[理学]完善版第5章 刚体的定轴转动A rigid body about a fixed axis
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完善版第5章 刚体的定轴转动(A rigid body about a fixed axis)
F r
i
it i
Fijt ri
i ji
j F ji
（内力成对出现）
外力合力矩
i Fij
M Fit ri
i
对一定的转轴，量 mi ri 为恒量，称为刚体对该
转轴的转动惯量，用J表示
J mi ri
i
i
鞍山科技大学 姜丽娜
11
定义转动惯量
J＝ mi ri
Fi 外力 Fi Fij 内力之和
ji
如图，研究质点 Pi ，受力为
Fit
ri
Fi t
Fi Fi
Fij 质点 P j 对质点 Pi 的作用。 鞍山科技大学切线方向运动有
Fit Fi mi ait mi ri t
刚体对Z轴的角动量:
2. 角动量定理:
oi ri
Δmi Ｐ
vi
形式与质点的角动量定理相同，质点的力矩和角动量是 对定点，而刚体是对定轴而言。角动量定理反映了力矩 鞍山科技大学 姜丽娜 的时间积累效果。
33
二、角动量守恒定律:
由角动量定理可知： 当刚体所受合力矩为零时即M=0时,其角动量 L保持守恒。 注意:
舞 蹈 中 的 角 动 量 守 恒 现 象
鞍山科技大学 姜丽娜
37
起跳
§5.1
2. 刚体的运动形式: ⑴平动： 如果刚体在运动中,连结体内两 点的直线在空间的指向总保持平行, Δmi 这样的运动就叫平动。 注意： 刚体平动时,刚体内各 ｒiｊ 质元的运动轨迹都一样,而且在 Δmｊ 同一时刻的速度和加速度都相等。 因此,在描述刚体的平动时,可以 转轴 用一点的运动来代表，通常就用 刚体的质心的运动来代表整个刚 体的平动。 ⑵转动: 转动是刚体的基本运动形式之一。刚体 转动时各质元均做圆周运动,而且各圆 的圆心 都在一条直线上,这条直线叫转轴。如果转轴 方向不随时间变化, 则称定轴转动。 3 鞍山科技大学 姜丽娜
大学物理第5章刚体的定轴转动
d ctdt
对上式两边积分得
d c td t
0 0
t
1 2 ct 2
2 2 600π π 3 rad s 由给定条件， c 2 t 300 2 75
d π 2 由角速度的定义，则任意 t 时刻的角速度可写为： d t 150
得到： 转子转数：
A M d E K
a b
动能定理
动量定理
A F ds E K
动能定理 角动量定理 角动量 守恒
t 0Fdt P
t
动量守恒
F 0, P 0
t 0 M z dt Lz
t
M 0, L 0
§5.1 刚体、刚体运动
一、一般运动 二、刚体的定轴转动 三、解决刚体动力学问题的一般方法
基本方法： 加
质点系运动定理 刚体特性 平动：动量定理
刚体定轴转动的 动能定理 角动量定理
F mac
可以解决刚体的一般运动（平动加转动）
一、一般运动
1. 刚体 特殊的质点系， 形状和体积不变化 —— 理想化模型 在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变 2. 自由度 确定物体的位置所需要的独立坐标数 —— 物体的自由度数 z
刚体平面运动可看做刚体的平动与定轴转动的合成。 例如：车轮的滚动可以看成车轮随轮 轴的平动与绕轮轴的转动的组合。 描述刚体平面运动的自由度：3个
定点转动 刚体运动时，刚体上的一点固定不动，刚体绕过定点的一 瞬时转轴的转动，称作定点转动。
描述定点转动的自由度：3个
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
z
描述刚体绕定轴转动的角量： 角坐标
力5.刚体的定轴转动(2015)
定轴转动： 运动中各质元均做圆周运动，
