第3章 4 简支梁受均布荷载
弹性力学-第3章 4 简支梁受均布荷载
1 2
f ( y)x2
f1yx
f2y
（2）Φ必须满足相容方程，据此求待定函数
4
4 4
2
0
x 4
x 2y 2 y 4
代入应力函数后得到：
d 4 f y x2 d 4 f1y x d 4 f2 y 2 d 2 f y 0
2dy 4
dy 4
dy 4
dy 2
方程为x的二次方程(最多只有两个根)，要求全梁 范围内无论x取何值均成立(无数个根)，只有x的各 次幂的系数均为零：
A y 5 B y 4 Hy3 Ky 2 10 6
（b）
（3）根据（2—23）求出应力分量{；
x
2 y 2
x2 2
(6 Ay
2B)
x(6Ey
2F)
2 Ay 3 2By 2 6Hy 2K
（c）
y
2 x 2
Ay 3
By 2
Cy
D
（d）
xy
2
xy
x
3Ay 2
2By
c
L(3Ay2 c) (3Ey2 2Fy G) dy qL
2
以上两个等式两端相加得到：
h
2 h
(3Ey2
2Fy G)
dy
0
2
E
h
3
Gh
0
2
结合前页等式和上式得到：
E h 3 Gh 0 2
h2 (3E G) 0
4
E0 G0
注意：两端的y方向应力是共线的，所以只有合矢量积分条件
§3-4 简支梁受均布荷载
q
h
qL
0
2
x
h 2
qL
L
简支梁受均布载荷作用,试写出剪力和弯矩方程
一、简支梁的基本概念简支梁是一种常见的结构形式，其特点是两端固定支撑，中间无任何支撑，形成一个简单的横跨结构。
在工程建设中，简支梁常被用于桥梁、楼板等结构的设计与施工中。
当梁承受均布载荷时，其上产生的剪力和弯矩是设计和分析的重要参数。
二、受力分析的基本原理1. 剪力的定义和计算公式在简支梁上，当均布载荷作用时，梁体上的任意一截面上都受到来自上部和下部梁体的相互作用力。
剪力的大小可以通过以下公式计算：V = wL/2 - 信信其中，V代表该截面上的剪力，w代表均布载荷的大小，L代表梁的长度，x代表距离截面起点的距离。
2. 弯矩的定义和计算公式同样，在简支梁上，距离梁的任意一截面上也存在着弯矩。
弯矩的计算公式如下：M = wLx/2 - w*x^2/2其中，M代表该截面上的弯矩，w代表均布载荷的大小，L代表梁的长度，x代表距离截面起点的距离。
三、剪力和弯矩方程的推导1. 剪力方程的推导根据前文所述的剪力的计算公式，可以推导出简支梁受均布载荷作用时的剪力方程。
假设梁的起点为原点，横向为x轴方向，竖向为y轴方向，由上述公式可知，剪力V与距离x的关系为线性关系，斜率为wL/2，截距为0。
简支梁受均布载荷作用时的剪力方程为：V = wL/2 - 信信2. 弯矩方程的推导同样地，根据前文所述的弯矩的计算公式，可以推导出简支梁受均布载荷作用时的弯矩方程。
假设梁的起点为原点，横向为x轴方向，竖向为y轴方向，通过弯矩的计算公式可得知，弯矩M与距离x的关系为二次函数关系，并且开口向下。
简支梁受均布载荷作用时的弯矩方程为：M = wLx/2 - w*x^2/2四、结论与应用在工程设计中，通过以上剪力和弯矩方程的推导，可以为简支梁的设计、分析提供依据。
在实际工程中，根据预设的载荷情况和结构参数，可以通过计算得到不同截面处的剪力和弯矩，从而根据这些受力情况，进行梁的截面选取、钢筋布置、构造设计等工作。
剪力和弯矩方程的推导及其应用具有重要的实际意义和价值。
弹性力学8-逆解法、半逆解法、梁的纯弯曲
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
总结： （多项式应力函数 ( x, y) 的性质） 4 多项式次数 n < 4 时，则系数可以任意选取，总可满足 0 。 （ 1） 多项式次数 n ≥ 4 时，则系数须满足一定条件，才能满足 4 0 。 多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。
h y , f y ( y ) h 12ax 2 , f x ( xy ) h 0 y y 2 2 2
FN f x dy ah3 , FS f y dy 0, M f x ydy 0
第三章 平面问题直角坐标解答 本节内容 3.2 矩形梁纯弯曲
3、由边界形状和应力分量反推 出边界上的面力： 在主要边界上：
2 l 2 x , f x ( x ) x l 12ay , f y ( xy ) l 0 x 2 2 2 2 2
h 2 h 2 h 2 h 2 h 2 h 2
在次要边界上： l x , f x ( x ) x l 12ay 2 , f y ( xy ) l 0 x 2 2 2 h h h FN 2h f x dy ah3 , FS 2h f y dy 0, M 2h f x ydy 0
（2）应力函数： （3）应力函数：
b 2c
cy
2
y
xy b
2c
应力分量 x 2c, y 0, xy yx 0
x
y
结论2：二次多项式对应于均匀分布的应力。
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
第三章弹性力学平面问题的解析解法资料
ql z y l y l
ql x
xy y
—— 主要由剪力引起；
——由 q 引起（挤压应力）。
又∵ q =常数，图示坐标系和几何对称，∴ y 不随 x 变化。 推得：
y f ( y)
(2) 由应力分量表达式确定应力函数 ( x, y ) 的形式：
