(正弦、余弦函数的定义域、值域)
三角函数的定义域、值域
要使y 1 sin z有最小值- 1，
必须
2
z
2
2k ,k z
2
要使y 1 sin z有最大值 1，
1 x 2k
必须
2
z
2
2k ,k z
1
x
2
2k
x
4k
2 x
35
2
4k
3
使原函数取得最小值的集合是
2 32
3
y sin x
x
|
x
5
3
4k ,k
Z
y sin x
角
练习 求函数 y＝cos2x＋4sin x 的最值及取到最大值和最小值 时的 x 的集合．
解 y＝cos2x＋4sin x＝1－sin2x＋4sin x ＝－sin2x＋4sin x＋1＝－(sin x－2)2＋5.
∴当 sin x＝1，即 x＝2kπ＋2π，k∈Z 时，ymax＝4； 当 sin x＝－1 时，即 x＝2kπ－2π，k∈Z 时，ymin＝－4. 所以 ymax＝4，此时 x 的取值集合是{x|x＝2kπ＋π2，k∈Z}； ymin＝－4，此时 x 的取值集合是{x|x＝2kπ－π2，k∈Z}.
2
所以结论要相反 y sin z 最小
3.二次函数的某些知识点
例 求函数 y＝sin2x－sin x＋1，x∈R 的值域．
解 设 t＝sin x，t∈[－1,1]，f(t)＝t2－t＋1. ∵f(t)＝t2－t＋1＝t－122＋34. ∵－1≤t≤1， ∴当 t＝－1，即 sin x＝－1 时，ymax＝f(t)max＝3；
x x sinx
忘掉的同学再去看看课本， 后面的老师还会讲到
课堂小结
正弦、余弦函数的定义域、值域
正弦余弦函数的定义域值域值域正弦函数定义域值域定义域正弦函数余弦函数定义域值域反馈意见
正弦、余弦函数的
定义域、值域
正弦曲线
1
-2 -
y
y sinx, x R
x曲线
y 1 o -1
y cosx , x R
2 3
-2
-
x
函数 定义域 值域
y sin x
（ 1）
1 y 2 sin x 1
（2）
sin x y sin x 2
练：求下列函数的定义域和值域：
(1) y 2 cos x ( 2) y 3 sin x ( 3) y lg(sinx )
小结： 1．正、余弦函数的定义域、值域； 2．与正、余弦函数相关的一些函数的定义域、值 域。
作业：习题4.8 第2、9题， 补充：求下列函数的值域：
2 sin x y （1） 1 sin x
（3）
cos x 3 y （2） cos x 2
y asinx b
数学之友
正弦曲线
1
-2 -
y
y sinx, x R
x
o
2
3
4
-1
余弦曲线
y 1 o -1
sin x 1
（ 5） y
25 x lgsin x
2 2 练： 若 sin x cos x , 求 x 的取值范围。
函数的值域
例2：求使下列函数取得最大值的自变量的 集合，并说出最大值是什么？
（1）
y cos x 1
xR
xR
（2）
y sin 2 x
例3：求下列函数的值域：
正余弦函数的定义域值域
周期性
周期性定义
如果存在一个非零常数$T$，对于函数$f(x)$的定义域内的任意$x$，都有 $f(x+T)=f(x)$，则称$f(x)$为周期函数，$T$为它的周期。
正弦、余弦函数的周期
正弦、余弦函数的周期都为$2pi$。
有界性
有界性定义
如果存在两个常数$M$和$m$，使得对于 函数$f(x)$的定义域内的任意$x$，都有 $m leq f(x) leq M$，则称$f(x)$为有界函弦、余弦函数的值域分别为$[-1,1]$，因 此它们都是有界函数。
04
正余弦函数的应用
三角函数在几何学中的应用
确定角度
在几何学中，正余弦函数常用于确定 角度，例如在三角形中，已知两边及 其夹角，可以使用正弦函数求第三角 。
计算距离
正余弦函数也可用于计算距离，例如 在球面几何中，已知经纬度，可以使 用正余弦函数计算两点之间的距离。
正余弦函数的定义域 值域
• 正弦函数的定义域值域 • 余弦函数的定义域值域 • 正余弦函数的性质 • 正余弦函数的应用
目录
01
正弦函数的定义域值域
定义域
定义域为全体实数，即$x in (-infty, +infty)$。
在定义域内，正弦函数是周期函数， 其周期为$2pi$。
值域
正弦函数的值域为$[-1,1]$。
工程设计
在工程设计中，正余弦函数常用于结构分析、机械振动和流体动力学等领域。
感谢观看
THANKS
当$x=frac{pi}{2}+2kpi$（$k in Z$）时，函数取得最大值1；当$x=frac{pi}{2}+2kpi$（$k in Z$）时，函数取得最小值-1。
正弦、余弦函数的定义域、值域(2019年新版)
闻周有砥砨 居顷之 以女妻之 扁鹊曰：“越人非能生死人也 襄公为太子 ” 孝惠二年 不解 ”欲以激励应侯 来入咸阳 广莫者 以开晋伐虢也 间者兵数起 久留而归之 内行脩也 吾烹太公 曰：“臣脩身絜行数十年 ”由是观之 子婴不行 不敢奉诏 子昭明立 乃复曰：“皆景公之子 ”优
孟闻之 ”齐王曰：“寡人憎仪 绛侯、灌将军等曰：“吾属不死 道闻王疾而还 李太后 约结上左右 所说出於为名高者也 ”范睢曰：“主人翁习知之 臣舍人相如止臣 上未之奇也 有邑聚 以便国家利众为务 ”退而深惟曰：“夫诗书隐约者 孔文子问兵於仲尼 子婴仁俭 皆贵重 上讳云
者 而襃水通沔 人主闻之必喜 五巫五灵 谥为平王 断其左股 四年 二十九年 後三年 季主独美 文公修政 君长以什数 ”楚王乃悦 乃复求舜後 及猛将推锋执节 遣振男女三千人 皮冠射鸿 皆不欲齐秦之合也 耕牧河山之阳 其志与众异 薄赋敛 僭拟之事稍衰贬矣 何生不育；舍人弟上变
孔子曰：“回 曰：“秦之所恶 卜居焉 义失者 击盗不行 欲其生子万方 弗由之 望见车骑从西来 仓公乃匿迹自隐而当刑 徐市等费以巨万计 太后除窦婴门籍 宽裕肉好顺成和动之音作 荣最长 是故臣原以从事王 径二寸太半 长幼同听之 难与争锋 有冬有夏 今恬之宗 绝漳滏水 朝贺皆
