集合精品讲义
必修一集合讲义
第一章 集合1.1 集合的含义及其表示1．集合的概念：一般地，指定的某些对象的全体称为集合。
集合常用大写的拉丁字母来表示，如集合A 、集合B ……集合中的每一个对象称为该集合的元素。
集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。
如a 、b 、c 、p 、q …… 指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。
（1）我国的直辖市； （2）五中高一（1）班全体学生；（3）较大的数 2．关于集合的元素的特征（1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
（3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。
3．集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示； （1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ∉A （“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写）4．集合的分类：一般地，我们把含有限个元素的集合叫有限集； 把含无限个元素的集合叫无限集；把不含有任何元素的集合叫作空集，记为∅。
空集就是不含任何元素的集合。
注：1，区分{0}和∅ 2，区分∅和{∅} 5．数的集合简称数集。
常用数集的记法：（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + {} ,3,2,1*=N（3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q（5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R6．集合的表示方法：（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。
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9、满足条件M = 的集合M的个数是（）
A 1 B 2 C 3 D 4
10、集合 ， ， ，且 ，则有（）
A B
C D 不属于P、Q、R中的任意一个
二、填空题
11、若 ， ，用列举法表示B
12、集合A={x| x2+x-6=0}, B={x| ax+1=0},若B A，则a=__________
交集的性质：
A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.
补集的性质：
A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A.
1．正确理解集合的概念
正确理解集合的有关概念，特别是集合中元素的三个特征，尤其是“确定性和互异性”在解题中要注意运用．在解决含参数问题时，要注意检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误．
6、以下六个关系式： ， ， , , ， 是空集中，错误的个数是（）
A 4 B 3 C 2 D 1
7、点的集合M＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指( )
A.第一象限内的点集B.第三象限内的点集
C.第一、第三象限内的点集D.不在第二、第四象限内的点集
8、设集合A= ，B= ，若A B，则 的取值范围是（）
Z
Q
R
(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集 ．
2．集合间的关系
(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．
(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则AB(或BA)．
(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即∅⊆A，∅B(B≠∅)．
2．注意空集的特殊性
空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A⊆B，则需考虑A＝∅和A≠∅两种可能的情况．
第01讲-集合(讲义版)
第01讲集合一、知识梳理1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.2.集合间的基本关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B 子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素A⊆B 真子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素BA⊂≠空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B 若全集为U，则集合A 的补集为∁U A图形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A} 4.集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A.[方法技巧]1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B.4.∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B).二、经典例题考点一 集合的基本概念【例1-1】（2020·海南省海南中学高三月考）若S 是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则S 的非空真子集个数是（ ） A ．62B ．32C ．64D ．30规律方法 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 考点二 集合间的基本关系【例2-1】（2020·天津市滨海新区塘沽第一中学高三二模）已知集合|03x A x Z x ⎧⎫=∈≤⎨⎬+⎩⎭，则集合A 真子集的个数为（ ） A ．3B ．4C ．7D ．8规律方法 1.若B ⊆A ，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论.2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图，化抽象为直观进行求解. 考点三 集合的运算【例3-1】（2020·全国高三一模（文））已知集合{}|15A x x =-≤≤，{}2|23B x x x =->，则A B =（ ）A ．5}|3{x x <≤B ．{|15}x x -≤≤C ．{|1x x <-或3}x >D ．R【例3-2】（2020·安徽省六安一中高一月考）已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()R A B =（ ）A ．{}13x x -≤< B ．{}19x x -≤≤ C ．{}13x x -<≤D ．{}19x x -<<规律方法 1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.2.注意数形结合思想的应用.(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解.(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.(3)集合的新定义问题：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口.[思维升华]1.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.[易错防范]1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简.2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.。
第一章 集合 课程讲义
1.1 集合的含义及其表示一、知识梳理1．集合的定义2．元素与集合的关系3．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性4．常用数集及其记法：5．集合的表示方法：二、例题讲解例1：集合M中的元素为1，x，x2-x，求x的范围？例2：三个元素的集合1，a，ba，也可表示为0，a2，a+b，求a2005+ b2006的值．例3：集合A中的元素由(a∈Z,b∈Z)组成，判断下列元素与集合A的关系？（1）0 （2（3例4．用描述法表示下列集合：（1）所有被3整除的整数的集合；（2）使yx=有意义的x的集合；（3）方程x2+x+1=0所有实数解的集合；（4）抛物线y=-x2+3x-6上所有点的集合；例5．已知A={a|6,3N a Za∈∈-}，试用列举法表示集合A．例6．已知集合P={-1,a,b}，Q={-1,a2,b2}，且Q=P，求1+a2+b2的值．三、巩固练习1、用∈或∉填空________N________R0_______N* π________R 227_______Q cos300_______Z2、由实数-x，|x|x，组成的集合最多含有元素的个数是_________________个.3、用列举法表示下列集合：(1) {x|x为不大于10的正偶数}(2){(x,y)|0≤x ≤2，0≤y<2，x ，y ∈Z}4、用描述法表示下列集合：(1)不等式2x-3>5的解集；(2)直角坐标平面内属于第四象限的点的集合；5、集合A={x|y=x 2+1}，B={t|p=t 2+1}，，这三个集合的关系？ 6、已知A={x|12,6N x N x∈∈-}，试用列举法表示集合A ．1.2 子集、全集、补集一、知识梳理1．子集的概念及记法：2．子集的性质：① A ⊆ A② A ∅⊆3．真子集的概念及记法：4．真子集的性质：①∅是任何非空集合的真子集5．全集的概念：6． 补集的概念：二、例题讲解例1：以下各组是什么关系，用适当的符号表示出来．（1）a 与{a} 0 与 ∅（2）∅与{20，35，∅} （3）S={-2，-1，1，2}，A={-1，1}，B={-2，2}；（4）S=R ，A={x|x ≤0，x ∈R}，B={x|x>0 ，x ∈R }；例2：设集合A={x|x 2+4x=0，x ∈R}，B={x|x 2+2(a+1)x+a 2-1=0，x ∈R}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．例3：①方程组210360x x +>⎧⎨-≤⎩的解集为A ，U=R ，试求A 及u C A ． ②设全集U=R ，A={x|x>1}，B={x|x+a<0}，B 是R C A 的真子集，求实数a 的取值范围．三、巩固练习1．指出下列各组中集合A 与B 之间的关系．(1) A={-1，1}，B=Z ；(2)A={1，3，5，15}，B={x|x 是15的正约数}；(3) A = N*，B=N(4) A ={x|x=1+a 2,a ∈N*}，B={x|x=a 2-4a+5,a ∈N*}2．（1）已知{1，2 }⊆M ⊆{1，2，3，4，5}，则这样的集合M 有多少个？（2）已知M={1，2，3，4，5，6， 7,8，9}，集合P 满足：P ⊆M ，且若P α∈，则10-α∈P ，则这样的集合P 有多少个？3.若U=Z ，A={x|x=2k ，k ∈Z}，B={x|x=2k+1， k ∈Z}，则U C A ___________ U C B ___________：4．设全集是数集U={2，3，a 2+2a-3}，已知A={b ，2}，U C A ={5}，求实数a ，b 的值．5．已知集合A={x|x 2-1=0 }，B={x|x 2-2ax+b=0},B ⊆ A ，求a ，b 的取值范围．1.3 交集、并集一、知识梳理1．交集的定义：注意： 当集合A 与B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集，而是A ∩B=∅.2．交集的常用性质：（1）(A ∩B)∩C =A ∩(B ∩C)；（2） A ∩B ⊆A ， A ∩B ⊆B3．区间的表示法：4．并集的定义：注意：并集（A ∪B ）实质上是A 与B 的所有元素所组成的集合，但是公共元素在同一个集合中要注意元素的互异性.5．并集的常用性质：（1）(A ∪B)∪C =A ∪(B ∪C)；（2） A ⊆A ∪B ， B ⊆A ∪B二、例题讲解例1． （1）设A={-1，0，1}，B={0，1，2，3}，求A ∩B ；（2）设A={x|x>0}，B={x|x≤1}，求A∩B；（3）设A={x|x=3k，k∈Z}，B={y|y=3k+1 k∈Z }，C={z|z=3k+2，k∈Z}，D={x|x=6k+1，k∈Z}，求A∩B；A∩C；C∩B；D∩B；例2：已知数集 A={a2，a+1，-3}，数集B={a-3,a-2，a2+1}，若A∩B={-3}，求a的值．例3：（1）设集合A={y|y=x2-2x+3，x∈R}，B={y|y=-x2+2x+10，x∈R}，求A∩B；（2）设集合A={(x,y)|y=x+1，x∈R}，B={(x,y)|y=-x2+2x+34，x∈R}，求A∪B；例4：已知集合A={x|x2-1=0 }，B={x|x2-2ax+b=0}，A∪B=A，求a，b的值或a,b所满足的例5：若A={x|x2-ax+a2-19=0}，B={x|x2-5x+6=0}，C={x|x2+2x-8=0}，（1）若A∪B=A∩B，求a的值；（2）∅ A∩B，A∩C=∅，求a的值．例6：已知集合A={2，5}，B={x|x2+px+q=0，x∈R}（1）若B={5}，求p，q的值．（2）若A∩B= B ，求实数p，q满足的条件．例10、已知集合A={x|－2<x<－1，或x>0}，B={x|a≤x≤b}，满足A∩B={x|0<x≤2}，A∪B={x|x>－2}，求a、b的值。
集合讲义
1．集合中元素具有三个特性，，。
确定性、互异性、无序性2．集合的表示方法有，，。
列举法、描述法、区间法3．集合按元素个数进行分类可分为和。
有限集和无限集4．集合与元素的关系：如果a是集合A的元素，则可表示为；如果a不是集合A的元素，则可表示为。
5．集合与集合的关系用符号表示．6．子集：若集合A中都是集合B的元素，就说集合A包含于集合B（或集合B 包含集合A），记作．7．相等：若集合A中都是集合B的元素，同时集合B中都是集合A的元素，就说集合A等于集合B，记作．8．真子集：如果就说集合A是集合B的真子集，记作．9．若集合A含有n个元素，则A的子集有个，真子集有个，非空真子集有个．10．空集∅是一个特殊而又重要的集合，它不含任何元素，∅是任何集合的，∅是任何非空集合的，解题时不可忽视∅．11．特殊集合的表示：实数集，整数集，有理数集，自然数集，正整数集，复数集。
（一）集合交集、并集、补集的概念：1．交集：由 的元素组成的集合，叫做集合A 与B 的交集，记作A∩B，即A∩B ＝ ． 解读：2．并集：由 的元素组成的集合，叫做集合A 与B 的并集，记作A∪B，即A∪B ＝ ． 解读：3．补集：集合A 是集合S 的子集，由 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集，记作S C A ，即S C A ＝ ． 解读：（二）集合的常用运算性质：1．A ∩A ＝ ，A ∩∅＝ ，A ∩B= ，B ∩A= ，A ∪A ＝ ，A ∪∅＝ ，A ∪B ＝B ∪A 。
解读：2．U A C A ⋂＝ ，U A C A ⋃＝=)(A C C U U ．()U C A B ⋃= ，()U C A B ⋂= ，A∪B＝A ⇔ ，A ∩B ＝A ⇔ 。
二、典型例题分析1.给出下列关系：①1;2R ∈Q ；③*3N ∈；④0Z ∈；⑤32i C +∈其中正确的个数是（ ）A ． 1 B.2C ．3 D.4 答案：C2. （2010北京理）集合2{03},{9}P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤，则P M I =（ ）A ． {1,2} B.{0,1,2}C ．{x|0≤x<3} D.{x|0≤x ≤3} 答案：B3. （2010山东文）（1）已知全集U R =，集合{}240M x x =-≤，则U C M =（ ）A. {}22x x -<< B. {}22x x -≤≤ C ．{}22x x x <->或D. {}22x x x ≤-≥或 答案：C 例1．给出下列六个关系：（1）*0N ∈（2）{}01,1∉-（3）{}0φ∈（4）{}0φ∉（5）{}{}00,1∈（6）{}{}00,1⊆其中正确的是 答案：（2）（6） 例2．设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x N Z k k x x M ,214,,412则（ ） A ． M=NB.M NC. M N D .=N M Ø 答案：B例3。
集合讲义 【辅导专用】
一、集合讲义【辅导专用】一、知识点精讲1.集合中元素的三个特征：①．确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．②．互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.③．无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。
2. 元素与集合的关系有且只有两种：属于（用符号“∈”表示）和不属于（用符号“∉”表示）．4.集合的表示方法：列举法，描述法，图示法关系 自然语言 符号语言 Venn 图子集 集合A 中所有元素都在集合B 中(即若x ∈A,则x ∈B)A ⊆B(或B ⊇A)真子集 集合A 是集合B 的子集,且集合B 中至少有一个元素不在集合A 中A ⫋B(或B ⫌A)集合相等 集合A,B 中的元素相同或集合A,B 互为子集 A=B(2)结论①空集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集,符号表示为⌀⊆A,⌀⫋B(B ≠⌀). ②对于任意集合A,A ⊆A.③若A ⊆B,B ⊆C,则A ⊆C.④若有限集A 中有n 个元素,则A 的子集的个数为2n ,非空子集的个数为2n -1,真子集的个数为2n -1,非空真子集的个数为2n -2.5.集合的基本运算表示运算 文字语言 符号语言 图形语言 记法交集 由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合{x|x ∈A, 且x ∈B} A ∩B并集 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合{x|x ∈A, 或x ∈B} A ∪B补集 由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合 {x|x ∈U,且 x ∉A} U A集合运算的性质：(1)并集的性质:A ∪⌀=A;A ∪A=A;A ∪B=B ∪A;A ∪B=A ⇔B ⊆A.(2)交集的性质:A ∩⌀=⌀;A ∩A=A;A ∩B=B ∩A;A ∩B=A ⇔A ⊆B. (3)补集的性质:A ∪(U A )=U ;A ∩(U A )=∪;U (U A )=A ;U (A ∪B )=(U A )∩(U B );U (A ∩B )=(U A )∪(U B ).二、典例分析例1.考查下列每组对象，能构成一个集合的是( )①某校高一年级成绩优秀的学生；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．A．③④ B．②③④ C．②③D．②④例2.已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．变式：已知集合A含有两个元素1和a2，若“a∈A”，求实数a的值．例3.已知集合A={x|-5<x<2},B={x|2a-3<x<a-2}.(1)若a=-1,试判断集合A,B之间是否存在子集关系;(2)若A⊇B,求实数a的取值范围.变式：若集合A={x|x<-5或x>2},B={x|2a-3<x<a-2},且A⊇B,求实数a的取值范围.例4.已知M＝{1,2，a2−3a−1}，N＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，求实数a的值．例5.（1）设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝( ) A．{2} B．{1，2，4} C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5}(2)设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则∁R(A∪B)＝________，(∁RA)∩B＝________.三、练习巩固1．给出下列说法：①中国的所有直辖市可以构成一个集合；②高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合；③正偶数的全体可以构成一个集合；④大于2 013且小于2 018的所有整数不能构成集合．其中正确的有________．(填序号)2. 集合A 中的元素x 满足63－x∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________．3.已知集合A ＝{}02=+-b ax x x ，若A ＝{2,3}，求a ，b 的值．4.若{1,2,3}⫋A ⊆{1,2,3,4,5},则满足条件的集合A 的个数为( )A.2B.3C.4D.55.若集合A={x|x 2+x −6=0},B={x|x 2+x +a =0},且B ⊆A,求实数a 的取值范围.6.若集合A ＝{0,1,2，x }，B ＝{1，2x }，A ∪B ＝A ，则满足条件的实数x 有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7.设全集U 为实数集R ，M ＝{x |x >2或x <－2}，N ＝{x |x ≥3或x <1}都是全集U 的子集，则图中阴影部分所表示的集合是( )A ．{x |－2≤x <1}B ．{x |－2≤x ≤2}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |x <2}8.已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |a ≤1}B ．{a |a <1}C ．{a |a ≥2}D ．{a |a >2}9.设集合A ＝{x|－1＜x ＜a}，B ＝{x|1＜x ＜3}且A ∪B ＝{x|－1＜x ＜3}，求a 的取值范围．10.已知集合A={x|0≤x ≤4},集合B={x|m+1≤x ≤1-m},且A ∪B=A,求实数m 的取值范围.。
【集合】精品讲义