xf ( y ) f1 ( y ) (a) 2 x y 2 f ( y ) 积分得： x2 x f ( y ) xf1 ( y ) f 2 ( y ) (b) 2
x , y , xy
的某种函数形式 ； ，求 4 0
（3）最后利用式（2-26）计算出 x , y , xy 并让其满足边界条件和 位移单值条件。 —— 半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。
位移分量求解：
（1） 将已求得的应力分量 x , y , xy 代入物理方程，求得应变分量
x , y , xy（具有待
（3）再利用应力边界条件式（2-18），来考察这些应力函数φ(x,y) 对 应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数φ(x,y) 可以求 解什么问题。
半逆解法 （1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等）， （2）根据 x , y , xy 与应力函数φ(x,y)的关系及 出φ(x,y) 的形式； 假设部分应力分量
(e)
式中含有9个待定常数。
x2 ( Ay 3 By 2 Cy D) x( Ey 3 Fy 2 Gy) 2
A 5 B 4 ( y y Hy 3 Ky 2 ) 10 6
（ 2）
x , y , xy 将应变分量 x , y , xy 代入几何方程，并积分求得位移分量
弹性力学9-位移分量的求出、简支梁均布荷载
其中有三个关于 y 的待定函数：f（y）， f（y1） ， f（y2）。
第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载
(3)由相容方程求应力函数
将上步所得应力函数的一般形式代入无体力情况下的相 容方程，整理后有
1 4 f ( y ) 2 4 f1 ( y ) 4 f 2 ( y) 2 f ( y) x x 2 0 4 4 4 2 2 y y y y
代入第三式，并整理可得
v
M
2 EI
y f 2 ( x)
2
df1 ( y ) df 2 ( x) M x dy dx EI
第二章 平面问题的基本理论 3.3 位移分量的求出
（2 ）位移分量
df1 ( y ) df 2 ( x) M x dy dx EI
等式左右两边分别为 y 和 x 的函数，要想对于所有的 y 和 x 均成立，只可能两边都等于同一常数w：
M
l
1、形变分量与位移分量
M
x
1
h
（1）形变分量 将上节所求应力分量代入物理方程 y (2-8) 1 x ( x y ) E M x y 1 I y ( y x ) E y xy 0 2(1 ) xy xy E
M x y EI M y y EI xy 0
（c）几何方程积分计算位移表达式 （d）利用位移边界条件，确定常数。
第二章 平面问题的基本理论 本节内容 3.4 简支梁受均布荷载
内容要点： 用半逆解法求解梁的平面问题；体会理解半逆解法的 解题过程。
第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载
半逆解法步骤回顾：
(1)对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状、 受力特征和变形的特点或已知的一些简单结论，如材料力学 得到的初等结论，假设部分或全部应力分量的函数形式； (2)按式(2-24)，由应力推出应力函数 的一般形式（ 含待定函数项）；
建筑力学与结构第三章
M /l
V
Mb / l
M
Ma / l
讨论：集中力偶M作用点C处：
M V ( x) RB l a x l CB段 : M ( x) RB l x M l x a x l l
4、判断各段V、M图形状：
3.8 2.2 CA和DB段：
q=0，V图为水平线， M图为斜直线。
AD段：q<0， V 图为向下斜直线，
1.41
M图为下凸抛物线。
按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力P作用在梁AB的中点处）。 P A P A V B + M B x
Pa qa2 + 2 2
+ x
= +
V B
V=12KN/m
根据2-2截面右侧的外力计算V2 、 M2 V2 =+(V· 1.5)-RB =12· 1.5-29 =-11KN M2 =-(V· 1.5)· 1.5/2+RB· 1.5 =-(12· 1.5)· 1.5/2+29· 1.5 = +30 KN· m
M2 V2Βιβλιοθήκη RB第三章 静定结构的内力
MDC=30×2=-60KNM(左拉）
NDE=30KN(压力） VDE=40KN MDE= 30×2=-60KNM(上拉）
VBE=30KN
MBE= 0
60
180
30
40
30 80
M图（KNM）
30 40
V图（KN）
80
N图（KN）
三、三铰刚架弯矩图
弹性力学__徐芝纶版第三章
4 f
y4
0
4 f 0
一、逆解法和半逆解法 （一）逆解法的基本步骤：
取满足相容方程的 f
求出应力分量 x , y , xy
根据边界条件求出面力
考察能解决什么问题
§3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答
（二）半逆解法的基本步骤：
根据问题的特 点设出部分应 力分量
是 结束
否
求出应力函数 f
x
§3-3 位移分量的求出
