北师大版八年级数学上册《二次根式》PPT课件(6篇)
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a
a的取值范围是（ ）
A. a≠ 0
B. a＞-2且a≠ 0
C. a＞-2或a≠ 0
D. a≥-2且a≠ 0
【解析】选D.要使式子 a 有2 意义，须同时满足a+2≥0，
a
a≠0两个条件，解两个不等式可得a≥-2且a≠0 .
2．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． x 2
B． x
C． x2 2
13
通过本课时的学习，需要我们掌握： （1）二次根式的概念. （2）根号内字母的取值范围. （3）二次根式的值.
在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而 是我们怎么知道什么.
——毕达哥拉斯
7 二次根式
1.理解最简二次根式的定义. 2.会利用积的算术平方根的性质化简二次根式. 3.理解商的算术平方根的性质，能够应用二次根式的性质
知a+1≥0，即a≥-1.
（2）由于被开方数是非负数，且分母不
为零，可知1-2a>0，即a<1 . 2
（3）由（a-3）2≥0，可知a可以取任意实数.
【跟踪训练】
1.x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1
(2) 3x x 0
(3) 4 x2 x为 全 体 实 数 (4) 1 x
注意：在实数范围内,负数没有平方根
【跟踪训练】
判断下列代数式中哪些是二次根式.
⑴
1，
2
(3) a 2 2a 2 ，
(5) m 32 .
⑵ 16,
(4) x x 0,
【例题】
【例2】求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a 1.
2 1 .
1- 2a
3 a 32.
【解析】（1）由于被开方数是非负数，可
同学们自己来算吧！看谁算得既快又准确！
商的算术平方
2.什么是一个数的平方根？如何表示？ 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a， 那么这个数x就叫做a的平方根(或二次方根).
用 a (a≥0)表示.
3.平方根的性质： 正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根是0； 负数没有平方根.
思考 1.16的平方根是什么? 算术平方根是什么？ 2.0的平方根是什么？算术平方根是什么？ 3.－7有没有平方根？有没有算术平方根？
D． x2 2
【解析】选C.A项中只有当x≤-2时，才是二次根式，故A项
Leabharlann Baidu
不一定是二次根式；B项中当x≥0时是二次根式，故B项不
一定是二次根式；C项中无论x为何值，x2+2＞0，所以C项
一定是二次根式；D项中当x=0时，不是二次根式，所以D
项也不正确.
3.（盐城·中考）使 x 2 有意义的x的取值范围是____.
（2） 4a 2b3 4 • a 2 • b3
2•a • b2 •b
2a b2 b
2ab b.
想一想： (4) (9) (4) (9)
成立吗？为什么？
ab a • b (a 0, b 0)
所以 (4) (9)
36 6.
非
负
数
【跟踪训练】
计算：
1 14 7 7 2 2=3 510 =15 2
【解析】要使式子 x 有2 意义，需满足x-2≥0，
解得x≥2. 答案： x≥2
4．如图所示，在平面直角坐标系中， A（-2，3），B（-4，0），C（-2，0） 是三角形的三个顶点，求三角形各边的长．
【解析】AC=3-0=3，BC=-2-（-4）=2．因为△ABC为直 角三角形，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2．所以 AB= AC2 BC2 32 ，2故2 三角13形三边长分别为3，2， ．
化简二次根式.
1.什么叫二次根式？
一般地，形如 a （a≥0)的式子叫做二次根式.
2.二次根式有意义的条件是什么？
根号内的式子是非负数，若含有分母， 则分母不为零.
观察下面的式子，它们都有什么共同特点？
13
5
8 21
4
被开方数不含分母，也没有能开得尽方的因数
一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方 的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次
x0
(5) x3 x 0
(6) 1 x2
x0
2.已知a，b为实数，且满足 a 2b 1 1 2b 1, 你能求出a及 a+b 的值吗？
【解析】依题意知：2b-1≥0，1-2b ≥0,所以b= 1 2,把 b= 1 2代入原式，得a=1,所以a+b=1+1 2 =32 .
