北师大版八年级数学上册《二次根式》PPT课件(6篇)
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北师大版八年级数学上册 2.7.1 二次根式 课件(共23张PPT)
3
3
(3)
1 2
2 （ 4） 9
2
50
3 10
2
3、一个直角三角形的斜边长为15cm，一条直角边长为10cm，
求另一条直角边长。5 5cm
选做题（2分钟）
设 a0，b0，化简下列二次根式。
1 72
2 8a2b3
解：1 72 98 3222232 2 6 2
或 72 362 62 2 6 2
2 8a2b3 2•22•a2•b2•b2ab 2b
在实数范围内,负数没有平方根
二次根式
根指数为2 被开方数是非负数
例2 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x1 x 1 (2) 3x x0
( 3 ) x2 2x 1
(4) 1
2x 5
解： x2 2x 1 (x 1)2 解：当2x 50时
当x为任意数时（x 1)2 0 即x 5，原式有意义
6 7
＝
6 7
．
4 9 ＝ 49 16 25＝ 1625
4 ＝
4
9
9
16 ＝ 16
25
25
观察上面的结果你可得出什么规律 ？
二次根式的性质
a ba•b(a0,b0)
积的算术平方根等于它们算术平方根的积。
a a(a0,b0) 注意公式中的条件 bb
商的算术平方根等于它们算术平方根的 商。
例3 化简：
（1） 8164 （2） 256
（3） 5
9
最简二次根式的定义
带根号的数的化简要求： （1）被开方数中不含分母 （2）被开方数中不含能开得尽方的因 数或因式；
如例3化简结果中的 5 6 5
3
例4 化简：
最新北师大版初中八年级数学上册《二次根式》优质教学课件
四、课堂检测 7. 计算：
(1) 5 9 20
(3)3 5 2 2
(5) 25 4 19
(2) 12 6 3
(4)( 27 1 ) 3 3
(6) 27 12 3
四、课堂检测 8. 计算：
(1)(2 3 1)2
(2)( 10 2)( 10 2)
(3)(2 3)(1 2 3)
A. 9
B. 12
C.3 2
D.2 3
四、课堂检测
1. 计算 12 3 的结果是 （B ）
A.3
B. 3
C.2 3
D.3 3
四、课堂检测
3.下列计算正确的是（ D ）
四、课堂检测
4.下列计算正确的是（ D ）
四、课堂检测 5. 下列各等式成立的是
（ D）
四、课堂检测 6. 计算
，结果正确的是 （ B ）
(1) 48 3
(2) 5 1 5
解：(1) 48 3 16 3 3 4 3 3 5 3
(2) 5 - 1 5 - 1 5 5 - 5 4 5
5
55
55
归纳总结
以前学习的运算律、运算法则对二次根式同样适 用，化简后被开方数相同时，可以进行合并；
四、课堂检测
1. 计算 6 3 的结果是 （ C ）
五、课堂小结 二次根式的乘法法则和除法法则：
a • b ab(a 0, b 0)
a a (a 0, b 0)
b
bLeabharlann 算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根
两个二次根式相除，将它们的被开方数相除的商作 为商的被开方数
六、布置作业 课本P45 习题2.10 第1，2，3，4题
归纳总结
北师大版八年级数学上册课件：2.7 二次根式 (共42张PPT)
aa
(ab≥0，b≥b0)
知识解读
（1）在进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略被开方
数a，b均为非负数的条件；
（2）a必须是非负数，b必须是正数，式子 才成立.若a，
b都是负a数，则 ＞0，虽然 有意义，但
在a实数
范围内b无意义 a b
b a, b
例4 计算： 48 .
3
解： 48 48 16 4.
题型三 二次根式的加减运算在实际生活中的应用
例11“教师节”要到了，为了表示对老师的敬意，李 明做了两张大小不同的正方形壁画准备送给老师，其中一 张面积为800 cm2，另一张面积为450 cm2，他想如果再用 金彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他现在有1.2 m长的金 彩带，请你帮助算一算，他的金彩带够用吗？如果不够， 还需买多长的金彩带？（ 2 ≈1.414，结果保留整数）
思路导图
计算出所需金彩 带的长度
将求出的长度与 1.2 m进行比较
根据比较 结果得出 结论
解：正方形壁画的边长分别为 800 cm， 450cm.
