清北学堂数学高联一试模拟题(8)及答案

1 2i

f n 1 f n 1
2
即 f n 1 2 f n. 所以 f n 2n.
16x2
8.

y2

4

1 2

x

5
5

设 P x0 , y0 ，则 MN : 4x0 x y0 y 4 ，由 MN 与 O 相切，可知y N
由二次函数 y x2 2x 4 图像可知 2 a 5 ，经验证 2 a 5 满足条件.
2
2
2．384. 1，2，3, …,20 中 3 的倍数 6 个，除以 3 余 1 的数 7 个，除以 3 余 2 的数 7 个，
故满足条件的取法 C63 C73 C73 6 7 7 384 种
4 16x02 y02
2 ，化简得16x02 y02 4 ，
即所求方程为16x2 y2 4 .
P
x
O
M
又直线 MN 与曲线 C 交于两点，可知 x0 0,
4x0 y0
2.
结合方程，可算得 5 x 1 .
5
2
9．(1)
sin A cos A
3 cos 3 sin
注意到
m m
n n
1 1

m m
1 1

n n
1 1
，故
所求+1 所求-1

101 100 99 98

99 97

4 3 5050 ， 21
于是 所求= 5051 . 5049
7.
2n
设 f
n

n i0
1 2i

Cn ni
，则
f
(0)
1，
f (n 1)
和为 360 得，[2k (n 1)d]n 720 ，这说明 n 是 720 的约数. 注意到 2k (n 1)d n ，
因此 n 的可能值从大至小为： 24,20,18, . 易验证 n 24, 20 时无解，当 n 18 时
d 2,k 3.
5051
6.
.
5049
当 c b 时， c2 2(a b)c (a b)2 a(a 4b) 0 亦成立.
故1 a2 b2 c2 2 . ab bc ca
5. 18 外角也构成等差数列，设度数分别为 k,k d, ,k (n 1)d ，其中 k, d 是正整数. 由外角
2
2
2cos C 1 2cos2 C 2cos C 2(cos C 1)2 3 3 ,当 C 时取等.
2 22
3
10.
显然 x 0 不是方程的解，两边同除以 x2 得 x2
ax b
a x

1 x2
0.
令
y x 1 得到关于 y 的一元二次方程 y2 ay (b 2) 0 . x
根都在 2 与 2 之间.
f (2) 2a b 2 0
3.
13 13 6
过 A 作 BC 平行线 AE ，且使 AE BC ，则四边形 ABCE 为矩形.
由 BA AD, BA AE 可知 AB 面ADE ，所以 DE CE . 设 O 为四面体 ABCD 外接球球心，易知点 E 也在外接球上. 过 O 作面 ABCD 和面 ADE 的投影，分别记为 O ', O" .
事实上，不妨设 a b c a b . 注意到 () 式等价于 c2 2(a b)c (a b)2 0 ，
于是只需证明 c 在两个端点 b, a b 处取值时上式成立即可.
当 c a b 时， c2 2(a b)c (a b)2 4ab 0 成立；
易知 O',O" 分别为矩形 ABCD 和 ADE 的外心，
所以 AO" DE 22 1 3 ， OO" FO' 1 AB 1 .
2sin 30 2 1
22
2来自百度文库
D
O" E O
C
F A
O' B
故外接球半径为 OA AO"2 O"O2 13 . 2
所以外接球的体积为 4 OA3 13 13 .
清北学堂高联一试模拟题(八)
2a 5
1．
2.
由
20 5x2

ax0
0

2 x

xa
2
，可知
a
1，且在区间
(2,1)
上
20 5x2
10(a

x)
只有一个整数解 x 1，即 2a x 2 2x 4 在区间 (2,1) 上只有一个整数解 x 1，
因为 x 是模长为1的复数，故 y x 1 2Re x 是[2, 2]中的实数. 反过来，如果 x
x 1 是[2,2]中的实数，可设 x 1 2cos ( [0, 2 )) ，则 x cos isin 是模长
x
x
为1的复数.
这样，问题转化成求正整数组 (a,b) 使得关于 y 的方程 y2 ay (b 2) 0 的两个实
n1 i0
Ci n1i

1 2i

n1 i0
Ci ni

1 2i

n1 i1
C i 1 ni

1 2i

f
(n)

C n1 2n1

1 2n1

n1 i1
C i 1 ni

1 2i

f
(n)

1 2

1 2n1
C n1 2n2

n i0
Ci ni1
A A

tan A tan 3
1 tan A tan
tan( A ) ,故 A 7 , A .
3
3 12 4
3
(2) 由于 2B 2C 3 ,故 sin 2B 2cos C sin(3 2C) 2cos C cos 2C
3
6
4. [1,2)
一方面，熟知 a2 b2 c2 ab bc ca 且当 a b c 时取到等号.
另一方面，当 a 1,b c 时， a2 b2 c2 ab bc ca

1 2c2 2c c2
2(c ) .
还需证明对任意
三角形的三边长 a,b,c ，均有 a2 b2 c2 2() . ab bc ca