0 u0 v0 0
y
z
u P x Eh
P x
v P y
Eh
习题
[1]写出边界条件。 解：
x x0,xb g( y h1)
0 xy x0,xb y y0 gh1, xy y0 0
y
P
hE
xy 0
u P x Eh
v P
y Eh
u v 0 y x
u
P Eh
x
f1y
v
P
Eh
y
f2 x
代入第三式得： df1 y df2 x 0
dy
dx
移项得： df1 y df2 x
u yh2 0
v yh2 0
hx1
g
b
h2
bb
y 22
FN gbh1
b
下边的等效应力边界条件： 0 y yh2 dx gbh1
b
0
xy
dx 0
y h2
b 0
y
y h2
简支梁、悬臂梁、外伸梁弯矩及剪力
简支梁、悬臂梁、外伸梁弯矩及剪力在结构力学中，简支梁、悬臂梁和外伸梁是常见的梁结构形式，它们在工程中有着广泛的应用。
要理解和设计这些梁结构，就必须清楚地了解它们所承受的弯矩和剪力的分布规律及计算方法。
首先，我们来看看简支梁。
简支梁是指梁的两端分别由铰支座支撑，其一端可以自由转动，另一端可以水平移动但不能竖向移动。
当简支梁上承受均布荷载时，其弯矩呈抛物线分布。
在梁的跨中，弯矩达到最大值，其值为qL²/8（其中q 为均布荷载，L 为梁的跨度）。
而剪力则是线性分布的，在梁的两端支座处，剪力达到最大值，其值分别为 ±qL/2。
如果简支梁上承受集中荷载，那么在集中荷载作用点处，弯矩会发生突变。
比如，一个集中力P 作用在简支梁跨中时，跨中弯矩为PL/4。
接下来，我们说说悬臂梁。
悬臂梁是一端固定，另一端自由的梁结构。
当悬臂梁承受均布荷载时，弯矩沿梁长线性增加，在自由端达到最大值，其值为 qL²/2。
剪力则保持不变，等于均布荷载 q 乘以梁的长度L。
若是悬臂梁上有集中荷载作用，在集中荷载作用点处，弯矩也会发生突变。
例如，一个集中力 P 作用在悬臂梁自由端时，自由端的弯矩为 PL。
最后，再讲讲外伸梁。
外伸梁是在简支梁的基础上，一端或两端伸出支座之外的梁结构。
外伸梁的弯矩和剪力分布比较复杂，要根据具体的荷载情况和外伸长度来确定。
但总体来说，外伸部分的弯矩和剪力与简支部分是相互影响的。
在实际工程中，准确计算这三种梁的弯矩和剪力至关重要。
因为弯矩和剪力直接关系到梁的强度和稳定性，如果计算不准确，可能会导致梁的破坏，从而影响整个结构的安全性。
例如，在建筑结构中，梁要承受楼板传来的荷载。
如果梁的弯矩和剪力计算错误，可能会导致梁在使用过程中出现裂缝、变形甚至断裂。
在桥梁工程中，桥梁的主梁通常也是以梁的形式存在。
如果对弯矩和剪力估计不足，可能会使桥梁在车辆荷载作用下发生过大的变形，影响行车安全和桥梁的使用寿命。
有限元例子-简支梁受均布荷载
例1 简支梁受均布荷载计算简图：图1-(a)所示一简支梁，高3 m，长18 m，承受均布荷载10 N/m2，E=2×1010Pa ,μ= 0. 167，取t=1 m,作为平面应力问题。
由于对称，只对右边一半进行有限单元法计算，如图1-(b)所示，而在y轴上的各结点处布置水平连杆支座。
图1 计算简图图2 计算剖分图数据整理1、节点坐标文件91 551 0.750 0.5002 1.500 0.5003 2.250 0.5004 3.000 0.5005 3.750 0.5006 4.500 0.5007 5.250 0.5009 6.750 0.50010 7.500 0.50011 8.250 0.50012 0.750 1.00013 1.500 1.00014 2.250 1.00015 3.000 1.00016 3.750 1.00017 4.500 1.00018 5.250 1.00019 6.000 1.00020 6.750 1.00021 7.500 1.00022 8.250 1.00023 0.750 1.50024 1.500 1.50025 2.250 1.50026 3.000 1.50027 3.750 1.50028 4.500 1.50029 5.250 1.50030 6.000 1.50031 6.750 1.50032 7.500 1.50033 8.250 1.50034 0.750 2.00035 1.500 2.00036 2.250 2.00037 3.000 2.00038 3.750 2.00039 4.500 2.00040 5.250 2.00041 6.000 2.00042 6.750 2.00043 7.500 2.00044 8.250 2.00045 0.750 2.50046 1.500 2.50047 2.250 2.50048 3.000 2.50049 3.750 2.50050 4.500 2.50051 5.250 2.50053 6.750 2.50054 7.500 2.50055 8.250 2.50056 9.000 3.00057 8.250 3.00058 7.500 3.00059 6.750 3.00060 6.000 3.00061 5.250 3.00062 4.500 3.00063 3.750 3.00064 3.000 3.00065 2.250 3.00066 1.500 3.00067 0.750 3.00068 0.000 3.00069 0.000 2.50070 0.000 2.00071 0.000 1.50072 0.000 1.00073 0.000 0.50074 0.000 0.00075 0.750 0.00076 1.500 0.00077 2.250 0.00078 3.000 0.00079 3.750 0.00080 4.500 0.00081 5.250 0.00082 6.000 0.00083 6.750 0.00084 7.500 0.00085 8.250 0.00086 9.000 0.00087 9.000 0.50088 9.000 1.00089 9.000 1.50090 9.000 2.00091 9.000 2.500该文件第1行第1个数据为节点数91，第2个数据为内部节点数55。
