八年级数学上册专题训练五等腰三角形的综合应用ppt课件新版华东师大版
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六、巧构等边三角形解题 11．如图，△ABC是等边三角形，∠BDC＝120°.求证：AD＝BD＋ CD.
证明：延长CD至点M，使DM＝BD，连结BM.∵∠BDC＝120°， ∴∠BDM＝60°，∴△BDM是等边三角形，∴BM＝BD，∠MBD＝ 60°.∵△ABC 是 等 边 三 角 形 ， ∴ AB ＝ CB ， ∠ ABC ＝ 60° ， ∴ ∠ ABC ＝ ∠ MBD ， ∴ ∠ ABC ＋ ∠ CBD ＝ ∠ MBD ＋ ∠ CBD ， 即 ∠ABD＝∠CBM，∴△ABD≌△CBM(S.A.S.)，∴AD＝CM＝DM＋ CD＝BD＋CD，即AD＝BD＋CD.
5．已知等腰三角形 ABC一腰上的高与另一腰的夹角为 50°，求 △ABC的三个内角度数．
解：作 BD⊥AC 于 D.①当△ABC 为锐角三角形时，∵BD⊥AC， ∴∠ABD＋∠A＝90°.又∵∠ABD＝50°，∴∠A＝90°－50°＝40
°，∴∠ABC＝∠C＝12(180°－40°)＝70°，即这个三角形的三个内 角分别为 40°，70°，70°；②当△ABC 为钝角三角形时，∵BD⊥ AC，∠DBA＝50°，∴∠BAC＝90°＋50°＝140°，∴∠ABC＝∠
10．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B，求证：AC＋ CD＝AB.
证明：在AB上截取AE＝AC，连结DE，易证△AED≌△ACD(S.A.S.)， ∴ED＝CD，∠AED＝∠C.∵∠AED＝∠B＋∠EDB，∴∠C＝∠AED＝ ∠B＋∠EDB.又∵∠C＝2∠B，∴∠B＝∠EDB，∴BE＝DE，∴AB＝ AE＋BE＝AC＋DE＝AC＋CD.
二、分类讨论思想在等腰三角形中的应用 4．一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角 为多少度？ 解：当顶角的外角是110°时，则这个三角形的三个角应该为70°， 55°，55°；当底角的外角是110°时，则这个三角形的三个角应该 为70°，70°，40°.所以这个三角形的三个角应该为70°，55°， 55°或70°，70°，40°.
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD＝ED＝EA，求∠A的 度数．
解：设∠A＝x°，∵ED＝EA，∴∠EDA＝∠A＝x°，∴∠BED ＝ 2x°.∵BD ＝ ED ， ∴ ∠ EBD ＝ ∠ BED ＝ 2x° ， ∴ ∠ BDC ＝ 3x°.∵BC＝BD，∴∠C＝∠BDC＝3x°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝ ∠C＝3x°.在△ABC中，x＋3x＋3x＝180，即∠A＝(180)°.
专题训练(五) 等腰三角形的综合应用
一、利用方程思想求等腰三角形的边角 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝AD，DC ＝AC，求∠BAC的度数． 解：设∠B＝x°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝x°.又∵BD＝AD， ∴∠BAD＝x°，∴∠ADC＝x°＋x°＝2x°.∵AC＝DC，∴∠DAC ＝2x°.在△ADC中，2x＋2x＋x＝180，x＝36，∴∠BAC＝36°×3 ＝108°.
C＝12(180°－140°)＝20°.综上所述，这个三角形的三个内角分别为 40°，70°，70°或 140°，20°，20°.
三、利用“三线合一”作辅助线 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、 AC上，且BD＝CF，BE＝CD，G是EF的中点．求证：DG⊥EF. 证明：连结ED，FD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.又∵BD＝CF， BE ＝ CD ， ∴ △ BDE≌△CFD(S.A.S.) ， ∴ DE ＝ DF.∵EG ＝ GF ， ∴DG⊥EF(三线合一)．
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3．已知等腰三角形的周长是24 cm，一腰上的中线把三角形分成两 个，两个三角形的周长的差是3 cm.求等腰三角形各边的长．
解：设等腰三角形的腰长为 x，底边长为 y，根据题意可得：
2x－x＋yy＝＝324，或2yx－＋xy＝＝32，4，解得xy＝＝96，或
x＝7， y＝10，
即等
腰三
角形各边的长分别为：9 cm，9 cm，6 cm 或 7 cm，7 cm，10 cm.
