开展的过程中，数学的思想方法往往是核心所在。
所以，在当前，初中教师在数学教学开展的过程中，也应该结合学科的属性和特点不断的加强数学思想与方法的运用，帮助学生由浅入深的进行掌握等。
这样可以使得学生在学习的过程中掌握知识的本质，使得学生在问题解决当中有更多的技巧，带动学生的思维和能力得到发展。
关键词：初中数学；数学思想与方法；渗透前言：在新课改不断的带动下，初中教师在数学教学中的目标和方向也发生了一定的转变，不再只是局限在学生成绩的提升上，而是应该引导学生从学会到会学不断的转变，使得学生在知识探寻的过程中有更多的方法。
所以，在当前数学教学的开展中，教师就应该在课程教学中抓住契机加强数学思想及方法的渗透，使得学生的思维及能力变得活跃，达到最佳的课程效果。
1.基于数学史介绍进行渗透在数学教学开展的过程中，数学史是非常重要的一项内容，可以使得学生对知识的来源加深理解，提高学生的学习兴趣，带动学生的数学素养得到不断的提升。
所以，教师在初中数学教学中就可以结合数学精华——数学史来加强数学思想与方法的渗透，使得学生在知识获取的过程中也可以大胆质疑、自主探索，使得学生在数学学习的过程中可以有更多的收获。
例如，在讲解“勾股定理”这一知识点的过程中，教师就可以结合知识点的来源加强思想方法的渗透，使得学生可以对这一部分知识产生更加全面和深刻的理解。
比如，教师在这部分教学中可以借助多媒体在大屏幕中为学生展现赵爽的勾股方圆图，让学生观察和思考。
在后续教学开展的过程中，教师就可以借助这一直观图为学生加强讲解，让学生在知识掌握的过程中实现数形结合，使得学生在知识掌握的同时也对该思想方法产生一定的认知和理解，实现思想和方法的良好渗透。
1.借助概念定理讲解进行渗透在数学知识的体系当中，概念和定理是非常重要的基础，也是教师在数学课程中有效渗透数学思想与方法的有效契机[1]。
所以，教师在课程教学开展的过程中，在概念和定理的讲解中也应该符合初中生的思维和认知特点，做到由浅入深，带动学生的思维变得更加活跃，使得思想与方法在概念定理的讲解中得到渗透，达到最佳的课程实践效果。
勾股定理教学中体现的数学思想
勾股定理教学中体现的数学思想
勾股定理是数学中最著名的定理之一，它指出，在直角三角形中，两条直角边的平方和等
于斜边的平方。
勾股定理的教学不仅仅是传授知识，更重要的是培养学生的数学思维能力。
首先，勾股定理教学中体现的数学思想是抽象思维。
在教学中，教师要求学生把三角形的
三条边看作是一个抽象的概念，而不是具体的物体，这样学生就可以把它们看作是一个数
学模型，从而更好地理解勾股定理。
其次，勾股定理教学中体现的数学思想是归纳思维。
在教学中，教师要求学生从实际出发，从实际的三角形中抽象出一般的三角形，从而归纳出勾股定理。
最后，勾股定理教学中体现的数学思想是推理思维。
在教学中，教师要求学生从勾股定理
出发，推理出其他的数学定理，如勾股定理的变形，勾股定理的应用等，从而更好地理解
勾股定理。
总之，勾股定理教学中体现的数学思想是抽象思维、归纳思维和推理思维，它们是数学思维能力的基础，也是数学学习的基础。
只有掌握了这些数学思想，学生才能更好地理解勾股定理，并运用它来解决实际问题。
数学《勾股定理》教学反思
数学《勾股定理》教学反思数学《勾股定理》教学反思1对于“勾股定理的应用”的反思和小结有以下几个方面：1、课前准备不充分：基础题中是一些由正方形和直角三角形拼合而成的图形（与希腊邮票设计原理相同），其中两个正方形的面积分别是14和18，求最大的正方形的面积。
分析：由勾股定理结论：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。
其实质即以直角三角形两直角边为边长的两个正方形面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。
但学生竟然不知道。
其二是课件准备不充分，其中有一道例题的答案是跟着例题同时出现的，再去修改，又浪费了一点时间。
其三，用面积法求直角三角形的高，我认为是一个非常简单的数学问题，但在实际教学中，发现很多学生仍然很难理解，说明我在备课时备学生不充分，没有站在学生的角度去考虑问题。
2、课堂上的语言应该简练。
这是我上课的最大弱点，我不敢放手让学生去独立思考问题，会去重复题目意思，实际上不需要的，可以留时间让学生去独立思考。
教师是无法代替学生自己的思考的，更不能代替几十个有差异的学生的思维。
课堂上老师放一放，学生得到的更多，老师放多少，学生就有多大的自主发展的空间。
但这里的“放多少”是一门艺术，我要好好向老教师学习！3、鼓励学生的艺术。
教师要鼓励学生尝试并尊重他们不完善的甚至错误的意见，经常鼓励他们大胆说出自己的想法，大胆发表自己的见解，真正体现出学生是数学学习的主人。
4、启发学生的技巧有待提高。
启发学生也是一门艺术，我的课堂上有点启而不发。
课堂上应该多了解学生。
数学《勾股定理》教学反思2反思之一：教学观念的转变。