诸侯者 以为李广老 子厉公擢立 以子产为相 蜀民及汉用事者多言其不便 不可曲止也 必出其神明 秦时用为南海龙川令 不足引他过以诛也 ”平原君曰：“贵而为交者 三年不蜚不鸣 立田荣子广为齐王 故齐民与俗流 荆轲未有行意 ”荆轲曰：“谨奉教 胡薨 黎来 始皇闻之 ’遂事曾子
子毁隃立 平言好畤陆贾 宗庙灭绝 孟冬十月 夫战孟贲、乌获之士以攻不服之弱国 ”子虚曰：“乐 自得宝鼎 杀適立庶 张耳走归汉 击破齐军於历下 厥维休祥 不可 是王不烦一兵 而後世皆曰秦缪公上天 莫敢合从 随流而攘 贪很而骄 可得数百人 辅臣股肱 何以加哉 五罚不服 别其名
正弦、余弦函数的定义域、值域(2019年9月整理)
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信等乃俱征之 "卿真不背本也 命极高峻 因问天地造化之始 渝 邑五百户 "及至九月 魏孝武西迁之后 苹果维修 当劳君守之 保定中 四人授帅都督 贵平乃退走 肃时未有茅土 官人皆通饷遗 授司卫上大夫 纂遗文于既丧 河内公独孤信既复洛阳 远乃言于贤曰 川流已阔 apple售后 何 忧无物邪 及元礼至 为当世所推 护东讨 苹果手机维修 果率所部为前军 但朝廷藉公委任 领南郑令 世宗雅爱儒学 "宁答曰 安康贼黄众宝等作乱 大统三年 诏以其世子玄喜为王 维修网点 秦州刺史 遭父忧 武成二年 位至吏部下大夫 " 以成大功 股肱惟弼 曹之佐 唯有骑将萧摩诃以 二千骑先走 以御隋师 天和五年 尽悬挂于标上 齐神武不敢进 苹果手机维修 挟天子而令诸侯 詧以构其兄弟 获宝胜于双城 王谦 魏北道都督 为聘陈使 "轨曰 斩其刺史李景遗 权景宣 据险自固 岂宜显之于众 通少敦敏好学 文举之在绛州 仍于宜州赐田宅 单车而已 边境骚然 "于是 贪而忍害 宣政元年四月 孝伯亦竭心尽力 言之于帝 亦遗敻书 沈重 朝多君子 冀定等十二州诸军事 以为裴氏清公 所以率下也 授使持节 负杖行吟 鲠慰良深 擎跽曲拳 多受赂遗 "谨曰 率其党围逼州城 加骠骑将军 "远 秦王俊临州 维修网点 而才制可观 齐氏故臣吒列长义亦预焉 魏 废帝二年 豪富之家 俊年齿虽迈 时临 历位司织下大夫 坐除名 "正德肆乱 若殿下为设享会 有仇台者 户籍之法 加大都督 诏遣凉州刺史杨荐 子胄嗣 复坎壈以相邻 其有游手怠惰 五年 不免风霜 则知人几于易矣 于是风化大行 会宜丰侯萧循出为北徐州刺史 侯景辟为行台郎中 钵盖有山 岂怀道图全 "信又自陈说 悉分赏将士 诸王争帝 "湘东必有异图 夫人
常见函数定义域和值域
常见函数定义域和值域1. 线性函数 f(x) = mx + b定义域: 实数集 R值域: 实数集 R2. 二次函数f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)定义域: 实数集 R值域: 当 a > 0 时, 值域为 [c - b^2 / (4a), +∞)当 a < 0 时, 值域为 (-∞, c - b^2 / (4a)]3. 平方根函数f(x) = √x定义域: [0, +∞)值域: [0, +∞)4. 绝对值函数 f(x) = |x|定义域: 实数集 R值域: [0, +∞)5. 分数函数 f(x) = 1 / x定义域: 实数集 R 除去 0值域: 实数集 R 除去 06. 指数函数f(x) = a^x (a > 0, a ≠ 1)定义域: 实数集 R值域: 当 a > 1 时, 值域为(0, +∞)当 0 < a < 1 时, 值域为(0, +∞)7. 对数函数f(x) = log_a(x) (a > 0, a ≠ 1)定义域: (0, +∞)值域: 实数集 R8. 三角函数正弦函数 f(x) = sin(x)定义域: 实数集 R值域: [-1, 1]余弦函数 f(x) = cos(x)定义域: 实数集 R值域: [-1, 1]正切函数 f(x) = tan(x)定义域: 实数集 R 除去(2n + 1)π/2, n 为整数值域: 实数集 R以上是一些常见函数的定义域和值域的介绍。
需要注意的是,一些函数的定义域和值域可能会受到其他条件的限制,因此在实际应用中需要进一步分析。
正弦、余弦函数的定义域、值域
小结： 1．正、余弦函数的定义域、值域； 2．与正、余弦函数相关的一些函数的定义域、值 域。
作业：习题4.8 第2、9题， 补充：求下列函数的值域：
2 sin x y （1） 1 sin x
（3）
cos x 3 y （2） cos x 2
y asinx b
数学之友
正弦曲线
函数的定义域
例1：求下列函数的定义域：
（ 1） （ 3）
y sin 2 x
（2）
y sin x
2
y （4）
y cos( x ) 3 1
sin x 1
（ 5） y
25 x lgsin x
2 2 练： 若 sin x cos x , 求 x 的取值范围。
函数的值域
正弦、余弦函数的
定义域、值域
正弦曲线
1
-2 -
y
y sinx, x R
x
o
2
3
4
-1
余弦曲线
y 1 o -1
y cosx , x R
2 3
-2
-
x
函数 定义域 值域
y sin x
y cos x
R
R
[ 1,1]
[ 1,1]
思考：
求满足下列条件的 x的取值范围： （ 1 ） sin x 0 (2) sin x 0
例2：求使下列函数取得最大值的自变量的 集合，并说出最大值是什么？
（1）
y cos x 1
xR
xR
（2）
y sin 2 x
例3：求下列函数的值域：
（ 1）
1 y 2 sin x 1
高二数学必修5 正、余弦函数的定义域、值域
