《高等代数》(上)题库
高等代数试题附答案
科目名称：《高等代数》姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌一、填空题（每小题5分，共25分）1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。
2、向量组()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩） 是线其中7、若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。
（ ） 8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。
（ ）9、在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是)(2R M 的子空间。
（ ）10、齐次线性方程组0)(=-X A E λ的非零解向量是A 的属于λ的特征向量。
（ ） 三、明证题（每小题××分，共31分）1、设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换，证明：A 可逆当且仅当n A A A εεε,,,21 线性无关。
（10）2、设δ是n 维欧氏空间V 的一个线性变幻，证明：如果δ是对称变幻，2δ=l 是单位变幻，那么δ是正交变换。
（11）3、设V 是一个n 维欧氏空间，证明：如果21,W W 都是V 得子空间，那么() ⊥⊥⊥=+2121W W W W 。
（10） 四、计算题（每小题8分，共24分）⎫⎛-331AP 为对考试形式：闭卷 4、特征根是1，1，2，特征向量分别为()(),1,1,2,1,1,121-==αα 5、秩为 3二、是非题（每小题2分，共20分）1、（是 ）2、（是 ）3、（是 ）4、（否 ）5、（否 ）6、（否 ）7、（是 ） 8、（是 ） 9、（是 ） 10、（是 ）三、明证题（每小题××分，共31分）1、证明 设A 可逆，则1-A 存在，且1-A 也是V 的线性变换，（1） 若n A A A εεε,,,21 线性相关，则)(,),(),(12111n A A A A A A εεε--- ，(2)即n εεε,,,21 也线性相关，这与假设n εεε,,,21 是基矛盾，故n A A A εεε,,,21 线性无的一组存在即n A ε,是（10） 则() ⊥⊥⊥=+2121W W W W 。
高等代数北大编-第1章习题参考答案
第一章 多项式一 、习题及参考解答1． 用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ； 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。
解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-=x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 。
2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1， 2）q px x mx x ++++242|1。
解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=-+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1。
2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。
综上所诉，当⎩⎨⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。
3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+。
解 1）432()261339109()327q x x x x x r x =-+-+=-；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=--+=-+。
4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =-+=-；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。
高等代数学习题集
高等代数学习题集一、线性方程组1. 解下列线性方程组：（1）$3x+2y=7$$2x-3y=4$（2）$2x-y+z=4$$x+3y-2z=5$$2x-y+z=1$（3）$3x+y=5$$4x-y=8$2. 通过矩阵表示以下线性方程组，并求出其解：（1）$4x+2y=6$$-2x+y=3$（2）$x-2y+3z=1$$2x+y+3z=9$$3x+2y+4z=12$（3）$x+y+z=0$$x+2y+3z=1$$x-3y+2z=2$二、矩阵运算与性质1. 计算以下矩阵的乘积：$\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$2. 求下列矩阵的逆矩阵：（1）$\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 3 \end{bmatrix}$3. 判断下列矩阵是否可逆，并求其逆矩阵：（1）$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 1 & -3 & 2 \\ 2 & -4 & 3 \end{bmatrix}$4. 求矩阵的转置：（1）$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}$三、特征值与特征向量1. 求矩阵的特征值与特征向量：$\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$2. 计算以下矩阵的迹：（1）$\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix}$四、向量空间1. 判断向量组是否线性相关：（1）$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}$2. 