且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。 定点转动： 运动中刚体上只有一点固定不动， 整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。 刚体上各点的运动都平行于某一 3.平面运动：
▲
固定平面的运动。 刚体不受任何限制的的任意运动。 4.一般运动： 它可分解为以下两种刚体的基本运动：
9
例1：一条绳索绕过一定滑轮拉动一升降机， 滑轮半径r=0.5m，如果升降机从静止开始以加 速度a=0.4m/s2匀加速上升，求： 1）滑轮的角加速度。 2）开始上升后，t=5s末滑轮的角速度。
3）在这5s内滑轮转过的圈数。
4）开始上升后，t1=1s末滑轮边缘上一点的加 速度（假设绳索和滑轮之间不打滑） 。
▲ ▲
随基点O（可任选）的平动 绕通过基点O的瞬时轴的定点转动
5
O
· · · ·
O 或 O
例如：
两种分解，基点选取不同，
平动可以不同， 转动却相同， 转动与基点的选取无关。
O
动力学中，常选质心为基点。
三 . 刚体转动的描述（运动学问题） 1.定点转动（rotation about a fixed point） （1）角量的描述 为反映瞬时轴的方向及刚体转动的快慢 和转向，引入角速度矢量 。
O
Cl
l,m
B (3)
t
Ct θ
mg
(4) (5)
l l aCt 4 4
l 4 mg cos
JO
3 g cos 7
(6)
27
N
Nl β A l
由(3)(4)(5)(6)解得：
O θC
··
Nt
l,m
大学物理复习5-6 刚体的定轴转动
联立上述这两个方程得子弹的初速率为
2 2− 3 g ( Ml + 2ma )(Ml 2 + 3ma 2 ) v= ma 6
题目变形：给初速度， 题目变形：给初速度，求上升高度
2 1 I = MR 2
R o
M
① ② ③ ④ ⑤
a m2g
图4－9
T 2′
T1′
m2
T2
T1
m1 a
m1g
a = Rβ
解得
2 ( m1 − m 2 ) g a = 2 ( m1 + m 2 ) + M 2 ( m1 − m 2 ) β = g [ 2 ( m1 + m 2 ) + M ]R 4 m1m 2 + m1M T1 = g 2 ( m1 + m 2 ) + M 4 m1m 2 + m 2 M T2 = g 2 ( m1 + m 2 ) + M
角量运动学方程
刚体定轴转动的转动定律
M = Jβ 刚体定轴转动的转动定律
内力矩为零！ 内力矩为零！
转动惯量
转动惯量是刚体作转动时对惯性的量度 描述. 描述. J = ∑∆m ri2 i
i
适用于离散分布刚体转动惯量的计算
J = ∫ r dm
2 m
适用于连续分布刚体转动惯量的计算 在国际单位制（ ） 在国际单位制（SI）中，转动惯量的单 kg ⋅ m2 . 位为千克二次方米， 位为千克二次方米，即
ω
r vi r ri
r
θ
∆m i
质元 转动平面
固定轴
刚体定轴转动的运动学描述
角位置： 角位置：
θ (t ) 单位为 rad
大学物理第5章刚体的定轴转动
Jz Jx Jy
Jc J mC
质心
d
yi
xi
ri
y
x
Δmi
1 2
mR
2
R
1 4
mR
2
6
第六页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
常用的转动惯量
细杆：
J过中点垂直于杆
1 12
mL2
J过一端垂直于杆
1 3
mL2
圆柱体：
J对称轴
1 2
mR 2
薄球壳：
J 直径
2 3
mR
2
球体：
J 直径
2 5
mR
2
7
第七页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
d L Lsin dΘ M d t
旋进角速度： Ω dΘ
dt
Ω d
dL
Lsin L
Ω M M
Lsin J sin
O
当 90 时 ，Ω M J
Ω
1
，
Ω
演示 车轮旋进（KL023) TV 旋进防止炮弹翻转（注2）
M外z 0 ，则 J z const .