镶壁画边所用的金彩带长为 4 ( 800 450 )
4 (20 2 15 2) 140 2 197.96 (cm).
因为1.2 m=120 cm＜197.96 cm，
a a (a≥0，bb≥0) b
ab a b
知识解读
（1）
(a≥0，b≥0)中的a，b既可以是数，也可以是代数式，
但必a须b满cd足a≥0，ab≥·0.公b式·可c推·广到d多个非负因式的情况，如
(a≥0，b≥0，c≥0，d≥0)；
（2） a （a≥a0，b＞0）中的a，b既可以是数，也可以是代数式， 但a，b必须b 满足a≥b0，
北师大版八年级数学上册《二次根式》实数教学课件ppt
写成最简二次根式的形式. 2.会将整式运算的乘法公式灵活应用于二次根式的运算中.
第十二页，共十二页。
2
D. 5 6 5 6 11
【解析】选C.在选项C中，原式= ( 3)2 (a b)(a b) 3(a2 b2 ).
第八页，共十二页。
2.（德化·中考）下列计算正确的是（ ）
20 2 10
2 3 6
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.选项A中 20 2 ,5选项C不是被开方数相同的二
第二页，共十二页。
下列计算哪些正确，哪些不正确？
⑴ 3 2 5
（不正确）
⑵ a b a b
（不正确）
⑶ a b ab
（不正确）
⑷ a a b a (a b) a
（正 确）
⑸ 1 3a 1 2a a a 0 （不正确）
3
2
第三页，共十二页。
【例(1)题】27 3 6 2
(1) 27 3 6 2
次根式，不能合并， 选项D 中
.
(3)2 3
第九页，共十二页。
3.（常州·中考）下列运算错误的是（ ）
2 3 5
A.
6 2 3
C.
2 3 6
B.
( 2)2 2
D.
【解析】选A.选项A中 2 与 3
不是被开方数相同的二次根式源自不能合并.第十页，共十二页。
4.比较二次根式 6 14和 7 的大13小.
【解析】 因为( 6 14 )2 20 2 84,
( 7 13)2 20 2 91,
20 2 84 20 2 91,
且 6 14 0, 7 13 0,
所以 6 14 7 13.
第十一页，共十二页。
第十二页，共十二页。
2
D. 5 6 5 6 11
【解析】选C.在选项C中，原式= ( 3)2 (a b)(a b) 3(a2 b2 ).
第八页，共十二页。
2.（德化·中考）下列计算正确的是（ ）
20 2 10
2 3 6
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.选项A中 20 2 ,5选项C不是被开方数相同的二
第二页，共十二页。
下列计算哪些正确，哪些不正确？
⑴ 3 2 5
（不正确）
⑵ a b a b
（不正确）
⑶ a b ab
（不正确）
⑷ a a b a (a b) a
（正 确）
⑸ 1 3a 1 2a a a 0 （不正确）
3
2
第三页，共十二页。
【例(1)题】27 3 6 2
(1) 27 3 6 2
次根式，不能合并， 选项D 中
.
(3)2 3
第九页，共十二页。
3.（常州·中考）下列运算错误的是（ ）
2 3 5
A.
6 2 3
C.
2 3 6
B.
( 2)2 2
D.
【解析】选A.选项A中 2 与 3
不是被开方数相同的二次根式源自不能合并.第十页，共十二页。
4.比较二次根式 6 14和 7 的大13小.
【解析】 因为( 6 14 )2 20 2 84,
( 7 13)2 20 2 91,
20 2 84 20 2 91,
且 6 14 0, 7 13 0,
所以 6 14 7 13.