求以下向量组的一个极大线性无关组：（1）$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$五、线性变换1. 判断以下线性变换是否为一一映射：（1）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} 2x+y \\ 3y \end{bmatrix}$（2）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} x+y \\ y+z \\ x+z \end{bmatrix}$2. 求下列线性变换的矩阵表示：（1）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} 2x-y \\ 3x+2y \end{bmatrix}$（2）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} x+y+z \\ 2x+3y-z \\ 3x-2y+2z\end{bmatrix}$六、二次型1. 对以下二次型进行分类：（1）$f(x,y)=2x^2+3y^2-4xy$（2）$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-2xy+4xz$2. 将以下二次型化为标准形：（1）$f(x,y,z)=3x^2+4y^2+2z^2+4xy+4xz-8yz$（2）$f(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2-2xy+6xz$以上为《高等代数学习题集》的内容，希望对你的学习有所帮助。
高代一期末考试试题及答案
高代一期末考试试题及答案高等代数一期末考试试题一、选择题（每题2分，共10分）1. 以下哪个不是线性代数中的基本概念？A. 向量空间B. 线性变换C. 矩阵D. 微积分2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零行的最大数量B. 矩阵中非零列的最大数量C. 矩阵中线性无关行的最大数量D. 矩阵中线性无关列的最大数量3. 线性方程组有唯一解的条件是：A. 系数矩阵的行列式不为零B. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩C. 系数矩阵的秩等于未知数的个数D. 所有选项都是4. 以下哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 行阶梯形矩阵D. 非方阵5. 特征值和特征向量的计算与下列哪个矩阵运算相关？A. 矩阵的加法B. 矩阵的乘法C. 矩阵的转置D. 矩阵的行列式二、填空题（每空1分，共10分）6. 一个向量空间 \( V \) 的基 \( B \) 包含 \( n \) 个线性无关向量，则 \( V \) 的维数为 _______。
7. 若 \( A \) 是 \( m \times n \) 矩阵，\( B \) 是 \( n\times p \) 矩阵，则 \( AB \) 是 _______ 矩阵。
8. 线性变换 \( T: V \rightarrow W \) 的核是所有满足 \( T(v) = 0 \) 的向量 \( v \) 的集合，记为 _______。
9. 矩阵 \( A \) 与 \( B \) 相等，当且仅当它们具有相同的_______。
10. 一个 \( n \) 阶方阵的迹是其对角线上元素的 _______。
三、简答题（每题5分，共20分）11. 解释什么是线性相关和线性无关，并给出一个线性无关向量组的例子。
12. 描述矩阵的行列式计算的几何意义。
13. 说明如何使用高斯消元法求解线性方程组。
14. 什么是特征值分解？它在哪些领域有应用？四、证明题（每题10分，共20分）15. 证明如果矩阵 \( A \) 可逆，则 \( A \) 的行列式不为零。
高等代数 习题及参考答案
解易知 有三重根 时， 。若令
，比较两端系数，得
由（1），（3）得 ，解得 的三个根为 ，将 的三个根分别代入（1），得 。再将它们代入（2），得 的三个根 。
当 时 有3重根 ；当 时， 有2重根 。
18．求多项式 有重根的条件。
解令 ，则 ，显然当 时，只有当 才有三重根。
3） 。
解利用剩余除法试根，可得
1）有一个有理根2。
2）有两个有理根 （即有2重有理根 ）。
3）有五个有理根 （即一个单有理根3和一个4重有理根 ）。
28．下列多项式在有理数域上是否可约？
1） ；
2） ；
3） ；
4） 为奇素数；
5） 为整数。
解1）因为 都不是它的根，所以 在有理数域里不可约。
2）利用艾森斯坦判别法，取 ，则此多项式在有理数域上不可约。
指数组
对应 的方幂乘积
4 2 0
4 1 1
3 3 0
3 2 1
2 2 2
原式= (1)
只要令 ,则原式左边 。另一方面，有 ，
代入（1）式，得 。再令 ，得 。
令 ，得
（2）
令 得
（3）
由（2），（3）解得 。因此
原式 。
4）原式=
指数组
对应 的方幂乘积
2 2 0 0
2 1 1 0
1 1 1 1
设原式
高等代数
第一章多项式
1．用 除 ，求商 与余式 ：
1） ；
2） 。
解1）由带余除法，可得 ；
2）同理可得 。
2． 适合什么条件时，有
1） ，
2） 。
解1）由假设，所得余式为0，即 ，
高等代数试卷及答案一
一、填空题（共10 题，每题2分，共20分）。
1． 多项式可整除任意多项式。
2．艾森施坦因判别法是判断多项式在有理数域上不可约的一个 条件。
3．在n 阶行列式D 中，0的个数多于 个是0D =。
4．若A 是n 阶方阵，且秩1A n =-，则秩A*= 。
5．实数域上不可约多项式的类型有 种。
6．若不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式，则()p x 是(1)()k f x -的 重因式。
7．写出行列式展开定理及推论公式 。
8．当排列12n i i i 是奇排列时，则12n i i i 可经过 数次对换变成12n 。
9．方程组12312322232121x x x ax bx cx d a x b x c x d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，当满足 条件时，有唯一解，唯一解为 。