大小不变 正、负不变
对刚体系， M外z = 0 时， Jizi const.，
此时角动量可在系统内部各刚体间传递，
而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。
演示 角动量守恒：茹科夫斯基转椅(KL016)
转台车轮 (KL017)
陀螺仪（KL029）
30
第三十页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
5、车轮进动
2
第二页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
§5.1 刚体的定轴转动定律
z
Mz
dLz dt
大学物理课程第5章刚体的定轴转动
圆柱体 转轴通过中心 并与几何轴垂直
J 1 mr 2 1 ml 2
4
12
细棒 转轴通过端点 并与棒垂直
J 1 ml 2 3
18
薄圆盘
转轴通过中心 并与盘面垂直
J 1 mr 2 2
薄圆盘
转轴沿着直径
J 1 mr 2 4
第5章 刚体的定轴转动
球体
转轴通过球心
2r
J 2 mr 2 5
θ
ω
mg
0 1 J 2 mg l sin
2
4
细杆的J可由平行轴定理求得：J 0
Jc
md
2
1 ml 12
2
m( l )2 4
7 ml 2 48
以上两式联解即得 2 6g sin
7l
第5章 刚体的定轴转动
Manufacture :Zhu Qiao Zhong
23
三 动能定理
/
s
（3） t = 6s 时，飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度 分别为
v rω 0.2 4πm/s2 2.5 m/s2
at
rβ
0.2 (
π )m/s 2 6
0.105 m/s2
an ω2r 0.2 (4π)2 31.6m/s2
第5章 刚体的定轴转动
4
二、刚体定轴转动的描述
转动平面：与转轴 Oz 相垂直的平面
z
1. 角坐标
规定：位矢沿参考轴逆时针转动时 为正。
的单位：rad （弧度）
运动方程： (t)
O
转动平面
Δ
wy_e刚体的定轴转动课件
O mg
ML
dL L
L
只改变方向而不改变大小，
从而产生旋进运动。
35
▲ 回转效应产生附加力矩： 轮船转弯时，涡轮机轴承要承受附加力。
左转弯的力矩 左转
附加力可能
M
造成轴承的损
轴承 附加力
附加力 M dt = dL
坏，附加力矩 也可能造成翻
dL M 船事故。
L
三轮车拐弯时易翻车（内侧车轮上翘）。36
mv0
2 3
L
[m(
2 3
L)2
1 3
ML2
]
3v0 8L
⑵上摆过程中,子弹－杆－地球系统
Ep+Ek=const.
令O轴处Ep=0，则有
(mg
2 3
L
Mg
1 2
L)
1 2
[m(
2 3
L)2
1 3
ML2 ] 2
mg
2 3
L
cos
Mg
1 2
L
cos
光 走 极 小 路 径
力学系统的分析
Chap.5 SUMMARY
1.定轴转动运动学
S R
v R at R
vanRr2
2.定轴转动定律 M=J
(重力矩的计算！)
3.转动中的功和能
⑴力矩的功
A 2 Md 1
⑵转动动能
Ek
1 2
J 2
(Ｍ有正负)
在绳端挂一质量为m的重物时，飞轮的角加速
度为1，如果以拉力2mg代替重物拉绳，则飞 轮的角加速度2将 21. (填“大于”、 “等于”或“小于”)
第5章 刚体的定轴转动 习题解答
对飞轮，由转动定律，有 式中负号表示摩擦力的力矩方向与角速度 方向相反。
联立解得
以 F 100 N 等代入上式，得
Fr R 2 (l1 l2 ) F J mRl1
5-1
第 5 章 刚体的定轴转动
2 0.40 (0.50 0.75) 40 100 rad s 2 60 0.25 0.50 3 t
由以上诸式求得角加速度
(2)
Rm1 rm2 g I m1 R 2 m2 r 2 0.2 2 0.1 2
1 1 10 0.202 4 0.102 2 0.202 2 0.102 2 2
9.8 6.13 rad s 2
T2 m2 r m2 g 2 0.10 6.13 2 9.8 20.8N T1 m1 g m1 R 2 9.8 2 0.2. 6.13 17.1N v 2a1h 2 Rh 2 6.13 0.2 2 2.21 m s 1
