高中数学必修一函数的性质单调性与奇偶性典型精讲精练

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函数单调性

证明格式：

① 取任意两个数12,x x 属于定义域D ，且令12x x <（反之亦可）；

② 作差12()()f x f x -并因式分解；

③ 判定

12()()f x f x -的正负性，并由此说明函数的增减性；

例 1 用定义法判定下列函数的增减性： ①

y x =； ②2y x =； ③3y x =；

④y = ⑤1

y x

=

； 练习：1.

判断函数()f x =

2.证明函数

3()f x x x =+在R 上是增函数；

例 2 已知函数

1

()(0)f x x x x

=+>，求证：函数的单调减区间为(0,1]，增区间为[1,)+∞，并画出图像； 练习：证明函数

x

x x f 2

)(+

=在),2(+∞上是增函数。 3.复合函数的单调性

复合函数的单调性判断（同增异减）：构造中间过度函数，按定义比较函数大小并确定函数的单调性； 例 3 判断函数的单调性： （1

）

()f x = （2

）()f x =； （3）

2

1

()2

f x x =

+；

练习：①

y = ②2

13y x =

-； ③

2

154y x x =

+-；

④

y ；

4.函数的单调性的等价关系 设[]1212,,,x x a b x x ∈≠那么

[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]1212()()

0(),f x f x f x a b x x ->⇔-在上是增函数；

[]1212()()()0x x f x f x --<⇔

[]1212

()()

0(),f x f x f x a b x x -<⇔-在上是减函数。

例 4 定义在（a ，c ）上的函数f(x)，在区间（a ，b ）及（b ，c ）上均为增函数，函数f (x)在区间（a ，c ）上是否为增函数如

何？请举例说明。

例 5 定义在R 上的函数

()y f x =,(0)0f ≠,当0x >时，()1f x >且对任意的,a b 都有()()()f a b f a f b +=⋅

(1)求证：

(0)1f = ；

(2)求证：对任意的x R ∈恒有

()0f x > ；

(3)求证：f(x)是R 上的增函数 ； (4)若2()(2)1f x f x x ⋅->,求x 的取值范围

相关练习 1、设

()f x 的图像关于原点对称，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集是………………( )

A {}|303x x x -<<>或

B {}|303x x x <-<<或

C {}|33x x x <->或

D {}|3003x x x -<<<<或

2、若

)(x f 的图像关于y 轴对称，且在[)+∞,0上是减函数，则235()(2)2

2

f f a a -++与的大小关系…( )

A )2

3(-f >)25

2(2++a a f B )23

(-f <)25

2(2++a a f C )

23

(-f ≥

)2

5

2(2++a a f D 3()

2f -≤25(2)2

f a a ++

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3、已知函数2()(1)1f x mx m m x =--+在[0,)+∞上是增的，则……………………( )

A

1m ≤

B

1m <

C

1m <≤

D

1≥

4、若函数f (x )关于y 轴对称，在0x ≥时是增的，试解关于a 的不等式：f (a -2)+f (a 2

-4)＜0。

5、已知函数f （x ）对任意实数x 、y 均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x >0时，f (x )>0，f (－1)＝ －2

(1)判断f(x)的单调性;

(2)求f (x )在区间[－2,1]上的值域.

函数奇偶性

图像性质引入：

例 1 观察分析以下函数图像所具有的对称性 （1）

2()2f x x =-； （2）()||f x x =； （3）()f x x =； （4）1

()f x x

=

； 定义：图像关于y 轴对称的函数叫偶函数，如

20()f x x x =+；图像关于原点对称的函数叫奇函数，如3()f x x =；

思考：有没有函数既关于y 轴对称，又关于原点对称？ 函数奇偶性的判定：

偶函数：如果对于定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫做偶函数。 奇函数：如果对于定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数。

例 2 判断下列函数的奇偶性： （1）4()f x x =； （2）2

1()1f x x =

+； （3）2

()||2f x x x =--； （4）1()f x x x

=+； 练习

1． 判断下列函数的奇偶性： （1）

2()2f x x x =+； （2）53

()f x x x x =++； （3）

21

()x f x x

+=； （4

）()f x ；

2． 已知函数()f x 是奇函数，则函数2()()h x f x =是_______函数；函数()()()k x f x f x =-是_______函数；

3． 设函数

()f x 在R 上有定义，下列函数①|()|y f x =-，②2()y xf x =，③()y xf x =--，④()()y f x f x =--中

必为奇函数的有________ 例 3 已知函数

()y f x =是奇函数，当0x >时函数的解析式为()(1)f x x x =-，求：

(2),(2),(4),(0)f f f f --以及当0x <时()y f x =的解析式；

性质应用：已知函数()y f x =是偶函数，若()()f m f n >，则()___()f m f n --，(||)___(||)f m f n

例 4 已知函数()y f x =是偶函数，且当0x >时函数为增函数，证明：当0x <时函数为减函数；

练习 1． 已知函数

()y f x =是奇函数，且当0x >时函数为增函数，证明：当0x <时函数也为增函数；（问函数在整个R 上是增函数吗？试用定义说明） 例 5 设函数()()

()a x x x f ++=12为奇函数，则=a ___________。

练习 1．若函数()()312++-=mx x m x f 是偶函数，则()x f 的单调减区间是_________________

2．若函数

2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则)(x f 的递减区间是_____________

3．已知函数

b a bx ax x f +++=3)(2是定义域为]2,1[a a -的偶函数，则b a +的值是（ ）