10．若242(1)1x ax bx -∣++，则a = ，b = 。
二、判断题（共10 题，每题1分， 共 10分）。
1．任何两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变。
（ ） 2．两个多项式互素当且仅当它们无公共根。
（ ）3．设12n ααα是n P 中n 个向量，若n P β∀∈，有12,n αααβ线性相关，则12n ααα线性相关。
（ ）4.设α是某一方程组的解向量，k 为某一常数，则k α也为该方程组的解向量。
（ ） 5．若一整系数多项式()f x 有有理根，则()f x 在有理数域上可约。
（ ） 6 秩()A B +＝秩A ，当 且仅当秩0B =。
（ ）7．向量α线性相关⇔它是任一向量组的线性组合。
（ ）8． 若(),()[]f x g x P x ∈，且((),())1f x g x =，则(()(),()())f x g x f x g x +=。
（ ）9．(),()[]f x g x Z x ∈，且()g x 为本原多项式，若()()()f x g x h x =则()[]h x Z x ∈。
高等代数复习题精选
高等代数复习题精选第一章多项式自测题一、填空题1.设 $g(x)$ 为 $f(x)$ 的因式，则 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的一个最大公因式为 $g(x)$。
2.$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$，$x=1$ 是 $f(x)$ 的根，则 $a_0+a_1+\cdots+a_n=f(1)$，若$x|f(x)$，则 $a=0$，若 $x+1|f(x)$，则 $a_n=0$。
3.若 $(f(x),f'(x))=x+1$，则 $x+1$ 是 $f(x)$ 的重根。
4.$x^4-4$ 在有理数域、实数域、复数域上的标准分解式为 $(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)$。
二、选择题（以下所涉及的多项式，都是数域 $P$ 上的多项式）1.设 $\phi(x)|f(x)$，$\phi(x)|g(x)$，且 $\phi(x)\neq 0$，$g(x)$ 与 $f(x)$ 不全为 $0$，则下列命题为假的是（）。
A。
$\phi(x)|(u(x)f(x)+v(x)g(x))$B。
$\deg(\phi(x))\leq\min\{\deg f(x),\deg g(x)\}$C。
若存在 $u(x)$，$v(x)$，使 $u(x)f(x)+v(x)g(x)=\phi(x)$，则 $(f(x),g(x))=\phi(x)$D。
若 $x-a|\phi(x)$，则 $f(a)=g(a)$。
答案：D。
2.若 $(f(x),g(x))=1$，则以下命题为假的是（）。
A。
$(f^2(x),g^3(x))=1$B。
$(f(x),f(x)+g(x))=1$___(x)|f(x)h(x)$ 必有 $g(x)|h(x)$D。
以上都不对。
答案：D。
3.下列命题为假的是（）。
A。
在有理数域上存在任意次不可约多项式。
B。
在实数域上 $3$ 次多项式一定可约。
C。
在复数域上次数大于 $1$ 的多项式都可约。
大学高等代数试题及答案
大学高等代数试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=1，则矩阵A的逆矩阵的行列式是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 32. 若线性方程组有唯一解，则该方程组的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩（）。
A. 不相等B. 相等C. 相差1D. 相差23. 以下哪个矩阵是正交矩阵？（）A. \[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]B. \[\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\]C. \[\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\]D. \[\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\]4. 矩阵A的特征值是λ，那么矩阵A的转置的特征值是（）。
A. λB. -λC. 0D. 不确定5. 设A是n阶方阵，且A^2=I（I是单位矩阵），则A的行列式是（）。
A. 1B. -1C. 0D. 不确定二、填空题（每题3分，共15分）6. 若矩阵A的秩为2，则A的行最简形矩阵中非零行的个数为_________。
7. 设A是3×3矩阵，且A的迹等于3，则A的对角线元素之和为_________。
8. 若线性方程组的系数矩阵A和增广矩阵B的秩相等，则该方程组有_________解。
9. 设矩阵A的特征多项式为f(λ)=λ^2-5λ+6，则A的特征值为_________。
10. 若矩阵A与B相似，则A与B有相同的_________。
三、解答题（每题10分，共20分）11. 给定矩阵\[A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}\]，求矩阵A的特征值和特征向量。
《高等代数》（上）题库
《高等代数》上题库第一章多项式填空题 1.71、设用x-1除fx余数为5用x1除fx余数为7则用x2-1除fx余数是。
1.52、当px是多项式时由px fxgx可推出pxfx或pxgx。
1.43、当fx与gx 时由fxgxhx可推出fxhx。
1.54、设fxx33x2axb 用x1除余数为3用x-1除余数为5那么a b 。
1.75、设fxx43x2-kx2用x-1除余数为3则k 。
1.76、如果x2-12x4-3x36x2axb则a b 。
1.77、如果fxx3-3xk有重根那么k 。
1.88、以l为二重根21i为单根的次数最低的实系数多项式为fx 。
1.89、已知1-i是fxx4-4x35x2-2x-2的一个根则fx的全部根是。
1.410、如果fxgx1hxgx1 则。