第1章集合与常用逻辑用语第1节集合1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈和∉.(3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图．2．集合间的基本关系描述关系文字语言符号语言集合间的基本关系子集A中任意一元素均为B中的元素A⊆B或B⊇A 真子集A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素A中没有A B或B A 相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B集合与集合之间的关系：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C，空集是任何集合的子集，含有n个元素的集合的子集数为2n，真子集数为2n－1，非空真子集数为2n－23．集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁U A图形表示意义{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．2．要注意区分元素与集合的从属关系；以及集合与集合的包含关系．3．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．考点一集合的含义与表示1. 正确理解集合的概念研究一个集合，首先要看集合中代表元素的属性(是点集、数集或其他情形)，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x|y ＝f(x)}、{y|y＝f(x)}、{(x，y)|y＝f(x)}三者的不同．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2. 注意元素的互异性对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．3．注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A⊆B，则需考虑A＝∅和A≠∅两种可能的情况．1．（2013福建，5分）若集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,4}，则A∩B的子集个数为() A．2B．3 C．4 D．16解析：本题主要考查集合的交集及子集的个数等基础知识，意在考查考生对集合概念的准确理解及集合运算的熟练掌握．A∩B＝{1,3}，故A∩B的子集有4个．答案：C2．（2013江西，5分）若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝() A．4 B．2 C．0 D．0或4解析：本题主要考查集合的表示方法(描述法)及其含义，考查化归与转化、分类讨论思想．由ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解，可得当a＝0时，方程无实数解；当a≠0时，则Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4(a＝0不合题意舍去)．答案：A3．（2013山东，5分）已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A, y∈A}中元素的个数是()A．1 B．3 C．5 D．9解析：本题考查集合的含义，考查分析问题、解决问题的能力．逐个列举可得．x＝0，y ＝0,1,2时，x－y＝0，－1，－2；x＝1，y＝0,1,2时，x－y＝1,0，－1；x＝2，y＝0,1,2时，x －y＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B的元素为－2，－1,0,1,2.共5个．答案：C4．（2011广东，5分）已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x ＋y ＝1}，则A ∩B 的元素个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1x ＋y ＝1消去y 得x 2－x ＝0，解得x ＝0或x ＝1，这时y ＝1或y ＝0，即A ∩B ＝{(0,1)，(1,0)}，有两个元素．答案：C5．已知集合M ＝{1，m }，N ＝{n ，log 2n }，若M ＝N ，则(m －n )2 013＝________.解析：由M ＝N 知⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝1，log 2n ＝m 或⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝m ，log 2n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝0，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝2. 答案：－1或06．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．解析：因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3， 此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32. 答案：－327．（2010福建，5分）设非空集合S ＝{x |m ≤x ≤l }满足：当x ∈S 时，有x 2∈S .给出如下三个命题：①若m ＝1，则S ＝{1}；②若m ＝－12，则14≤l ≤1；③若l ＝12，则－22≤m ≤0. 其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：若m ＝1，则x ＝x 2，可得x ＝1或x ＝0 (舍去)，则S ＝{1}，因此命题①正确；若m ＝－12，当x ＝－12时，x 2＝14∈S ，故l min ＝14，当x ＝l 时，x 2＝l 2∈S ，则l ＝l 2可得，可得l ＝1或l ＝0(舍去)，故l max ＝1，∴14≤l ≤1，因此命题②正确；若l ＝12，则⎩⎨⎧ m ≤12m ≤m 2≤12，得－22≤m ≤0，因此命题③正确． 答案：D考点二 集合的基本关系1．已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析．2．当题目中有条件B⊆A时，不要忽略B＝∅和A=B的情况．1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B ＝()A．{1,4}B．{2,3} C．{9,16} D．{1,2}解析：本题主要考查集合的基本知识，要求认识集合，能进行简单的运算．n＝1,2,3,4时，x＝1,4,9,16，∴集合B＝{1,4,9,16}，∴A∩B＝{1,4}．答案：A2.(2013新课标全国Ⅱ，5分)已知集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N ＝()A．{－2，－1,0,1}B．{－3，－2，－1,0}C．{－2，－1,0} D．{－3，－2，－1}解析：本题主要考查集合的基本运算，意在考查考生对基本概念的理解．由交集的意义可知M∩N＝{－2，－1,0}．答案：C3．(2013山东，5分)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩∁U B＝()A．{3} B．{4} C．{3,4} D．∅解析：本题主要考查集合的交集、并集和补集运算，考查推理判断能力．由题意知A∪B ＝{1,2,3}，又B＝{1,2}，所以A中必有元素3，没有元素4，∁U B＝{3,4}，故A∩∁U B＝{3}．答案：A4．(2013广东，5分)设集合S＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，T＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则S∩T ＝()A．{0}B．{0,2} C．{－2,0} D．{－2,0,2}解析：本题主要考查集合的运算知识，意在考查考生的运算求解能力．因为S＝{－2,0}，T＝{0,2}，所以S∩T＝{0}．答案：A5．(2013安徽，5分)已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A)∩B＝() A．{－2，－1} B．{－2} C．{－1,0,1} D．{0,1}解析：本题主要考查集合的基本运算，意在考查考生的运算能力和对基本概念的理解能力．集合A＝{x|x>－1}，所以∁R A＝{x|x≤－1}，所以(∁R A)∩B＝{－2，－1}．答案：A6．(2013浙江，5分)设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则S∩T＝()A．[－4，＋∞)B．(－2, ＋∞) C．[－4,1] D．(－2,1]解析：本题主要考查集合、区间的意义和交集运算等基础知识，属于简单题目，意在考查考生对基础知识的掌握程度．由已知得S∩T＝{x|x>－2}∩{x|－4≤x≤1}＝{x|－2<x≤1}＝(－2,1]．答案：D7．(2013辽宁，5分)已知集合A＝{0,1,2,3,4}，B＝{x||x|＜2}，则A∩B＝()A．{0}B．{0,1} C．{0,2} D．{0,1,2}解析：本题主要考查集合的概念和运算，同时考查了绝对值不等式的解法，意在考查考生对集合运算的掌握情况，属于容易题．由已知，得B＝{x|－2＜x＜2}，所以A∩B＝{0,1}，选B.答案：B8．(2013天津，5分)已知集合A＝{x∈R| |x|≤2}, B＝{x∈R| x≤1}，则A∩B＝() A．(－∞，2]B．[1,2] C．[－2,2] D．[－2,1]解析：本题主要考查简单不等式的解法、集合的运算．意在考查考生对概念的理解能力．解不等式|x|≤2得，－2≤x≤2，所以A＝[－2,2]，又B＝(－∞，1]，所以A∩B＝[－2,1]．答案：D9．(2013北京，5分)已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B＝()A．{0}B．{－1,0} C．{0,1} D. {－1,0,1}解析：集合A中共有三个元素－1,0,1，而其中符合集合B的只有－1和0，故选B.答案：B10．(2013陕西，5分)设全集为R，函数f(x)＝1－x的定义域为M, 则∁R M为() A．(－∞，1)B．(1，＋∞) C．(－∞，1] D．[1，＋∞)解析：本题主要考查集合的概念和运算，函数的定义域与不等式的求解方法．从函数定义域切入，1－x≥0，∴x≤1，依据补集的运算知识得所求集合为(1，＋∞)．答案：B11．(2013湖北，5分)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则B∩∁U A ＝()A．{2}B．{3,4} C．{1,4,5} D．{2,3,4,5}解析：本题主要考查集合的补集和交集运算．由题得，∁U A＝{3,4,5}，则B∩∁U A＝{3,4}．答案：B12. (2013四川，5分)设集合A＝{1,2,3}，集合B＝{－2,2}，则A∩B＝()A．∅B．{2} C．{－2,2} D．{－2,1,2,3}解析：本题主要考查集合的运算，意在考查考生对基础知识的掌握．A，B两集合中只有一个公共元素2，∴A∩B＝{2}，选B.答案：B13．(2013重庆，5分)已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{4}解析：本题主要考查集合的并集与补集运算．因为A ∪B ＝{1,2,3}，所以∁U (A ∪B )＝{4}，故选D.答案：D14．(2012新课标全国，5分)已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |－1<x <1}，则( )A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅解析：A ＝{x |x 2－x －2<0}＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |－1<x <1}，所以B ⊆A .答案：B15．(2012湖北，5分)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：因为集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，所以当满足A ⊆C ⊆B 时，集合C 可以为{1,2}、{1,2,3}、{1,2,4}、{1,2,3,4}，故集合C 有4个．答案：D16．(2011浙江，5分)若P ＝{x |x ＜1}，Q ＝{x |x ＞－1}，则( )A ．P ⊆QB ．Q ⊆PC ．∁R P ⊆QD ．Q ⊆∁R P 解析：∵P ＝{x |x ＜1}，∴∁R P ＝{x |x ≥1}，又Q ＝{x |x ＞－1}，∴∁R P ⊆Q .答案：C17．(2013·福建高考)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，若a ＝3，则A ＝{1,3}，所以A ⊆B ；若A ⊆B ，则a ＝2或a ＝3，所以A ⊆B ⇒/a ＝3，所以“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分而不必要条件． 18．已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且B ⊆A .则实数m 的取值范围为________．解析：∵B ⊆A ，(1)当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2.(2)当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧ －3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2，综上得m ≥－1.答案：[－1，＋∞)考点三集合的基本运算集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．1．（2012广东，5分）设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,3,5}，则∁U M ＝( )A ．{2,4,6}B ．{1,3,5}C ．{1,2,4}D ．U解析：因为集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,3,5}，所以2∈∁U M,4∈∁U M,6∈∁U M ，所以∁U M ＝{2,4,6}．答案：A2．（2012安徽，5分）设集合A ＝{x |－3≤2x －1≤3}，集合B 为函数y ＝lg(x －1)的定义域，则A ∩B ＝( )A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2]解析：由题可知A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x >1}，故A ∩B ＝(1,2]．答案：D3．（2012浙江，5分）设全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{3,4,5}，则P ∩(∁U Q )＝( )A ．{1,2,3,4,6}B ．{1,2,3,4,5}C ．{1,2,5}D ．{1,2}解析：∁U Q ＝{1,2,6}，故P ∩(∁U Q )＝{1,2}．答案：D4.(2013·山东高考)已知集合A ，B 均为全集U ＝{1,2,3,4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1,2}，则A ∩∁U B ＝( )A ．{3}B ．{4}C ．{3,4}D ．∅[解析] ∵U ＝{1,2,3,4}，∁U (A ∪B )＝{4}，∴A ∪B ＝{1,2,3}．又∵B ＝{1,2}，∴{3}⊆A ⊆{1,2,3}．又∁U B ＝{3,4}，∴A ∩∁U B ＝{3}．[答案] A4．（2012湖南，5分）设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x 2＝x }，则M ∩N ＝( )A ．{－1,0,1}B ．{0,1}C ．{1}D ．{0}解析：N ＝{x |x 2＝x }＝{0,1}，所以M ∩N ＝{0,1}．答案：B5．（2012江西，5分）若全集U ＝{}x ∈R |x 2≤4，则集合A ＝{}x ∈R ||x ＋1|≤1的补集∁U A 为( )A.{}x ∈R |0<x <2B.{}x ∈R |0≤x <2C.{}x ∈R |0<x ≤2D.{}x ∈R |0≤x ≤2解析：因为U ＝{x ∈R |x 2≤4}＝{x ∈R |－2≤x ≤2}，A ＝{x ∈R |x ＋1|≤1}＝{x ∈R |－2≤x ≤0}．借助数轴易得∁U A ＝{x ∈R |0<x ≤2}．答案：C6．（2011新课标全国，5分）已知集合M ＝{0,1,2,3,4，}，N ＝{1,3,5，}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个解析：P ＝M ∩N ＝{1,3}，故P 的子集有22＝4个．答案：B7．（2011山东，5分）设集合M ＝{x |(x ＋3)(x －2)<0}，N ＝{x |1≤x ≤3}，则M ∩N ＝( )A ．[1,2)B ．[1,2]C ．(2,3]D ．[2,3]解析：集合M ＝(－3,2)，M ∩N ＝(－3,2)∩[1,3]＝[1,2)．答案：A8．（2011北京，5分）已知全集U ＝R ，集合P ＝{x |x 2≤1}，那么∁U P ＝( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：集合P ＝[－1,1]，所以∁U P ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：D9．（2010新课标全国，5分）已知集合A ＝{x | |x |≤2，x ∈R }，B ＝{x |x ≤4，x ∈Z }，则A ∩B ＝( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．{0,2}D ．{0,1,2}解析：由题可知，集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，集合B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16}，所以集合A ∩B ＝{0,1,2}．答案：D(2014·武汉市武昌区联考)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |lg(x ＋1)≤0}，B ＝{x |3x ≤1}，则∁U (A ∩B )＝( )A ．(－∞，0)∪(0，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1]∪(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)[解析] lg(x ＋1)≤0⇒0<x ＋1≤1⇒－1<x ≤0,3x ≤1⇒x ≤0，则A ∩B ＝(－1,0]，∁U (A ∩B )＝(－∞，－1]∪(0，＋∞)．[答案] C6．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|y＝lg(x－1)}，则(∁U A)∩B＝() A．{x|x>2或x<0} B．{x|1<x<2}C．{x|1<x≤2} D．{x|1≤x≤2}解析：解不等式x2－2x>0，即x(x－2)>0，得x<0或x>2，故A＝{x|x<0或x>2}；集合B是函数y＝lg(x－1)的定义域，由x－1>0，解得x>1，所以B＝{x|x>1}．如图所示，在数轴上分别表示出集合A，B，则∁U A＝{x|0≤x≤2}，所以(∁U A)∩B＝{x|0≤x≤2}∩{x|x>1}＝{x|1<x≤2}．答案：选C10．(2009·山东，5分)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为()A．0B．1 C．2 D．4解析：∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，又A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4，故选D.答案：D11.设全集U是自然数集N，集合A＝{x|x2>4，x∈N}，B＝{0,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是()A．{x|x>2，x∈N}B．{x|x≤2，x∈N}C．{0,2}D．{1,2}解析：选C由图可知，图中阴影部分所表示的集合是B∩(∁U A)，∁U A＝{x|x2≤4，x∈N}＝{x|－2≤x≤2，x∈N}＝{0,1,2}，∵B＝{0,2,3}，∴B∩(∁U A)＝{0,2}，选C.考点四抽象集合与新定义集合以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生理解问题、解决创新问题的能力.归纳起来常见的命题角度有：(1)创新集合新定义；(2)创新集合新运算；(3)创新集合新性质.解决新定义问题应注意的问题(1)遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质；(2)按新定义的要求，“照章办事”逐步分析、验证、运算，使问题得以解决；(3)对于选择题，可以结合选项通过验证，排除、对比、特值等方法解决．角度一 创新集合新定义创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识，来解决新定义的集合创新问题．1．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )A ．1B ．3C ．7D ．31解析：选B 具有伙伴关系的元素组是－1；12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎭⎬⎫⎩⎨⎧2,21，⎭⎬⎫⎩⎨⎧2,211-，.角度二 创新集合新运算创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的．2.如图所示的Venn 图中，A ，B 是非空集合，定义集合A ⊕B 为阴影部分表示的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝3x ，x >0}，则A ⊕B 为( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |1<x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1或x ≥2}D ．{x |0≤x ≤1或x >2} 解析：选D 因为A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y >1}，A ∪B ＝{x |x ≥0}，A ∩B ＝{x |1<x ≤2}，所以A B ＝∁A ∪B (A ∩B )＝{x |0≤x ≤1或x >2}，故选D.角度三 创新集合新性质创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题．3．对于复数a ，b ，c ，d ，若集合S ＝{a ，b ，c ，d }具有性质“对任意x ，y ∈S ，必有xy∈S ”，则当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b 2＝1，c 2＝b 时，b ＋c ＋d 等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．i解析：选B ∵S ＝{a ，b ，c ，d }，由集合中元素的互异性可知当a ＝1时，b ＝－1，c 2＝－1，∴c ＝±i ，由“对任意x ，y ∈S ，必有xy ∈S ”知±i ∈S ，∴c ＝i ，d ＝－i 或c ＝－i ，d ＝i ，∴b ＋c ＋d ＝(－1)＋0＝－1.1．（2011福建，5分）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2011∈[1]，②－3∈[3]，③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中，正确结论的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4解析：因为2011＝402×5＋1，又因为[1]＝{5n＋k|n∈Z}，所以2011∈[1]，故命题①正确，又因为－3＝5×(－1)＋2，所以－3∈[2]，故命题②不正确，又因为所有的整数Z除以5可得余数的结果为：0,1,2,3,4，所以命题③正确；若a－b属于同一类，则有a＝5n1＋k.b＝5n2＋k，所以a－b＝5(n1－n2)∈[0]，反过来如果a－b∈[0]，也可以得到a－b属于同一类，故命题④正确，所以有3个命题正确．答案：C2．（2010湖南，5分）若规定E＝{a1，a2，…，a10}的子集{a i1，a i2，…，a in}为E的第k个子集，其中k＝2i1－1＋2i2－1＋…＋2i n－1，则(1){a1，a3}是E的第________个子集；(2)E的第211个子集为________．解析：此题是一个创新试题，定义了一个新的概念．(1)根据k的定义，可知k＝21－1＋23－1＝5；(2)此时k＝211，是个奇数，所以可以判断所求子集中必含元素a1，又28,29均大于211，故所求子集不含a9，a10.然后根据2j(j＝1,2，…，7)的值易推导所求子集为{a1，a2，a5，a7，a8}．答案：5{a1，a2，a5，a7，a8}（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