“教师教，学生听，教师问，学生答，教师出题，学生做”的传统教学摸模式，已严重阻碍了现代教育的发展。
这种教育模式，不但无法培养学生的实践能力，而且会造成机械的学习知识，形成懒惰、空洞的学习态度，形成数学的呆子，就像有的大学毕业生都不知道1平方米到底有多大？因此，《新课标》要求老师一定要改变角色，变主角为配角，把主动权交给学生，让学生提出问题，动手操作，小组讨论，合作交流，把学生想到的，想说的想法和认识都让他们尽情地表达，然后教师再进行点评与引导，这样做会有许多意外的收获，而且能充分发挥挖掘每个学生的潜能，久而久之，学生的综合能力就会与日剧增。
勾股定理中的数学思想方法
勾股定理中的数学思想方法勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，在数学发展中起着重要的作用．它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，把数与形统一起来，在现实世界中有着广泛的应用．勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a b c 222+=； 逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a b c 222+=，那么这个三角形是直角三角形．勾股定理揭示了直角三角形三边关系的重要性质；它的逆定理则是从三角形三边关系判定三角形是否是直角三角形的一个方法．学习《勾股定理》这一章，除了掌握上述两个定理之外，还应了解：这一章中蕴含着哪些重要的数学思想方法？在运用勾股定理解题时，若能正确地把握数学思想，则可思路开阔，方法简便快捷，下面举例说明，供同学们参考． 一、数形结合思想勾股定理本身就是数形结合的定理，它的验证和应用，都体现了数形结合的思想． 例1．如图1是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②′，…，然后依次类推，若正方形1的边长为64cm ，则正方形的边长为 cm ．析解：这是一类关于“勾股树”（国外叫做“毕达哥拉斯树”）的探讨题，主要考查灵活运用勾股定理解决问题的能力，这里只要由勾股定理的规律通过一系列的探索就可以得到答案是8．例2．有一直立标杆，它的上部被风吹折，杆顶着地，离杆脚20cm ，修好后又被风吹杆，因新断处比前次低了5cm ，且标杆顶着地处比前次远10cm ，求标杆的高．析解：依题意作图如2，数形结合求解，设第一次吹折后下段AB 的长为xcm ，上段BC 的长为ycm ，第二次折后下段AD 的长为（x-5）cm ，上段DE 的长为（y+5）cm ，依题意得⎪⎩⎪⎨⎧=--+=-22222230)5()5(20x y x y只要求出x+y 的值即求出标杆的高而不必单独求x 与y 的值．②-①得10（x+y ）=500∴x+y=50故标杆的高为50cm评析：利用三边的平方关系或辅助线或生活常识可获得直角三角形，进而可求边长或面积．数形结合思想是数学中的重要思想方法，它可以使抽象的知识转化为形象的图形，从而处理起来，更直观、容易，应引起同学们的重视．二、方程思想例3．在印度数学家拜·斯加罗的著作中，记载了一个有趣的“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺声红莲；图1出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”，请你用学过的数学知识回答这个问题．析解：此诗的大意是：在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面0.5尺，忽然一阵狂风把荷花吹在水中淹没了，最后荷花垂直落到湖底，到了秋天，渔翁发现，落到湖底的荷花离根部有2尺远，如图，你知道这个湖的水深是多少尺吗？解答过程应该是这个样子的：设水深为x 尺，根据勾股定理，可得2222(0.5)x x +=+，所以x=3.75，故这个湖的水深是3.75尺． 三、转化思想例4．如图3所示，有一根高为2m 的木柱，它的底面周长为0.3m ，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从柱底向柱顶均匀地缠绕7圈，一直缠到起点的正上方为止，问：小明至少需要准备多长的一根彩带？分析与解：（1）将一张直角三角形的纸片在铅笔上缠绕七圈，将纸片展开，发现彩带的长相当于直角三角形的斜边长（如图4），可以利用勾股定理求出彩带的长．∵BC 为木柱的高，∴2m BC =.又∵木柱的底面周长为0.3m ，∴AC 的长为0.37 2.1m ⨯=．在Rt ACB △中，由勾股定理，得222AB AC BC =+，因此彩带的长为 2.9m AB =．（2）在木柱上均匀地缠绕7圈，相当于将木柱分成相等的七段，在每一段木柱上由底向正上方缠绕一根彩带，其侧面展开图是一个矩形，对角线的长为每段彩带的长（如图5）．