数学建模城市垃圾运输问题

货运公司运输问题数信学院14级信计班魏琮【摘要】本文是针对解决某港口对某地区8个公司所需原材料A、B、C的运输调度问题提出的方案。

首先考虑在满足各个公司的需求的情况下，所需要的运输的最小运输次数，然后根据卸载顺序的约束以及载重费用尽量小的原则，提出了较为合理的优化模型，求出较为优化的调配方案。

针对问题一，在两个大的方面进行分析与优化。

第一方面是对车次安排的优化分析，得出①~④公司顺时针送货，⑤~⑧公司逆时针送货为最佳方案。

第二方面根据车载重相对最大化思想使方案分为两个步骤，第一步先是使每个车次满载并运往同一个公司，第二步采用分批次运输的方案，即在第一批次运输中，我们使A材料有优先运输权；在第二批次运输中，我们使B材料有优先运输权；在第三批次中运输剩下所需的货物。

最后得出耗时最少、费用最少的方案。

耗时为40.3333小时，费用为4864.0元。

针对问题二，加上两个定理及其推论数学模型与问题一几乎相同，只是空载路径不同。

采取与问题一相同的算法，得出耗时最少，费用最少的方案。

耗时为26.3小时，费用为4487.2元。

针对问题三的第一小问，知道货车有4吨、6吨和8吨三种型号。

经过简单的论证，排除了4吨货车的使用。

题目没有规定车子不能变向，所以认为车辆可以掉头。

然后仍旧采取①~④公司顺时针送货，⑤~⑧公司逆时针送货的方案。

最后在满足公司需求量的条件下，采用不同吨位满载运输方案，此方案分为三个步骤：第一，使8吨车次满载并运往同一公司；第二，6吨位车次满载并运往同一公司；第三，剩下的货物若在1~6吨内，则用6吨货车运输，若在7~8吨内用8吨货车运输。

最后得出耗时最少、费用最省的方案。

耗时为19.6833小时，费用为4403.2元。

一、问题重述某地区有8个公司(如图一编号①至⑧)，某天某货运公司要派车将各公司所需的三种原材料A,B,C从某港口(编号⑨)分别运往各个公司。

路线是唯一的双向道路(如图１)。

货运公司现有一种载重6吨的运输车，派车有固定成本20元/辆，从港口出车有固定成本为10元/车次(车辆每出动一次为一车次)。

每辆车平均需要用15分钟的时间装车，到每个公司卸车时间平均为10分钟，运输车平均速度为60公里／小时(不考虑塞车现象)，每日工作不超过8小时。

运输车载重运费1.8元/吨公里，运输车空载费用0.4元/公里。

一个单位的原材料A,B,C分别毛重4吨、3吨、1吨，原材料不能拆分，为了安全，大小件同车时必须小件在上，大件在下。

卸货时必须先卸小件，而且不允许卸下来的材料再装上车，另外必须要满足各公司当天的需求量(见表１)。

问题：1、货运公司派出运输车6辆，每辆车从港口出发(不定方向)后运输途中不允许掉头，应如何调度(每辆车的运载方案，运输成本)使得运费最小。

2、每辆车在运输途中可随时掉头，若要使得成本最小，货运公司怎么安排车辆数？应如何调度？3、(1)如果有载重量为4吨、6吨、8吨三种运输车，载重运费都是1.8元/吨公里，空载费用分别为0.2，0.4，0.7元/公里，其他费用一样，又如何安排车辆数和调度方案？(2)当各个公司间都有或者部分有道路直接相通时，分析运输调度的难度所在，给出你的解决问题的想法(可结合实际情况深入分析)。

图１唯一的运输路线图和里程数表１各公司所需要的货物量二、模型假设1)运输车正常出车。

2)假设运输车不会因天气状况，而影响其行驶速度，和装载、卸载时间。

3)运输路不会影响运输车行驶速度。

4)多辆运输车可以在港口同时装车，不必等待。

5)8个公司之间没有优先级别，货运公司只要满足他们的需求量就可以。

三、问题分析运输过程的最大特点是三种原料重量不同，分为大小件，当大小件同车，卸货时必须先卸小件，而且不允许卸下来的材料再装上车，要区别对待运输途中是否可以调头的费用。

在问题一中，运输途中不能调头，整个送货路线是一个环形闭合回路，如果沿着某一方向同时给多家公司送货时，运输车必须为距离港口近的公司卸下小件，为距离港口远的公司运送大件；而在问题二中，运输途中可以调头，可以首先为远处公司运送小件，在返回途中为距离较近的公司卸下大件。