集合-讲义版
集合【知识点】 一、集合与元素1．概念：一般地，我们把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称集）．集合通常用大写的拉丁字母表示，如 Q P C B A 、、、、元素通常用小写的拉丁字母表示，如 q p c b a 、、、、 例如：{}c b a A ,,=2．元素对于集合的隶属关系：（1）属于：∈；（2）不属于：∉． 3．特定集合的表示 常用数集及其记法：①非负整数集（即自然数集）记作：N ；②正整数集*N 或+N ；③整数集Z ；④有理数集Q ；⑤实数集R ． 4．集合的分类：（1）有限集；（2）无限集．5．集合中元素的特征：（1）互异性；（2）无序性；（3）确定性． 6．集合的表示方法： （1）自然语言法； （2）列举法；注：元素不重复，不计次序，且元素之间用“，”隔开 （3）描述法；①写清集合中代表的元素符号，如实数或实数对； ②说明该集合中元素的性质，如方程、不等式等． 例如：{}(){}1,,21=+>+y x y x x x （4）Venn 图法；用平面上封闭曲线的内部表示集合．二、集合间的基本关系1．子集：对于两个集合A 和B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则说集合A 与集合B 有包含关系，称集合A 是集合B 的子集，记作B A ⊆（或A B ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）． （1）“A 是B 的子集”的含义是：集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素 课程类型：☐ 1对1课程 Mini 课程 ☐ MVP 课程BA2．真子集：对于两个集合A 与B ，如果B A ⊆，并且B A ≠，我们就说集合A 是集合B 的真子集，记作：A B或BA ，读作A 真包含于B （或B 真包含A ）．3．集合相等：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时，集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，即：A 是B 的子集且B 是A 的子集，则集合A 与集合B 相等，记作：A =B ． 4．空集：把不含有任何元素的集合叫做空集，记作∅． （1）空集是任何集合的子集 （2）空集是任何非空集合的真子集 5．有限集合的子集个数：①一个元素的集合：子集共有2个、真子集有1个； ②两个元素的集合：子集共有4个、真子集有3个； ③三个元素的集合：子集共有8个、真子集有7个；以此类推，n 个元素的集合有n2个子集；有12-n 个非空子集；有12-n 个真子集；有22-n个非空真子集．三、集合之间的运算 1．并集（1）观察下面两个图的阴影部分，它们同集合A 、集合B 有什么关系？（2）观察集合{}{4,3,2,3,2,1==B A 与集合4,3,2,1=C 之间的关系 在上述两个例子中，集合A ，B 与集合C 之间都具有这样的一种关系：集合C 是由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的．一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集（Union ），记作：B A ，读作：“A 并B ”，即：{}AB x x A x B =∈∈或，它的Venn 图表示如上图．说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）．2．交集（1）观察下面两个图的阴影部分，它们同集合A ，集合B 有什么关系？（2）观察集合{}{}4,3,2,3,2,1==B A 与集合{}3,2=C 之间的关系． 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集（intersection ）．记作：B A ，读作：“A 交B ”即：{}B x A x x B A ∈∈=且 ，交集的Venn 图表示如上图．说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的公共元素组成的集合． 3．补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ），简称为集合A 的补集， 记作：UA ，即：{}UA x x U x A =∈∉且，补集的Venn 图表示如下A UC U A说明：补集的概念必须要有全集的限制，例如UA 与I A 不一定相等，因为全集可能不一样．4．集合基本运算的结论：（可通过V enn 图来理解） （1）若A B A = ，则B A ⊆，反之也成立 （2）若B B A = ，则B A ⊆，反之也成立【课堂演练】题型一 集合与元素的关系 ➢ 集合的概念例1 下面各组对象可以构成集合的是 ． （1）快乐学习期暑期班个子较高的学员； （2）和2007非常接近的数； （3）1，2，4，5，2，3； （4）暑期集训营所有带队老师．练1 下面四个命题正确的是（ ） A ．10以内的质数集合是{}7,5,3,0B ．“个子较高的人”不能构成集合C ．方程0122=+-x x 的解集是{}1,1 D ．偶数集为{}N x k x x ∈=,2|练2 下列各组对象能确定一个集合吗？ （1）所有很大的实数； （2）好心的人； （3）1，2，2，3，4，5．➢ 元素与集合的关系 例2 用符号“∈”或“∉”填空： （1）14.3_____Q ； （2）π_____Q ； （3）0_____+N ； （4）0)2(-_____N +； （5）32_____Q ；（6）32_____R ．练3 用符号“∈”或“∉”填空： （1）2_____N ； （2）0_____N ； （3）0_____Z ； （4）3_____Q ；（5）2_____Q ； （6）1.5_____Z ．练4 下列关系中正确的是（ ） A ．(){}100，∈ B ．(){}101，∈C ．{}100，∈D ．{}101，∉练5 已知321-=a ，},,3{Z n m n m x x A ∈+==，则a A （填“∈”或“∉”）．➢ 集合中元素的特征例3 集合{}x x A 5,12+=，集合{}6,1=B ，且集合A 与集合B 相等，则x = ．练6 若以集合{}c b a S ,,=中三个元素为边可以构成一个三角形，那么该三角形一定不是（ ） A ．锐角三角形 B ．等腰三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形练7 已知{}x x ,0,12∈，则实数x 的值为 ．练8 下列各组中的两个集合P 和Q ，表示同一集合的是（ ） A ．{}{}3,1,,,3,1-==ππQ P B ．{}{}14159.3,==Q P πC ．{}(){}3,2,3,2==Q PD ．{}{}1,,11=∈≤<-=Q N x x x P练9 已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-∈=*56N a Za M ，则M 是（ ） A ．{}4,3,2,1-B ．{}8,7,3,2C ．{}3,2D ．{}11,8,7,6,3,2,1-➢ 集合的表示方法例4 用列举法表示下列集合： （1）{}的约数是15x N x ∈（2）(){}{}{}2,1,2,1,∈∈y x y x（3）()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧=-=+422,y x y x y x（4）{}N n x x n∈-=,)1(练10 用列举法表示下列集合：（1）方程2690x x ++=的解集（2）{}以内的质数20（3）(){}N y N x y x y x ∈∈=+,,6, （4）{}的整数小于大于30例5 用描述法表示下列集合： （1）大于4的全体奇数构成的集合 （2）坐标平面内，两坐标轴上点的集合．练11 用描述法表示下列集合（1）{}13,10,7,4,1；（2）{}10,8,6,4,2-----例6 若集合,,A B C 可能为{}{}{}平行四边形，正方形，矩形，且如右图所示的包含关系成立，则,,A B C 应分别为 ．【正方形，矩形，平行四边形】练12 已知全集U R =，则正确表示集合{}1,0,1M =-和{}2=0N x x x +=的关系的韦恩图是（ ）MNUUNMU NMNMUA ．B ．C ．D ．➢ 空集的概念例7 下列四个集合中，是空集的是（ ） A ．{}33=+x xB ．(){}R y x x y y x ∈-=,,,22 C ．{}02≤x xD ．{}R x x x x ∈=+-,012练13 ∅与0的关系是 ．（用∉∈，填写）➢ 元素与集合中的含参问题例8 已知集合{}0232=+-∈=x ax R x A ， （1）若A 是单元素集，求a 的值及集合A ；（2）求集合}{至少含有一个元素使得A a R a P ∈=．练14 已知集合{}R x x ax x A ∈=--=,0122，若集合A 中至多有一个元素，实数a 的取值范围 ．C B A例9 若{}4,12,332---∈-a a a ，实数a = ．练15 已知{}1,152,122+++-=a a a a A ，且A ∈-2，实数a = ．题型二 集合之间的关系 ➢ 集合与集合的关系例10 用列举法表示集合：{}的正约数6=A ，{}的正约数10=B ，{}的正公约数与106=C ，并用适当的符号表示它们之间的关系．例11 填空N _____Z ， N _____Q ，R _____Z ， R _____Q ，∅_____{}0，∅_____{}∅，0_____{}0， {}a _____{}{}{}{}c b a ,,练16 若集合{}|2M x x =≥，则下列结论中正确的是（ ） A ．}2{MB ．2MC ．{}2M ∈D ．2M ∉练17 在下列各式中错误的个数是（ ） （1）{}2,1,01∈ （2）{}{}2,1,01∈ （3）{}{}2,1,01,2,0⊆ （4）{}{}1,0,22,1,0= A ．1 B ．2C ．3D ．4练18 已知集合{}10，=A ，则下列式子错误的是（ ） A ．A ∈0B ．{}A ∈1C ．A ⊆∅D ．{}A ⊆10，练19 集合{}6,5,4,3,2,1=A ，{}x B ,5,4,3=，若B A ⊆，则x 可以取的值为（ ） A ．1,2,3,4,5,6 B ．1,2,3,4,6C ．1,2,3,6D ．1,2,6➢ 子集个数问题例12 若集合{}0)1(|2=-++=k x x k x A 有且仅有两个子集，则实数k 的值是 ．例13 满足{}M b a ⊆,{}e d c b a ,,,,的集合M 的个数是（ ）A ．2个B ．4个C ．7个D ．8个练20 已知集合M 满足{}{},6,5,4,3,2,12,1⊆⊆M 则满足的集合M 有 个．练21 同时满足（1）{}5,4,3,2,1⊆M ，（2）M a M a ∈-∈6,则的非空集合M 共有 个．➢ 集合关系中的含参问题例14 已知{}52≤≤-=x x A ，{}121-≤≤+=m x m x B ，B A ⊆，求m 的取值范围．练22 已知集合{}5<<=x a x A ，{}2≥=x x B ，且满足A B ⊆，求实数a 的取值范围．练23 若数集{}5312-≤≤+=a x a x A ，{}223≤≤=x x B ，则能使A B ⊆成立的所有a 的集合是（ ） A ．{19}a a ≤≤B ．{}96≤≤a a C ．{}9≤a aD ．∅例15 设集合{}240A x x x =+=，{}222(1)10B x x a x a =+++-=，若B A ⊆，求实数a 的集合．练24 已知集合{}{}1,12====ax x B x x A ，若B A ，求实数a 的集合．题型三 集合之间的运算 ➢ 并集例16 若集合{}0,1,2,3A =，{}1,2,4B =，则集合A B =（ ）A ．{}0,1,2,3,4B ．{}1,2,3,4C ．{}1,2D ．{}0练25 已知集合{}{}1,0,1,0,1,2,M N =-=则M N =（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}1,0,1,2-C ．{}1,0,2-D ．{}0,1练26 设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ，{}2|20,N x x x x =-=∈R ，则M N =（ ）A ．{}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-例17 集合{}34M x x =-<，{}220N x x x =+-<，则M N 等于（ ）A ．{}17x x -<<B ．{}27x x -<<C ．{}11x x -<<D ．{}27x x ≤≤练27 设集合()(){}120A x x x =+-<，集合{}13B x x =<<，则A B =（ ）A ．{}13x x -<< B ．{}11x x -<<C ．{}12x x <<D ．{}23x x <<练28 设集合{|2,}x A y y x ==∈R ，2{|10}B x x =-<，则A B =（ ）A ．(1,1)-B ．(0,1)C ．(1,)-+∞D ．(0,)+∞例18 设集合{}2,1=A ，则满足{}3,2,1=B A 的集合B 的个数是（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．8练29 满足{}{}5,11=A 的集合A 的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4练30 若集合},,3,1{},,1{},,3,1{2x B A x B x A === 则满足条件的实数x 的个数为 ． ➢ 交集例19 已知集合{}2,1,3,4A =--，{}1,2,3B =-，则A B = ．练31 已知集合{}{}220,0,1,2A x x x B =-==，则AB =（ ）A ．{}0B ．{}0,1C ．{}0,2D ．{}0,1,2例20 设集合{}2340M x x x =--<，{}05N x x =≤≤，则M N =（ ）A ．(]04，B ．[)04，C ．[)10-，D ．(]10-，练32 设集合{}=(3)(2)0M x x x +-<，{}13N x x =≤≤，则MN = ．练33 已知集合{}40<log <1A x x =，{}2B x x =≤，则A B =（ ）A ．()01，B ．(]02，C ．()12，D ．(]12，练34 已知集合(){},2M x y x y =+=，(){},4N x y x y =-=，那么集合N M 为（ ）A ．1,3-==y xB ．)1,3(-C ．{}1,3-D ．{})1,3(-练35 若集合{}6,A x x x N =≤∈，{}B x x =是非质数，B AC =，则C 的非空子集的个数为 ．例21 已知集合{}24,21,A a a =--，{}5,1,9B a a =--，若{}9A B =，则a 的值为 ．练36 集合{}1,0,1-=A ，{}a a B 2,1+=，若{}0=B A ，则实数a 的值为 ．练37 设{}21<≤-=x x A ，{}a x x B <=，若∅≠B A ，则a 的取值范围是（ ） A ．2a < B ．2a >- C ．1a >- D ．12a -<≤➢ 补集例22 若{}Z x x x U ∈≤≤=,60，{}531，，=A ，{}41，=B ，则UA = ，UB = ．练38 已知全集U ，集合{}1,3,5,7,9A =，{}2,4,6,8UA =，{}1,4,6,8,9UB =，求集合B ．例23 设全集{}2U x N x =∈≥，集合{}25A x N x =∈≥，则UA =（ ）A ．∅B ．{}2C ．{}5D ．{}2,5练39 已知全集U R =，{}0A x x =≤，{}1B x x =≥，则集合()UA B =（ ）A ．{}0x x ≥ B ．{}0x x ≥C ．{}01x x ≤≤D ．{}01x x <<练40 设集合{}9,7,5,4=A ，{}9,8,7,4,3=B ，全集B A U =，则集合()UA B 中的元素共有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个练41 已知全集{}2,1,0=U 且{}2UA =，则集合A 的真子集共有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个例24 已知全集{}32,3,22-+=a a U ，{}7,2+=a A ，{}5UA =，求a 的值．练42 已知全集{}3,3,2+=a I ，若{}2,b A =，{5}I A =，求实数b a ,．➢ 韦恩图例25 已知R U =，集合}1|{>=x x A ，集合}21|{<<-=x x B ，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A ．}1|{>x x B ．}1|{->x xC ．}11|{<<-x xD ．{|112}x x x -<≤≥或练43 设全集R U =，集合{}|1M x x =>，{}|02N x x =<<，则右图中阴影部分表示的集合为（ ） A ．{}|1x x ≤ B ．{}|12x x <≤ C ．{}|01x x <≤D ．{}|01x x <<练44 右图，U 是全集，M ，P ，S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A ．()S P M B ．()S P M C ．()()S C P M UD ．()()UMP S➢ 综合运算例26 设全集{}{}{}110,1,2,3,5,8,1,3,5,7,9U n N n A B =∈≤≤==，则()UA B = ．练45 已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,3,5,6A =，集合{}1,3,4,6,7B =，则集合UA B =（ ）A ．{}2,5B ．{}3,6C ．{}2,5,6D ．{}2,3,5,6,8例27 已知全集为R ，集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2680B x x x =-+≤，则ARB =（ ）A ．{}|0x x ≤B ．{}|24x x ≤≤C ．{|02x x ≤<或4}x >D ．{|02x x <≤或4}x ≥练46 已知集合2{20},{12}P x x x Q x x =-≥=<≤，则()P Q =R（ ）A ．[0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．[1,2]练47 设集合{}R x x x A ∈≤-=,22，{}2,12B y y x x ==--≤≤，则()RA B 等于（ ）A ．RB ．{}0,≠∈x R x xC ．{}0D ．∅练48 设{}{}023,02222=++==++=a x x x B ax x x A ，且{}2=B A ． （1）求a 的值及集合A ，B ； （2）设全集B A U =，求()()UUA B ；（3）写出()()UUA B 的所有子集．例28 已知集合A ={}82≤≤x x ，B ={}61<<x x ，C ={}a x x >，R U =． （1）求(),U AB A B ；（2）如果∅≠C A ，求a 的取值范围．练49 已知{|13}A x x =-≤＜，{|13}B x m x m =≤+＜ （1）当1m =时，求AB ；（2）若A C B R ⊆，求实数m 的取值范围．练50 已知全集是实数集R ，{}22321+<<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=a x a x B x xA ，． （1）当1=a 时，求B A B A ,； （2）若()R A B B =，求实数a 的取值范围．【课后巩固1】1．下列命题正确的有（ ） （1）很小的实数可以构成集合；（2）集合{}12-=x y y 与集合(){}1,2-=x y y x 是同一个集合； （3）1，23，46，21-，5.0这些数组成的集合有5个元素；（4）集合(){}R y x xy y x ∈≤,,0,是指第二和第四象限内的点集． A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个2．