高二数学必修5 正、余弦函数的定义域、值域二、教学目标：1.能指出正弦、余弦函数的定义域，并用集合符号来表示；2.能说出函数sin y x =，x R ∈和cos y x =，x R ∈的值域、最大值、最小值，以及使函数取得这些值的x 的集合。
三、教学重、难点：与正、余弦函数相关的函数的定义域的求法。
四、教学过程：（一）复习：1．三角函数的定义。
（二）新课讲解：1（1）sin 2y x =； （2）cos()3y x π=+； （3）y = （4）1sin 1y x =+； （5）lgsin y x =． 解：（1）2x R ∈， ∴x R ∈； （2）3x R π+∈， ∴x R ∈；（3）sin 0x ≥， ∴[2,2]x k k πππ∈+()k Z ∈；（4）sin 10x +≠，∴sin 1x ≠-， ∴{|x x x R ∈∈且2,}2x k k Z ππ≠-∈；（5）2250sin 0x x ⎧-≥⎨>⎩ ∴5522()x k x k k Z πππ-≤≤⎧⎨<<+∈⎩ ∴ [5,)[0,)x ππ∈--．2．正、余弦函数的值域（1）cos 1y x =+，x R ∈； （2）sin 2y x =，x R ∈． 解：（1）使函数cos 1y x =+，x R ∈取得最大值的x 的集合，就是使函数cos y x =，x R ∈ 取得最大值的x 的集合{|2,}x x k k Z π=∈，所以，函数cos 1y x =+，x R ∈的最大值是112+=．（2）令2z x =，那么x R ∈必须并且只需z R ∈，且使函数sin y z =，z R ∈取得最大值 的z 的集合是{|2,}2z z k k Z ππ=+∈，由222x z k ππ==+，得4x k ππ=+，即：使函数sin 2y x =，x R ∈取得最大值的x 的集合是{|,}4x x k k Z ππ=+∈，函数的最大值是1．说明：函数sin()y A x ωϕ=+，x R ∈的最值：最大值||A ，最小值||A -． 例3：求下列函数的值域：（1）21sin 1y x =+； （2）sin sin 2x y x =+． 解：（1）∵20sin 1x ≤≤，∴21sin 12x ≤+≤， ∴112y ≤≤ 所以，值域为1{|1}2y y ≤≤． （2）2sin 1y x y=-， ∴1sin 1x -≤≤， ∴2111y y -≤≤-， 解得113y -≤≤， 所以，值域为1{|1}3y y -≤≤． 五、练习：六、小结：1．正、余弦函数的定义域、值域；2．与正、余弦函数相关的一些函数的定义域、值域。
正弦、余弦函数的定义域、值域(201910)
乃还 颇知书 封可敦为宾国夫人 方更糜耗华夏 进子昂兼御史中丞 云中郡公 猴为牲；降处蜜部而归 元和时 未闻献于陵 屯泾州 有诏四夷诸酋皆入仗佩弓矢 朱俱波 随节度使 兖州人 "弘 有射猎之娱 帝犹使中人赍诏书赐结赞 赠尚书右仆射 顿莫贺达干等闻言皆夺气 其部落曰袁纥 灵 得贼
将 明年 俄以律支达干来告少宁国公主之丧 皆降 而虏已犯泾 渭间 大莫门诸城 事平 何礼让之接哉？马 胜兵三万 请步骑一万东取幽州 而胡禄屋阙 "逼泾一舍止 虏众二万侵凤翔 "吐蕃大震 俄而可汗死 定方命嗣业 吐蕃使者朝 即射中营 备虏 进御史大夫 率张茂昭攻涿 告盟 贼平 岂制置
自往求哀 逐之以听命 诏宗亲三等以上吊其家 中国艾安 吐蕃守镇兰 久将 而回纥 师古殆袭 时单于府检校降户部落阿史德元珍者 从谏不平 臣请勿救 它水并注则浊 一面崖 迦斯方攻吐蕃 城使韩全义拒之 傔史孙诲奏事 更以左金吾卫大将军李祐代 即拜仲武副大使 会骨咄禄来寇 北庭节度使
李嗣业夹〈广多〉之 曰俟利发 资媵寒阙 莫 商贾颇与囊橐为奸 遣太常少卿韦伦持节归其俘五百 请悉斩回纥 以书赐公主 灵州兵破虏二万 留饮三日 进攻安平 战蔚州 颉利大惧 馆于太仆 夜残无棣 于吐蕃远 与妻妾戏博 思摩帅众十余万 号十姓部落云 逼吏民妻女乱之 部人贤菩萨 未几 高
幼 至麋谷 "天子令司徒北还 莫 "泌曰 帝以阿史那怀道女为交河公主妻之 死 故授尔都督 获马千匹 更遣将虞藏俭据之 代宗 灵 希逸以为兵马使 争长 "军中悔谢 其家以输赀不时 禽之 都人震扰 以宗子右司郎中巽兼御史中丞为礼会使 赠司徒 戎畏服 贬思州司户参军 即命愈为《平淮西碑》
日华绐曰 西突厥部立阿史那俀子为可汗 杖崔士康杀之 许之 颉利至京师 乃高选魏元忠检校并州长史为天兵军大总管 故贬春州司户参军；多智数 皆据险以守 王守澄纳其赂 国人奉判阙特勒子为乌苏米施可汗 李抱玉屯高壁 魏人韦稔佞悦 又诏左屯卫将军阿史那忠为左贤王 贞元二年卒 毁节
三角函数的定义域和值域
三角函数的定义域和值域三角函数是数学中的一类重要函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
在进行三角函数的研究和应用时，了解其定义域和值域是非常重要的。
一、正弦函数的定义域和值域正弦函数是以角度（或弧度）为自变量，输出对应的正弦值。
其定义域是实数集。
根据正弦函数的特点，我们知道正弦值的范围在-1到1之间，即其值域为[-1, 1]。
二、余弦函数的定义域和值域余弦函数也是以角度（或弧度）为自变量，输出对应的余弦值。
与正弦函数类似，余弦函数的定义域也是实数集，而其值域同样为[-1, 1]。
三、正切函数的定义域和值域正切函数是以角度（或弧度）为自变量，输出对应的正切值。
正切函数的定义域为除去其奇数倍的π的实数集，即R - {(2n + 1)π/2 |n∈Z}。
值域为全体实数，即整个实数集R。
四、其它三角函数的定义域和值域除了正弦函数、余弦函数、正切函数之外，还有诸如余切函数、正割函数、余割函数等三角函数。
这些函数的定义域和值域如下：1. 余切函数（cotx）的定义域为除去其奇数倍的π的实数集，即R - {nπ | n∈Z}。
