苏教版高中数学必修二导学案答案
高中数学必修二导学案：第一章第一节柱锥台球的结构特征第二课时
第一章第一节柱锥台球的结构特征第二课时三维目标1．了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义，认识圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征；2. 会用柱、锥、台、球的结构特征描述简单组合体的结构特征；3. 了解柱、锥、台体的关系.________________________________________________________________________________ 目标三导学做思1问题1. (1)图①中的几何体叫做________，O叫它的________，OA叫它的________，AB叫它的________．(2)图②中的几何体叫________，AB、CD都是它的________，⊙O和⊙O′及其内部是它的________．(3)图③中的几何体叫做________，SB为叫它的________．(4)图④中的几何体叫做________，AA′叫它的________，⊙O′及其内部叫它的________，⊙O及其内部叫它的________，它还可以看作直角梯形OAA′O′绕它的________________旋转一周后，其他各边所形成的面所围成的旋转体．(5).什么是简单组合体？简单几何体有哪几种基本形式？指出下图中的组合形式.【学做思2】1．如图，AB为圆弧»BC所在圆的直径，45BAC∠=o.将这个平面图形绕直线AB旋转一周，得到一个组合体，试说明这个组合体的结构特征.2．已知圆台的两底半径分别为2和3，母线长为5，求展开后的弧所对的圆心角度数.3.圆锥底面半径为1cm，高为2cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长. 【变式】已知球的内接正方体棱长为2，求球的半径.达标检测1.如图所示的四个几何体中，是圆柱的为________；是圆锥的为________．2.说出如图所示几何体的主要结构特征．3.如图所示，下列几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴．4.如图，长方体ABCD—A1B l C l D1中，AD＝3，AA l＝4，AB＝5，则从A点沿表面到C l的最短距离为______．5.一个圆台的母线长为12cm，两底面面积分别为4πcm2和25πcm2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．。
高一下学期数学必修二导学案(总体离散程度的估计)
9.2.4 总体离散程度的估计【学习目标】1.会求样本的标准差、方差；2.理解离散程度参数的统计含义；3.会应用相关知识解决实际统计问题．【知识梳理】一、请同学们预习课本9.2.4节（第209-213页），完成下列知识梳理。
1、预习课本中的问题3，回答下列问题（1）计算甲乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数是、、。
（2）作出两名运动员射击成绩的频率图（如下）甲的成绩比较,乙的成绩相对,即甲的成绩波动幅度比较大，而乙的成绩比较稳定。
可见，他们的射击成绩是存在差异的。
2、度量数据离散程度的方法-极差度量数据程度的一种方法是用极差。
极差在一定程度上刻画了数据的程度.但因为极差只使用了数据中、两个值的信息,对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少。
3、平均距离的一种表示形式假设一组数据是x1,x2,⋯,x n，用x̅表示这组数据的平均数. 我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”,即|x i−x̅|(i=1,2,⋯,n)作为x i到x̅的“距离”.可以得到这组数据x1,x2,⋯,x n到x̅的“平均距离”为1 n ∑|x i−x| ni=14、方差和标准差（1）一组数据是x1,x2,⋯,x n，这组数据的方差是1 n ∑(x i−x)2ni=1，或1n∑x i2ni=1−x̅2，（你能证明两者是相等的吗？）（2）由于方差的单位是原始数据的单位的，为了使二者数据单位一致，我们取方差的算术平方根，得到这组数据的标准差√1n∑(x i−x)2ni=1，或 √1n∑x i2ni=1−x̅2，（3）总体方差S2和总体标准差S=√S2S2=1N∑(Y i−Y)2Ni=1=1N∑Y i2Ni=1−Y̅2，也可以写成加权的形式S2=1N∑f i(Y i−Y)2ki=1，（4）样本方差s2和样本标准差s=√s2s2=1n∑(y i−y)2ni=1（5）标准差刻画了数据的程度或幅度，标准差越大,数据的离散程度越;标准差越小，数据的离散程度越。
苏教版数学高一高中数学苏教版必修2导学案 圆的方程2
2.2.1 圆的方程（2）学习目标1. 掌握圆的一般方程，会判断二元二次方程022=++++F Ey Dx y x 是否是圆的一般方程，2. 能将圆的一般方程转化为标准方程，从而写出圆心坐标和圆的半径．3. 会用代定系数法求圆的一般方程.学习过程一 学生活动问题1．已知一个圆的圆心坐标为)11( ，，半径为2，求圆的标准方程．问题2．在半径与圆心不能确定的情况下仍用圆的标准方程来解行不行？如ABC ∆的顶点坐标)34( ，A ，)25( ，B ，)01( ，C ，求ABC ∆外接圆方程．这道题怎样求？有几种方法？二 建构知识1．圆的一般方程的推导过程．2．若方程Ey Dx y x +++22+F =0表示圆的一般方程，有什么要求？三 知识运用例题例1 已知ABC ∆的顶点坐标)34( ，A ，)25( ，B ，)01( ，C ，求ABC ∆外接圆的方程．变式训练：已知ABC ∆的顶点坐标)11( ，A 、)13( ，B 、)33( ，C ，求ABC ∆外接圆的方程．例2 某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度m AB 36=，拱高m OP 6=，每隔m 3需要一个支柱支撑，求支柱22P A 的长（精确到m 01.0）．例3 已知方程0834222=+++++k y kx y x 表示一个圆，求k 的取值范围．变式训练：若方程02)1(22222=+-+-+m y m mx y x 表示一个圆，且该圆的圆心位于第一象限，求实数m 的取值范围．巩固练习1．下列方程各表示什么图形？（1）0)2()1(22=++-y x ；（2）044222=-+-+y x y x ； （3）0422=-+x y x ；（4）02222=-++b ax y x ； （5）052422=+--+y x y x ．2．如果方程Ey Dx y x +++22+F =0)04(22>-+F E D 所表示的曲线关于直线x y =对称，那么必有（ ）A ．E D =B ．F D =C ．F E =D ．FE D ==3．求经过点)14( ，A ，)36( -，B ，)03( ，C 的圆的方程．2P P B A O y x 2A四 回顾小结圆的一般方程的推导及其条件；圆标准方程与一般方程的互化；用代定系数法求圆的一般方程．五 学习评价双基训练：1圆222440x y x y ++--=的圆心坐标为________,半径r=__________.2已知圆220x y Dx Ey F ++++=的圆心坐标为（-2，3），半径为4，则D ，E ，F 的值分别是___________.3若方程224250x y kx y k ++-+=表示的图形是圆,则实数k 的取值范围是_________. 4经过点O(0，0)，A(2，0)，B(0，4)的圆的一般方程是__________________.5经过两点O(0，0)，A(2，2)的所有圆中面积最小的圆的一般方程为__________________. 6若圆220x y Dx Ey F ++++=与y 轴切于原点，则D ，E ，F 满足____________. 7求满足下列条件的圆的一般方程：a) 经过点A （4，1），B （-6，3），C （3，0）；b) 在x 轴上的截距分别为1和3，在y 轴上的截距为-1.8.点A 是圆C ：22450x y ax y +++-=上任意一点，且A 关于直线210x y +-=的对称点也在圆C 上，求实数a 的值.拓展延伸：9、 等腰梯形ABCD 的底边长分别为6和4，高为3，求这个等腰梯形的外接圆的方程，并指出圆的圆心和半径.。
高中数学(苏教版)必修2精品教学案全集：立体几何 部分参考(含单元测试)答案
参考答案（部分）第1课时 棱柱、棱锥、棱台1．A 2．D 3．B 4．5，9，3，6 5．4，4 ，三 6．不能，没有四个面的棱台，至少有5个面．7．略．8．（1）平行四边形（2）三角形9．可能是：三角形，四边形，五边形和六边形第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球1．C 2．C 3．B 4．C 5．不是，绕x 轴旋转一周所得的几何体，为圆柱内挖去一个圆锥，绕y 轴旋转一周所得的几何体为圆锥。
6．一个圆柱内挖去一个圆锥7．（1）矩形（2）扇形，扇环（3）不能8．一个圆柱加一个圆锥（2）直角三角形内接矩形第3课时 中心投影和平行投影1．C 2．左 3．略 4．3，左后最上方 5．略 6．略第4课时 直观图画法1．D 2． D3．26164．略 5．略 6．略 7．略 第5课时 平面的基本性质(1)1．A 2． C 3． B 4．B 5．1 6.略 7．略第6课时 平面的基本性质(2)1．B 2． A 3． B 4．C 5．D 6.略 7．略第7课时 空间两条直线的位置关系1．C 2． D 3． B 4．3 5．40°或140° 6.略 7略8．(1)略 (2) 略(3)AC=BD 且,AC ⊥BD第8课时 异面直线1．B 2．C 3．60° 4．相交或异面 5．①③ 6.提示:反证法 760°7．2个 8.一定异面 证略 9.不一定第９课时 直线和平面的位置关系1．B 2．Ｂ 3．平行 4．在平面ABB 1A 1中，过点Ｍ作GH//BB 1,GH 分别交AB, A 1 B 1于点E,G ，连接EH,GF ，则平面γ与次三棱柱表面的交线是GH,EH,GF,EF 5．证明：因为ＡＣ//ＢＤ，所以ＡＣ与ＢＤ可确定一个平面β，然后证四边形ＡＢＣＤ为平行四边形，则ＡＣ＝ＢＤ 6.（１）证：ＥＦ／／ＧＨ，（２）略7．取ＢＤ中点Ｅ，连接ＡＥ，ＮＥ，证ＡＭＮＥ为平行四边形。
第10课时 直线平面垂直1．B 2．Ｂ 3．a ⊥b 4．D ＰＡＢ ，D ＰＡＤ ，D ＰＤＣ ，D ＰＢＣ5．ＢＤ１⊥ＡＣ，ＢＤ１⊥Ｂ１Ｃ，ＢＤ１⊥平面ＡＣＢ１6.证明：过Ｐ作ＰＧ⊥平面ＡＢＣ，Ｇ为垂足，连接ＡＧ，ＣＧ，ＢＧ，则ＰＧ⊥ＡＧ，ＰＧ⊥ＣＧ，ＰＧ⊥ＢＧ，∵ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ∴DＰＧＡ≌DＰＧＣ≌DＰＧＢ∴ＡＧ＝ＢＧ＝ＣＧ∴Ｇ与Ｏ重合∴ＰＯ⊥平面ＡＢＣ7．已知：一点Ａ和平面α求证：经过点Ａ和平面α垂直的直线只有一条证明：假使过点Ａ至少有平面α的两条垂线：ＡＢ，ＡＣ那么ＡＢ和ＡＣ是两条相交直线，它们确定一个平面β设β∩α＝a∴ＡＢ⊥α，ＡＣ⊥α∴在内有两条直线与a垂直，矛盾所以：经过点Ａ和平面α垂直的直线只有一条8.证明：∵b⊥平面α∴b与平面α相交设b∩α＝Ａ则a与A确定一个平面β设β∩α＝a′∵a//α∴a// a′又∵b⊥α∴b⊥a′∴b⊥a第11课时直线和平面垂直（２）4．ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ 5．①②③④⑤1．Ｄ 2．C 3．26.连接ＡＯ并延长交ＢＣ于Ｄ∵Ｏ为重心∴ＡＤ⊥ＢＣ而ＰＯ平面ＡＢＣ∴ＢＣ⊥ＰＡ7.(1) ∵ＰＡ⊥平面ABCD而BC⊥AB,CD⊥AD∴BC⊥PB,CD⊥PD∴D PBC, D PDC是Ｒt D。
2019学年苏教版高中数学必修2全册学案
高中数学必修2全册学案目录1.1.1棱柱、棱锥和棱台1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球1.1.4直观图画法1.2.1平面的基本性质1.2.2空间两条直线的位置关系1.2.3 第1课时直线与平面平行的判定1.2.3 第2课时直线与平面平行的性质1.2.3 第3课时直线与平面垂直的判定1.2.3 第4课时直线与平面垂直的性质1.2.3 第5课时线面垂直的综合应用1.2.4 第3课时两平面垂直的性质1.3.1空间几何体的表面积1.3.2空间几何体的体积2.1.1直线的斜率2.1.2 第1课时点斜式2.1.2 第2课时两点式2.1.2 第3课时一般式2.1.3 第1课时两条直线的平行2.1.3 第2课时两条直线的垂直2.1.4两条直线的交点2.1.5平面上两点间的距离2.1.6点到直线的距离2.2.1 第1课时圆的标准方程2.2.1 第2课时圆的一般方程2.2.2直线与圆的位置关系2.2.3圆与圆的位置关系2.3空间直角坐标系2习题课圆的方程的应用2习题课直线与方程章末复习课1章末复习课21.1.1棱柱、棱锥和棱台学习目标 1.通过观察实例，概括出棱柱、棱锥、棱台的定义.2.掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征及相关概念.3.能说出棱柱、棱锥、棱台的性质，并会画简单的棱柱、棱锥、棱台.知识点一棱柱的结构特征思考观察下列多面体，有什么共同特点？梳理棱柱的结构特征名称定义图形及表示相关概念分类棱柱由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱如图可记作：棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′底面：平移起止位置的两个面，侧面：多边形的边平移所形成的面，侧棱：相邻侧面的公共边，顶点：侧面与底面的公共顶点底面为三角形、四边形、五边形……的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱……思考观察下列多面体，有什么共同特点？梳理棱锥的结构特征名称定义图形及表示相关概念分类棱锥当棱柱的一个底面收缩为一点时，得到的几何体叫做棱锥如图可记作：棱锥S—ABCD底面(底)：多边形面，侧面：有公共顶点的各个三角形面，侧棱：相邻侧面的______，顶点：由棱柱的一个底面收缩而成按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥、……知识点三棱台的结构特征思考观察下列多面体，分析其与棱锥有何区别与联系？梳理棱台的结构特征名称定义图形及表示相关概念分类棱台用一个______的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个仍然是棱锥，另一个我们称之为棱台如图可记作：棱台ABCD—A′B′C′D′上底面：原棱锥的截面，下底面：原棱锥的底面，侧面：其余各面，侧棱：相邻侧面的公共边，顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点由三棱锥、四棱锥、五棱锥、……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台、……知识点四多面体思考一般地，怎样定义多面体？围成多面体的各个多边形，相邻两个多边形的公共边，以及这些公共边的公共点分别叫什么名称？梳理类别多面体定义由一些______________围成的几何体图形相关概念面：围成多面体的各个________，棱：相邻两个面的________，顶点：棱与棱的公共点类型一棱柱、棱锥、棱台的结构特征命题角度1棱柱的结构特征例1下列关于棱柱的说法：①所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③两底面平行，并且各侧棱也平行；④被平行于底面的平面截成的两部分可以都是棱柱.其中正确说法的序号是________.反思与感悟关于棱柱的辨析(1)紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析.①两个面互相平行；②其余各面是四边形；③相邻两个四边形的公共边互相平行.(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除.特别提醒：求解与棱柱相关的问题时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征.跟踪训练1关于棱柱，下列说法正确的是__________.(填序号)①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；②棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形；③上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱一定是正方体.命题角度2棱锥、棱台的结构特征例2(1)判断如图所示的物体是不是棱锥，为什么？(2)如图所示的多面体是不是棱台？反思与感悟棱锥、棱台结构特征问题的判断方法(1)举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接说明关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确. (2)直接法棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.其中正确说法的序号是________.类型二棱柱、棱锥、棱台的画法例3画出一个三棱柱和一个四棱台.反思与感悟在平面几何中，虚线表示作的辅助线，但在空间图形中，虚线表示被遮挡的线.在空间图形中作辅助线时，被遮挡的线作成虚线，看得见的线仍作成实线.作图时要使用铅笔、直尺等，力求准确.跟踪训练3画一个六面体.(1)使它是一个四棱柱；(2)使它是由两个三棱锥组成；(3)使它是五棱锥.类型三空间问题与平面问题的转化例4如图所示，在侧棱长为23的正三棱锥V—ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过A作截面AEF，求截面△AEF周长的最小值.反思与感悟求几何体表面上两点间的最小距离的步骤(1)将几何体沿着某棱剪开后展开，画出其侧面展开图.(2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题.(3)结合已知条件求得结果.跟踪训练4如图所示，在所有棱长均为1的直三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为________.1.有下列三个命题：①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.