1.511、设px是不可约多项式pxfxgx则。
1.312、如果fxgxgxhx则。
1.513、设px是不可约多项式fx是任一多项式则。
1.314、若fxgxhxfxgx则。
1.315、若fxgxfx hx则。
1.416、若gxfxhxfx 且gxhx1则。
1.517、若px gxhx且则pxgx或pxhx。
1.418、若fxgxhx且fxgx-hx则。
1.719、α是fx的根的充分必要条件是。
1.720、fx没有重根的充分必要条件是。
答案1、-x6 2、不可约3、互素4、a0b1 5、k3 6、a3b-7 7、k±2 8、x5-6x415x3-20x214x-4 9、1-i1i 121-2 10、fxhxgx1 11、pxfx或pxgx 12、fxhx 13、pxfx或pxfx1 14、fxhx 15、fxgxhx 16、gxhxfx 17、px是不可约多项式18、fxgx且fxhx 19、x-αfx 20、fxf’x1 判断并说明理由1.11、数集12ibabia是有理数是数域 1.12、数集12ibabia是整数是数域 1.33、若fxgxhxfxgx则fxhx 1.34、若fxgxhxfxgx则fxhx 1.45、若gxfxhxfx则gxhxfx 1.46、若fxgxhx1则fxhx1 gxhx1 7、若fxgxhx且fxgx则fxhx1 1.68、设px是数域p上不可约多项式那么如果px是fx的k重因式则px是fx的k-1重因式。
完整版高等代数习题解答(第一章)
完整版高等代数习题解答(第一章)高等代数题解答第一章多项式补充题1.当a,b,c取何值时，多项式f(x)=x-5与g(x)=a(x-2)^2+b(x+1)+c(x^2-x+2)相等？提示：比较系数得a=-1,b=-1,c=6.补充题2.设f(x),g(x),h(x)∈[x]，f^2(x)=xg^2(x)+x^3h^2(x)，证明：假设f(x)=g(x)=h(x)不成立。
若f(x)≠0，则∂(f^2(x))为偶数，又g^2(x),h^2(x)等于或次数为偶数，由于g^2(x),h^2(x)∈[x]，首项系数（如果有的话）为正数，从而xg^2(x)+x^3h^2(x)等于或次数为奇数，矛盾。
若g(x)≠0或h(x)≠0，则∂(xg^2(x)+x^3h^2(x))为奇数，而f^2(x)为偶数，矛盾。
综上所证，f(x)≠g(x)或f(x)≠h(x)。
1.用g(x)除f(x)，求商q(x)与余式r(x)：1）f(x) =x^3-3x^2-x-1，g(x) =3x^2-2x+1；2）f(x) =x^4-2x+5，g(x) =x^2-x+2．1）解法一：待定系数法。
由于f(x)是首项系数为1的3次多项式，而g(x)是首项系数为3的2次多项式，所以商q(x)必是首项系数为1的1次多项式，而余式的次数小于2.于是可设q(x)=x+a,r(x)=bx+c。
根据f(x)=q(x)g(x)+r(x)，即x^3-3x^2-x-1=(x+a)(3x^2-2x+1)+bx+c，右边展开，合并同类项，再比较两边同次幂的系数，得a=-1/3,b=-2/3,c=-1，故得q(x)=x-1/3,r(x)=-x-1/3.2）解法二：带余除法。
用长除法得商q(x)=x^2+x-1，余式r(x)=-5x+7.2.m,p,q适合什么条件时，有1）x^2+mx-1/x^3+px+q;2）x^2+mx+1/x^4+px^2+q.解：1）将x^3+px+q除以x^2+mx-1得商为x+m+1/(x+m-1)，所以当m≠1时有解。
高等代数 习题及参考答案
高等代数习题及参考答案第一章多项式1．用g(x)除f(x)，求商q(x)与余式r(x)：322f(x)?x?3x?x?1,g(x)?3x?2x?1； 1）2）f(x)?x4?2x?5,g(x)?x2?x?2。
q(x)?17262x?,r(x)??x?3999；解 1）由带余除法，可得2q(x)?x?x?1,r(x)??5x?7。
2）同理可得2．m,p,q适合什么条件时，有23x?mx?1|x?px?q， 1）242x?mx?1|x?px?q。
2）2(p?1?m)x?(q?m)?0，解 1）由假设，所得余式为0，即?p?1?m2?0?23q?m?0x?mx?1|x?px?q。
?所以当时有?m(2?p?m2)?0?2q?1?p?m?02）类似可得?，于是当m?0时，代入（2）可得p?q?1；而当2?p?m2?0时，代入（2）可得q?1。
?m?0?q?1??2242p?q?1p?m?2x?mx?1|x?px?q。
??综上所诉，当或时，皆有3．求g(x)除f(x)的商q(x)与余式：53f(x)?2x?5x?8x,g(x)?x?3； 1）2）f(x)?x?x?x,g(x)?x?1?2i。
32q(x)?2x4?6x3?13x2?39x?109解 1）r(x)??327；q(x)?x2?2ix?(5?2i)2）r(x)??9?8i。
x?x0的方幂和，即表成4．把f(x)表示成c0?c1(x?x0)?c2(x?x0)2?...?cn(x?x0)n??的形式：5f(x)?x,x0?1； 1）42f(x)?x?2x?3,x0??2； 2）432f(x)?x?2ix?(1?i)x?3x?7?i,x0??i。
3）2345f(x)?1?5(x?1)?10(x?1)?10(x?1)?5(x?1)?(x?1)解 1）由综合除法，可得； 2）由综合除法，可得x?2x?3?11?24(x?2)?22(x?2)?8(x?2)?(x?2)；432x?2ix?(1?i)x?3x?(7?i) 3）由综合除法，可得42234?(7?5i)?5(x?i)?(?1?i)(x?i)2?2i(x?i)3?(x?i)4。
高等代数例题（全部）
⾼等代数例题（全部）⾼等代数例题第⼀章多项式1．44P 2 （1）m 、p 、q 适合什么条件时，有231x mx x px q +-++2．45P 7 设32()(1)22f x x t x x u =++++，3()g x x tx u =++的最⼤公因式是⼀个⼆次多项式，求t 、u 的值。
3．45P 14 证明：如果((),())1f x g x =，那么(()(),()())1f x g x f x g x += 4．45P 18 求多项式3x px q ++有重根的条件。
