高三一轮复习《计数原理》教材

排列、组合和二项式定理

2015．12

一、高考要求

二、本章定位

计数原理的课程设置意图：

必修三概率→本章→选修2－3第二章概率

1．必修3强调概率思想，避免复杂的组合计算干扰学生对概率思想的领悟；

2．本章为进一步研究概率做准备；

3．本章学习为学生提供解决问题的思想和工具；

“课标”对本章内容的定位是:用计数原理、排列与组合概念解决“简单的实际问题”。

所以，教学中一定要把握好这种定位，避免在技巧和难度上做文章(排列组合的求值化简证明题难度要控制,要重点做应用题)。

三、本章内容与要求

【计数】

1．分类计数原理

完成一件事，有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．

2．分步计数原理

完成一件事，需要分成两个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．

3．排列

从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数称为排列数．

(1)当m

(n－m)！

．(2)当m＝n时的排列称为全排列，排列数为A n n＝n(n－1)×…×3×2×1＝n！．

规定0！＝1．

4．组合

从n 个不同元素中，任意取出m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，所有组合的个数称为组合数．

(1)组合数公式：C m

n ＝A m n A m m ＝n (n －1)(n －2)·…·(n －m ＋1)m ！＝n ！m ！(n －m )！．

规定：C 0n ＝1．

(2)组合数的两个性质：①C m n ＝C n

－m

n

； ②C m n ＋1＝C m n ＋C m －

1

n

． 注意：

1．正确区分“分类”与“分步”，恰当地进行分类，使分类后不重、不漏．

2．正确区分是组合问题还是排列问题，要把“定序”和“有序”区分开来． 3．正确区分分堆问题和分配问题． 【二项式定理】

1．二项式定理

(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －

1

b ＋…＋C r n a n －

r b r ＋…C n －

1n ab n －

1＋C n n b n (n ∈N ＋)，叫做二项式定理，右边的

多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式，其通项公式为T r ＋1＝ .

(a －b )n 的展开式第r ＋1项T r ＋1＝ . 2．二项式系数的性质

(1)对称性：C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －

1n ，C 2n ＝C n －

2n ，…，C r n ＝C n －

r n

. (2)增减性与最大值：二项式系数C k n ，当k n ＋12时，二项式系数是递减的．当n 是偶数时，中间的一项的二项式系数最大．当n 是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大．

(3)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n

＝2n . (4)C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n

＋…＝2n –1.

注意:

1．通项公式T k ＋1＝C k n a

n －

k b k 是第k ＋1项，而不是第k 项，注意其指数规律． 2．求二项式展开式中的特殊项(如：系数最大的项、二项式系数最大的项、常数项、含某未知数的次数最高的项、有理项…)时，要注意n 与k 的取值范围．

3．注意区分“某项的系数”与“某项的二项式系数”，展开式中“二项式系数的和”与“各项系数的和”，“奇(偶)数项系数的和”与“奇(偶)次项系数的和”．

三、高考题

【2015高考北京版理第9题】

（ 9 ）在5(2)x 的展开式中，3x 的系数为_______．（用数字作答）40

【2014高考北京版理第13题】

把5件不同产品摆成一排．若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有 种．36

[解析]先考虑产品A 与B 相邻，把A 、B 作为一个元素有4

4A 种方法，而A 、B 可交换位置，所以有48244=A 种摆法，又当A 、B 相邻又满足A 、C 相邻，有12233=A 种摆法，故满足条件的摆法有

361248=-种

【2013高考北京版理第12题】

将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________． 96

[解析] 5张参观券分为4堆，有2个连号有4种分法，然后每一种全排列有A 4

4种方法，所以不同

的分法种数是4A 4

4＝96.

【2012高考北京版理第6题】从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )

A. 24

B. 18

C. 12

D. 6

[解析]由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇。如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种，因此总共12+6=18种情况。 【2011高考北京版理第12题】 用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有______个(用数字作答) [解析]个数为4

2214-=。 【2010高考北京版理第4题】

8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（ A ）

（A ）8

2

89A A （B ）8

2

89A C （C ） 8

2

87A A （D ）8

2

87A C

[解析] 8名学生先排成一排，有8

8A 种排法，在他们的9个空中插入两名教师，有2

9A 种方法，所以排法总数为8

2

89A A

四、例题【计数部分】

排列、组合问题，通常都是以选择题或填空题的形式出现在试卷上，它联系实际，生动有趣；但题型多样，解法灵活．实践证明，备考有效的方法是将题型与解法归类，识别模式、熟练运用．下面介绍常见排列组合问题的解答策略．

(1)相邻元素捆绑法

[例1] (2012·山西四校联考)有七名同学站成一排照相，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两