其中正确的有________个.2.三棱锥的四个面中可以作为底面的有________个.3.下列说法错误的是________.(填序号)①多面体至少有四个面；②九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形；③长方体、正方体都是棱柱；④三棱柱的侧面为三角形.4.下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台.(仅填相应序号)5.下图中不可能围成正方体的是________.(填序号)1.棱柱、棱锥及棱台定义的关注点(1)棱柱的定义有以下两个要点，缺一不可：①有两个平面(底面)互相平行.②其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行.(2)棱锥的定义有以下两个要点，缺一不可：①有一个面(底面)是多边形.②其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形.(3)棱台是由一个平行于棱锥底面的平面截得的.2.棱柱、棱锥、棱台之间的关系在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例).3.根据几何体的结构特点判定几何体的类型，首先要熟练掌握各几何体的概念，把握好各类几何体的性质，其次要有一定的空间想象能力.答案精析问题导学知识点一思考(1)有两个面是全等的多边形，且对应边互相平行；(2)其余各面都是平行四边形．知识点二思考(1)有一个面是多边形；(2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形．梳理公共边知识点三思考(1)区别：有两个面相互平行．(2)联系：用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，其底面和截面之间的部分即为该几何体．梳理平行于棱锥底面知识点四思考多面体是由若干个平面多边形围成的几何体．围成多面体的各个多边形叫多面体的面；相邻两个面的公共边叫多面体的棱；棱和棱的公共点叫多面体的顶点．梳理平面多边形多边形公共边题型探究例1③④跟踪训练1②例2(1)解该物体不是棱锥．因为棱锥的定义中要求：各侧面有一个公共顶点，但侧面ABC与侧面CDE没有公共顶点，所以该物体不是棱锥．(2)解根据棱台的定义，可以得到判断一个多面体是棱台的标准有两个：一是共点，二是平行．即各侧棱的延长线要交于一点，上、下两个底面要平行，二者缺一不可．据此，图①中多面体侧棱延长线不相交于同一点，故不是棱台；图②中多面体不是由棱锥截得的，不是棱台；图③中多面体虽是由棱锥截得的，但截面与底面不平行，因此也不是棱台．跟踪训练2①②例3解(1)画三棱柱可分以下三步完成：第一步，画上底面——画一个三角形；第二步，画侧棱——从三角形的每一个顶点画平行且相等的线段；第三步，画下底面——顺次连结这些线段的另一个端点(如图所示)．(2)画四棱台可分以下三步完成：第一步，画一个四棱锥；第二步，在它的一条侧棱上取一点，然后从这点开始，顺次在各个侧面内画出与底面对应边平行的线段；第三步，将多余的线段擦去(如图所示)．跟踪训练3解如图所示．图1是一个四棱柱．图2是一个由两个三棱锥组成的几何体．图3是一个五棱锥．例4解将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图所示．线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值．取AA1的中点D，则VD⊥AA1，∠AVD＝60°，可知AD＝3，则AA1＝6.即截面△AEF周长的最小值为6.跟踪训练410当堂训练1．0 2.4 3.④ 4.①③④⑥⑤ 5.④1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球学习目标 1.认识圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.2.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.知识点一圆柱、圆锥、圆台的概念思考数学中常见的旋转体圆柱、圆锥、圆台、球是如何形成的？梳理将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的________、_______、____________所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台.如图所示：知识点二球思考球也是旋转体，它是由什么图形旋转得到的？梳理球的结构特征球定义相关概念图形及表示球半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球体，简称球球心：半圆的______，半径：半圆的______，直径：半圆的______ 如图可记作：球O知识点三旋转面与旋转体一条平面曲线绕它所在平面内的____________旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体称为__________.圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体.类型一旋转体的基本概念例1判断下列各说法是否正确：(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；(2)一直角梯形绕下底所在的直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；(4)在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球.反思与感悟(1)圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定边(弦)旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求.(2)只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的说法的正误.跟踪训练1下列说法正确的是________.(填序号)①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆锥；⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内；⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线段；⑦球面上任意三点可能在一条直线上.类型二旋转体中的有关计算例2一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：(1)圆台的高；(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长.反思与感悟用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解.跟踪训练2圆台的两底面面积分别为1,49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比.类型三复杂旋转体的结构分析例3直角梯形ABCD如图所示，以DA所在直线为轴旋转，试说明所得几何体的形状.引申探究若本例中直角梯形分别以AB、BC所在直线为轴旋转，试说明所得几何体的形状.反思与感悟(1)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的.(2)在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象能力或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状.跟踪训练3如图所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC.当梯形ABCD绕AD 所在直线旋转一周时，其他各边旋转形成的面围成一个几何体，试描述该几何体的结构特征.1.下列说法正确的是________.(填序号)①圆锥的母线长等于底面圆的直径；②圆柱的母线与轴平行；③圆台的母线与轴平行；④球的直径必过球心.2.可以通过旋转得到下图的平面图形的序号为________.3.一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为________cm.4.下列说法正确的有________个.①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；②球的直径是球面上任意两点间的线段；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；④用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面.5.如图所示的平面图形绕轴l旋转一周后，形成的几何体是由哪些简单几何体构成？1.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.2.处理台体问题常采用还台为锥的补体思想.3.处理组合体问题常采用分割思想.4.重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何问题中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想.答案精析问题导学知识点一思考将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边，垂直于底边的腰所在的直线旋转一周后，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台．梳理一边一直角边垂直于底边的腰圆柱OO′圆锥SO圆台OO′知识点二思考以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体．梳理圆心半径直径知识点三一条定直线旋转体题型探究例1解(1)错．由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴．(2)错．直角梯形绕下底所在的直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的几何体，如图所示．(3)正确．(4)错．应为球面．跟踪训练1④⑥例2解(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．由已知可得O 1A ＝2 cm ，OB ＝5 cm. 又由题意知腰长为12 cm ， 所以高AM ＝122－(5－2)2 ＝315(cm)．(2)如图所示，延长BA ，OO 1，CD ，交于点S ，设截得此圆台的圆锥的母线长为l ， 则由△SAO 1∽△SBO ， 可得l －12l ＝25，解得l ＝20(cm)．即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm. 跟踪训练2 h 1∶h 2＝2∶1例3 解 以AD 为轴旋转可得到一个圆柱，上面挖去一个圆锥，如图所示．引申探究解以AB为轴旋转可得到一个圆台，如图①所示．以BC为轴旋转可得一个圆柱和一个圆锥的组合体．如图②所示．跟踪训练3解如图所示，旋转所得的几何体可看成由一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的组合体．当堂训练1．②④ 2.④ 3.103 4.25．解过原图形中的折点向旋转轴引垂线，这样便可得到三个规则图形：矩形、直角梯形、直角三角形，旋转后的图形如图所示，由一个圆柱O1O2、一个圆台O2O3和一个圆锥OO3组成．1.1.4直观图画法学习目标 1.掌握斜二测画法的作图规则.2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图.知识点斜二测画法思考1边长为2 cm的正方形ABCD水平放置的直观图如下，在直观图中，A′B′与C′D′有何关系？A′D′与B′C′呢？在原图与直观图中，AB与A′B′相等吗？AD与A′D′呢？思考2正方体ABCD－A1B1C1D1的直观图如图所示，在此图形中各个面都画成正方形了吗？梳理(1)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则(2)立体图形直观图的画法规则画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变，其他同平面图形的画法.类型一平面图形的直观图例1画出如图水平放置的直角梯形的直观图.引申探究若将本例中的直角梯形改为等腰梯形，其直观图如何？反思与感悟在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段.确定多边形顶点的位置是关键之二，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连结即可.跟踪训练1如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________.类型二直观图的还原与计算命题角度1由直观图还原平面图形例2如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形.反思与感悟由直观图还原平面图形的关键(1)平行x ′轴的线段长度不变，平行y ′轴的线段扩大为原来的2倍.(2)对于相邻两边不与x ′、y ′轴平行的顶点可通过作x ′轴，y ′轴的平行线确定其在xOy 中的位置.跟踪训练2 如图所示，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，C ′D ′＝2 cm ，则原图形是________.命题角度2 原图形与直观图的面积的计算例3 如图所示，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图.若A 1D 1∥O ′y ′，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1＝23C 1D 1＝2，A 1D 1＝O ′D 1＝1.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积.反思与感悟 (1)由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高.(2)若一个平面多边形的面积为S ，它的直观图面积为S ′，则S ′＝24S . 跟踪训练3 如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A ′B ′O ′，若O ′B ′＝1，那么原三角形ABO 的面积是________.类型三 简单几何体的直观图例4 用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm 、3 cm 、2 cm 的长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′的直观图.反思与感悟 直观图中应遵循的基本原则(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x 轴、y 轴、z 轴的线段在直观图中应分别画成平行于x ′轴、y ′轴、z ′轴的线段.(2)平行于x 轴、z 轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y 轴的线段长度变为原来的12.(3)直观图画法口诀“一斜、二半、三不变”.跟踪训练4 用斜二测画法画出六棱锥P －ABCDEF 的直观图，其中底面ABCDEF 为正六边形，点P 在底面上的投影是正六边形的中心O .(尺寸自定)1.利用斜二测画法画出边长为3 cm 的正方形的直观图，正确的是图中的________.(填序号)2.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为__________.3.已知两个底面半径相等的圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm ，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm ，则其直观图中这两个顶点之间的距离为________ cm.4.如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的________.(填序号)5.画出一个正三棱台的直观图.(尺寸：上，下底面边长分别为1 cm,2 cm ，高为2 cm)1.画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点.确定点的位置，可采用直角坐标系.建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上.2.用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜”、“二测”两点：(1)一斜：平面图形中互相垂直的Ox、Oy轴，在直观图中画成O′x′、O′y′轴，使∠x′O′y′＝45°或135°.(2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”.答案精析问题导学 知识点思考1 A ′B ′∥C ′D ′，A ′D ′∥B ′C ′， A ′B ′＝AB ，A ′D ′＝12AD .思考2 没有都画成正方形．梳理 45° 135° 水平面 x ′轴或y ′轴的线段 保持原长度不变 一半 题型探究例1 解 (1)在已知的直角梯形OBCD 中，以底边OB 所在直线为x 轴，垂直于OB 的腰OD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系．画出对应的x ′轴和y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，如图①②所示．(2)在x ′轴上截取O ′B ′＝OB ，在y ′轴上截取O ′D ′＝12OD ，过点D ′作x ′轴的平行线l ，在l 上沿x ′轴正方向取点C ′使得D ′C ′＝DC .连结B ′C ′，如图②.(3)所得四边形O ′B ′C ′D ′就是直角梯形OBCD 的直观图，如图③.