5．46P 24 证明：如果(1)()n x f x -，那么(1)()n n x f x -6．46P 25 证明：如果23312(1)()()x x f x xf x +++，那么1(1)()x f x -，2(1)()x f x - 7．46P 26 求多项式1nx -在复数域内和实数域内的因式分解。
8．46P 28 （4）多项式1p x px ++ （p 为奇素数）在有理数域上是否可约？9．47P 1 设1()()()f x af x bg x =+，1()()()g x cf x dg x =+，且0ad bc -≠。
求证：11((),())((),())f x g x f x g x =。
10．48P 5 多项式()m x 称为多项式()f x ，()g x 的⼀个最⼩公倍式，如果（1）()()f x m x ，()()g x m x ；（2）()f x ，()g x 的任意⼀个公倍式都是()m x 的倍式。
我们以[(),()]f x g x 表⽰⾸项系数为1的那个最⼩公倍式。
证明：如果()f x ，()g x 的⾸项系数都为1，那么()()[(),()]((),())f xg x f x g x f x g x =。
11．设 m 、n 为整数，2()1g x x x =++除33()2mn f x xx =+-所得余式为。
《高等代数》(上)题库
《高等代数》（上）题库第一章多项式填空题(1.7)1、设用x-1除f(x)余数为5，用x+1除f(x)余数为7，则用x2-1除f(x)余数是。
(1.5)2、当p(x)是多项式时，由p(x)| f(x)g(x)可推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)。
(1.4)3、当f(x)与g(x) 时，由f(x)|g(x)h(x)可推出f(x)|h(x)。
(1.5)4、设f(x)=x3+3x2+ax+b 用x+1除余数为3，用x-1除余数为5，那么a= b。
(1.7)5、设f(x)=x4+3x2-kx+2用x-1除余数为3，则k= 。
(1.7)6、如果(x2-1)2|x4-3x3+6x2+ax+b，则a= b= 。
(1.7)7、如果f(x)=x3-3x+k有重根，那么k= 。
(1.8)8、以l为二重根，2，1+i为单根的次数最低的实系数多项式为f(x)= 。
(1.8)9、已知1-i是f(x)=x4-4x3+5x2-2x-2的一个根，则f(x)的全部根是。
(1.4)10、如果（f(x),g(x)）=1，（h(x),g(x)）=1 则。
(1.5)11、设p(x)是不可约多项式，p(x)|f(x)g(x),则。
(1.3)12、如果f(x)|g(x),g(x)|h(x)，则。
(1.5)13、设p(x)是不可约多项式，f(x)是任一多项式，则。
(1.3)14、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x)，则。
(1.3)15、若f(x)|g(x),f(x)| h(x)，则。
(1.4)16、若g(x)|f(x),h(x)|f(x)，且(g(x),h(x))=1，则。
(1.5)17、若p(x) |g(x)h(x),且则p(x)|g(x)或p(x)|h(x)。
(1.4)18、若f(x)|g(x)+h(x)且f(x)|g(x)-h(x),则。
(1.7)19、α是f(x)的根的充分必要条件是。
(1.7)20、f(x)没有重根的充分必要条件是。
(完整word版)高等代数(一)试题及参考答案
高等代数（一）考试试卷一、单选题（每一小题备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的题号填入答题纸内相应的表格中。
错选、多选、不选均不给分，6小题，每小题4分，共24分）1. 以下乘积中（ ）是4阶行列式ij D a =展开式中取负号的项.A 、11223344a a a a .B 、14233142a a a a .C 、12233144a a a a .D 、23413214a a a a .2．行列式13402324a --中元素a 的代数余子式是（ ）.A 、0324-. B 、0324--. C 、1403-. D 、1403. 3．设,A B 都是n 阶矩阵，若AB O =，则正确的是（ ）. A 、()()r A r B n +≤. B 、0A =. C 、A O =或B O =. D 、0A ≠.4．下列向量组中，线性无关的是（ ）.A 、{}0.B 、{},,αβ0.C 、{}12,,,r αααL ，其中12m αα=.D 、{}12,,,r αααL ，其中任一向量都不能表示成其余向量的线性组合. 5．设A 是n 阶矩阵且()r A r n =<，则A 中（ ）.A 、必有r 个行向量线性无关.B 、任意r 个行向量线性无关.C 、任意r 个行向量构成一个极大线性无关组.D 、任意一个行向量都能被其它r 个行向量线性表出.6．n 阶矩阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（ ）条件. A 、充要. B 、充分非必要. C 、必要非充分. D 、非充分非必要. 二、判断题（正确的打√，错误的打×，5小题，每小题2分，共10分）. 1．若A 为n 阶矩阵，k 为非零常数，则kA k A =. （ ） 2．若两个向量组等价，则它们包含的向量个数相同. （ ） 3．对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变. （ ） 4．正交矩阵的逆矩阵仍是正交矩阵. （ ） 5．任何数域都包含有理数域. （ ） 三、填空题（每空4分，共24分）.1．行列式0001020010000D n n==-L L LLLL L L L. 2．已知5(1,0,1)3(1,0,2)(1,3,1),(4,2,1)αβ---=--=-，则α= ，(,)αβ= .3．矩阵12311211022584311112A ---⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦，则()r A = . 4．设线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L L L L L 有解，其系数矩阵A 与增广矩阵A 的秩分别为s 和t ，则s 与t 的大小关系是 .5．设111123111,124111051A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，则1A B -= .