第十一页，共十二页。
北师大版八年级数学上册第二章实数第3课二次根式课件
B D
【基础训练】 1. 下列计算中正确的是( A )
2. 计算
的结果为（ B ）Fra bibliotek. 若，则
的值为( C )
【提升训练】
【拓展训练】
9.如图，每个小正方形的边长都为1. (1)求四边形ABCD的周长； (2)求点A到BC的距离．
第二章 实数
7 二次根式 第3课时
1. 二次根式的混合运算是指二次根式的 加 、 减 、 乘 、 除 、 乘方 的混合运算. 2. (1)整式运算的 运算律 在二次根式的混合运算中仍然适用.
(2)在二次根式的运算中，多项式的 乘法 法则和 乘法 公式仍然适用. 3. 分母有理化：分子、分母同乘以一个相同的根式后使分母由 无理数（式）变 为有理数（式） . 4. 二次根式混合运算的运算顺序与实数的运算顺序一样，先算 乘方 ，再 算 乘除 ，最后算 加减，有括号的先算 括号里面的 (或先去掉括号)，能用运算律的 要用运算律简算.
《二次根式》PPT课件 北师大版
探究新知
素养考点 1 识别最简二次根式 例 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根式？ 不是最简二次根式的，请说明理由．
(1) 1 ;(2) x2 2;(3) 0.2;(4) 24x;(5) x3 6x2 9x;(6) 3 2 .
3
3 2
解：(1)不是，因为被开方数中含有分母．(2)是．
A． x 2
B． x
C． x2 2 D．x2 2
3.下列根式中，不是最简二次根式的是（ C ）
A．7
B． 3
1
C．2
D． 2
课堂检测
基础巩固题
4. 计算：
（1）（-144）（-169）; （2） 1 16a4 .
4
解：（1）（-144）（-169） 144 169
=12×13 =156;
(3)不是,因为被开方数是小数(即含有分母)．
(4)不是，因为被开方数24x中含有能开得尽方的因数4，4＝22.
(5)不是，因为x3＋6x2＋9x＝x(x2＋6x＋9)＝x(x ＋3)2，被开方数中含
有能开得尽方的因式．
(6)不是,因为分母中有二次根式．
探究新知
方法点拨 判断一个二次根式是否是最简二次根式的方法： 利用最简二次根式需要同时满足的两个条件进行判断： (1)被开方数不含分母，即被开方数必须是整数(式)； (2)被开方数不含能开得尽方的因数(式)，即被开方数 中每个因数(式)的指数都小于根指数2；另外还要具备 分母中不含二次根式的条件．
次根号
否 不是非负数
否
不是二次根式
根式
解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中x2+4属于“非负数+正
数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.
北师大版八年级上册课件 第二章2.7.2二次根式(共21张PPT)
〔3〕、原式 2 5 3 5 1 5 6 5
5
5
〔4〕、原式 1 2 5 2 4 2 28 5
3
3
〔5〕、原式 6 1 6 1 6 6 5 6
23
6
2. 计算
，结果正确的选项是〔B
〕
3. 计算： 解：
4.一个直角三角形的两直角边分别是 5 cm和 45
cm，求这个三角形的面积。
〔2〕公式 a b a b（a≥0，b≥0），
a a （a≥0，b＞0）
bb
从左往右或从右往左在化简中能灵活运用．
提高题： x 2 3, y 2 3,
求x2 xy y 2
解： x 2 3, y 2 3, x y (2 3) （2 3） 2 3
xy (2 3)（2 3） 1
第二章 实数
§2.7.2 二次根式
第2课时
学习目标〔1分钟〕：
1.公式 a b a b〔a≥0，b≥0〕，
a a 〔a≥0,b＞0〕从右往左的运用． bb
2.了解二次根式的化简要求， 利用化简对实数进行简单的乘除、加减运算．
知识回忆
〔1〕被开方数中含有分母或者含有能开得尽的因 数、因式，那么需要化简；
5.一个长方形的长和宽分别是 2 1 cm和 2 1
cm。求它的面积S和它的对角线长。〔运用平方差公式〕
〔2〕两个公式
分别把下面两个式子 ab a b (a 0，b 0)， a a (a 0，b 0) bb
等号的左边与右边对换 ，就得到二次根式的乘 法法则和除法法则 :
自学指导1：5分钟
自学课本P44的例题3；进一步熟悉公式，并解答下题
例1Байду номын сангаас计算：
解：
2.7 二次根式 第1课时 北师大版数学八年级上册教学课件(共23张ppt)
5
数的算术平方根.那么什么样的数有算术平方根呢？
我们知道，负数没有平方根.因此，在实数范围
内开平方时，被开方数只能是正数或0.
