集合精品讲义

第1章集合与常用逻辑用语

第1节集合

1．元素与集合

(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．

(2)集合中元素与集合的关系：

元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈和?.

(3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图．

2．集合间的基本关系

描述

关系

文字语言符号语言

集合间的基本关系子集A中任意一元素均为B中的元素A?B或B?A

真子

集

A中任意一元素均为B中的元

素，且B中至少有一个元素A

中没有

AB或BA 相等

集合A与集合B中的所有元素

都相同

A＝B

集合与集合之间的关系：A?B，B?C?A?C，空集是任何集合的子集，含有n个元素的集合的子集数为2n，真子集数为2n－1，非空真子集数为2n－2 3．集合的基本运算

集合的并

集集合的交

集

集合的补集

符号表

示A∪B A∩B

若全集为U，则集合A的补集

为?U A

图形表示

意义{x|x∈A，

或x∈B}

{x|x∈A，

且x∈B}

{x|x∈U，且x?A}

1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．

2．要注意区分元素与集合的从属关系；以及集合与集合的包含关系．3．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．

4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．

5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．

考点一集合的含义与表示

1.正确理解集合的概念

研究一个集合，首先要看集合中代表元素的属性(是点集、数集或其他情形)，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x|y＝f(x)}、{y|y＝f(x)}、{(x，y)|y＝f(x)}三者的不同．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．

2.注意元素的互异性

对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．3．注意空集的特殊性

空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A?B，则需考

虑A＝?和A≠?两种可能的情况．

1．（2013福建，5分）若集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,4}，则A∩B的子集个数为()

A．2B．3C．4D．16

解析：本题主要考查集合的交集及子集的个数等基础知识，意在考查考生对集合概念的准确理解及集合运算的熟练掌握．A∩B＝{1,3}，故A∩B的子集有4个．

答案：C

2．（2013江西，5分）若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝()

A．4B．2C．0D．0或4

解析：本题主要考查集合的表示方法(描述法)及其含义，考查化归与转化、分类讨论思想．由ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解，可得当a＝0时，方程无实数解；当a≠0时，则Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4(a＝0不合题意舍去)．答案：A

3．（2013山东，5分）已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A,y∈A}中元素的个数是()

A．1B．3C．5D．9

解析：本题考查集合的含义，考查分析问题、解决问题的能力．逐个列举可得．x＝0，y＝0,1,2时，x－y＝0，－1，－2；x＝1，y＝0,1,2时，x－y ＝1,0，－1；x＝2，y＝0,1,2时，x－y＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B的元素为－2，－1,0,1,2.共5个．

答案：C

4．（2011广东，5分）已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为() A．4B．3C．2D．1

解析：由消去y得x2－x＝0，解得x＝0或x＝1，这时y＝1或y＝0，即A∩B＝{(0,1)，(1,0)}，有两个元素．

答案：C

5．已知集合M＝{1，m}，N＝{n，log2n}，若M＝N，则(m－n)2013＝________.

解析：由M＝N知

或∴或

答案：－1或0

6．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．

解析：因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3，

此时集合A中有重复元素3，所以m＝1不符合题意，舍去；

当2m2＋m＝3时，解得m＝－或m＝1(舍去)，此时当m＝－时，m＋2＝≠3符合题意．所以m＝－.

答案：－

7．（2010福建，5分）设非空集合S＝{x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下三个命题：①若m＝1，则S＝{1}；②若m＝－，则≤l≤1；

③若l＝，则－≤m≤0.

其中正确命题的个数是()

A．0B．1C．2D．3

解析：若m＝1，则x＝x2，可得x＝1或x＝0(舍去)，则S＝{1}，因此命题①正确；若m＝－，当x＝－时，x2＝∈S，故l min＝，当x＝l时，x2＝l2∈S，则l＝l2可得，可得l＝1或l＝0(舍去)，故l max＝1，∴≤l≤1，因此命题②正确；若l＝，则，得－≤m≤0，因此命题③正确．

答案：D

考点二集合的基本关系

1．已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析．