四、计算题（4小题，共42分）1．计算行列式（1）111111111111a a a a；（2）111116541362516121612564.（每小题6分，共12分）2．用基础解系表出线性方程组123451234512345123452321236222223517105x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪+++-=⎪⎨+++-=⎪⎪+--+=⎩的全部解.（10分）3．求与向量组123(1,1,1,1),(1,1,0,4),(3,5,1,1)ααα==-=-等价的正交单位向量组.（10分）4．求矩阵211020413A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的特征根和特征向量.（10分）一、单选题（每题4分，共24分）二、判断题（每题2分，共10分）三、填空题（每空4分，共24分）1．(1)2(1)!n n n --⋅； 2．（1 （2）0；3．3； 4．s t =；5.351222312212112-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 四、计算题（共42分）1．（12分，每小题各6分） (1)解：11131111111111311111(3)111311111111311111a a a a a a a a a a a aa a a++==+++ ..............（3分）311110100(3)(3)(1)001001a a a a a a -=+=+--- ...................（3分）注：中间步骤形式多样，可酌情加分(2)解：222233331111111116541654136251616541216125641654=，此行列式为范德蒙行列式 ......（3分）进而2222333311111654=(61)(51)(41)(56)(46)(45)12016541654=------=-原式 .......（3分）2．（10分）解：用初等变换把增广矩阵化为阶梯形1213211213211213212111360317740115411122220115410317742351710501711630171163---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-------⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥⎢⎥--------⎣⎦⎣⎦⎣⎦1213211213210115410115410317740048510171163000000--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦..................（3分）得同解方程组12345234534523215414851x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪--+=-⎨⎪+-=-⎩ 取45,x x 为自由未知量，得方程的一般解为12345234534521321544185x x x x x x x x x x x x++=+-⎧⎪-=+-⎨⎪=--+⎩（其中45,x x 为自由未知量） 将450,0x x ==代入得特解01551(,,,0,0)444γ=--. ................（3分）用同样初等变换，得到与导出组同解的方程组12345234534523205404850x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩仍取45,x x 为自由未知量，得一般解12345234534523254485x x x x x x x x x x x x++=-⎧⎪-=-⎨⎪=-+⎩，将451,0x x ==和450,4x x ==分别代入得到一个基础解系：12(1,3,2,1,0),(9,11,5,0,4)ηη=--=- ...............（3分）所以，原方程组的全部解为01122k k γηη++，12,k k 为数域P 中任意数。
高等代数第一章检测题
高等代数第一章检测题一、判断题1．数域P 一定是个无限有集。
（ ）2．零多项式是唯一不定义次数的多项式。
（ ）3．零多项式只能整除零多项式，而任意多项式都能整除零多项式。
（ ）4．若)()()(x h x g x f ，则)()(x g x f 或)()(x h x f 。
（ ）二、填空题1．多项式157424---x x x 的有理根是 .2．多项式14+x 任复数域上的分解式 .3．多项式1323-+-tx x x 有重根，，则 .4．多项式)(x f 与)(x g 互素的充要条件是 .5．设d x c x b x a x x x +-+-+-=-+-)2()2()2(5322323则a 、b 、c 、d 分别是 . 三、选择题1．设][)(),(x p x g x f ∈，且满足)()()()(x r x q x g x f +=，那么 .（A ）))(),(())(),((x r x f x g x f =； （B ）))(),(())(),((x r x f x q x f =（C ）))(),(())(),((x r x g x g x f = （D ）))(),(())(),((x r x g x q x f =2.设][)(),(x p x g x f ∈，0)()(,0)(,0)(≠±≠≠x g x f x g x f 那么下列式子中 成立.（A ）))(())(())()((x g x f x g x f ∂±∂=±∂；（B ）)))(()),((max())()((x g x f x g x f ∂∂≤±∂；（C ）)))(()),((max())()((x g x f x g x f ∂∂≥±∂；（D ）))(()),((min ))()((x g x f x g x f ∂∂=±∂.3．设011)(a x a x a x f n n n n ++=--是一个整系数多项式，而s r 是它的一个有理根，（其中r 与s 互素），那么必有 .（A ）0a s n a r ； （B ）n a s 0a r（C ）s 0a n a r ； （D ）s n a 0a r4．