第3章 4 简支梁受均布荷载
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§3-4 简支梁受均布荷载
q
h 2 h 2
0
qL
x
qL
L
L
y
矩形截面简支梁，体力不计，求应力分量
半逆解法框图
由边界条件选择某 应力的函数式
逆解法框图
选择应力函数Φ
满足 4 0吗?
YES NO
积分求函数Φ
NO
满足 4 0吗?
YES
求应力分量
满足几何边界条件？
YES NO
求应力分量
s
fx fy
s
a）考察下边界（主边界）
q
h 2 h 2
h y 2
下边界：
y y h 2
0
0
x
h3 h2 h A B CD 0 8 4 2
L
L
y
xy y h 2
0
3 x( Ah 2 Bh c) 0 4
h (3E 2 Fh G ) 0 4
注意到材力的表达方式：
1 3 * h2 y2 I h ,S 12 8 2 q M ( L2 x 2 ), Q qL 2
应力分量： x
M y y2 3 yq 4 2 I h h 5 q y 2y 2 ) y 1 (1 2 h h QS * xy I
作业：3-1，3-5，3－6
y 0
QS * xy I 5qL4 v | x 0 24EI y 0
5qL4 3h 2 4 2( ) 24EI 5L 5 2
u |x L 0
y 0
qL
EI
材力
q
弹力
q
材力不考虑 这个应力
x
y
对于对称性问题
• • • • 教材中采用对称性来考虑问题也是可以的。 对称性包括：几何形状、应力和位移边界条件3方面 对称性是基于：原因对称则结果必然对称。 如果考虑了对称，则两端的边界条件只需要考虑一 端。不考虑对称条件则需要考虑两端的边界条件。 • 没有把握判断对称性的结果，最好老老实实用最基 本的公式来做。结果与考虑对称性是一致的。这一 点是今后科研时思考问题的要点。
二次项系数 一次项系数
d 4 f y 0 4 dy
d 4 f1 y 0 4 dy
（1） （2）
零次项
d 4 f2 y d 2 f y 2 0 4 2 dy dy
（3）
由（1）、（2）式：
f ( y) Ay3 By2 Cy D
f1 ( y) Ey3 Fy2 Gy (常数项)
0
y
3 2 x( Ah Bh c) 0 4
h (3E 2 Fh G) 0 4
2
2 3 2 x s m xy y Ay By Cy D 2 x xy x 3 Ay2 2 By c (3Ey2 2 Fy G) xy s m y
（a）
f ( y), f1 y , f 2 y 为待定函数 其中：
1 f ( y ) x 2 f1 y x f 2 y 2
（2）Φ 必须满足相容方程，据此求待定函数
4 4 4 2 2 2 0 4 4 x x y y
代入应力函数后得到：
xy x3 Ay2 c (3Ey2 2 Fy G )
x L : x L:
L(3 Ay
h 2 h 2
2
c) (3Ey2 2 Fy G ) dy qL
L(3 Ay
h 2 h 2
2
c) (3Ey2 2 Fy G ) dy qL
（3—6）
5）通过几何方程、物理方程及两端位移约束条件， 可确定位移分量 u | x L 0 v | x L 0
y 0
y 0
与材力的结果比较
材力解
M x y I
弹力附加项（修正项）
y y2 3 q 4 2 h h 5
q y 2y 2 1 ( 1 ) 2 h h
1 f ( y ) x 2 f1 y x f 2 y 2
由（3）式（x的零次幂项）：
d 4 f2 y d 2 f y 2 12Ay 4B 4 2 dy dy
A 5 B 4 f 2 ( y) y y Hy3 Ky 2 10 6 (一次项 ) (常数项 )
2
上下边界结果汇总
h3 h2 h A B CD 0 8 4 2
h3 h2 h A B C D q 8 4 2
3 2 x( Ah Bh c) 0 4 3 2 x( Ah Bh c) 0 4
h (3E 2 Fh G) 0 4 h (3E 2 Fh G) 0 4
d 4 f 2 y d 4 f y 2 d 4 f1 y d 2 f y x x 2 0 4 4 4 2 2dy dy dy dy
方程为x的二次方程(最多只有两个根)，要求全梁 范围内无论x取何值均成立(无数个根)，只有x的各 次幂的系数均为零：
d 4 f 2 y d 4 f y 2 d 4 f1 y d 2 f y x x 2 0 4 4 4 2 2dy dy dy dy
（c）
（d）
（e）
