参数方程考点

参数方程“考点”面面看

“参数方程”主要内容是直线、圆和椭圆的参数方程，参数方程和普通方程的互化，参数方程的简单应用三块，下面针对这三块内容进行透析：

一、直线、圆和椭圆的参数方程

例1．若直线的参数方程为1223x t y t

=+⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线的斜率为 .

分析：经过点P 0（x 0，y 0），倾斜角为α的直线的参数方程为x x t y y t t =+=+⎧⎨⎩00

cos sin αα（为参数） 解：将直线的参数方程为1223x t y t =+⎧⎨=-⎩

化为12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

（t 为参数），则直线的斜率为32

-. 评注：关键是要弄清楚直线的参数方程的形式. 经过定点P(x 0,y 0)的直线的参数方程也可以写成00x x at y y bt

=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，斜率就是b a . 二、参数方程与普通方程的互化

化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程(),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）.

例2.方程2222

t t t t x t y --⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（为参数）表示的曲线是__________________. 分析：把参数方程化为我们熟悉的普通方程，再去判断它表示的曲线类型是这类问题的破解策略.

解：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，()()22

2222224t t t t x y ---=--+=-，即有224y x -=，又注意到

202222t t t y ->+≥=≥，，即，可见与以上参数方程等价的普通方程为2242y x y -=≥（）.显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支.

评注：这是一类将参数方程化为普通方程的检验问题，转化的关键是要注意变量范围的一致性.

例3．设P 是椭圆22

2312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值是 ，最小值为 .

分析： 由于研究二元函数x+2y 相对困难，因此有必要消元，但由x ，y 满足的方程2x 2+3y 2=12表出x 或y ，会出现无理式，这对进一步求函数最值依然不够简洁，能否有其他途径把二元函数x+2y 转化为一元函数呢？

方法是利用椭圆的参数方程代入中，即可转化为以x y x y x y 22

641622+=⇔==⎧⎨⎩

+cos sin θθ θ为变量的一元函数。 解：由椭圆的方程，可设，2x +3y =12x =622cos sin θθy =2 ()代入，得：x y x y ++=+⋅=+2262222cos sin sin θθθϕ ()其中，由于，所以的最小值为，最大值为tg x y x y ϕθϕ=

-≤+≤-≤+≤∴+-64

112222222222sin 评注：以上解法则是利用椭圆的参数方程，设出点P 的坐()标（，），代入中，转化为一元函数求其最值，这两种解法不妨都622cos sin θθθx y f + 称为“参数法”.

三、参数方程的简单应用

参数方程的简单应用主要是：求几何图形的面积、曲线的轨迹方程或研究某些函数的最值问题.

例4. 已知线段BB’=4，直线l 垂直平分BB’，交BB’于点O ，在属于l 并且以O 为起点的同一射线上取两点P ，P’，使OP ·OP’＝9，求直线BP 与直线B’P’的交点M 的轨迹方程。

y

B

M

P P’ O x

B’

分析：M 点是直线BP 与直线B’P’的交点,因此要写出直线BP 与直线B’P’的方程，而直线BP 与直线B’P’的方程不能直接写出，故设点P （a,0）.

解：以O 为原点，BB’为y 轴，l 为x 轴建立直角坐标系，则B （0，2），B’（0，-2），

设（，），，则由，得：，P a 0a OP OP P a ≠⋅=⎛⎝ ⎫⎭

⎪0990'' 直线的方程为：BP x a y +=2

1 ()直线的方程为：

B P x a y ''921⎛⎝ ⎫⎭⎪+-= 即与22029180x ay a ax y +-=--=

设（，），则由解得：M x y x ay a ax y 22029180+-=--=⎧⎨⎩

x a a y a a a =+=-+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪1892189

222（为参数） 消去，可得：（）a x y x 4936022+=≠

∴点的轨迹是长轴长为，短轴长为的椭圆（除去点，）M B B 64'

评注:这是一道参数法（引入a 作为参数）求轨迹方程的典型题，注意体会参数在解决问题中的作用.

参数方程在高考中是加试内容，难度不会太大.同学们在高考二轮复习中，以上基础内容一定要牢固掌握.