在有理数域中，不可约多项式的次数 .（A ）必是一次的； （B ）必是二次的；（C ）必是一次或者二次的； （D ）可以是任意次的.5.不可约多项式)(x p 是多次式)(x f '的1-k 重因式是)(x p 是)(x f 的k 重因式的 条件.（A ）必要； （B ）充分必要；（C ）充分； （D ）没有关系.四、完成题1．2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 及余式)(x r .2．求1)(3+-=x x x g 除l x kx x x x x f +++-+=533)(2345所得商式及余式，并确定l k ,的值，使)(x g 整除)(x f .3．设22)(234-+++=bx x ax x x f①如果)(x f 被22--x x 整除，求b a ,.②如果)(x f 被2)1(-x 整除，求b a ,,4．已知实系数方程0223=+++r qx x x 有一个根是i 21+-，试求r q ,并解此方程. 5．问2是否是多项式81222116)(345+--+-=x x x x x x f 的根，如果是，是几重根？五、证明题1.证明：如果)(x f ，)(x g 不全为零，且存在))(),(()()()()(x g x f x g x v x f x u =+则1))(),((=x v x u .2.设)(x P 是一个不可约多项式，而)(x f 是一个任意多项式，则或者)(x P 与)(x f 互素，或者)(x P 整除)(x f .3.证明：多项式3+n x 在有理数域Q 上不可约.。
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《高等代数》（上）题库第一章多项式填空题(1.7)1、设用x-1除f(x)余数为5，用x+1除f(x)余数为7，则用x2-1除f(x)余数是。
(1.5)2、当p(x)是多项式时，由p(x)| f(x)g(x)可推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)。
(1.4)3、当f(x)与g(x) 时，由f(x)|g(x)h(x)可推出f(x)|h(x)。
(1.5)4、设f(x)=x3+3x2+ax+b 用x+1除余数为3，用x-1除余数为5，那么a= b。
(1.7)5、设f(x)=x4+3x2-kx+2用x-1除余数为3，则k= 。
(1.7)6、如果(x2-1)2|x4-3x3+6x2+ax+b，则a= b= 。
(1.7)7、如果f(x)=x3-3x+k有重根，那么k= 。
(1.8)8、以l为二重根，2，1+i为单根的次数最低的实系数多项式为f(x)= 。
(1.8)9、已知1-i是f(x)=x4-4x3+5x2-2x-2的一个根，则f(x)的全部根是。
(1.4)10、如果（f(x),g(x)）=1，（h(x),g(x)）=1 则。
(1.5)11、设p(x)是不可约多项式，p(x)|f(x)g(x),则。
(1.3)12、如果f(x)|g(x),g(x)|h(x)，则。
(1.5)13、设p(x)是不可约多项式，f(x)是任一多项式，则。
(1.3)14、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x)，则。
(1.3)15、若f(x)|g(x),f(x)| h(x)，则。
(1.4)16、若g(x)|f(x),h(x)|f(x)，且(g(x),h(x))=1，则。
(1.5)17、若p(x) |g(x)h(x),且则p(x)|g(x)或p(x)|h(x)。
(1.4)18、若f(x)|g(x)+h(x)且f(x)|g(x)-h(x),则。
(1.7)19、α是f(x)的根的充分必要条件是。
(1.7)20、f(x)没有重根的充分必要条件是。
答案1、-x+62、不可约3、互素4、a=0,b=15、k=36、a=3,b=-77、k=±28、x5-6x4+15x3-20x2+14x-4 9、1-i,1+i 1+2,1-2 10、(f(x)h(x),g(x))=1 11、p(x)|f(x)或p(x)|g(x) 12、f(x)|h(x) 13、p(x)|f(x)或(p(x),f(x))=1 14、f(x)|h(x) 15、f(x)|g(x)+h(x) 16、g(x)h(x)|f(x) 17、p(x)是不可约多项式 18、f(x)|g(x)且f(x)|h(x) 19、x-α|f(x) 20、(f(x),f’(x))=1判断并说明理由(1.1)1、数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是有理数是数域（ ） (1.1)2、数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是整数是数域 （ ）(1.3)3、若f(x)|g(x)h(x),f(x)|g(x),则f(x)|h(x) ( ) (1.3)4、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x),则f(x)|h(x) （ ） (1.4)5、若g(x)|f(x),h(x)|f(x)，则g(x)h(x)|f(x) （ ）(1.4)6、若（f(x)g(x),h(x)）=1,则（f(x),h(x)）=1 (g(x),h(x))=1 ( ) 7、若f(x)|g(x)h(x),且f(x)|g(x),则(f(x),h(x))=1 ( )(1.6)8、设p(x)是数域p 上不可约多项式，那么如果p(x)是f(x)的k 重因式，则p(x)是f(x)的k-1重因式。
（ ）(1.9)9、如果f(x)在有理数域上是可约的，则f(x)必有有理根。
（ ） (1.9)10、f(x)=x 4-2x 3+8x-10在有理数域上不可约。
（ ）(1.1)11、数集}{是有理数b a b a ,|2+是数域 （ ）(1.1)12、数集}{为整数n n|2是数域 （ ）(1.3)13、若f(x)|g(x)h(x)，则f(x)|g(x)或f(x)|h(x) ( ) (1.3)14、若f(x)|g(x),f(x)|h(x)，则f(x)|g(x)h(x) ( )(1.3)15、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x)-h(x)，则f(x)|g(x)且f(x)|h(x) ( )(1.4)16、若有d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x),则d(x)是f(x),g(x)的最大公因式 （ ）(1.6)17、若p(x)是f ’(x)的k 重因式，则p(x)是f(x)的k+1重因式（ ） (1.7)18、如果f(x)没有有理根，则它在有理数域上不可约。