∵EF 为木柱的17，∴2m 7EF =. 又∵DE 为木柱展开后的底面周长，∴0.3m DF =. 在Rt DEF ∆中，由勾股定理，得222DE DF EF =+， ∴29m 70DE =，因此，彩带的长为7 2.9m DE ⨯=． 评析：遇到一些空间问题，通过动手实际操作一下，建立实物模型，这是建立空间概念的良好训练方法；而对实际问题进行分解、转化是数学解题中常用的思路．四、分类讨论思想例5．如图6是一块长、宽、高分别为6厘米、4厘米、3厘米的长方题木块．一只蚂蚁要从木块的一定点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）．A .)323(+厘米B .97厘米C .85 厘米D .9厘米分析：这个问题是个空间问题，应该把他平面化．所以将长方体展开是解决本题的关键．分类一：我将长方体相邻两侧面展开可得图7，由图7，可得222310AB +==109． 分类二：我展开的图形和小敏的不一样，我的展开图如图8，根据图8可得22267AB +==85．分类三：我还有一种展开的方法，请大家看图9，这个时候我可得22294AB +==97． 评析：同学们思考的都非常有道理，通过比较我们可以发现沿图8的爬行路径路程最短，所以85=AB 厘米．故选C ．五、整体思想例6：（课本题）已知a 、b 、c 分别是Rt △ABC 的两条直角边和斜边，且a+b=14，c=10，则S △ABC =分析：一般的想法，要求直角三角形的面积，先求出其两条直角边a 、b ，则S △ABC 即可求出，但这样求a 、b 非常繁杂，甚至在现阶段不可能，如果注意到：S △ABC =ab 21，那么只要求出ab 这一整体就可以了．解、由a+b=14，两边平方得：a 2+2ab+b 2=196， 所以ab=()219622b a +- 根据勾股定理，a 2+b 2=c 2 所以，ab=21962c -=2101962-=48 因此S △ABC =ab 21=48例7：如图10，BC 长为3厘米，AB 长为4厘米，AF 长为13厘米．求正方形CDEF 的面积．分析：一般的想法，要求出正方形的面积，先求出其边长CF ；要求出CF ，先要求出AC ．好，现在我们就顺着这个思路来求．在Rt ABC △中，222223425AC AB BC =+=+=，所以5AC =，在Rt FAC △中，22222135194F C A F A C =+=+=，FC为多少？数不够用了！我们再去看一下题目，是让求正方形的面积，正方形的面积为2FC ，何必去求FC ，只要求出2FC 这个“整体”就可以，原来正方形的面积为194，我们已经求出来了！（解答过程请同学们完成） 评析：整体思想，有时可以便问题直奔主体，少走弯路，使问题的解决方便、快捷，在一定程度上，体现了解题者的目标意识．。
勾股定理与数学思想方法
勾股定理与数学思想方法李树臣勾股定理是数学中的一个重要定理，在利用勾股定理解题时，常常把有关的已知量与未知量在图形中表示出来，这就是说，利用勾股定理解决问题时要用到“数形结合思想”，即在研究问题时把数和形结合考虑或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化。
因此，勾股定理体现了数形结合的思想。
除此之外，勾股定理还常常体现出以下三种数学思想，下面结合近年的中考试题举例说明：1. 方程思想方程思想是指对所求问题通过列方程（组）求解的一种思维方法，中考中用方程思 想求解的题目随处可见。
例1. （河北省2005）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图1所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图1（单位：cm ）。
将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有图1所示的A 、B 、E 三个接触点，该球的大小就符合要求。
图2是过球心O 及A 、B 、E 三点的截面示意图。
已知⊙O 的直径就是铁球的直径，AB 是⊙O 的弦，CD 切⊙O 于点E ，CD AC ⊥，CD BD ⊥。
请结合图1中的数据，计算这种铁球的直径。
图2解：连结OA 、OE ，设OE 与AB 交于点P ，如图3。
∴⊥⊥=,CD BD ,CD AC ,BD AC 四边形ACDB 是矩形。
CD 与⊙O 切于点E ，OE 为⊙O 的半径，4PE ,4BD AC 8PA ,16CD AB AC PE ,PB PA ABOE ,CD OE =∴===∴===∴=⊥∴⊥∴ 在OAP Rt ∆中，由勾股定理得22PA OA =2OP +，即222)4OA (8OA -+=，解得10OA =。
所以这种铁球的直径为20cm 。
2. 分类思想数学中的分类讨论就是把所研究的对象按可能出现的情况不重复、无遗漏地分别加以讨论，从而获得对问题完整的解答。