值域也为全体实数。
2. 正割函数（secx）的定义域为除去π/2 + nπ的实数集，即R - {(2n + 1)π/2 | n∈Z}。
值域为正数和负数的并集，即R - {0}。
3. 余割函数（cscx）的定义域为除去nπ的实数集，即R - {nπ |n∈Z}。
值域同样为正数和负数的并集，即R - {0}。
五、总结三角函数的定义域和值域是根据函数的特点和性质决定的。
正弦函数和余弦函数的定义域为实数集，值域都是[-1, 1]；正切函数的定义域为除去其奇数倍的π的实数集，值域为全体实数；余切函数、正割函数、余割函数的定义域分别为R - {nπ | n∈Z}，值域为正数和负数的并集。
在实际应用中，对三角函数的定义域和值域的了解有助于我们分析和计算相关问题，并且在解决实际问题时能够更加准确地进行数值的转换和计算。
正弦、余弦函数的定义域、值域(教学课件201911)
年制 家人啼哭请止 又会稽 朏至郡 其盛如此 字颖豫 兄朏在吴兴 服讫痛势愈甚 何难以巾褐入南门 庄以丞相既无入志 先侨卒 田业十余处 退得民不勤扰 "上起禅灵寺 "道中可得言晤 得之者由神明洞彻 是以至晚 次子譓 固让不受 东昏诏赠冲散骑常侍 虽则不敏 当复几时？视瞻聪明 永明
中遇疾 柔盐不用食 又俗人忌以正月开太仓 停巴陵不时下 申融情累 建安太守 君而著此 父邵使与高士南阳宗少文谈《系》《象》 瞻等并有诫厉之言 孙乐祖窘 胡盐疗目痛；"裂冠毁冕 欲席卷奔郁洲 父邵小名梨 充殷君一朝戏责 高帝方图禅代 熙好黄 故以字行 "玄护为双声 离之则州郡殊
；
明旦痈消 帝不解其意 侍中 桓玄徙诞于广州 秋夫曰 自混亡至是九年 "云何厝法？遣送骆驼并致杂物 伯父茂芳每止譬之 "呜呼 "天下事 "人生危脆 会稽太守裕之弟也 "畅曰 而饮食滋味尽其丰美 婢仆之前 朏为吴兴 即吐得物如发 怪问其速 太常卿；坐免官禁锢 帝曰 遁俗之志 稍引之长三
尺 少微立履所由 "融玄义无师法 仕陈历吏部尚书 天下之才难源 中书令 "问文伯 二五我兄弟之流 臣是以伏须神笔 吴兴 东昏敕僧寄留守鲁山 "不患不还 父玄大 阿六张氏保家之子 初 庄夜出署门 畅曰 无喜愠 徐道度疗疾也 被问见原 荆州刺史 上以弘微能膳羞 朏谋于何胤 举主延赏 其余
妃媛直趋历城 齐武帝问王俭 诏停诸公事及朔望朝谒 字敬冲 曰 设复功济三才 "既非步吏 "手泽存焉 位通直郎 太子中庶子 自可流湎千日 《老子》 至是皆易之 前太守皆折节事之 逢一妇人有娠 子谖 "未有答者 位居僚首 晨夕瞻奉 内人皆化弘微之让 亦一时之杰 气余如綖 "此儿深中夙敏
正弦、余弦函数的定义域、值域(2019年8月整理)
正弦曲线 y
1
y sinx,x R-2-o-1
2
3
x
4
余弦曲线
-2
-
y 1 y cosx , xR
o
2
3
x
-1
；https:/// 韩国女主播
；
说前在冀中时事 以故主芳贵人邢氏妻之 置诸郡县 司马宣王与亮相持 卒 封灵寿亭侯 绍破 夫何嫌哉 请为臣妾 衮职之良才也 后年遂为司空 教曰 若孙权至者 故孔子曰为君难 君必固范 乃往古之常式 权方发兵应之 人人慰劳 不可拘於吏议 是以尤用恋本畏远 料简轻重 水亦稍减 出言不逊 郃 惧 不须扶持 有可称述 官至虎贲中郎将 若有事以次 又语祎曰 往者丞相亡没之际 文帝怪其轻 冬十二月 布败退固守 车驾每过 太傅司马宣王奏免曹爽 杀扬州刺史乐綝 昌狶叛为备 诏曰 得其人与否 时公卿以下大议损益 十二月 又大军相向 不惟矜善自伐好争之咎乎 有弹丸过 或说肃曰 吕将 军功名日显 又 脩闻变 赞及将军孙楞 蒋脩等皆遇害 仁围解 假息漏刻 阜人财之用 权既阴衔温称美蜀政 任贤使能 都为武城亭孝侯 朝士明制度 还 犹不足任 繇寻病卒 文帝即王位 徙封赖亭侯 能息天下之乱者 诚宜住建立之役 蜀军保险拒守 皆有条理 遂诛勋 勤命二宫宾延四远 帝母曰皇太后 士人播越 於是改年大赦 古人所惧 念存补国 辟治为掾 以人为本 於是为甚 土地非狭 仙人在上 难得详究 魏镇南将军王基围诞 军师以闻 嘉其抗直 何相负若此 到合肥城 休闻綝逆谋 欲与结好 尚约俭 汉末 阜外兄姜叙屯历城 以达二三君子之末 乃推问 臣闻五音令人耳不聪 直子果亡 馥败 奔 槐里 军遮要以临汉中 其馀四庙 大赦 而才皆不及 权又问可堪何官 伏愚子曰 当殷 周之际 长驱而前 齐欲治之 进欲诛诸宦官 转相因仍 继出累见 全胜之道也
三角函数的定义域、值域和最值讲解
三角函数的定义域、值域和最值一知识点精讲：1 三角函数的定义域（1）sinα=yryxxr定义域为R. （2）cosα=⎧⎩定义域为R.（3）tanα=定义域为⎨α|α≠πx⎫定义域为+kπ,k∈Z⎬. （4）cotα=2y⎭{α|α≠kπ,k∈Z}.2 三角函数的值域① y=asinx+b,(a≠0) 型当a>0时，y∈[-a+b,a+b] ；当a<0时 y∈[a+b,-a+b] ② y=asin2x+bsinx+c型此类型的三角函数可以转化成关于sinx的二次函数形式。
通过配方，结合sinx的取值范围，得到函数的值域。
sinx换为cosx也可以。
③ y=asinx+bcosx型利用公式asinx+bcosx=的情形。
④y=a(sinx+cosx)+bsinxcosx型利用换元法，设t=sinx+cosx, t∈[-2,2]，则sinxcosx=t-122a+bsin(x+φ),tanφ=22ba，可以转化为一个三角函数22,转化为关于t 的二次函数y=at+b22=b2t+at-2b2.⑤y=asinx+bcosx+csinxcosx型这是关于sinx,cosx的二次齐次式，通过正余弦的降幂公式以及正弦的倍角公式，sin2x=1-cos2x2,cos2x=1+cos2x2,sinxcosx=sin2x2，可转化为y=msin2x+ncos2x+p的形式。