问题2：上面问题的结果分别是 3， 5， 65，
从形式上和被开方数上看有什么共同特点？
②被开方数a ≥0
ℎ
，分别
5
二、合作交流，探究新知
归纳总结
二次根式的定义
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二次根
所以2x+y=2×1+2017=2019.
归纳 多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初
中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
三、运用新知
例4 化简
（1） 81×64；（2） 25×6；（3）
5
.
9
解：（1） 81×64= 81 × 64=9×8=72
（2） 25×6= 25 × 6=5 6
6
16 25 ＝ 20
，16 25 ＝ 20
4
＝
9
4
， ＝
9
16 ＝
25
16
，
；
25
＝
；
；
.
有何发现？
二、合作交流，探究新知
（2）用计算器计算：
6 7 ＝ 6.480 ， 6 7＝ 6.480 ；
6
6
＝ 0.9255 ，
＝ 0.9255 ．
7
7
有何发现？
二、合作交流，探究新知
要点归纳
解析：要使在实数范围内有意义，必须同时满足被开
方数x＋3≥0和分母x＋1≠0，解得x≥－3且x≠－1.
方法总结：使一个代数式有意义的未知数的取值
数的算术平方根.那么什么样的数有算术平方根呢？
我们知道，负数没有平方根.因此，在实数范围
内开平方时，被开方数只能是正数或0.
问题2：上面问题的结果分别是 3， 5， 65，
从形式上和被开方数上看有什么共同特点？
②被开方数a ≥0
ℎ
，分别
5
二、合作交流，探究新知
归纳总结
二次根式的定义
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二次根
所以2x+y=2×1+2017=2019.
归纳 多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初
中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
三、运用新知
例4 化简
（1） 81×64；（2） 25×6；（3）
5
.
9
解：（1） 81×64= 81 × 64=9×8=72
（2） 25×6= 25 × 6=5 6
6
16 25 ＝ 20
，16 25 ＝ 20
4
＝
9
4
， ＝
9
16 ＝
25
16
，
；
25
＝
；
；
.
有何发现？
二、合作交流，探究新知
（2）用计算器计算：
6 7 ＝ 6.480 ， 6 7＝ 6.480 ；
6
6
＝ 0.9255 ，
＝ 0.9255 ．
7
7
有何发现？
二、合作交流，探究新知
要点归纳
解析：要使在实数范围内有意义，必须同时满足被开
方数x＋3≥0和分母x＋1≠0，解得x≥－3且x≠－1.
方法总结：使一个代数式有意义的未知数的取值
北师大版八年级数学课件-二次根式
2 80
1 8
6 .
20 5
2 6 7
＝４ 5 2 5 5
4 7；
＝4 2 1 5
＝ 5；
倍 速
3 18＋ 98 27
4 24＋ 0.5
1 8
6
课 时 学 练
＝3 2 7 2 3 3
＝3 7 2 3 3
＝10 2 3 3；
＝2
２２ 6 ２ ４
６
＝2 1 6 1 1 ２
倍 速
r2 2
12.56 3.14
4
课 时
r2=2
学
d r1 r2 2 2 2 0.83 cm.
练
答：圓環的寬度d為0.83 cm.
作業：P45習題2.10，
倍 速 课 时 学 练
2 4
＝3 6 2 .
4
3.如圖，兩個圓的圓心相同，它們的面積分別是12.56 cm2和 25.12 cm2，求圓環的寬度d（ π取3.14，精確到0.01 cm）.
解：設大圓的半徑r1，小圓的半徑為r2 .