上述应力分量满足平衡微分方程及相容方程，只 要选择适当的系数A、B…K常数，使所有边界条 件满足，则（c） 、 （d）、（e）为正确解答。
2 y Ay3 By2 Cy D 2 x xy x 3 Ay2 2 By c (3Ey2 2 Fy G)
x s m xy s f x 来自百度文库 xy s m y s f y
h 2
a）考察上边界（主边界）
q
h 2 h 2
y
y y h 2
q
0
x
h3 h2 h A B C D q 8 4 2
L
L
xy y h 2
Y
Y
0
qL L
x
qL
代入两端的l
2
xy y h Y
2
L
xy y h Y
y
两端积分：
h 2 h 2
Ydy qL
h 2 h 2
xy
x L
dy qL
h 2 h 2
xy
xL
dy qL
两端x=L处的积分边界条件
以上两个等式两端相加得到：
(3Ey
h 2 h 2
3
2
2Fy G) dy 0
h E Gh 0 2
3
结合前页等式和上式得到：
h E Gh 0 2
h (3E G) 0 4
2
E 0 G0
注意：两端的y方向应力是共线的，所以只有合矢量积分条件
2 2
B0
F 0
h (3E 2 Fh G) 0 4
2
x s m xy s f x xy s m y s f y
两端x=L处的积分边界条件
左边界(假设分布为Y,m＝0)：
q
l l
h 2 h 2
xy x L xy x L
NO
满足边界条件吗?
YES
结论
结论
q
上、下边界(主要边界)的边界条件：
0
h 2 h 2
y
y
h 2
y y h q 0
2
x
L
y
L
由于q沿x轴不变化，与x无关，故可假设
y f ( y) 也与x无关
则 y
2 f ( y) 2 x
f ( y) x f1 y x 1 f ( y ) x 2 f 1 y x f 2 y 2
2 x 故：( x, y ) Ay 3 By 2 cy D 2 x Ey 3 Fy 2 Gy A 5 B 4 y y Hy 3 Ky 2 10 6
（b）
（3）根据（2—23）求出应力分量{；
2 x2 (6 Ay 2 B ) x (6 Ey 2 F ) x 2 2 y 2 Ay 3 2 By 2 6 Hy 2 K 2 3 2 Ay By Cy D y 2 x 2 x 3 Ay 2 2 By c xy xy (3Ey 2 2 Fy G )
q
h 2 h 2
0
qL
x
qL
L
L
y
矩形截面简支梁，体力不计，求应力分量
半逆解法框图
由边界条件选择某 应力的函数式
逆解法框图
选择应力函数Φ
满足 4 0吗?
YES NO
积分求函数Φ
NO
满足 4 0吗?
YES
求应力分量
满足几何边界条件？
YES NO
求应力分量
s
fx fy
s
a）考察下边界（主边界）
q
h 2 h 2
h y 2
下边界：
y y h 2
0
0
x
h3 h2 h A B CD 0 8 4 2
L
L
y
xy y h 2
0
3 x( Ah 2 Bh c) 0 4
h (3E 2 Fh G ) 0 4
注意到材力的表达方式：
1 3 * h2 y2 I h ,S 12 8 2 q M ( L2 x 2 ), Q qL 2
应力分量： x
M y y2 3 yq 4 2 I h h 5 q y 2y 2 ) y 1 (1 2 h h QS * xy I
作业：3-1，3-5，3－6
y 0
QS * xy I 5qL4 v | x 0 24EI y 0
5qL4 3h 2 4 2( ) 24EI 5L 5 2
u |x L 0
y 0
qL
EI
材力
q
弹力
q
材力不考虑 这个应力
x
y
对于对称性问题
• • • • 教材中采用对称性来考虑问题也是可以的。 对称性包括：几何形状、应力和位移边界条件3方面 对称性是基于：原因对称则结果必然对称。 如果考虑了对称，则两端的边界条件只需要考虑一 端。不考虑对称条件则需要考虑两端的边界条件。 • 没有把握判断对称性的结果，最好老老实实用最基 本的公式来做。结果与考虑对称性是一致的。这一 点是今后科研时思考问题的要点。
二次项系数 一次项系数
d 4 f y 0 4 dy
d 4 f1 y 0 4 dy
（1） （2）
零次项
d 4 f2 y d 2 f y 2 0 4 2 dy dy
（3）
由（1）、（2）式：
f ( y) Ay3 By2 Cy D
f1 ( y) Ey3 Fy2 Gy (常数项)
0
y
3 2 x( Ah Bh c) 0 4
h (3E 2 Fh G) 0 4
2