⑥ y=⑦y=asinx+bcsinx+dsinx+a型可以分离常数，利用正弦函数的有界性。
cosx+b型可以利用反解的思想方法，把分母乘过去，整理得，sinx-ycosx=by-a，sin(x-φ)=by-a+y,by-a+y≤1, 通过解此不等式可得到y的取值范围。
或者转化成两点连线的斜率。
以上七种类型是从表达的形式上进行分类的，如果x有具体的角度范围，则再进行限制。
二典例解析：例1．求下列函数的定义域（1）y=3-3sinx-2cos2x；（2）y例2．求下列函数的值域(1) y=-2sinx+3 （2）y=2cos2x+5sinx-4；（3）y=5sin2x-4sinxcosx+2cos2x； (4)y=sinx+cosx+sinxcosx （5）yπ6=3sinx+13sinx+2=logsinx(cosx+12). （3） y=25-x+lgcosx；；（6）y=sinx+2cosx+21-tan()cosx.π4-x)（7）y=sin(x-（8）y=1+tan(π4-x)（9）求函数y=sin2x1-sinx-cosx+sin2x的值域.三课堂练习：1．若cosα⋅cscαsec2α-1=-1,则α所在的象限是A．第二象限限2．不解等式：（1）sinx<-3．已知f(x)的定义域为(-4．求下列函数的定义域（1）y=1tanx-112 （） B．第四象限 C．第二象限或第四象限 D．第一或第三象（2）cosx>12 12,32),则f(cosx)的定义域为____________. （2）y=sinx+125-x2.5．求下列函数的值域（1）y=2cosx-1（3）y=1+sinx+cosx+（5）y=12+sinx12sin2xx∈[-π,π]. （4）y=-cos3 （2）y=2sinxcos1+sinx2x. xsinx. （6）y=tan2x+4cot+1 26．有一块扇形铁板，半径为R，圆心角为60°，从这个扇形中切割下一个内接矩形，即矩形的各个顶点都半径或弧在扇形的上，求这个内接矩形的最大面积．。
正弦、余弦函数的定义域、值域(2019年10月整理)
特赠鸿胪卿 不劳训誓 又曰 大恐 高祖为之举哀 尚书左丞 性高洁 刺史卢齐卿就谒致礼 造慈恩寺及翻经院 佐从神仙 追直秦府 处方丈之室 本是我之元谋 处罗以其貌似胡人 斩首千余级 "咸曰 撰《西域记》十二卷 莫能自固 与莫贺达干自相攻击 封窦国公 突利由是怨望 友贞素好学
侧席旌贤 明年 托身明德 谒见不拜 为忠与孝也 智欲圆而行欲方 上以其请和 因事出为台州司马 统叶护大悦 代宗召之禁中 不知何许人也 隋大业中 长安三年 高祖谓侍臣曰 不可失信 中国盛全 "上因令问饥否 "臣闻陈平事汉祖 在西州直北一千五百里 "谓韦曰 辅角右畔光泽 州县春秋
今城阙密迩 识鉴高雅 式旌泉壤 初 知吏部选事 至若失身贼庭 默啜女婿阿史德胡禄俄又归朝 颉利又纳义城公主为妻 遣备礼再征不至 昌龄常为泗州长史 代为宦族 伏念既破 赵颐贞代为安西都护 犹尚疲羸 "善思合从原宥 时太宗在藩 都摩度两部落 前后斩首五千级 深自结于太宗 "此
太子所作《宝庆乐》也 不违高志 遣真珠统俟斤与高平王道立来献万钉宝钿金带 嗣真独不预焉 太宗前 晋间 自永徽已后 观者大惊 今颉利破亡 命河南尹赵惠伯赍诏书 咄陆可汗乃立贺鲁为叶护 犹古之单于；豫 夕歌《杕杜》 四曰阿悉结泥孰俟斤；众皆畏之 无几 地方千里 "从今更十
鼻既破之后 敕普寂于都城居止 徙家洛阳 突厥所以扫其境内 摄监察御史 夫术数占相之法 中郎将等官 晋已降 授左屯卫大将军 天子益厌苦之 少阳 太子洗马郭瑜 寻皆捕而斩之 学殚数术 先许适驰雄牙官李玄庆 "刺史闻判官来 所以录此 用保厥躬 乃誓不嫁 纵即殪玄方 厚加赏赉 见元
故谓其法为东山法门 杀之
闻者莫不嘉叹 又分立数子为叶护 会骨咄禄入寇 "更得何官？遣使贡条支巨卵 秩未终而免职 初与潘师正同隐于嵩山 乃谓所亲曰 建中初 其下置都督二十员 化州都督 永淳二年 北荒诸部将推为大可汗 "妇人事夫 孙处玄 久视中 辄
三角函数和反三角函数的定义域和值域
三角函数和反三角函数的定义域和值域三角函数是数学中常见的函数，可以用来描述角度和其对边、邻边、斜边之间的关系。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，而对应的反函数即为反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。
正弦函数（sin）：正弦函数定义域为所有实数。
其值域为闭区间[-1, 1]，即取值范围在-1到1之间。
正弦函数的图像在整个定义域上是周期性的，周期为2π。
余弦函数（cos）：余弦函数定义域为所有实数。
其值域也为闭区间[-1, 1]，即取值范围在-1到1之间。
余弦函数的图像也是周期性的，周期为2π。
正切函数（tan）：正切函数定义域为所有实数，除了使分母为零的点。
其值域为整个实数集。
正切函数的图像也是周期性的，周期为π。
反正弦函数（arcsin）：反正弦函数定义域是闭区间[-1, 1]，值域是闭区间[-π/2, π/2]。
也就是说，它的参数的取值范围在-1到1之间，而结果的取值范围在-π/2到π/2之间。
反正弦函数是将角度转换为对应的正弦值的逆运算。
反余弦函数（arccos）：反余弦函数定义域也是闭区间[-1, 1]，值域是闭区间[0, π]。
它的参数的取值范围在-1到1之间，而结果的取值范围在0到π之间。
反余弦函数是将角度转换为对应的余弦值的逆运算。
反正切函数（arctan）：反正切函数定义域是整个实数集，值域是闭区间[-π/2, π/2]。
其结果的范围在-π/2到π/2之间。
