初三数学第6讲：图形的旋转和中心对称(教师版)

第5讲图形的旋转和中心对称

图形的旋转和中心对称

1、旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某______沿着某个方向转动______的图形变换

叫做旋转．这个点O叫做______，转动的角叫做______．因此，图形的旋转是由______和______决定的．

2、中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转______，如果它能够与另一个图形______，

那么称这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做______，这两个图形中的对应点叫做关于中心的______．

3、旋转的特点：旋转的性质是对应点到旋转中心的______相等；对应点与旋转中心所连线

段的夹角等于______；旋转前、后的图形之间的关系是______．

4、中心对称的特点：(1)关于中心对称的两个图形，对称点所连______都经过______，而且被对称中心所______．

(2)关于中心对称的两个图形是______．

5、中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转______，如果旋转后的图形能够与原来的

图形______，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的______．

1、旋转的定义和性质；

2、中心对称的定义和性质；

3、会画旋转后的图形和中心对称图形；

例1、下图中，不是旋转对称图形的是( )．

答案：B

解析：根据旋转的定义；

例2、有下列四个说法，其中正确说法的个数是( )．

①图形旋转时，位置保持不变的点只有旋转中心；

②图形旋转时，图形上的每一个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度；

③图形旋转时，对应点与旋转中心的距离相等；

④图形旋转时，对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化

A．1个B．2个C．3个D．4个

答案：D

解析：利用旋转的特征；

例3、下列图形中，不是

．．中心对称图形的是( )．

A．圆B．菱形C．矩形D．等边三角形

答案：D

解析：中心对称的定义；

例4、以下四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有( )．

A．4个B．3个C．2个D．1个

答案：B

解析：旋转和中心对称的定义结合。

例5、已知：如图，E是正方形ABCD的边CD上任意一点，F是边AD上的点，且FB平分∠ABE．

求证：BE=AF＋CE

答案：先延长DC到G，使CG=AF，连接BG，易证△ABF≌△CBG，得∠5=∠G，∠1=∠3，进而证明∠EBG=∠G，进而证明BE=CG+CE=AF+CE．证明：延长DC到G，使CG=AF，连接BG

∵AB=BC，∠A=∠BCG=90°，

∴△ABF≌△CBG，

∴∠5=∠G，∠1=∠3，

∵∠1=∠2，

∴∠2=∠3，

∴∠2+∠4=∠3+∠4，

即∠FBC=∠EBG，

∵AD∥BC，

∴∠5=∠FBC=∠EBG，

∴∠EBG=∠G，

∴BE=CG+CE=AF+CE．

解析：通过截长补短，构造全等来证明；

例6．已知：如图，在四边形

ABCD 中，∠B＋∠D=180°，AB=AD，E，F分别是线段BC，CD 上的点，且BE＋FD=EF．

求证：.

2

1

BAD

EAF∠

=

∠

答案：把△ADF绕点A顺时针旋转∠DAB的度数得到△ABG，AD旋转到AB，AF旋转到AG，如

图，

∴AG=AF，BG=DF，∠ABG=∠D，∠BAG=∠DAF，

∵∠B+∠D=180°，

∴∠B+∠ABG=180°，

∴点G、B、C共线，

∵BE+FD=EF，

∴BE+BG=GE=EF，

在△AEG和△AEF中，

AG=AF

AE=AE

EG=EF

∴△AEG≌△AEF，

∴∠EAG=∠EAF，

而∠BAG=∠DAF，

∴∠EAB+∠DAF=∠EAF，.

2

1

BAD

EAF∠

=

∠

解析：旋转构造全等，找相等的角代换。

A

1、下面各图中，哪些绕一点旋转180°后能与原来的图形重合?( )．

A．①、④、⑤B．①、③、⑤

C．②、③、⑤D．②、④、⑤

答案：A

解析：中心对称的定义

2、如图，若正方形DCEF旋转后能与正方形ABCD重合，则图形所在平面内可作为旋转中心

的点共有( )个．

A．1 B．2

C．3 D．4

答案：C

解析：以C为旋转中心，把正方形ABCD顺时针旋转90°，可得到正方形CDEF 以D为旋转中心，把正方形ABCD逆时针旋转90°，可得到正方形CDEF

以CD的中点为旋转中心，把正方形ABCD旋转180°，可得到正方形CDEF

3、下列图形中，是轴对称图形而不是中心对称图形的是( )．

答案：C

解析：旋转和中心对称的定义

4、如图4可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是

( )

图4

(A)90° (B)60° (C)45° (D)30°

答案：C

解析：图形可看做是正八边形的中心角；

5．下列图形中，既是轴对称图形，又是旋转对称图形的是( ) (A)等腰三角形 (B)平行四边形 (C)等边三角形 (D)等腰梯形 答案：C

解析：轴对称定义；绕着旋转中心旋转120°可与原图形重合；

6．将点A (4，0)绕着原点O 顺时针方向旋转30°角到对应点A ′，则点A ′的坐标是( ) (A))2,32( (B)(4，－2) (C))2,32(-

(D))32,2(- 答案：C

解析：根据旋转后特殊的直角三角形，30°锐角所对直角边等于斜边的一半； 7．要使正十二边形旋转后与自身重合，至少应将它绕中心逆时针旋转( ) (A)9° (B)18° (C)30° (D)36° 答案：C

解析：正十二边形中心角为360°÷12=30°。

8、如图，已知D ，E 分别是正三角形的边BC 和CA 上的点，且AE =CD ，AD 与BE 交于P ，求∠BPD 的度数？

答案：60°

解析：∵正三角形ABC ∴AB=BC=AC ，∠C=∠BAC=60°，AE =CD ，可得△ACD ≌△ABE ， 可得∠CAD=∠ABE ，即∠BPD=∠ABE ＋∠BAD=60°