M M f J 1
t1
。移去力矩 M 后，根据转动定律，有
M f J 2
2
联立解得此转轮的转动惯量
0 t2
J
M 20 17.36 kg m 2 1 1 1 100 2 1 60 10 100 t1 t2
v0
6(2 3 3m M l J l 1M (1 2 ) (1 ) 2 ml 2 3m 12 m
(2) 由①式求得相碰时小球受到的冲量为：
I Fdt mv mv mv0
负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反。
大学物理 第五章 刚体定轴转动
2(m2 m1 ) g 8题： 2 2 (m1 m1 )r1 (m2 m2 )r2
例题9
9、如图所示，质量为m，长为l的均匀细杆，可绕一端 1 光滑的水平轴在竖直面内转动（ J ml 2），求(1)杆 3 o 从水平位置摆下角 ( < 90 ) 时的角速度（分别用转动 定律和机械能守恒定律求解）？（2）细杆的长度缩小 一半时，角速度的大小如何变化？
连，若绳与滑轮间无相对滑动，
滑轮轴上的摩擦忽略不计，假设
开始使物体静止而弹簧无伸长。
求：物体下落h=0.4m时的速率
是多大。
v 18.6m / s
例 题 15
15、如图所示，滑轮绕轴的转动惯量0.5kg· m2，半径
r=30cm，弹簧的劲度系数k=2N/m，重物的质量m=2.0kg。
此滑轮－重物系统从静止开始启动，开始时弹簧没有伸长 如果忽略所有摩擦，问：（１）物体沿斜面下滑１m时，
2 台对轴的转动惯量为1200kg m，质量为 80kg的人，
开始时站在台的中心，随后沿半径向外跑去，当人 距转台中心 2m 时，转台的角速度为______rad/s。
J 00 0.496rad / s 2 J 0 mr
例题5
5、半径 R 的飞轮可绕过其中心且垂直于轮面的水平
轴转动，飞轮绕以细绳，绳末端悬一质量为m 物体，
测得物体下落的加速度为 a ，假定轮轴的摩擦力矩为
常数M r ，求轮的转动惯量？
R
R 答案： J [mR ( g a ) M r ] a
m
a
例题6
6、如图所示，轻绳跨过半径为R具有水平光滑轴、质量 为M的定滑轮；绳的两端分别悬有质量为m1和m2物体 (m1<m2)，绳与轮之间无相对滑动，滑轮轴处的摩擦不 计；设开始时系统静止，求滑轮的角加速度α及物体的 加速度a ？
大学物理力学第五章1刚体、转动定律
3. 同一方程式中所有量都必须相对同一转轴。
(12)
例1、如图所示，A、B为两个相同的绕着轻绳的定滑
轮．A滑轮挂一质量为M的物体，B滑轮受拉力F，而且
F＝Mg．设A、B两滑轮的角加速度分别为βA和β B，
不计滑轮轴的摩擦，则有
(A) β A＝ β B． (B) β A＞ β B． (C) β A＜ β B． (D) 开始时β A＝ β B，以后β A＜ β B.
转动惯量的计算
1)定义 J miri2
J r 2dm
i
m
2) 对称的 简单的 查表
3) 平行轴定理
典型的几种刚体的转动惯量
m
m
l
细棒转轴通过中 心与棒垂直
J ml 2 12
l
细棒转轴通过端 点与棒垂直
J ml 2 3
M，R
M，R
o
圆环转轴通过环心与环面垂直
J MR2
薄圆盘转轴通过 中心与盘面垂直
以 m1 为研究对象 m1g T1 m1a 以 m 2 为研究对象 T2 m2a 以 M 为研究对象
(T1 T2 )R J J 1 MR 2 2
m 2 T2 M , R
（1） T1
T1
（2）
m1
m1
M ,R
m1g （3）
T2
m2
T2
T1
补充方程：
a R
（4）
联立方程（1）---（4）求解得
J 1 MR 2 2
m 2r
r l
球体转轴沿直径
J 2mr 2 5
圆柱体转轴沿几何轴
J 1 mr 2 2
转动定律应用举例 解题步骤: 1. 认刚体;
3. 分析力和力矩;
(12)
例1、如图所示，A、B为两个相同的绕着轻绳的定滑
轮．A滑轮挂一质量为M的物体，B滑轮受拉力F，而且
F＝Mg．设A、B两滑轮的角加速度分别为βA和β B，
不计滑轮轴的摩擦，则有
(A) β A＝ β B． (B) β A＞ β B． (C) β A＜ β B． (D) 开始时β A＝ β B，以后β A＜ β B.