用描述法表示下列集合 （1）{}1,3,5,7，...；（2）非负偶数；（3）数轴上离开原点的距离大于3的点； （4）方程组11x y x y +=⎧⎨-=⎩的解的集合；3．若{}1->=x x A ,则（ ） A ．0⊆A B ．{0}∈AC ．{0}⊆AD ．∅∈A4．集合{}1,0,1-共有 个子集．5．（2015山东文1）已知集合{}|24A x x =<<，{}|(1)(3)0B x x x =--<，则A B =（ ）A ．(1,3)B ．(14),C ．(2,3)D ．(2,4)6．（2015陕西理1）设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =（ ）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞7．（2016天津文1）已知集合{1,2,3}A =，{|21,}B y y x x A ==-∈，则A B =（ ）A ．{1,3}B ．{1,2}C ．{2,3}D ．{1,2,3}8．（2014山东理2）设集合{}[]{}12,2,0,2xA x xB y y x =-<==∈，则=B A （ ）A ．[]0,2B ．()1,3C ．[)1,3D ．()1,49．（2013重庆）已知全集{}1234U =，，，，集合{}{}1223A B ==，，，，则()UA B =（ ）A ．{}134，，B ．{}34，C ．{}3D ．{}410．（2016浙江理1）已知集合{}13P x R x =∈≤≤，{}24Q x R x =∈≥，则()P Q =R（ ）A ．[]2,3B ．(]2,3-C ．[)1,2D ．(,2][1,)-∞-+∞11．（2015全国Ⅰ文1）已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B 中元素的个数为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．212．已知}31|{},06|{2m x m x B x x x A +≤≤=≤-+= （1）当1=m 时，求A B ；（2）RA B B =，求实数m 的取值范围．【课后巩固2】1．下列集合中表示同一集合的是（ ） A ．(){}(){}3,2,2,3==N MB ．(){}{}1,1,=+==+=y x y N y x y x M C ．{}{}4,5,5,4==N M D ．{}(){}2,1,2,1==n M2．下列式子中，正确的是（ ） A ．R R ∈+B ．{}Z x x x N ∈≤⊇,0|C ．空集是任何集合的真子集D ．{}∅∈∅3．（2015重庆理1）已知集合{}1,2,3A =，{}2,3B =，则（ ） A ．A B = B ．AB =∅C ．A BD ．BA4．已知集合{}{}121,72-<<+=≤≤-=m x m x B x x A ，若A B ⊆，求实数m 的取值范围为 ．5．（2016全国甲理2）已知集合{123}A =，,，{|(1)(2)0}B x x x x Z =+-<∈，，则A B =（ ）A ．{}1B ．{12}，C ．{}0123，，， D ．{10123}-，，，，6．（2013四川）设集合{}|20A x x =+=，集合{}2|40B x x =-=，则A B =（ ）A ．{}2-B ．{}2C ．{}2,2-D ．∅7．（2014四川）已知集合{}220A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B =（ ）A ．{}1,0,1,2-B ．{}2,1,0,1--C ．{}0,1D ．{}1,0-8．（2013浙江）设集合{}|2S x x =>-，{}|41T x x =-≤≤，则S T =（ ）A ．[)4-+∞，B ．2-+∞（，）C ．[]41-，D ．(]21-，9．已知全集{}4,≤∈=x N x x U ，{}2,1=A ，则UA 为（ ）A ．{}3B ．{}3,0C ．{}43，D ．{}4,3,010．设集合{}{}{}4,3,2,3,2,1,2,1===C B A ，则()C B A = ．11．（2013山东）已知集合A ，B 均为全集{}1,2,3,4U =的子集，且(){}4UA B =，{}1,2B =，则()UA B =（ ）A ．{}3B ．{}4C ．{}3,4D ．12．集合{}a A ,2,0=，集合{}2,02-=a B ，若B A B =，则实数a 的取值集合为（ ）A ．{}2,2-B ．{}1,2--C ．{}2,1-D ．{}2,1,2--13．已知全集R U =，集合}0|{2=++=n mx x x A ，}02)(|{2=--+=n x n m x x B ，(){2}UA B =-，(){1}U A B =，求B A ．【课后巩固3】1．下列关系正确的是（ ） A ．∅∈0 B ．{}0⊆∅ C ．{}0=∅ D ．{}0∈∅2．用列举法表示下列集合 （1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈+=N x Z x B 16； （2）{}N y R x x x y y ∈∈+--=,,322；（3）(){}22,1,,x y xy x Z y Z +=∈∈；（4）{}20以内的合数；3．设集合{}{}a x x B x x A <=<<=,21，若B A ⊆，则a 的范围是（ ） A ．2≥a B ．1≤a C ．1≥a D ．2≤a4．（2014新课标Ⅱ）设集合{}0,1,2M =，{}2320x x x N -+≤=，则MN =（ ）A ．{}1B ．{}2C ．{}0,1D ．{}1,25．（2014新课标Ⅰ）已知集合{}2230A x x x =--≥，{}22B x x =-≤<，则A B =（ ）A ．[]2,1--B ．[)1,2-C ．[]1,1-D ．[)1,26．（2015广东理1）若集合()(){}410M x x x =++=，()(){}410N x x x =--=，则M N =（ ）A ．{}1,4B ．{}1,4--C ．{}0D ．∅7．（2016全国乙理1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =（ ）A ．33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭8．（2017天津理1）设集合{}1,2,6A =，{}2,4B =，{}|15C x R x =∈-≤≤，则()A B C =（ ）A ．{}2B ．{}1,2,4C ．{}1,2,4,6D ．{}|15x R x ∈-≤≤9．（2017全国2理2）设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若1AB =，则B =（ ）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,510．（2014辽宁理1）已知全集U R =，{|0}A x x =≤，{|1}B x x =≥，则集合()UA B =（ ）A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x <<11．已知集合B ={}042≥-x x 集合C ={}0≤-a x x ，若C B 是单元素集，则实=a ．12．已知集合{}3+≤≤=a x a x A ，{}01242>--=x x B ．（1）若∅=B A ，求a 的取值范围； （2）若B B A = ，求a 的取值范围．。
集合全章讲义
第一章：集合与简易逻辑讲义第一节：集合的概念Part One ：基础知识（记住有以下6点） 1、集合的概念①集合：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集. ②元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素 2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+{} ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , } ，，，210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R 3、元素与集合的关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉ 4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可 （2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）5.集合的表示方法：集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……①列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程012=-x 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1} ②描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{x ∈A| P （x ）}含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合例如，不等式23>-x 的解集可以表示为：}23|{>-∈x R x 或23|{>-x x所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x 注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分 如：{直角三角形}；{大于104的实数} （2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}③文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法 6.集合的分类：a:以元素的个数分类：①有限集：含有有限个元素的集合 ②无限集：含有无限个元素的集合③空集：不含任何元素的集合记作Φ，如：}01|{2=+∈x R x b:以元素的种类分：点集，数集，等Part Two ：例题解析（注意领悟每一个题目与基础知识点的对应关系，通过题目再次深刻理解基础知识） 题型一：集合的三大性的考查1.下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数 （2）好心的人 （3）1，2，2，3，4，5．2.设a,b 是非零实数，那么b ba a+可能取的值组成集合的元素是3、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（ ） （A ）2个元素 （B ）3个元素 （C ）4个元素 （D ）5个元素4. 集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？题型二：集合的表示方法的考查 1、用描述法表示下列集合①{1，4，7，10，13} ②{-2，-4，-6，-8，-10}③{ 1, 5, 25, 125, 625 }= ;④ { 0,±21, ±52, ±103, ±174, ……}=2、用列举法表示下列集合 ①{x ∈N|x 是15的约数}②{（x ，y ）|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}③⎩⎨⎧=-=+}422|),{(y x y x y x ④},)1(|{N n x x n∈-= ⑤},,1623|),{(N y N x y x y x ∈∈=+⑥}4,|),{(的正整数约数分别是y x y x 题型三：集合的分类的考查1、关于x 的方程ax ＋b=0，当a,b 满足条件____时，解集是有限集；当a,b 满足条件_____时，解集是无限集第二节：子集 全集 补集（集合与集合的关系） Part One ：基础知识（记住有以下8点）1.子集：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A :A B B A ⊇⊆或 ，A ⊂B 或B ⊃A 读作：A 包含于B 或B 包含AB A B x A x ⊆∈⇒∈，则若任意当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，则记作A ⊆/B 或B ⊇/A注：B A ⊆有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合2.集合相等：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作A=B3.真子集：对于两个集合A 与B ，如果B A ⊆，并且B A ≠，我们就说集合A 是集合B 的真子集，记作：A B 或B A, 读作A 真包含于B 或B 真包含A4..人为规定：空集是任何集合的子集Φ⊆A 空集是任何非空集合的真子集Φ A 若A ≠Φ，则Φ A （在考虑集合问题时千万不能忘记空集这个特殊集合） 任何一个集合是它本身的子集A A ⊆5.含n 个元素的集合{}n a a a ,,21 的所有子集的个数是n 2，所有真子集的个数是n 2-1，非空真子集数为2-n6.易混符号①“∈”与“⊆”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系如,,1,1R N N N ⊆∉-∈Φ⊆R ，{1}⊆{1，2，3}②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合 如 Φ⊆{0}Φ={0}，Φ∈{0} 7、全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U 表示8. 补集：一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即S A ⊆），由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A的补集（或余集），记作AC S ，即CSA=},|{A x S x x ∉∈且 2、性质：CS （CSA ）=A ，CSS=φ，CS φ=S Part Two ：例题解析（注意领悟每一个题目与基础知识点的对应关系，通过题目再次深刻理解基础知识） 题型一：对子集等基本概念的考查1. 写出N ，Z ，Q ，R 的包含关系，并用文氏图表示2.判断下列写法是否正确①Φ⊆A ②Φ A ③A A ⊆ ④A A 3.（1）填空：N___Z, N___Q, R___Z, R___Q ， Φ___{0}（2）若A={x ∈R|x 2-3x-4=0},B={x ∈Z||x|<10},则A ⊆B 正确吗？ （3）是否对任意一个集合A ，都有A ⊆A ，为什么？ （4）集合{a,b}的子集有那些？（5）高一（1）班同学组成的集合A ，高一年级同学组成的集合B ，则A 、B 的关系为 . 题型二：利用集合的关系来求解具体问题（重点！）1．若{}{}A B m x m x B x x A ⊆+≤≤-=≤≤-=,112|,43|，求是实数m 的取值范围.)1(-≥m2．已知{}{}A C B C A B A 求,8,4,2,0,5,3,2,1,,==⊆⊆ 题型三：全集与补集有关问题1.已知全集U ＝R ，集合A ＝｛x ｜1≤2x ＋1＜9｝，求C U A2. 已知S ＝｛x ｜－1≤x ＋2＜8｝，A ＝｛x ｜－2＜1－x ≤1｝，B ＝｛x ｜5＜2x －1＜11｝，讨论A 与C S B 的关系Part Three ：练习1、已知全集U ＝｛x ｜－1＜x ＜9｝，A ＝｛x ｜1＜x ＜a ｝，若A ≠φ，则a 的取值范围是 （A ）a ＜9 （B ）a ≤9 （C ）a ≥9 （D ）1＜a ≤92、已知全集U ＝｛2，4，1－a ｝，A ＝｛2，a2－a ＋2｝如果CUA ＝｛－1｝，那么a 的值为3、已知全集U ，A 是U 的子集，φ是空集，B ＝CUA ，求CUB ，CU φ，CUU4、设U=｛梯形｝,A=｛等腰梯形｝,求CUA.5、已知U=R ，A=｛x|x2+3x+2<0｝, 求CUA.6、集合Ｕ=｛（x ，y ）|x ∈｛1,2｝,y ∈｛1,2｝｝ , Ａ=｛（x ，y ）|x ∈N*,y ∈N*,x+y=3｝，求CUA.7、设全集U （U ≠Φ），已知集合M ，N ，P ，且M=CUN ，N=CUP ，则M 与P 的关系是（ ） M=CUP ，（B ）M=P ，（C ）M ⊇P ，（D ）M ⊆P.8、设全集U={2,3,322-+a a },A={b,2},A C U ={b,2},求实数a 和b 的值.9.已知S ＝｛a ，b ｝，A ⊆S ，则A 与CSA 的所有组对共有的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （D ）10..设全集U （U ≠φ），已知集合M 、N 、P ，且M ＝CUN ，N ＝CUP ，则M 与P 的关系是 11..已知U=﹛（x ，y ）︱x ∈﹛1，2﹜，y ∈﹛1，2﹜﹜，A=﹛（x ，y ）︱x-y=0﹜，求UA12..设全集U=﹛1，2，3，4，5﹜，A=﹛2，5﹜，求U A 的真子集的个数13. 若S={三角形}，B={锐角三角形}，则CSB= .14.. 已知A={0，2，4}，CUA={-1，1}，CUB={-1，0，2}，求B= 15.. 已知全集U={1，2，3，4}，A={x|x2-5x+m=0，x ∈U}，求CUA 、m 第二节:交集和并集Part One ：基础知识（记住有以下6点）1．交集的定义 一般地，由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集．记作A B （读作‘A 交B ’）， 即A B=｛x|x ∈A ，且x ∈B ｝．如：｛1,2,3,6｝ ｛1,2,5,10｝=｛1,2｝．又如：Ａ＝｛a,b,c,d,e ｝,B={c,d,e,f}.则A B={c,d,e}． 2．并集的定义 一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集．记作：A B （读作‘A 并B ’）， 即A B ={x|x ∈A ，或x ∈B})．如：｛1,2,3,6｝ ｛1,2,5,10｝=｛1,2,3,5,6,10｝． 3..交集、并集的性质 用文图表示 (1)若A ⊇B,则A B=B, A B=B(2)若A ⊆B 则A B=A A B=A(3)若A=B, 则A A=A A A=A(4)若A,B 相交，有公共元素，但不包含 则A B A,A B B A BA, A BB(5) )若A,B 无公共元素，则A B=Φ①交集的性质 (1)A A=A A Φ=ΦA B=B A (2)A B ⊆A, A B ⊆B ．BA②并集的性质 (1)A A=A (2)A Φ=A (3)A B=B A (4)A B ⊇Ａ,A B ⊇B 联系交集的性质有结论：Φ⊆A B ⊆A ⊆A B ．4. 德摩根律：(CuA) (CuB)= Cu (A B), (CuA) (CuB)= Cu(A B)(可以用韦恩图来理解)． 结合补集，还有①A (CuA)=U, ②A (CuA)= ΦPart Two ：例题解析（注意领悟每一个题目与基础知识点的对应关系，通过题目再次深刻理解基础知识） 题型一：基础的交集与并集的计算：注意数集的交集和并集运算的图像法 例1 设A=｛x|x>-2｝,B=｛x|x<3｝，求A B.例2 设A=｛x|x 是等腰三角形｝，B=｛x|x 是直角三角形｝，求A B.例3 A=｛4,5,6,8｝,B=｛3,5,7,8｝，求A B.例4设A=｛x|x 是锐角三角形｝，B=｛x|x 是钝角三角形｝，求A B.例5设A=｛x|-1<x<2｝,B=｛x|1<x<3｝，求A ∪B. 例6设A=｛(x,y)|y=-4x+6｝,｛(x,y)|y=5x-3｝,求A B.例7已知A 是奇数集,B 是偶数集，Z 为整数集，求A B,A Z,B Z,A B,A Z,B Z.8 已知U={},8,7,6,5,4,3,2,1()B C A U ⋂{},8,1=()BA C U ⋂{}6,2= ()(){},7,4=⋂BC A C U U 则集合A=例9．设集合A={-4，2m-1,m2}，B={9，m-5，1-m}，又A B={9},求实数m 的值.例10.设A={x|x2+ax+b=0},B={x|x2+cx+15=0},又A B={3，5}，A ∩B={3}，求实数a,b,c 的值.. 例11. 已知集合A={y|y=x2-4x+5},B={x|y=x -5}求A ∩B,A ∪B ．Part Three ：练习1．P=｛a2,a+2,-3｝,Q=｛a-2,2a+1,a2+1｝,P Q=｛-3｝,求a ．2..已知全集U=A B=｛1,3,5,7,9｝,A (CUB)=｛3,7｝, (CUA) B=｛5,9｝.则A B=____．3 已知A ＝{x| x2－ax ＋a2－19=0}, B={x| x2－5x ＋8=2}, C={x| x2＋2x －8=0},若ο/⊂A ∩B ，且A ∩C ＝ο/，求a 的值4.. 已知元素(1, 2)∈A ∩B ，并且A ＝{(x, y)| mx －y2＋n=0},B={(x, y)| x2－my －n=0},求m, n 的值5. 已知集合A={x|x2+4x-12=0}、B={x|x2+kx-k=0}.若B B A = ，求k 的取值范围6. 若集合M 、N 、P 是全集S 的子集，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A.P N M )( B ．P N M )( C ．P C N M S )( D ．P C N M S )(集合中段测试 一、选择题1、下列六个关系式：①{}{}a b b a ,,⊆ ②{}{}a b b a ,,= ③Φ=}0{ ④}0{0∈ ⑤}0{∈Φ ⑥}0{⊆Φ 其中正确的个数为( ) (A) 6个 (B) 5个 (C) 4个 (D) 少于4个 2．下列各对象可以组成集合的是（ ）MN P第9题（A ）与1非常接近的全体实数 （B ）某校2002-2003学年度笫一学期全体高一学生 （C ）高一年级视力比较好的同学 （D ）与无理数π相差很小的全体实数3、已知集合P M ,满足M P M = ，则一定有（ ）(A) P M = (B)P M ⊇ (C) M P M = (D) P M ⊆4、集合A 含有10个元素，集合B 含有8个元素，集合A ∩B 含有3个元素，则集合A ∪B 的元素个数为（ ） (A)10个 (B)8个 (C)18个 (D) 15个5．设全集U=R ，M={x|x.≥1}， N ={x|0≤x<5},则（C U M ）∪（C U N ）为（ ）（A ）{x|x.≥0} （B ）{x|x<1 或x≥5} （C ）{x|x≤1或x≥5} （D ）{x| x 〈0或x≥5 }6．设集合{}x A ,4,1=，{}2,1x B =，且{}x B A ,4,1=⋃，则满足条件的实数x 的个数是（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个.7．已知集合M ⊆{4,7,8},且M 中至多有一个偶数，则这样的集合共有（ ） （A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个8．已知全集U ＝{非零整数}，集合A ＝{x||x+2|>4, x ∈U}, 则C U A ＝（ ） （A ）{-6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 } （B ）{-6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 1 , 2 } （C ）{ -5 , -4 , -3 , -2 , 0 , -1 , 1 } （D ）{ -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 1 }9、已知集合{}}8,7,3{},9,6,3,1{,5,4,3,2,1,0===C B A ，则C B A )(等于 (A){0,1,2,6} (B){3,7,8,} (C){1,3,7,8} (D){1,3,6,7,8}10、满足条件{}{}1,01,0=A 的所有集合A 的个数是（ ） (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个11、如右图，那么阴影部分所表示的集合是（ ）(A))]([C A C B U (B))()(C B B A (C))()(B C C A U (D)B C A C U )]([ 12．定义A －B={x|x ∈A 且x ∉B}, 若A={1，2，3，4，5}，B={2，3，6}，则A －（A －B ）等于（ ）(A)B (B){}3,2 (C) {}5,4,1 (D) {}6 二．填空题13．集合P=(){}0,=+y x y x ，Q=(){}2,=-y x y x ，则A ∩B= 14．不等式|x-1|>-3的解集是 15．已知集合A= 用列举法表示集合A=16 已知U={},8,7,6,5,4,3,2,1(){},8,1=⋂B C A U {},6,2=B ()(){},7,4=⋂B C A C U U 则集合A= 三．解答题17．已知集合A={}.,0232R a x ax R x ∈=+-∈1）若A 是空集，求a 的取值范围； 2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来； 3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围18．已知全集U=R ，集合A={},022=++px xx {},052=+-=q x x x B {}2=⋂B A C U 若，试用列举法表示集合A集合单元小结基础训练 参考答案C ；2．B ；3.B ；4.D ；5.B ；6.C ；7.D ；8.B ；9.C ；10.D ；11.C ；12.B;13. (){}1,1-; 14.R; 15. {}5,4,3,2,0; 16{}8,5,3,1 ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈N x17.1)a>89 ; 2）a=0或a=89；3）a=0或a≥89 18.⎭⎬⎫⎩⎨⎧32,319*．CUA={}321≤≤=x x x 或 CUB={}2=x x A ∩B=A A ∩（CUB ）=φ （CUA ）∩B={}3212≤<=x x x 或1 20*． a=－1或2≤a≤3.。