引申探究解 画法：(1)如图①所示，取AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为原点，建立直角坐标系，画出对应的坐标系x ′O ′y ′，使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)以O ′为中点在x ′轴上取A ′B ′＝AB ，在y 轴上取O ′E ′＝12OE ，以E ′为中点画出C ′D ′∥x ′轴，并使C ′D ′＝CD . 连结B ′C ′，D ′A ′，如图②所示．(3)所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图，如图③所示．跟踪训练12 2例2解①画出直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；②过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y 轴，且使DB＝2D′B′；③连结AB，BC，得△ABC.则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图所示．跟踪训练2菱形例3解如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.在过点D 的y 轴的平行线上截取DA ＝2D 1A 1＝2. 在过点A 的x 轴的平行线上截取AB ＝A 1B 1＝2. 连结BC ，即得到了原图形．由作法可知，原四边形ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为AB ＝2，CD ＝3，直角腰的长度AD ＝2，所以面积为S ＝2＋32×2＝5.跟踪训练32例4 解 (1)画轴．如图，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.(2)画底面．以点O 为中点，在x 轴上取线段MN ，使MN ＝4 cm ；在y 轴上取线段PQ ，使PQ ＝32 cm.分别过点M 和N 作y 轴的平行线，过点P 和Q 作x 轴的平行线，设它们的交点分别为A ，B ，C ，D ，四边形ABCD 就是长方体的底面ABCD .(3)画侧棱．过A ，B ，C ，D 各点分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm 长的线段AA ′，BB ′，CC ′，DD ′.(4)成图．顺次连结A ′，B ′，C ′，D ′(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图．跟踪训练4 解 (1)画出六棱锥P －ABCDEF 的底面．①在正六边形ABCDEF 中，取AD 所在的直线为x 轴，对称轴MN 所在的直线为y 轴，两轴相交于点O ，如图(1)，画出相应的x ′轴、y ′轴、z ′轴，三轴相交于O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，∠x ′O ′z ′＝90°，如图(2)；②在图(2)中，以O ′为中点，在x ′轴上取A ′D ′＝AD ，在y ′轴上取M ′N ′＝12MN ，以点N ′为中点，画出B ′C ′平行于x ′轴，并且等于BC ，再以M ′为中点，画出E ′F ′平行于x ′轴，并且等于EF ；③连结A ′B ′，C ′D ′，D ′E ′，F ′A ′，得到正六边形ABCDEF 水平放置的直观图A ′B ′C ′D ′E ′F ′.(2)画出正六棱锥P －ABCDEF 的顶点．在z ′轴正半轴上截取点P ′，点P ′异于点O ′. (3)成图．连结P ′A ′，P ′B ′，P ′C ′，P ′D ′，P ′E ′，P ′F ′，并擦去x ′轴、y ′轴和z ′轴，便可得到六棱锥P －ABCDEF 的直观图P ′－A ′B ′C ′D ′E ′F ′，如图(3)．当堂训练1．③ 2.16或64 3.5 4.③5．解(1)作水平放置的下底面等边三角形的直观图△ABC，其中O为△ABC的重心，BC ＝2 cm，线段AO与x轴的夹角为45°，AO＝2OD.(2)过O作z轴，使∠xOz＝90°，在z轴上截取OO′＝2 cm，作上底面等边三角形的直观图△A′B′C′，其中B′C′＝1 cm，连结AA′，BB′，CC′，得正三棱台的直观图．。
高中数学：解析几何导学案苏教版必修2
§2.1.4 两条直线的交点【教学目标】1．知道两条直线的相交、平行和重合三种位置关系，对应于相应的二元一次方程组有唯一解、无解和无穷多组解2．当两条直线相交时，会求交点坐标3．学生通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力【教学重点】根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两直线相交求交点【教学难点】对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解【自主预习】．两条直线的交点设两条直线的方程分别是1l :0111=++C y B x A ,2l :0222=++C y B x A ．【典例示X 】 例1．分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点：(1)1l :72=-y x ，2l :0723=-+y x ；(2)1l :0462=+-y x ，2l :08124=+-y x ；(3)1l :0424=++y x ，2l :32+-=x y ．例2．直线l 经过原点，且经过另外两条直线0832=++y x ，01=--y x 的交点，求直线l 的方程．跟踪1：(1)求证：无论m 为何实数，l ：5)12()1(-=-+-m y m x m 恒过一定点，求出此定点坐标．(2)求经过两条直线0332=--y x 和02=++y x 的交点，且与直线013=-+y x 垂直的直线的方程．例3．(教科书P 83例3)某商品的市场需求1y (万件)、市场供求量2y (万件)、市场价格x (元/件)分别近似地满足下列关系：202,70-=+-=x y x y ．当21y y =时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．(1)求市场平衡价格和平衡需求量；(2)若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？【归纳总结】通过对两直线方程联立方程组来研究两直线的位置关系，得出了方程组的解的个数与直线位置关系的联系．培养同学们的数形结合、分类讨论和转化的数学思想方法．【巩固拓展】已知直线1l :310x my +-=，2l :3250x y --=，3l :650x y +-=，(1)若这三条直线交于一点，求m 的值；(2)若三条直线能构成三角形，求m 的值。
高中数学第23课时立体几何复习2导学案苏教版必修2(2021学年)
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第23课时立体几何复习2【学习目标】1.复习与巩固直线与平面、平面与平面位置关系的概念、判定和性质。
2.会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角。
3.会求柱、锥、台、球的表面积和体积.【基础训练】1。
．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为．2。
圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π，则圆台较小的底面半径是 .3．等腰直角三角形AB C沿斜边上的高A D折成直二面角B—ＡＤ—C,则BＤ与平面AＢC所成角的正切值为．4.下列四个命题:①l∥m，ｍ∥n，ｎ⊥α⇒l⊥α; ②l∥m,m⊥α,n⊥α⇒l∥n③l∥ｍ,l⊥α，⇒m⊥α；④l∥α，m⊥α⇒ｌ⊥m其中错误命题的个数是( )(A）0个 (Ｂ)1个（Ｃ）2个 (D）3个5.如图，平面⊥平面,∩=l,A∈,B∈,且AＢ与ｌ所成的角为60,A、B到l的距离分别为１、3，则线段AB的长是 .ﻬ【合作探究】１。
如图l，等腰梯形AＢＣD中,ＡD∥ＢC,AＢ=ＡD,∠ABＣ＝600,Ｅ是BC的中点.如图2,将△ABE沿AＥ折起，使二面角Ｂ—AE—C成直二面角，连结ＢC，BD,F是CD的中点,P是棱ＢC 的中点．（1）求证：AE⊥ＢD; （2)求证:平面PＥF⊥平面AECＤ;(3）判断DE 能否垂直于平面A ＢC?并说明理由.2．在四棱锥P －AB ＣＤ中，四边形ＡBCD 是梯形,AD∥BC,∠ABC=9０°，平面PA Ｂ⊥平面ABCD ，平面PAD⊥平面ABC Ｄ.(1)求证：ＰＡ⊥平面ＡＢC Ｄ；（2)若平面PAB 平面ＰC Ｄl =,问：直线ｌ能否与平面ABCD 平行？请说明理由.3． 正方体1111ABCD-A B C D ,1AA =2,Ｅ为棱1CC 的中点.(Ⅰ) 求证:11B D AE ⊥; (Ⅱ） 求证：//AC 平面1B DE ;(Ⅲ）求三棱锥A-BDE 的体积.ABCDE 例1图1A例1图211A ECACDBPMQ４.如图,在四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 中为菱形, 60=∠BAD ,Q 为AD 的中点。
高中数学苏教版必修2导学案答案
解析几何2.1.1 直线的斜率1. 2. 3. 4.3,3 5. 6.17.(1)m>1或m<-5; （2）m=-5; (3)-5<m<1. 8.a=1或a=29.（1）A，B，C的坐标只要满足即可；（2）根据第1问的答案，这里答案各不相同，但所求斜率k必须满足；（3）2.1.2 直线的方程——点斜式（略）2.1.2 直线的方程——两点式1.y=;2.;3.;4.;5.2或；6.；7.4x+3y=0或x+y+1=0；8.；9.；10.a=.2.1.3 两条直线的平行与垂直（1）1.（1）平行；（2）不平行；2.-8；3.m=2或m=-3；4.4x+3y-16=0；5.2x-3y-7=0,；6.m=-2,n=0或10 ，7.平行四边形；8.m=4 ,9.a=2,b=-2或a=2/3,b=2.2.1.3 两条直线的平行与垂直（2）1.3x-y+2=0,2.（1）垂直；（2）不垂直3.2a-b=0；4.3 ,5.（-1,0），6.2x+y-5=07.3x+4y+12=0或3x+4y-12=0 ,8.2x+y-7=0,x-y+1=0,x+2y-5=0；9. 4x-3y.2.1.4 两条直线的交点1.；2.6或-6；3.；4.；5.10，-12，-2；6；7.;8.m=4，或m=-1，或m=1；9.（1）表示经过和的交点（-3,-1）的直线（不包括直线）；（2）2.1.5 平面上两点间的距离1.；2.正方形；3.（6，5）；4.；2.1.6 点到直线的距离（1）3.4. 5.3 6.2.1.6 点到直线的距离（2）1. 2. 5．3x-4y-17=0和3x-4y-1=0 8. 5x-12y-5=0,5x-12y+60=0,,9.x+3y+7=0，3x-y-3=0和3x-y+9=0．2.2.1 圆的方程（1）1. 2.3. 4.2 5.6.7.可求已只知圆心（3，4）关于已知直线的对称点为（-3，-4），半径不变，所以要求的圆的方程为8．由题可设圆的方程为，将点A（1，2）带入上述方程得a=1或5，所以所求的圆的方程为.9.略2.2.1 圆的方程（2）1.（-1，2），3；2. 4，-6.-3；3. ；4.x2+y2-2x-4y=0；5. x2+y2-2x-2y=0；6.D0且E=F=0；7.（1）x2+y2+x-9y-12=0；（2）x2+y2-4x+3y=0；8.a=-10；9.以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立坐标系.则A（-3，0），B（3，0），C（2，3）.设圆的方程为，则，故所求圆的方程为2.2.2 直线与圆的位置关系2.2.3 圆与圆的位置关系（略）2.3.1 空间直角坐标系1～4.略；5.在空间直角坐标系中，yOz 坐标平面与x 轴垂直，xOz 坐标平面与y 轴垂直，xOy 坐标平面与z 轴垂直；6.在空间直角坐标系中，落在x 轴上的点的纵坐标和竖坐标都是0，如（2，0，0），（-3，0，0），（5，0，0）；xOy 坐标平面内的点的竖坐标为0，如（1，1，0），（-1，2，0），（1，2，0）；7.（2，3，0），（0，3，4），（2，0，4）；（2，0，0），（0，3，0），（0，0，4）；8.（-1，-3，5）；（1，-3，5）；9.若两点坐标分别为和，则过这两点的直线方程为2.3.2 空间两点间的距离1.(1); (2)2.M(0,0,-3).3.略.4.(1)x+3y-2z-6=0; (2)2x-y-2z+3=0.5.(x+1)2+y 2+(z-4)2=9.6.x=4,y=1,z=2.7.D(3,0,2).8.A(2,-4,-7),B(0,0,5),C(6,4,-1).9.(1)(1,2,1);(2)x=1,y=8,z=9.直线和圆单元测试1． 2． 3.[] 4．直角三角形 5．（，1）∪（1，） 6． 7．8． 9．（－∞，）∪（，+∞）10．{4，5，6，7} 11． 12．34513． 14． 15．解：设D 点的坐标为(x 0, y 0),∵直线AB: 即3x+y —6=0,∴. 解得x 0= y 0=.由|PD|=2|BD|, 得λ=. ∴由定比分点公式得x p =.将P()代入l 的方程, 得a=10. ∴k 1= -. 故得直线l 的倾斜角为120°16. 解:(1)由题意知此平面区域表示的是以构成的三角形及其内部,且△是直角三角形, 所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是,所以圆的方程是.(2)设直线的方程是:.因为,所以圆心到直线的距离是,即解得:.所以直线的方程是:.17．解： 依题意知四边形PAQB 为矩形。
苏教版高中数学必修2配套练习参考答案解析几何全部
解析几何部分（共：1—17课时及每章评价）参考答案：第1课时 直线的斜率（1）1．D 2．C 3．D 4．4- 5．1k ≤ 6．可以是(2,4)，不惟一． 7．由题意，()132212a -=++，∴2a =-．8．当1m =时，直线l 与x 轴垂直，此时直线斜率不存在； 当1m ≠时，直线斜率34111k m m-==--． 9．在直线斜率为0，OC 边所在直线斜率不存在，BC 边所在直线斜率为43-．10．由AB AC k k ≠，可得1112383k --≠---， ∴1k ≠．第2课时 直线的斜率（2）1．C 2．B 3．D 4．60o． 5．6 6． (0,2)7． 045α≤<o o 或135180α<<o o．8．倾斜角为45o时斜率为1，倾斜角为135o时斜率为1-．9．直线l 上任一点(,)M m n 经平移后得(3,1)N m n -+在l 上，由两点的斜率公式得(1)1(3)3l n n k m m +-==---．10．直线2l 的倾斜角为180(6015)135α=--=oooo， ∴2tan135tan 451k ==-=-oo．第3课时 直线的方程（1）1．C 2．D 3．A 4．D 5．（1）4y =-；（2）23y x =-- 6．1y +6y x =-+7．由直线1l 的方程2y =+可得1l 的倾斜角为60o ，∴直线l 的倾斜角为30o，斜率为tan 303=o，所以，直线l 的方程为12)y x -=-，即1y x =-+．8． 1:1:(2)-9．由直线1l的方程20x y -+=可求得1l 的斜率为1， ∴倾斜角为145α=o，由图可得2l 的倾斜角2115αα=+o∴直线2l 的斜率为tan 60=o， ∴直线2l 的方程为2)y x -=-0y -=．10．设直线方程为34y x b =+， 令0x =，得y b =；令0y =，得43x b =-， 由题意，14||||623b b ⨯-⨯=，29b =，∴3b =±， 所以，直线l 的方程为334y x =±．第4课时 直线的方程（2）1．D 2．D 3．B 4． 2y x =或1y x =+ 5．3 6． 10x y +-=或32120x y -+=7．设矩形的第四个顶点为C ，由图可得(8,5)C ， ∴对角线OC 所在直线方程为005080y x --=--，即580x y -=，AB 所在直线方程为185x y+=，即58400x y +-=． 8．当截距都为0时，直线经过原点，直线斜率为43-，方程为43y x =-；当截距都不为0时，设直线方程为1x ya a +=， 将点(3,4)-代入直线方程得341a a-+=，解得1a =-， 所以，直线方程为430x y +=或10x y ++=．9．当0t =时，20Q =；当50t =时，0Q =，故直线方程是15020t Q +=．图略． 10．直线AB 的方程为3x =，直线AC 的方程为123x y+=，直线x a =与,AB AC 的交点分别为(,3)a 、63(,)2a a -，又∵92ABC S ∆=，∴1639(3)224a a -⋅⋅-=，∴a =（舍负）．第5课时 直线的方程（3）1．B 2．D 3．B 4．D 5． 350x y -+= 6．24- 7．当2a =时，直线方程为2x =不过第二象限，满足题意；当20a -≠即2a ≠时，直线方程可化为1(4)2y x a a =+--， 由题意得2010240a a a -≠⎧⎪⎪>⎨-⎪-≤⎪⎩，解得24a <≤，综上可得，实数a 的取值范围是24a ≤≤． 8．（1）由题意得：22(23)(21)m m m m ---=+-， 即2340m m --=，解得43m =或1-（舍） （2）由题意得：22(23)(21)260m m m m m ----+--+=，即23100m m +-=，解得2m =-或53． 9．方法1：取1m =，得直线方程为4y =-， 取12m =，得直线方程为9x =， 显然，两直线交点坐标为(9,4)P -，将P 点坐标分别代入原方程得(1)9(21)(4)5m m m -⨯+-⨯-=-恒成立，所以，不论m 取什么实数，直线(1)m x -+(21)5m y m -=-总经过点(9,4)P -．方法2：原方程可整理得(21)(5)0x y m x y +--+-=，当21050x y x y +-=⎧⎨+-=⎩成立，即94x y =⎧⎨=-⎩时，原方程对任意实数m 都成立，∴不论m 取什么实数，直线过定点(9,4)-．10．方程0x y k +-=可变形为23)9k =-， 当90k -=即9k =时，方程表示一条直线90x y +-=； 当90k -<即9k >时，方程不能表示直线；当90k ->即9k <3= ∵方程仅表示一条直线，∴30+>且30-<，即0k <．综上可得，实数k 的取值范围为9k =或0k <．第6课 两直线的交点1．D 2．D 3．B 4．B 5．－3 6．6或-6 7．10，-12，-2 8．32190x y -+=9．4m =，或1m =-，或1m =．（提示：如果三条直线不能围成三角形，则有两种情形，一是其中有平行的直线，二是三条直线交于一点．） 