转动惯量的计算
1)定义 J miri2
J r 2dm
i
m
2) 对称的 简单的 查表
3) 平行轴定理
典型的几种刚体的转动惯量
m
m
l
细棒转轴通过中 心与棒垂直
J ml 2 12
l
细棒转轴通过端 点与棒垂直
J ml 2 3
M，R
M，R
o
圆环转轴通过环心与环面垂直
J MR2
薄圆盘转轴通过 中心与盘面垂直
以 m1 为研究对象 m1g T1 m1a 以 m 2 为研究对象 T2 m2a 以 M 为研究对象
(T1 T2 )R J J 1 MR 2 2
m 2 T2 M , R
（1） T1
T1
（2）
m1
m1
M ,R
m1g （3）
T2
m2
T2
T1
补充方程：
a R
（4）
联立方程（1）---（4）求解得
J 1 MR 2 2
m 2r
r l
球体转轴沿直径
J 2mr 2 5
圆柱体转轴沿几何轴
J 1 mr 2 2
转动定律应用举例 解题步骤: 1. 认刚体;
3. 分析力和力矩;
《大学物理》第五章刚体的定轴转动
偏转角为30°。问子弹的初速度为多少。
o
解： 角动量守恒：
30°
mva 1 Ml 2 ma 2
la
3
v
机械能守恒：
1 1 Ml 2 ma 2 2 mga1 cos 30 Mg l 1 cos 30
23
2
v 1 g 2 3 Ml 2ma Ml 2 3ma 2 ma 6
刚体可以看成是很多质元组成的质点系，且在外力 作用下，各个质元的相对位置保持不变。 因此，刚体的运动规律，可通过把牛顿运动定律应 用到这种特殊的质点系上得到。
3
2.刚体的运动
平动：刚体在运动过程中，其上任意两点的连线 始终保持平行。
刚体的平动可看做刚体质心 的运动。
转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动 .
r2dm
L
r2 dl
L
（线质量分布）
12
3 平行轴定理
如果刚体的一个轴与过质 心轴平行并相距d，则质量 为 m 的刚体绕该轴的转动 惯量，等于刚体绕过质心 轴的转动惯量与 md2 之和：
J z Jc md 2
请同学们自己证明平行轴定理的。
提示：利用余弦定理 ri2 ri '2 d 2 2dxi 13
hc hi
若A外+ A内非=0
Ep=0
则Ek +Ep =常量。
例13 一均质细杆可绕一水平轴旋转，开始时处于 水平位置，然后让它自由下落。求： ( )
解 方法一 动能定理
M mg L cos
2
W
Md
mg
L cosd
0
0
2
mg L sin
2
θ
大学物理05刚体的定轴转动习题解答
第五章 刚体的定轴转动一 选择题1. 一绕定轴转动的刚体，某时刻的角速度为ω，角加速度为α，则其转动加快的依据是：（ ）A. α > 0B. ω > 0，α > 0C. ω < 0，α > 0D. ω > 0，α < 0解：答案是B 。
2. 用铅和铁两种金属制成两个均质圆盘，质量相等且具有相同的厚度，则它们对过盘心且垂直盘面的轴的转动惯量。
（ ）A. 相等；B. 铅盘的大；C. 铁盘的大；D. 无法确定谁大谁小解：答案是C 。
简要提示：铅的密度大，所以其半径小，圆盘的转动惯量为：2/2Mr J =。
3. 一轻绳绕在半径为r 的重滑轮上，轮对轴的转动惯量为J ，一是以力F 向下拉绳使轮转动；二是以重量等于F 的重物挂在绳上使之转动，若两种情况使轮边缘获得的切向加速度分别为a 1和a 2，则有： （ ）A. a 1 = a 2B. a 1 > a 2C. a 1< a 2D. 无法确定解：答案是B 。
简要提示：(1) 由定轴转动定律，1αJ Fr =和11αr a =，得：J Fr a /21=(2) 受力分析得：⎪⎩⎪⎨⎧===-2222ααr a J Tr ma T mg ，其中m 为重物的质量，T 为绳子的张力。
得：)/(222mr J Fr a +=，所以a 1 > a 2。
4. 一半径为R ，质量为m 的圆柱体，在切向力F 作用下由静止开始绕轴线作定轴转动，则在2秒内F 对柱体所作功为： （ ）A. 4 F 2/ mB. 2 F 2 / mC. F 2 / mD. F 2 / 2 m解：答案是A 。