结构力学第三章静定结构的受力分析
例2： MA
A
MA
FP L/2 L/2
FP
MB
B 结论
把两头的弯矩标在杆
端，并连以直线，然
后在直线上叠加上由
节间荷载单独作用在
简支梁上时的弯矩图
MB MA
FPL/4
FPL/4
2020年5月29日星期五7时56分M25秒B
§3-1 梁的内力计算的回顾
3）画剪力图
要求杆件上某点的剪力，通常是以弯矩图为
C
B FQBA
由： MA 0 FQBA (81 26) 2 9kN
也可由： Y 0 FQCA 17 8 9kN
剪力图要注意以下问题： ▲ 集中力处剪力有突变； ▲ 没有荷载的节间剪力是常数； ▲ 均布荷载作用的节间剪力是斜线； ▲ 集中力矩作用的节间剪力是常数。
2020年5月29日星期五7时56分25秒
L/2
M/2
FPL/4
L/2
M
M/2
2020年L5/月229日星期五L7/时2 56分25秒
§3-1 梁的内力计算的回顾
2）用叠加法画简支梁在几种简单荷载共同作用下 的弯矩图
例1： MA
q
MB
q
A
B=
qL2/8
MA
MB
+
+
MA
=A
qL2/8
MB
B
2020年5月29日星期五7时56分25秒
§3-1 梁的内力计算的回顾
2020年5月29日星期五7时56分25秒
§3-1 梁的内力计算的回顾
正 MAB
杆端内力
FNAB
A端 FQAB
MBA 正
B端
FNBA
FQBA
钢结构基本原理第三章 构件截面承载力 强度
第三章 构件截面承载力--强度钢结构承载能力分3个层次截面承载力：材料强度、应力性质及其在截面上分布属强度问题。
构件承载力：构件最大截面未到强度极限之前因丧失稳定而失稳，取决于构件整体刚度，指稳定承载力。
结构承载力：与失稳有关。
3.1 轴心受力构件的强度及截面选择3.1.1 轴心受力构件的应用及截面形式主要用于承重钢结构，如平面、空间桁架和网架等。
轴心受力截面形式：1）热轧型钢截面2）冷弯薄壁型钢截面3）型钢和钢板连接而成的组合截面（实腹式、格构式）（P48页）对截面形式要求：1）提供强度所需截面积2）制作简单3）与相邻构件便于连接4）截面开展而壁厚较薄，满足刚度要求（截面积决定了稳定承载力，面积大整体刚度大，构件稳定性好）。
3.1.2 轴心受拉构件强度由εσ-关系可得：承载极限是截面平均应力达到抗拉强度u f ，但缺少安全储备，且y f 后变形过大，不符合继续承载能力，因此以平均应力y f ≤为准则，以孔洞为例。
规范：轴心受力构件强度计算：规定净截面平均应力不应超过钢材强度设计值f A N n ≤=/σN ：轴心拉力设计值； An ：构件净截面面积；R y f f γ/=: 钢材抗拉强度设计值 R γ:构件抗力分项系数Q235钢078.1=R γ，Q345，Q390，Q420111.1=R γ49页孔洞理解见书例题P493.1.3 轴心受压构件强度原则上与受拉构件没有区别，但一般情况下，轴心受压构件的承载力由稳定性决定，具体见4章。
3.1.4 索的受力性能和强度计算钢索广泛用于悬索结构，张拉结构，桅杆和预应力结构，一般为高强钢丝组成的平行钢丝束，钢绞线，钢丝绳等。
索是一种柔性构件，内力不仅与荷载有关，而且与变形有关，具有很强几何非线性，但我们通常采用下面的假设：1）理想柔性，不能受压，也不能抗弯。
2）材料符合虎克定理。
在此假设下内力与位移按弹性阶段进行计算。
加载初期（0-1）存在少量松弛变形，主要部分（1-2）线性关系，接近强度极限（2-3）明显曲线性质（图见下）实际工程对钢索预拉张，形成虚线应力—应变关系，很大范围是线性的高强度钢丝组成钢索初次拉伸时应力—应变曲线钢索强度计算采用容许应力法：k f A N k k //maxk N ：钢索最大拉力标准值 A ：钢索有效截面积k f :材料强度标准值 k ：安全系数2.5-3.03.2 梁的类型和强度3.2.1 梁类型按制作方法：型钢梁：热轧型钢梁（工字梁、槽钢、H 型钢）。
弹性力学第3章(徐芝纶第五版)
最主要量级q( l )2 h
,和次要量级 q l h
, 在材力
中均已反映,且与弹力相同。
最小量级 ~ q, 在材力中没有:
当lh
时,
仅占主项
M I
y
的1/15
( 6 %) ,
当 l 时h , 量级q 的值很小,可以不计。
弹力与材力的解法比较:
应力比较
弹力严格考虑并满足了A内的平衡微分 方程 ,几何方程和微分方程,以及S上的所有 边界条件(在小边界上尽管应用了圣维南 原理,但只影响小边界附近的局部区域)。
4 楔形体受重力和液体压力 问题
设有楔形体， 左面垂直，顶角为α， 下端无限长，受重 力及齐顶液体压力,
fx 0, f y 1g.
o
α 2g
y
x
n
α
2
1g
用半逆解法求解。
（1）用量纲分析法假设应力: （2）由应力~Φ关系式，Φ应为x,y的三次式，
（3）Φ 满足相容方程 4Φ 0.