集合讲义
集合【知识网络图】集合元素与集合的关系集合的概念集合的表示方法集合与集合的关系特殊符号表示集合元素的性质确定性互异性无序性属于不属于描述法图像法列举法区间法子集真子集集合的运算并集交集补集一．集合的概念：【知识体系】：集合没有确切定义，是一个基本概念。
对其描述：某些具有共同属性的对象集在一起就成为一个集合。
符号表示为{ }，表示的意思为全体。
这些对象我们称之为元素。
集合通常用大写字母A、B、S……表示，元素通常用小写字母a、b、c……表示。
【题型体系】：【典例分析】：二．元素的特性【知识体系】：1、确定性（有一个确定的衡量标准）2、互异性（集合里的元素都不一样）3、无序性（没有顺序）【题型体系】：【典例分析】：二．几种集合的命名【知识体系】：自然数集：N；正整数集：N*或N+；整数集：Z；有理数集：Q；实数集：R。
【题型体系】：【典例分析】：四．集合的分类【知识体系】：有限集：含有有限个元素的集合；无限集：含有无限个元素的集合；空集：不包含任何元素的集合叫做空集，用∅表示；（区分∅、{ ∅}、{ 0 }）解题的陷阱，一定要记得空集【题型体系】：【典例分析】：五．元素与集合之间的关系与运算【知识体系】：集合和元素之间的关系是属于（∈）和不属于（∉）【题型体系】：【典例分析】：六．集合的表示方法【知识体系】：1、列举法：把元素一一列举在大括号内的表示方法；注意：凡是以列举法形式出现的集合，往往考察元素的互异性。
2、描述法：有以下两种描述方式1）代号描述：例方程x²-3x+2=0的所有解组成的集合，可表示为{x|x²-3x+2=0}。
x是集合中元素的代号，竖线也可以写成冒号或者分号，竖线后面的式子的作用是描述集合中的元素符号的条件。
（代号不一样，所表示含义也不一样）】2）文字描述：将说明元素性质的一句话写在大括号内。
例 {大于2小于5的整数}；描述法表示的集合一旦出现，首先需要分析元素的意义，也就是说要判断元素到底是什么。
集合·教学讲义
第一章集合1.1集合的含义与表示集合：由一个或多个确定的元素所构成的整体叫做集合。
（课本：指定的某些对象的全体是集合）（数的集合叫数集）A={a,b,c} O={1,6}元素：集合中的每个对象叫集合的元素。
属于&不属于对O来说，1∈O，5∉O。
N Z Q R N*/N+注意正整数集中*的位置（星星在天上）列举法&描述法A={1,2,3} B={x|x<9}有限集：含有有限个元素无限集：含有无限个元素怪胎——空集Φ:不含任何元素的集合。
※小测试：-2__Z 3__R 1.5__N 0__N* π__Q __ Q e__Q ?e是极为常用的超越数之一，它的值大约是e = 2.7182818284590……e = （1+）n （当n→∞时）（∞，无穷大，分为+∞与-∞，统称为无穷大∞）1.2集合的关系包含&包含于A ⊆B 读作A包含于B B A 读作B包含A子集&真子集当A包含于B时，说A是B的子集，当B中还含有A中没有的元素时，称A是B的真子集（或称A真包含于B），否则有A=B。
空集∅是任何集合的子集空集∅是任何非空集合的真子集Venn图（韦恩）图在数轴上表示集合※小测试：1.写出下列集合的所有子集{a,b} {1,2,6,8} {x|x=2且x≠3}2n 2n-12.若A={x|(x+2)(x-6)<0},B={y|y∈N},C={x|x∈Z}，则A B A C B Z3.判断正误1∈{1，2} a∈{1,2,3} {1}∈{1,2,3}2∈{1,2.3} {b}⊆{a,c,b} {x|x=2}⊆{x|x≥2}1.3集合的基本运算交集&并集A与B的所有相同元素组成的集合为A与B的交集记作A∩BA与B的所有元素组成的集合为A与B的交集记作A∪B全集&补集给出一个集合U，定义为全集，再给出集合A，若A是U的真子集，则U中除去所有A 元素后剩下的元素组成的集合称为A的补集，记作∁U A 。
集合讲义
集合讲义1.1 集合的含义与表示【知识梳理】1.集合的概念：一般地，指定的某些对象的全体称为集合，简称“集”。
集合中每个对象叫做这个集合的元素。
通常用大写字母A，B，C……表示集合，用小写字母a，b，c……表示集合中的元素。
集合的分类：根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集。
1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集。
2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集。
2.集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。
3.元素与集合的关系：4.常用数集集合的表示方法：自然语言、列举法、描述法、图示题型一 集合与元素的含义【例1】已知集合{}{}2,1,0,,=c b a ，且下列关系式：0,2,2≠=≠c b a ，有且只有一个正确，则100a+10b+c=_____.【例2】设R b a ∈,，若集合{}a b a ,1+，=⎭⎬⎫⎩⎨⎧b a b,0，，则_____20182018=+b a【例3】下面四个命题正确的是（ ） A ．10以内的质数集合是{0，3，5，7} B ．“个子较高的人”不能构成集合 C ．方程0122=+-x x 的解集是{1，1}D ．偶数集为{}N x k x x ∈=,2|【例4】已知集合()(){}210M x x a x ax a =--+-=各元素之和等于3，则实数a 的值为【例5】求集合2{,2,}x x x -中的元素x 的取值范围.【例6】下面有四个命题：⑴集合N 中最小的数是1； ⑵若a -不属于N ，则a 属于N ； ⑶若,a b ∈∈N N ,则a b +的最小值为2； ⑷212x x +=的解可表示为{}1,1； 其中正确命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【例7】.知A ＝{1,2，3}，B ＝{2，4}，定义集合A 、B 间的运算A*B ＝{x|x ∈A 且B x ∉}，则集合A*B 等于( )A.{1，2,3}B.{2，4}C.{1，3}D.{2}【过关练习】1.分析下列各组对象能否构成集合：（1）比2008大的数；（2）一次函数(0)y kx b k =+≠的图象上的若干个点； （3）正比例函数y x =与反比例函数1y x=-的图象的交点； （4）面积比较小的三角形.2.下列命题正确的有（ ）⑴很小的实数可以构成集合；⑵集合{}2|1y y x =-与集合(){}2,|1x y y x =-是同一个集合； ⑶3611,,,,0.5242-这些数组成的集合有5个元素；⑷集合(){},|0,,x y xy x y ∈R ≤是指第二和第四象限内的点集． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个3.下列各选项中的M 与P 表示同一集合的是 （ ）A.{0},M P ==∅B.{(3,7)},{(7,3)}M P =-=-C.2{(,)|3,}M x y y x x R ==+∈, 2{|3,}P y y x x R ==+∈ D. 22{|1,},{|(1)1,}M y y t t R P t t y y R ==+∈==-+∈4.已知集合A={01682=+-x kx }只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A5.集合A={1，2，3，4，5}，B={1，2，3}，C={z|z=xy ，x ∈A 且y ∈B}，则集合C 中的元素个数为（） A.3 B.4 C.11 D.126.已知集合},,2||,2|||),{(},,,1|),{(22Z y x y x y x B Z y x y x y x A ∈≤≤=∈≤+=，定义集合}),(,),(|),{(22112121B y x A y x y y x x B A ∈∈++=⊕，则B A ⊕中元素的个数为（ ）A.77B.49C.45D.30题型二 集合的表示【例1】已知集合{|8}M x N x N =∈-∈，则M 中元素的个数是 （ ）A ．10B ．9C ．8D ．7【例2】试选用适当的表示方法表示下列集合：（1）一次函数3y x =-+与26y x =+的图象的交点组成的集合； （2）二次函数224y x x =-+的函数值组成的集合； （3）反比例函数254y x =-的自变量的值组成的集合. 【例3】已知2()(R ,R)f x x ax b a b =++∈∈，{|(),R}A x x f x x ==∈，{|[()],R}B x x f f x x ==∈．当{1,3}A =-时，用列举法表示集合B【过关练习】1.用列举法表示集合：10,1M mm m ⎧⎫=∈∈=⎨⎬+⎩⎭Z Z 2.已知a ∈Z ，{}(,)3A x y ax y =-≤，且(2,1)A ∈，(1,4)A -∉，求满足条件的a 的值．3.直角坐标平面除去两点(1,1)A 、(2,2)B -可用集合表示为（ ）A ．{}(,)|1,1,2,2x y x y x y ≠≠≠≠B ．1(,)|1x x y y ⎧≠⎧⎪⎨⎨≠⎪⎩⎩或22x y ⎫≠⎧⎪⎨⎬≠⎪⎩⎭C ．1(,)|1x x y y ⎧≠⎧⎪⎨⎨≠⎪⎩⎩且22x y ⎫≠⎧⎪⎨⎬≠-⎪⎩⎭ D ．{}2222(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0x y x y x y -+--++≠题型二 集合与元素的关系【例1】已知},2|{N x k x x P ∈<<=，若集合P 中恰有3个元素，求k 。
集合讲义
第1章集合与常用逻辑用语第1节集合1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈和?.(3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图．2．集合间的基本关系描述关系文字语言符号语言集合间的基本关系子集A中任意一元素均为B中的元素A?B或B?A 真子集A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素A中没有A B或BA相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B集合与集合之间的关系：A?B，B?C?A?C，空集是任何集合的子集，含有n个元素的集合的子集数为2n，真子集数为2n－1，非空真子集数为2n－23．集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为?U A图形表示意义{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x?A}1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．2．要注意区分元素与集合的从属关系；以及集合与集合的包含关系．3．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．考点一集合的含义与表示1. 正确理解集合的概念研究一个集合，首先要看集合中代表元素的属性(是点集、数集或其他情形)，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x|y ＝f(x)}、{y|y＝f(x)}、{(x，y)|y＝f(x)}三者的不同．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2. 注意元素的互异性对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．3．注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A?B，则需考虑A＝?和A≠?两种可能的情况．1．（2013福建，5分）若集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,4}，则A∩B的子集个数为() A．2B．3 C．4 D．16解析：本题主要考查集合的交集及子集的个数等基础知识，意在考查考生对集合概念的准确理解及集合运算的熟练掌握．A∩B＝{1,3}，故A∩B的子集有4个．答案：C2．（2013江西，5分）若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝() A．4 B．2 C．0 D．0或4解析：本题主要考查集合的表示方法(描述法)及其含义，考查化归与转化、分类讨论思想．由ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解，可得当a＝0时，方程无实数解；当a≠0时，则Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4(a＝0不合题意舍去)．答案：A3．（2013山东，5分）已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A, y∈A}中元素的个数是()A．1 B．3 C．5 D．9解析：本题考查集合的含义，考查分析问题、解决问题的能力．逐个列举可得．x ＝0，y ＝0,1,2时，x －y ＝0，－1，－2；x ＝1，y ＝0,1,2时，x －y ＝1,0，－1；x ＝2，y ＝0,1,2时，x －y ＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B 的元素为－2，－1,0,1,2.共5个．答案：C4．（2011广东，5分）已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x ＋y ＝1}，则A ∩B 的元素个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1x ＋y ＝1消去y 得x 2－x ＝0，解得x ＝0或x ＝1，这时y ＝1或y ＝0，即A ∩B ＝{(0,1)，(1,0)}，有两个元素．答案：C5．已知集合M ＝{1，m }，N ＝{n ，log 2n }，若M ＝N ，则(m －n )2 013＝________.解析：由M ＝N 知⎩⎨⎧ n ＝1，log 2n ＝m 或⎩⎨⎧ n ＝m ，log 2n ＝1，∴⎩⎨⎧ m ＝0，n ＝1或⎩⎨⎧m ＝2，n ＝2.答案：－1或06．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．解析：因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3， 此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.答案：－327．（2010福建，5分）设非空集合S ＝{x |m ≤x ≤l }满足：当x ∈S 时，有x 2∈S .给出如下三个命题：①若m ＝1，则S ＝{1}；②若m ＝－12，则14≤l ≤1；③若l ＝12，则－22≤m ≤0.其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：若m ＝1，则x ＝x 2，可得x ＝1或x ＝0 (舍去)，则S ＝{1}，因此命题①正确；若m ＝－12，当x ＝－12时，x 2＝14∈S ，故l min ＝14，当x ＝l 时，x 2＝l 2∈S ，则l ＝l 2可得，可得l＝1或l ＝0(舍去)，故l max ＝1，∴14≤l ≤1，因此命题②正确；若l ＝12，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤12m ≤m 2≤12，得－22≤m ≤0，因此命题③正确．答案：D考点二 集合的基本关系 1．已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析．2．当题目中有条件B ?A 时，不要忽略B ＝?和A=B 的情况．1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }，则A ∩B ＝( )A ．{1,4}B ．{2,3}C ．{9,16}D ．{1,2}解析：本题主要考查集合的基本知识，要求认识集合，能进行简单的运算．n ＝1,2,3,4时，x ＝1,4,9,16，∴集合B ＝{1,4,9,16}，∴A ∩B ＝{1,4}．答案：A2.(2013新课标全国Ⅱ，5分)已知集合M ＝{x |－3<x <1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，则M ∩N ＝( )A ．{－2，－1,0,1}B ．{－3，－2，－1,0}C ．{－2，－1,0}D ．{－3，－2，－1}解析：本题主要考查集合的基本运算，意在考查考生对基本概念的理解．由交集的意义可知M ∩N ＝{－2，－1,0}．答案：C3．(2013山东，5分)已知集合A ，B 均为全集U ＝{1,2,3,4}的子集，且?U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1,2}，则A ∩?U B ＝( )A ．{3}B ．{4}C ．{3,4}D ．?解析：本题主要考查集合的交集、并集和补集运算，考查推理判断能力．由题意知A ∪B ＝{1,2,3}，又B ＝{1,2}，所以A 中必有元素3，没有元素4，?U B ＝{3,4}，故A ∩?U B ＝{3}．答案：A4．(2013广东，5分)设集合S ＝{x |x 2＋2x ＝0，x ∈R }，T ＝{x |x 2－2x ＝0，x ∈R }，则S ∩T ＝( )A．{0}B．{0,2} C．{－2,0} D．{－2,0,2}解析：本题主要考查集合的运算知识，意在考查考生的运算求解能力．因为S＝{－2,0}，T＝{0,2}，所以S∩T＝{0}．答案：A5．(2013安徽，5分)已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(?R A)∩B＝() A．{－2，－1} B．{－2} C．{－1,0,1} D．{0,1}解析：本题主要考查集合的基本运算，意在考查考生的运算能力和对基本概念的理解能力．集合A＝{x|x>－1}，所以?R A＝{x|x≤－1}，所以(?R A)∩B＝{－2，－1}．答案：A6．(2013浙江，5分)设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则S∩T＝()A．[－4，＋∞)B．(－2, ＋∞) C．[－4,1] D．(－2,1]解析：本题主要考查集合、区间的意义和交集运算等基础知识，属于简单题目，意在考查考生对基础知识的掌握程度．由已知得S∩T＝{x|x>－2}∩{x|－4≤x≤1}＝{x|－2<x≤1}＝(－2,1]．答案：D7．(2013辽宁，5分)已知集合A＝{0,1,2,3,4}，B＝{x||x|＜2}，则A∩B＝()A．{0}B．{0,1} C．{0,2} D．{0,1,2}解析：本题主要考查集合的概念和运算，同时考查了绝对值不等式的解法，意在考查考生对集合运算的掌握情况，属于容易题．由已知，得B＝{x|－2＜x＜2}，所以A∩B＝{0,1}，选B.答案：B8．(2013天津，5分)已知集合A＝{x∈R| |x|≤2}, B＝{x∈R| x≤1}，则A∩B＝() A．(－∞，2]B．[1,2] C．[－2,2] D．[－2,1]解析：本题主要考查简单不等式的解法、集合的运算．意在考查考生对概念的理解能力．解不等式|x|≤2得，－2≤x≤2，所以A＝[－2,2]，又B＝(－∞，1]，所以A∩B＝[－2,1]．答案：D9．(2013北京，5分)已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B＝()A．{0}B．{－1,0} C．{0,1} D. {－1,0,1}解析：集合A中共有三个元素－1,0,1，而其中符合集合B的只有－1和0，故选B.答案：B10．(2013陕西，5分)设全集为R，函数f(x)＝1－x的定义域为M, 则?R M为()A．(－∞，1)B．(1，＋∞) C．(－∞，1] D．