简要提示：由定轴转动定律： α221MR FR =，得：mRF t 4212==∆αθ 所以：m F M W /42=∆=θ5. 一电唱机的转盘正以ω 0的角速度转动，其转动惯量为J 1，现将一转动惯量为J 2的唱片置于转盘上，则共同转动的角速度应为： （ ）A ．0211ωJ J J +B ．0121ωJ J J +C ．021ωJ JD ．012ωJ J 解：答案是A 。
5刚体的定轴转动
2J
yc
m(R
l )2 2
R
l
R
m
m
2( 2 mR2 mR2 mlR ml2 )
5 14 mR2 2mlR ml2
4
(2)J //
2J y//
2
2 5
mR2
5
2
4 mR2
5
39
例4：从一个半径为R的均匀薄板上挖去一个直径为R的
圆板，所形成的圆洞中心在距薄板中心R/2处，所剩薄
▲ 定点转动：运动中刚体上只有一点固定不动， 整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。
6
7
三、 刚体的定轴转动
定轴转动：
刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆周运 动，且在相同时间内转过相同的角度。
角位移，角速度和角加速度均相同； 特点： 质点在垂直转轴的平面内运动，且作圆周
运动。
角位移
角速度
at
解 （1）设初角度为0方向如图所示，
11
量值为0=21500/60=50 rad/s，对于匀
变速转动，可以应用以角量表示的运动方程，在
t=50S 时刻 =0 ，代入方程=0+αt 得
0 50 rad / s2
t
50
3.14 rad / s2
从开始制动到静止，飞轮的角位移 及转数
N 分别为
板的质量为m，求此时薄板对于通过原中心而与板面垂
直的轴的转动惯量。
JO
J DO
J dO
1 2
MR 2
1
2
md
R 2
2
md
(
R )2 2
1 2
MR 2
3 2
md
R 2
五刚体定轴转动
J miri2
通常刚体均为连续体，则：
J r2dm r2dV
m
V
J 的单位：kg·m2。 它与刚体对给定转轴的质量分布有关。
特别要注意： 转动惯量与转轴的位置有关。 转动惯量具有可相加性。
例 计算质量为 m ，长为 l 的细棒绕通过其端点的 垂直轴的转动惯量。
z
解 J r2dm
dm
即：L J
L 方向沿定轴，可用正、负表示方向。
转动定律： M J
M J J d dL 即：M dL
dt dt
dt
作定轴转动的刚体所受的合外力矩等于刚体的角动 量随时间的变化率。
——具有一般性，适用范围更广！
冲量矩、动量矩定理
M
dL
dt
t2
t1
Mdt
L2
L1
t2 M d t 是力矩在t1 到t2时间内的冲量矩。 t1
刚体的平面运动
三、 刚体的一般运动
+ 质心的平动 绕通过质心的轴的转动
四、 刚体定轴(Fixed Axis)转动的描述
用角量来描写转动：
定轴处O点与刚体上任一点
P之间的位置矢量 O P 处于
处，经过t时间后，该矢 径转过 角度：
角坐标 角位移
z
P
O
x
角速度(Angular Velocity)
角速度的大小： lim d
t0 t
角速度 的方向： 由右手螺旋法
则确定。右手弯曲的四指沿转动
dt z k,
方向，伸直的大拇指即为角速度
的方向。
d
k
dt
P
O
x
P点线速度与角速度的关系：
v r
角加速度(Angular Acceleration)
li5刚体的定轴转动1
刚体对于后一轴的转动惯量为：J Jc md 2
L
例：
c
m
Jc
1 mL2 12
L m
J
( 1 mL2 ) 12
m(
L)2 2
1 mL2 3
五、转动定律的应用
M J J d
dt
刚体定轴转动的两类问题：
(t ) (t ) (t ) J M 用求导的方法
Ek 2
Ek J
3. 刚体定轴转动的动能定理
d
dt
d d
d
dt
d d
故 Md Jd
又M J J d d
A
0
M d
1 2
J22
1 2
J12
A Ek2 Ek1
合外力矩对定轴转动的刚体所作的功，等于刚体 转动动能的增量。
几种常见刚体的转动惯量：
薄圆环
或薄圆筒R
m
J mR2