1.（芜湖·中考）要使式子 a 2 有意义，
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
a2 2 500
S
π
b3
表示一些正数的算术平方根;
一般地，形如 a（a≥0)的式子叫做二次根式;
a叫做被开方数.
开动你的脑筋，你一定行！
请你凭着自己已有的知识,说说对二次根式 a (a 0)
的认识！
?
一般地，形如 a（a≥0)的式子叫做二次根式.
1. 表示a的算术平方根；
根式.
积的算术平方根的性质
ab a b（a≥0，b≥0）
积的算术平方根等于各个被开方数算术平方根的积. 注：在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都
表示非负数．
【例题】
【例例2.化 1】简化： 简： （1）16 81.（2） 4a 2b3 .
【解解析: 】(1) 16 81 16 81 4 9 36.
7 二次根式
1．了解二次根式的概念. 2．理解二次根式何时有意义，何时无意义，会在简单情
景下求根号内所含字母的取值范围. 3．会求二次根式的值.
1.什么叫做一个数的算术平方根？如何表示？
一般地，若一个正数x的平方等于a，即 x 2 a ，
那么这个正数x就叫做a的算术平方根.
a的算术平方根是 a (a≥0),其中0的算术平方根是0.
2. a可以是数,也可以是式；
3. 形式上含有二次根号
；
4. a≥0, ≥a0 ( 双重非负性)；
5. 既可表示开平方运算,也可表示运算的结果.
【例题】
【例1】说一说下列各式哪些是二次根式.
((14))
32 , -m
(2) 6,
(m≤0),
(6) a2 1 ,
(3) 12, (5) xy (，x,y 异号)， (7) 3 5.
正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根.
塔座
50 m
?m
am
塔座所形成的这个直角三角形的斜边长为__a_2___2_5_0_0_ m.
下球体
S
下球体在平面图上的圆的面积为S，则该圆的半径
S
为____________.
如图所示，已知正方形的面积为b-3，则 b-3
正方形的边长是 b 3 .
a的取值范围是（ ）
A. a≠ 0
B. a＞-2且a≠ 0
C. a＞-2或a≠ 0
D. a≥-2且a≠ 0
【解析】选D.要使式子 a 有2 意义，须同时满足a+2≥0，
a
a≠0两个条件，解两个不等式可得a≥-2且a≠0 .
2．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． x 2
B． x
C． x2 2
13
通过本课时的学习，需要我们掌握： （1）二次根式的概念. （2）根号内字母的取值范围. （3）二次根式的值.
在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而 是我们怎么知道什么.
——毕达哥拉斯
7 二次根式
1.理解最简二次根式的定义. 2.会利用积的算术平方根的性质化简二次根式. 3.理解商的算术平方根的性质，能够应用二次根式的性质
知a+1≥0，即a≥-1.
（2）由于被开方数是非负数，且分母不
为零，可知1-2a>0，即a<1 . 2
（3）由（a-3）2≥0，可知a可以取任意实数.
【跟踪训练】
1.x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1
(2) 3x x 0
(3) 4 x2 x为 全 体 实 数 (4) 1 x
注意：在实数范围内,负数没有平方根
【跟踪训练】
判断下列代数式中哪些是二次根式.
⑴
1，
2
(3) a 2 2a 2 ，
(5) m 32 .
⑵ 16,
(4) x x 0,
【例题】
【例2】求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a 1.
2 1 .
1- 2a
3 a 32.
【解析】（1）由于被开方数是非负数，可
同学们自己来算吧！看谁算得既快又准确！
商的算术平方
2.什么是一个数的平方根？如何表示？ 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a， 那么这个数x就叫做a的平方根(或二次方根).
用 a (a≥0)表示.
3.平方根的性质： 正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根是0； 负数没有平方根.