从表面上看，这样运输能够节省车次，降低出车费用。

但通过分析，在本题中，载重调头运输并不能降低费用。

运费最小是货运公司调度运输车的目标，运费包括派车固定成本、从港口出车成本、载重费用和空载费用。

建立模型时，要注意以下几方面的问题：目标层：如果将调度车数、车次以及每车次的载重和卸货点都设为变量，模型中变量过多，不易求解。

由于各辆运输车之间相互独立，可以将目标转化为：求解车次总数和每车次的装卸方案，安排尽量少的车辆数，每车次尽量满载，使总的运费最小。

约束层：(1)运输车可以从顺时针或者逆时针方向送货，要考虑不同方向时的载重费用；(2)大小件的卸车顺序要求不同原料搭配运输时，沿途必须有序卸货;(3)每车次的送货量不能超过运输车的最大载重量；(4)满足各公司当日需求。

四、符号说明和名词约定表2五、建立模型一、问题一i.车次规划模型的分析在符合载重相对最大化情况下，①~④公司顺时针送货为最佳方案，⑤~⑧公司逆时针送货最佳方案。

ii.模型建立根据车辆载重条件，可分为四种满载方案：第1种是每个车次装载2个单位B；第2种是每个车次装载6个单位C；第3种是每个车次装载1个单位A和2个单位C；第4种是每个车次装载1个单位B和3个单位C。

但基于要使总运费最少以及满足各公司每日需求。

筛选出两种运载方案：第1种为每个车次装载1单位A和2单位C；第2种是每个车次装载2个单位B。

并使每一车次在同一公司卸货。

具体程序见附录一。

然后，第一批次运输，我们使A材料有优先运输权，在保证满足各公司对A需求量条件下，1C与1A搭配满足载重相对最大化方法运输；第二批次运输，我们使B材料有优先运输权，在此次运输我们满足各公司尚缺B材料的量小于或等于2个单位；第三批次运输剩下所需的货物。

由此可知共出车28次。

如下表：表3iii. 目标分析运费最小是货运公司调度运输车的目标，运费包括派车固定成本、从港口出车成本、载重费用和空载费用。

符号说明和名词约定见表2。

；其中1d );12/51(*)n (times tt time ;)n (times *10)n (times *)n (2s *4.0)n (w *)n (1s *8.1y e arg ch 81n )d ()d (81n )d ()d (=++=+++=∑∑==操作程序见附录二。

最后经过模型的计算, 运输总费用为4864元，运输总时间为40.3333小时。

二、问题二i.车次规划模型的分析运载里程与空载里程相同（表四中的第28车次例外），且每次出车均不绕圈工作。

车辆载重行程是各公司到港口的最短路，且载重费用固定不变。

ii.模型建立根据第（1）问的分析，分为两种满载方案：第1种为每个车次装载1单位A和2单位C；第2种是每个车次装载2个单位B。

并使每一车次在同一公司卸货。

然后，采用批次运输方案：第一批次运输，使A材料有优先运输权，在保证满足各公司对A需求量条件下，C 与A搭配满足载重相对最大化方法运输；第二批次运输，使B材料有优先运输权，在此次运输满足各公司尚缺B材料的量小于2个单位；第三批次运输剩下的货物。

最终车次运载方案如下表：表4iii. 目标分析运费最小是货运公司调度运输车的目标，运费包括派车固定成本、从港口出车成本、载重费用和空载费用。

符号说明和名词约定见表2。

；其中（2d );12/5/30)n 1s (*)n (times tt time ;)n (times *10)n (times *)n (1s *4.0)n (w *)n (1s *8.1y e arg ch 81n )d ()d (81n )d ()d (=++=+++=∑∑==操作程序见附录三。

最后经过模型的计算, 运输总费用为4487.2元，运输总时间为26.3000小时。

三、问题三 第（1）小问：根据第题目分析，题目中给出了3种型号的货车，4吨，6吨，8吨。

而且没有规定不能掉头，故认为可以掉头。

假设在距离港口ｘ公里的地方，需要货物Ｍ吨，则使用4吨和8吨货车运送的费用如下（因为将Ｍ吨货物运送到目的地的载重费是相同的，故只关注空载费用和出车费用）4吨货车运送费用，M/4*(0.2*+10)； 8吨货车运送费用，M/8*(0.7*+10)；当ｘ>33.3时，使用4吨货车运输比8吨货车更省费用。

然而在允许掉头的情况下，按之前方案进行运送，没有超过33.3公里。

所以不需要使用4吨货车，只使用6吨，8吨货车搭配运货即可。

i.模型建立第一步，使8吨车次满载并运往同一公司；第二步，使6吨位车次满载并运往同一公司；运载方案如下表：表5第三步，经计算可知只剩下2,3,4,6,7公司需要C货物10吨，必须要用至少两个车次来运。

