1.1.1正弦定理1

正弦定理:
在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等.
a b c 即 sin A sin B sin C
即正弦定理寻找的是各边和它的对角的关系！
剖析定理、加深理解
正弦定理可以解决三角形中哪类问题：
a b c sin A sin B sin C
① 已知两边和其中一边的对角，求另一边
AD , sin C 此时有 sin B AD c b
B
图1
A c b C
b c 所以AD=csinB=bsinC, 即 sin B Leabharlann Baidusin C ,
D
a b c a c 同理可得 , 即： sin A sin B sin C sin A sin C
(2) 若三角形是钝角三角形呢？ 自己证下！
例2：在ABC中，a= 3, b 2, B 45 , 求A, C, c
0
解：
a sin B sin A b
0
3
2 2 3 2 （三角形中大边对大角） 2
0
0 0 或 A 120 A 60 a b, A B, 且0 A 180
(1)当A 600 , C 1800 ( A B) 750 b sin C 2 6 2 6 2 c sin B 4 2 2 2 0 (2)当A 120 , C 1800 ( A B) 150
的对角，进而可求其他的边和角.
② 已知两角和一边，求其他角和边.
（1）已知两角和任一边， 定理的应用 求其他两边和一角
。 。
例 1：在△ABC 中，已知c = 10,A = 45 , C = 30 ，
解三角形.（即求出其它边和角）
根据三角形内角和定理， B 180 (A C) 105 解：
b
ha
1 aha 2
Da
C ∴
而 h AD c sin B b sin C a
同理 S ABC 1 ∴ S ABC ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2
1 1 S ABC ac sin B ab sin C 2 2 1 bc sin A 2 1 1
(2)已知两边和其中一边的对角,求其他边和角.
2.（08 陕西卷） △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ， 若 c 2，b 6，B 120 ，则 a 等于

（ D． 2
D）
A． 6
B．2
C． 3
BC的长度与角A的 大小有关吗? 三角形中角A与它的对 边BC的长度是否存在 数量关系?
C3
C2 C1
C
A
B
(2) 若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2,
过点A作AD⊥BC， 此时也有 sin B
b
交BC延长线于D,
AD c
且 sin （ C） AD sin C
A c b
仿(1)可得
a b c sin A sin B sin C
B
由(1)(2)知，结论成立．
5 12 3．解： （Ⅰ）由 cos A ，得 sin A ， 13 13 3 4 由 cos B ，得 sin B ． 5 5
16 所以 sin C sin( A B) sin A cos B cos A sin B ． 65
5 3 3.(2008 全国Ⅱ) 在 △ABC 中， cos A ， cos B ． 13 5 （Ⅰ）求 sin C 的值； （Ⅱ）设 BC 5 ，求 △ABC 的面积．
正弦定理
在Rt△ABC中,各角与其对边的关系:
b a sin B sin A c c c sin C 1
c
不难得到:
b
A
c
a b c sin A sin B sin C
C
a
B
在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?
C
b
A c
a
B
(1)若三角形是锐角三角形, 如图1,
过点A作AD⊥BC于D,
2.已知ABC中a 2, B 75 ，C 45 ，则
0 0
abc 4 3 ______ . sin A sin B sin C
3、已知三角形 ABC 中，acosA=bcosB, 判断三角形的形状。 直角或等腰三角形
3
正弦定理推广二:
正弦面积公式 : S ABC 1 1 1 1 ah ab sinC ac sinB bc sin A 2 2 2 2
3 3 则其面积等于 __________ 或 2 4

思考
a b c ＝ 求证: ＝ sin A sin B sin C
＝ ？
2R
（2R为△ABC外接圆直径）
证法3:
A
SABC
1 1 1 ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2
证明： ∵ S ABC
c
B
b sin C c sin B 2 6 2 6 2 4 2 2 2
(2)已知两边和 其中一边的对 角,求其他边和 角.
(2)已知两边和其中一边的对角,求其他边和角.
练习：在ABC中，a=2, b 2, A 45 , 求B, C, c
0
b sin A 解：由正弦定理得 sin B a a b, A B, 且00 B 1800
已知两角和任一边，求其他两边和一角. 练习：
（1）在△ABC中，已知 A=30°，B=120°，b=12。
解三角形.
C 30 , a c 4 3

（2）在△ABC中，已知 A=75°，B= 45°，c= 3 2 求C，a ， b.
C 60 , a 3 3, b 2 3

c sin C sin C 2R A c 2R sin C a b 同理 2 R, 2R sin A sin B a b c 2R sin A sin B sin C
c O b
a C
C/
公式的应用
a b c 正弦定理： sin A sin B sin C
图2 C
D
思考
a b c ＝ 求证: ＝ sin A sin B sin C
＝ ？
2R
（2R为△ABC外接圆直径）
2 2 2 1 2 2
B 30 , C 105
0

（三角形中大边对大角）
a sin C 2 6 2 c 3 1 sin A 4 2 2
课堂小结
（1）三角形常用公式： A B C
a b c 正弦定理： sin A sin B sin C

（2）正弦定理应用范围：
4 5 BC sin B 13 5 （Ⅱ）由正弦定理得 AC ． 12 sin A 3 13 1 1 13 16 8 所以 △ABC 的面积 S BC AC sin C 5 ． 2 2 3 65 3
3.在ABC中, a 3, b 1, B 30 ,
应用正弦定理化边为角：
＝
2R
a 2R sin A, b 2R sin B, c 2R sin C
a b c 或化角为边：sin A ,sin B ,sin C 2R 2R 2R
课堂练习：
1.已知ABC的三个内角之比为A : B : C 3 : 2 :1,
2：31 ： 那么对应的三边之比a : b : c等于 ____________
C
b
c
由正弦定理
得a
a c sin A sin C c sin A 10 sin 45 10 2 = sin 30 sin C
a
B
A
b c 由正弦定理 sin B sin C
c sin B 10 sin 105 5( 6 2 ) 得 b= = sin C sin 30
12 2 ______ .
练习：
1.在ABC中, a 6，b 8，C 45 .则S ABC

2.已知三角形 ABC 中，a=50,B=450,C=1050,求 S ABC .
625 （ 3 1 ）
5 3 3.(2008 全国Ⅱ) 在 △ABC 中， cos A ， cos B ． 13 5 （Ⅰ）求 sin C 的值； （Ⅱ）设 BC 5 ，求 △ABC 的面积．
① ②
已知两角和任意边，求其他两边和一角 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角。(注意解的情况)
正弦定理推广一:
a b c 2RR是ABC外接圆半径 sin A sinB sinC
证明：作外接圆O, 过B作直径BC/,连AC/,
'
B
' BA C 90, C C