四、作平行线构造等腰三角形 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E 在AC的延长线上，且BD＝CE，DE交BC于F，求证：DF ＝EF. 证明：过D作DM∥AE交BC于M.∵AB＝AC，∴∠B＝ ∠ ACB. 又 ∵ DM∥AE ， ∴ ∠ ACB ＝ ∠ DMB ， ∠ MDF ＝ ∠E，∴∠B＝∠DMB，∴BD＝DM.∵BD＝CE，∴DM ＝ CE. 又 ∠ DFM ＝ ∠ EFC ， ∴ △ DMF≌△ECF(A.A.S.) ， ∴DF＝EF.
7．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是 AD上一点，且EA＝EC.求证：EB⊥AB.
解：过E作EF⊥AC于点F，∵AE＝CE，EF⊥AC，∴AF＝FC.又 ∵AC＝2AB，∴AB＝AF.∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE.又AE ＝ AE ， ∴ △ ABE≌△AFE(S.A.S.) ， ∴ ∠ ABE ＝ ∠ AFE ＝ 90° ， ∴EB⊥AB.
10．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B，求证：AC ＋CD＝AB.
证 明 ： 在 AB 上 截 取 AE ＝ AC ， 连 结 DE ， 易 证 △AED≌△ACD(S.A.S.)，∴ED＝CD，∠AED＝∠C.∵∠AED＝∠B ＋∠EDB，∴∠C＝∠AED＝∠B＋∠EDB.又∵∠C＝2∠B，∴∠B＝ ∠EDB，∴BE＝DE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋DE＝AC＋CD.
五、用截长补短法构造等腰三角形 9．如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB＋BD ＝DC，求∠C的度数．(用两种方法) 解：方法一：(截长法)在CD上取点E，使DE＝BD，连结AE，则 CE＝AB＝AE，∴∠B＝∠AED＝∠C＋∠CAE＝2∠C.∵∠BAC＝ 120°，∴∠C＝20°；方法二：(补短法)作图略．延长DB至F，使 BF＝AB，连AF，∵AB＋BD＝DF＝CD，∴AF＝AC，∠C＝∠F＝ 1∠ABC，∴∠C＝20°. 2
六、巧构等边三角形解题 11．如图，△ABC是等边三角形，∠BDC＝120°.求证：AD＝BD＋ CD.
证明：延长CD至点M，使DM＝BD，连结BM.∵∠BDC＝120°， ∴∠BDM＝60°，∴△BDM是等边三角形，∴BM＝BD，∠MBD＝ 60°.∵△ABC 是 等 边 三 角 形 ， ∴ AB ＝ CB ， ∠ ABC ＝ 60° ， ∴ ∠ ABC ＝ ∠ MBD ， ∴ ∠ ABC ＋ ∠ CBD ＝ ∠ MBD ＋ ∠ CBD ， 即 ∠ABD＝∠CBM，∴△ABD≌△CBM(S.A.S.)，∴AD＝CM＝DM＋ CD＝BD＋CD，即AD＝BD＋CD.
5．已知等腰三角形 ABC一腰上的高与另一腰的夹角为 50°，求 △ABC的三个内角度数．
解：作 BD⊥AC 于 D.①当△ABC 为锐角三角形时，∵BD⊥AC， ∴∠ABD＋∠A＝90°.又∵∠ABD＝50°，∴∠A＝90°－50°＝40
°，∴∠ABC＝∠C＝12(180°－40°)＝70°，即这个三角形的三个内 角分别为 40°，70°，70°；②当△ABC 为钝角三角形时，∵BD⊥ AC，∠DBA＝50°，∴∠BAC＝90°＋50°＝140°，∴∠ABC＝∠
10．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B，求证：AC＋ CD＝AB.
证明：在AB上截取AE＝AC，连结DE，易证△AED≌△ACD(S.A.S.)， ∴ED＝CD，∠AED＝∠C.∵∠AED＝∠B＋∠EDB，∴∠C＝∠AED＝ ∠B＋∠EDB.又∵∠C＝2∠B，∴∠B＝∠EDB，∴BE＝DE，∴AB＝ AE＋BE＝AC＋DE＝AC＋CD.