在这里充分体现了分类讨论的思想。
借助数学文化 渗透数形结合思想——“勾股定理”教学设计与思考
教育界/ EDUCATION CIRCLE2021年第16期（总第440期）课例点评▲【摘要】勾股定理被称为“几何学的基石”，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，体现了“数”与“形”的互相转换，表明了数形结合思想在数学教学中有不可忽视的作用。
基于此，本文探讨了如何在“勾股定理”教学的各个环节渗透数形结合思想，旨在为中学数学教师的教学提供一些新的视角。
【关键词】数形结合思想；勾股定理；教学设计借助数学文化 渗透数形结合思想——“勾股定理”教学设计与思考江苏省南京市第二十九中学初中部 韩茂芳“数”与“形”是数学知识的两种表现形式，“数”体现在用数学语言表征数学概念、数学性质与数学定理等，而“形”是实物、图象与图形的表征。
勾股定理是中国传统数学文化代表之一，在教学中，为了让学生更深层次地领悟知识、感悟数形结合的思想，教师可以借助数学文化把数形结合思想融入各个教学环节中。
┈一、基于渗透数形结合思想的“勾股定理”教学设计（一）教材分析“勾股定理”是人教版数学教材八年级下册的内容，学生已经初步掌握开方、解方程、三角形等相关知识。
教师可以结合八年级学生具有较强的好奇心和求知欲的特点，在教学中分层、分阶段地渗透数形结合的思想。
基于此，教师可以借助数学文化载体，对定理的由来、探索证明方法、应用过程中渗透数形结合思想进行设计，为学生后续学习平面几何乃至立体几何做好铺垫［1］。
（二）教学目标（1）让学生主动探索“发现”勾股定理的证明过程，并会用面积法证明勾股定理。
（2）在探索与证明勾股定理的过程中渗透数形结合的思想方法，培养学生发现问题和总结规律的能力。
（3）在学生动手操作过程中，培养学生的合作学习的能力，使学生体会到勾股定理中“数”与“形”的关系，感受到数学中的美。
┈（三）教学重点、难点教学重点：探索勾股定理的推导过程。
教学难点：运用数形结合的思想证明勾股定理。
（四）教学过程【第一环节】实践操作，提出猜想，导入课题1.小组合作，感知数与形之间的奥秘教师课前准备好三张直角三角形纸片（三边长是勾股数），通过PPT展示以下任务。
勾股定理中的数学思想方法
勾股定理中的数学思想方法作者：祁静来源：《初中生世界·八年级》2014年第12期勾股定理是数学中几个重要定理之一，其中蕴含了多种数学思想方法，总结概括数学思想有利于透彻地理解所学知识，而熟练地运用这些思想则可提高独立分析问题、解决问题的能力.现将常见的数学思想列举如下.一、方程思想方程思想是初中数学中的一种基本的数学思想方法.在含有直角三角形的图形中，求线段的长往往要应用勾股定理，如果无法直接用勾股定理来计算，则需要列方程解决.【点评】勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程，所以在利用勾股定理求线段的长时常常利用解方程来解决. 勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个已知量，必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系，这一点是利用勾股定理求线段的长时需要明确的思路.二、数形结合思想所谓数形结合就是根据数与形之间的对应关系，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，从而达到迅速解决问题的目的.例2 在一棵树的10 m高处有两只猴子，其中一只爬下树直奔离树20 m的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，距离以直线计算，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？【分析】根据题意画出图形，再在直角三角形中运用勾股定理构建方程求解.解：如图2所示，【点评】在一些求值计算题中，有些题目没有给出图形，当画出符合题意的图形不唯一时，要注意分情况进行讨论，避免遗漏.四、转化思想转化思想是指将陌生的问题转化为熟悉的问题，将繁杂转化为简单，将综合转化为基本的一种解题手段.如在几何题中，将多边形转化为三角形，将空间图形转化为平面图形等都是转化思想的具体体现.例4 已知长方体的长BC=2 cm，宽AC=1 cm，高AA′=4 cm. 一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近？最短路程是多少？【分析】在长方体上爬行，从A点爬到B′点至少需要经过两个面，因此蚂蚁爬行路线是曲线或折线，不易计算其长度，将长方体沿棱打开，则从A点爬到B′点的距离是线段AB′的长度.解：根据题意，如图6所示，最短路径有以下三种情况：答：最短路径为（1）所示的5 cm.【点评】在立体图形的表面讨论最短距离，求解的基本步骤是：（1）将立体图形转化为平面图形，长方形通常有几种不同的展开方式，而正方体、圆柱、圆锥通常只有一种；（2）连接两点，利用“两点之间线段最短”，求得两点之间线段长度，通过比较，得出答案.（作者单位：江苏省镇江市外国语学校）。