10．(1)表示的图形是经过两直线210x y -+=和2390x y ++=的交点(3,1)--的直线（不包括直线2390x y ++=）．(2)30x y -=或40x y ++=．（提示：可设所求直线方程为21(239)0x y x y λ-++++=，即(21)(32)910x y λλλ++-++=．若截距为０，则910λ+=，即19λ=-，此时直线方程为30x y -=；若截距不为０，则21132λλ+-=--，即3λ=，此时直线方程为40x y ++=．） 11．直线l 的方程为60x y += 12．22b -≤≤（数形结合）第7课 两直线的平行与垂直（1） 1．D 2．B 3．C 4．平行, 不平行5．平行或重合 6．-2 ， 0或10 7．四边形ABCD 是平行四边形． 8．32A C =≠-且9．2,2m n == 10．20x y += 11. 3440x y +-=12.860860x y x y -+=--=或(提示：Q 所求直线与已知直线l ：8610x y -+=平行，∴设所求直线的方程为860x y λ-+=，与两坐标轴的交点为λ（-，0）8，λ（0，）6．又该直线与两坐标轴围成的三角形面积为８，∴1||||8286λλ⋅-⋅=，λ∴=±，故所求直线方程为860x y -+=或860x y --= 第8课 两直线的平行与垂直（2）1. B2. C3. C4. C5. B6. 垂直，不垂直7. 32y x =+8. 2，-2，09. 20x y -= 10. 310x y ++=和330x y -+= 11. 1a =-或92a =-12.270x y +-=,10x y -+=,250x y +-=(提示:由于点A 的坐标不满足所给的两条高所在的直线方程,所以所给的两条高线方程是过顶点B ,C 的,于是2AB k =-,1AC k =,即可求出边AB ,AC 所在的直线方程分别为270x y +-=,10x y -+=.再由直线AB 及过点B 的高,即可求出点B 的坐标(3,1),由直线AC 及过点C 的高,即可求出点C 的坐标(1,2).于是边BC 所在的直线方程为250x y +-=.)第9课 平面上两点间的距离１．C 2．C 3．C 4．A5．B 6．22y y =-=-或 7．47240x y +-= 8．23120x y +-=912|x x - 10．13410x x y =++=或 11．5150x y --=12．(1) (2,0)P -；(2) (13,0)P ，此时||PM PN -． 13．54x =（提示：y =数形结合，设(1,1),(2,3),(,0)A B P x ，则y PA PB =+）第10课时 点到直线的距离（1）１．()A ２．()C ３．()D ４．()A ５．()C ６．()A ７．5８．2a =或463９．设所求直线方程为340x y m -+=，=解得：14m =或12m =-（舍），所以，所求的直线方程为：34140x y -+=．１０．由题意第一、三象限角平分线的方程为y x =，设00(,)P x y ，则00x y =，即00(,)P x x ．= 解得：01x =或09x =-，所以点P 的坐标为：(1,1)或(9,9)--．11．由题意：当直线l 在两坐标轴上的截距为0时， 设l 的方程为y kx =（截距为0且斜率不存在时不符合题意）=k = 122-±，所以直线l 的方程为：122y x -±=． 当直线l 在两坐标轴上的截距不为0时，设l 的方程为1x ya a+=，即0x y a +-=，=a =13或1a =， 所以直线l 的方程为：130x y +-=或10x y +-=．综上所述：直线l 的方程为：122y x -±=或130x y +-=或10x y +-=． １２．设(,1)M t t -，则M 到两平行线段的距离相等，∴43t =，即41(,)33M ∵直线l 过(1,1)P -，41(,)33M 两点，所以，l 的方程为2750x y +-=．第11课时 点到直线的距离（2）１．()B ２．()C ３．()A ４．18 ５．(1,2)或(2,1)- ６．34210x y +-=７．320８．4310x y +-=９．设l ：320x y C -+=则1d =2d =1221d d =，所以|1|2|13|1C C +=+，解得：25C =-或9-， 所以l 的方程为：32250x y --=或3290x y --=．１０．证明：设(,)P a b ，则221a b -=P 到直线1l ，2l的距离分别为1d =，2d = ∴2212||122a b d d -==g． １１．设(,)M x y 为A ∠的平分线AD 上任意一点，由已知可求得,AC AB 边所在直线方程分别为5120x y -+=，5120x y --=，由角平分线的性质得：=∴512512x y x y -+=--或512(512)x y x y -+=---， 即6y x =-+或y x =，由图知：AC AD AB k k k <<，∴155AD k <<，∴6y x =-+不合题意，舍去，所以，A ∠的平分线AD 所在直线方程y x =． １２．设CD 所在直线方程为30x y m ++=，=，解得7m =或5m =-（舍）．所以CD 所在直线方程为370x y ++=．因为AB BC ⊥所以设BC 所在直线方程为30x y n -+=，=，解得9n =或3n =-．经检验BC 所在直线方程为390x y -+=，AD 所在直线方程为330x y --=．综上所述，其它三边所在直线方程为370x y ++=，390x y -+=，330x y --=．第12课时 圆的方程（1）１．()B ２．()C ３．()B ４．()C ５．()C ６．()B ７．（1）0a =；（2）||b r =；（3）310a b +-=． ８．22(6)36x y -+=９．C e 的圆心为(3,2)C -，C 'e 的圆心与(3,2)C -关于10x y -+=对称， ∴设C 'e 的圆心为(,)C a b '则3210222113a b b a +-⎧-+=⎪⎪⎨+⎪=-⎪-⎩g ，解得：34a b =-⎧⎨=⎩，C 'e 的标准方程为：22(3)(4)36x y ++-=．１０．由题意可设C e 的圆心为(,)C a b 半径为r ，则||2a =当2a =时，C e ：222(2)()x y b r -+-= 因为C e 与直线20x y +-=相切于点(1,1)P ， ∴222(12)(1)b r -+-= ①且1(1)112b--=--g ② 联立方程组，解得：2b =，r =所以C e 的方程为：22(2)(2)2x y -+-=同理，当2a =-时，C e 的方程为：22(2)(2)18x y +++=综上所述：C e 的方程为：22(2)(2)2x y -+-=或22(2)(2)18x y +++=１１．由题意设C e 的方程为222()()x a y b r -+-=，由C e 经过点(2,1)-，得：222(2)(1)a b r -+--=①由C e 与直线10x y --=r =② 由圆心在直线2y x =-上，得：2b a =-③联立方程组，解得：918a b r ⎧=⎪=-⎨⎪=⎩，或12a b r ⎧=⎪=-⎨⎪=⎩所以，C e 的方程为：22(9)(18)338x y -++=或22(1)(2)2x y -++=．１２．设⊙C 的方程为：222()()x a y b r -+-=，∵⊙C 与x 轴相切，所以22r b =①，又∵圆心(,)C a b 到直线0x y -=的距离为：d =∴222r +=，即 22()142a b r -+=②，又圆心在直线30x y -=上，所以30a b -=③联立方程组，解得133a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩或133a b r =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以C e 的方程为：22(1)(3)9x y -+-=或22(1)(3)9x y +++=．第13课时 圆的方程（2）１．()C ２．()D ３．()B ４．12k <-５．2 ６．2π７．5，5 ８．2或23-９．圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，将(0,0)，(1,1)两点坐标代入方程分别得0F = ①20D E F +++= ②又∵圆心(,)22D E--在直线30x y --=上，∴60E D --= ③解由①②③组成的方程组得4,2,0D E F =-==，∴所求圆方程为22420x y x y +-+=，圆心(2,1)-１０．证明：将034222=+--+y x y x 化为22(1)(2)2x y -+-= 则点与圆心之间的距离的平方为222(41)(2)17125m m m m -+-=-+ 又∵圆的半径的平方为2，∴2171252m m -+-217123m m =-+ 令2()17123f x m m =-+0∆<，即2()17123f x m m =-+恒大于0，即点与圆心之间的距离恒大于圆的半径，所以无论实数m 如何变化，点(4,)m m 都在圆034222=+--+y x y x 之外．11．设所求圆的方程为： 022=++++F Ey Dx y x令0y =，得20x Dx F ++=．由韦达定理，得12x x D +=-，12x x F =由12||x x -=6=，∴2436D F -=． 将(1,2)A ，(3,4)B 分别代入022=++++F Ey Dx y x ，得25D E F ++=-，3425D E F ++=-．联立方程组，解得12D =，22E =-，27F =或8D =-，2E =-，7F =所以所求的圆的方程为221222270x y x y ++-+=或228270x y x y +--+=12．证明：由题意22210250x y ax ay a ++---=，∴2225()()102524a a x a y a ++-=++ 令25()10254a f a a =++，则0∆<， ∴()0f a >即22(25)(210)0x y a x y +-+--=，表示圆心为(,)2a a -若22(25)(210)0x y a x y +-+--=对任意a 成立，则222502100x y x y ⎧+-=⎨--=⎩，解得34x y =⎧⎨=-⎩或5x y =⎧⎨=⎩，即圆恒过定点(3,4)-，(5,0)．第14课时 直线与圆的位置关系1．C 2．C 3．D 4．B 5．34250x y +-= 6．40x y +±=7 8． 247200x y --=和2x =；7 9．22(3)(1)9x y -+-=或22(3)(1)9x y +++=． 10．16m =-．11． 4330x y ++=或3430x y +-=．第15课时 圆与圆的位置关系 ⒈B ⒉B 3．D 4．A5．20x y -+= 6．260x y -+= ，6 7．(1,1) 8．22(3)(1)5x y -+-= 9．224(1)(2)5x y ++-=10．（1）240x y -+=； （2）22(2)(1)5x y ++-=； （3）22(3)(3)10x y ++-=． 11． 3r =±．第16课时 空间直角坐标系1．B ⒉C 3．C 4．D5．(2,0,0)、(0,3,0)- 6．(0,4,2)7．442110x y z ++-=8．略 9．略10．提示（1）只要写出的三点的纵坐标和竖坐标分别相等即可；（2）只要写出的三点的竖坐标相等即可．11．111212121x x y y z z x x y y z z ---==---21(x x ≠且21y y ≠且21)z z ≠．第17课时 空间两点间的距离1．D 2．D 3．A 4．A 5．(0,2,0) 6．222(1)(2)(4)9x y z -+++-=7．7 8．(1,0,0)P ± 9．[提示]建立空间直角坐标系，由中点坐标公式求出,P Q 两点坐标，用两点间距离公式即可求得线段PQ2．10．（1）(1,2,1)[提示]设重心G 的坐标为(,,)x y z ，则222GA GB GC ++2233x y =+22236126643(1)3(2)z x y z x y +---+=-+-23(1)46z +-+．当1,2,1x y z ===时，点G 到,,A B C 三点的距离的平方和最小，所以重心的坐标为(1,2,1)．（2）1,8,9x y z ===．第二章《解析几何初步》评价与检测参考答案：1．C 2．D 3．B 4．B 526．0d ≤≤ 7．4个 8．60 9．67250x y +-= 10．2750x y +-= 11．22(2)(2)25x y -++= 12．(1,0)A -，C (5,6)- 13．B14．C 15．A 16．D 17．11(,)102- 18．4a =±19．20,x y y x ++==，y x = 20．10 21．解：设与51270x y ++=平行的边所在直线方程为5120x y m ++=(7)m ≠，则=解得19m =-， ∴直线方程为512190x y +-=，又可设与51270x y ++=垂直的边所在直线方程为1250x y n -+=()n R ∈，则=解得100n=或74，∴另两边所在直线方程为1251000x y-+=，125740x y-+=22．解：设()2,1B-，()4,2C，()2,3D第四个顶点的坐标为(),A m n.则有BC所在直线的斜率为32BCk=；CD所在直线的斜率为12CDk=-；BD所在直线的斜率不存在.①若BD∥AC，BC∥AD，则AC所在直线的斜率不存在.4m∴=.又BC ADk k=，即33242n-=-，6n∴=.∴平行四边形第四个顶点的坐标为()4,6.②若BD∥AC，CD∥BA，则AC所在直线的斜率不存在.4m∴=.又CD BAk k=，即()11242n---=-，2n∴=-.∴平行四边形第四个顶点的坐标为()4,2-.③若CD∥BA，BC∥AD，则,CD BABC ADk kk k=⎧⎨=⎩()11223322nmmnnm--⎧-=⎪=⎧⎪-⇒⇒⎨⎨=-⎩⎪=⎪-⎩∴平行四边形第四个顶点的坐标为()0,0.综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标可为()4,6或()4,2-或()0,0.23．解：设1122(,),(,)P x y Q x y，由2223060x yx y x y c+-=⎧⎨++-+=⎩消去x得2520120y y c-++=，∴由韦达定理知：12124125y y c y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩Q OP OQ ⊥，12121y y x x ∴⋅=-， 即12120x x y y +=，又12121212(32)(32)96()4x x y y y y y y =--=-++∴121296()50y y y y -++=， 也就是12964505c +-⨯+⨯=解之，得3c =． 从而所求圆的方程为22630x y x y ++-+=24．解：设1122(,),(,)P x y Q x y ，则1|OP x ==，2|OQ x ==．,P Q Q 为直线与圆的交点，∴ 12,x x 是方程22(1)(86)210x m m x ++-+=的两根， ∴12221,1x x m=+ ∴ 2221(1)211OP OQ m m ⋅=+=+。
高中数学必修2全册导学案及答案
高中数学必修2全册导学案及答案2020-12-07高中数学必修2全册导学案及答案1.1.1棱柱、棱锥、棱台的结构特征一、学习目标：1、知识与技能：（1）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
（2）会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征。
（3）会表示有关几何体以及柱、锥、台的分类。
2、过程与方法：（1）通过直观感受空间物体，概括出柱、锥、台的几何结构特征。
（2）观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3、情感态度与价值观：（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。
（2）培养学生的空间想象能力和抽象概括能力。
二、学习重点、难点：学习重点：感受大量空间实物及模型,概括出柱、锥、台的结构特征。
学习难点：柱、锥、台的结构特征的概括。
三、使用说明及学法指导:1、先浏览教材，再逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。
2、要求小班、重点班学生全部完成，平行班学生完成A、B类问题。
3、A类是自主探究，B类是合作交流。
四、知识链接:平行四边形：矩形：正方体：五、学习过程：A问题1：什么是多面体、多面体的面、棱、顶点？A问题2：什么是旋转体、旋转体的轴？B问题3：什么是棱柱、锥、台？有何特征？如何表示？如何分类？C问题4；探究一下各种四棱柱之间有何关系？C问题5：质疑答辩，排难解惑1．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是不是棱柱？（举反例说明）2．棱柱的任何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？A例1：如图，截面BCEF把长方体分割成两部分，这两部分是否是棱柱？A1 DABB例2：一个三棱柱可以分成几个三棱锥？六、达标测试A1、下面没有对角线的一种几何体是（）A．三棱柱 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱A2、若一个平行六面体的四个侧面都是正方形,则这个平行六面体是（）A．正方体 B．正四棱锥 C．长方体 D．直平行六面体B3、棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A． B．23 C．3 D．4B4、正六棱台的两底边长分别为1cm,2cm,高是1cm,它的侧面积为（）A．972cm 2B．9cm 2C．23cm2 D．32cm 2B5、若长方体的三个不同的`面的面积分别为2,4,8，则它的体积为（）A．2 B．4 C．8 D．12C6、一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面（）A．必须都是直角三角形 B．至多只能有一个直角三角形C．至多只能有两个直角三角形 D．可能都是直角三角形A7、长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的体积为_______________.七、小结与反思：【励志良言】不为失败找理由，只为成功找方法。
高中数学新学案同步 必修2苏教版 第2章 平面解析几何初步 2.2.3
需要).