（4）由 Φ求应力， （5）考察边界条件——本题只有两个大边 界，均应严格满足应力边界条件:
o
M
y
h/2
h/2
x
M
l
( l >>h)
半逆解法
3.半逆解法 步骤：
⑴ 假设应力的函数形式 （根据受力情况， 边界条件等）；
⑵ 由应力(d)式，推测 的Φ 函数形式；
⑶ 代入 4Φ，解0 出 ； Φ
半逆解法
⑷ 由式（d），求出应力；
⑸ 校核全部应力边界条件（对于多连体， 还须满足位移单值条件）. 如能满足，则为正确解答；否则修改假 设，重新求解。
为b,如图,水的密
度为 2 ，试求
第三章 连续梁桥内力次内力计算
• 实体截面：用于小跨度的桥梁（现浇）
• 空心板截面：常用于1530m的连续梁桥 （现浇）
• 肋式截面：常用跨度在1530m范围内， 常采用预制架设施工，并在梁段安装完 成之后，经体系转换形成连续梁。鱼腹 式
• 特点：构造简单，施工方便，适用于中、 小跨度的连续梁桥。
9
第三章 连续梁桥 第一节 概述
7
第三章 连续梁桥 第一节 概述
混凝土连续梁桥概述－布置
（2）梁高的选择
等高度连续梁
变高度连续梁
等截面连续梁
VS
变截面连续梁
➢梁高不变。具有构造、制造和施 工简便的特点。适用于中等跨度 （4060m左右）的、较长的桥梁。 可按等跨或不等跨布置。长桥多采
用等跨布置，以简化构造，统一模
式，便于施工。
➢更能适应结构的内力分布规律。受 力状态与其施工时的内力状态基本吻 合。梁高变化规律可以是斜（直）线、 圆弧线或二次抛物线。箱型截面的底 板、腹板和顶板可作成变厚度，以适 应梁内各截面的不同受力要求。
箱内外，配以横隔板、转向块等构
特点－减小截
造，对梁体施加预应力。
面尺寸；提高混
凝土浇筑质量；
无须预留孔道，
减少孔道压浆等
工序；施工方便
迅速，钢束便于
更换；钢束线形
容易调整，减小
预应力损失；但
其对力筋防护和
结构构造等的要
求较高，抗腐蚀、
耐疲劳性能有待
提高。
在桥梁工程中
有所应用（新桥
设计和既有桥梁
加固）。
37
第三章 连续梁桥 第一节 概述
混凝土连续梁桥概述－设计实例
38
第三章 连续梁桥 第一节 概述
混凝土连续梁桥概述－设计实例
第3章 平面静定结构受力分析(17)
第三章平面静定结构受力分析静定结构受力分析之歌内力分析要提升，等效截面法冲锋。
内力标记有新规，杆段截面都分明。
剪力轴力与前无异，弯矩顺时针恒正。
受力图上力已知，叠加绘图分分钟。
一、基本概念和公式1．任意截面x 的内力分量的求法。
图3-1截面x 上的内力分量表示段x 截面(a)(b)2q(c)32qa /2qa /-2e M qa =Cx F qa=Ax F qa=-AB C对于如题图3-1所示的平面力系，平衡截面法可表为N,,,Q,,,()()xA i x i xAxxCxA i y i yAxxCxA C i C i AxxCF F F F F F M M F M F =-==-==-=∑∑∑∑∑∑（3-1）N,,,Q,,,()()xC i x i xxCxAxC i y i yxCxAxC C i C i xCxAF F F F F F M M F M F =-==-==-=∑∑∑∑∑∑（3-2）式（3-1）中的第一个等式表明：Ax 段x 截面的内力分量等于本段上外力在相应方向上投影（或力矩）的代数和的负值—平衡截面法，第二个等式表明：Ax 段x 截面的内力分量等于另段xC 上的外力在相应方向上投影（或力矩）的代数和—等效截面法。
式（3-2）第一个等式表明：xC 段x 截面的内力分量等于本段上外力在相应方向上投影（或关于截面形心C 的力矩）的代数和的负值—平衡截面法，第二个等式表明：xC 段x 截面的内力分量等于另段Ax 上的外力在相应方向上投影（或力矩）的代数和—等效截面法。
式（3-1）的第二个等式更深刻和具体的表述为：Ax 段x 截面的内力的主矢和主矩等于xC 段上所有外力关于x 截面形心的主矢和主矩。
用内力分量表示就是：（1）Ax 段x 截面的轴力N,xA F 等于xC 段上所有外力在轴线方向投影的代数和；（2）剪力Q,xA F 等于xC 段上所有外力在竖直方向投影的代数和；（3）弯矩xA M 等于xC 段上所有外力关于x 截面形心的力矩的代数和。
均布荷载简支梁跨中弯矩计算公式
均布荷载简支梁跨中弯矩计算公式均布荷载简支梁跨中弯矩计算公式，这可是个在力学领域相当重要的知识点呢！咱们先来说说啥是均布荷载。
想象一下，有一根长长的梁，上面的力就像均匀撒下来的沙子一样，每个地方受到的力都差不多，这就是均布荷载。
那简支梁又是啥呢？简单来说，就是梁的两端就像被简单地支起来，能自由转动但不能移动。
有了这些基础，咱们就来看看均布荷载简支梁跨中弯矩的计算公式。
公式是：M = ql²/8 。
这里的“M”就是跨中弯矩，“q”代表均布荷载的大小，“l”则是梁的跨度。
为了让您更好地理解这个公式，我给您讲个我之前遇到的事儿。
有一次，我去一个建筑工地，看到工人们正在搭建一个临时的栈桥。
那栈桥就是用钢梁搭建的，很明显就是简支梁的结构。
我就好奇地和一位老师傅聊起来，问他怎么确保这个栈桥能承受住各种重量。
老师傅就指着那钢梁说：“这可都得靠咱们学的这些公式啊，就像这个均布荷载简支梁跨中弯矩的公式，算好了才能保证安全。