例谈五种数学思想在《勾股定理》教学中的渗透
１ ｋ ｍ 在公路上的费用为 ５ 忌 ， 考虑 选址 在 Ｄ 时 ， 总 物 流 费用 为 Ｙ一 ３ ｋ Ｂ Ｄ１ ＋５ ｋ Ｄ１ Ｃ一 （ ３ Ｂ Ｄ１ ＋５ Ｄ１ Ｃ） 忌 ， 而
解： 如 图 １所 示 ， 建 立平 面直角 坐标 系， 设 动 点 Ｐ（ ｘ， ） ， 且点 Ｐ到 两定 点 Ａ、 Ｃ的距 离 比值 为 ３：５ ， 所
长．
Ｃ
要爆破 ， 已知 点 Ｃ与 公路 上 的停 靠 站 Ａ 的距 离 为 ３ ０ ０米 ， 与公 路 上 的 另一 停靠 站 Ｂ 的距 离 为 ４ ０ ０米 ， 且 Ｃ Ａ上Ｃ Ｂ， 如 图 ２所 示． 为 了安 全 起
图２
解： 设Ｃ Ｅ： ｃ ｍ， 。 ． ‘ ＡＣ 一４ ｃ ｍ，
图 １
经整理化简 得动 点 Ｐ（ ｚ ， ） 的轨迹 方 程 ： ２ ｘ ２ ＋２ ｙ 。 ＋４ ５ 一４ ５ ０ —０ ， 令 一 ０ ， 得 ｚ４ － ５ （ 舍 正值 ） ， 即 得 点 Ｄ（ 一１ ５ ， ０ ） ， 则 Ｄ Ａ一１ ｌ ５ ， Ｄ Ｃ ＝２ ５ ． 所 以点 Ｄ位于线段 ＡＢ上距离 Ａ 点 １ ５ ｋ ｍ处．
１ ９
Ｅ ． 啪 ｉ ｌ ： ｚ ｘ ｃ ｋ ｌ ｋ ＠１ ６ ３ ・ ｃ 。 Ｉ ｛ ｌ
数学 ・ 教 学经 纬
分析 ： 如图３ ， 本 题关 键 是要 求 对此要分三种情况 ： 、
点 ｃ到直线 Ａ Ｂ 的距离 Ｃ Ｄ， 等积思 想就是求 Ｃ Ｄ 的思维方法． 解： 如图 ３ ， 作 Ｃ Ｄ Ｊ ＿ ＡＢ， 垂足 为 点 Ｄ， 在 Ｒ ｔ △Ａ Ｂ Ｃ中 ， ＡＣ ＝３ ０ ０ ， Ｂ Ｃ
（ Ｅ ｌ Ｄ １ ＋Ｄ Ｃ ） ５ 足 ≥（ Ｃ Ｄ＋Ｄ Ｅ） ５ ｋ 一５ ｋ Ｃ Ｅ， 当且 仅 当点
北师大版八年级数学上册第1章勾股定理大单元教学设计
（一）教学重难点
1.重点：勾股定理的理解与应用，以及勾股定理的推导过程。
2.难点：勾股定理在实际问题中的灵活运用，以及运用勾股定理进行几何作图和推理证明。
（二）教学设想
1.创设情境，引入新课
-通过生活中的实际例子，如建筑设计、测量等，引出直角三角形斜边长度的问题，激发学生探究兴趣。
-利用多媒体展示勾股定理的历史背景，让学生了解其产生与发展过程，增强学生的学习动机。
2.自主探究，发现定理
-设计一系列具有启发性的问题，引导学生观察、思考和讨论，让学生在自主探究中逐步发现勾股定理。
-鼓励学生尝试用不同的方法推导勾股定理，培养学生的发散思维和创新能力。
3.知识讲解，巩固提高
-对勾股定理进行详细讲解，让学生理解其内涵和外延。
4.布置课后作业，要求学生在课后进一步巩固勾股定理的知识。
五、作业布置
1.基础巩固题：完成课本第1章第3节后的练习题1、2、3，要求学生在理解勾股定理的基础上，熟练运用定理解决直角三角形相关问题。
2.提高拓展题：选取课本第1章第3节后的练习题4、5，引导学生运用勾股定理解决实际生活中的问题，提高学生的应用能力。
（二）讲授新知
1.通过动画演示，让学生观察直角三角形的三条边，引导学生发现直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方这一规律。
2.分组讨论，让学生尝试用自己的语言描述这一规律，并进行推导。
3.教师详细讲解勾股定理的推导过程，强调数形结合的数学思想。
4.介绍勾股定理的数学表达式：a² + b² = c²，解释其中各个字母的含义。
3.创新思维题：设计一道与勾股定理相关的开放性题目，要求学生运用所学知识进行解答，鼓励学生从不同角度思考问题，培养学生的创新意识。
数形结合思想在初中数学勾股定理教学中的渗透与应用
数形结合思想在初中数学勾股定理教学中的渗透与应用摘要：在现阶段，随着我国教育事业的不断发展，数形结合的数学教育思想已经被广泛地应用到日常的教学过程中，并且取得了理想的教学成效。
采用数形结合的教学方式，有利于让学生更加直观地了解出数字公式与图形之间的关系，在初中的数学教学中，应用数形结合的方式开展教育活动，能够将复杂的数学知识更加具象化，便于学生清晰透彻的理解公式内涵。
本文主要是阐述了数形结合思想在初中数学勾股定理教学中的具体应用，希望能够为不断提高初中数学教育水平提供参考意见。
关键词：数形结合；初中数学；勾股定理教学；具体应用数学学科相比于其他基础学科来说，本身就具有一定的逻辑性以及复杂性，数学内容教育的过程中，离不开数与形的教育，通过数形之间的有机转化，能够让学生获得更加便捷的解题渠道，有效地增强学生学习数学的热情。
数形结合的教育思想，对于初中的数学教育来说，具有至关重要的作用。