(2)分别求出两圆的圆心坐标和半径长r1，r2.
(3)求两圆的圆心距d.
(4)比较d与|r1－r2|，r1＋r2的大小关系.
(5)根据大小关系确定位置关系.
跟踪训练1
已知圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和圆C2：4x2＋4y2－16x＋8y
2 条. ＋19＝0，则这两个圆的公切线有_____
解析 答案
命题角度2 已知两圆的位置关系求参数
例2 当a为何值时，两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋
2x－2ay＋a2－3＝0：
(1)外切； 解 将两圆方程写成标准方程，
则C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.
∴两圆的圆心和半径分别为C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2.
解析 由圆C1：(x－1)2＋(y＋2)2＝1， 1 2 2 圆 C2：(x－2) ＋(y＋1) ＝4， 得C1(1，－2)，C2(2，－1)，
∴C1C2＝ 2－12＋－1＋22＝ 2.
1 又 r1＝1，r2＝2， 则r1－r2＜C1C2＜r1＋r2，
∴圆C1与圆C2相交.
故这两个圆的公切线共2条.
题型探究
类型一 两圆的位置关系
命题角度1 两圆位置关系的判断 例1 已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是
相交 2 2 ，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是_______.
解析
答案
反思与感悟 判断圆与圆的位置关系的一般步骤
(1) 将两圆的方程化为标准方程 ( 若圆的方程已是标准形式，此步骤不
(4)当d＝|r1－r2|时，圆C1与圆C2内切；
苏教版高中数学必修2《直线的方程(第1课时)》导学案
直线的方程（1） 导学案学习目标1. 理解直线方程的含义；2. 掌握直线的点斜式方程和斜截式方程，会求直线的点斜式方程和斜截式方 程；3. 了解直线的点斜式方程和斜截式方程适用的条件；4. 体会特殊与一般的关系。
课前准备若三点()4,3A ,()6,5B ,(),4C a 在同一直线上，则a 的值为 。
课堂学习一、重点难点重点：直线的点斜式方程、斜截式方程的形式，根据条件熟练的写出直线的方程。
难点：直线的方程的含义，直线的点斜式方程与斜截式方程适用的条件。
二、知识建构问题1：直线l 经过点(1,3)A -，(0,1)B ，则（1）直线l 的斜率是 ；（2）当(,)P x y 在直线l 上运动，那么点P 的坐标(,)x y 应满足什么条件？ 问题2：直线l 上所有点的坐标都满足这个条件吗？以满足这个条件的所有实数对(,)x y 为坐标的点都在直线l 上吗？问题3：直线l 经过点111(,)P x y ，且斜率为k ，直线l 上所有的点的坐标满足 。
直线方程概念：直线l 上的每个点（包括点()111,P x y 的坐标都是这个方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点都在直线l 上。
直线l 经过点111(,)P x y ，且斜率为k ，则直线l 的点斜式方程是 。
思考：（1）直线l 经过点111(,)P x y 的倾斜角为0，直线l 的方程是 ； （2）直线l 经过点111(,)P x y 的倾斜角为90，直线l 的方程是 。
直线l 与y 轴交点()0,b 的纵坐标称为直线l 在y 轴上的 。
直线的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则直线l 的截距式方程为 。
三、典型例题例1．一条直线经过点1(2,3)P -，斜率为2，求这条直线方程。
例2．直线l 斜率为k ，与y 轴的交点是(0,)P b ，求直线l 的方程。
例3．（1）求直线2)y x =-的倾斜角；（2）求直线2)y x =-绕点(2,0)按顺时针方向旋转30所得的直线方程。
《新学案》2015年春高中数学苏教版必修二名师导学：第二章 平面解析几何初步(含解析)全面版
*问题3对于不垂直于x轴的直线的斜率与直线上所选两点的位置是否有关?为什么?
设直线l不与x轴垂直.在直线l上有P(x1,y1),Q(x2,y2),其斜率为k= ,在直线l上再取两点M(x3,y3),N(x4,y4),根据定义,直线l斜率应为k'= , ≠0,因为 与 共线,所以 =λ ,即(x4-x3,y4-y3)=λ(x2-x1,y2-y1),x4-x3=λ(x2-x1),y4-y3=λ(y2-y1),k'= = =k.
这表明,对于一条与x轴不垂直的定直线而言,它的斜率是一个定值.[4]
(三)巩固概念
问题4一次函数y=-2x+1的图象是一条直线,它的斜率是多少?
解答在直线上取两点(0,1)与 ,根据斜率公式知,其斜率为-2.
三、数学运用
【例1】(教材P78例1)如图1,直线l1,l2,l3都经过点P(3,2),又l1,l2,l3分别经过点Q1(-2,-1),Q2(4,-2),Q3(-3,2),试计算直线l1,l2,l3的斜率.[5]
(4)P(-2,0),k=0.
3.分别判断下列三点是否在同一条直线上.
(1)(1,0),(3,3),(4,5).
(2)(0,2),(3,-1),(-1,3).
解答1.(1)1;(2)- ;(3)0;(4)- .
由学生讨论引出课题:直线的斜率.
2.数学概念
直线斜率的定义:已知两点P(x1,y1),Q(x2,y2),如果x1≠x2,那么直线PQ的斜率为:
k= (x1≠x2).
(二)理解概念
1.因为k= = (x1≠x2),所以斜率公式与P,Q两点的顺序无关.
2.如果x1=x2,直线PQ与x轴垂直,公式中分母为0,那么直线PQ的斜率不存在.所以,在坐标系中,不是所有的直线都有斜率.
高中数学(必修二)导学案
高中数学(必修二)导学案第一章：平面直角坐标系1.1 坐标系的引入- 了解平面直角坐标系的基本概念- 掌握点在平面直角坐标系中的坐标表示方法1.2 平面直角坐标系上的距离公式- 了解平面直角坐标系上两点之间距离的公式- 掌握如何使用距离公式计算两个点之间的距离1.3 直线的斜率- 了解直线斜率的概念及其计算方法- 掌握如何根据两点坐标计算直线的斜率第二章：二次函数2.1 二次函数的图像和性质- 了解二次函数的基本概念和特点- 掌握根据二次函数的参数确定二次函数图像的方法2.2 二次函数的最值和零点- 了解二次函数最值和零点的基本概念及其计算方法- 掌握如何根据二次函数求解实际问题2.3 二次函数与一次函数的比较- 了解二次函数和一次函数的基本概念及其图像特点- 掌握如何比较二次函数和一次函数的大小关系第三章：三角函数3.1 任意角及其测量- 了解任意角的基本概念及其测量方法- 掌握如何将任意角的三角函数转化为其它角度的三角函数3.2 常用角的三角函数值- 掌握常用角的三角函数值及其推导方法- 掌握如何根据三角函数值求解实际问题3.3 三角函数的图像和性质- 了解三角函数的图像及其性质- 掌握如何根据三角函数图像解决实际问题第四章：概率统计4.1 随机事件与概率- 掌握随机事件和概率的基本概念和运算法则- 掌握如何计算简单事件的概率4.2 条件概率和独立性- 了解条件概率和独立性的基本概念及其计算方法- 掌握如何根据条件概率和独立性计算事件的概率4.3 离散型随机变量及其分布律- 了解离散型随机变量及其分布律的概念- 掌握如何根据分布律计算离散型随机变量的期望值和方差以上是本章节的导学内容，希望同学们认真学习，做好课后习题。
祝学习愉快！。
高二第一学期数学选择性必修二导学案(求数列的通项-培优课)教师版
数列专题 求数列的通项公式一、考情分析二、考点梳理与题型分析 考点一、公式法例1、（2022·江苏省天一中学高二期末）（多选题）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，16a =，12n n a a ++=，则（ ）A ．{}n a 是等比数列B ．{}n a 是单调递增数列C ．82n a nD ．n S 的最大值为12【答案】CD 【解析】 【分析】由题设12n n a a +-=-，结合等差、等比数列的定义和性质判断A 、B ；进而求出{}n a 的通项公式，根据n S 的二次函数性质求最值判断C 、D. 【详解】由题设知：12n n a a +-=-，故{}n a 是等差数列且递减，又16a =， 所以62(1)82n a n n =--=-，且21()749(7)()224n n n a a S n n n +==-=--+， 当3n =或4n =，n S 的最大值为12. 综上，A 、B 错误，C 、D 正确. 故选：CD【变式训练1-1】、（2022·安徽·六安一中高二期末）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若157,15a S =-=-，且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列．则12310a a a a +++⋅⋅⋅+的值为__________．【答案】52 【解析】 【分析】根据给定条件求出n S ，再求出数列{}n a 的通项即可计算作答. 【详解】依题意，因n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，则其公差513(7)511514S S d ----===-， 于是得1(1)7(1)81n S S n d n n n =+-=-+-=-，28n S n n =-， 当2n ≥时，2218[(1)8(1)]29n n n a S S n n n n n -=-=-----=-，而17a =-满足上式，因此，29n a n =-，所以12310(7531)(1357911)52a a a a +++⋅⋅⋅+=-----++++++=. 故答案为：52例2、（福建省漳州市2021-2022学年高二上学期期末质量检测数学试题）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，且410S =. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)证明：数列22n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和32n T <.【答案】(1)n a n = (2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意可得出关于1a 、d 的方程组，解出这两个量的值，可得出数列{}n a 的通项公式； （2）求得22112n n a a n n +=-+，利用裂项法可求得n T ，即可证得原不等式成立.(1)解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则3141234610a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得11a d ==，因此，()11n a a n d n =+-=. (2)证明：()2221122n n a a n n n n +==-++， 因此，111111111111324352212n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()32332122n n n +=-<++. 故原不等式得证.【变式训练1-2】、（福建省三明市普通高中2021-2022学年高二上学期期末质量检测数学试题）已知等差数列{n a }的公差为整数，n S 为其前n 项和，37a =，123105a a a =． (1)求{n a }的通项公式： (2)设1n nb S =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求8T ． 【答案】(1)21n a n =+ (2)2945【解析】 【分析】（1）根据题意利用等差数列的性质列出方程，即可解得答案； （2）根据（1）的结果，求出1n nb S =的表达式，利用裂项求和的方法求得答案. (1)设等差数列{n a }的公差为d ， 则()()7277105d d --⨯=,整理可得：2221340d d -+=，∵d 是整数，解得2d =， 从而1323a a d =-=，所以数列{n a }的通项公式为：()31221n a n n =+-⨯=+; (2)由（1）知，()213222n n n S n n n -=⨯+⨯=+，21111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭所以81111111111111129213243581021291045T ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 考点二、累加法与累乘法例3、（2022·安徽黄山·一模（理））已知数列{}n a 满足12a =，()1221n n n a a n ++=+，则20211232020a a a a a =+++⋅⋅⋅+___________.【答案】10111010【解析】 【分析】利用累乘法可求得数列{}n a 的通项公式，利用错位相减法可求得122020+++a a a ，即可求得所求代数式的值. 【详解】因为数列{}n a 满足12a =，()1221n n n a a n ++=+，则()1221n nn a a n ++=+， 所以，当2n ≥时，()()132112121232421223n n n n n a a a a a n a a a n--+⨯⨯=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=+⋅， 12a =也满足()112n n a n -=+⋅，所以，对任意的N n *∈，()112n n a n -=+⋅.令122020S a a a =+++，则012201922324220212S =⨯+⨯+⨯++⨯，可得1220192020222322020220212S =⨯+⨯++⨯+⨯，上述两个等式作差得()20191220192020202020202122222202122202122020212S --=++++-⨯=+-⨯=-⨯-，所以，202012202020202a a a S +++==⨯，因此，2020202120201232020202221011=202021010a a a a a ⨯=+++⋅⋅⋅+⨯. 故答案为：10111010.【变式训练3-1】、（2022·上海市控江中学高二期末）己知数列{}n a 满足111,2(,1)n n a a a n n n +==+∈≥N ，则其通项公式n a =________．【答案】2n n 1-+ 【解析】 【分析】利用累加法即可求出数列{}n a 的通项公式. 【详解】因为12n n a a n +=+，所以12n n a a n +-=，所以212a a -=，324a a -=，436a a -=，…，()121n n a a n --=-， 把以上1n -个式子相加，得()()()()()213243124621n n a a a a a a a a n -++++++++---=--……，即()()122212n n a n a +---=，所以2211nn n a an n =-+=-+.故答案为：2n n 1-+.例4、（2021·河北·沧州市一中高三阶段练习）已知数列{}n a 中，112a =，且满足1(1)n n na n a +=+. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设112n n n b a λ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若对任意的*N n ∈，数列{}n b 是单调递减数列，求实数λ的取值范围.【答案】(1)2n na = (2)1,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）利用累乘法求得n a . （2）由10n nb b 分离常数λ，结合函数的性质求得λ的取值范围.(1)依题意0n a ≠，故11n n a n a n ++=，从而11n n a n a n -=-，2n ≥， 故3212112n n n a a a a na a a a -⋅==，2n n a =， 当1n =时，上式也符合， 所以2n n a =. (2)由（1）知，112221n n n n b a n λλ+⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 若对任意的*N n ∈，数列{}n b 是单调递减数列，则1422021n n n b b n n λ+⎛⎫-=--<⎪++⎝⎭对任意的*N n ∈恒成立， 即4221maxn n λ⎛⎫>- ⎪++⎝⎭， 又()()4222221123n n n n n n n-==++++++，因为函数()20y x x x=+>在区间(上单调递减， 在)+∞上单调递增，所以由对勾函数的性质可知，当1n =或2n =时，23n n++取得最小值6， 即4221n n -++取得最大值13，故实数λ的取值范围为1,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【变式训练4-1】、（2022·浙江柯桥·高二期末）已知等差数列{}n a 中，16a =，前5项的和为590S =，数列{}n b 满足11b =，()*12N n n n b b n +-=∈．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)记n n n c a b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】(1)()6N*n a n n =∈，()*21N n n b n =-∈；(2)()()211234224234665n n n n n n T n n n ++⎧+-+≤⎪=⎨--+≥⎪⎩. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列求和公式可得6d =，进而可得()6N*n a n n =∈，再利用累加法可求n b ，即得；（2）由题可得()()62142615n n n n n n n c a b n n ⎧-+≤⎪=-=⎨--≥⎪⎩，然后利用分组求和法即得.(1)设公差为d ，由题设可得5456902d ⨯⨯+=， 解得6d =，所以()6N*n a n n =∈； 当2n ≥时，2123221111222222n n n n n b b b b b b b b ----=⎫⎪-=⎪⇒-=++⋅⋅⋅+⎬⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪-=⎭，∵122112nn n b -==--，当1n =时，11b =（满足上述的n b ），所以()*21N n n b n =-∈．(2)∵()()62142615nn n n n n n c a b n n ⎧-+≤⎪=-=⎨--≥⎪⎩．当4n ≤时，()()21271361222nn n T c c c n =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++-++⋅⋅⋅+⎡⎤⎣⎦()()212761212nn n -++=--213422n n n +=+-+．当5n ≥时，()()561234222313761nn n T c c c n ⎡⎤=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+⎣⎦()()()54212463234122n n n ---+=+--1223466n n n +=--+．综上所述：()()211234224234665n n n n n n T n n n ++⎧+-+≤⎪=⎨--+≥⎪⎩． 考点三、已知前n 项和，求通项公式例5、（2021·四川省通江中学高二阶段练习（理））已知数列{an }的前n 项和为Sn ，且2Sn ＝3an ﹣3．(1)求数列{an }的通项公式；(2)设3log n n b a =，11n n n c b b +=，求数列{cn }的前n 项和Tn ．【答案】(1)3nn a =(2)1n n T n =+ 【解析】 【分析】（1）利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来求得n a .