(正弦、余弦函数的定义域、值域)

正、余弦函数图象和性质

一、知识点梳理：

1．正、余弦函数图象和性质表

函数 正弦函数R x x y ∈=,sin 余弦函数R x x y ∈=,cos 图象

定义域

),(+∞-∞

),(+∞-∞

值域

]1,1[-

当=

x 时，1max =y 当=

x 时，1min -=y

]1,1[-

当=x 时，1max =y

当=

x 时，1min -=y

周期

性 是周期函数，最小正周期=T 是周期函数，最小正周期=T

奇偶性

奇函数，图象关于 对称 偶函数，图象关于 对称 单调性

在)(],

[Z k ∈上是增函数 在)(],[Z k ∈上是减函

数

在)(],

[Z k ∈上是增函数 在)(],

[Z k ∈上是减函数

对称轴 )(,Z k x ∈=

)(,Z k x ∈=

对称 中心

)( ),

(

Z k ∈

)( ),

(

Z k ∈

2．利用“五点法”作函数R x x A y ∈+=),sin(ϕω(其中0,0>>ωA )的简图，是将ϕω+x 看着一个整体，先令ππ

ππ

ϕω2,2

3,

,2

,0=+x 列表求出对应的x 的值与y 的值，用平滑曲线连结各点，即可得到其在一个周期内的图象.

3．研究函数R x x A y ∈+=),sin(ϕω(其中0,0>>ωA )的单调性、对称轴、对称中心仍然是将

ϕω+x 看着整体并与基本正弦函数加以对照而得出.它的最小正周期|

|2ωπ=

T 4．图象变换 (1)振幅变换

R

x x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍

到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x y ∈=,sin A

(2)周期变换

R

x x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍

到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ω

ωω1

1)(01)(R x x y ∈=,sin ω

(3)相位变换

R

x x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−→−<>个单位长度

平移或向右所有点向左||0)(0)(ϕϕϕR x x y ∈+=,)(sin ϕ

(4)复合变换

R

x x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−→−<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(ϕϕϕR x x y ∈+=,)(sin ϕ

−−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍

到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ω

ωω1

1)(01)(R x x y ∈+=),sin(ϕω −−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x A y ∈+=),sin(ϕω

二、习题训练

1、要得到函数x x y 2cos 2sin -=的图象，只要将函数x x y 2cos 2sin +=的图象沿x 轴( )个单位

A ．向右平移

4

π

B ．向左平移

4

π

C ．向右平移

2

π

D ．向左平移

2

π

2、已知的定义域是函数x x y o x cos sin ),2,(-+=∈π ( )

A.][0,π

B.]23,

2

[π

π C. ],2[ππ D. ],22

3[ππ

3、若x x f sin )(是周期为π的奇函数，则)(x f 可以是 ( )

A ．x sin

B ．x cos C. x 2sin D ．x 2cos

4.设函数()sin()()3

f x x x R π

=+∈，则下列结论正确的是（ ）.

A 、()f x 的图像关于点(,0)3

π对称 B 、()f x 的图像关于直线3x π

=对称

C 、把()f x 的图像向右平移3

π

个单位，得到一个奇函数的图像

D 、()f x 的最小正周期为2π，且在[0,]3π

上为增函数

5、对于函数)0,(A, )sin(的常数均为不等于，

ϕωϕω+=x A y ，有下列说法：

①最大值为A ； ②最小正周期为|2|ω

π

； ③在],0[π至少有一个x ，使得0=y ；

④由)( 2

22

2Z k k x k ∈+

≤+≤-

π

πϕωπ

π解得x 的区间即为原函数的递增区间.

其中正确的说法是 ( )

A ．①②③

B ．①②

C ．②

D ．②④

6、与函数)4

3sin(π

+

=x y 的图象完全相同的一个函数是 ( )

A ．x y 3sin =

B ．)347sin(

x y -=π C ．)433sin(π+=x y D ．)4

73sin(π

-=x y 7、函数0)( )cos()sin(>++=ωϕωϕω，x x y 以2为最小正周期，且能在2=x 时取得最大值，则ϕ 的

一个值是 ( )

A ．43π-

B ．45π-

C ．47π

D ．2

π

8.函数()sin()(0,)2

f x x π

ωϕωϕ=+><

的最小正周期为π，且其图像向左平移

6

π

个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图像（ ）. A.关于点(

,0)12

π

对称 B 、关于直线512x π=

对称 C 、关于点5(,0)12

π对称 D 、关于直线12x π

=对称

9、关于函数R x x x f ∈+

=),3

2sin(3)(π

有下列命题：

①)(x f 的表达式可以改写为)6

2cos(3π

-=x y ；②)(x f 的最小正周期为π2；

③)(x f 的图象关于点)0,6

(π

-

对称； ④)(x f 的图象关于直线6

π

-

=x 对称

其中正确命题的序号是 . 10、函数π2

1

sin -=x y 的单调递增区间是 . 11、函数132sin y x

=

-，当 时，y 取到最大值 ； 当 时，y 取到最小

值 12.求下列函数的定义域：

（1）()x y cos lg =， （2）225sin x x y -+= 13.求下列函数的值域：

（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=32,6,cos sin 3ππx x x y ， （2）⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡∈+-=43,3,1sin sin 2ππx x x y ，

14、做函数213sin -⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-=ππx y 简图，并写出它的振幅、周期、初相、单调递增区间.

15、求函数()0,cos ≠+=a b x a y 的最大值及相应的x 的值

16.设函数()sin(2)(0),()f x x y f x ϕϕπ=-<<=图像的一个对称轴是直线8

x π

=：

（1）求ϕ；（2）求函数()y f x =在[,0]π-上的单调递增区间； （3）列表、描点、画出函数()y f x =在区间[0,]π上的图像；