为了使费用降低，决定用2个6吨车次来运货，具体运载方案如下表：表6ii. 目标分析运费最小是货运公司调度运输车的目标，运费包括派车固定成本、从港口出车成本、载重费用和空载费用。

符号说明和名词约定见表2。

；其中（）（）（）（3d );12/530/)n 1s (*)n (times tt time ;)n (times )n (times *10)n (times )n (times *)n (1s *4.0)n (W)n (W *)n (1s *8.1y e arg ch 81n )d ()d ()2(81n )1()2()1()2()1()d ()d (=++=++++++=∑∑==操作程序见附录四。

最后经过模型的计算, 运输总费用为4403.2元，运输总时间为19.6833小时。

第（2）小问：当部分公司接通后，对于各个车辆的运输安排并不改变，就是找到通往该公司的路径最短，使总的运输费用最少，但是由于连通了各个公司的路径变得复杂，因此我们就忽略空载时的返回路径，仅仅考虑每一吨货物以最短的路径到达目的地。

此问题就可以看作是无向图来研究路线拓扑图，将所有公司和港口看作是节点，得到各节点之间最短的距离矩阵如下，A 9*9=[a 11,a 12```a 19;a 21,a 22```a 29;```;a 91,a 92```a 99]其中a ij 表示公司i 到公司j 的最短路径，当a ij 不存在时，记为无穷大，由Dijkstra 算法得到港口九到其他公司的最短路径，按照最短路径运输货物可以将费用降到最低。

六、附录附录一:model:sets:num/1..4/:x,a,b,c;endsetsdata:a=0,0,1,0;b=2,0,0,1;c=0,6,2,3;enddatamin=@sum(num(i):x(i));@sum(num(i):a(i)*x(i))>=18; !满足A类货物总数@sum(num(i):b(i)*x(i))>=18; !满足B类货物总数@sum(num(i):c(i)*x(i))>=26; !满足C类货物总数endclcs1=[8,15,24,29,23,15,11,5];s2=[52,45,36,31,37,45,49,55];w=[21,18,12,14,12,12,18,27];times=[4,3,2,3,2,2,3,6];tt1=4.9166;y1=576.6;sum1=0;sum2=0;sum3=0;for n=1:8sum1=sum1+1.8*s1(n)*w(n);sum2=sum2+0.4*s2(n)*times(n);sum3=sum3+10*times(n);endchange(1)=120+y1+sum1+sum2+sum3; disp('问题一运输总费用：');disp(change(1));tt=0;for n=1:8tt=tt+times(n)*(1+5/12);endTime(1)=tt1+tt;disp('问题一运输总时间：');disp(Time(1));结果为：问题一运输总费用：4.8640e+003 问题一运输总时间：40.3333clcs1=[8,15,24,29,23,15,11,5];w=[21,18,12,14,12,12,18,27];times=[4,3,2,3,2,2,3,6];tt2=4.1833;Y2=559;sum1=0;sum2=0;sum3=0;for n=1:8sum1=sum1+1.8*s1(n)*w(n);sum2=sum2+0.4*s1(n)*times(n);sum3=sum3+10*times(n);endchange(2)=80+y2+sum1+sum2+sum3; disp('问题二运输总费用：');disp(change(2));tt=0;for n=1:8tt=tt+times(n)*(5/12+s1(n)/30); endTime(2)=tt2+tt;disp('问题二运输总时间：');disp(Time(2));结果为：问题二运输总费用：4.4872e+003 问题二运输总时间：26.3000clcs1=[8,15,24,29,23,15,11,5];w=[0,12,0,0,6,6,0,6;24,8,8,16,8,8,16,24];times=[0,2,0,0,1,1,0,1;3,1,1,2,1,1,2,3];tt3=2.8;y3=376;sum1=0;sum2=0;sum3=0;for n=1:8sum1=sum1+1.8*s1(1,n)*(w(1,n)+w(2,n));sum2=sum2+0.4*s1(1,n)*times(1,n)+0.7*s1(1,n)*times(2,n);sum3=sum3+10*(times(1,n)+times(2,n));endchange(3)=60+y3+sum1+sum2+sum3;disp('问题三运输总费用：');disp(change(3));tt=0;for n=1:8for j=1:2tt=tt+times(j,n)*(5/12+s1(n)/30);endendTime(3)=tt3+tt;disp('问题三运输总时间：');disp(Time(3));结果为：问题三(1)运输总费用：4.4032e+003问题三(1)运输总时间：19.6833。