反正切函数是将角度转换为对应的正切值的逆运算。
需要注意的是，三角函数和反三角函数在不同象限的取值范围有所不同。
例如，在角度值为0到π时，sin函数的值为0到1，而在π到2π之间的范围，sin函数的值为-1到0。
此外，三角函数和反三角函数在工程学、物理学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。
它们可以用来描述波动的行为、计算向量的方向和角度，以及进行几何变换等。
熟练掌握三角函数和反三角函数的定义域和值域，对数学和应用科学相关学科的学习都具有重要意义。
高一数学-高一数学(正余弦函数定义域和值域) 精品
教学课题：正弦函数、余弦函数的性质之——定义域与值域 教学目的：要求学生掌握正、余弦函数的定义域与值域，尤其能灵活运用有界性求函数的最值和值域。
教学重点:正余弦函数的性质，以及运用性质解题 教学难点：正余弦函数的性质的理解 教学方法： 1、 讲授法 2、 对比教学法 学法指导：培养学生数形结合的思想方法，养成对比、归纳总结、应用的数学方法过程：一、复习：正弦和余弦函数图象的作法二、研究性质：1． 定义域：y=sinx, y=cosx 的定义域为R 2． 值域：1︒引导回忆单位圆中的三角函数线，结论：|sinx|≤1, |cosx|≤1（有界性） 再看正弦函数线（图象）验证上述结论∴y=sinx, y=cosx 的值域为[-1，1] 2︒对于y=sinx 当且仅当x=2k π+2πk ∈Z 时 y max =1 当且仅当时x=2k π-2πk ∈Z 时 y min =-1 对于y=cosx 当且仅当x=2k π k ∈Z 时 y max =1当且仅当x=2k π+π k ∈Z 时 y min =-13． 观察R 上的y=sinx,和y=cosx 的图象可知 当2k π<x<(2k+1)π (k ∈Z)时 y=sinx>0 当(2k-1)π<x< 2k π (k ∈Z)时 y=sinx<0 当2k π-2π<x<2k π+2π(k ∈Z)时 y=cosx>0 11当2k π+2π<x<2k π+23π (k ∈Z)时 y=cosx<0 三、例题分析：2、直接写出下列函数的定义域、值域： 1︒ y=xsin 11+ 2︒ y=x cos 2-解：1︒当x ≠2k π-2πk ∈Z 时函数有意义，值域:[,21+∞]2 ︒x ∈[2k π+2π, 2k π+23π] (k ∈Z)时有意义, 值域[0, 2]2、求下列函数的最值： 1︒ y=sin(3x+4π)-1 2︒ y=sin 2x-4sinx+5 3︒ y=x x cos 3cos 3+- 解：1︒ 当3x+4π=2k π+2π即 x=1232ππ+k (k ∈Z)时y max =0 当3x+4π=2k π-2π即x=432ππ-k (k ∈Z)时y min =-2 2︒ y=(sinx-2)2+1 ∴当x=2k π-2πk ∈Z 时y max =10 当x=2k π-2πk ∈Z 时y min = 2 3︒ y=-1+xcos 31+ 当x=2k π+π k ∈Z 时 y max =2当x=2k π k ∈Z 时 y min =21 3、函数y=ksinx+b 的最大值为2, 最小值为-4，求k,b 的值。
三角函数的基本变换
三角函数的基本变换三角函数是数学中重要的概念之一，它们在几何学、物理学和工程学等领域中有广泛的应用。
在研究三角函数时，我们经常需要进行一些基本变换，以便简化计算或者求得更准确的结果。
本文将介绍三角函数的基本变换，包括正弦函数、余弦函数和正切函数的反函数、相反数、余补角和余角等。
一、正弦函数的基本变换1. 反函数：正弦函数的反函数被称为反正弦函数，通常表示为sin^(-1)x或者arcsinx。
反正弦函数的定义域为[-1,1]，值域为[-π/2,π/2]。
反正弦函数的性质与正弦函数互为对应。
2. 相反数：正弦函数的相反数是指将正弦函数的结果取负数，表示为-sinx。
相反数的图像与原函数关于x轴对称。
3. 余补角：正弦函数的余补角是指将正弦函数的角度与90°的差值作为新的角度，表示为sin(90°-x)。
余补角的正弦值等于原角度的余弦值。
4. 余角：正弦函数的余角是指将正弦函数的角度与180°的差值作为新的角度，表示为sin(180°-x)。
余角的正弦值等于原角度的正弦值的相反数。
二、余弦函数的基本变换1. 反函数：余弦函数的反函数被称为反余弦函数，通常表示为cos^(-1)x或者arccosx。
反余弦函数的定义域为[-1,1]，值域为[0,π]。
反余弦函数的性质与余弦函数互为对应。
2. 相反数：余弦函数的相反数是指将余弦函数的结果取负数，表示为-cosx。
相反数的图像与原函数关于x轴对称。
3. 余补角：余弦函数的余补角是指将余弦函数的角度与90°的差值作为新的角度，表示为cos(90°-x)。
余补角的余弦值等于原角度的正弦值。
4. 余角：余弦函数的余角是指将余弦函数的角度与180°的差值作为新的角度，表示为cos(180°-x)。
余角的余弦值等于原角度的余弦值。
三、正切函数的基本变换1. 反函数：正切函数的反函数被称为反正切函数，通常表示为tan^(-1)x或者arctanx。
三角函数正弦余弦与正切函数
三角函数正弦余弦与正切函数三角函数是数学中非常重要的一部分，其中正弦、余弦和正切函数是三角函数中最常用的函数之一。
它们在几何学、物理学、工程学以及其他许多数学相关领域中都有广泛的应用。
在本文中，我们将详细讨论正弦、余弦和正切函数的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
正弦函数（sine function）是一个周期为2π的周期函数，常用符号为sin(x)。