因此，初中的数学教师在开展数学教育活动时，必须有效地提高自身的知识技巧，让数学课堂更加丰富多彩。
在教学的过程中，教师要采用数形结合的方式，为学生提供更加便捷的解题方法，让学生树立有效的解题意识，不断促进数学教学活动的有序进行。
一、在课前导入环节渗透数形结合的教育思想课前导入环节，通过数形结合思想的渗透，以引导学生进入数学知识的情境，这样不仅能够有效地带动后续的课堂气氛，同时还能促进学生的思维能力相应提高。
在勾股定理的数学课堂教学中，教师可以采用故事引导或问题引导相结合的方式实现数形结合思想教育的渗透。
具体的教学设计方案如下：首先，教师在课前导入环节，可以利用多媒体设备播放关于勾股定理的图片，可以通过正方形的面积关系教学，引入三角形的三边关系。
在目前这个阶段，初中的教育内容中，无论是正方形的还是三角形的三边关系，在学生的脑海中呈现的都属于直观图片印象，学生的理解思维停留在图片阶段。
其次，教师大概讲述勾股定理后，可以让学生在课下观看有关于直角三角形的图案，让学生通过观察体会到直角、三角形三边之间的特殊数量关系。
例谈五种数学思想在《勾股定理》教学中的渗透
例谈五种数学思想在《勾股定理》教学中的渗透作者：曾祥华来源：《中学教学参考·理科版》2014年第01期数学思想方法是人们对数学知识内容本质的认识，是人们学习和应用数学知识过程中思维活动的向导.勾股定理是数学中的一个重要定理，因此在教学过程中要注意渗透以下五种思想，从而提高学生的解题能力.一、方程思想方程思想是从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，运用定义、公式、性质、定理和已知条件、隐含条件，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组等数学模型，从而使问题得到解决的思想方法.在勾股定理教学中，教师要注重培养学生方程思想，让学生学会设直角三角形的一边为x，再用x的代数式表示其他边，然后根据“勾2+股2=弦2”列出方程，最后解决问题.【例1】如图1，△ABC是直角三角形，DE是AB的垂直平分线，若AC=4cm，BC=3cm，求CE的长.解：设CE=xcm，∵AC=4cm，∴AE=AC-CE=（4-x）cm，通过以上设计的例题教学，一方面增强了学生探究的兴趣，另一方面也训练了学生如何将实际问题转化为数学问题，即建模的能力.如此设计例题教学符合建构主义学习观，符合高中阶段学生的思维特征，能促进学生创造性思维能力的培养，让例题教学的质量更高.四、化归思想化归思想是指在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决问题的一种方法.教育家波利亚曾经说过：“解数学题转化是关键，就是把那些陌生的、较为困难或复杂抽象的数学问题，通过某种转化方式转化为某些熟悉的、已经解决的或容易解决的数学问题.”因此，教师在教学过程中要注意渗透转化思想，从而提高学生应用勾股定理解决实际问题的能力.【例4】如图4，一块长、宽、高分别是6cm、4cm、3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是（）.连接EF，在Rt△EBF中，根据勾股定理得BE2+BF2=EF2.∵∠DCE=45°，∴∠2+∠4=∠4+∠3=45°，即∠DCE=∠ECF，∴△CDE≌△CFE，∴DE=EF，∴DE2=AD2+BE2.勾股定理这章蕴含了多种数学思想，而数学思想是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识，是数学教学的灵魂.因此，教师在勾股定理教学中要注意数学思想的渗透，让学生掌握这些基本的数学思想方法，从而提高他们的解题能力.。
论数形结合思想在初中数学勾股定理教学中的渗透与应用
论数形结合思想在初中数学勾股定理教学中的渗透与应用作者：贺洪秋来源：《新课程》2021年第37期摘要：数形结合是初中生必须要掌握的一项学习技能。
掌握科学有效的解题方法，才能够应用到实际问题中。
勾股定理是初等几何的重要定理，是数字与图形相互转换的生动例子。
结合实际举例对勾股定理的数形结合进行论证。
关键词：初中数学;数形结合;勾股定理数学概念对初中生而言有较高的难度，具备抽象性和概括性的特点，因此想让初中生更好地了解注重数学的内在逻辑，我们应该转化为具体的、可见的图形帮助初中生来学习，将抽象的数学语言转化为生动直观的图形，从而帮助学生更好地学习和掌握学习数学的方法。
本文主要以数形结合思想在勾股定理教学的应用，从导入新课、讲授新课、新课小结、作业等方面展开讨论。
一、在课前导入中渗入数形结合思想导入是吸引学生兴趣的切入点，是课堂的重要一步。
在学习勾股定理前，以生活图片导入，学习的内容来自生活，从而增强学生对数学学习的兴趣。
导入使用的图片是2002年被誉为“数学奥运会”的会徽，也是我们课本的封皮上的风车图片，第一个疑问，通过这个图片大家能看出一些什么内涵。