（2）利用裂项求和法求得n T . (1)依题意233n n S a =-①， 当1n =时，111233,3a a a =-=. 当2n ≥时，11233n n S a --=-②， ①-②得11233,3n n n n n a a a a a --=-=，所以{}n a 是首项为13a =，公比为3的等比数列，所以3nn a =，当1n =时，上式也符合，所以3nn a =.(2)3log 3n n b n ==，()11111n c n n n n ==-++.所以11111111223111n n T n n n n =-+-++-=-=+++. 【变式训练5-1】、（2022·山西运城·高三期末（理））已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足3322n n S a =-.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若143cos nn n n b n a a π+⋅=⋅⋅，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【答案】(1)3nn a =(2)2221133nn n T +-=【解析】 【分析】由11a s =，代入1n =计算可得1a ，由1n n n a S S -=-代入得到13n n a a -=，从而证明数列{}n a 是等比数列，求出通项公式；（2）由余弦的周期性可知()cos 1nn π=-，代入n a 通项公式可得()111133n n n n b +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，计算可求出前2n 项和.(1)1113322a S a ==-，算得13a = 当2n ≥时，1133332222n n n n n a S S a a --⎛⎫⎛⎫=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；得到13n n a a -=13(2)nn a n a -=≥ 所以数列{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，由11n n a a q -=⋅，得到3nn a =(2)由143cos n n n n b n a a π⋅+⋅=⋅，得到()()114311113333n n n n n n n n b ++⋅⎛⎫=-⋅=-+ ⎪⋅⎝⎭.2223342122211111111111()3333333333n n n n n T -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++--+⋅⋅⋅+--++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2221211113333nn n n T ++-=-+=.【变式训练5-2】、（2022·全国·高三专题练习）数列{}n a 满足()*121224N 2n n n a a na n -+++=-∈， (1)求3a 的值；(2)求数列{}n a 前n 项和n T ； (3)令11b a =，()11111223n n n T b a n n n -⎛⎫=++++⋅⋅⋅+≥ ⎪⎝⎭，证明：数列{}n b 的前n 项和n S 满足22ln n S n <+．【答案】(1)14；(2)1122n -⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)证明见解析. 【解析】 【分析】(1)根据已知条件，分别取n ＝1，2，3即可依次算出123,,a a a ； (2)用作差法求出{}n a 的通项公式，再求其前n 项和； (3)求123,,S S S ，猜想n S ，用数学归纳法证明n S ；用导数证明()ln 1(0)1x x x x<+>+，令1x n =，得11ln 11n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭，用这个不等式对n S 放缩即可得证.(1)依题()()312312312132223323244224a a a a a a --++⎛⎫=++-+=---= ⎪⎝⎭， 314a ∴=； (2)依题当2n ≥时，()()121211212122144222n n n n n n n n nna a a na a a n a ----++⎛⎫⎡⎤=++-++-=---= ⎪⎣⎦⎝⎭， 112n n a -⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，又1012412a +=-=也适合此式， 112n n a -⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，∴数列{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，故1111221212nn n T -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭-；(3)111b a ==，1111S b T ∴==⨯，1221122T b a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ()1212121221111112222T S S b T a T a T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=+++=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2323232331111111111123232323T S S b T a T a T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++++=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，猜想：1112n n S T n ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭① 下面用数学归纳法证明：(i)当n ＝1，2时，已证明①成立；(ii)假设当n k =时，①成立，即1112k k S T k ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭.从而1111111112121k k k k k k T S S b T a k k k +++⎛⎫⎛⎫=+=++++++++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ()111121k k T a k +⎛⎫=++++ ⎪+⎝⎭111121k T k +⎛⎫=+++⎪+⎝⎭. 故①成立. 先证不等式()ln 1(0)1xx x x<+>+ ② 令()()ln 11xg x x x=+-+， 则()22110(0)1(1)(1)x g x x x x x '=-=>>+++. ()()00(0)g x g x ∴>=>，即②成立.在②中令1x n =，得到111ln 1111n n n n ⎛⎫+>= ⎪+⎝⎭+ ③ 当1n =时，12S <； 当2n 时，由①及③得： 1112n n S T n ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭111ln2ln 1ln 121n T n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫<++++++ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()111ln2ln3ln2(ln ln 122n n n -⎛⎫⎡⎤=++-++--- ⎪⎣⎦⎝⎭()21ln n <+.证明完毕. 【点睛】本题是数列的综合性大题，关键是猜想n S ，并用数学归纳法证明n S ；根据结论构造不等式()ln 1(0)1x x x x <+>+，令1x n =，得11ln 11n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭，然后用这个不等式对n S 放缩.考点四、构造新数列例6、（2022·安徽·合肥市第十一中学高二期末）已知数列{}n a 满足13a =，()*121N n n a a n +=+∈.(1)求证：数列{}1n a +是等比数列； (2)求数列{}n a 的通项公式及前n 项的和n S . 【答案】(1)证明见解析；(2)121n n a +=-，224n n S n +=--.【解析】 【分析】 （1）证明出1121n n a a ++=+，即可证得结论成立； （2）由（1）的结论并确定数列{}1n a +的首项和公比，可求得数列{}n a 的通项公式，再利用分组求和法可求得n S . (1)证明：因为数列{}n a 满足13a =，()*121N n n a a n +=+∈，则()1121n n a a ++=+，且114a +=，则218a +=，3116a +=，，以此类推可知，对任意的N n *∈，10n a +>，所以，1121n n a a ++=+，故数列{}1n a +为等比数列. (2)解：由（1）可知，数列{}1n a +是首项为4，公比为2的等比数列，则111422n n n a -++=⨯=，所以，121n n a +=-，因此，()()()()()23412341212121212222n n n S n ++=-+-+-++-=++++-()222122412n n n n +-=-=---.例7、（2022·山西太原·高三期末（文））已知数列{}n a 中，12a =，()*121N n n a a n n +=-+∈.(1)求2a 、3a 、4a ，并证明{}n a n -为等比数列； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S .【答案】(1)24a =，37a =，412a =，证明见解析； (2)n S 2222n n n +-=+. 【解析】 【分析】（1）利用递推公式可求得2a 、3a 、4a 的值，计算得出()()112+-+=-n n a n a n ，可证得结论成立；（2）求出数列{}n a 的通项公式，利用分组求和法可求得n S . (1)证明：由已知可得2124a a ==，32217a a =-=，432212a a =-=， 由条件可得()()112+-+=-n n a n a n ，又111a -=，所以{}n a n -是首项为1，公比为2的等比数列. (2)解：由（1）得12n n a n --=，则12n n a n -=+，所以， ()()()()01212122232n n S n -=++++++++()()()201211122222212321222n n nn n n n n -+-+-=+++++++++=+=+-. 【变式训练6-1】、（2022·江苏镇江·高二期末）已知数列{}n a 满足111,21,.n n a a a n N *+==+∈(1)证明数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； (2)令(1)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和.n T【答案】(1)证明见解析，21nn a =-(2)1(1)2 2.n n T n +=-⋅+【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义证明数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，进而求解得答案；（2）根据错位相减法求和即可. (1)解：数列{}n a 满足111,21,.n n a a a n N *+==+∈112(1)n n a a ++=+，∵数列{}1n a +是以112a +=为首项，2为公比的等比数列， 11222n n n a -∴+=⋅=，即21n n a =-；∵21nn a =-(2)解：(1)2nn n b n a n =+=⋅，231222322n n T n ∴=⋅+⋅+⋅++⋅，23412122232(1)22n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅，2311112(21)22222222221n nn n n n n T n n n ++++-∴-=++++-⋅=-⋅=--⋅-，1(1)2 2.n n T n +∴=-⋅+【变式训练7-1】、（2022·安徽六安·一模（理））设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知122n n n S a +=-，N n *∈.(1)设2nn n a b =，N n *∈，证明：数列{}n b 为等差数列； (2)求数列{}n S 的前n 项和n T . 【答案】(1)证明见解析(2)2(1)24n n T n +=-⋅+【解析】 【分析】（1）把条件122n n n S a +=-转化为数列{}n b 的递推关系，由等差数列定义去证明即可；（2）以错位相减法去求数列{}n S 的前n 项和n T . (1)由122n n n S a +=-，得21122n n n S a +++=-，两式相减得：1122n n n a a ++=+两边同除以12n +，得11122n nn n a a ++=+，即11n n b b +=+， 当1n =时，由1111122a S a +==-，可得14a =，则1122a b == 所以数列{}n b 是以2为首项、1为公差的等差数列. (2)由数列{}n b 是以2为首项、1为公差的等差数列可得，2(1)11n b n n =+-⨯=+所以 ()21n n a n =+，()1111222122n n n n n n S a n n ++++=-=+-=⋅则2341122232(1)22n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ 345122122232(1)22n n n T n n ++=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅则()23412222222124n n n n T n n +++-=++++-⋅=-⋅-()2124n n T n +∴=-⋅+.。
高中数学必修二导学案-圆的一般方程
4. 1.2 圆的一般方程【教学目标】１．使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．２．使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．３．通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．【教学重难点】教学重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．教学难点：圆的一般方程的特点．【教学过程】（一）情景导入、展示目标前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．（二）检查预习、交流展示1.写出圆的标准方程.2.写出圆的标准方程中的圆心与半径.（三）合作探究、精讲精练探究一：圆的一般方程的定义1．分析方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得：(1)(1)当D2+E2-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程半径的圆；(3)当D2+E2-4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形．这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、法．2．引出圆的一般方程的定义当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程．探究二：圆的一般方程的特点请同学们分析下列问题：问题：比较二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0．(2)与圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)．(3)的系数可得出什么结论？启发学生归纳结论．当二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具有条件：(1)x2和y2的系数相同，不等于零，即A=C≠0；(2)没有xy项，即B=0；(3)D2+E2-4AF＞0．它才表示圆．条件(3)通过将方程同除以A或C配方不难得出．强调指出：(1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件；(2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件．例1 求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x 2+y 2-8x+6y=0， (2)x 2+y 2+2by=0．解析：先配方，将方程化为标准形式，再求圆心和半径．解：(1)圆心为(4，-3)，半径为5；(2)圆心为(0，-b)，半径为|b|，注意半径不为b ． 点拨：由圆的一般方程求圆心坐标和半径，一般用配方法，这要熟练掌握． 变式训练１：１．方程x 2＋y 2＋2kx ＋4y ＋3k ＋8=0表示圆的充要条件是（ ） Ａ．k ＞4或者k ＜－1 Ｂ．－1＜k ＜4 Ｃ．k =4或者k =－1 Ｄ．以上答案都不对２．圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F =0与x 轴切于原点，则有（ ） Ａ．F =0，DE ≠0 Ｂ．E 2＋F 2=0，D ≠0 Ｃ．D 2＋F 2=0，E ≠0 Ｄ．D 2＋E 2=0，F ≠0 答案：１．Ａ ２．Ｃ例2 求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．解析：已知圆上的三点坐标，可设圆的一般方程，用待定系数法求圆的方程． 解：设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，由O 、A 、B 在圆上，则有解得：D=-8，E=6，F=0， 故所求圆的方程为x 2+y 2-8x+6=0． 点拨：1．用待定系数法求圆的方程的步骤： (1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式； (2)根据条件列出关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的方程；(3)解方程组，求出a 、b 、r 或D 、E 、F 的值，代入所设方程，就得要求的方程． 2．关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程：一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程．变式训练２： 求圆心在直线 l ：x+y=0上，且过两圆C 1∶x 2+y 2-2x+10y-24=0和C 2∶x 2+y 2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．解：解方程组⎩⎨⎧=+++=++08-2y 2x y x 024-10y 2x -y x 2222，得两圆交点为（－４，０），（０，２）．设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2，因为两点在所求圆上，且圆心在直线l 上所以得方程组为⎪⎩⎪⎨⎧--ａ＋ｂ＝０＝ｒ＋（２－ｂ）ａ＝ｒ＋ｂａ２２２２２2)4( 解得ａ＝－３，ｂ＝３，ｒ＝10． 故所求圆的方程为：(x+3)2+(y-3)2=10． （四）反馈测试 导学案当堂检测（五）总结反思、共同提高1．圆的一般方程的定义及特点； 2．用配方法求出圆的圆心坐标和半径； 3．用待定系数法，导出圆的方程． 