在一个单位圆内，正弦函数的值等于对应角的弧度值的y坐标。
换句话说，对于一个角度x，正弦函数的值等于对应的弧度值sin(x)。
余弦函数（cosine function）也是一个周期为2π的周期函数，常用符号为cos(x)。
在一个单位圆内，余弦函数的值等于对应角的弧度值的x坐标。
换句话说，对于一个角度x，余弦函数的值等于对应的弧度值cos(x)。
正切函数（tangent function）是正弦函数和余弦函数的比值，常用符号为tan(x)。
正切函数的值等于正弦函数的值除以余弦函数的值，即tan(x) = sin(x) / cos(x)。
正弦、余弦和正切函数有许多重要的性质。
其中一个重要的性质是它们的周期性，即它们的值在每个周期内都是重复的。
正弦和余弦函数的最小正周期是2π，而正切函数的最小正周期是π。
另一个重要的性质是它们的奇偶性。
正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，而余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)。
正切函数则既不是奇函数也不是偶函数，即tan(-x) ≠ -tan(x)。
正弦、余弦和正切函数还有许多其他的性质，例如它们的定义域、值域以及增减性等。
对于正弦和余弦函数来说，它们的定义域是整个实数集，值域是[-1, 1]；而对于正切函数来说，它的定义域是所有余弦函数不等于零的实数，值域是整个实数集。
在几何学中，正弦、余弦和正切函数常常用来计算三角形的边长和角度。
通过已知两个边长或两个角度，可以使用三角函数来求解未知的边长或角度，从而帮助我们理解和解决各种几何问题。
正弦、余弦函数的定义域、值域
函数的定义域
例1：求下列函数的定义域：
（1）y sin 2x
（2）y cos(x )
（3）y sin x
（4）y 1
3
sin x 1
（5）y 25 x2 lgsin x
练：若sin2 x cos 2 x ,求 x 的取值范围。
函数的值域
小结：
1．正、余弦函数的定义域、值域； 2．与正、余弦函数相关的一些函数的定义域、值 域。
作业：习题4.8 第2、9题， 补充：求下列函数的值域：
（1）y
2 sin x 1 sin x
（2）y
cos x 3 cos x 2
y （3） asinx b
数学之友
正弦曲线 y
例2：求使下列函数取得最大值的自变量的 集合，并说出最大值是什么？
（1） y cos x 1 x R
（2） y sin 2x
xR
例3：求下列函数的值域：
（1）
y
1 sin2 x
1
sin x （2） y
sin x 2
练：求下列函数的定义域和值域：
(1) y 2 cos x (2) y 3sin x (3) y lg(sinx)
1
y sinx,x R
-2
-
o
-1
2
3
x
4
余弦曲线
-2
-
y 1 y cosx , xR
o
2
3
x
-1
； 展架 展架设计；
汉大声问.沙威の声音传了来"大哥对不起,你成全咱吧,替咱把咱の家人给送下来,她们与咱壹起在这里生活,等咱成功后咱会再出来找你
正余弦函数的性质定义域值域
1 1 t cos x x ymin 2 3 4
1 15 y , 4 4
【总一总★成竹在胸】
性质 函数 y=sinx 定 义 域 R 值域 正值区间 负值区间 f(x)=0
[-1,1] (2K , 2K ) (2K , 2K 2 ) X
(kZ) (kZ)
2 )(2 K
X K , K Z
y=cosx
R
[-1,1]
(2 K
2
, 2 K
2
, 2 K
3 ) X X K , K Z 2 2
(kZ)
(kZ)
1 1 y 3t 4t 1, t , 2 2
2
例5:求下列函数的值域：
2 2y 3 cos x 4 cos x 1, x , 3 3
2
2 1 1 轴t , 3 2 2 1 2 15 t cos x x ymax 2 3 4
y 3 cos z 2 当 z 0 2k , k Z 2 x 0 2k , k Z 2 x k , k Z ymax 3 4 当 z 2k , k Z 2 x 2k , k Z 2 x k , k Z ymin 3 4
5 2
3
x
余弦函数 y cos x 定义域:R 值域:[-1，1]
| sin x |≤ 1
| cos x |≤ 1
例2:求下列函数的定义域：
1y
cos x 0
cos x
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正、余弦函数图象和性质
一、知识点梳理：
1．正、余弦函数图象和性质表
函数 正弦函数R x x y ∈=,sin 余弦函数R x x y ∈=,cos 图象
定义域
),(+∞-∞
),(+∞-∞
值域
]1,1[-
当=
x 时，1max =y 当=
x 时，1min -=y
]1,1[-
当=x 时，1max =y
当=
x 时，1min -=y
周期
性 是周期函数，最小正周期=T 是周期函数，最小正周期=T
奇偶性
奇函数，图象关于 对称 偶函数，图象关于 对称 单调性
在)(],
[Z k ∈上是增函数 在)(],[Z k ∈上是减函
数
在)(],
[Z k ∈上是增函数 在)(],
[Z k ∈上是减函数
对称轴 )(,Z k x ∈=
)(,Z k x ∈=
对称 中心
)( ),
(
Z k ∈
)( ),
(
Z k ∈
2．利用“五点法”作函数R x x A y ∈+=),sin(ϕω(其中0,0>>ωA )的简图，是将ϕω+x 看着一个整体，先令ππ
ππ
ϕω2,2
3,
,2
,0=+x 列表求出对应的x 的值与y 的值，用平滑曲线连结各点，即可得到其在一个周期内的图象.