[1，＋∞)解析：本题主要考查集合的概念和运算，函数的定义域与不等式的求解方法．从函数定义域切入，1－x≥0，∴x≤1，依据补集的运算知识得所求集合为(1，＋∞)．答案：B11．(2013湖北，5分)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则B∩?U A ＝()A．{2}B．{3,4} C．{1,4,5} D．{2,3,4,5}解析：本题主要考查集合的补集和交集运算．由题得，?U A＝{3,4,5}，则B∩?U A＝{3,4}．答案：B12. (2013四川，5分)设集合A＝{1,2,3}，集合B＝{－2,2}，则A∩B＝()A．?B．{2} C．{－2,2} D．{－2,1,2,3}解析：本题主要考查集合的运算，意在考查考生对基础知识的掌握．A，B两集合中只有一个公共元素2，∴A∩B＝{2}，选B.答案：B13．(2013重庆，5分)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则?U(A∪B)＝()A．{1,3,4}B．{3,4} C．{3} D．{4}解析：本题主要考查集合的并集与补集运算．因为A∪B＝{1,2,3}，所以?U(A∪B)＝{4}，故选D.答案：D14．(2012新课标全国，5分)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1<x<1}，则() A．A?B B．B?A C．A＝B D．A∩B＝?解析：A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－1<x<1}，所以B?A.答案：B15．(2012湖北，5分)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A?C?B的集合C的个数为()A．1B．2 C．3 D．4解析：因为集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，所以当满足A?C?B时，集合C可以为{1,2}、{1,2,3}、{1,2,4}、{1,2,3,4}，故集合C有4个．答案：D16．(2011浙江，5分)若P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞－1}，则()A ．P ?QB ．Q ?PC ．?R P ?QD ．Q ??R P解析：∵P ＝{x |x ＜1}，∴?R P ＝{x |x ≥1}，又Q ＝{x |x ＞－1}，∴?R P ?Q .答案：C17．(2013·福建高考)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ?B ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，若a ＝3，则A ＝{1,3}，所以A ?B ；若A ?B ，则a ＝2或a ＝3，所以A ?B ?/a ＝3，所以“a ＝3”是“A ?B ”的充分而不必要条件． 18．已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且B ?A .则实数m 的取值范围为________．解析：∵B ?A ，(1)当B ＝?时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2.(2)当B ≠?时，有⎩⎨⎧ －3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2，综上得m ≥－1.答案：[－1，＋∞) 考点三 集合的基本运算集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．1．（2012广东，5分）设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,3,5}，则?U M ＝( )A ．{2,4,6}B ．{1,3,5}C ．{1,2,4}D ．U解析：因为集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,3,5}，所以2∈?U M,4∈?U M,6∈?U M ，所以?U M ＝{2,4,6}．答案：A2．（2012安徽，5分）设集合A ＝{x |－3≤2x －1≤3}，集合B 为函数y ＝lg(x －1)的定义域，则A ∩B ＝( )A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2]解析：由题可知A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x >1}，故A ∩B ＝(1,2]．答案：D3．（2012浙江，5分）设全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{3,4,5}，则P ∩(?U Q )＝( )A ．{1,2,3,4,6}B ．{1,2,3,4,5}C ．{1,2,5}D ．{1,2}解析：?U Q ＝{1,2,6}，故P ∩(?U Q )＝{1,2}．答案：D4.(2013·山东高考)已知集合A ，B 均为全集U ＝{1,2,3,4}的子集，且?U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1,2}，则A ∩?U B ＝( )A ．{3}B ．{4}C ．{3,4}D ．?[解析] ∵U ＝{1,2,3,4}，?U (A ∪B )＝{4}，∴A ∪B ＝{1,2,3}．又∵B ＝{1,2}，∴{3}?A ?{1,2,3}．又?U B ＝{3,4}，∴A ∩?U B ＝{3}．[答案] A4．（2012湖南，5分）设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x 2＝x }，则M ∩N ＝( )A ．{－1,0,1}B ．{0,1}C ．{1}D ．{0}解析：N ＝{x |x 2＝x }＝{0,1}，所以M ∩N ＝{0,1}．答案：B5．（2012江西，5分）若全集U ＝{}x ∈R |x 2≤4，则集合A ＝{}x ∈R ||x ＋1|≤1的补集?U A为( )A.{}x ∈R |0<x <2B.{}x ∈R |0≤x <2C.{}x ∈R |0<x ≤2D.{}x ∈R |0≤x ≤2解析：因为U ＝{x ∈R |x 2≤4}＝{x ∈R |－2≤x ≤2}，A ＝{x ∈R |x ＋1|≤1}＝{x ∈R |－2≤x ≤0}．借助数轴易得?U A ＝{x ∈R |0<x ≤2}．答案：C6．（2011新课标全国，5分）已知集合M ＝{0,1,2,3,4，}，N ＝{1,3,5，}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个解析：P ＝M ∩N ＝{1,3}，故P 的子集有22＝4个．答案：B7．（2011山东，5分）设集合M ＝{x |(x ＋3)(x －2)<0}，N ＝{x |1≤x ≤3}，则M ∩N ＝( )A．[1,2)B．[1,2] C．(2,3] D．[2,3]解析：集合M＝(－3,2)，M∩N＝(－3,2)∩[1,3]＝[1,2)．答案：A8．（2011北京，5分）已知全集U＝R，集合P＝{x|x2≤1}，那么?U P＝()A．(－∞，－1)B．(1，＋∞)C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：集合P＝[－1,1]，所以?U P＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：D9．（2010新课标全国，5分）已知集合A＝{x| |x|≤2，x∈R}，B＝{x|x≤4，x∈Z}，则A∩B＝()A．(0,2)B．[0,2]C．{0,2} D．{0,1,2}解析：由题可知，集合A＝{x|－2≤x≤2}，集合B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16}，所以集合A∩B＝{0,1,2}．答案：D(2014·武汉市武昌区联考)已知全集U＝R，集合A＝{x|lg(x＋1)≤0}，B＝{x|3x≤1}，则?U(A∩B)＝()A．(－∞，0)∪(0，＋∞) B．(0，＋∞)C．(－∞，－1]∪(0，＋∞) D．(－1，＋∞)[解析]lg(x＋1)≤0?0<x＋1≤1?－1<x≤0,3x≤1?x≤0，则A∩B＝(－1,0]，?U(A∩B)＝(－∞，－1]∪(0，＋∞)．[答案] C6．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|y＝lg(x－1)}，则(?U A)∩B＝() A．{x|x>2或x<0} B．{x|1<x<2}C．{x|1<x≤2} D．{x|1≤x≤2}解析：解不等式x2－2x>0，即x(x－2)>0，得x<0或x>2，故A＝{x|x<0或x>2}；集合B是函数y＝lg(x－1)的定义域，由x－1>0，解得x>1，所以B＝{x|x>1}．如图所示，在数轴上分别表示出集合A，B，则?U A＝{x|0≤x≤2}，所以(?U A)∩B＝{x|0≤x≤2}∩{x|x>1}＝{x|1<x≤2}．答案：选C10．(2009·山东，5分)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为()A．0B．1 C．2 D．4解析：∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，又A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4，故选D.答案：D11.设全集U是自然数集N，集合A＝{x|x2>4，x∈N}，B＝{0,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是()A．{x|x>2，x∈N}B．{x|x≤2，x∈N}C．{0,2}D．{1,2}解析：选C由图可知，图中阴影部分所表示的集合是B∩(?U A)，?U A＝{x|x2≤4，x∈N}＝{x|－2≤x≤2，x∈N}＝{0,1,2}，∵B＝{0,2,3}，∴B∩(?U A)＝{0,2}，选C.考点四抽象集合与新定义集合以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生理解问题、解决创新问题的能力.归纳起来常见的命题角度有：?1?创新集合新定义；?2?创新集合新运算；?3?创新集合新性质.解决新定义问题应注意的问题(1)遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质；(2)按新定义的要求，“照章办事”逐步分析、验证、运算，使问题得以解决；(3)对于选择题，可以结合选项通过验证，排除、对比、特值等方法解决．角度一创新集合新定义创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识，来解决新定义的集合创新问题．1．若x∈A，则1x∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是()A．1 B．3 C．7 D．31解析：选B 具有伙伴关系的元素组是－1；12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎭⎬⎫⎩⎨⎧2,21，⎭⎬⎫⎩⎨⎧2,211-，. 角度二 创新集合新运算创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的．2.如图所示的Venn 图中，A ，B 是非空集合，定义集合A ⊕B为阴影部分表示的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝3x ，x >0}，则A ⊕B 为( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |1<x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1或x ≥2}D ．{x |0≤x ≤1或x >2} 解析：选D 因为A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y >1}，A ∪B ＝{x |x ≥0}，A ∩B ＝{x |1<x ≤2}，所以A B ＝?A ∪B (A ∩B )＝{x |0≤x ≤1或x >2}，故选D.角度三 创新集合新性质创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题．3．对于复数a ，b ，c ，d ，若集合S ＝{a ，b ，c ，d }具有性质“对任意x ，y ∈S ，必有xy∈S ”，则当⎩⎨⎧ a ＝1，b 2＝1，c 2＝b 时，b ＋c ＋d 等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．i解析：选B ∵S ＝{a ，b ，c ，d }，由集合中元素的互异性可知当a ＝1时，b ＝－1，c 2＝－1，∴c ＝±i ，由“对任意x ，y ∈S ，必有xy ∈S ”知±i ∈S ，∴c ＝i ，d ＝－i 或c ＝－i ，d ＝i ，∴b ＋c ＋d ＝(－1)＋0＝－1.1．（2011福建，5分）在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n ＋k |n ∈Z }，k ＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2011∈[1]，②－3∈[3]，③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a －b ∈[0]”．其中，正确结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4解析：因为2011＝402×5＋1，又因为[1]＝{5n＋k|n∈Z}，所以2011∈[1]，故命题①正确，又因为－3＝5×(－1)＋2，所以－3∈[2]，故命题②不正确，又因为所有的整数Z除以5可得余数的结果为：0,1,2,3,4，所以命题③正确；若a－b属于同一类，则有a＝5n1＋k.b ＝5n2＋k，所以a－b＝5(n1－n2)∈[0]，反过来如果a－b∈[0]，也可以得到a－b属于同一类，故命题④正确，所以有3个命题正确．答案：C2．（2010湖南，5分）若规定E＝{a1，a2，…，a10}的子集{a i1，a i2，…，a in}为E的第k个子集，其中k＝2i1－1＋2i2－1＋…＋2i n－1，则(1){a1，a3}是E的第________个子集；(2)E的第211个子集为________．解析：此题是一个创新试题，定义了一个新的概念．(1)根据k的定义，可知k＝21－1＋23－1＝5；(2)此时k＝211，是个奇数，所以可以判断所求子集中必含元素a1，又28,29均大于211，故所求子集不含a9，a10.然后根据2j(j＝1,2，…，7)的值易推导所求子集为{a1，a2，a5，a7，a8}．答案：5{a1，a2，a5，a7，a8}。
集合讲义
集合讲义一、基础知识1）定义：一系列确定的、具有某种共同性质的元素放在一起便构成了集合，集合一般用大写字母A,B,C ……表示，而元素一般用小写字母⋯⋯c b a ,,表示2）元素与集合的关系：属于∈、不属于∉3）元素所具备的的性质：①确定性：②互异性：③无序性：4)集合的表示：①列举法：主要适用于有限个元素②描述法：需注意元素的代表符号以及元素所满足的条件 ③图像法：韦恩图一般用来表示有限个元素 数轴一般表示一段区间内的元素5）集合之间的关系：包含⊆：真包含 ：6）集合之间的运算：交运算 ：并运算 ：补运算:例题：1、设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-=Z 则，≤≤（ ）A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，，2、设集合{}1|3,|04x A x x B x x -⎧⎫=>=<⎨⎬-⎩⎭，则A B = A. ∅ B. ()3,4 C.()2,1- D. ()4.+∞ 3、已知集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m=A 0或3B 0或3C 1或3D 1或3 4、已知集合2{|20},{|11}A x x x B x x =--<=-<<，则（ ）(A) A B (B) B A (C) A B = (D) A B =∅5、已知集合A=0}2-x -x {x 2<，集合B=}1,12y {y x >-=x ，U=R,则=A B C U )(A 、(-1，1]B 、（-1,1）C 、（1,2）D 、[1,2）。
高中数学_集合讲义
集合第一课时含义与表示集合与元素1、元素--研究对象，用小写字母表示；2、集合--元素组成的总体，用大写字母表示3、集合特点：确定性、互异性、无序性4、集合分类：空集、有限集合、无限集合5、集合相等：不同集合的元素相同6、a 是A 的元素：a ∈A ；a 不是A 的元素：a ∉A常用数集1、非负整数N {0,1,2,3,4,5,......}2、正整数N +,N*{1,2,3,4,5,......}3、整数Z {......,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,......}4、有理数Q {x |x =p q ，p 、q ∈Z }5、实数R {x |数轴上点的坐标}6、复数C{x |x =a+bi ，a 、b ∈R }集合的表示1、列举法：{1,2,3,4,5,6,7}，{1,1,3,5,8,13,21,29,......}2、描述法：{x |x 是飞机}，{x |x=2n+1，n ∈Z }例：A={-2,-1,0}，B={y |y=|x |,x ∉A }，求B例：a 、b ∉R ，{1，a+b ，a }={0，b a，b }，求b ﹣a 解析：根据b a 知a≠0，则a+b=0；b a=﹣1=a ；b=1例：{a-d ，a ，a+d }={1，q ，q 2}，求q解析：由互异性知d≠0，q≠0或±1a=1a ﹣d=q a ﹢d=q 2a ﹣d=q 2a ﹢d=q得q 2﹢q ﹣2=0，即q=-2→d=±3a ﹣d=1a=q a ﹢d=q 2a=q 2a ﹢d=qa ﹢d=1a ﹣d=q a=q 2a ﹣d=q 2a=q例：A={x |x=m 2-n 2，m 、n ∈Z }，①证明：3∈A ；②4k-2是否属于A解析：x=m 2﹣n 2=(m ﹣n)(m ﹢n)=3=1×3m ﹣n=1m ﹢n=3m=2n=1；m ﹣n=3m ﹢n=1m=2n=﹣1即∃m 、n ∈Z ∴x=3成立x=m 2﹣n 2=(m ﹣n)(m ﹢n)=1×(4k-2)=2×(2k-1)[讨论m ﹣n 、m ﹢n 奇偶性]思考：红帽3顶、黄帽2顶，老师给三个小孩戴上帽子(小孩不知道自己戴的颜色)，要求根据其他小孩帽子的颜色说出自己帽子的颜色。
集合复习讲义
一丶基础知识梳理（一）集合的概念1.集合的定义：2.集合的分类：3.集合中元素的性质：4.集合的表示法：5.常用数集：其包含关系是（二）子集与真子集1.子集：若集合A 中任何一个元素都属于集合B ，则集合A 叫做集合B 的子集，记作 或真子集：对于集合的真子集，记作叫做集合则集合于中至少有一个元素不属，且若和B ,B B A ,A A B A ⊆或相等的集合：对于两个集合A 和B ，相等，记作和集合，则叫做集合，且若B A A B B A ⊆⊆2.，即空集是任何集合的子集ØA ⊆；空集是任何非空集合的真子集 3.任何集合A 是其自身的子集，即A A ⊆（三）集合的运算1.二丶双基热身Ø 个—个，非空真子集有—，非空子集有—个，真子集有个元素的集合的子集有含有等丶丶号有：：连接集合与集合的符或有：连接元素与集合的符号或，则若则性：211.7.6BA B A ..5,,子集的传集的传递4.2222nn n n n B A CA CB B A ≠=⊆∉∈=⊆⊆⊆⊆⊆{}{}{}::1.2A U B A B A B A B B A B A x x x A B x A x x B A B x A x x A C U =⋂⇔⊆=⋃⇔⊆∉∈=∈∈=⋃∈∈=⋂）充要条件：（常用公式：，图示表示：且补集：，图示表示：或并集：，图示表示：且交集：{}{}{}{}{}(){}{}(){}()}()}=⋂∈-+==∈+===∈≤-===∈≤-====+-==⋂<+-=>-==≠⋂>=≤==-⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+∈Q P ),1,1(1,1,),1,0(0,1P .6,2,1,,2,1.5,01.4,086,21,.3,Q P ,,1P .2,,,0,1,,.12222是两个向量集合，则已知集合用列举法表示集合组成的集合是则实数若集合则且已知全集的取值范围则实数若已知集合则，若已知R n n Q R m m Z x x x y y x B Z x x x y y A a ax ax x A B A C x x x B x x A R U a a x x Q x x a b a b b b a a R b a U φφ三丶考点整合举例【考点一】集合与集合的关系{}{}的取值范围；，求实数）若（的取值范围；，求实数若（集合已知集合例的与集合，试探究集合—集合且变式：已知集合的关系与集合试探究集合集合设集合例m m m x m x x x x x A Z k k x x B Z k k x x A P Q 2Q P )1(,01)12Q ,04P .2B A 53sin B ,0cot sin ,43tan A B ,,24,,42.1222⊆⊆=-+++==+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧==⎭⎬⎫⎩⎨⎧<==⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==ααααααππππ{}()()[]{}φ≠⋂⊆<+--=<<-==B A 2B A 1,03B 10,12A ）（；）（取值范围。
集合讲义
一、集合的含义与表示1、集合与元素的含义(1)集合：一般地，指定的某些对象的全体称为集合，集合常用大写字母A，B，C，D，…标记．(2)元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素，元素常用小写字母a，b，c，d，…标记．2、元素与集合的关系集合中元素的特性：确定性，互异性，无序性。
3、数的集合称为数集，常用数集及表示符号4．集合常用表示法有列举法和描述法(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法．(2)描述法：用确定的条件表示某些对象属于一个集合并写在大括号内的方法．5、例题讲解：例1 用列举法表示下列集合：（1）由大于3小于10的整数组成的集合；{4，5，6，7，8，9}（2）方程x2-9=0的解的集合。
{－3，3}例2 用描述法表示下列集合：（1）小于10的所有有理数组成的集合；{x∈Q|x<10}（2）所有偶数组成的集合。
{x|x=2n,n∈z}5．集合的分类(1)有限集：含有限个元素的集合。
(2)无限集：含无限个元素的集。
(3)空集：不含任何元素的集，记作φ。