”然后他还详细给我解释，假如这个栈桥的跨度是 10 米，上面的均布荷载是每米 500 牛，那按照公式 M = 500×10²/8 ，就能算出跨中弯矩是 62500 牛·米。
通过这个计算，就能知道选用多粗的钢梁，多厚的钢板才能保证栈桥稳稳当当，不会出问题。
在实际工程中，这个公式的应用那可太广泛了。
比如说桥梁设计，要让大桥能承受住来来往往的车辆和人群；还有房屋的大梁，得保证房子能经得住风吹雨打。
总之，均布荷载简支梁跨中弯矩计算公式虽然看起来简单，但是作用可大着呢！只要我们能灵活运用，就能在各种工程和实际问题中发挥大作用，确保结构的安全和稳定。
不知道我这么讲，您是不是对这个公式有了更清楚的认识呢？希望您在遇到相关问题时，能想起这个公式，并用它解决难题！。
简支梁均布荷载跨中挠度公式推导
简支梁均布荷载跨中挠度公式推导简支梁是一种常见的结构形式，广泛应用于各种工程中。
当简支梁受到均布荷载作用时，会产生挠度。
本文将推导出简支梁均布荷载作用下的跨中挠度公式。
我们需要明确简支梁的定义。
简支梁是指两端固定支承，中间不受任何约束的梁。
在均布荷载作用下，简支梁会发生弯曲变形，产生挠度。
我们假设简支梁的跨度为L，均布荷载为q。
为了推导跨中挠度公式，我们需要利用弯曲理论和梁的基本力学原理。
根据弯曲理论，梁在任意截面处的曲率与弯矩之间存在一定的关系。
弯矩M可以表示为曲率k与横截面惯性矩I的乘积：M = E·I·k，其中E为梁的弹性模量。
假设简支梁在跨中处的挠度为y，我们可以通过对梁进行截面分析，得到跨中处的弯矩表达式。
由于均布荷载作用下的简支梁是对称的，我们只需要考虑一侧的弯矩。
在跨中位置处，弯矩的大小为M = q·L^2/8。
根据弯曲理论，我们可以得到跨中处的曲率表达式k = M/(E·I)。
将M的表达式代入，我们可以得到k = q·L^2/(8·E·I)。
根据挠度的定义，挠度可以表示为曲率的积分。
即y = ∫k·dx，其中x为梁上任意一点的位置。
由于简支梁是对称的，我们可以将积分范围限定在0到L/2之间。
将曲率的表达式代入积分式中，我们可以得到y = ∫(q·L^2/(8·E·I))·dx。
对该积分式进行计算，我们可以得到y = q·L^4/(384·E·I)。
至此，我们推导出了简支梁均布荷载作用下的跨中挠度公式。
根据这个公式，我们可以计算出简支梁在受到特定均布荷载作用时的挠度。
需要注意的是，此公式仅适用于满足以下条件的简支梁：梁的材料是均匀的、横截面形状是恒定的，并且梁的长度远大于横截面尺寸。
在实际工程中，我们可以利用这个公式来预测和设计简支梁的挠度。
均布荷载简支梁弯矩计算公式
均布荷载简支梁弯矩计算公式
（实用版）
目录
1.均布荷载简支梁的概念
2.均布荷载简支梁弯矩计算公式的推导
3.均布荷载简支梁弯矩计算公式的应用实例
4.结论
正文
1.均布荷载简支梁的概念
均布荷载简支梁是一种结构力学模型，它是指在梁的两端支撑在简支梁支座上，梁上施加的荷载均匀分布的一种梁。
这种梁在工程中有着广泛的应用，如桥梁、楼板等结构。
在计算均布荷载简支梁的弯矩时，需要用到相应的计算公式。
2.均布荷载简支梁弯矩计算公式的推导
均布荷载简支梁弯矩计算公式的推导过程如下：
假设均布荷载简支梁的长度为 L，梁的截面宽度为 b，截面高度为 h，均布荷载为 q。
为了计算弯矩，我们需要首先计算梁上的剪力 V。
根据力学原理，剪力 V 可以通过公式 V=ql/2 计算。
其中，l 为梁上任意一点的长度。
然后，根据弯矩的定义，弯矩 M 可以通过公式 M=V*h 计算。
将剪力V 的公式代入，可得 M=qlh/2。
这就是均布荷载简支梁弯矩计算公式。
3.均布荷载简支梁弯矩计算公式的应用实例
假设有一均布荷载简支梁，长度为 10m，截面宽度为 2m，截面高度为 1m，均布荷载为 2kN/m。
要计算该梁在距离支座 5m 处的弯矩，可以
使用上述公式进行计算。
首先，计算剪力 V：V=2kN/m * 5m / 2 = 5kN。
然后，计算弯矩 M：M = 5kN * 1m * 1m / 2 = 2.5kNm。
所以，该梁在距离支座 5m 处的弯矩为 2.5kNm。
均布荷载简支梁剪力
均布荷载简支梁剪力均布荷载简支梁剪力是工程力学中一个重要的概念。
在设计和实际应用中，准确计算梁的剪力是很关键的，因为它涉及到梁的承载能力和结构的稳定性。
本文将对均布荷载简支梁剪力的计算方法进行分步骤阐述。
第一步：确定梁的长度和荷载在计算剪力之前，必须先确定梁的长度和荷载。
梁的长度通常由设计要求决定，而荷载则是由梁所承受的外力决定的。
均布荷载是指在梁的整个长度上均匀分布的力。
因此，均布荷载的大小应该被平均分配到每一个长度上。
第二步：计算梁的反力在计算剪力之前，需要先计算梁端的反力。
在均布荷载的情况下，这个过程相对简单，并且可以使用平衡方程来得出。
对于简支梁来说，平衡方程可以写成：RA + RB = W × L，其中RA和RB分别是梁两端的反力，W是均布荷载大小，L是梁的长度。
第三步：绘制剪力图剪力图是描述梁在不同截面上的剪力大小和方向的图表。
在建立绘图坐标系后，可以根据梁受到的力和力的分布情况来绘制剪力图。
在均布荷载的情况下，梁在其一端的剪力大小等于所受荷载的一半，逐渐递减到梁另一端结束时为零。