圆盘或 圆柱体
R m
L
细棒
m
J 1 mL2 12
J 1 mR2 2
L m J 1 mL2 3
性质1. 对同一轴J具有可叠加性
J Ji
性质2. 平行轴定理
以 m 表示刚体的质量，Jc 表示它通过其质心 c 的轴
的转动惯量。若另一轴与此轴平行并且相距为d，则此
1．力矩做功
设 F在转动平面内，当 刚体有角位移 d 时，
Z
O
d
dr
F
rP
F 对刚体所作的元功：
dA
F
L
例：
c
m
Jc
1 mL2 12
L m
J
( 1 mL2 ) 12
m(
L)2 2
1 mL2 3
五、转动定律的应用
M J J d
dt
刚体定轴转动的两类问题：
(t ) (t ) (t ) J M 用求导的方法
Ek 2
Ek J
3. 刚体定轴转动的动能定理
d
dt
d d
d
dt
d d
故 Md Jd
又M J J d d
A
0
M d
1 2
J22
1 2
J12
A Ek2 Ek1
合外力矩对定轴转动的刚体所作的功，等于刚体 转动动能的增量。
几种常见刚体的转动惯量：
薄圆环
或薄圆筒R
m
J mR2
圆盘或 圆柱体
R m
L
细棒
m
J 1 mL2 12
J 1 mR2 2
L m J 1 mL2 3
性质1. 对同一轴J具有可叠加性
J Ji
性质2. 平行轴定理
以 m 表示刚体的质量，Jc 表示它通过其质心 c 的轴
的转动惯量。若另一轴与此轴平行并且相距为d，则此
1．力矩做功
设 F在转动平面内，当 刚体有角位移 d 时，
Z
O
d
dr
F
rP
F 对刚体所作的元功：
dA
F
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F r
i
it i
Fijt ri
i ji
j F ji
（内力成对出现）
外力合力矩
i Fij
M Fit ri
i
对一定的转轴，量 mi ri 为恒量，称为刚体对该
转轴的转动惯量，用J表示
J mi ri
i
i
鞍山科技大学 姜丽娜
11
定义转动惯量
J＝ mi ri
刚体的一般运动都可以认为是平动和绕某一转轴转动的 结合。如图,车轮的转动。
鞍山科技大学 姜丽娜
4
二、刚体定轴转动的描述
刚体绕某一固定轴转动时,其上各质元都在垂直于转轴的平 面内作圆周运动,且所有质元的矢径在相同的时间内转过的角度 相同,根据这一特点,常取垂直于转轴 的平面为参考系,这个平面 称转 动平面。,虽然刚体上各质元的线速度、 加速度一般是不 同的。但由于各质元的相对位置保持不变,所以描述各质元运动 的角量,如角位移、 角速度 和角加速度都是一样的。因此描述 刚体的运动时,用角量最为方便。 转轴 转轴 Z
O
ri
vi
转动平面
Δmi
鞍山科技大学 姜丽娜
Ｐ
5
1.角位置θ
2.角位移△θ 3.角速度矢量ω:
ω方向与转动方向成右手螺旋法则 。
P点线速度
Z ω
转动方向
o
△θ
v θ
Ｐ
X
转动平面
4. 角加速度矢量 注意:
当加速转动时,角加速度与角速度方向相同； 当减速转动时,角加速度与角速度方向相反;
注意P点线量和角量的关系
Fi 外力 Fi Fij 内力之和
ji
如图，研究质点 Pi ，受力为
Fit
ri
Fi t
Fi Fi
Fij 质点 P j 对质点 鞍山科技大学 姜丽娜 Pi 的作用。
9
如图，考虑质点 Pi 切线方向运动有
Fit Fi t mi a it mi ri
练习1：如图所示,有两个质量分别为 M1 、M2 ，半径分 别为 R1 、R2 的匀质定滑轮，轮缘上绕一细绳, 其两端挂 着质量分别为m1 和m2 的物体。若m1 <m2 , 忽略轴承处的 摩擦, 且绳子与滑轮间无相对滑轮, 求滑轮的角加速度及绳 子的张力T1 、Ｔ2 、T 3 。
M2 R2 T2
刚体的运动bout a fixed axis)
本章将介绍一种特殊的质点系——刚体——所遵循的力学 规律。着重讨论刚体的定轴转动。