【达标训练】1、下列所给关系正确的个数是（ ）A.1B.2C.3D.42、用列举法表示集合{x|x 2-2x+1=0}为（ ） A.{1,1} B.{1} C.{X=1} D.{X 2-2X+1=0}4、已知集合{x |x (x －1)=0}，那么（ ）5、下列集合中不是空集的是（ ）6、7、已知{}21,0,x x ∈，求实数x 的值．【拓展延伸】1、已知集合A={0，1}，B=｛－1，0，a +3｝，且A ⊆B ，则a 等于（ ） A 、1B 、0C 、－2D 、－32、设A=11,ab a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，B=｛0，1，a ｝，若A=B ，则a =，b =．二、集合的基本关系1、Venn 图为了直观地表示集合间的关系，我们常用封闭曲线的内部表示集合，称为Venn 图。
那么集合的表示方法就有3种：描述法，列举法，图象法。
必修一_第一章_集合(集合讲义_做的很细_适合初学者)
荟萃之五兆芳芳创作1.1 荟萃的寄义与暗示21.11 荟萃的寄义21.2 子集、全集、补集91.3 交集、并集13第一章荟萃空集一、知识梳理1．荟萃的寄义：一些元素组成的组成一个荟萃(set).注意：（1）荟萃是数学中原始的、不定义的概念，只作描述.（2）荟萃是一个“整体.（3）组成荟萃的对象必须是“确定的”且“不合”的2．荟萃中的元素：荟萃中的每一个对象称为该荟萃的元素（element）.简称元.荟萃一般用大写拉丁字母暗示，如荟萃A,元素一般用小写拉丁字母暗示.如a,b,c……等.思考:组成荟萃的元素是不是只能是数或点？【答】3．荟萃中元素的特性：（1）确定性.设A 是一个给定的荟萃，x是某一元素，则x 是A的元素，或不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.（2）互异性.对于一个给定的荟萃，它的任何两个元素都是不合的.（3）无序性.荟萃与其中元素的排列次序无关.4．经常使用数集及其记法：一般地，自然数集记作____________正整数集记作__________或___________整数集记作________有理数记作_______实数集记作________5．元素与荟萃的关系：如果a是荟萃A的元素，就记作__________ 读作“___________________”；如果a不是荟萃A的元素，就记作______或______读作“_______________”；6．荟萃的分类：按它的元素个数多少来分：（i） _________________叫做有限集；（ii）________________________叫做无限集；（iii）_______________叫做空集，记为_____________二、例题讲授1、运用荟萃中元素的特性来解决问题例1．下列研究的对象能否组成荟萃（1）世界上最高的山峰（2）高一数学课本中的难题（3）中国国旗的颜色（4）book中的字母（5）立方等于自己的实数（6）不等式2x-8<13的正整数解【解】点评:判断一组对象能否组成荟萃关头是能否找到一个明确的尺度，依照这个确定的尺度，它要么是这个荟萃的元素，要么不是这个荟萃的元素，即元素确定性.例2：荟萃M中的元素为1，x，x2-x，求x的规模？阐发：按照荟萃中的元素互异性可知：荟萃里的元素各不相同，联列不等式组.点评: 元素的特性（特别是互异性）是解决问题的切入点.例3：三个元素的荟萃1，a0，a2，a+b，求a2005+ b2006的值．阐发：三个元素的荟萃也可暗示另外一种形式，说明这两个荟萃相同，而该题目从特殊元素0入手，可以省去繁琐的讨论．点评:从特殊元素入手，灵活运用荟萃的三个特征．2、运用元素与荟萃的关系来解决一些问题例4：荟萃A中的元素由∈Z,b∈Z)组成，判断下列元素与荟萃A的关系？（1）0 （2（3阐发：先把x写成a，b是否为整数.点评:要判断某个元素是否是某个荟萃的元素，就是看这个元素是否满足该荟萃的特性或具体表达形式.例5：不包含-1，0，1的实数集A满足条件a∈A∈A，如果2∈A,求A中的元素？阐发：该题的荟萃所满足的特征是由抽象的语句给出的，把2这个具体的元素代入求出A的另一个元素，但该题要循环代入，求出其余的元素，同学们可能想不到.三、稳固练习1．下列研究的对象能否组成荟萃①某校个子较高的同学；②倒数等于自己的实数③所有的无理数④讲台上的一盒白粉笔⑤中国的直辖市⑥中国的大城市2．下列写法正确的是___________________②当n∈N时，由所有(-1)n的数值组成的荟萃为无限集④-1∈Z ⑤由book中的字母组成的荟萃与元素k，o，b组成的荟萃是同一个荟萃把正确的序号填在横线上31_______N -3_________N0__________N1_______Z -3_________Q0__________Z0_______N*________R_______Q cos300_______Z4． 由实数-x ，|x|x素的个数是_________________个一、知识梳理 1. 荟萃的经常使用暗示办法：（1）列举法将荟萃的元素一一列举出来，并____________________暗示荟萃的办法叫列举法.注意：①元素与元素之间必须用“，”离隔；②荟萃的元素必须是明确的；③各元素的出现无顺序；④荟萃里的元素不克不及重复；荟萃的暗示描述法列举法⑤荟萃里的元素可以暗示任何事物.（2）描述法将荟萃的所有元素都具有性质（）暗示出来，写成_________的形式,称之为描述法.注意：①写清楚该荟萃中元素满足性质；②不克不及出现未被说明的字母；③多层描述时，应当准确使用“或”，“且”；④所有描述的内容都要写在荟萃的括号内；⑤用于描述的语句力求简明，准确.思考:还有其它暗示荟萃的办法吗？【答】文字描述法：是一种特殊的描述法，如：{正整数}，{三角形}图示法（Venn图）：用平面上封锁曲线的内部代荟萃.2. 荟萃相等如果两个荟萃A，B所含的元素完全相同，___________________________________ 则称这两个荟萃相等，记为：_____________二、例题讲授1、用荟萃的两种经常使用办法具体地暗示合例1．用列举法暗示下列荟萃：（1）中国国旗的颜色的荟萃；（2）单词mathematics中的字母的荟萃；（3）自然数中不大于10的质数的荟萃；（4荟萃；（5荟萃.（6）{(x,y)|3x+2y=16，x∈N，y∈N }阐发：先求出荟萃的元素，再用列举法暗示.点评:（1）用列举法暗示荟萃的步调为：①求出荟萃中的元素②把这些元素写在花括号内（2）用列举法暗示荟萃的优点是元素一目了然；缺点是不容易看出元素所具有的属性.例2．用描述法暗示下列荟萃：（1（2x的荟萃；（3）方程x2+x+1=0所有实数解的荟萃；（4）抛物线y=-x2+3x-6上所有点的荟萃；（5阐发：用描述法暗示来荟萃，先要弄清楚元素所具有的形式，从而写出其代表元素再确定元素所具有的属性便可.点评: 用描述法暗示集应时，注意确定和简化荟萃的元素所具有的配合特性例3．已知，试用列举法暗示荟萃A．阐发：用列举法暗示的荟萃，要认清荟萃的实质，荟萃中的元素究竟满足哪些条件．点评:本题实际上是要求满足6被3-a整除的整数a则荟萃A={-3，0，1，2，4，5，6，9}.2、有关荟萃相等方面的问题例4．已知荟萃P={-1,a,b}，Q={-1,a2,b2}，且Q=P，求1+a2+b2的值．阐发：含字母的两个荟萃相等，其实不料味着顺次对应相等，要分类讨论，同时也要考虑荟萃中的元素的互异性和无序性.例5．已知荟萃有唯一元素，用列举法暗示a 的值组成的荟萃A.点拔：本题荟萃有唯一元素，同学们习惯上将分式0，事实上当程，而是一元一次方程，也有唯一解，所以本题要分三种情况讨论.三、稳固练习1.用列举法暗示下列荟萃：(1) {x|x 2+x+1=0}(2){x|x 为不大于15的正约数}(3) {x|x 为不大于10的正偶数}(4){(x,y)|0≤x ≤2，0≤y<2，x ，y ∈Z}2. 用描述法暗示下列荟萃：(1) 奇数的荟萃；(2)正偶数的荟萃；(3)不等式2x-3>5的解集；(4)直角坐标平面内属于第四象限的点的荟萃； .3. 下列荟萃暗示法正确的是(1) {1，2，2}；(2) {Ф}；(3) {全体有理数}；(4){2，4}；（5）不等式x 2-5>0的解集为{x 2-5>0}.4、荟萃A={x|y=x 2+1}，B={t|p=t 2+1}，这三个荟萃的关系？5、已知，试用列举法暗示荟萃A ．1.2 子集、全集、补集一、知识梳理1．子集的概念及记法：如果荟萃A 的任意一个元素都是荟萃B 的元素（ ），则称荟萃 A 为荟萃B 的子集（subset ）,记为___________或___________读作“________________”或“__________________”用符号语言可暗示为：__________________.注意：（1）A 是B 的子集的寄义：任意x ∈A ，能推出x ∈B ；（2）不克不及理解为子集A 是B 中的“部分元素”所组成的荟萃.2．子集的性质：①相等 集 合 的 关 系包含 全集 子集 真子集 补集思考【答】 _________3．真子集的概念及记法：并且A≠B，这时荟萃 A称为荟萃B的真子集（proper set）,记为_________或_________读作“____________________”或“__________________”4．真子集的性质：非空荟萃的真子集符号暗示为___________________②真子集具备传递性符号暗示为___________________5．全集的概念：如果荟萃U包含我们所要研究的各个荟萃，这时U可以看做一个全集（universal set）全集通常记作_____6．补集的概念：设____________，由U中不属于A的所有元素组成的荟萃称为U的子集A的补集（complementary set）, 记为___________”7二、例题讲授1、写出一个荟萃的子集、真子集及其个数公式例1．写出荟萃{a，b}的所有子集及其真子集；写出荟萃{a，b，c}的所有子集及其真子集；阐发：按子集的元素的多少辨别写出所有子集，这样才干达到不重复，无遗漏，点评:写子集，真子集要按一定顺序来写．①一个荟萃里有n个元素，那么它有2n个子集；②一个荟萃里有n个元素，那么它有2n-1个真子集；③一个荟萃里有n个元素，那么它有2n-2个非空真子集．2、判断元素与荟萃之间、荟萃与荟萃之间的关系例2：以下各组是什么关系，用适当的符号暗示出来．（1）a与{a} 0 与（2{20（3）S={-2，-1，1，2}，A={-1，1}，B={-2，2}；（4）S=R，A={x|x≤0，x∈R}，B={x|x>0 ，x∈R }；（5）S={x|x为地球人 }，A={x|x 为中国人}，B={x|x为外国人 }点评:①判断两个荟萃的包含关系，主要是按照荟萃的子集，真子集的概念，看两个荟萃里的元素的关系，是包含，真包含，相等．②元素与荟萃之间用_______________荟萃与荟萃之间用_______________3、运用子集的性质例3：设荟萃A={x|x 2+4x=0，x ∈R}，B={x|x 2+2(a+1)x+a 2-1=0，x ∈R}，若，求实数a 的取值规模．阐发：首先要弄清荟萃A中含有哪些元素，在由，可知，荟萃B 按元素的多少分类讨论便可．点评:4、补集的求法例4：A ，U=R ，试求A②设全集U=R ，A={x|x>1}，B={x|x+a<0}，a 的取值规模．【解】①，x>2}② B={x|x+a<0}={x|x<-a} ，1}如图所示：-a ≤ 1即a ≥-1点评:求荟萃的补集时通常借助于数轴，比较形象，直不雅．三、稳固练习1．判断下列暗示是否正确：∈{a ，b}(3) {a ，，a}(4) {-1，1} {-1，0，1} ，1} 2．指出下列各组中荟萃A 与B 之间的关系．(1) A={-1，1}，B=Z ；(2)A={1，3，5，15}，B={x|x 是15的正约数}；(3) A = N*，B=N(4) A ={x|x=1+a 2,a ∈N*}B={x|x=a 2-4a+5,a ∈N*}3．（1）已知{1，2，2，3，4，5}，则这样的荟萃M 有多少个？（2）已知M={1，2，3，4，5，6， 7,8，9}，荟萃P满足：P ，则这样的荟萃P 有多少个？4．以下各组是什么关系，用适当的符号表来．{0} (2) {-1，1}与{1，-1}(3) {(a,b)}与{(b,a)}{0，1≠ {-⊂⊂ ≠三、若U=Z ，A={x|x=2k ，k ∈Z}，B={x|x=2k+1， k ∈Z}，则：6．设全集是数集U={2，3，a 2+2a-3}，已知A={b ，2}，求实数a ，b 的值．7a ∈Z}，b ∈Z}，c ∈Z}，试判断A 、B 、C 满足的关系8．已知荟萃A={x|x 2-1=0 }，B={x|x 2-2ax+b=0}，求a ，b 的取值规模．1.3 交集、并集一、知识梳理1．交集的定义：一般地，______________________________________________，称为A 与B 交集(intersection set)，记作____________读作“___________”.交集 定义 荟萃的运算 运用 性质 并集 定义 荟萃的运算 运用 性质交集的定义用符号语言暗示为：__________________________________交集的定义用图形语言暗示为：_________________________________注意：（1）交集（A∩B）实质上是A与B的公共元素所组成的荟萃.（2）当荟萃A与B没有公共元素时，不克不及说A与B没有交集，而是A∩2．交集的经常使用性质：（1） A∩A = A；（2） A（3） A∩B = B∩A；（4）(A∩B)∩C =A∩(B∩C)；（5） A∩， A∩3．荟萃的交集与子集：思考:A∩B=A，可能成立吗？【答】_______________________________________________结论：A∩4．区间的暗示法：设a，b是两个实数，且a<b，我们规则：[a， b] = _____________________（a， b）= _____________________[a ，b）= _____________________（a ，b] = ______________________（a，+∞）=______________________（-∞，b）=______________________（-∞，+∞）=____________________其中 [a， b]，（a， b）辨别叫闭区间、开区间；[a ，b），（a ，b] 叫半开半闭区间；a，b叫做相应区间的端点.注意：（1）区间是数轴上某一线段或数轴上的点所对应的实数的取值荟萃又一种符号语言.（2）区间符号内的两个字母或数之间用“，”号离隔.（3）∞读作无穷大，它是一个符号，不是一个数. 5．并集的定义：一般地，_________________________________________________，称为荟萃A与荟萃B的并集(union set)记作__________读作“___________”.交集的定义用符号语言暗示为：__________________________________交集的定义用图形语言暗示为：_________________________________注意：并集（A∪B）实质上是A与B的所有元素所组成的荟萃，但是公共元素在同一个荟萃中要注意元素的互异性.6．并集的经常使用性质：（1） A∪A = A；（2） A；（3） A∪B = B∪A；（4）(A∪B)∪C =A∪(B∪C)；（5）∪B，∪B7．荟萃的并集与子集：思考:A∪B=A，可能成立吗？A【答】________________________结论：A∪二、例题讲授1、求荟萃的交、并、补集例1．（1）设A={-1，0，1}，B={0，1，2，3}，求A∩B；（2）设A={x|x>0}，B={x|x≤1}，求A∩B；（3）设A={x|x=3k，k∈Z}，B={y|y=3k+1 k∈Z }，C={z|z=3k+2，k∈Z}，D={x|x=6k+1，k∈Z}，求A∩B；A∩C；C∩B；D∩B；点评:不等式的荟萃求交集时，运用数轴比较直不雅，形象.例2：已知数集A={a2，a+1，-3}，数集B={a-3,a-2，a2+1}，若A∩B={-3}，求a的值．点评:在荟萃的运算中，求有关字母的值时，要注意分类讨论及验证荟萃的特性．例3：（1）设荟萃A={y|y=x2-2x+3，x∈R}，B={y|y=-x2+2x+10，x∈R}，求A∩B；（2）设荟萃A={(x,y)|y=x+1，x∈R}，B={(x,y)|y=-x2x∈R}，求A∩B；阐发：先求出两个荟萃的元素，或荟萃中元素的规模，再进行交集运算．特别注意（1）、（2）两题的区别，这是同学们容易轻忽的地方．点评:求荟萃的交集时，注意荟萃的实质，是点集还时数集．是数集求元素的公共部分，是点集的求方程组的解所组成的荟萃．变式训练:1、按照下面给出的A 、B，求A∪B①A={-1，0，1}，B={0，1，2，3}；②A={y|y=x2-2x}，B={x||x|≤3}；③A={梯形}，B={平行四边形}．2．已知全集U=R，A={x|-4≤x<2}，B=(-1，3)，P={x|x≤0，或x，求：①(A∪B)∩P P③ (A∩B)．点评:求不等式暗示的数集的并集时，运用数轴比较直不雅，能简化思维进程3、已知荟萃A={y|y=x-1，x∈R}，B={(x,y)|y=x2-1，x∈R}，C={x|y=x+1，y≥3}，阐发：首先弄清楚A，B，C三个荟萃的元素究竟是什么？然后再求出荟萃的有关运算.点评:本题容易出现的错误是不考虑各荟萃的代表元，而解方程组．突破办法是：进行荟萃运算时，应阐发荟萃内的元素是数，仍是点，或其它．2、运用并集的性质解题例4：已知荟萃A={x|x2-1=0 }，B={x|x2-2ax+b=0}，A∪B=A，求a，b的值或a,b所满足的条件．阐发：由于A∪B=A，可知：，而A={1，-1}，从而顺利地求出实数a，b满足的值或规模．点评:利用性质：A∪是解题的关头，提防掉进空集这一陷阱之中．变式训练：1.若荟萃P={1，2，4，m}，Q={2，m2}，满足P∪Q={1，2，4，m}，求实数m的值组成的荟萃．2. 已知荟萃A={x|x 2-4x+3=0}，B={x|x 2-ax-1=0}，C={x|x 2-mx+1=0}，且A ∪B=AA ∩C=C ，求a ，m 的值或取规模.例5：若A={x|x 2-ax+a 2-19=0}，B={x|x 2-5x+6=0}，C={x|x 2+2x-8=0}，（1）若A ∪B=A ∩B ，求a 的值； （2∩B ，A∩a 的值．总结：解决本题的关头是利用重要结论：A ∪B=A∩A=B3、运用交集的性质解题例6：已知荟萃A={2，5}，B={x|x 2+px+q=0，x ∈R}（1）若B={5}，求p ，q 的值．（2）若A ∩B= B ，求实数p ，q 满足的条件．阐发：（1）由B={5}，知：方程x 2+px+q=0有两个相等，再用一元二次方程的根与系数的关系容易求p ，q 的值．（2）由A ∩B= B 可知：，而A={2，5}从而顺利地求出实数p ，q 满足的条件．点评:利用性质：A∩是解题的关头，提防掉进空集这一陷阱之中．变式训练：1.已知荟萃A={x|x 2+x-6=0}，B={x|mx+1=0}，若A ∩B =B ，求实数m 所组成的荟萃M ．⊂2.已知荟萃M={x|x≤-1}，N={x|x>a-2}，若M∩Na满足的条件是什么？4、借助Venn图解决荟萃的运算问题例7：已知全集20的质数}，M,N是U的两个子M∩，19}，17}，求M，N的值．阐发：用Venn图暗示荟萃M，N，U，将合适条件的元素依次填入便可．5、交集并集性质的应用例8、已知荟萃A={(x,y)|x2－y2－y=4}，B={(x,y)|x2－xy－2y2=0}，C={(x,y)|x－2y=0}，D{(x,y)|x+y=0}.(1)判断B、C、D间的关系；(2)求A∩B.6、交集、并集在实际生活中的应用例9、某学校高一(5)班有学生50人，介入航模小且的有25人，介入电脑小组的有32人，求既介入航模小组，又介入电脑小组的人数的最大值和最小值.思维阐发：题目以应用为布景，解题关头是将文字转化为荟萃语言，用荟萃运算来解决错综庞杂的现实问题.7、数形结合思想与交集并集的应用例10、已知荟萃A={x|－2<x<－1，或x>0}，B={x|a≤x≤b}，满足A∩B={x|0<x≤2}，A∪B={x|x>－2}，求a、b的值.点评：此题应熟悉荟萃的交与并的寄义，掌握在数轴上暗示荟萃的交与并的办法.8、分类讨论思想与交集、并集的综合应用例11、已知荟萃A={x|x2－4x+3=0}，B={x|x2－ax+a－1=0}，C={x|x2－mx+1=0}，且A∪B=A，A∩C=C，求a,m 的值或取值规模.阐发：先求出荟萃A，由A∪B=A，由A∩然后按照方程根的情况讨论.评注：本例考查A与B，A与C的关系和分类讨论的能力.三、稳固练习1.设A=(-1，3]，B=[2，4），求A∪B；2.已知A={y|y=x2-1}，B={y|x2=-y+2}求A∪B；3.写出阴影部分所暗示的荟萃：4.荟萃U={1，2，3，4，5，6}，B={1，4}A={2，3，5}5. 设荟萃A={小于7的正偶数}，B={-2，0，2，4}，求A∩B；6. 设荟萃A={x|x≥0}，B={x|x≤0,x∈R}，求A∩B；7. 设荟萃A={(x,y)|y=-4x+6，x∈R}，B={(x,y)|x=y2-1}求A∩B；8. 设荟萃A={x||x=2k+1，k∈Z}，B={y|y=2k-1，k∈Z}，C={x|x=2k ，k∈Z}，求A∩B，B∩C．9、荟萃A={x|x<－3，或x>3}，B={x|x<1，或x>4}，则A∩B=__________.10、荟萃A={a2，a+1，－3}，B={a－3，2a－1，a2+1}，若A∩B={－3},则a的值为___________.11、已知A={x|x2－px+15=0}，B={x|x2－ax－b=0}，且A∪B={2,3,5}，A∩B={3}，求p,a,b的值.12、荟萃{3，x，x2－2x}中，x应满足的条件是___________.13、设A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2－1=0,a∈R}.(1)若A∩B=B，求实数a的值.(2)若A∪B=B,求实数a的值.。