則
π r12=25.12
π r22=12.56
則
r12
25.12 3.14
8
d
·
r1 2 2
分析上面計算 8＋ 18 的過程，可以看到，把 8 和 18 分別
化成最簡二次根式 2 2和 3 2 後，由於被開方數相同（都是2）， 可以利用分配律將 2 2 和 3 2 進行合併.
倍
速
二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將
课
被開方數相同的二次根式進行合併.
时
学
练
例1 計算： (1) 9a＋ 25a；
這兩個二次根式的和，我們可以這樣來計算：
1 8
6 .
20 5
2 6 7
＝４ 5 2 5 5
4 7；
＝4 2 1 5
＝ 5；
倍 速
3 18＋ 98 27
4 24＋ 0.5
1 8
6
课 时 学 练
＝3 2 7 2 3 3
＝3 7 2 3 3
＝10 2 3 3；
＝2
２２ 6 ２ ４
６
＝2 1 6 1 1 ２
倍 速
r2 2
12.56 3.14
4
课 时
r2=2
学
d r1 r2 2 2 2 0.83 cm.
练
答：圓環的寬度d為0.83 cm.
作業：P45習題2.10，
倍 速 课 时 学 练
2 4
＝3 6 2 .
4
3.如圖，兩個圓的圓心相同，它們的面積分別是12.56 cm2和 25.12 cm2，求圓環的寬度d（ π取3.14，精確到0.01 cm）.
解：設大圓的半徑r1，小圓的半徑為r2 .
則
π r12=25.12
π r22=12.56
則
r12
25.12 3.14
8
d
·
r1 2 2
分析上面計算 8＋ 18 的過程，可以看到，把 8 和 18 分別
化成最簡二次根式 2 2和 3 2 後，由於被開方數相同（都是2）， 可以利用分配律將 2 2 和 3 2 進行合併.
倍
速
二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將
课
被開方數相同的二次根式進行合併.
时
学
练
例1 計算： (1) 9a＋ 25a；
這兩個二次根式的和，我們可以這樣來計算：
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x0
(5) x3 x 0
(6) 1 x2
x0
2.已知a，b为实数，且满足 a 2b 1 1 2b 1, 你能求出a及 a+b 的值吗？
【解析】依题意知：2b-1≥0，1-2b ≥0,所以b= 1 2,把 b= 1 2代入原式，得a=1,所以a+b=1+1 2 =32 .
1.（芜湖·中考）要使式子 a 2 有意义，
a
a的取值范围是（ ）
A. a≠ 0
B. a＞-2且a≠ 0
C. a＞-2或a≠ 0
D. a≥-2且a≠ 0
【解析】选D.要使式子 a 有2 意义，须同时满足a+2≥0，
a
a≠0两个条件，解两个不等式可得a≥-2且a≠0 .
2．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． x 2
B． x
C． x2 2
（2） 4a 2b3 4 • a 2 • b3
2•a • b2 •b
2a b2 b
2ab b.
想一想： (4) (9) (4) (9)
成立吗？为什么？
ab a • b (a 0, b 0)
所以 (4) (9)
36 6.
非
负
数
【跟踪训练】
计算：
1 14 7 7 2 2=3 510 =15 2
同学们自己来算吧！看谁算得既快又准确！
商的算术平方
化简二次根式.
1.什么叫二次根式？
一般地，形如 a （a≥0)的式子叫做二次根式.
2.二次根式有意义的条件是什么？
根号内的式子是非负数，若含有分母， 则分母不为零.
观察下面的式子，它们都有什么共同特点？
13
5
8 21
4
被开方数不含分母，也没有能开得尽方的因数
一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方 的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次
正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根.
塔座
50 m
?m
am
塔座所形成的这个直角三角形的斜边长为__a_2___2_5_0_0_ m.
下球体
S
下球体在平面图上的圆的面积为S，则该圆的半径
S
为____________.
如图所示，已知正方形的面积为b-3，则 b-3
正方形的边长是 b 3 .