通过设疑，引起学生的好奇心，提高学生的学习兴趣。
二、讲授新课时渗透数形结合通过图片导入激发学生的学习兴趣，然后也让学生自己参与到课堂当中，发现问题并解决问题，也增加了学生对学习数学的兴趣，也更体现了学生的主体地位。
我们从等腰直角三角形得出，斜边的平方等于两个直角边的平方和。
那么直角三角形是不是也可以得出这个结论呢？我们继续探讨学习。
我们可以在网格内随意画出一个直角三角形，并作图以三角形的三条边延伸出三个正方形。
我们首先还是把形转化为数，分别求出三个正方形的面积，从而来判断三角形三边的关系。
从个性到共性，从特殊到一般，不仅是数形结合思想的深入，也会使学生的迁移能力和逻辑思维能力得到提升。
三、数形结合思想在初中数学勾股定理教学中的实例分析应用一根竹竿由于受大风影响从中部折断，已知切断点到地面的垂直距离是9米。
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在勾股定理的教学中渗透数学思想方法
东莞东华初级中学 陈佩弟
《全日制义务教育数学课程标准》指出:“通过数学学习,学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法.”数学思想方法是数学的生命和灵魂,是数学知识的精髓,是把知识转化为能力的桥梁.因此,在数学教学活动中,教师应重视数学思想方法的渗透,注重对学生进行数学思想方法的培养,为学生的持续学习和发展作好奠基.勾股定理是平面几何有关度量的最基本、最重要的定理,也是中考的重要考点之一,其中蕴涵着多种数学思想,现小结如下:
一.勾股定理与数形结合思想
所谓数形结合思想,就是抓住数与形之间本质上的联系,将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”,使复杂问题简单化、抽象问题具体化,从而达到迅速解题的目的.
勾股定理反映了直角三角形三条边之间的关系,它是把三角形有一个直角的“形”的特征,转化为三边“数”的关系,因此它是数形结合的一个典范.
例1:(课本P76习题18.2 T5)△ABC 中,AB=13cm,BC=10cm,BC 边上的中线AD=12cm.求AC 思考与分析:解答本题一定要先根据题意画出相应的图形,求出BD=CD=5cm ，再将题目所给的数据标在图上,得到如图,因此很容易就想到本题的解答思路是:先利用勾股定理的逆定理说明∠ADB=90°,从而∠ADC=90°,再用勾股定理即可求得AC
解: ∵AD 是BC 边上的中线
∴BD=CD=
21BC=21×10=5cm （由形到数） ∵169144251252222=+=+=+AD BD
1691322==AB
∴222AB AD BD =+
∴△ADB 为直角三角形,且∠ADB=90°（由数到形）
∴∠ADC=180°-∠ADB=90°
∴△ADC 为直角三角形 （由数到形） ∴131695122222==+=+=CD AD AC cm （由形到数）
B C D 13 12 5 5
反思:此题综合运用了勾股定理及逆定理,充分体现了由形到数,再由数到形的数形结合的思想,从中你可以体会到数形结合的奥妙.
二.勾股定理与分类讨论思想
分类讨论思想是指在解题过程中,当条件或结论不确定或不唯一时,往往会产生几种可能的情况,这就需要依据一定的标准对问题进行分类,再针对各种不同的情况分别予以解决,最后综合各类结果得到整个问题的结论.分类讨论实质上是一种“化整为零,各个击破,再积零为整”的数学方法.
例2:(课本P76习题18.2 T3)小明向东走80m 后,沿另一方向又走了60m,再沿第三个方向走100m 回到原地.小明向东走80m 后又向哪个方向走的?
思考与分析:观察数据80、60、100,根据勾股定理的逆定理可以判断出小明所走的路线形成了一个直角三角形,即小明向东走的80m 是一直角边,转了90°角后走的60m 是另一直角边,最后走的100m 是斜边.因此得到本题的关键是弄清楚转的90°是往哪个方向转的.情况不确定,故须分类讨论:如果往右转90°,则向南走;如果往左转90°,则向北走.从而得到答案是向南或北走.本题若利用数形结合的思想,根据题意画出如图,思考起来会更直观.
教师在讲解本题时也可以先让学生做课本P76练习 T3:A 、B 、C 三地的两两距离如图所
示,A 地在B 地的正东方向,C 地在B 地的什么方向?
这样设计的目的是让学生经历由易到难的过程,
通过类比学习,明白这两题的本质是:一题是明确给
出图形,情况唯一;另一题没有给图,情况不唯一,须 分类讨论.还有一道常考题:直角三角形的两条边长分别为3和4,则第三边长为 ,学生审题不清,或容易受到定势思维的影响而漏掉一种情况.教师也可以让学生先做:直角三角形的两条直角边长分别为3和4,则第三边长为 .对比学习,学生印象更深刻
反思:当已知条件中没有给出图形时,应认真读句画图,避免遗漏情况;另在直角三角形中,已知两边长但不明确是直角边还是斜边时,应分类讨论.