二、分类讨论思想在等腰三角形中的应用 4．一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角 为多少度？ 解：当顶角的外角是110°时，则这个三角形的三个角应该为70°， 55°，55°；当底角的外角是110°时，则这个三角形的三个角应该 为70°，70°，40°.所以这个三角形的三个角应该为70°，55°， 55°或70°，70°，40°.
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD＝ED＝EA，求∠A的 度数．
解：设∠A＝x°，∵ED＝EA，∴∠EDA＝∠A＝x°，∴∠BED ＝ 2x°.∵BD ＝ ED ， ∴ ∠ EBD ＝ ∠ BED ＝ 2x° ， ∴ ∠ BDC ＝ 3x°.∵BC＝BD，∴∠C＝∠BDC＝3x°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝ ∠C＝3x°.在△ABC中，x＋3x＋3x＝180，即∠A＝(180)°.
专题训练(五) 等腰三角形的综合应用
一、利用方程思想求等腰三角形的边角 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝AD，DC ＝AC，求∠BAC的度数． 解：设∠B＝x°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝x°.又∵BD＝AD， ∴∠BAD＝x°，∴∠ADC＝x°＋x°＝2x°.∵AC＝DC，∴∠DAC ＝2x°.在△ADC中，2x＋2x＋x＝180，x＝36，∴∠BAC＝36°×3 ＝108°.
C＝12(180°－140°)＝20°.综上所述，这个三角形的三个内角分别为 40°，70°，70°或 140°，20°，20°.
三、利用“三线合一”作辅助线 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、 AC上，且BD＝CF，BE＝CD，G是EF的中点．求证：DG⊥EF. 证明：连结ED，FD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.又∵BD＝CF， BE ＝ CD ， ∴ △ BDE≌△CFD(S.A.S.) ， ∴ DE ＝ DF.∵EG ＝ GF ， ∴DG⊥EF(三线合一)．
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3．已知等腰三角形的周长是24 cm，一腰上的中线把三角形分成两 个，两个三角形的周长的差是3 cm.求等腰三角形各边的长．
解：设等腰三角形的腰长为 x，底边长为 y，根据题意可得：
2x－x＋yy＝＝324，或2yx－＋xy＝＝32，4，解得xy＝＝96，或
x＝7， y＝10，
即等
腰三
角形各边的长分别为：9 cm，9 cm，6 cm 或 7 cm，7 cm，10 cm.
四、作平行线构造等腰三角形 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E 在AC的延长线上，且BD＝CE，DE交BC于F，求证：DF ＝EF. 证明：过D作DM∥AE交BC于M.∵AB＝AC，∴∠B＝ ∠ ACB. 又 ∵ DM∥AE ， ∴ ∠ ACB ＝ ∠ DMB ， ∠ MDF ＝ ∠E，∴∠B＝∠DMB，∴BD＝DM.∵BD＝CE，∴DM ＝ CE. 又 ∠ DFM ＝ ∠ EFC ， ∴ △ DMF≌△ECF(A.A.S.) ， ∴DF＝EF.
7．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是 AD上一点，且EA＝EC.求证：EB⊥AB.
解：过E作EF⊥AC于点F，∵AE＝CE，EF⊥AC，∴AF＝FC.又 ∵AC＝2AB，∴AB＝AF.∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE.又AE ＝ AE ， ∴ △ ABE≌△AFE(S.A.S.) ， ∴ ∠ ABE ＝ ∠ AFE ＝ 90° ， ∴EB⊥AB.
10．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B，求证：AC ＋CD＝AB.
证 明 ： 在 AB 上 截 取 AE ＝ AC ， 连 结 DE ， 易 证 △AED≌△ACD(S.A.S.)，∴ED＝CD，∠AED＝∠C.∵∠AED＝∠B ＋∠EDB，∴∠C＝∠AED＝∠B＋∠EDB.又∵∠C＝2∠B，∴∠B＝ ∠EDB，∴BE＝DE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋DE＝AC＋CD.
五、用截长补短法构造等腰三角形 9．如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB＋BD ＝DC，求∠C的度数．(用两种方法) 解：方法一：(截长法)在CD上取点E，使DE＝BD，连结AE，则 CE＝AB＝AE，∴∠B＝∠AED＝∠C＋∠CAE＝2∠C.∵∠BAC＝ 120°，∴∠C＝20°；方法二：(补短法)作图略．延长DB至F，使 BF＝AB，连AF，∵AB＋BD＝DF＝CD，∴AF＝AC，∠C＝∠F＝ 1∠ABC，∴∠C＝20°. 2