因此，剪力图的形状呈现一个三角形。
第四步：计算最大剪力最后一个步骤是计算最大剪力。
最大剪力是剪力图中最高点的自然数值，也就是梁截面上受到的最大力。
在均布荷载情况下，最大剪力出现在梁的中点处。
计算最大剪力大小的公式为Vmax = Wl / 2。
总之，均布荷载简支梁剪力是一个重要的概念，在工程设计和实际应用中广泛使用。
通过以上谈及的方法，你可以轻松地计算出梁的反力，绘制剪力图，并计算出最大剪力大小，以支持工程结构的稳定和坚固。
简支梁均布荷载跨中弯矩
简支梁均布荷载跨中弯矩
1. 引言
简支梁是结构工程中常见的一种结构形式，用于承受各种荷载。
本文将介绍简支梁在均布荷载作用下的跨中弯矩计算方法。
2. 简支梁的基本概念
简支梁是指两端固定，中间不受约束的梁。
它可以承受集中力、均布力等各种形式的荷载。
在本文中，我们将重点讨论简支梁在均布荷载作用下的情况。
3. 均布荷载对简支梁的影响
均布荷载是指在一个区间内，每单位长度上所受到的力相等。
在简支梁上施加均布荷载时，会产生弯矩。
弯矩是指外力对物体产生的转动效应。
4. 均布荷载跨中弯矩计算方法
4.1 弯矩公式
根据力学原理，我们可以通过以下公式计算简支梁在均布荷载作用下的跨中弯矩：
M=wL2 8
其中，M表示跨中弯矩，w表示均布荷载的大小，L表示梁的长度。
4.2 示例计算
假设一根长度为10米的简支梁上受到均布荷载，荷载大小为100牛顿/米。
我们可以使用上述公式计算出跨中弯矩：
M=100×102
8
=1250Nm
因此，在这个例子中，简支梁在均布荷载作用下的跨中弯矩为1250牛顿米。
5. 结论
本文介绍了简支梁在均布荷载作用下的跨中弯矩计算方法。
通过使用弯矩公式，我们可以准确地计算出简支梁在给定均布荷载下的跨中弯矩。
这对于结构工程师来说是非常重要的，可以帮助他们设计出更加安全和稳定的结构。
希望本文对读者理解和应用简支梁的弯矩计算方法有所帮助，并能够在实际工程中得到有效应用。
第二篇第3章 简支梁计算
η2(y)—荷载横向分布影响线
2020/5/17
28
第四节 主梁内力横向分布计算
主梁活载计算步骤：
➢ 求某一主梁的最不利横向分布系数mi； ➢ 应用主梁内力影响线，在满足桥涵规定的车轮轮距限制
的条件下，使miPi 最大，确定车辆最不利位置，求
得主梁最大活载内力 (一般情况下，轴重力最大 的车轮置于影响线的最大 坐标可求得最大活载内力)
2020/5/17
37
小结
➢ 主梁内力横向分布计算 若某主梁内力
S= Pη (x,y)
≈ Pη2(y)η1(x) P’ =Pη2(y)
系数η2(y) 的作用相当于 将荷载P沿横向分配给指定 的梁，使该梁承受P ’的荷载 这样一来，可以将二维问题 转化为一维问题处理。
2020/5/17
38
第四节 主梁内力横向分布计算
沿梁轴的各个截面处的控制设计内力值的连线
2020/5/17
26
第四节 主梁内力横向分布计算
➢ 横向分布系数(m)的提出
对于一座由多片主梁组成的 梁桥，在荷载P作用下，各片 梁不同程度地参与工作，且 随荷载位置 (x,y)变化而变化
需了解某主梁所分担的最不 利荷载并确定截面不利内力
2020/5/17
例题2-3-1 P97
2020/5/17
22
第三节 主梁内力计算
一、恒载内力
前期恒载内力SG1 (主要包括主梁自重) 计算与施工方法有密切关系， 分清荷载作用的结构
后期恒载内力SG2 (桥面铺装、人行道、栏杆、 灯柱)
例题P99
2020/5/17
23
第三节 主梁内力计算
二、活载内力
表示沿结构跨长移动的单位力的作用 位置与由该单位力引起的结构支座反 力、截面内力、结点位移等量值之间 的关系的曲线
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（3—6）
5）通过几何方程、物理方程及两端位移约束条件， 可确定位移分量 u | x L 0 v | x L 0
y 0
y 0
与材力的结果比较
材力解
M x y I
弹力附加项（修正项）
y y2 3 q 4 2 h h 5
q y 2y 2 1 ( 1 ) 2 h h
2
上下边界结果汇总
h3 h2 h A B CD 0 8 4 2
h3 h2 h A B C D q 8 4 2
3 2 x( Ah Bh c) 0 4 3 2 x( Ah Bh c) 0 4
h (3E 2 Fh G) 0 4 h (3E 2 Fh G) 0 4
s
fx fy
s
a）考察下边界（主边界）
q
h 2 h 2
h y 2
下边界：
y y h 2
0
0
x
h3 h2 h A B CD 0 8 4
xy y h 2
0
3 x( Ah 2 Bh c) 0 4
h (3E 2 Fh G ) 0 4
（c）
（d）
（e）
上述应力分量满足平衡微分方程及相容方程，只 要选择适当的系数A、B…K常数，使所有边界条 件满足，则（c） 、 （d）、（e）为正确解答。
2 y Ay3 By2 Cy D 2 x xy x 3 Ay2 2 By c (3Ey2 2 Fy G)
d 4 f 2 y d 4 f y 2 d 4 f1 y d 2 f y x x 2 0 4 4 4 2 2dy dy dy dy