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第1章集合与常用逻辑用语第1节集合1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈和?.(3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图．2．集合间的基本关系描述关系文字语言符号语言集合间的基本关系子集A中任意一元素均为B中的元素A?B或B?A真子集A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素A中没有AB或BA 相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B集合与集合之间的关系：A?B，B?C?A?C，空集是任何集合的子集，含有n个元素的集合的子集数为2n，真子集数为2n－1，非空真子集数为2n－2 3．集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B若全集为U，则集合A的补集为?U A图形表示意义{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x?A}1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．2．要注意区分元素与集合的从属关系；以及集合与集合的包含关系．3．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．考点一集合的含义与表示1.正确理解集合的概念研究一个集合，首先要看集合中代表元素的属性(是点集、数集或其他情形)，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x|y＝f(x)}、{y|y＝f(x)}、{(x，y)|y＝f(x)}三者的不同．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2.注意元素的互异性对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．3．注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A?B，则需考虑A＝?和A≠?两种可能的情况．1．（2013福建，5分）若集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,4}，则A∩B的子集个数为()A．2B．3C．4D．16解析：本题主要考查集合的交集及子集的个数等基础知识，意在考查考生对集合概念的准确理解及集合运算的熟练掌握．A∩B＝{1,3}，故A∩B的子集有4个．答案：C2．（2013江西，5分）若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝()A．4B．2C．0D．0或4解析：本题主要考查集合的表示方法(描述法)及其含义，考查化归与转化、分类讨论思想．由ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解，可得当a＝0时，方程无实数解；当a≠0时，则Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4(a＝0不合题意舍去)．答案：A3．（2013山东，5分）已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A,y∈A}中元素的个数是()A．1B．3C．5D．9解析：本题考查集合的含义，考查分析问题、解决问题的能力．逐个列举可得．x＝0，y＝0,1,2时，x－y＝0，－1，－2；x＝1，y＝0,1,2时，x－y ＝1,0，－1；x＝2，y＝0,1,2时，x－y＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B的元素为－2，－1,0,1,2.共5个．答案：C4．（2011广东，5分）已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为() A．4B．3C．2D．1解析：由消去y得x2－x＝0，解得x＝0或x＝1，这时y＝1或y＝0，即A∩B＝{(0,1)，(1,0)}，有两个元素．答案：C5．已知集合M＝{1，m}，N＝{n，log2n}，若M＝N，则(m－n)2013＝________.解析：由M＝N知或∴或答案：－1或06．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．解析：因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3，此时集合A中有重复元素3，所以m＝1不符合题意，舍去；当2m2＋m＝3时，解得m＝－或m＝1(舍去)，此时当m＝－时，m＋2＝≠3符合题意．所以m＝－.答案：－7．（2010福建，5分）设非空集合S＝{x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下三个命题：①若m＝1，则S＝{1}；②若m＝－，则≤l≤1；③若l＝，则－≤m≤0.其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：若m＝1，则x＝x2，可得x＝1或x＝0(舍去)，则S＝{1}，因此命题①正确；若m＝－，当x＝－时，x2＝∈S，故l min＝，当x＝l时，x2＝l2∈S，则l＝l2可得，可得l＝1或l＝0(舍去)，故l max＝1，∴≤l≤1，因此命题②正确；若l＝，则，得－≤m≤0，因此命题③正确．答案：D考点二集合的基本关系1．已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析．2．当题目中有条件B?A时，不要忽略B＝?和A=B的情况．1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n ∈A}，则A∩B＝()A．{1,4}B．{2,3}C．{9,16}D．{1,2}解析：本题主要考查集合的基本知识，要求认识集合，能进行简单的运算．n＝1,2,3,4时，x＝1,4,9,16，∴集合B＝{1,4,9,16}，∴A∩B＝{1,4}．答案：A2.(2013新课标全国Ⅱ，5分)已知集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N＝()A．{－2，－1,0,1}B．{－3，－2，－1,0}C．{－2，－1,0} D．{－3，－2，－1}解析：本题主要考查集合的基本运算，意在考查考生对基本概念的理解．由交集的意义可知M∩N＝{－2，－1,0}．答案：C3．(2013山东，5分)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且?U(A ∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩?U B＝()A．{3}B．{4}C．{3,4}D．?解析：本题主要考查集合的交集、并集和补集运算，考查推理判断能力．由题意知A∪B＝{1,2,3}，又B＝{1,2}，所以A中必有元素3，没有元素4，?U B ＝{3,4}，故A∩?U B＝{3}．答案：A4．(2013广东，5分)设集合S＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，T＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则S∩T＝()A．{0}B．{0,2}C．{－2,0}D．{－2,0,2}解析：本题主要考查集合的运算知识，意在考查考生的运算求解能力．因为S＝{－2,0}，T＝{0,2}，所以S∩T＝{0}．答案：A5．(2013安徽，5分)已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(?R A)∩B ＝()A．{－2，－1}B．{－2}C．{－1,0,1}D．{0,1}解析：本题主要考查集合的基本运算，意在考查考生的运算能力和对基本概念的理解能力．集合A＝{x|x>－1}，所以?R A＝{x|x≤－1}，所以(?R A)∩B ＝{－2，－1}．答案：A6．(2013浙江，5分)设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则S∩T ＝()A．[－4，＋∞)B．(－2,＋∞)C．[－4,1]D．(－2,1]解析：本题主要考查集合、区间的意义和交集运算等基础知识，属于简单题目，意在考查考生对基础知识的掌握程度．由已知得S∩T＝{x|x>－2}∩{x|－4≤x≤1}＝{x|－2<x≤1}＝(－2,1]．答案：D7．(2013辽宁，5分)已知集合A＝{0,1,2,3,4}，B＝{x||x|＜2}，则A∩B ＝()A．{0}B．{0,1}C．{0,2}D．{0,1,2}解析：本题主要考查集合的概念和运算，同时考查了绝对值不等式的解法，意在考查考生对集合运算的掌握情况，属于容易题．由已知，得B＝{x|－2＜x＜2}，所以A∩B＝{0,1}，选B.答案：B8．(2013天津，5分)已知集合A＝{x∈R||x|≤2},B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B ＝()A．(－∞，2]B．[1,2]C．[－2,2]D．[－2,1]解析：本题主要考查简单不等式的解法、集合的运算．意在考查考生对概念的理解能力．解不等式|x|≤2得，－2≤x≤2，所以A＝[－2,2]，又B＝(－∞，1]，所以A∩B＝[－2,1]．答案：D9．(2013北京，5分)已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B ＝()A．{0}B．{－1,0}C．{0,1}D.{－1,0,1}解析：集合A中共有三个元素－1,0,1，而其中符合集合B的只有－1和0，故选B.答案：B10．(2013陕西，5分)设全集为R，函数f(x)＝的定义域为M,则?R M为() A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(－∞，1]D．[1，＋∞)解析：本题主要考查集合的概念和运算，函数的定义域与不等式的求解方法．从函数定义域切入，1－x≥0，∴x≤1，依据补集的运算知识得所求集合为(1，＋∞)．答案：B11．(2013湖北，5分)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则B∩?U A＝()A．{2}B．{3,4}C．{1,4,5}D．{2,3,4,5}解析：本题主要考查集合的补集和交集运算．由题得，?U A＝{3,4,5}，则B∩?U A＝{3,4}．答案：B12.(2013四川，5分)设集合A＝{1,2,3}，集合B＝{－2,2}，则A∩B＝()A．?B．{2}C．{－2,2}D．{－2,1,2,3}解析：本题主要考查集合的运算，意在考查考生对基础知识的掌握．A，B两集合中只有一个公共元素2，∴A∩B＝{2}，选B.答案：B13．(2013重庆，5分)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则?U(A∪B)＝()A．{1,3,4}B．{3,4}C．{3}D．{4}解析：本题主要考查集合的并集与补集运算．因为A∪B＝{1,2,3}，所以?U(A∪B)＝{4}，故选D.答案：D14．(2012新课标全国，5分)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1<x<1}，则()A．A?B B．B?A C．A＝B D．A∩B＝?解析：A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－1<x<1}，所以B?A.答案：B15．(2012湖北，5分)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A?C?B的集合C的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：因为集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，所以当满足A?C?B时，集合C 可以为{1,2}、{1,2,3}、{1,2,4}、{1,2,3,4}，故集合C有4个．答案：D16．(2011浙江，5分)若P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞－1}，则()A．P?Q B．Q?P C．?R P?Q D．Q??R P解析：∵P＝{x|x＜1}，∴?R P＝{x|x≥1}，又Q＝{x|x＞－1}，∴?R P?Q.答案：C17．(2013·福建高考)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A?B”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A因为A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，则A＝{1,3}，所以A?B；若A?B，则a＝2或a＝3，所以A?B?/a＝3，所以“a＝3”是“A?B”的充分而不必要条件．18．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且B?A.则实数m的取值范围为________．解析：∵B?A，(1)当B＝?时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.(2)当B≠?时，有解得－1≤m<2，综上得m≥－1.答案：[－1，＋∞)考点三集合的基本运算集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．1．（2012广东，5分）设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，则?U M＝() A．{2,4,6}B．{1,3,5}C．{1,2,4}D．U解析：因为集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，所以2∈?U M,4∈?U M,6∈?U M，所以?U M＝{2,4,6}．答案：A2．（2012安徽，5分）设集合A＝{x|－3≤2x－1≤3}，集合B为函数y ＝lg(x－1)的定义域，则A∩B＝()A．(1,2)B．[1,2]C．[1,2)D．(1,2]解析：由题可知A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x>1}，故A∩B＝(1,2]．答案：D3．（2012浙江，5分）设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{3,4,5}，则P∩(?U Q)＝()A．{1,2,3,4,6}B．{1,2,3,4,5}C．{1,2,5}D．{1,2}解析：?U Q＝{1,2,6}，故P∩(?U Q)＝{1,2}．答案：D4.(2013·山东高考)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且?U(A ∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩?U B＝()A．{3}B．{4}C．{3,4}D．?[解析]∵U＝{1,2,3,4}，?U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1,2,3}．又∵B＝{1,2}，∴{3}?A?{1,2,3}．又?U B＝{3,4}，∴A∩?U B＝{3}．[答案] A4．（2012湖南，5分）设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＝x}，则M∩N＝()A．{－1,0,1}B．{0,1}C．{1}D．{0}解析：N＝{x|x2＝x}＝{0,1}，所以M∩N＝{0,1}．答案：B5．（2012江西，5分）若全集U＝，则集合A＝的补集?U A为()A. B.C. D.解析：因为U＝{x∈R|x2≤4}＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|x＋1|≤1}＝{x∈R|－2≤x≤0}．借助数轴易得?U A＝{x∈R|0<x≤2}．答案：C6．（2011新课标全国，5分）已知集合M＝{0,1,2,3,4，}，N＝{1,3,5，}，P＝M∩N，则P的子集共有()A．2个B．4个C．6个D．8个解析：P＝M∩N＝{1,3}，故P的子集有22＝4个．答案：B7．（2011山东，5分）设集合M＝{x|(x＋3)(x－2)<0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝()A．[1,2)B．[1,2]C．(2,3]D．[2,3]解析：集合M＝(－3,2)，M∩N＝(－3,2)∩[1,3]＝[1,2)．答案：A8．（2011北京，5分）已知全集U＝R，集合P＝{x|x2≤1}，那么?U P＝() A．(－∞，－1)B．(1，＋∞)C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：集合P＝[－1,1]，所以?U P＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：D9．（2010新课标全国，5分）已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|≤4，x∈Z}，则A∩B＝()A．(0,2)B．[0,2]C．{0,2} D．{0,1,2}解析：由题可知，集合A＝{x|－2≤x≤2}，集合B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16}，所以集合A∩B＝{0,1,2}．答案：D(2014·武汉市武昌区联考)已知全集U＝R，集合A＝{x|lg(x＋1)≤0}，B ＝{x|3x≤1}，则?U(A∩B)＝()A．(－∞，0)∪(0，＋∞) B．(0，＋∞)C．(－∞，－1]∪(0，＋∞) D．(－1，＋∞)[解析]lg(x＋1)≤0?0<x＋1≤1?－1<x≤0,3x≤1?x≤0，则A∩B＝(－1,0]，?U(A∩B)＝(－∞，－1]∪(0，＋∞)．[答案] C6．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|y＝lg(x－1)}，则(?U A)∩B ＝()A．{x|x>2或x<0} B．{x|1<x<2}C．{x|1<x≤2} D．{x|1≤x≤2}解析：解不等式x2－2x>0，即x(x－2)>0，得x<0或x>2，故A＝{x|x<0或x>2}；集合B是函数y＝lg(x－1)的定义域，由x－1>0，解得x>1，所以B＝{x|x>1}．如图所示，在数轴上分别表示出集合A，B，则?U A＝{x|0≤x≤2}，所以(?U A)∩B＝{x|0≤x≤2}∩{x|x>1}＝{x|1<x≤2}．答案：选C10．(2009·山东，5分)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为()A．0B．1C．2D．4解析：∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，又A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4，故选D.答案：D11.设全集U是自然数集N，集合A＝{x|x2>4，x∈N}，B＝{0,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是()A．{x|x>2，x∈N}B．{x|x≤2，x∈N}C．{0,2}D．{1,2}解析：选C由图可知，图中阴影部分所表示的集合是B∩(?U A)，?U A ＝{x|x2≤4，x∈N}＝{x|－2≤x≤2，x∈N}＝{0,1,2}，∵B＝{0,2,3}，∴B∩(?U A)＝{0,2}，选C.考点四抽象集合与新定义集合以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生理解问题、解决创新问题的能力.归纳起来常见的命题角度有：?1?创新集合新定义；?2?创新集合新运算；?3?创新集合新性质.解决新定义问题应注意的问题(1)遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质；(2)按新定义的要求，“照章办事”逐步分析、验证、运算，使问题得以解决；(3)对于选择题，可以结合选项通过验证，排除、对比、特值等方法解决． 角度一 创新集合新定义创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识，来解决新定义的集合创新问题．1．若x ∈A ，则∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )A ．1B ．3C ．7D ．31解析：选B 具有伙伴关系的元素组是－1；，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎭⎬⎫⎩⎨⎧2,21，⎭⎬⎫⎩⎨⎧2,211-，.角度二 创新集合新运算创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的．2.如图所示的Venn 图中，A ，B 是非空集合，定义集合A⊕B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝3x，x>0}，则A⊕B为()A．{x|0<x<2} B．{x|1<x≤2}C．{x|0≤x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x>2}解析：选D因为A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>1}，A∪B＝{x|x≥0}，A∩B(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x>2}，故选D.＝{x|1<x≤2}，所以A B＝?A∪B角度三创新集合新性质创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题．3．对于复数a，b，c，d，若集合S＝{a，b，c，d}具有性质“对任意x，y∈S，必有xy∈S”，则当时，b＋c＋d等于()A．1B．－1C．0D．i解析：选B∵S＝{a，b，c，d}，由集合中元素的互异性可知当a＝1时，b＝－1，c2＝－1，∴c＝±i，由“对任意x，y∈S，必有xy∈S”知±i∈S，∴c＝i，d＝－i或c＝－i，d＝i，∴b＋c＋d＝(－1)＋0＝－1.1．（2011福建，5分）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2011∈[1]，②－3∈[3]，③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中，正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：因为2011＝402×5＋1，又因为[1]＝{5n＋k|n∈Z}，所以2011∈[1]，故命题①正确，又因为－3＝5×(－1)＋2，所以－3∈[2]，故命题②不正确，又因为所有的整数Z除以5可得余数的结果为：0,1,2,3,4，所以命题③正确；若a－b属于同一类，则有a＝5n1＋k.b＝5n2＋k，所以a－b＝5(n1－n2)∈[0]，反过来如果a－b∈[0]，也可以得到a－b属于同一类，故命题④正确，所以有3个命题正确．答案：C2．（2010湖南，5分）若规定E＝{a1，a2，…，a10}的子集{a i1，a i2，…，a in}为E的第k个子集，其中k＝2i1－1＋2i2－1＋…＋2i n－1，则(1){a1，a3}是E的第________个子集；(2)E的第211个子集为________．解析：此题是一个创新试题，定义了一个新的概念．(1)根据k的定义，可知k＝21－1＋23－1＝5；(2)此时k＝211，是个奇数，所以可以判断所求子集中必含元素a1，又28,29均大于211，故所求子集不含a9，a10.然后根据2j(j＝1,2，…，7)的值易推导所求子集为{a1，a2，a5，a7，a8}．答案：5{a1，a2，a5，a7，a8}。