【板书设计】一：圆的一般方程的定义1．分析方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹 2．圆的一般方程的定义 二：圆的一般方程的特点 (1) (2) (3) 例1 变式训练１： 例2 变式训练２： 【作业布置】 导学案课后练习与提高4. 1. 2 圆的一般方程课前预习学案一．预习目标回顾圆的标准方程，了解用圆的一般方程及其特点．二．预习内容１．圆的标准方程形式是什么？圆心和半径呢？２．圆的一般方程形式是什么？圆心和半径呢？３．圆的方程的求法有哪些？三．提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中课内探究学案一．学习目标１．掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．２．掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．３．通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．学习重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．学习难点：圆的一般方程的特点．二．学习过程前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+E y+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．探究一：圆的一般方程的定义1．分析方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹2．引出圆的一般方程的定义探究二：圆的一般方程的特点请同学们分析下列问题：问题：比较二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0．（２）与圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)．（３）的系数可得出什么结论？例1 求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x2+y2-8x+6y=0，(2)x2+y2+2by=0．变式训练１：１．方程x2＋y2＋2kx＋4y＋3k＋8=0表示圆的充要条件是（）Ａ．k＞4或者k＜－1 Ｂ．－1＜k＜4Ｃ．k=4或者k=－1 Ｄ．以上答案都不对２．圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0与x轴切于原点，则有（）Ａ．F=0，DE≠0 Ｂ．E2＋F2=0，D≠0Ｃ．D2＋F2=0，E≠0 Ｄ．D2＋E2=0，F≠0例2 求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．变式训练２：求圆心在直线l：x+y=0上，且过两圆C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和C2∶x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．三．反思总结四．当堂检测 １．方程342-+-=x x y 表示的曲线是（ ）Ａ．在x 轴上方的圆 Ｂ．在y 轴右方的圆 Ｃ．x 轴下方的半圆 Ｄ．x 轴上方的半圆２．以（0，0）、（6，－8）为直径端点的圆的方程是 . ３．求经过两圆x 2+y 2+6x-4=0和x 2+y 2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程．参考答案：１．Ｄ ２．x 2+y 2-６x+８y=0 ３．x 2+y 2-x+7y-32=0 课后练习与提高１．方程x 2＋y 2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4+9=0表示圆，则实数m 的取值范围是（ ）Ａ．－71＜m ＜1 Ｂ．－1＜m ＜71Ｃ．m ＜－71或m ＞1 Ｄ．m ＜－1或m ＞71２．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F =0（D 2＋E 2－4F ＞0）表示的曲线关于直线x ＋y =0对称，则有（ ）Ａ．D ＋E =0 Ｂ．D ＋F =0 Ｃ．E ＋F =0 Ｄ．D ＋E ＋F =0 ３．经过三点A (0，0)、B (1，0)、C (2，1)的圆的方程为（ ）Ａ．x 2＋y 2＋x －3y －2=0 Ｂ． x 2＋y 2＋3x ＋y －2=0 Ｃ． x 2＋y 2＋x ＋3y =0 Ｄ． x 2＋y 2－x －3y =0４．方程220x y x y k +-++=表示一个圆，则实数k 的取值范围是 . ５．过点A （－2，0），圆心在（3，－2）的圆的一般方程为 . ６．等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 本章测试答案与提示》
高一数学期末综合测试一考试时间：12021 总分：160分参考公式：棱锥的体积公式：V棱锥13sh =，其中s 为棱锥的底面积，h 为高 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1．已知(1,1)A ，(2,2)B ，则直线AB 的斜率为 ．2．在公差为2的等差数列}{n a 中，若21a =，则5a 的值是 ．3．若ABC ∆满足：60A =︒，75C =︒，3BC =，则边AC 的长度为 ． 4．已知π4αβ+=，且tan 2α=，则tan β的值是 ． 5．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， 3 cm AB =， 4 cm BC =， 5 cmCA =，1 6 cm AA =，则四棱锥111A B BCC -的体积为 3cm ．6．在平面直角坐标系xOy 中，直线210x ay +-=和直线(21)10a x y --+=互相垂直，则实数a 的值是 ．7．已知正实数,a b 满足24a b +=，则ab 的最大值是 ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，(1,3)A ，(4,2)B ，若直线20ax y a --=与线段AB 有公共点，则实数a 的取值范围是 ．9．已知实数,x y 满足：11x y -≤+≤，11x y -≤-≤，则2x y +的最小值是 ． 10．如图，对于正方体1111ABCD A B C D -，给出下列四个结论： ①直线// AC 平面1111A B C D ②直线1// AC 直线1A B ③直线AC ⊥平面11DD B B ④直线1AC ⊥直线BD 其中正确结论的序号为 ．11．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知πsin()62bC a+=，则角A 的值是 ． 12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(2)(3)9x y -+-=，若过点(0,3)M 的直线与圆C 交于,P Q 两点（其中点P 在第二象限），且2PMO PQO ∠=∠，则点Q 的横坐标为 ． 13．已知各项均为正数的数列{}n a 满足11(2)(1)0n n n n a a a a ++--=()n N *∈，且120a a =，则1a 的最大值是 ． 个矩形，这些矩形的14．如图，边长为1a b ++（0,0a b >>）的正方形被剖分为9面积如图所示，则3572468152S S S S S S S S S +++++的最小值是 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，直线:30l x by b ++=． （1）若直线l 与直线20x y -+=平行，求实数b 的值；（2）若1b =，(0,1)A ，点B 在直线l 上，已知AB 的中点在x 轴上，求点B 的坐标．16．（本题满分14分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c （a b c <<），已知2cos 2cos a C c A a c +=+． （1）若35c a =，求sin sin AB的值； （2）若2sin 30c A a -=，且8c a -=，求ABC ∆的面积S ．17．（本题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PA PC ⊥，AB BC =，点M ，N 分别为PC ，AC 的中点．求证：（1）直线 //PA 平面BMN ；（2）平面PBC ⊥平面BMN ．如图，某隧道的截面图由矩形ABCD 和抛物线型拱顶DEC 组成（E 为拱顶DEC 的最高点），以AB 所在直线为x 轴，以AB 的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy ，已知拱顶DEC 的方程为2164y x =-+(44)x -≤≤．（1）求tan AEB ∠的值；（2）现欲在拱顶上某点P 处安装一个交通信息采集装置，为了获得最佳采集效果，需要点P 对隧道底AB 的张角APB ∠最大，求此时点P 到AB 的距离．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(4)1x y -+=，且圆C 与x 轴交于M ，N 两点，设直线l 的方程为 (0)y kx k =>．（1）当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程； （2）已知直线l 与圆C 相交于A ，B 两点． （ⅰ）若21717AB ≤，求实数k 的取值范围； （ⅱ）直线AM 与直线BN 相交于点P ，直线AM ，直线BN ，直线OP 的斜率分别为1k ，2k ，3k ， 是否存在常数a ，使得123k k ak +=恒成立？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．2021本题满分16分）已知数列}{n a 的首项10a >，前n 项和为n S ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎭⎩是公差为12a的等差数列．（1）求62a a 的值； （2）数列}{nb 满足：1(1)2n a pn n n b b ++-=，其中,N*n p ∈． （ⅰ）若11p a ==，求数列}{n b 的前4k 项的和，N*k ∈；（ⅱ）当2p =时，对所有的正整数n ，都有1n n b b +>，证明：1112111222a a a b ---<<．2021～2021学年度第二学期期末考试高一数学参考答案一、填空题1．1； 2．7； 3．2； 4．13-； 5．24； 6．23； 7．2； 8．(,3][1,)-∞-+∞； 9． 2-； 10．①③④；11．π6； 12．1； 13．512 ； 14．2 二、解答题15 解：（1）∵直线l 与直线20x y -+=平行， ∴1(1)10b ⨯--⨯=，∴1b =-，经检验知，满足题意． ………………７分 （2）由题意可知：:30l x y ++=， 设00(,3)B x x --， 则AB 的中点为002(,)22x x --， ………………１０分 ∵AB 的中点在x 轴上，∴02x =-，∴(2,1)B --． ………………１４分 16 解：（1）∵2cos 2cos a C c A a c +=+由正弦定理：2sin cos 2sin cos sin sin A C C A A C+=+∴sin sin 2sin()2sin(π)2sin A C A C B B +=+=-= ………………２分 ∵35c a =由正弦定理：3sin 5sin C A =， ………………４分 ∴82sin sin sin sin 3B AC A =+=，∴sin 3sin 4A B =． ………………7分（2）由2sin 0c A =得：sin C =， ∵(0,π)C ∈，∴π3C =或2π3C = 当π3C =时， ∵a b c <<，∴A B C <<，此时πA B C ++<，舍去， ∴23C π=， ………………9分 由（1）可知：2a c b +=， 又∵8c a -=， ∴4,8b a c a =+=+，∴2222(8)(4)2(4)cos3a a a a a π+=++-⋅+， ∴6a =或4a =-（舍） ………………12分所以11sin 61022S ab C ==⨯⨯= ………………14分 17（1）证明：∵点M ，N 分别为PC ，AC 的中点，∴//MN PA ， ………………2分 又∵PA ⊄平面BMN ，MN ⊂平面BMN ，∴直线 //PA 平面BMN ． ………………6分 （2）证明：∵AB BC =，点N 为AC 中点， ∴BN AC ⊥， ∵平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC平面ABC AC =，BN ⊂平面ABC ，BN AC ⊥，∴BN ⊥平面PAC ， ………………9分 ∵PC ⊂平面PAC ，∴PC BN ⊥， 由（1）可知：//MN PA ， ∵PA PC ⊥，∴PC MN ⊥， ∵PC BN ⊥，PC MN ⊥，BNMN N =，,BN MN 在平面BMN 内，∴PC ⊥平面BMN ， ………………12分 ∵PC ⊂平面PAC ，∴平面PBC ⊥平面BMN ． ………………14分 18 （1）解：由题意：(0,6)E ，(4,0)B ， ∴2tan 3BO BEO EO ∠==， ∴222123tan tan 2251()3AEB BEO ⨯∠=∠==-， ………………5分 （2）（法1）设00(,)P x y ，026y ≤≤， 过P 作PH AB ⊥于H ，设,APH BPH αβ∠=∠=，则000044tan ,tan x x y y αβ+-==， ………………8分 ∴00222000088tan tan()1648y y APB y x y y αβ∠=+==---+00828()4y y =≤=+- ………………12分∵026y ≤≤，∴当且仅当0y =tan APB ∠最大，即APB ∠最大．答：位置P 对隧道底AB 的张角最大时P 到AB的距离为 ………………14分 （法2）设00(,)P x y ，026y ≤≤，∴22200000000(4,)(4,)1648PA PB x y x y x y y y ⋅=---⋅--=-+=-+，∴20||||cos 48PA PB AFB y y ⋅∠=-+，∴20048cos y y AFB PA PB-+∠=⋅ ………………8分∵011||||sin 822AFB S PA PB APB y ∆=⋅∠=⋅⋅，∴08sin y APB PA PB∠=⋅∴0200008sin 8tan 28cos 48()4y APB APB APB y y y y ∠∠====≤=∠-++-………12分∵026y ≤≤，∴当且仅当0y =tan APB ∠最大，即APB∠最大．答：位置P 对隧道底AB 的张角最大时P 到AB 的距离为 ………………14分 19．（1）解：由题意，0k >， ∴圆心C 到直线l 的距离d ，………………2分∵直线l 与圆C 相切，∴1d ==，∴k =， ∴直线:l y =． (4)分 （2）解：由题意得：0AB <=，1d ≤<，………………６分 由（1）可知：d=，1≤<，∴14k ≤<． ………………９分 （3）证明：1:(3)AM l y k x =-，与圆C 22:(4)1x y -+=联立， 得：2211(3)[(1)(35)]0x k x k -+-+=，∴3M x =，2121351A k x k +=+，∴2112211352(,)11k k A k k +++，同理可得：2222222532(,)11k k B k k +-++， ………………12分∵OA OB k k =，∴122212221222122211355311k k k k k k k k -++=++++，即1212(1)(35)0k k k k ++=， ∵121k k ≠-，∴2135k k =-， ………………14分 设00(,)P x y ，∴010020(3)(5)y k x y k x =-⎧⎨=-⎩， ∴1201212012352k k x k k k k y k k -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，∴12121212352(,)k k k k P k k k k ----，即1315(,)44kP ，∴1313141554k k k ==， ∴1213225k k k k +==，∴存在常数2a =，使得1232k k k +=恒成立． ………………16分 20211）解：由题意，1111(1)122n S S a n n a n +=+-⋅=， ∴1(1)2n n n S a +=， 当2n ≥时，1111(1)(1)22n n n n n n n a S S a a na -+-=-=-=，当1n =时，上式也成立，∴1n a na =，*n N ∈， ∵10a > ∴6121632a a a a ==． ………………3分 （2）（ⅰ）由题意：1(1)2n n n n b b ++-=，当N*k ∈时，4342432k k k b b ----=，4241422k k k b b ---+=，414412k k k b b ---=， ∴4243434341222k k k k k b b -----+=-=，4142424242232k k k k k b b ----+=+=⋅，∴43434241472k k k k k b b b b ----+++=⨯， ………………6分 ∴前4k 项的和4123456784342414()()()k k k k k T b b b b b b b b b b b b ---=++++++++++++154314(161)72727215k k --=⨯+⨯++⨯=． ………………8分 （ⅱ）证明：由题意得：1112(2)na a n n n b b ++==，令12a t =，(1,)t ∈+∞， ∴11()(1)(1)nn n n nb b t ++-=----，∴112211112211()()()(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n b b b b b b b b ------=-+-++-+-------- 12111()[()()()]()11nn t t t t t b b t t--=--+-++--=-+-+，∴1()(1)11n nn t t b b t t=--+++， ………………11分 ∵1n n b b +>,N*n ∈，∴11111()(1)()(1)1111n n n nn n t t t t b b b b t t t t +++-=--+----++++ 12()(1)(1)011n nt t b t t t=---+->++，∴1(1)()(1)12(1)n nt t t b t t --->++，N*n ∈， ①当n 为偶数时，1(1)2(1)1n t t tb t t->+++，∵(1,)t ∈+∞，2(1)(1)(2)2(1)12(1)12n t t t t t t t t t t t t ---+≤+=++++，∴1(2)2t t b ->， ………………13分 ②当n 为奇数时，1(1)2(1)1n t t tb t t-<+++，∵(1,)t ∈+∞，1(1)(1)2(1)12(1)12n t t t t t t tt t t t --+≥+=++++， ∴12tb <， ………………15分 综上：1(2)22t t tb -<<，即1112111222a a a b ---<<． ………………16分。
高中数学新学案同步 必修2苏教版 第2章 平面解析几何初步 2.1.2 第3课时
跟踪训练1 根据条件写出下列直线的一般式方程： 1 x＋2y＋4＝0 (1)斜率是－ ，且经过点A(8，－6)的直线方程为_____________. 2 y－2＝0 (2)经过点B(4,2)，且平行于x轴的直线方程为__________. 3 2x－y－3＝0 (3)在x轴和y轴上的截距分别是 和－3的直线方程为_____________. 2 x＋y－1＝0 (4)经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线方程为____________.