（ ） (1.8)19、奇次数的实系数多项式必有实根。
（ ） (1.9)20、 f(x)=x 6+x 3+1在有理数域上可约。
（ ）答案：1、√ 2、× 3、× 4、√ 5、× 6、√ 7、× 8、√ 9、× 10、√11、√ 12、× 除法不封闭 13、× 当f(x)是不可约时才成立 14、× 如f(x)=x 2，g(x)=h(x)=x 时 不成立 15、√ 16、× 17、×如f(x)=x k+1+1 18×、19、√虚根成对 20、× 变形后用判别法知 不可约选择题(1.1)1、以下数集不是数域的是（ ）A 、{是有理数b a bi a ,|+，i 2= -1}B 、 {是整数b a bi a ,|+，i 2= -1}C 、{}是有理数b a b a ,|2+D 、{}全体有理数(1.3)2、关于多项式的整除，以下命题正确的是 （ ）A 、若f(x)|g(x)h(x),且f(x)|g(x)则f(x)|h(x)B 、若g(x)|f(x),h(x)|f(x),则g(x)h(x)|f(x)C 、若f(x)|g(x)+h(x)，且f(x)|g(x)，则/ f(x)|h(x)D 、若f(x)|g(x)，f(x)|h(x)，则f(x)|g(x)h(x)(1.4)3、关于多项式的最大公因式，以下结论正确的是 （ ） A 、若f(x)|g(x)h(x) 且f(x)|g(x) ,则（f(x),h(x)）=1B 、若存在u(x)，v(x)，使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x)，则d(x)是f(x)和g(x)的最大公因式C 、若d(x)|f(x),且有f(x)u(x)+g(x)v(x) =d(x)，则d(x)是f(x)和g(x)的最大公因式D 、若(f(x)g(x),h(x))=1，则(f(x),h(x))=1且(g(x),h(x))=1（ ） (1.7)4、关于多项式的根，以下结论正确的是 （ ） A 、如果f(x)在有理数域上可约，则它必有理根。
B 、如果f(x)在实数域上可约，则它必有实根。
C 、如果f(x)没有有理根，则f(x)在有理数域上不可约。
D 、一个三次实系数多项式必有实根。
(1.6)5、关于多项式的重因式，以下结论正确的是（ ）A 、若f(x)是f ’(x)的k 重因式，则p(x) 是f(x)的k+1重因式B 、若p(x)是f(x)的k 重因式，则p(x) 是f(x)，f ’(x)的公因式C 、若p(x)是f ’(x)的因式，则p(x)是f(x)的重因式D 、若p(x)是f(x)的重因式，则p(x)是))(),(()(x f x f x f 的单因式 (1.7)6、关于多项式的根，以下结论不正确的是 （ ）A 、α是f(x)的根的充分必要条件是x-α|f(x)B 、若f(x)没有有理根，则f(x)在有理数域上不可约C 、每个次数≥1的复数系数多项式，在复数域中有根D 、一个三次的实系数多项式必有实根(1.7)7、设f(x)=x 3-3x+k 有重根，那么k=（ ） A 、1 B 、-1 C 、±2 D 、0 (1.9)8、设f(x)=x 3-3x 2+tx-1是整系数多项式，当t=( )时，f(x)在有理数域上可约。
A 、1 B 、0 C 、-1 D 、3或-5(1.9)9、设f(x)=x 3-tx 2+5x+1是整系数多项式，当t=（ ）时，f(x)在有理数域上可约。
A 、t=7或3B 、1C 、-1D 、0(1.9)10、设f(x)=x 3+tx 2+3x-1是整系数多项式，当t=( )时，f(x)在有理数域上可约。
A 、1B 、-1C 、0D 、5或-3(1.5)11、关于不可约多项式p(x),以下结论不正确的是（ ） A 、若p(x)|f(x)g(x)，则p(x)|f(x)或p(x)|g(x)B 、若q(x)也是不可约多项式，则（p(x),q(x)）=1或p(x)=cq(x) c ≠0C 、p(x)是任何数域上的不可约多项式D 、p(x)是有理数域上的不可约多项式(1.9)12、设f(x)=x 5+5x+1，以下结论不正确的是（ ）A 、f(x)在有理数域上 不可约B 、f(x)在有理数域上 可约C 、f(x)有一实根D 、f(x)没有有理根(1.9)13、设f(x)=x p +px+1,p 为奇素数，以下结论正确的是 （ ） A 、f(x)在有理数域上 不可约B 、f(x)在有理数域上 可约C 、f(x)在实数域上 不可约D 、f(x)在复数域上 不可约答案：1、B2、C3、D4、D5、D6、B7、C8、D9、A 10、D 11、C 12、B 13、A计算题(1.3)1、求m ，p 的值使 x 2+3x+2|x 4-mx 2-px+2解：用带余除法 求得r(x)=-(3m+p+15)x-(2m+12)令r(x)=0即⎩⎨⎧=+=++060153m p m求得m= -6 p=3(1.6)2、判断f(x)=x 4-6x 2+8x-3有无重因式，如果有，求其重数 解：f ’(x)=4x 3-12x+8 (f(x),f ’(x))=(x-1)2x-1是f(x)的三重因式(1.7)3、设f(x)=x 4-3x 3+6x 2-10x+16, C=3，求f(c)解：用综合除法求得f(c)=40(1.7)4、决是t 的值，使f(x)=x 3-3x 2+tx-1 有重根解J ：由辗转除法使（f(x),f ’(x)）≠求得t=3 或t=415-当t=3时 f(x)有三重根1 当t=415-时，f(x)有二重根-21(1.9)5、设f(x)=x 5+x 4-2x 3-x 2-x+2，求f(x)的有理根，并写出f(x)在实数域和复数域上的标准分解式。
解：有理根是1（二重），2 实数域上分解式为f(x)=(x-1)2(x+2)(x 2+x+1)复数域上分解式为f(x)=(x-1)2(x+2)(x+21-23i)(x+)2321i +(1.9)6、求f(x)=4x 4-7x 2-5x+1的有理根，并写出f(x)在有理数域上的标准分解式。