思考 1.16的平方根是什么? 算术平方根是什么？ 2.0的平方根是什么？算术平方根是什么？ 3.－7有没有平方根？有没有算术平方根？
D． x2 2
【解析】选C.A项中只有当x≤-2时，才是二次根式，故A项
Leabharlann Baidu
不一定是二次根式；B项中当x≥0时是二次根式，故B项不
一定是二次根式；C项中无论x为何值，x2+2＞0，所以C项
一定是二次根式；D项中当x=0时，不是二次根式，所以D
项也不正确.
3.（盐城·中考）使 x 2 有意义的x的取值范围是____.
（2） 4a 2b3 4 • a 2 • b3
2•a • b2 •b
2a b2 b
2ab b.
想一想： (4) (9) (4) (9)
成立吗？为什么？
ab a • b (a 0, b 0)
所以 (4) (9)
36 6.
非
负
数
【跟踪训练】
计算：
1 14 7 7 2 2=3 510 =15 2
【解析】要使式子 x 有2 意义，需满足x-2≥0，
解得x≥2. 答案： x≥2
4．如图所示，在平面直角坐标系中， A（-2，3），B（-4，0），C（-2，0） 是三角形的三个顶点，求三角形各边的长．
【解析】AC=3-0=3，BC=-2-（-4）=2．因为△ABC为直 角三角形，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2．所以 AB= AC2 BC2 32 ，2故2 三角13形三边长分别为3，2， ．
化简二次根式.
1.什么叫二次根式？
一般地，形如 a （a≥0)的式子叫做二次根式.
2.二次根式有意义的条件是什么？
根号内的式子是非负数，若含有分母， 则分母不为零.
观察下面的式子，它们都有什么共同特点？
13
5
8 21
4
被开方数不含分母，也没有能开得尽方的因数
一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方 的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次
x0
(5) x3 x 0
(6) 1 x2
x0
2.已知a，b为实数，且满足 a 2b 1 1 2b 1, 你能求出a及 a+b 的值吗？
【解析】依题意知：2b-1≥0，1-2b ≥0,所以b= 1 2,把 b= 1 2代入原式，得a=1,所以a+b=1+1 2 =32 .
1.（芜湖·中考）要使式子 a 2 有意义，
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
a2 2 500
S
π
b3
表示一些正数的算术平方根;
一般地，形如 a（a≥0)的式子叫做二次根式;
a叫做被开方数.
开动你的脑筋，你一定行！
请你凭着自己已有的知识,说说对二次根式 a (a 0)
的认识！
?
一般地，形如 a（a≥0)的式子叫做二次根式.
1. 表示a的算术平方根；
根式.
积的算术平方根的性质
ab a b（a≥0，b≥0）
积的算术平方根等于各个被开方数算术平方根的积. 注：在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都
表示非负数．
【例题】
【例例2.化 1】简化： 简： （1）16 81.（2） 4a 2b3 .
【解解析: 】(1) 16 81 16 81 4 9 36.
7 二次根式
1．了解二次根式的概念. 2．理解二次根式何时有意义，何时无意义，会在简单情
景下求根号内所含字母的取值范围. 3．会求二次根式的值.
1.什么叫做一个数的算术平方根？如何表示？
一般地，若一个正数x的平方等于a，即 x 2 a ，
那么这个正数x就叫做a的算术平方根.
a的算术平方根是 a (a≥0),其中0的算术平方根是0.
2. a可以是数,也可以是式；
3. 形式上含有二次根号
；
4. a≥0, ≥a0 ( 双重非负性)；
5. 既可表示开平方运算,也可表示运算的结果.
【例题】
【例1】说一说下列各式哪些是二次根式.
((14))
32 , -m
(2) 6,
(m≤0),
(6) a2 1 ,
(3) 12, (5) xy (，x,y 异号)， (7) 3 5.
正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根.
塔座
50 m
?m
am
塔座所形成的这个直角三角形的斜边长为__a_2___2_5_0_0_ m.
下球体
S
下球体在平面图上的圆的面积为S，则该圆的半径
S
为____________.
如图所示，已知正方形的面积为b-3，则 b-3
正方形的边长是 b 3 .