一、 概念 什么是刚体? 实际的固体在受力作用时总是要发生或大或 小的形状和体积的改变。如果在讨论一个固体的运动时,这种 形状或体积的改变可以忽略，我们就把这个固体当作刚体来处 理。 质元 1. 刚体定义: 在受外力作用时不改变形状和体积的物体称刚体。 注意： Δmi (1)刚体是固体物件的理想化模型。 (2)刚体可以看作是由许多质点组成,每一个质点 ｒiｊ 叫做刚体的一个质元,刚体这个质点系的特点是, Δmｊ 2 鞍山科技大学 姜丽娜 在外力作用下各质元之间的相对位置保持不变。
两边乘以 ri
Fit
Fit ri Fi t ri m i ri
上式对所有质点求和，得
2 Fit ri Fit ri (mi ri ) i i i
ri
Fi t
Fi Fi
外力合力矩
鞍山科技大学 姜丽娜
内力合力矩
可提出求 和号外
10
可以证明内力产生的力矩和等于零，即
§5.1
2. 刚体的运动形式: ⑴平动： 如果刚体在运动中,连结体内两 点的直线在空间的指向总保持平行, Δmi 这样的运动就叫平动。 注意： 刚体平动时,刚体内各 ｒiｊ 质元的运动轨迹都一样,而且在 Δmｊ 同一时刻的速度和加速度都相等。 因此,在描述刚体的平动时,可以 转轴 用一点的运动来代表，通常就用 刚体的质心的运动来代表整个刚 体的平动。 ⑵转动: 转动是刚体的基本运动形式之一。刚体 转动时各质元均做圆周运动,而且各圆 的圆心 都在一条直线上,这条直线叫转轴。如果转轴 方向不随时间变化, 则称定轴转动。 3 鞍山科技大学 姜丽娜
F//
F⊥ F
M r F
关于力矩作用的结论： 1.与转轴垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； 2.与转轴平行的力对转轴不产生力矩； 3.刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。(为什么?)
鞍山科技大学 姜丽娜 8
将刚体划分成很多质点，每个质点随刚体绕轴作
半径不同的圆周运动，通过考察质点的运动来找出刚 体定轴转动的角加速度与力矩的关系。 因为外力平行于转轴的分力不可能影响刚体绕轴的 转动，所以只考虑外力在转动平面内垂直于转轴的分力， 该分力产生力矩的方向只可能沿着轴的两个方向。
2
M J
转动定律：刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受
的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。
说明：
1)合外力矩和转动惯量都是相对于同一转轴而言的； 2)转动定律的地位与质点动力学中牛顿第二定律相当，是 解决刚体定轴转动问题的基本方程。 3）力矩、角加速度与角速度同向为正，反向为负。
鞍山科技大学 姜丽娜 12
v r
鞍山科技大学 姜丽娜
a ra 2 a n r
6
５.当角加速度矢量是常矢量时：
匀加速度直线运动公式：
鞍山科技大学 姜丽娜
7
二、刚体定轴转动定律
静止刚体在力的作用下，如
果力矩不等于零，将可能转动。
问题: 当我们用力 F 推门时，该力可以分 解为垂直于门轴方向的力和平行于门轴 方向的力，平行于门轴方向的力对门的 转动是否起作用？
第5章
刚体的定轴转动
转轴
(A rigid body about a fixed axis)
§5.1 刚体的运动 §5.2 刚体定轴转动定律 §5.3 转动惯量的计算 §5.4 刚体定轴转动定律的应用 §5.5 转动中的功和能 §5.6 刚体的角动量和角动量守恒定律
鞍山科技大学 姜丽娜 1
第 5章
刚体的定轴转动
M1 R1
T1 m1
T3
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m2
13
M1 R1 T1 T1
T3
T3
M2 R 2
T2
T2
m1g
m 2g
鞍山科技大学 姜丽娜
14
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15
重力矩：一根长为l、质量为m 的均匀细直棒，其一端有一固
定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在 水平位置，求它由此下摆角时的角加速度。 解：棒下摆为加速过程，外 力矩为重力对O 的力矩。 棒 上取质元dm,当棒处在下摆 角时，重力矩为：