《通信原理》第六版_樊昌信_曹丽娜答案

第二章

2-1 试证明图P2-1中周期性信号可以展开为 （图略）

04(1)()cos(21)21n

n s t n t n ππ∞

=-=++∑ 证明：因为

()()s t s t -=

所以

000022()cos cos cos 2k k k k k k kt kt s t c c c kt T πππ∞

∞∞

======∑∑∑

101()00s t dt c -=⇒=⎰ 1

1112

21111224()cos ()cos cos sin 2

k k c s t k tdt k tdt k tdt k πππππ----==-++=⎰⎰⎰⎰ 0,24(1)21(21)n k n k n n π=⎧⎪=⎨-=+⎪+⎩

所以 04(1)()cos(21)21n

n s t n t n ππ∞

=-=++∑

2-2设一个信号()s t 可以表示成

()2cos(2)s t t t πθ=+-∞<<∞

试问它是功率信号还是能量信号，并求出其功率谱密度或能量谱密度。 解：功率信号。

2

22

()cos(2)sin (1)sin (1)[]2(1)(1)j ft j j s f t e dt f f e e f f τπττθθπθτπτπτπτπτ

---=+-+=+-+⎰ 21()lim P f s τττ

→∞= 2222222222sin (1)sin (1)sin (1)sin (1)lim 2cos 24(1)(1)(1)(1)f f f f f f f f ττπτπτπτπτθπτπτπτ

→∞-+-+=++-+-+ 由公式

22sin lim ()t xt x tx δπ→∞= 和 sin lim ()t xt x x

δπ→∞= 有

()[(1)][(1)]44

1[(1)(1)]4P f f f f f π

πδπδπδδ=-++=++-

或者

001()[()()]4

P f f f f f δδ=-++

2-3 设有一信号如下：

2exp()

0()00t t x t t -≥⎧=⎨<⎩

试问它是功率信号还是能量信号，并求出其功率谱密度或能量谱密度。 解：

220()42t x t dx e dt ∞

∞

--∞==⎰⎰ 是能量信号。

2(12)0()()22

12j ft j f t S f x t e dt e dt j f

πππ∞

-∞∞

--===-⎰⎰ 222

24()1214G f j f f ππ==-+

2-4 试问下列函数中哪一些满足功率谱密度的性质：

（1）2()cos 2f f δπ+

（2）()a f a δ+-

（3）exp()a f -

解：

功率谱密度()P f 满足条件：()P f df ∞

-∞⎰为有限值

（3）满足功率谱密度条件，（1）和（2）不满足。

2-5 试求出()cos s t A t ω=的自相关函数，并从其自相关函数求出其功率。 解：该信号是功率信号，自相关函数为

2221()lim cos cos ()cos 2

T T T R A t t T A τωωτωτ-→∞=⋅+=⎰

21(0)2

P R A ==

2-6 设信号()s t 的傅里叶变换为()sin S f f f π=，试求此信号的自相关函数()s R τ。 解： 22222()()sin 1,11

j f s j f R P f e df f e df f πτπττππττ∞

-∞∞

-∞===--<<⎰⎰

2-7 已知一信号()s t 的自相关函数为

()2

k s k R e ττ-=， k 为常数 （1）试求其功率谱密度()s P f 和功率P ；

（2）试画出()s R τ和()s P f 的曲线。

解：（1）

20(2)(2)02

222()()224j f s s k j f k j f P f R e d k k e d e d k k f πτπτπτττττπ∞

--∞∞-+--∞

==

+=+⎰⎰⎰ 2

222

42k P df k f k π∞

-∞=+=⎰ （2）略

2-8 已知一信号()s t 的自相关函数是以2为周期的周期函数： ()1R ττ=-， 11τ-<< 试求功率谱密度()s P f ，并画出其曲线。

解：()R τ的傅立叶变换为， （画图略）

222

21222121()1sin (1)2sin T j f T j f R e d T f e d f

c f

πτπτττπττππ----=-==⎰⎰ 2022()sin ()

sin ()sin ()2P f c f f nf n c f f T n c f f πδπδπδ∞

-∞∞-∞

∞-∞=-=-=-∑∑∑

2-9 已知一信号()s t 的双边功率谱密度为

4210,1010()0

f kHz f kHz P f -⎧-<<=⎨⎩其他

试求其平均功率。

解： 4

41042108

()102103

P P f df f df ∞

-∞--===⨯⎰⎰

本章练习题：

3-1．设是的高斯随机变量，试确定随机变量

的概率密度函数,其中

均为常数。 查看参考答案