B C B C (1)当 A≠0 时，方程可化为 x＋Ay＋ A＝0，只需求A，A的
A C A C 值；若 B≠0，则方程化为Bx＋y＋ B ＝0，只需确定B，B 的值，因此，只 要给出两个条件，就可以求出直线方程. (2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定 条件选出四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式.
Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)来表示吗？
答案 能. 思考2 关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)一定表
示直线吗？ 答案 一定.
梳理 直线的一般式方程 形式 条件
Ax＋By＋C＝0 _______________ 不全为0 A，B________
知识点二
直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系
解答
反思与感悟
一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式
或点斜式；已知截距或两点选择截距式或两点式.另外从所求结论来看， 若求直线与坐标轴围成的三角形的面积或周长，常选用截距式，但最后 都可化为一般式.
跟踪训练3 设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0 (a＋1≠0). (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； 解 由题意知a＋1≠0，即a≠－1.
高中数学新学案同步 必修2苏教版 第2章 平面解析几何初步 2.1.4
－2<k<2， 得 2 k<－2或k>－ ， 3
解析
2－k >0， k＋2 由 6k＋4 >0， k＋2
2 ∴－3<k<2.
解析
答案
解析
答案
类型三 直线恒过定点问题
例4 求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都
经过一定点，并求出这个定点坐标.
证明
反思与感悟 解含有参数的直线恒过定点的问题 (1) 任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验 证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解. (2)含有一个参数的二元一次方程若能整理为 A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y ＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点
解答
反思与感悟
求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出
交点坐标，再结合其他条件写出直线方程 .也可用过两条直线l1：A1x＋ B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋ λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括l2的方程)，再根据其他条件求出待定系数， 写出直线方程.
跟踪训练3
直线l经过原点，且经过另外两条直线 2x＋3y＋8＝0，x－y
2x－y＝0 －1＝0的交点，则直线l的方程为___________. 解析 设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，
即(2＋λ)x＋(3－λ)y＋8－λ＝0，
因为l过原点，所以λ＝8.
则所求直线方程为2x－y＝0.
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解析几何2.1.1 直线的斜率︒ 2.11,,172- 3. 4.3,3 5.180α︒- 6.1 7.(1)m>1或m<-5; （2）m=-5; (3)-5<m<1. 8.a=1或a=29.（1）A ，B ，C 的坐标只要满足26)2y x x -=<<-即可；（2）根据第1问的答案，这里答案各不相同，但所求斜率k 1k <<；（3）1,3045k α≤≤︒≤≤︒ 2.1.2 直线的方程——点斜式（略） 2.1.2 直线的方程——两点式1.y=6301111x +;2.123x y -=;3.142x y -=;4.32-;5.2或12；6.126x y+=；7.4x+3y=0或x+y+1=0；8.123a ≤≤；9.4332k k ≤-≥或；2.1.3 两条直线的平行与垂直（1）1.（1）平行；（2）不平行；2.-8；3.m=2或m=-3；4.4x+3y-16=0；5.2x-3y-7=0,；6.m=-2,n=0或10 ，7.平行四边形；8.m=4 ,9.a=2,b=-2或a=2/3,b=2.2.1.3 两条直线的平行与垂直（2）1.3x-y+2=0,2.（1）垂直；（2）不垂直3.2a-b=0；4.3 ,5.（-1,0），6.2x+y-5=07.3x+4y+12=0或3x+4y-12=0 ,8.2x+y-7=0,x-y+1=0,x+2y-5=0；9. 4x-3y 0±=.2.1.4 两条直线的交点1.36477⎛⎫⎪⎝⎭，；2.6或-6；3.12-；4.4390x y -+=；5.10，-12，-2；61162k -<<； 7.230x y --=;8.m=4，或m=-1，或m=1；9.（1）表示经过210x y -+=和2390x y ++=的交点（-3,-1）的直线（不包括直线2390x y ++=）；（2）30,40x y x y -=++=2.1.5 平面上两点间的距离1.()53，；2.正方形；3.（6，5）；1122y y+=+=；5.47240;6.23120;7.(1,0)150;9.x y x y P x y +-=+-=--=且略2.1.6 点到直线的距离（1）1.(1,2),(2,1);-52.;23.21±4.43±=m5.36.x y 43±=7.(4,7),(6,1)(8,3),(6,3);C D C D ---或8.220,3420,2;9,560x y x y x x y --±=-+==-+=2.1.6点到直线的距离（2）1.1017 2.343.3450,34350x y x y --=--=4.05;d <≤5．3x-4y-17=0和3x-4y-1=0 6.230;7.(4,7),(6,1)(8,3),(6,3);x y C D C D -+=---或8. 5x-12y-5=0,5x-12y+60=0,260≤<d ,9. x+3y+7=0，3x-y-3=0和3x-y+9=0．2.2.1 圆的方程 （1）1.22(8)(3)25x y -++=2.22(5)(6)10x y -+-=3.22(5)(4)16x y ++-=4. 25.222;0;;a b r a r b r a b +=====6.22(2)(3)13x y -++=7.可求已只知圆心（3，4）关于已知直线的对称点为（-3，-4），半径不变，所以要求的圆的方程为22(3)(4)1x y +++=8．由题可设圆的方程为222222()()()()x a y a a x a y a a -++=-+-=或，将点A （1，2）带入上述方程得a=1或5，所以所求的圆的方程为2222(1)(1)1(5)(5)25x y x y -+-=-+-=和.9.略2.2.1 圆的方程（2）1.（-1，2），3；2. 4，-6.-3；3. 114k k <>或；4.x 2+y 2-2x-4y=0；5. x-2+y 2-2x-2y=0；6.D ≠0且E=F=0；7.（1）x 2+y 2+x-9y-12=0；（2）x 2+y 2-4x+3y=0；8.a=-10；9.以AB 的中点O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立坐标系.则A （-3，0），B （3，0），C （2，3）.设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则0439D E F =⎧⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩，故所求圆的方程为224903x y Dx y ++-+= 2.2.2 直线与圆的位置关系1. 2.4;相离； 3.3;4. 5.点在圆外；相切；6.1a =-7.(1)25;(2)3450,1;(3)x y x y x +=-+==略；22228.16;9.(1)(1)2(1)(1)2m x y x y =-+++=-+-=或2.2.3 圆与圆的位置关系（略）2.3.1 空间直角坐标系1～4.略；5.在空间直角坐标系中，yOz 坐标平面与x 轴垂直，xOz 坐标平面与y 轴垂直，xOy 坐标平面与z 轴垂直；6.在空间直角坐标系中，落在x 轴上的点的纵坐标和竖坐标都是0，如（2，0，0），（-3，0，0），（5，0，0）；xOy 坐标平面内的点的竖坐标为0，如（1，1，0），（-1，2，0），（1，2，0）；7.（2，3，0），（0，3，4），（2，0，4）；（2，0，0），（0，3，0），（0，0，4）；8.（-1，-3，5）；（1，-3，5）；9.若两点坐标分别为111(,,)x y z 和222(,,)x y z ，则过这两点的直线方程为111212121x x y y z z x x y y z z ---==---121212(,,)x x y y z z ≠≠≠ 2.3.2 空间两点间的距离31,)2231,,4).22-- 2.M(0,0,-3). 3.略. 4.(1)x+3y-2z-6=0; (2)2x-y-2z+3=0. 5.(x+1)2+y 2+(z-4)2=9. 6.x=4,y=1,z=2. 7.D(3,0,2). 8.A(2,-4,-7),B(0,0,5),C(6,4,-1). 9.(1)(1,2,1); (2)x=1,y=8,z=9.直线和圆单元测试1．32π 2．),2(]4,0[πππ⋃ 3.[5,1212ππ] 4．直角三角形 5．（，1）∪（1，） 6．3± 7．328．22± 9．（－∞，）∪，+∞） 10．{4，5，6，7} 11．)3,3(- 12．345 13．030 14．B D ，15．解：设D 点的坐标为(x 0, y 0),∵直线AB:1,26x y+=即3x+y —6=0,∴000000113,3120360OD AB y k k x x y x y ⎧⎧=-=⎪⎪⎨⎨⎪⎪+-=+-=⎩⎩即. 解得x 0=，518 y 0=)56,518(56D 即，.由|PD|=2|BD|, 得λ=23-=PD BP . ∴由定比分点公式得x p =542554-=p y ，.将P(542,554-)代入l 的方程, 得a=103. ∴k 1= -3. 故得直线l 的倾斜角为120°16. 解:(1)由题意知此平面区域表示的是以(0,0),(4,0),(0,2)O P Q 构成的三角形及其内部,且△OPQ 是直角三角形,所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),, 所以圆C 的方程是22(2)(1)5x y -+-=. (2)设直线l 的方程是:y x b =+.因为CA CB ⊥u u u r u u u r ,所以圆心C 到直线l,=解得:1b =-±.所以直线l 的方程是:1y x =-±.17．解： 依题意知四边形PAQB 为矩形。
设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP中，|AR |=|PR |又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理 在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2)又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2,241+=+y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x －10=0 整理得 x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程18. 解（1）①当直线l 垂直于x 轴时，则此时直线方程为1=x ，l 与圆的两个交点坐标为()3,1和()3,1-，其距离为32，满足题意②若直线l 不垂直于x 轴，设其方程为()12-=-x k y ，即02=+--k y kx设圆心到此直线的距离为d ，则24232d -=，得1=d ∴1|2|12++-=k k ，34k =， 故所求直线方程为3450x y -+=综上所述，所求直线为3450x y -+=或1=x （2）设点M 的坐标为()00,y x ，Q 点坐标为()y x ,则N 点坐标是()0,0y∵OQ OM ON =+u u u r u u u u r u u u r ，∴()()00,,2x y x y = 即x x =0，20y y =又∵42020=+y x ，∴4422=+y x由已知，直线m //ox 轴，所以，0y ≠，∴Q 点的轨迹方程是221(0)164y x y +=≠19．解：（1）设(2,)(02).P a a a ≤≤(0,2),M MP ==Q解得1a =或15a =-（舍去）.(2,1).P ∴由题意知切线PA 的斜率存在，设斜率为k .所以直线PA 的方程为1(2)y k x -=-，即210.kx y k --+= Q 直线PA 与圆M 相切，1=，解得0k =或4.3k =-∴直线PA 的方程是1y =或43110.x y +-= （2）设(2,)(24).P a a t a t ≤≤+PA Q 与圆M 相切于点A ，.PA MA ∴⊥∴经过,,A P M 三点的圆的圆心D 是线段MP 的中点.(0,2),M D ∴Q 的坐标是(,1).2aa +设222225524().()(1)1().24455a DO f a f a a a a a =∴=++=++=++当225t >-，即45t >-时，2min 5()()1;2162t tf a f t ==++ 当22252t t ≤-≤+，即24455t -≤≤-时，min 24()();55f a f =-= 当2225t +<-，即245t <-时 22min 515()(2)(2)(2)138242216t t t f a f t t =+=++++=++则45244()55245t L t t t >-=-≤≤-<- 20．解：（1）设M (a ，ka )，N (b ，-kb )，(a>0，b>0)。