方程为x的二次方程(最多只有两个根)，要求全梁 范围内无论x取何值均成立(无数个根)，只有x的各 次幂的系数均为零：
d 4 f 2 y d 4 f y 2 d 4 f1 y d 2 f y x x 2 0 4 4 4 2 2dy dy dy dy
二次项系数 一次项系数
d 4 f y 0 4 dy
d 4 f1 y 0 4 dy
（1） （2）
零次项
d 4 f2 y d 2 f y 2 0 4 2 dy dy
（3）
由（1）、（2）式：
f ( y) Ay3 By2 Cy D
f1 ( y) Ey3 Fy2 Gy (常数项)
xy x3 Ay2 c (3Ey2 2 Fy G )
x L : x L:
L(3 Ay
h 2 h 2
2
c) (3Ey2 2 Fy G ) dy qL
L(3 Ay
h 2 h 2
2
c) (3Ey2 2 Fy G ) dy qL
y 0
QS * xy I 5qL4 v | x 0 24EI y 0
5qL4 3h 2 4 2( ) 24EI 5L 5 2
u |x L 0
y 0
qL
EI
材力
q
弹力
q
材力不考虑 这个应力
x
y
对于对称性问题
• • • • 教材中采用对称性来考虑问题也是可以的。 对称性包括：几何形状、应力和位移边界条件3方面 对称性是基于：原因对称则结果必然对称。 如果考虑了对称，则两端的边界条件只需要考虑一 端。不考虑对称条件则需要考虑两端的边界条件。 • 没有把握判断对称性的结果，最好老老实实用最基 本的公式来做。结果与考虑对称性是一致的。这一 点是今后科研时思考问题的要点。
以上两个等式两端相加得到：
(3Ey
h 2 h 2
3
2
2Fy G) dy 0
h E Gh 0 2
3
结合前页等式和上式得到：
h E Gh 0 2
h (3E G) 0 4
2
E 0 G0
注意：两端的y方向应力是共线的，所以只有合矢量积分条件
x s m xy s f x xy s m y s f y
h 2
a）考察上边界（主边界）
q
h 2 h 2
y
y y h 2
q
0
x
h3 h2 h A B C D q 8 4 2
L
L
xy y h 2
1 f ( y ) x 2 f1 y x f 2 y 2
由（3）式（x的零次幂项）：
d 4 f2 y d 2 f y 2 12Ay 4B 4 2 dy dy
A 5 B 4 f 2 ( y) y y Hy3 Ky 2 10 6 (一次项 ) (常数项 )
注意到材力的表达方式：
1 3 * h2 y2 I h ,S 12 8 2 q M ( L2 x 2 ), Q qL 2
应力分量： x
M y y2 3 yq 4 2 I h h 5 q y 2y 2 ) y 1 (1 2 h h QS * xy I
（a）
f ( y), f1 y , f 2 y 为待定函数 其中：
1 f ( y ) x 2 f1 y x f 2 y 2
（2）Φ 必须满足相容方程，据此求待定函数
4 4 4 2 2 2 0 4 4 x x y y
代入应力函数后得到：
2 2
B0
F 0
h (3E 2 Fh G) 0 4
2
x s m xy s f x xy s m y s f y
两端x=L处的积分边界条件
左边界(假设分布为Y,m＝0)：
q
l l
h 2 h 2
xy x L xy x L
作业：3-1，3-5，3－6
2 x 故：( x, y ) Ay 3 By 2 cy D 2 x Ey 3 Fy 2 Gy A 5 B 4 y y Hy 3 Ky 2 10 6
（b）
（3）根据（2—23）求出应力分量{；
2 x2 (6 Ay 2 B ) x (6 Ey 2 F ) x 2 2 y 2 Ay 3 2 By 2 6 Hy 2 K 2 3 2 Ay By Cy D y 2 x 2 x 3 Ay 2 2 By c xy xy (3Ey 2 2 Fy G )
Y
Y
0
qL L
x
qL
代入两端的l
2
xy y h Y
2
L
xy y h Y
y
两端积分：
h 2 h 2
Ydy qL
h 2 h 2
xy
x L
dy qL
h 2 h 2
xy
xL
dy qL
两端x=L处的积分边界条件
§3-4 简支梁受均布荷载
q
h 2 h 2
0
qL
x
qL
L
L
y
矩形截面简支梁，体力不计，求应力分量
半逆解法框图
由边界条件选择某 应力的函数式
逆解法框图
选择应力函数Φ
满足 4 0吗?
YES NO
积分求函数Φ
NO
满足 4 0吗?
YES
求应力分量
满足几何边界条件？
YES NO
求应力分量
NO
满足边界条件吗?
YES
结论
结论
q
上、下边界(主要边界)的边界条件：
0
h 2 h 2
y
y
h 2
y y h q 0
2
x
L
y
L
由于q沿x轴不变化，与x无关，故可假设
y f ( y) 也与x无关
则 y
2 f ( y) 2 x
f ( y) x f1 y x 1 f ( y ) x 2 f 1 y x f 2 y 2
0
y
3 2 x( Ah Bh c) 0 4
h (3E 2 Fh G) 0 4
2
2 3 2 x s m xy y Ay By Cy D 2 x xy x 3 Ay2 2 By c (3Ey2 2 Fy G) xy s m y