注意：在实数范围内,负数没有平方根
【跟踪训练】
判断下列代数式中哪些是二次根式.
⑴
1，
2
(3) a 2 2a 2 ，
(5) m 32 .
⑵ 16,
(4) x x 0,
【例题】
【例2】求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a 1.
2 1 .
1- 2a
3 a 32.
【解析】（1）由于被开方数是非负数，可
【解析】要使式子 x 有2 意义，需满足x-2≥0，
解得x≥2. 答案： x≥2
4．如图所示，在平面直角坐标系中， A（-2，3），B（-4，0），C（-2，0） 是三角形的三个顶点，求三角形各边的长．
【解析】AC=3-0=3，BC=-2-（-4）=2．因为△ABC为直 角三角形，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2．所以 AB= AC2 BC2 32 ，2故2 三角13形三边长分别为3，2， ．
13
通过本课时的学习，需要我们掌握： （1）二次根式的概念. （2）根号内字母的取值范围. （3）二次根式的值.
在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而 是我们怎么知道什么.
——毕达哥拉斯
7 二次根式
1.理解最简二次根式的定义. 2.会利用积的算术平方根的性质化简二次根式. 3.理解商的算术平方根的性质，能够应用二次根式的性质
知a+1≥0，即a≥-1.
（2）由于被开方数是非负数，且分母不
为零，可知1-2a>0，即a<1 . 2
（3）由（a-3）2≥0，可知a可以取任意实数.
【跟踪训练】
1.x取何值时,下列二次根式有意义?
Байду номын сангаас
(1) x 1 x 1
(2) 3x x 0
(3) 4 x2 x为 全 体 实 数 (4) 1 x
2. a可以是数,也可以是式；
3. 形式上含有二次根号
；
4. a≥0, ≥a0 ( 双重非负性)；
5. 既可表示开平方运算,也可表示运算的结果.
【例题】
【例1】说一说下列各式哪些是二次根式.
((14))
32 , -m
(2) 6,
(m≤0),
(6) a2 1 ,
(3) 12, (5) xy (，x,y 异号)， (7) 3 5.
7 二次根式
1．了解二次根式的概念. 2．理解二次根式何时有意义，何时无意义，会在简单情
景下求根号内所含字母的取值范围. 3．会求二次根式的值.
1.什么叫做一个数的算术平方根？如何表示？
一般地，若一个正数x的平方等于a，即 x 2 a ，
那么这个正数x就叫做a的算术平方根.
a的算术平方根是 a (a≥0),其中0的算术平方根是0.
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
a2 2 500
S
π
b3
表示一些正数的算术平方根;
一般地，形如 a（a≥0)的式子叫做二次根式;
a叫做被开方数.
开动你的脑筋，你一定行！
请你凭着自己已有的知识,说说对二次根式 a (a 0)
的认识！
?
一般地，形如 a（a≥0)的式子叫做二次根式.
1. 表示a的算术平方根；
根式.
积的算术平方根的性质
ab a b（a≥0，b≥0）
积的算术平方根等于各个被开方数算术平方根的积. 注：在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都
表示非负数．
【例题】
【例例2.化 1】简化： 简： （1）16 81.（2） 4a 2b3 .
【解解析: 】(1) 16 81 16 81 4 9 36.
2.什么是一个数的平方根？如何表示？ 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a， 那么这个数x就叫做a的平方根(或二次方根).
用 a (a≥0)表示.
3.平方根的性质： 正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根是0； 负数没有平方根.
思考 1.16的平方根是什么? 算术平方根是什么？ 2.0的平方根是什么？算术平方根是什么？ 3.－7有没有平方根？有没有算术平方根？
D． x2 2
【解析】选C.A项中只有当x≤-2时，才是二次根式，故A项
不一定是二次根式；B项中当x≥0时是二次根式，故B项不
一定是二次根式；C项中无论x为何值，x2+2＞0，所以C项
一定是二次根式；D项中当x=0时，不是二次根式，所以D
项也不正确.
3.（盐城·中考）使 x 2 有意义的x的取值范围是____.