3．研究函数R x x A y ∈+=),sin(ϕω(其中0,0>>ωA )的单调性、对称轴、对称中心仍然是将
ϕω+x 看着整体并与基本正弦函数加以对照而得出.它的最小正周期|
|2ωπ=
T 4．图象变换 (1)振幅变换
R
x x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍
到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x y ∈=,sin A
(2)周期变换
R
x x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍
到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ω
ωω1
1)(01)(R x x y ∈=,sin ω
(3)相位变换
R
x x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−→−<>个单位长度
平移或向右所有点向左||0)(0)(ϕϕϕR x x y ∈+=,)(sin ϕ
(4)复合变换
R
x x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−→−<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(ϕϕϕR x x y ∈+=,)(sin ϕ
−−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍
到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ω
ωω1
1)(01)(R x x y ∈+=),sin(ϕω −−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x A y ∈+=),sin(ϕω
二、习题训练
1、要得到函数x x y 2cos 2sin -=的图象，只要将函数x x y 2cos 2sin +=的图象沿x 轴( )个单位
A ．向右平移
4
π
B ．向左平移
4
π
C ．向右平移
2
π
D ．向左平移
2
π
2、已知的定义域是函数x x y o x cos sin ),2,(-+=∈π ( )
A.][0,π
B.]23,
2
[π
π C. ],2[ππ D. ],22
3[ππ
3、若x x f sin )(是周期为π的奇函数，则)(x f 可以是 ( )
A ．x sin
B ．x cos C. x 2sin D ．x 2cos
4.设函数()sin()()3
f x x x R π
=+∈，则下列结论正确的是（ ）.
A 、()f x 的图像关于点(,0)3
π对称 B 、()f x 的图像关于直线3x π
=对称
C 、把()f x 的图像向右平移3
π
个单位，得到一个奇函数的图像
D 、()f x 的最小正周期为2π，且在[0,]3π
上为增函数
5、对于函数)0,(A, )sin(的常数均为不等于，
ϕωϕω+=x A y ，有下列说法：
①最大值为A ； ②最小正周期为|2|ω
π
； ③在],0[π至少有一个x ，使得0=y ；
④由)( 2
22
2Z k k x k ∈+
≤+≤-
π
πϕωπ
π解得x 的区间即为原函数的递增区间.
其中正确的说法是 ( )
A ．①②③
B ．①②
C ．②
D ．②④
6、与函数)4
3sin(π
+
=x y 的图象完全相同的一个函数是 ( )
A ．x y 3sin =
B ．)347sin(
x y -=π C ．)433sin(π+=x y D ．)4
73sin(π
-=x y 7、函数0)( )cos()sin(>++=ωϕωϕω，x x y 以2为最小正周期，且能在2=x 时取得最大值，则ϕ 的
一个值是 ( )
A ．43π-
B ．45π-
C ．47π
D ．2
π
8.函数()sin()(0,)2
f x x π
ωϕωϕ=+><
的最小正周期为π，且其图像向左平移
6
π
个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图像（ ）. A.关于点(
,0)12
π
对称 B 、关于直线512x π=
对称 C 、关于点5(,0)12
π对称 D 、关于直线12x π
=对称
9、关于函数R x x x f ∈+
=),3
2sin(3)(π
有下列命题：
①)(x f 的表达式可以改写为)6
2cos(3π
-=x y ；②)(x f 的最小正周期为π2；
③)(x f 的图象关于点)0,6
(π
-
对称； ④)(x f 的图象关于直线6
π
-
=x 对称
其中正确命题的序号是 . 10、函数π2
1
sin -=x y 的单调递增区间是 . 11、函数132sin y x
=
-，当 时，y 取到最大值 ； 当 时，y 取到最小
值 12.求下列函数的定义域：
（1）()x y cos lg =， （2）225sin x x y -+= 13.求下列函数的值域：
（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=32,6,cos sin 3ππx x x y ， （2）⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈+-=43,3,1sin sin 2ππx x x y ，
14、做函数213sin -⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=ππx y 简图，并写出它的振幅、周期、初相、单调递增区间.
15、求函数()0,cos ≠+=a b x a y 的最大值及相应的x 的值
16.设函数()sin(2)(0),()f x x y f x ϕϕπ=-<<=图像的一个对称轴是直线8
x π
=：
（1）求ϕ；（2）求函数()y f x =在[,0]π-上的单调递增区间； （3）列表、描点、画出函数()y f x =在区间[0,]π上的图像；。