A B C 12km
13km
5km
北 南
南 北
三.勾股定理与方程思想
方程思想就是指在解决数学问题时,从分析问题的数量关系入手,通过设未知数,把问题中的已知量与未知量之间的数量关系联系起来,从而建立方程或方程组的数学模型,然后求解方程或方程组使问题得以解决.用方程思想分析、处理问题,思路清晰,解题灵活、简便.
例3:(课本P81复习题18 T7)一根竹子高1丈,折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处.折断处离地面的高度是多少?（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题.其中的丈、
尺是长度单位,1丈=10尺.）
思考与分析:本题若想直接在Rt △ABC 中运用勾股
定理求AB 是行不通的,因为只知道一条边BC 的长,AC 的长不知道,但AC 与AB 有关系AC+AB=10,因此可设AB 为x 尺,则AC 为（10-x ）尺,利用勾股定理可列出方程()222103x x -=+,解得x=4.55
反思:勾股定理说到底是一个等式,而含有未知数的等式就是方程,所以,在利用勾股定理求线段的长时常常利用列方程来解决.勾股定理表达式中有三个量,当无法已知两个量求第三个量时,应采用间接求法,灵活地寻找题中的数量关系,利用勾股定理列方程.
四.勾股定理与转化思想
转化思想是指将陌生的问题转化为熟悉的问题,将特殊的问题转化为一般的问题,将复杂的问题转化为简单的问题,将综合的问题转化为基本的问题等一种解题的手段.如解方程（组）问题中,高次转化为一次,多元转化为一元;在几何问题中,将多边形转化为三角形,将空间图形转化为平面图形等都是转化思想的具体体现.
例4:(课本P81复习题18 T8)已知圆柱的底面半径为6cm,高为10cm,蚂蚁从A 点爬到B 点的最短路程是多少厘米?（结果保留小数点后1位）
思考与分析:我们知道蚂蚁在圆柱表面爬行的路线是一条曲线,
目前学生还无法用所学的知识求曲线的长,另外,在一个曲面上,最
短的路线怎样走更是无从知道.但我们知道在平面几何中有一个结
论“两点之间,线段最短”,因此我们可以借助平面展开的方法,把圆
柱的侧面展开成一个矩形如图,AB 即为所求.通过分析可知AC 对应
圆柱的高10cm,BC 是底面圆的周长的一半即为π6,根据勾股定理得 ()m AB 3.213610061022
2≈+=+=ππ 反思:在立体图形的表面讨论最短距离,应先将立体图形转化为平面图形,再利用“两点
3尺 A
x
10-x B A ●
C
之间,线段最短”及勾股定理求解.本题还可以拓广到在正方体、圆锥、长方体中求最短距离.还应明确的是圆柱、正方体、圆锥的展开方式只有一种,而长方体的展开方式不只一种,须分类讨论,再通过比较得出最后的答案.
五.勾股定理与整体思想 整体思想是指对于某些数学问题,如果拘泥常规,从局部着手,则难以求解;如果把问题的某个部分或几个部分看成一个整体进行思考,就能开阔思路,较快解答题目.
例5.在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图）.已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ,求4321S S S S +++
思考与分析:本题不可能具体求出1S 、2S 、3S 、4S 的值,但我们可以利用三角形全等和勾股定理分别求出21S S +、32S S +、43S S +
解:易证Rt△ABC ≌ Rt△CDE
∴ AB = CD
∵222CE DE CD =+
∴2
22CE DE AB =+
∵32S AB =,42S DE =,32=CE ∴343=+S S
同理可得121=+S S
∴4314321=+=+++S S S S
反思:化分散为集中的整体策略是数学解题的重要方法,利用整体思想,不仅会使问题化繁为简、化难为易,而且有助于培养学生的创造性思维能力.
六.勾股定理与类比思想
类比思想是数学学习的一种重要发现式和创造性思维.它是通过两个已知事物在某些方面所具有的共同属性,去推测这两个事物在其他方面也有相同或类似的属性,从而大胆猜想
得到结论.
例6.（1）如图①,分别以Rt △ABC 的三边为边向外作三个正方形,其面积分别用1S 、
2S 、3S 表示,请说明132S S S =+
（2）如图②,分别以Rt △ABC 的三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用1S 、2S 、3S 表示,132S S S =+仍然成立吗?请说明理由.
（3）如图③,分别以Rt △ABC 的三边为边向外作三个等边三角形,其面积分别用1S 、
2S 、3S 表示,请你确定1S 、2S 、3S 之间的关系并加以证明.
古人云: “授人以鱼,不如授人以渔.”数学教师不仅要教会学生解题,更重要的是让学生学会解题的方法,让学生具备独立分析和解决问题的能力,从而达到举一反三的目的,这是二十一世纪现代素质教育的要求.因此,在数学课堂教学中,需要我们教师有意识的将这些数学思想方法加以点拨并渗透,这对学生来说是终生受益的.。