2 3 2 x s m xy y Ay By Cy D 2 x xy x 3 Ay2 2 By c (3Ey2 2 Fy G) xy s m y
（a）
f ( y), f1 y , f 2 y 为待定函数 其中：
1 f ( y ) x 2 f1 y x f 2 y 2
（2）Φ 必须满足相容方程，据此求待定函数
4 4 4 2 2 2 0 4 4 x x y y
代入应力函数后得到：
xy x3 Ay2 c (3Ey2 2 Fy G )
x L : x L:
L(3 Ay
h 2 h 2
2
c) (3Ey2 2 Fy G ) dy qL
L(3 Ay
h 2 h 2
2
c) (3Ey2 2 Fy G ) dy qL
（3—6）
5）通过几何方程、物理方程及两端位移约束条件， 可确定位移分量 u | x L 0 v | x L 0
y 0
y 0
与材力的结果比较
材力解
M x y I
弹力附加项（修正项）
y y2 3 q 4 2 h h 5
q y 2y 2 1 ( 1 ) 2 h h
1 f ( y ) x 2 f1 y x f 2 y 2
由（3）式（x的零次幂项）：
d 4 f2 y d 2 f y 2 12Ay 4B 4 2 dy dy
A 5 B 4 f 2 ( y) y y Hy3 Ky 2 10 6 (一次项 ) (常数项 )
2
上下边界结果汇总
h3 h2 h A B CD 0 8 4 2
h3 h2 h A B C D q 8 4 2
3 2 x( Ah Bh c) 0 4 3 2 x( Ah Bh c) 0 4
h (3E 2 Fh G) 0 4 h (3E 2 Fh G) 0 4
d 4 f 2 y d 4 f y 2 d 4 f1 y d 2 f y x x 2 0 4 4 4 2 2dy dy dy dy
方程为x的二次方程(最多只有两个根)，要求全梁 范围内无论x取何值均成立(无数个根)，只有x的各 次幂的系数均为零：
d 4 f 2 y d 4 f y 2 d 4 f1 y d 2 f y x x 2 0 4 4 4 2 2dy dy dy dy
（c）
（d）
（e）
上述应力分量满足平衡微分方程及相容方程，只 要选择适当的系数A、B…K常数，使所有边界条 件满足，则（c） 、 （d）、（e）为正确解答。
2 y Ay3 By2 Cy D 2 x xy x 3 Ay2 2 By c (3Ey2 2 Fy G)
x s m xy s f x 来自百度文库 xy s m y s f y
h 2
a）考察上边界（主边界）
q
h 2 h 2
y
y y h 2
q
0
x
h3 h2 h A B C D q 8 4 2
L
L
xy y h 2
Y
Y
0
qL L
x
qL
代入两端的l
2
xy y h Y
2
L
xy y h Y
y
两端积分：
h 2 h 2
Ydy qL
h 2 h 2
xy
x L
dy qL
h 2 h 2
xy
xL
dy qL
两端x=L处的积分边界条件
以上两个等式两端相加得到：
(3Ey
h 2 h 2
3
2
2Fy G) dy 0
h E Gh 0 2
3
结合前页等式和上式得到：
h E Gh 0 2
h (3E G) 0 4
2
E 0 G0
注意：两端的y方向应力是共线的，所以只有合矢量积分条件
2 2
B0
F 0
h (3E 2 Fh G) 0 4
2
x s m xy s f x xy s m y s f y
两端x=L处的积分边界条件
左边界(假设分布为Y,m＝0)：
q
l l
h 2 h 2
xy x L xy x L
NO
满足边界条件吗?
YES
结论
结论
q
上、下边界(主要边界)的边界条件：
0
h 2 h 2
y
y
h 2
y y h q 0
2
x
L
y
L
由于q沿x轴不变化，与x无关，故可假设
y f ( y) 也与x无关
则 y
2 f ( y) 2 x
f ( y) x f1 y x 1 f ( y ) x 2 f 1 y x f 2 y 2
2 x 故：( x, y ) Ay 3 By 2 cy D 2 x Ey 3 Fy 2 Gy A 5 B 4 y y Hy 3 Ky 2 10 6
（b）
（3）根据（2—23）求出应力分量{；
2 x2 (6 Ay 2 B ) x (6 Ey 2 F ) x 2 2 y 2 Ay 3 2 By 2 6 Hy 2 K 2 3 2 Ay By Cy D y 2 x 2 x 3 Ay 2 2 By c xy xy (3Ey 2 2 Fy G )