离散数学第十一章 树

11.1 树与生成树
树及其性质
例11.1 图11.1所示是森林，他的每个分支（a）、（b）都是一棵树。
图11.1
11.1 树与生成树
树及其性质
定理11.1 设T是无向（n，m）图，则下述命题相互等价。
（1）T连通且无回路。
（2）T无回路且m=n-1。 （3）T连通且m=n-1。 （4）T无回路但新增加任何一条边（端点属于T）后有且仅有一个回路。 （5）T连通，但是删去任何一边后便不再连通。 （6）T的每一对结点之间有且仅有一条道路可通。
11.1 树与生成树
生成树与最小生成树
定义11.4 设<G，W>是加权无向图， G' G ， G ' 中所有边的加权长度 之和称为 G ' 的加权长度。G的所有生成树中加权长度最小者称为<G， W>的最小生成树。
最小生成树有很广泛的应用。例如要建造一个连接若干城市的通讯网络，已知
城市 v i 和 v
前言
1956年Kruskal设计了求最优树的有效算法。 树是一类既简单而又非常重要的图，是计算机中一种基本的数据结构和 表示方法，在输电网络分析设计、有机化学、最短连接及渠道设计等领 域也都有广泛的应用。 本章将对树进行详细的讨论，主要包括树的基本性质和生成树，以及有 向树中的m叉树、有序树和搜索树等。
11.1 树与生成树
生成树与最小生成树
定理11.2 无向图 为连通当且仅当 有生成树。
证明：先采用反证法来证明必要性。 若 G 不连通，则它的任何生成子图也不连通，因此不可能有生成树，与 G 有 生成树矛盾，故 G 是连通图。 再证充分性。 设 G 连通，则 G 必有连通的生成子图，令 T 是 G 的含有边数最少的生成子图， 于是 T 中必无回路（否则删去回路上的一条边不影响连通性，与 T 含边数最少矛 盾），故 T 是一棵树，即生成树。
的补。
的弦。所有这些弦的集合称为 T
例11.3 图11.2中（b）、（c）所示的树 、 是图（a）的生成树，而（d）所示的 树 不是图（a）的生成树。
图11.2
11.1 树与生成树
生成树与最小生成树
例11.4 某地要兴建５个工厂，拟修筑道路连接这５处。经勘测其道路可依如图
11.2（a）的无向边铺设。为使这５处都有道路相通，问至少要铺几条路？
11.1 树与生成树
树及其性质
推论11.1 任何非平凡树至少有二片叶。
m dv ( i)≥ t 2 ( n t) ，由定理11.1中命题 证明：设（n,m）树T有t片叶，则 2
n
( n t ) ≥ t 2 n 2 t，即 t ≥ 2 （2），可得 2
例11.2 设 是一棵树，它有两个2度节点，一个3度节点，三个4度节点，求 的树 叶数。 解：设树 T 有 x 片树叶，则T
解：这实际上是求 G 的生成树的边数问题。 一般情况下，设连通图 G 有n个节点，m条边。由树的性质知，T有n个节点， n-1条树枝，m-n+1 条弦。 在图11.2（a）中， n=5，则n-1=4 ，所以至少要修４条路才行。 由图11.2可见，要在一个连通图 中找到一棵生成树，只要不断地从 的回路上 删去一条边，最后所得无回路的子图就是 的一棵生成树。于是有以下定理。
i 1
213 x 的节点数 n
n15 x T 的边数 m
又由 2 m d( vi )
n
( 5 x )2 2 3 1 4 3 x 得2
所以 x
i 1
9，即树 T
有9片树叶。
11.1 树与生成树
树及其性质
推论11.2 阶大于2的树必有割点。
主要内容
PART 01
树与生成树
PART 02
有向树及其应用
11.1 树与生成树
树及其性质
定义11.1 连通且不含回路的图称为树。树中度为1的结点称为叶，度大 于1的结点称为枝点或内点。
根据这个定义，平凡图K1也是树。K1是一个既无叶又无内点的平凡树。
定义11.2 在定义11.1中去掉连通的条件，所定义的图称为森林。森林 的每个支都是树。
第十一章 树
离散数学
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陈志奎主编 人民邮电出版社
前言
1847年，德国学者柯希霍夫（Kirchhof）在研究物理问题时提出了树 的概念。他用一类线性方程组来描述一个电路网络的每一条支路中和环 绕每一个回路的电流。他像数学家一样抽象地思考问题：用一个只由点 和线组成的相应的组合结构来代替原来的电路网络，而并不指明每条线 所代表的电器元件的种类。事实上，他把每个电路网络用一个基本图来 代替。为了解相应的方程组，他用一种结构方法指出，只要考虑一个图 的任何一个“生成树”所决定的那些独立圈就够了。他的方法现已成为 图论中的标准方法。
证明：由 m 知道T至少有一个度数大于1的内点v，再由定理11.1中命题（5）， n 1 T-v不是连通的，故v必是割点。
11.1 树与生成树
生成树与最小生成树
定义11.3 若无向（连通图）G的生成子图是一棵树，则称该树是G的生
成树或支撑树，记为 T
T
G
G
。生成树 T
G
G
中的边称为树枝。图G中其他边称为
j
之间通讯线路的造价，设计一个总造价为最小的通讯网络，就是求最
小生成树 。
11.1 树与生成树
生成树与最小生成树
例11.5 图11.3显示了利用Kruskal算法生成最小生成树的过程。通俗地讲，该算 法就是想将图中的边按权重从小到大排列，再从小到大一次取出每条边做检查。一 开始取最小的边，由该边导出一部分子图，然后依次每取一边加入得到的部分子图。 若仍为无回路，将该边与原有部分子图的边导出一个新子图；若得到回路，将该边 放弃。上述过程继续进行直到所有的边都检查完毕，这样得到的生成子图就是最小
前言
1857年，英国数学家凯莱（Caylay Arthur）从事计数由给定的碳原子 数n的饱和碳氢化合物的同分异构物时，独立地提出了树的概念。凯莱把 这个问题抽象地叙述为：求有P个点的树的数目，其中每个点的度等于1 或4，树上的点对应一个氢原子或一个碳原子。凯莱的工作是图的计数理 论的起源。法国数学家若尔当在1869年作为一个纯数学对象独立地发现 了树，他并不知道树与现代的化学学说有关。 1889年凯莱给出了完全图Kn的概念。